О некоторых кардинальнозначных инвариантах непрерывных отображений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Ушаков Андрей Владимирович

О НЕКОТОРЫХ КАРДИНАЛЫЮЗНАЧНЫХ ИНВАРИАНТАХ НЕПРЕРЫВНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ

(01.01.04 - ГЕОМЕТРИЯ И ТОПОЛОГИЯ)

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор В.А. Пасынков

Москва - 1999

СОДЕРЖАНИЕ

Введение 3 стр.

§0. Предварительные сведения 27 стр.

§1. Аддиционная проблема для отображений 36 стр.

1. Основные определения и результаты. 36 стр.

2. Доказательства. 38 стр.

§2. Сепарабельные отображения метризуемых

пространств 50 стр.

1. Определение сепарабельного отображения. 50 стр.

2. Сепарабельные и финально компактные отображения. Свойство Суслина для отображений. 63 стр.

3. Послойно сепарабельные отображения. 70 стр.

4. Примеры сепарабельных отображений. 74 стр.

§3. Слабо сепарабельные отображения 78 стр.

1. Недостатки старого определения. 78 стр.

2. Новое определение. 81 стр.

§4. Кардинальнозначные инварианты бикомпактных

отображений 95 стр.

1. Характер и псевдохарактер для отображений. 95 стр.

2. Бикомпактные над точкой отображения. 108 стр.

3. Теснота и секвенциальность отображений. 121 стр.

Список литературы 130 стр.

-3-ВВЕДЕНИБ

Одной из основных задач общей топологии является выделение и исследование топологических инвариантов - свойств пространств, сохраняющихся при гомеоморфизмах. Они позволяют дать классификацию и изучить внутреннее строение топологических пространств. При этом особенно большую роль играют кардинальнозначные инварианты, поскольку они наиболее созвучны теоретико-множественной природе общей топологии. С помощью кардинальнозначных инвариантов выделяются важнейшие классы пространств: бикомпакты, финально компактные пространства, пространства со счетной базой и так далее. Кардинальнозначные инварианты широко используются основными методами исследования топологических пространств: методом покрытий, методом спектров, методом отображений. Наконец, кардинальнозначные инварианты часто являются объектами глубоких теорем, выражающих строение и свойства тех или иных пространств.

В последнее время многие общетопологические понятия и факты были обобщены со случая пространств на случай непрерывных отображений. При этом пространство понимается как простейшее непрерывное отображение этого пространства в одноточечное пространство. В частности, для отображений определены аналоги некоторых кардинальнозначных характеристик пространств. Так, к числу фундаментальных понятий теории непрерывных отображений относятся понятия характера, веса, сетевого веса отображения. Они занимают центральное место во многих утверждениях - достаточно сослаться на доказанную Б.А.Пасынковым теорему о вложении тихоновского отображения в проектирование частичного произведения со слоями-отрезками. По мере

развития послойной общей топологии растет число таких утверждений, и пополняется список кардинальнозначных инвариантов отображений, обобщающих соответствующие характеристики пространств.

Настоящая диссертация посвящена изучению взаимосвязи между уже известными и новыми, определяемыми в этой работе, кардинальнознач-ными инвариантами отображений. Большая часть из полученных результатов распространяет на отображения известные утверждения, касающиеся пространств, что свидетельствует о возможности постепенного превращения группы разрозненных кардинальнозначных инвариантов непрерывных отображений в единую систему.

Перейдем к изложению основных результатов диссертации. Все необходимые определения и факты, относящиеся к теории непрерывных отображений, взяты в основном из работ [17], [19] и собраны в §0. Этот вспомогательный параграф содержит также используемые в работе стандартные обозначения. Основная часть диссертации состоит из четырех параграфов.«

В §1 даны достаточные условия совпадения веса (/—функционального веса) и сетевого веса непрерывного отображения. Доказанные здесь результаты позволяют решить проблему, аналогичную аддиционной' проблеме для пространств.

Формулировка аддиционной проблемы восходит к мемуару П.С. Александрова и П.С. Урысона "Бикомпактные топологические пространства". Изначально она звучала следующим образом: "Возможно ли представить неметризуемый бикомпакт в виде суммы двух пространств, каждое из которых есть пространство со счетной базой?" Отрицатель-

ный ответ на этот вопрос дал Ю.М.Смирнов [21]. Он доказал, что всякий бикомпакт, являющийся суммой счетного множества пространств со счетной базой, сам обладает счетной базой. В связи с этим возникает следующая задача: "Пусть топологическое пространство X есть сумма мощности < т своих подпространств, каждое из которых имеет вес

< т. Можно ли тогда утверждать, что и само пространство X имеет вес

< г?" A.B. Архангельский доказал справедливость такого утверждения для бикомпактных пространств [1], а затем для локально бикомпактных и полных по Чеху пространств [2]. Позднее он определил более широкий класс перистых пространств, для которых остается справедливым сформулированное выше утверждение [3]. Большую роль в достижении этих результатов сыграло введенное им понятие сети и сетевого веса пространства, после чего решение аддиционной проблемы получается как следствие из теоремы:

Теорема 1 ([1], [2], [3]). Для бикомпактных, локально бикомпактных, полных по Чеху, а в общем случае для перистых пространств сетевой вес и вес совпадают.

В диссертации предложен такой вариант распространения понятия перистости на случай отображений:

Определение 1.1. Пусть отображение / : X —> У есть подотображе-ние отображения /' : X' У. Счетное семейство V покрытий пространства X открытыми в X' множествами назовем оперением отображения f в отображении /', если для любой точки х € X выполнено соотношение

П{7(;г) : 7 G V) С X.

(Под у(х) понимается звезда точки х относительно покрытия 7, то есть у(х) = и{Г Е у : х £ Г}.)

Определение 1.2. Отделимо бикомпактифицируемое отображение / назовем р—отображением (или перистым отображением), если оно обладает оперением в своей максимальной хаусдорфовой бикомпактифи-кации х/.

Введенный таким образом класс р—отображений обобщает как класс р—пространств, так и класс полных по Чеху отображений [19].

Основным результатом первого параграфа является

Теорема 1.4. Пусть / : X —► У есть р— отображение и пги(/) < т. Если пространство У удовлетворяет условию

(*)г: для любого подмножества Z пространства У в любое покрытие Z открытыми в У множествами можно вписать т—дизъюнктное покрытие Z открытыми в У множествами, то

ги(Л < Т{ и значит = пгу(/)). Если еще отображение / - тихоновское, то

W(f) < т( и значит И/(/) = «;(/) = пги(/)).

Отметим, что кроме указанных результатов Архангельского, теорема 1.4 обобщает одно утверждение Л.Ю.Бобкова [12], который в тех же предположениях доказал справедливость равенства и'(/) = пи)($) для полного по Чеху отображения /. Теорема 1.4 позволяет дать решение аддиционной проблеме для отображений:

Определение 1.3. Будем говорить, что отображение / : X —► У является суммой своих подотображений /а : Ха —► У, если = X.

а

Теорема 1.5. Пусть р—отображение / : X У есть сумма мощности не больше т своих подотображений /а : Ха —У, каждое из которых имеет вес ги(/а) ке больше т. Если пространство У удовлетворяет условию (*)г, то вес ги(/) ке превосходит т. Если еще отображение / -тихоновское, то и вес не превосходит г.

В конце §1 построен пример 1.14, показывающий, что без условия (*)г утверждение теоремы 1.4 не верно, даже если считать само отображение / бикомпактным. Вообще из результатов диссертации можно сделать вывод, что ограничение (*)г (или его аналоги) необходимо для изучения многих "глобальных" инвариантов непрерывных отображений.

В §2 изучается класс сепарабельных отображений, который был определен Р.Б. Бешимовым в его диссертации [11]. В частности решается вопрос: "Когда сепарабельное отображение метризуемого пространства обладает счетной базой?"

Пространства счетной плотности, называемые сепарабельными, составляют важнейший и очень часто встречающийся класс топологических пространств. Сепарабельность можно иначе определять как свойство пространства иметь счетную 7Г—сеть, состоящую из одноточечных множеств. Это наблюдение позволило Бешимову так сформулировать определение сепарабельного отображения:

Определение 2.1. Подмножество С множества X называется однозначным относительно отображения / : X —► У, если для любого у £ У множество б? П /~1у состоит не более чем из одной точки.

Определение 2.2. Отображение / : X —> У называется сепарабельным, если оно имеет тг—сеть, состоящую из счетного числа однозначных относительно / множеств.

Справедливы тогда следующие утверждения, которые, по моему мнению, должны выполняться при любом варианте определения сепарабельности отображения:

1) Непрерывное отображение сепарабельного пространства сепарабель-но;

2) Отображение со счетной базой сепарабельно;

3) Отображение / : X —► У, ограничение /' : X' —► У которого на всюду плотное в X множество X' сепарабельно, само является сепарабельным.

В работе доказано еще несколько простых свойств сепарабельных отображений, демонстрирующих достоинства выбранного определения сепарабельности.

Утверждение 2.3. Отображение / : X —► У сепарабельно тогда и только тогда, когда оно имеет счетную ж—сеть.

Утверждение 2.5. Прообраз пространства со счетной сетью при сепарабельном отображении является сепарабельным пространством.

Утверждение 2.7. Если отображение f : X —» У сепарабельно, а X : f —► д есть морфизм $ на д : Ъ У, то отображение д также сепарабельно.

Но прообраз сепарабельного пространства при сепарабельном отображении не обязательно является сепарабельным пространством (пример 2.4). Далее, в примере 2.6 построены такие два сепарабельные отображения, послойное произведение которых не сепарабельно. Наконец, к недостаткам определения 2.2 следует отнести и тот факт, что слои сепа-

рабельного отображения могут не быть сепарабельными. Установлено, с другой стороны, что невозможно дать определение сепарабельности отображения так, чтобы устранить указанные недостатки и не нарушить при этом ни одно из свойств 1)-3).

Одним из основных утверждений, касающихся сепарабельных пространств является

Теорема 2 (см.,например, [9]). Для метризуемого пространства X следующие условия эквивалентны:

(1) X сепарабельно;

(2) X финально компактно;

(3) X удовлетворяет условию Суслина\ (.4) X имеет счетную базу.

ч

Наша задача заключается в обобщении этого утверждения на отображения. В своих работах Б.А. Пасынков предложил несколько вариантов определения метризуемого отображения. Мы ограничимся исследованием непрерывных отображений метризуемых пространств, которые являются метризуемыми в любом смысле отображениями. Построенные в диссертации примеры показывают, что из сепарабельности непрерывного отображения / : X —► У метризуемого пространства X, вообще говоря, не следует наличие у / счетной базы (даже если пространство У метри-зуемо и сильно паракомпактно или бикомпактно).

Пример (2.8) отображения / : X —» У метризуемого пространства X на бикомпактное пространство У, такого что / не имеет счетной базы, но его ограничение /' : X' —► У на всюду плотное в X множество X' есть отображение со счетной базой.

Пример (2.9) отображения f : X —> У метризуемого простран-

ства X на метризуемое сильно паракомпактное пространство У, такого что / не имеет счетной базы, но его ограничение /' : X' —» У на всюду плотное в X множество X' есть отображение со счетной базой.

Эти примеры позволяют утверждать, что при любом определении сепарабельности, для которого выполнены условия 2) и 3), отображение / из примера 2.8 или 2.9 сепарабельно, но не имеет счетной базы.

Однако, утверждение (1) =Ф- (4) теоремы 2 можно распространить на отображения. Именно справедлива

Теорема 2.12. Пусть / : X —► У есть сепарабельное отображение метризуемого пространства X в метризуемое пространство У. Тогда существует счетное семейство Ы открытых в X множеств, такое что для любой точки Хо £ X и любой ее окрестности Охо найдется открытое в У множество V и элемент \У € Ы со свойствами:

х0£\¥ и%ф \¥С\Г1У СОХ0.

Если в этой теореме пространство У одноточечное, то получаем утверждение о том, что из сепарабельности метризуемого пространства следует наличие у него счетнй базы. В связи с теоремой 2.12 доказано еще такое утвержденение

Теорема 2.14. Пусть / : X —> У есть сепарабельное отображение метризуемого пространства X в метризуемое пространство У. Тогда существует счетное семейство V открытых в X множеств, такое что для любой тючки хо £ X и ее окрестности 0Хо найдется окрестность II/Хо точки /хо в У и элемент ТУ £ V со свойством:

Общий результат о равносильности условий наличия счетной базы и сепарабельности для отображений справедлив лишь при сильных дополнительных предположениях.

Определение 2.17. Пространство X называется просеянным, если в каждое его открытое покрытие можно вписать <т—дизъюнктное открытое покрытие.

Определение 2.21. Говорят, что пространство X локально имеет счетную сеть, если для любой точки х Е X найдется такая окрестность Ох, что подпространство Ох пространства X есть пространство со счетной сетью.

Утверждение 2.23. Пусть отображение / : X —» У сепарабель-

но, пространство X метризуемо, а пространство У локально имеет счетную сеть и просеяно. Тогда / имеет счетную базу.

Формулируемые далее результаты обобщают на отображение утверждение (2) (4) теоремы 2. При этом используются определения финальной компактности отображений, предложенные А.В.Домановой [14].

Определение 2.15. Тихоновское отображение / : X —> У называется финально компактным (линделефовым). если

(2.1) для любых открытого покрытия 7 пространства X и точки у 6 У найдется такая окрестность Оу точки у, что из 7 можно выделить счетное покрытие трубки /-1Оу;

(2.2) для любых замкнутого в ¡З/Х множества содержащегося в наросте \ X, и точки у € У найдутся такие окрестность Оу точки у и

функция ср : /3/ 10у —> I = [0,1], что

1) ¥>(/п АГЧ^) С {0} и

2) > 0 для любой точки х £ /_1Оу;

(3.1) для любых непустого открытого в У множества О, отрытого покрытия 7 трубки /_10 и точки у € О найдется такая окрестность Оу С О точки у, что из 7 можно выделить счетное покрытие трубки /~1Оу.

Утверждение 2.16. Всякое финально компактное в смысле определения (2.2) отображение / : X —» У метризуемого пространства X в паракомпакт У обладает счетной базой.

Утверждение 2.18. Всякое финально компактное в смысле определения (2.1) отображение / : X —> У метризуемого пространства X в просеянное пространство У обладает счетной базой.

Перейдем к рассмотрению непрерывных отображений метризуемых пространств, удовлетворяющих свойству Суслина.

Определение 2.19. Будем говорить, что отображение / : X —> У удовлетворяет условию Суслина, если для любых точки у £ У и семейства 7 попарно не пересекающихся открытых в X множеств существует такая окрестность Оу точки у, что множество элементов семейства 7, имеющих с трубкой /~1Оу непустое пересечение, не более чем счетно.

Утверждение 2.20. Если отображение / : X —> У метризуемого пространства X в просеянное пространство У удовлетворяет условию Суслина, то оно имеет счетную базу.

В итоге получается следующее обобщение теоремы 2:

Теорема 2.24. Пусть отображение / : X —> У непрерывно, пространство X метризуемо, а пространство У локально имеет счетную

сеть и просеяно. Тогда следующие условия эквивалентны:

(1) / сепарабелъно;

(2) / финально компактно в смысле определения (2.1);

(3) / удовлетворяет условию Суслина;

(4) / имеет счетную базу.

Если пространство Y - паракомпакт, то утверждения (1)-(4) эквивалентны еще одному

(2') / финально компактно в смысле определения (2.2).

Послойную сепарабельность также можно рассматривать как свойство отображений, при помощи которого обобщается понятие сепарабель-ного пространства. D.Buhadgiar в статье "On metrizable type (МТ-) maps and spaces" ввел для отображений свойство типа метризуемости, дав определение МТ—отображения. Для таких отображений им доказана

Теорема 3. Если f : X —» У есть МТ— отображение, то следующие условия эквивалентны:

(1) / имеет счетную у—базу для любого у 6 Y ;

(2) f~ly является линделефовым пространством для любого у £ Y ;

(3) f'ly сепарабелъно для любого у Ç У.

(Определение у—базы или базы отображения над точкой у будет дано ниже).

В некоторых случаях достаточно требовать послойную сепарабельность отображения для того, чтобы оно имело счетную базу.

Определение 2.25. Отображение f : X Y называется s—отображением, если для любого у Ç. Y подпространство f~ïy С X сепарабель-но.

Известно, что если / : X —> У есть замкнутое «—отображение метризуемого пространства X в метризуемое пространство У, то / имеет счетную базу. В этой работе доказано

Утверждение 2.27. Вели /: X У есть открытое в -отображение метризуемого пространства X в пространство с а—�