Группы преобразований кривых тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

Рогозинников Евгений Алексеевич

ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ КРИВЫХ

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Екатеринбург - 2014

005552957

Работа выполнена на кафедре алгебры и дискретной математики Уральского федерального университета им. первого Президента России Б.Н. Ельцина.

Научный руководитель: Сизый Сергей Викторович

доктор технических наук, кандидат физ.-мат. наук, профессор

Официальные оппоненты: Титов Сергей Сергеевич

доктор физ.-мат. наук, профессор, зав. кафедрой прикладной математики и технической графики Уральской государственной архитектурно-художественной академии.

Чуркин Валерий Авдеевич

кандидат физ.-мат. наук, доцент, Институт математики СО РАН им. С. Л. Соболева, старший научный сотрудник.

Ведущая организация: Пермский национальный исследовательский

политехнический университет

Защита диссертации состоится «28» октября 2014 г. в ?У часов на заседании диссертационного совета Д 004.006.03 в Институте математики и механики УрО РАН по адресу:620219, г. Екатеринбург, ул. Софьи Ковалевской, 16.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики и механики УрО РАН.

Автореферат разослан «У /» С2, ■^сЛ^ои г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 004.006.03 к.ф.-м.н.

И.Н. Белоусов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Хорошо известно, что множества возможных состояний различных эволюционирующих систем (механических систем, физических объектов, организационных структур и сетей) можно рассматривать как гладкие многообразия, называемые конфигурационными многообразиями изучаемых систем [2,4]. Непрерывная эволюция рассматриваемой системы, т.е. множество её реальных последовательных состояний, представляет собой траекторию точки на конфигурационном многообразии, т.е. кривую вдоль этого многообразия.

С математической точки зрения кривые на различного рода геометрических объектах (в аффинных пространствах, в топологических пространствах, на гладких многообразиях) являются классическим объектом исследований [1]. Широко рассматривавшиеся ранее в математической литературе группы преобразований геометрических объектов (гомеоморфизмов, движений, подобий и т.п.) являются важнейшими и классическими производными структурами, в терминах которых осуществляется классификация геометрических объектов и проводится исследование их различных свойств.

Идея такой классификации была высказана Феликсом Клейном на его выступлении в 1872 году в Эрлангенском университете и получила название эрлангенской программы [6].Влияние этой программы на дальнейшее развитие геометрии было чрезвычайно велико. На новом уровне повторилось открытие Декарта: алгебраизация геометрии позволила получить глубокие результаты, которые для старых инструментов были крайне затруднительны или вовсе недостижимы. Подход Клейна оказался применимым к самым абстрактным геометриям — многомерным, неевклидовым и т.д. В начале XX века Исай Шур, Эмми Нётер, Эли Картан и другие математики разработали общую теорию представлений групп и теорию инвариантов. Эти исследования не только существенно обогатили геометрию, но оказались необходимы в физике. Герман Минковский в 1905 году включил в схему Клейна теорию относительности, показав, что с математической точки зрения она представляет собой теорию инвариантов

группы Пуанкаре, действующей в четырёхмерном пространстве-времени. Аналогичный подход понадобился в теории элементарных частиц, квантовой теории и в других физических теориях[3].В частности, в интенсивно развивающихся в последние десятилетия направлениях физики - теории струн, суперсимметричной квантовой теории поля и теории специальных сетей (зреша1пе1л\югкз) - кривые на гладких многообразиях, их группы преобразований и группы преобразований, порожденные параллельным переносом тензора вдоль этих кривых (группы голономий), играют ключевую роль [7].

Целью работы является изучение кривых, а также некоторых обобщений понятия кривой (таких, как отображения абелевых групп в модели и функции действительного аргумента) в терминах их групп преобразований. Более конкретными целями являются следующие: описание строения групп преобразований кривых на различных геометрических объектах, построение кривой по заданной группе преобразований, описание взаимосвязей группы преобразований кривой с геометрическими свойствами этой кривой такими, как кривизны, абсолютная скорость, замкнутость кривой.

Методы исследования. Математический аппарат общей алгебры, в частности теории полугрупп и групп, топологии, дифференциальной и метрической геометрии.

Научная новизна исследования. Все основные результаты, представленные в настоящей работе, являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы при исследовании кривых на гладких многообразиях, в метрических и топологических пространствах, фазовых траекторий на конфигурационных многообразиях, а также при чтении спецкурсов и спец. семинаров.

Апробация работы. Основные результаты диссертации были представлены на следующих семинарах и конференциях:

- на 42-й всероссийской молодежной школе-конференции (Екатеринбург, 2011);

- на семинаре «Алгебраические системы» кафедры алгебры и дискретной математики Уральского Федерального Университета имени первого Президента России Б.Н. Ельцина (Екатеринбург, 2013);

- на семинаре в Казанском (Приволжском) Федеральном Университете (Казань, 2013).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 научных статей[8-15], в том числе две в журнале из списка ВАК [8,9] и одна научная монография [14].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка цитируемой литературы. Объем диссертации составляет 105 страниц. Библиографический список содержит 63 наименования.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю C.B. Сизому за руководство работой и постоянное внимание.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы исследования, дана общая характеристика работы и приведено краткое содержание работы.

Первая глава диссертации посвящена исследованию кривых на различных геометрических объектах, а также групп преобразований этих кривых. Исследуются особенности строения группы преобразований кривой в зависимости от типов преобразований, от геометрических свойств кривой и свойств пространства, в котором эта кривая расположена.

В разделе 1.1 рассматривается особый класс топологических пространств — обобщённые многообразия, которые являются обобщением одновременно как гладких многообразий, так и метрических пространств. Исследуются геометрические свойства и производные структуры обобщённых многообразий такие, как группы подобий и группы движений (как частный случай подобий). На обобщённых многообразиях рассматриваются кривые, для них вводятся группы подобий, устанавливаются некоторые связи между геометрическими свойствами

кривых и свойствами их групп подобий. В частности, для кривых приводятся различные определения понятия «подобие» и указывается класс кривых, для которых эти различные определения эквивалентны. А именно, таким классом кривых является класс связных вещественных одномерных топологических многообразий.

Теорема 1.4. Для любой кривой на нормированном обобщенном многообразии, образ которой является связным одномерным вещественным топологическим многообразием (относительно топологии подпространства, индуцированной топологией нормированного обобщенного многообразия), существует параметризация, для которой понятия «ориентированное подобие» и «подобие образа» эквивалентны.

В разделе 1.2 исследуются кривые на гладких многообразиях, устанавливаются связи между геометрическими свойствами кривых и свойствами их групп подобий и движений. Для класса изотропных многообразий получена характеризация кривых с постоянными, периодическими и симметричными кривизнами в терминах их групп движений. Следующая теорема описывает взаимосвязь между параметром Т группы положительных движений некоторой кривой на изотропном многообразии (Г - точная нижняя грань множества положительных сдвигов данной группы) с геометрическими свойствами этой кривой (кривизнами и абсолютной скоростью).

Теорема 1.7. Пусть М — изотропное многообразие, а : К. -» М — т-регулярная кривая на М, С - группа положительных движений кривой а с параметром Т.

1. Если Т > 0, то матрица кривизн и абсолютная скорость кривой а периодичны с периодом Т.

2. Если С — полная группа положительных движений кривой а, то Т > О тогда и только тогда, когда Т — наименьший общий положительный период матрицы кривизн и нормы кривой а.

3. Если Т = 0, то С является подгруппой некоторой транзитивной группы положительных движений кривой а.

4. Матрица кривизн и абсолютная скорость кривой а постоянны тогда и только тогда, когда существует группа положительных движений кривой а с параметром Т = 0.

Также в этом разделе найдены параметризации всех кривых, обладающих транзитивными группами подобий в аффинных евклидовых пространствах.

Теорема 1.8. 2 m-регулярная кривая ав аффинном евклидовом пространстве допускает транзитивную группу подобий с показателем ц тогда и только тогда, когда в некотором ортонормированном репере она имеет следующую параметризацию:

a{t) = е"'(п cos^t), гг sin^ t),..., rm cos(ù>mt), rm sin(<omt), 0,... ,0).

(2m + 1 ^-регулярная кривая допускает транзитивную группу подобий с показателем ц тогда и только тогда, когда она имеет следующий вид в некотором ортонормированном репере:

a(t) = e^'Oi cosCco^), rt sinÇco^),..., rm cos(ù)mt), rm sin(wmt), l, 0,... ,0), прир. Ф Ou

ait) = (r-j cos(ajjt), ri sin(ûJit),..., rm cos(ù)mt), rm sin(Mjnt), lt, 0.....0),

при fi = 0.

Во всех приведенных формулах - различные действительные положительные числа, rt — действительные положительные числа и I > 0.

Доказано необходимое и достаточное условие замкнутости кривой, обладающей нетривиальной группой подобий.

Теорема 1.9. Пусть k-регулярная (для некоторого fceMJ кривая а : Е -» Еп обладает нетривиальной полной группой положительных подобий. Эта группа содержит нетривиальный элемент конечного порядка тогда и только тогда, когда кривая является замкнутой.

Кроме того, в этом параграфе исследуются свойства класса (5(М,д) групп движений кривых на многообразии. Исследуется замкнутость этого класса относительно взятия подгрупп, прямых произведений и факторгрупп.

Теорема 1.10. 1. Для любого многообразия (М, д) класс(5(М, д)замкнут относительно взятия подгрупп, т.е. для любой С £ ®(М,д) и любой Н < в справедливо Н е (5(М,д).

г.Существует многообразие (М,д), для которого класс (5(М,д) не замкнут относительно взятия прямых произведений, т.е. существуют 61,62 е ®(М,.дО такие, что в (5(М,д) не существует группы, изоморфной Сг X С2.

3.Существует многообразие (М,д), для которого класс 0о(М,д) не замкнут относительно взятия фактор-групп, т.е. существует С е (5(М,д) и нормальная подгруппа С0 в С такие, что в (5(М,д) не существует группы, изоморфной С/С0.

Основные результаты данной главы опубликованы в статьях автора [9,10,12-14].

Вторая глава посвящена решению прямой и обратной задачи взаимной определяемости кривой и её группы преобразований. Рассматриваются обобщения понятия кривой на многообразии, для которых допустима постановка указанных задач, решается обобщённая задача, а затем в качестве следствия приводятся решения задач для кривых на классических геометрических объектах (гладкие многообразия, метрические и топологические пространства).

В разделе 2.1 исследуются отображения абелевых групп в модели [5], поскольку модели являются обобщением гладких многообразий, метрических и топологических пространств, а отображения абелевых групп в модели являются обобщением кривых на этих геометрических объектах. При этом группы автоморфизмов таких отображений являются обобщением групп преобразований (движений и подобий) кривых. Вводится понятие модели, доказывается, что для любого множества, на котором задан согласованный набор отображений между подмножествами, существует модель, для которой указанные отображения и только они будут являться гомоморфизмами между своими областями определений и значений. Этот факт показывает, что модель является обобщением указанных выше геометрических объектов, поскольку они определяются

системой отображений, сохраняющих структуру (гомеоморфизмов для топологических пространств, изометрий для метрических пространств и римановых многообразий).

Теорема 2.1. Для любого множества Б и любого семейства 5 = {.!>( С 5 |1 е /} подмножеств на 5, и любого согласованного семейства отображений ¡5, между множествами из б, существует модель (5,1) такая, что все отображения из 5 и только они являются гомоморфизмами между множествами из 5 (как подмоделями модели

Далее в этом разделе вводится понятие отображения абелевых групп в модели и определяются автоморфизмы двух видов - положительные и отрицательные.

Положительным автоморфизмом отображения а абелевой группы X в модель Б со сдвигом £0 £ X назовем автоморфизм f такой, что /(аф) = + £„) для всех ьеХ.

Отрицательным автоморфизмом отображения а абелевой группы X в модель 5 назовем автоморфизм / такой, что он не является положительным автоморфизмом а и /(а(0) = где ф

удовлетворяет условиям

1. ф2 = 1<1-,

2. для любого Ь' £ X существует £" £ X такой, что ф(ф(С) + 1') = Ь + ¿'для всех г £ X.

Отрицательным автоморфизмом основного типа отображения а абелевой группы X в модель 5 назовем автоморфизм f такой, что /(а(С)) = — 0 для некоторого С' 6 X и для всех ЬЕХ.

Ориентированным автоморфизмом отображения некоторой абелевой группы в модель называется его положительный или отрицательный автоморфизм.

Следующая теорема описывает строение групп ориентированных автоморфизмов в зависимости от свойств отображений.

Теорема 2.3. Пусть (X, +) - абелева группа, (5, Е) - модель, а ■ X -* 5 -отображение с периодом Ь, С - группа ориентированных автоморфизмов отображения а, С0 - максимальная подгруппа тривиальных автоморфизмов в С.

1. Пусть С — группа положительных автоморфизмов. Тогда группа внутренних положительных автоморфизмов С/С0 изоморфна

/(£ П Хс) и (Хс + 1)/1. В частности:

а) если а — непериодическая, то группа внутренних положительных автоморфизмов С/С0 изоморфна группе сдвигов Хс. Если при этом С -транзитивная, то С/С0 изоморфна X, если С — блочно транзитивная с параметром Т, то й/С0 изоморфна циклической группе (Т);

б) если а - периодическая с периодом £ Ф {0} и £ — транзитивная, то С/С0 изоморфна Х/Ь, если С — блочно транзитивная с параметром Т, то С/С0 изоморфна циклической группе {Т)/Ь П (Т).

2. Если в С есть отрицательный автоморфизм, и С+ - максимальная подгруппа положительных автоморфизмов в в, то б/бд изоморфна (б+/С0) X У(Ж2), причём размерность пространства У(Ж2) равна размерности пространства отрицательных автоморфизмов отображения а.

3. Если в О есть отрицательный автоморфизм основного типа а, то о)а = 9~г(*о для всех д е

В дополнении к сформулированным результатам в разделе рассматривается важный частный случай отображений абелевых групп в модели - функции действительного аргумента, которые наиболее близки по своим свойствам к кривым. Кроме того, рассматриваются особые классы моделей - расслоенные модели и обобщенно расслоенные модели, которые являются обобщением важного класса многообразий -расслоенных многообразий [4], и исследуется строение полугрупп эндоморфизмов и групп автоморфизмов таких моделей.

Также в этом разделе рассматриваются произведения метрических пространств, и доказывается, что произведение метрических пространств относительно семейства биективных изометрий порождает (согласно

ю

теореме 2.1) расслоенную модель, а произведение метрических пространств относительно семейства биективных подобий порождает обобщенно расслоенную модель. Это позволяет перенести все результаты, полученные в параграфах 2.1.5 и 2.1.6 для расслоенных и обобщенно расслоенных моделей и отображений абелевых групп в такие модели на произведения метрических пространств и кривых в них.

В разделе 2.2 рассматривается задача обратная к той, которая решена в разделе 2.1: по заданной группе автоморфизмов модели выяснить, существует ли такое отображение некоторой абелевой группы в эту модель, для которого указанная группа будет являться группой ориентированных автоморфизмов. Следующие две теоремы устанавливают необходимые и достаточные условия существования такого отображения.

Теорема 2.14. Пусть - модель, (X, +) - абелева группа. Пусть

С - группа автоморфизмов модели 5, С0 - нормальная подгруппа С такая, что С/С0 является гомоморфным образом некоторой подгруппы из X.

Множество 50 = {р £ 5|\7<70 £ Со07о(р) = Р)) непусто тогда и только тогда, когда существует отображение а : X -» Б, для которого С является группой положительных автоморфизмов, а С0 — максимальной подгруппой тривиальных автоморфизмов в С.

Теорема 2.16. Пусть(Б,Е) - модель, (X, +) - абелева группа со свойством: для любого х 6 X существует х0 £ X такой, что х — 2х0. Пусть С — группа автоморфизмов модели 5, С+ и С0 -нормальные подгруппы С такие, что С0 < (7+ и С/С0 изоморфна полупрямому произведению С+/С0 на С2, причем С+/С0 является гомоморфным образом некоторой подгруппы из X, С2 = {1, а}, причем а(0Со)а = 5_1Со для всех д Е С+.

Множество 50 = {р £ £ С0С<70(р) = р)} непусто и

автоморфизмы (£(С0)а множества Б0 для всех д £ б имеют неподвижные точки тогда и только тогда, когда существует отображение а • X -* 5, для которого С является группой ориентированных автоморфизмов, - максимальной подгруппой

положительных автоморфизмов в б, а - максимальной подгруппой тривиальных автоморфизмов в б.

Также в разделе 2.2 решается аналогичная задача для случая кривых в топологических пространствах и групп гомеоморфизмов. Эта задача не является частным случаем предыдущей, так как на отображение (кривую) накладывается дополнительное условие непрерывности, которого нет в общем случае для отображений абелевых групп в модели. Следующие четыре теоремы устанавливают необходимые и достаточные условия существования указанных кривых в зависимости от типов групп гомеоморфизмов. Теорема 2.17 устанавливает возможность построения кривой по заданной циклической группе гомеоморфизмов.

Теорема 2.17. Пусть X - линейно связное топологическое пространство, С - его группа гомеоморфизмов.

1. Если С изоморфна циклической группе, то существует кривая а : М. -»X, для которой С является блочно транзитивной группой положительных гомеоморфизмов.

2. Если С изоморфна (С2 и а — ее порождающий элемент, то а имеет неподвижную точку тогда и только тогда, когда существует кривая а '■ [—1,1] —> X , для которой а является отрицательным гомеоморфизмом.

Теорема 2.18 описывает условия, при которых возможно построение кривой по группе гомеоморфизмов, изоморфной полупрямому произведению циклической группы на С2.

Теорема 2.18. Пусть Х- линейно связное топологическое пространство, С — его группа гомеоморфизмов, изоморфная полупрямому произведению циклической группы С+ и <С2, д — порождающий элемент в С+, а — порождающий элемент в С2. При этом ада = д~1 и а имеет неподвижную точку.

1. Если С+ изоморфна €2п-1 для некоторого п е N. то существует кривая а ■ М -»X, для которой а является отрицательным гомеоморфизмом, а С - блочнотранзитивной группой ориентированных гомеоморфизмов.

2. Если изоморфна С2п для некоторого п 6 N или С+ изоморфна Ъ и элемент да имеет неподвижную точку, то существует кривая а: №. -» X, для которой а является отрицательным гомеоморфизмом, а С - блочно транзитивной группой ориентированных гомеоморфизмов.

3. Если изоморфна С2п для некоторого я£ М или С+ изоморфна Ъ и элемент да не имеет неподвижных точек, то существует кривая а • Е -* X, для которой а является отрицательным гомеоморфизмом, а (д2) X (С2 — блочно транзитивной группой ориентированных гомеоморфизмов, но не существует кривой, для которой а являлся бы отрицательным гомеоморфизмом и С являлась бы группой ориентированных гомеоморфизмов.

Теорема 2.19 дает условия, при которых возможно построение кривой по группе гомеоморфизмов, изоморфной (М, +) или (Е, +)/ (Ъ, +).

Теорема 2.19. Пусть X - топологическое пространство, С - его группа гомеоморфизмов, которая изоморфна (К., +) либо (И, +)/(Х +). Следующие условия эквивалентны.

1. Существует отображение ф : К. -» 2е со свойствами

и ф(ь) = с,

сек

Ф 0 для всех сек, и существует хотя бы одна точка р Е X такая, что </>(£) (р) -одноточечное множество для всех С £ Е и отображение п(ф(0(р)) непрерывно по переменной С хотя бы в одной точке, + ^Хр) = Ф(.£1)(Ф(.£2)(р)) дДЯ любых ¿2ЕШ1. и существует такое Ь' £ П&, что 7г(0(с')(р)) Ф р.

2. Суи{ествует кривая а • И -»X, для которой б является транзитивной группой положительных гомеоморфизмов.

Следующая теорема дает условия, при которых возможно построение кривой по группе гомеоморфизмов, изоморфной полупрямому произведению (Е, +) или (К, +) на (С2.

Теорема 2.20. Пусть X — топологическое пространство, й — его группа гомеоморфизмов, которая изоморфна полупрямому произведению группы С+ и С2, где изоморфна (М, +) либо (М, +)/(Ж, +), а - порождающий элемент в (С2, при этом ада = д~г для всех д Е Следующие условия эквивалентны.

1. Существуют неподвижная точка р £ X отображения а и отображение ф : Е -» 2С+ со свойствами:

и 0(0 =с+,

Ф 0 для всех сем, такие, что 0(£)(р) — одноточечное множество для всех С £ 1К. и отображение л(</>(0(р)) непрерывно по переменной t хотя бы в одной точке, + С2)(р) = ф(.ь)(ф&2)(.р)) для любых £2 ЕЕ, и

существует такое £:' £ П&, что 7г(0(с')(р)) Ф Р-

2. Существует кривая а : Е X, для которой С является транзитивной группой ориентированных гомеоморфизмов, при этом гомеоморфизм а будет являться отрицательным гомеоморфизмом данной кривой.

Приведенные теоремы содержат конструктивное решение задач для класса групп автоморфизмов, относительно которого в теореме 2.3 раздела 2.1 было установлено необходимое условие того, что только группы этого класса могут являться группами внутренних ориентированных автоморфизмов отображений абелевых групп в модели. В ряде случаев для кривых в топологических пространствах исследуется вопрос о единственности построенной кривой и о ядре действия группы на построенной кривой.

Основные результаты второй главы опубликованы в статьях автора [8,11,14,15].

Результаты, выносимые на защиту

1. Строение групп ориентированных автоморфизмов отображений абелевых групп в модели.

2. Построение кривой по заданной группе гомеоморфизмов топологического пространства.

3. Понятие нормированного обобщенного многообразия. Описание класса кривых на нормированном обобщенном многообразии, для которого эквивалентны понятия ориентированного движения и движения образа кривой.

4. Описание кривых в аффинных евклидовых пространствах, допускающих транзитивную группу подобий.

Список литературы

1. Аминов Ю.А. Дифференциальная геометрия и топология кривых. М.: Наука, 1987. 160 с.

2. Борисович Ю.Г., Близняков Н.М., Израилевич Я.И., Фоменко Т.Н. Введение в топологию. М.: Высш. Школа, 1980. 295 с.

3. Визгин В.П. К истории «Эрлангенской программы» Ф. Клейна. // Историко-математические исследования. М.: Наука, 1973. № 18. С. 218248.

А.Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия: Методы и приложения. М.: Наука, 1979, 760 с.

5. Мальцев А.И. Алгебраические системы. М.: Наука, 1970. 392 с.

6. Розов Н.Х. Феликс Клейн и его эрлангенская программа. // Мат. проев., МЦНМО. 1999. Т. 3. С. 49-55.

7. Gaiotto D„ Moore G. W., Ne/fcfeASpectralnetworks, arXiv: 1204.4824v2, 2013,87 p.

Работы автора по теме диссертации Статьи, опубликованные в журналах из списка ВАК

8. Рогозинников Е.А. О возможности построения кривой по заданной группе гомеоморфизмов. // Труды Ин-та математики и механики УрО РАН. 2012. №3. С.218-229.

9. Рогозинников Е.А. О связи геометрических свойств кривых со свойствами их групп движений. // Труды Ин-та математики и механики УрО РАН. 2010. №3. С.227-233.

Другие публикации

10. Рогозинников Е.А. Геометрия обобщённых многообразий. Кривые на обобщённых многообразиях, их группы движений и подобий / Уральский гос. ун-т. Деп. в ВИНИТИ 05.10.2010, №570-В2010. 39 с.

11. Рогозинников Е.А. Группы преобразований отображений и определяемость кривых группами преобразований / Уральский гос. ун-т. Деп. в ВИНИТИ 18.02.2011, №74-В2011. 26 с.

12. Рогозинников Е.А. Группы движений кривых с постоянными и периодическими кривизнами. // Вестн. УрГУПС. 2011. №2(10). С. 65-72.

13. Сизый C.B., Рогозинников Е.А. О группах движений кривых на многообразиях. // Вестн. УрГУПС. 2010. №2(6). С. 47-56.

14. Рогозинников Е.А. Группы преобразований кривых. Кривые вдоль многообразий и их обобщения. LAPLAMBERTAcademicPublishing, 2011. 104 с.

15. Рогозинников Е.А. О группах автоморфизмов отображений абелевых групп в модели. // Вестн. УрГУПС. 2013. №2(18). С. 84-93.

Подписано в печать 20.09.2014. Формат 60 х 84 1/16 Бумага офсетная. Усл. печ. л. 2.15 Тираж 100. Заказ 2/2

Отпечатано в ИПЦ «ИздательствоУрФУ» 620083, г. Екатеринбург, ул. Тургенева, 4