Некоторые применения вещественно факторных отображений в теории топологических пространств тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ОСОБЕННОСТИ ТЕРМИНОЛОГИИ И ОБОЗНАЧЕНИЯ. . . .14,

ГЛАВА I. Вещественно факторные отображения и

Sj. -пространства

§ I.I. Общие свойства вещественно факторных отображений

- • j

§1.2. -факторпространства и : F -тривиальные отображения.

§ 1.3. -пространства.

§ 1.4. Функциональная теснота произведений

ГЛАВА 2. Об одном способе построения примеров

М-эквивалентных пространств

§ 2.1. Вещественно факторные отображения и топологические группы

§ 2.2. Основная теорема.

§ 2.3. Примеры М-эквивалентных пространств

ГЛАВА 3. Об операции, двойственной операции хьюиттовского расширения

§ 3.1. Операция функционального "2Г-расслабления

§ 3.2. Двойственность операций хьюиттовского

Z -расширения и функционального Z -расслабления

Понятия факторного отображения и факторпространства относятся к числу фундаментальных понятий общей топологии. Возникшие :;уже на начальном этапе развития этой области математики в работах П. С. Александрова [24] и P*JI. Мура [43] , уточненные и обобщенные Р. Бэром и Леви[27] , они прочно вошли в ее арсенал. Операция перехода к факторпространству нашла применение в большом количестве топологических конструкций, наряду с операциями тихоновского произведения и перехода -к подпространству. Изучению класса факторных отображений и различных его подклассов - классов открытых, замкнутых, совершенных и других отображений - посвящена значительная часть современной теории непрерывных отображений.

В ряде случаев, однако, переход к факторпространству ограничен тем, что эта операция выводит за пределы класса тихоновских пространств. Такое может произойти даже если рассматриваемое разбиение тихоновского пространства содержит единственный неодноточечный замкнутый элемент. Между тем, требование тихоновости рассматриваемых пространств стало стандартным в большинстве разделов общей топологии, во многом благодаря, работам А. Вейля [5l] и А.Н. Тихонова [491 , которые показа-: ли, что класс тихоновских пространств совпадает с классом ра-вномеризуемых пространств и с классом пространств, имеющих ха-усдорфовы компактные расширения. С другой стороны, в рассуждениях, связанных с факторными отображениями, основную роль часто играет: следующее "свойство деления": если й, : X —* Y факторное отображение, и J : Y—>2 ~ такое отображение^ что композиция jofyi непрерывна (отображения с этим свойством мы будем называть К -непрерывными), то отображение f непрерывно. Как известно, это "свойство деления" характеризует факторные отображения в категории всех топологических пространств и непрерывных отображений; как выясняется, в категории вполне регулярных пространств это свойство выделяет более широкий класс отображений. Отображения, принадлежащие этому классу, называются вещественно факторными, или, коротко, R -факторными. Нетрудно установить, что отображение -fi R -факторно тогда и только тогда, когда каждая вещественнозначная fl -непрерывная функция непрерывна, что и объясняет появление символа R в соответствующем термине. Отметим, что иногда вещественно факторные отображения именуются просто факторными, при этом оговаривается, что все рассуждения проводятся в категории вполне регулярных пространств.

Понятие вещественно факторного отображения позволяет определить в классе вполне регулярных пространств операцию, аналогичную классической операции перехода к факторпространст-ву: если Y - разбиение пространства X , и к : Х-Y -каноническая проекция, то на множестве Y существует единственная вполне регулярная топология, относительно которой отображение i R -факторно. [39] ; пространство Y » наделенное этой топологией, называется R -факторпространством пространства X . В,общем случае топология R -факторпрост-ранства не является тихоновской: как показал Дк. Исбелл [37j| , произвольное топологическое пространство 2 является образом при непрерывном факторном (даже открытом) отображении некото рого наследственно паракомпактного нульмерного в смысле dim пространства; если взять в качестве пространства 2 регулярное пространство, на котором каждая непрерывная вещественная функция постоянна (см,, например, [.35] ), то R -фактортопо-логия на множестве 2, , порожденная таким отображением, окажется антидискретной. Из приведенного примера следует, что на пространстве разбиения не всегда можно выбрать тихоновскую топологию, относительно которой отображение проектирования непрерывно, даже если соответствующая фактортопология регулярна.

Настоящая диссертационная работа посвящена изучению класса непрерывных вещественно факторных отображений и применениям операции перехода к R -факторпространству в теории кардинальных инвариантов, теории свободных топологических групп и теории пространств непрерывных функций в топологии поточечной сходимости.

Первая глава диссертации посвящена исследованию общих свойств класса R -факторных отображений и их связей с классами , ^ -пространств [39} . В первом параграфе этой главы изучается широта класса R -факторных отображений, его /устойчивость относительно операций композиции, сужения, продолжения и перехода к прообразу. Результаты этого параграфа являются базовыми для дальнейших применений. Во втором параграфе рассматривается операция перехода к Я -факторпространству; особое внимание уделяется случаю разбиения, содержащего единственный неодноточечный элемент - именно этот случай играет основную роль в конструкциях второй главы. Третий параграф содержит применения полученных в первом параграфе результатов к изучению классов ^ -пространств. При этом пространство X называется -пространством, где (Р - некоторый класс топологических пространств, инвариантный относительно перехода к непрерывным образам, если каждая вещественная функция на пространстве X , непрерывная на каждом подпространстве, принадлежащем классу Ф , непрерывна и на всем X . Основное направление этого параграфа - изучение классов $$ -пространств и пространств, функциональная теснота которых не превосходит фиксированного кардинала Т - -пространств, соответствующих классам & компактных пространств и пространств мощности, не большей Т . ,В этом параграфе получены теоремы о наследуемости этих классов и их поведении при переходе к прообразу:

1.3.4) Теорема, Если U - открытое подпространство тихоновского пространства X > т0 "to(U)^"to(X)

1.3.5) Теорема. Открытое подпространство тихоновского -пространства является $$ -пространством.

1.3.16) Теорема. Пусть р : Y ~ открыто-замкнутое отображение тихоновского пространства X на Т\ -пространство Y • Тогда -ЫХЩир[ЫУ) .Ыр"1^)} в Y}.

1.3.17) Теорема. Пусть р : - открытое совершенное отображение тихоновского пространства X ftf " пространство Y » удовлетворяющее аксиоме отделимости Ti Тогда X ~ "прострэ-нств0

В , этом же параграфе построены примеры R -факторных отображений, свидетельствующие об окончательности в ряде отно

- 8 шений результатов первого параграфа.

Последний, четвертый параграф первой главы посвящен изучению поведения функциональной тесноты при перемножении двух пространств. Здесь получены достаточные условия того, что функциональная теснота произведения не превосходит наибольшей из функциональных теснот сомножителей:

1.4.2) Теорема. Пусть У , Y ~ тихоновские пространства, причем пространство X сильно X -компактно. Если

ЫЖт . ШНт , «oi.Of'YKt .

1.4.4) Теорема. Если пространство X хаусдорфово и локально компактно, то для каждого тихоновского пространства Y выполнено: 4: t, СХ у VJ = (у) 0 .

В этом же параграфе демонстрируется на примере, что функциональная теснота может возрастать при операции произведения:

1.4.7) Теорема. Существуют -пространства Фреше-Урысона У и Y » каждое из которых содержит единственную неизолированную точку, причем пространство X счетно, а пространство Y имеет мощность континуума, функциональная теснота произведения которых несчетна.

Теоремы (I.3.I6), (1.4.4) и (1.4.7) принадлежат к числу, основных результатов диссертации.

Построенный в теореме (1.4.7) пример позволяет решить задачу из теории М-эквивалентных пространств:

1.4.8) Теорема. Существуют М-эквивалентные тихоновские пространства ' У , Y и тихоновское пространство такие, что пространства X * 2 и Y * И не -эквивалентны.

Теорема (1.4.8) представляет интерес в связи со следующей теоремой Д. С. Павловского [2lj : если Xi » Xj. » Vj. »

Ya, ~ полные в смысле Дьедонне тихоновские пространства, произведение которых является ft -пространством, причем пространства Xl и Y£ при с = 1,2 ^ -эквивалентны, то произведения Xiy Хд и Yx*Ya £ -эквивалентны.

Во второй главе диссертации операция перехода к R -факторпространству рассматривается в связи с теорией М-экви-валентных пространств. Напомним, что тихоновские пространства У и Y называются М-эквивалентными, если их свободные топологические группы F(X) . F(Y) (в смысле А.А. Маркова

1б] ) топологически изоморфны. В главе 2 предлагается новый метод построения примеров М-эквивалентных пространств, обобщающий известный пример М.И. Граева [I5J .

Первый параграф второй главы содержит предварительные результаты о М-эквивалентных отображениях (отображения fl^ :

Yi » ^д : ^а""3" Ya. тихоновских пространств называются М-эквивалентными, если существуют топологические изоморфизмы : F(Y1)-J» F (Ya) свободных топологических групп F(Xi), F(X*) , F(Yi) »Р(Чя) » такие, что здесь F(fti) , - гомоморфизмы свободных топологических групп, продолжающие отображения, , fl/д, ). Главным результатом этого параграфа является следующее утверждение:

2.1.6) Теорема. Пусть Xi » Х^ , Yi » Ya. т. тихоновские пространства, {i* : Xj;-* Yx » : Хд.""* Ya. "

R -факторные отображения. Отображения и hа. Мтэквива-лентны тогда и только тогда, когда существует топологический изоморфизм t : FlXil^RXa) такой, что .i

ЛееР(Яд) ■.,

Представляет интерес также следующая характеризация R -факторных отображений:

2.1.3) Теорема. Пусть ?ь : )(-*» Y - непрерывное отображение тихоновского пространства X на тихоновское пространство Y • Отображение ft, R -факторно тогда и только тогда, • когда отображение : F(X)~*F(Y) факторно.

Любопытно, что факторные отображения не допускают подобной характеризации: существуют М-эквивалентные непрерьшные отображения tyii и Яд одно из которых открыто-замкнуто, а другое ,не факторно (пример (2.3.5)).

Второй параграф второй главы содержит формулировку и доказательство основной теоремы (2.2.3):

2.2.1) Определение. Две ретракции ^ , пространства X называются параллельными, если выполнены соотношения: ■ Ъл. » V^a = • ретракта » пространства X называются параллельными, если они являются образами пространства X ПРИ параллельных ретракциях. .

2.2.3) Теорема. Пусть Ki , \чд. ~ параллельные ре-тракты тихоновского пространства X » пространства Yi =

- X/Ki . УА=Х/К* . и h : X-Yi , Ju:

Х-3» Ya " проекции. Тогда отображения , Яд, М-эквива-лентны.

Заметим, что пространства Vi » Y^ в формулировке теоремы (2.2.3) - R -факторпространства пространства X относительно соответственно Kj. - и -тривиального разбиений

- II являются тихоновскими пространствами в силу предложения (1.2.4).

В третьем параграфе второй главы теорема (2.2.3) применена к построению примеров М-эквивалентных пространств, демонстрирующих несохранение отношением М-эквивалентности ряда важных топологических инвариантов. Следующие две теоремы дают отрицательные ответы на три вопроса, поставленных А.В. Архангельским в статьях [4] , [253 :

2.3.1) Теорема. Существуют тихоновские М-эквивалентные пространства X и такие, что а) пространство . X бисеквенциально, б) пространство Y не является 6 -пространством и имеет несчетную тесноту.

2.3.II) Теорема. Существуют тихоновские М-эквивалент-ные пространства X и Y такие, что а) пространство X не нормально, б) пространство Y наследственно нормально.

Кроме того, в этом параграфе приводятся примеры того, что отношение М-эквивалентности не сохраняет наследственную нор. мальность и наследственную паракомпактность в классе компактных пространств (теорема (2.3.7)), коллективную нормальность и счетность экстента чв классе псевдокомпактных пространств (теоремы (2.3.12), (2.3.14)). Теорема (2.2.3) и примеры, построенные в третьем параграфе этой главы, принадлежат к числу основных результатов диссертации.

В третьей главе диссертации операция перехода к R -факторпространству используется для исследования пространств непрерывных функций в топологии поточечной сходимости: строится операция, двойственная в смысле функтора Ср операции перехода к расширению Хьюитта. В первом параграфе этой главы определяется операция функционального ^ -расслабления тихоновского пространства X и изучаются ее основные свойства. Во втором параграфе доказывается двойственность в смысле пространств функций в топологии поточечной сходимости операции

J^. и операции л)? , естественно обобщающей для несчетных кардиналов Т операцию 'V хьюиттовского расширения:

3.2.2). Теорема. Для каждого тихоновского пространства X пространства Ср ("^r X) и £>г(Ср(Х)) гомеоморфны.

3.2.10) Теорема. Для каждого нормального пространства X пространства Ср СХ) и Ср ( £>z (У)) гомеоморфны.

В формулировке теоремы (3.2.10) нельзя опустить требование нормальности пространства X (пример (3,2,11)).

Утверждения теорем (3.2.2) и (3.2.10) принадлежат к числу основных результатов диссертации.

Характеристика хьюиттовского расширения пространства Ср (X) в терминах X -непрерывных функций, неявно содержащаяся в формулировке теоремы (3.2.10), позволяет построить следующий пример, дающий отрицательный ответ на вопрос, по-г ставленный М.О. Асановым и Н.В. Величко [13 J : верно ли, что если пространство X -компактно, то каждое замкнутое ограниченное подпространство пространства Ср(Х) компактно?

Пример (2.3.14) показывает, что такое подпространство может быть бесконечно и дискретно.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах

- 13 l7] - [20] . Они докладывались на семинарах по общей топологии в Московском университете, на всесоюзных топологических чтениях памяти академика П.С. Александрова в апреле 1984 г., а также .на международной конференции выпускников МГУ по спет циальности "геометрия и топология" в июне 1984 г.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Александру Владимировичу' Архангельскому за руководство работой и постоянные внимание и поддержку.

- 14

ОСОБЕННОСТИ .ТЕРМИНОЛОГИИ ,И ОБОЗНАЧЕНИЯ

Всюду в тексте диссертации символы л/, R » X значают соответственно множество натуральных чисел, вещественную прямую и стандартный отрезок [0,lj в стандартной топологии. Функциями называются отображения в R .

Два подмножества А » В пространства X функционально отделимы,если существует непрерывная функция vf на пространстве X такая, что , j^l} . Пространство X функционально хаусдорфово, если каждые два различных одноточечных подмножества пространства X функционально отделимы. Пространство X вполне регулярно, если каждое замк-т нутое подмножество прортранства X функционально отделимо от каждого непересекающегося с ним одноточечного множества. Класс тихоновских пространств составляют вполне регулярные Ц -пространства.

Подмножество А пространства X ограничено в X » если каждая непрерывная на X функция ограничена на множестве А • Множество В^Х Ь -замкнуто в X , если его пересечение с каждым замкнутым ограниченным в X множеством замкнуто. Пространство X называется "в -пространством, если каждое $ -замкнутое множество в нем замкнуто.

Пространство X компактно. если каждое его открытое покрытие содержит конечное прдпокрытие. Компактами называются хаусдорфовы компактные пространства. Расширением пространства X называется любое пространство, содержащее пространство X в качестве плотного подпространства. Символом ji X обозначается стоун-чеховское компактное расширение, символом

V X - расширение Хьюитта тихоновского пространства X [Зб] , [31] .

Замыкание и внутренность множества А в пространстве X обозначаются соответственно С А 3 ^ , I rt"t у А . В случае, когда объемлющее пространство X зафиксировано, соответствующий индекс опускается. Подпространство А пространства X С-вложеноt если каждая непрерывная функция на А совпадает с сужением на А некоторой непрерывной функции на пространстве X .

Символами Т , Л всюду обозначаются бесконечные кардиналы. Тихоновское пространство X называется сильно Т -компактным, если замыкание в X каждого множества мощности, не большей Т , компактно. Множество J? имеет тип (г'Г в, пространстве X » если оно является пересечением не более, чем X открытых в X множеств. Верхним X -замыканием .подмножества А пространства X называется множество [AJ ^ = = ^СС € X : не существует множества £ типа в X такого, -что 0C€PCX\AJ . Нижним f -замыканием множества Д в пространстве X называется множество [AW = U[Ce>3x ' bcz А , • Множество А Г замкнуто в пространстве X » если оно совпадает со своим нижним -замыканием (см. £8] ).

Кардинальнозначная функция Ф на классе топологических пространств называется кардинальным инвариантом, если для каждых двух гомеоморфных пространств X и У Ф(^) = ЯНУ) • Приведем список кардинальных инвариантов, используемых в диссертации:

Плотность пространства

Спрэд пространства X

Число Линделефа пространства X

- 16

Мощность пространства X | Х|

Вес пространства < X u*(X) = min$Jfll : (ft база пространства Х] . Сетевой вес пространства Y\ U?" (X ) = 1гп L in i№l : 13Ы -сеть пространства X} .

Х d (X) = 1А1 : А плотное подпространство пространства х}.

5 (X) =4up[lAI : А дискретное подпространство пространства X } . i(Y) = mm { z : каждое открытое покрытие пространства X содержит открытое подпокрытие мощности, не большей . ■Цх) = Wlw [z ' каждое

-замкнутое в X множество замкнуто }.

Функция If на пространстве X называется У .-непрерывной, если ее сужение на каждое подпространство Д пространства X такое, 4TO.IA14Z' , непрерывно [в] . Функциональная теснота про- te (X) = : странства X [в] каждая ^ -непрерывная функция на У непрерывна J . Функция If на пространстве X называется строго Т -непрерывной, если ее сужение на каждое подпространство Д пространства X такое, что |А| 7Г » совпадает с сужением

Теснота пространства X на А некоторой непрерывной на X функции [25] ч Слабая функциональная теснота .пространства X [25] -trv, (У) = ГПиа { г : каждая строго -непрерывная функция на "X непрерывна J .

Число Хьюитта пространства X [25] 1 М = miYl [ Z :

Xj •

Число Хьюитта определено только для тихоновских пространств X . Пространство X называется полным в смысле .Хьюитта, если <\ (X) = Но (см. [44] , [25J ).

Каждому кардинальному инварианту сопоставляются кардинальные инварианты - подпространство пространства Х}иФ*(Х) = :

1€Л/}.

Пространство X называется У -монолитным, если для каждого подпространства Y пространства X из неравенства d ( Y) ^ X следует неравенство П СО ( Y) ^ X . Тихо-нрвское пространство X Т -устойчиво, если для каждого тихоновского пространства Y , являющегося непрерывным образом пространства X и допускающего уплотнение на тихоновское пространство веса, не большего 77 , 10.C0r(Yj^'Zr М » [ю] .

Под факторными, открытыми, замкнутыми, совершенными, бифакторными, псевдооткрытыми отображениями понимаются непрерывные отображения на из соответствующего класса . Уплотнениями называются непрерывные биективные отображения.

- 18

Пространство X называется бисеквенциальным, если оно является образом при бифакторном отображении некоторого пространства с первой аксиомой счетности [4l] .

Для каждого семейства -Л топологических пространств символом Ф -Л обозначается свободная дизъюнктная сумма семейства J . Если = { X , Y } » сУмма ® обозначается У ® Y . Если кЛ - семейство подпространств фиксированного пространства X » то естественным отображением пространства Ф Л в пространство X называется отображение , сужение которого на каждое пространство А GЛ совпадает с вложением А X

Символами

С, 00 и FCX) обозначаются пространство непрерывных функций в топологии поточечной сходимости [53 и свободная топологическая группа в смысле А.А. Маркова [l6j тихоновского пространства X • Тихоновские пространства X и Y называются М-эквивалентнымиt если топологические группы Р(У) и F(Y) топологически изоморфны, -I -эквивалентными, если пространства , Cp(Y} изоморфны как линей-т ные топологические пространства, -эквивалентными, если пространства СРСХ) и С\) гомеоморфны. Отметим, ,что из М, -эквивалентности двух пространств следует их "Ь -эквивалентность [б J .

Во всех рассматриваемых в диссертации группах единица обозначается символом в , умножение - точкой, которая как правило опускается. Изоморфизмом групп , всегда называется изоморфизм на. Топологическим изоморфизмом топологических групп называется изоморфизм, являющийся одновременно гомеоморфизмом. Автоморфизмами группы 6~ именуются изоморфизмы G" на себя.

- 20

1. Архангельский А.В, Аппроксимация теории диадических;бикомпактов. - Докл. АН СССР, 1969, 184 : 4, с. 767 - 770.

2. Архангельский А.В, Бикомпактные множества и топология пространств. - Труды Мое. матем. о-ва, 1965, 13, с. 3,-55.

3. Архангельский А.В. Некоторые типы факторных отображений и связи между классами топологических пространств. - Докл. АН СССР, 1963, 153 : 4, с. 743 - 746.

4. Архангельский А.В. О линейных гомеоморфизмах пространств функций. - Докл. АН СССР, 1982, 264 : 6, с. 1289 - 1292.

5. Архангельский А.В. О некоторых пространствах, встречакзщихся в функциональном анализе, - Успехи матем. наук, 1976,,31 : 5, с. 17 - 32.

6. Архангельский А.В. О соотношениях между инвариантами топологических групп и их подпространств. - Успехи матем. наук, 1980, 35 : 3, с. 3 - 22.

7. Архангельский А.В. Спектр частот топологического пространства и операция произведения. - Труды Мое. матем, о-ва, 1979, 40, с. 171 - 206.

8. Архангельский А.В. Строение и классификация топологических пространств и кардинальные инварианты. - Успехи матем. наук, . 1978, 33 : 6, с. 29 - 84.

9. Архангельский А. В. Теорема о X, -аппроксимации и функциональная двойственность. - Матем. заметки, 1982, 31 .: ,3, с. 421 - 432.

10. Архангельский А.В. Шакторизационные теоремы и пространства - 87 -функций: устойчивость и монолитность. - Докл. АН СССР, 1982, 265 ; 5, с. 1039 - 1043.

11. Архангельский А.В., Пономарев В.И. О диадических бикомпактах, - Докл. АН СССР, 1968, 182 : 5, с. 993 - 996.

12. Архангельский А.В., Пономарев В.И, Основы общей топологии в задачах и упражнениях. М.: Наука, 1974.

13. Асанов М.О,, Величко Н.В, Компактные множества в Ср (X/ ,

14. Величко Н.В. О слабой топологии пространств непрерывных функций. - Матем. заметки, I98I, 30 : 5, с. 703 - 712.

15. Граев М.И. Свободные топологические группы, - Известия АН СССР, сер, матем,, 1948, 12 : 3, с, 279 - 324, Ifi, Марков А,А, О свободных топологических группах, - Известия АН СССР, сер, матем., 1945, 9 : I, с, 3 - 64,

16. Окунев О.Г, Об одном методе построения примеров М-экви- валентных пространств. - Вестник Мое. ун-та, сер. матем,, механ,, 1985, с, 106.

17. Окунев О.Г. Об одном способе построения примеров М-эк- вивалентных пространств. - Рукопись депонирована в ВИНИТИ 8 янв. 1985 г., W 240 - 85 Деп.

18. Окунев О.Г, Функциональная теснота и операция произведения, - Рукопись депонирована в ВИНИТИ 8 янв, 1985 г,, W 241 - 85 Деп,

19. Окунев О.Г. Хьюиттовские расширения и пространства функций. - В сб.: "Кардинальные инварианты и отображения топологических пространств", Удм, гос. ун-т, Ижевск, 1984, с, 78 - 79.

20. Павловский Д.С. О пространствах, имеющих линейно гомео- - 88 -морфные пространства непрерывных функций в топологии поточечной сходимости. - Успехи матем. наук, 1982, 37:2, с. 185 - 186.

21. Пономарев В. И. Об открытых отображениях нормальных пространств. - Докл. АН СССР, 1959, 126 : 2, с. 716 - 718.

28. A^icKa^eE. /A cfulniup^e cfuotUKi йие^Ь,-