Непрерывные отображения и кардинальные инварианты в С р-теории тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

■()! и 1

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА. ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

На правах рукописи СИПАЧЕВА Ольга Викторовна

УДК 515.12

НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ И КАРДИНАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ В Ср-ТЕОРИИ

01.01.04 — геометрия и топология

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва —1990

г, / Л

Работа выполнена на кафедре общей топологии и геометрии иеханико-математнческого факультета Московского государственного университета ш. Ц.В.Ломоносова .

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор А.В.Архангельский Офшдолыше оппоненты: доктор физико-математических наук,

доцент Н.В.Вшшчко, кандидат физико-математических наук О.Г.Окунав

Ведущая организация: ыеханико-штематический факультет

Тбилисского государственного университета

Задала диссертации оостопгся 199 -{г.

в 16чао. 05ша. на заседании специализированного Совета К2 ю математике при Московской государственной университете (Д.053.05.05) по адресу: 119899, ГСП, Москва, Ленинские горы, МГУ, ыеханта>-штематическпй факультет, ауд. 14-08.

С диссертацией ыожно ознакомиться в библиотеке меосанико-штештяческого факультета МГУ.

Автореферат разослан "З-^'" еЛ^/^иц 199 \ г.

I Учений секретарь В.Н.Чубарико!

/ специализированного Совета £2 кандидат физико-математических наук

..а л.й \

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

1-тдел

Актуальность темы. Диссертация посвящена исследования функциональных пространств в топологии поточечной сходимости. Такие пространства играют значительную роль как в топологической алгебре, так и в функциональном анализе. Например, слабо компактные подмножества банаховых пространств, т.е. комшктн Эберлейна (один из основных объектов диссертации), - это в точности компактные подпространства пространств Ср(Х) непрерывных функций в топологии поточечной ■сходимости для компактных X Верен и более обедай факт: любое банахово пространство со слабой топологией линейно го-ыеоморфно замкнутому подпространству пространства Ср(Х) для . некоторого компакта X (см.3,4Ъ.В связи с этим фактом свойства пространств вида Ср(Х), в особенности такие, которые сохраняются замкнутыми подпространстваш, приобретают дополнительный интерес. В частности, привадяенадая Корсону задача характеризацпи банаховых щюстранств, ливделефовых в слабой топологии, тесно связана с задачей характеризации тех пространств X, для которых Ср(Х) ливделефово. Значительная часть диссертации посвящена изучению ливд'елефовости и свойств, подобных линделефовости (нормальности, лидделефо-вости £) в пространствах вида Ср(Х).

■^А.В.Архангельский, УМН, 1976 , 31:5, с.17-32.

2)

Н.Р.Еоаап^а1, Сошров. Ма«ь, 1974, 28:1, р.88-111.

3)

О.Ат1г, ,1.1,:1павйв1;гаи88, Ала. Ма«1., 1968, 68:1, р.35-46.

А.Ого^взкИеоЗс, Саивй. Мв«1., 1953, 5:2, р. 129-173.

Много вшшата. уделено выяснению топологических свойств пространств вдда С^п(X) = Ср ...Ср(Х) (Праз). Относящиеся сюда результаты делятся на две группы: в первую входят те, которые устанавливают связь меяду пространством X и пространствами Ср п (X) посредством некоторых топологических операций и непрерывных отображений (см.гл.1), во вторую -те, которые устанавливают зависимость мезду топологическими свойствами пространства X и пространств вдда Ср П(Х) иди меяду свойства!.® пространств СрП(Х) и Ср^(Х') для разных А и к (см. гл.П, §1). Таким образом, в диссертации получили дальнейшее развитие результаты С.П. Гулъко^, Г.А. Соколова55 и О.Г. Окунева (см.7'§9Ъ.

Цель работы состоит в изучении свойств функциональных пространств в топологии поточечной сходимости и в исследовании строения пространств, получаемых многократным применением функтора Ср к тихоновским пространствам и компакта«, в частности, к компактам Корсона и Эберяейна.

Методы исследования. В диссертации широко используются метода С -теория (см.7^). Применяются и получают дальнейшее

с ОЧ

развитие принадлежащие С.П. Гулькои,;методы исследования йункдиональншс пространств, связанные с использованием теории ретракций. ^

^С.II.Гулько,Семинар по общей топологии,М.:МГУ,1981,с.8-41. 6^ГД.Соколов, Матем. заметки, 1986, 39:6, с.887-893.

В.Архангельский, Топологические пространства функций, М.: МГУ, 1909.

8)С.П.Гулько, УШ, 1979, 34;6. с.33-40.

Научна? новизна. Все основные результаты работы являются новыми и получены автором самостоятельно. Они заключаются в следующем:

1. Получен метод, позволяющей дал некоторого класса пространств строить непрерывные отображения из произведения счетной степени пространства X из этого класса и некоторого сепарабельного метрического пространства на пространства вида С (X). •

2. Охарактеризованы компакты Корсона я Эберлейна в терминах многократных Ср над нши. Описано строение пространств вида Ср П(Х) для компакта ЭбердеШш

3. Исследуется связь лпнделефовоств пространства Ср(Х) с норшльностыо пространства X.

4. Описаны топологические свойства счетно компактных подпространств пространства Ср(Х), где X - линделефово Р-или разреженное лщделефово пространство.

5. Получен отрицательный ответ на вопрос Л.В.Архангельского^ о совпадении числа Суслииа и сетевого веса для пространства X такого, что Ср(Х) - лшаделефово ¿-пространство, и описан класс пространств, для которого ответ на этот воцрос положителен.

6. Исследованы лшщелефовы подпространства функциональ-ньк пространств над непрерывнши образами линейно упорядоченных компактов.

*' Практическая и теоретическая ценность. Диссертационная

i.V.Arhaagel'skil, Gen. !ГороХ. and Belat. Жой. Anal, end Algebra. 5. Berlin, 1983, p.24-36.

работа носит теоретический характер. Ее результаты глогут найти применение в топологический алгебре и функциональном анализе, а именно, в Ср-теории и в теории банаховых пространств в слабой топологии. *

Апробация -работы. Результаты диссертации докладывались на научных топологических семинарах и конференциях в Московском, Латвийском и Львовском государственных университетах.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-5].

Структура диссертации. Работа состоит из введения, раздела "Терминология и обозначения", трех глав и списка цитированной литературы. Первая глава содержит три параграфа, вторая и третья - по два. Объем диссертации - 120 страниц машинописного текста. Библиография содеряит 48 названий.

содаш РАБОТЫ

Бо введении обосновывается актуальность тематики, кратко излагается содержание диссертации. Б разделе "Терми- . пологая и обозначения" сформулированы все необходимые определения и введены используемые в диссертации обозначения.

В первой главе описывается конструкция, позволяющая для некоторого класса пространств X представлять Ср2п(Х) в виде непрерывного образа произведения счетной степени пространства X на некоторое сепарабельное метрическое пространство Уп, и приводятся вытекающие отсвда утверждения.

В первом параграфе первой главы развивается техника, с гомощыо которой строятся непрерывные отображения из произве-

делил счетной степени пространства X на пространство опре-' деленного вида в СрП(Х) для четных П:

1.1.3. Теорема. Пусть Х(>. Х^, У - тихоновские пространства, ^ - непрерывное по второму аргументу отображение. Определим по индукции отображения

если А четно,

2

<|>п:УхС(СрП.<(Х^))->С(Ср)П.1(Х0)), если П нечетно, следущим правилом: для

убУ, -ГбСССр^СХД Ь€Ср(X,,),если п четно,

и

у€У, £€С (ХД Ь€Ср П_1(Х0), если п нечетно.

полагаем

Тогда отображения <|>п корректно определены. Если отображение <}>0 раздельно непрерывно, то для каждого нечетного г\ существует такая хаусдорфова топология Тп на пространстве С(Српн(X,)), что ¿X и отобрааение

непрерывно по совокупности аргументов.

1.1.4. Теорема. Пусть X и У - тихоновские пространства, К - компакт и <|>0:УхХ->К - раздельно .непрерывное отображение. Определим отображение

^:УхСсОО-<р(Х)

правилом:

Тогда отображение корректно определено и непрерывно по совокупности аргументов (через Сс(К) здесь обозначено множество всех непрерывных функций на компакте К с компактно-открытой топологией, т.е. банахово пространство С(Ю).

В конце параграфа приводится достаточное условие сюрь-ективности док нечетких п отображений п из теоремы 1.1.3. Зто условие и теорема 1.1.3 представляют собой главные инструменты при доказательстве основных результатов второго параграфа.

Во втором параграфе первой главы доказаны две теоремы, которые здесь мы формулир%^ одновременно:

1.2.1 и 1.2.6. Теорема. Если X - Р-пространство или одноточечная кошттификация дискретного пространства, то дая всякого четного П найдется такое сепарабельное метрическое пространство Уп , что Ср Л(Х) является непрерывным образом произведешь!

• При этом дал всех Р-лространотв X пространство одно и то не.

Из этой теоремы вытекает, что если X - такое Р-прост-ршетво, что для любого сепарабельного метрического У произведение

дгадалефово, то дая всех четных п пространства Срп(Х) тоже линделефовн. В частности, имеет место

1.2.4. Следствие. Если X - разреженное лпнделефово Р-пространство, то для каждого четного П пространство СрП(Х) ливделефово.

Поскольку всякий компакт Корсака вкладывается в Ср над линдеяефовым Р-пространством (и даже разреженным лгодедефо-вш Р-пространством), а всякий компакт Эберлейна - в Ср

над одноточечной компактификацией дискретного пространства; из теорем 1.2.1 и 1.2.6 можно извлечь полезные следствия, касающиеся строения многократных Ср дан компактов Корсова и Эберлейна, чему и посвящен третий параграф. Описано строение многократных Ср для компактов Эберлейна:

1.3.2. Теорема. Пусть X - компакт Эберлейна,а - натуральное число.

а) Если П нечетно, то пространство СрП(Х) является непрерывным образом произведения счетной степени одноточечной компактификации А(т) дискретного пространства мощности Т приТ^иДХ) на сепарабельное метрическое пространство.

б) Если П четно, то пространство Ср П(Х) замкнуто вкладывается в непрерывный образ произведения пространства А (ТУ Ш на сепарабельное метрическое пространство.

Из теоремы 1.3.2 немедленно вытекает следующий результат, который бил получен автором и впоследствии распространен О. Г. Окуневым с компактов Эберлейна на все линделефовы 2.-пространства X, для которых Ср(Х) ливделефово И:

1.3.3. Следствие (см. также7, С,203Ъ. Если X - компакт Эберлейна, то для всякого натурального Г\ СрП(Х) является линделефовым ^-пространством.

Отметим, что следствие 1.3.3 в некотором смысле продолжает известный результат Г.А. Соколова®^: если X - компакт Еорсона, то вое пространства Ср П(Х) линделефовы.

В следующих двух теоремах охарактеризованы компакты "Корсона и Эберлейна в терликах нечегнократных Ср.

1.3.4. Теорема. Для произвольного компакта X следующие

условия равносильны:

а) X - компакт Корсова;

б) для любого нечетного а Ср П(Х) является непрерывным образом произведем счетной степени одноточечной люще-лефикации 1(т) дискретного пространства мощности Т при

на сепарабельное метрическое пространство;

в) для некоторого нечетного а СрП (X) является непрерывным образом произведения пространства ит)^0 для некоторого Т на сепарабельное пространство. .

1.3.5. Теорема. Дяя произвольного компакта X следующие условия равносильны:

а) X - компакт Эбердейна;

б) для любого нечетного А Ср'п (X) является непрерывны!,! образом произведения пространства при Т=\м (X) на сепарабельное метрическое пространство;

в) дая некоторого нечетного п Ср П(Х) является непрерывным образом произведения некоторого компакта на сепарабельное пространство.

Теорему 1.3.4 нельзя усилить, заменив в пункте в} на произвольное линделефово пространство.

Во второй главе рассматривается нереальность, линдала-фовость и свойство быть линделефовыи Е-пространством в функциональных пространствах. В первом параграфе второй главы исследуется взаимосвязь нормальности X и линделефовости Ср(Х). Особое внимание уделяется вопросу, когда из линделефовости пространства СрСр(Х) вытекает нормальность пространства Ср(Х); в частности, доказана

2.1.5. Теорема. Пусть X - компакт, пространство СрСрСХ)

линделефово и для всякого счетного А^Х Ср(А) нормально. Тогда Ср(Х) линделефово.

Для получения основных результатов первого параграфа второй главы вводится

2.1.1. Определею-д. Пусть О - класс топологических, пространств. Через ^ обозначим клас? всех таких пространств X» что для любого счетного подмножества А из X существует такое пространство У и такое непрерывное отображение <£>: что

а) У € О;

б) сужение«^ А - гоыеоморфное вложение;

в) множество (А) замкнуто в У.

Через пу/Хр обозначается класс пространств со счетной сетью.

2.1.6 и 2.1.7. Предложение. Если X - К0-монодитный компакт или линделефово Р-пространство, то

а) Х€ ^пл,Ко;

б) Ср(Х)€(РпадГо.

2.1.8. Предложение. Пусть О - такой класс пространств, что

а) для любого X € О и любого счетного

А<=Х

множество А С-вложено в X;

б) еслиХ<ЕО, то СрСрШеС}. Тогда если X 6 (Р^, то СрСр(Х)€^.

Предложения 2.1.6-2.1.8 позволяют о легкостью доказать следующие теоремы:

2.1.9. Теорема. Если X - Х0-монолитный компакт и для некоторого Г\ Срп(Х) линделефово, то для всякого к < П

пространство Срк(Х) нормально.

2.1.10. Следствие (МА + ICH). Для произвольного компакта X лидделефово^гь пространства Ср n (X) для некоторого нечетного п влечет нормальность всех пространств Срк(Х) дои к < П.

2.1.11. Теорема. Если X - Р-пространство и для некоторого П Cp^fX) ливдалефово, то для всякого к -г П пространство Срк(Х) нормально.

Из последней теоремы и следствия 1.2.4 вытекает

2.1.12. Следствие. Если X - разреженное ливдалефово Р-пространство, то для всех четных П пространства Срп(Х) линделефовн, а дои всех нечетных П - нормальны.

Последние результаты первого параграфа отличается от првдвдунщх тем, что они устанавливают не необходимые, а достаточные условия лщделефовости пространства

2.1.14. Теорема. Пусть X - поточечно ограниченное подпространство пространства Ср (Y) дай некоторого линделефова Р-пространства У. Тогда замыкание X в Cp(Y) - нормальное счетно компактное пространство и Ср(Х) линделефова.

2.1.15. Предложение. Пусть X - счетно компактное подпространство пространства Ср( Y) для некоторого линделефова У-пространства Y. Тогда Ä нормально, Ср(Х) линдалефово и множество X замкнуто в Cp(Y).

2.1.16. Следствие. Пусть X - счетно компактное подпространство пространства Cp(Y) для некоторого разреженного линделефова пространства Y. Тогда множество X замкнуто в Ср( Y) и дня всех нечетных П пространство СрП(Х) линдо-лефово, а для всех четных п - нормально.

Заключения результатов 2.1.14-2.I.16 нельзя усилить утверждением о компактности (или, что то яе самое, о линделе-фовости) X. Кроме того, предложение 2.I.I5 и следствие 2.1.16 не распространяются на псевдокомпактные подпространства.

Второй параграф второй глава посвящен следующему вопросу A.B. Архангельского®5: верно ли, что если С^(Х) - лин-делефово Z-пространство и число Суслика пространства X счетно, то сетевой вес X тоже счеген?

Нетрудно установить, что для компактных X это так. Однако уже в том случае, когда X является непрерывным образом произведения компакта на пространство со счетной базой, ответ на вопрос A.B. Архангельского оказывается отрицательным. Установить это позволяют результаты третьего параграфа первой главы. Тем не менее, для довольно широкого класса пространств, включающего произведения контактов на пространства со счетной базой, при некоторых дополнительных теоретико-мнояественных предположениях счегность числа Суслпна и лин-делефовость Z пространства Ср влечет счетность сетевого веса, а именно, тлеет место следующая теорема:

2.2.1/. Теорема (МА +ПСН). Пусть тихоновское пространство X открыто-замкнуто вкладывается в произведение KxY, где К - компакт и Yп наследственно сепарабельно при всех натуральных П , и пусть Ср(Х) - лшзделефово Z-пространство. Тогда X обладает свойством Суслина в том и только том случае, если сетевой вес X счетен.

Если в формулировке георемы заменить условие Суслина на условие: является прекалибром пространства X, то от

МА + ICH маяно отказаться; более того, верна

2.2.1. Теорема. Пусть тихоновское пространство X открыто-замкнуто вкладывается: в произведение KxY, где К -компакт а Yn наследственно сепарабельно при всех натуральных п, и пусть Ср(Х) - ливдедефово Z-пространство. Тогда Х+ является прекалибром X в том и только том случае, если nwiXHx.

Основной объект третьей главы - класс линейно упорядоченных компактов и и* непрерывных образов. Исследуются лин-деЛефовы подпространства в Ср над такими компактами и топологические свойства сюрлпнделефовых компактов из этого класса, т.е. компактов, вкладывавшихся в Ср над некоторый линделефовым пространством.

Первый параграф третьей главы посвящен доказательству следувщей теореш:

3.1.I. Теорема. Пусть X - линейно упорядоченный сепа-рабельный компакт, F - линдедефово подпространство пространства Ср(Х). Тогда сетевой вес F счетен.

3.1.7. Следствие. Линейно упорядоченный компакт сепарабелен в том и только том случае, если всякое линде-лефово подпространство пространства Ср(Х) обладает счетной сетью.

Во втором параграфе третьей главы теорема 3.1.1 переносится с линейно упорядоченных компактов на их непрерывные образы, откуда немедленно вытекает метризуемость всякого сепарабельного сюрлиндадефова компакта, являющегося непрерывным образом линейно упорядоченного компакта. Естественно возникает вопрос о топологических свойствах произвольных

Сне обязательно седарабелышх) сюрливделефовшс компактов, являющихся непрерывными образами линейно упорядоченных компактов. Этому вопросу и посвящена остальная часть второго параграфа.

3.2.3. Теорема. Пусть X - сюрдиндалефов компакт, являющийся непрерывным образом линейно упорядоченного компакта. Тогда X .KT)-монолитен л имеет счетную тесноту.

Автор выражает глубокую благодарность профессору A.B. Архангельскому, под руководством которого выполнена эта работа.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Сипачева О.В. О лидделефовых Z-пространствах функций и числе Суслина//Вестн. Моск. ун-та. Сер.1. Мат. Мех. 1988. Jf3. С. 18-21.

2. Сипачева О.В. Линделефовы подпространства функциональных пространств над линейно упорядоченными сепарабельными компактами//Общая топология. Пространства и отображения. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1989. С.143-148.

3. Сипачева О.Б. Строение многократных пространств функций в топологии поточечной сходимости дая компактов Эберлей-га/Д1атем. заметки. 1990. 47, ¿S3.- С.91-99.

4. Сипачева О.В. функциональные пространства в топологии поточечной сходимости и лшщелефовость. Моск. гос. ун-т. М., 1990. 46с. Деп. в ВИНИТИ 29.10.90, Г5513-В90. '

5. Sipaoheva O.V.* On the topological structure of funotioa □paoea with the topology of pointwise convGrgence//Inte-rin Hsport of the Jra&ue Topol. Symp, 19B7. 2,'. 1.7.