Кардинальнозначные инварианты пространств сцепленных систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. ЛОМОНОСОВА МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

УДК 515.12 на прдвдх рукописи

ТАЛААТ ЖАМИЛЬ МАХМУД

КАРДИНАЛЬНОЗНАЧНЫЕ ИНВАРИАНТЫ ПРОСТРАНСТВ СЦЕПЛЕННЫХ СИСТЕМ

Специальность 01.01.04 — Геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1993

Работа выполенна на кафедре общей топологии и геометрии механико-математического факультета Московского Государственного университета имени М.В.Ломоносова.

Научный руководитель - доктор физико-математических

наук, профессор В.В.Федорчук,

Официальные оппоненты - доктор физико-математических

наук, профессор В.И.Малыхин, кандидат физико-математических наук, доцент М.В.Матвеев.

Ведущая организация - Московский Государственный Педагогический университет.

Защита диссертации состоится " 1994 Г.

в 16 час. 05 мин. на заседании специализированного совета по математике Д.053.05.ОЬ при Московском государственном университете

имени М.В.Ломоносова по адресу: 119899, Москв.а, Ленинские горы,

>

МГУ, »ол-^ило-математический факультет, аудитория 1408.

С диссертацией можно познакомиться в библиотеке механико-ма-тематическогс факультета МГУ.

Автореферат разослан " ¡Ц "^у^й^/Ш 1993 г.

Ученый секретарь специализированного совета по математике д.053:05.05 при МГУ, профессор, доктор

физико-математических наук В.Н.Чубариков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ. Актуальность теш. Теория пространств сцепленных систем - одно из наиболее активно развивающихся направленна общей топологии, имеющее непосредственные приложения к различным областям топологии. Оно возникло в. начале семидесятых годов, когда де Гроот1 ввел понятие суперрасширения XX топологического пространства X. Позже Ван де Вел2 определил пространство кЛХ крупных подмножеств суперрасширения XX. К. ряду пространств сцепленных систем принадлежит пространство ЛГХ полных сцепленных систем бикомпакта X, гомеоморф-нов пространству КХХ, Пространство ЛХ введено А.В.Ивановым3. Изучение его свойств позволило исследовать топологические свойства пространств XX, КЛХ и X.

Пространства XX, КХХ, XI используются для исследования многих топологических свойств самого пространства X, такта, как кар-динальнозначные инварианты, метризуемость, разложимость, размерность и др. Пространства сцепленных систем XX, ЛГХ, КХХ используются для изучения свойств сложных топологических объектов путем их аппроксимации перечисленными пространствами. Отметим, что важность их изучения заключается в исследовании свойств других ковариантнцх функторов. Исследование суперрасширения XX топологического пространства X, начатое дэ Гроотом, затем продолжили А,Вербек, Ван Милл, Ван де Вел, Ван Давен, Е.Вателл, М.Белл, Ж.Гинзбург, С.ТоДор-

1. J. de Croot, Contributions to extension theory of topoiogical structures (Proo, surop, Berlin, 1967) - Berlin, УЕВ Deutscher verlag ¥)irs., 1969, p.89.

2. Van de Vel M. The fixed point property of superextensions. -General Topology and Relat. ModemAnalysis and Algebra. IV, Proc. 4-th Prague topol. symp.,1967, part Б. - Prague, 1977, p.411-480.

3. А.В.Иваноз. Кардиналънозначные инварианты и функторы в категории бикомпактов. - Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. Петрозаводск, 1985.

«^евич, М.М.Заричшй, А.В.Иванов и .другие. Карданальнозначные инварианты до настоящей работы практически не изучались, хотя и получен ряд ярких результатов некоторыми голландскими топологами, такими как Ван Милл1, А.Вербек2, Ван Давен, Е.Вателл3.

Цель работы. Диссертация посвящена исследованию карданальнознач-ных инвариантов пространств сцепленных систем XX, КХХ, №. и исследованию кардинальнозначннх инвариантов пространства X с помощью кардинальнозначных инвариантов перечисленных пространств.

Методы исследования. В диссертации используются методы теории непрерывных отображений, структурная теория ковариантных функторов и теория кардинальнозначных инвариантов.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты: ' •

1. Исследована связь между кардинальнозначными характеристиками пространств X, К1, ЖХ.

2. Рассматривается вопрос о соабсолютности пространств X, Х.Х, «УХ.

3. Приведен пример наследственно сепарабельного бикомпакта, суперрасширение которого не наследственно сепарабельно.

4. Создана методика для исследования свойств пространств сцепленных систем. При этом изучались карданальнозначные инварианты некоторых частных пространств сцепленных систем таких, как «р^-супер-ядро, тонкое суперядро пространства X.

1. Van Mill J. Supercorepactness and wallman spaces. MC Tracts, 1977, v.85.

2. Verbeek A. Superextensions oi topological spaces. JSC Tract 41, Amsterdam, 1972.

3. Wattel S. A hereditarily separable compact ordered space X for which XX is not iirst countable. Topological structures II. Mathematical centre Tracts 116 (1979), p.319-321.

Научная и практическая ценность. Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут найти применение в общей топологии, в частности, в теории ретрактов и бесконечномерной топологии, в теории ковариантных функторов, в комплексной геометрии и в функциональном анализе. Результаты диссертации могут быть полезны специалистам, работающим в алгебраической и геометрической топологии.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре по общей топологии под руководством профессора В.В.Федорчука.

Публикация. По теме диссертации будут опубликованы две работы.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы. Текст изложен на 87 страницах,■ список литературы содержит 24 наименования.

Содержание работы. Первая глава "Кардинальнозначные инварианты суперрасширения А.Х топологического пространства X", состоящая из трех параграфов, посвящена исследованию кардинальных .инвариантов суперрасширения XX.. Первый параграф в основном является вспомогательным. Он содержит все топологические объекты, необходимые для исследования темы диссертации. Во втором параграфе получены следующие главные результаты.

Теорема 1.2.1. Для любого.Т.,-пространства X имеем:

1) тот(XX) = таг(Х) ;

2) »

Теорема 1.2.9. Для любого хаусдорфова пространства X имеем, что подпространство ехр® X = № £ ехр X : |Р| = 3) гиперпространства ехр X гомеоморфно подпространству X = {£ € А.Х : |зирр 5! ---3) суперрасширения А.Х топологического пространства X.

- б -

На основании теоремы* 1.2.9 доказано следующее предложение. Предложение 1.2.10. Пусть X* - бикомпакт двух стрелок Александрова, тогда:

1) M(Xi*) si М(Х*),

2) im»(U*) * hiw(X*),

3) hm(*X*) * hm(X*),

4) hc(XX*) * hc(X*).

Теорема 1.2.19. Пусть X - T1-пространство их- любой бесконечный кардинал, "тргда:

1 ) Если х - калибр для X, то t - Калибр для XX ; .2} ш(ЛХ) « ш(Х) ; 3) шоах) « ш0(Х).

Утверздение 1.2,23. Пусть X - бикомпакт счетного гс-веса и без изолированных точек, тогда X и XX соабсолютны.

В третьем параграфе первой главы введены понятия тонкого су-перядра Л*Х, фг-супврядра пространства X. На основании этого получены следующие результаты.

Следствие 1.3.8. Пусть X - Т.,-пространство и п - Любое натуральное число, тогда: 1 ) чш(Х) = im(\*nX) = ш{ХпХ) ; 2) d(X) = d(\*nX) 2 d(\nX) ; 3} nw(X) = пш(\*лХ) } n%»(knX).

Следствие 1.3.36. Пусть X - Т1-пространство, тогда

1) d(\*X) = û(x£x) = d(X) ;

2) ю»(\*Х) = %w<A$C) = тоя(Х).

В этом параграфе рассматривается также, когда XX - К^Х.

Вторая глава диссертации "Кардинальнозначные инварианты пространства JfX полных сцепленных систем топологического пространства X" посвящена исследованию кардинальных инвариантов пространства

ЖХ. В этой главе устанавливается связь между кардиальвыми инвариантами пространств X, АХ, XX.. Основными результатами этой главы являются следупцие.

Теорема II.1.7. Всегда имеем:

1) ют(ЛГХ) = ст(ХХ) ;

2) <ИЛГХ) = й(ХХ) ;

3) с(ЛГС) = с(ЯХ).

Следствие II.1.8. Всегда имеем:

1) та»(АХ) = 1СТ(ЛХ) = то»(Х) ;

2) с (АХ) = с(ЛХ) = с(Хш) ;

3) й(АХ) = <1(ЛХ) « 1(Х).

Предлокение II.1.13. Всегда имеем:

1) « тсх(ЛК} ; .

2) *х(АХ,{) = V | € XX ;

3) х(АХ,|) = хШ.е) V С е ЯХ .

Следствие 11.1.19. Пусть X - бесконечный бикомпакт с одним из следующих свойств:

1) Ср(Х) - Линделефово 2-пространство,

2) X - бикомпакт ЗСерлейна,

3) X - бикомпакт Корсона такой, что СрСр(Х) - линделефово 2-прост-ранство.

Тогда имеем: 1) сЦЛХ) = <КМ) = й(Х) ;

2) с(,П) = с(ХХ) = с(X) ;

3) Лс(^Х) = Ьс(АХ) = 1ю(Х) ;

4) 1ш?иХ) = 1шгсШ = 1даг(Х) ;

5) М(ЛХ) = М<\Х) = М(Х) ;

6) Иш(ЛХ) = Ья(\Х) = ЮТ (X) .

Следствие 11.1.23. Пусть X - дантово пространство (в частности, X - даадический бикомпакт), тогда имеем:

1) Х(-ЛГХ) = ХСЯХ) = %(Х) ;

2) млх) = МАХ) = г(Х) ;

3) ЙС(ЛХ) = Ьс(ХХ) = Ьс(Х) ;

4) М(Л) =-- М(ХХ) = М(Х) ; .

5) 1ида(ЛХ) = 1ш?(и) = 1иот(Х) ;

6) Ьш(ЛХ) = 1ш(ХХ) = Ьш(Х) .

Следствие II.1.33. Пусть X - бикомпакт счетного *-веса и без изолированных точек, тогда пространства X, Л^Х попарно соаб-солютны при любых п,т €

Теорема II. 1.26. Пусть X - бикомпакт их- любой бесконечный кардинал, тогда:

1) кардинал а является калибром для №. тогда и только тогда, когда а - калибр для XX;

2) ш(ЖХ) = ш(ЛХ) < ш(Х) ;

3) ш0(ЛХ) - ш0(ЯХ) < ш0(Х).

Следствие 11.1.27. Если % - калибр для X, то т - калибр длялгх.

Наконец, отметим, что все результаты, изложенные для №., останутся верными для пространства КХХ, ибо пространства КХХ и ЛХ -гомеоморфны.

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю профессору В.В.Федорчуку за постановку задачи, постоянное внимание к работе и полезные замечания.

Работы автора по теме диссертации.

1. О кардинальных инвариантах пространств сцепленных систем.

Вестник МГУ (1994 г.) 2 к О некоторых свойствах пространств максимальных и полных сцепленных систем пространства X. - Сборник семинаров кафедры общей топологии и геометрии МГУ.