Некоторые вопросы классификации Бэра показателей Ляпунова тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 517.91

Рожин Александр Феодосьевич

НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ КЛАССИФИКАЦИИ БЭРА ПОКАЗАТЕЛЕЙ ЛЯПУНОВА

Специальность 01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ООЗ 15866"?

Москва 2007

003158667

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений меха^ нико-ма,тематического факультета Московского государственного университета имени М. В, Ломоносова

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор И. Н. Сергеев.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук,

профессор Е. А. Гребеников;

кандидат физико-математических наук,

доцент О. И. Морозов.

Ведущая организация:

Институт Математики HAH Беларуси.

Защита диссертации состоится 18 мая 2007 г. в 16 часов 15 минут на заседании диссертационного совета Д. 501.001.85 в Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские Горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета (Главное здание, 14 этаж)

Автореферат разослан 18 апреля 2007 года.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.85 в МГУ, доктор физико-математических наук, профессор U Т. П. Лукашенко

Ш

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Одним из основных направлений качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений является изучение характеристических показателей1,2, которые были введены А М. Ляпуновым в связи с исследованием устойчивости по первому приближению. Библиография в обзорах Н А Изобова^4 по изучению теории показателей Ляпунова и связанных с ними характеристик насчитывает несколько сотен наименований

Важным вопросом теории показателей Ляпунова является вопрос об их зависимости от правой части системы дифференциальных уравнений Перрон показал5, что старший показатель Ляпунова, рассматриваемый как функционал на пространстве линейных однород ных систем, наделенном топологией равномерной сходимости коэффициентов на положительной полуоси, является разрывной функцией. Усилиями Р Э. Винограда6, В. М Миллионщикова7, Н. А Изобова8 и И Н Сергеева510 для каждого из показателей Ляпунова был получен критерий его

1 Ляпунов А М Общая задана об устойчивости движения М —Л , Гостехизд&т, 1950

2Былов Б Ф , Виноград Р Э , Грюбман Д.М , Немыцкий В В Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости. М Наука, 1966

3Изобов Н А Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений В кн ВИНИТИ, 1974, Т 12, С 71-146

4Изо6ов Н А Исследования в Беларуси по теории характеристических показателей Ляпунова и ее приложениям Днфференц уравнения, 1993, Т 29, №12, С 2034-2055

5Реггоп О Die Ordnungzahlen der Differentialgleichungen Math Z 1930 32 S 703 — 728

^Виноград P Э О центральном характеристическом показателе системы дифференциальных уравнений Ма<-тем сборник, 1957, Т 42, выл 2, С 207-222

7Миллионщихов В М Доказательство достижимости центральных показателей Сибирск мат журнал 1969 Т10, №1 С 99-104

8Изобов Н А Минимальный показатель двумерной линейной дифференциальной системы Днфференц; уравнения 1977 Т13, №5 С 848-358

9Сергеев И Н Инвариантность центральных показателей относительно возмущений, стремящихся к нулю на бесконечности. Днфференц уравнения 1980 Т16, №9 С 1719

10 Сергеев И Н Критерий полунепрерывности снизу показателей Ляпунова трехмерных линейных систем. Успе-

полунепрерывное™ сверху в данной точке, а в не более чем трехмерном случае — и критерий полунепрерывности снизу

В M Миллионщиков предложил11 для описания свойств характеристик асимптотического поведения решений дифференциальных уравнений использовать классификацию Бэра12 разрывных функций, установив, что показатели Ляпунова, как функционалы на пространстве систем с топологией равномерной сходимости коэффициентов на компактах, принадлежат второму классу Бэра Затем M И Рахимбердиев доказал13, что эти показатели не принадлежат первому классу Бэра даже на пространстве систем с равномерной топологией

Свойства показателей изучались на пространствах не только с перечисленными выше топологиями Так, M И Рахимбердиев и H X Розов14 рассматривали пространство линейных однородных систем с топологией сходимости в среднем. В пространстве систем с такой топологией для каждого из показателей Ляпунова И H Сергеев получил15 критерий его полунепрерывности сверху и снизу в отдельности, а также доказал 16, что он не принадлежит никакому классу Бэра

В, M Миллионщиков распространил определение17 показателей Ляпунова на линейные неоднородные системы, что естественным образом привело к изучению свойств этих характеристик в рамках теории Бэра

химат наук 1994 Т49, вып.4 С 142

1 'Миллионщиков В M Бэроеские классы функций и показатели Ляпунова Диффренц уравнения 1980 Т16, №8 С 1408-1416

12Бэр Р Теория разрывных функций M -Л ГТТИ, 1932

13Рахимбердиев М.И О бэровском классе показателей Ляпунова Мат заметки 1982 Т31 №6 С 925-031

иРапзд6ердие& M И., Розов H X Распределение показателей. Ляпунова линейных систем с периодическими коэффициентами, близкими в среднем к постоянным Дифферента уравнения, 1978, Т14, №9 С1710-1714

15Сергеев И H Тонные границы подвижности показателей Ляпунова линейных систем при малых в среднем возмущениях Тр семинара им И Г Петровского 1986, вып 11 С 32-73

1вСергеев И H О классах Бэра показателей Ляпунова линейных систем с топологией сходимости в среднем Успехи мат наук 1996 Т51,вьш5 С 188

"Миллионщиков В M Показатели Ляпунова неоднородных линейных систем Дифф^реяц уравнения 1988 Т24, №12 С 2179-2180

разрывных функций. О. И Морозов нашел18 критерий полунепрерывности сверху старшего показателя, рассматриваемого как функционал на пространстве линейных неоднородных систем, наделенном равномерной топологией, а также доказал19, что показатели Ляпунова на этом пространстве являются функциями второго класса Бэра.

Впоследствии И Н Сергеев20 начал изучать локальные свойства характеристических показателей с точки зрения все той же теории Вэра разрывных функций Оказалось, что если понимать локализацию, как сужение на некоторую окрестность системы в пространстве с топологией равномерной сходимости коэффициентов на компактах, то каждый из показателей Ляпунова по отношению к любой точке имеет второй класс Бэра, а для пространства с равномерной на положительной полуоси топологией младший показатель Ляпунова локально по отношению к любой точке либо имеет нулевой класс, либо не имеет и первого Позже был предложен21 еще один вариант локализации, идея которой заимствована у К Куратовского22, так появилось определение принадлежности показателя какому-либо классу Вэра в точке В дальнейшем это определение было модифицировано В .В. Быковым23, который установил24 , что на пространстве линейных однородных не менее чем двумерных систем с равномерной топологией каждый из показателей Ляпунова принадлежит первому классу Вэра в точке тогда и только тогда, когда он полунепрерывен снизу в этой точке

18Морозов О И Показатели Ляпунова неоднородных линейных систем дифференциальных уравнений Дисс 1991

"Морозов О И О Бэровском классе показателей Ляпунова неоднородных линейных систем Вестник МГУ Серия 1 Математика, механика. 1991, №6 С 22-30

^СергеевйН О локальных классах Бэра показателей Ляпунова Длфференц. уравнении 1996 Т32, №11 С 1577

21Сергеев И Н Определение класса Бэра показателя в точке. Днффереш; уравнения 2000 Т36, №11 С 1570

иКуратовскхй К Топология Т1 М Мир, 1966

23Быков В В Модификация определения класса Бэра показателя в точке Дифферснц уравнения 2003 Т39, №11 С 1577

24Быков В В Локальная Бэровская классификация показателей Ляпунова Тр семинара им И Г Петровского Вын 27 В печати

Цель работы.

Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию свойств показателей Ляпунова неоднородных линейных систем дифференциальных уравнений Помимо этого в ней также изучаются свойства характеристических показателей линейных однородных систем с точки зрения локальной бэровской классификации

Научная новизна.

Все основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.

1 'Установлен критерий полунепрерывности сверху старшего показателя Ляпунова на пространстве линейных неоднородных систем с топологией, заданной семейством норм, а при некотором дополнительном условии на однородную часть системы получен критерий полунепрерывности сверху для каждого из показателей Ляпунова

2 Найдена полунепрерывная сверху мажоранта старшего показателя Ляпунова на пространстве линейных неоднородных систем с альфа-экспоненциальной топологией А при некотором дополнительном условии на неоднородность получен критерий полунепрерывности сверху для старшего показателя Ляпунова

3. Описаны все возможные случаи принадлежности тому или иному классу Бэра в точке показателей Ляпунова на пространстве линейных однородных систем с топологией сходимости в среднем

4 Для каждого показателя Ляпунова, как' функционала на множестве линейных систем с равномерной топологией, указана точка, в которой он является функцией в точности первого класса Вэра

Методы исследования.

При доказательстве утверждений использованы методы математического и функционального анализа, в частности методы теории Бэра разрывных функций и теории борелевских множеств, а также характерный для данной тематики метод верхних функций

Теоретическая и практическая ценность.

Работа носит теоретический характер Ее результаты могут быть полезны специалистам, занимающимся теорией показателей Ляпунова и ее приложениями к вопросам устойчивости

Апробация работы.

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений под руководством профессоровА Кондратьева, В М. Миллионщикова и Н. X Розова в Московском государственном университете им М В. Ломоносова,

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в 3 работах автора, список которых приведен в конце автореферата

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, состоящих из 8 параграфов, и списка литературы Объем работы составляет 74 страницы, включая 4 страницы списка литературы, содержащего 34 наименования.

Краткое содержание работы

Во введении приводится краткий обзор работ по теме диссертации, дана ее структура и сформулированы основные результаты,

Для заданного п € N рассмотрим

1) множество Мп линейных однородных систем

х = A(t)x, жеГ, t € Ж+ = [0, +оо), (1)

с ограниченными кусочно-непрерывными функциями Л - Ж+ —> EndMn, которые и считаем точками множества Мп,

2) множество всех линейных неоднородных систем

X = A(t)x + /(*), х € Mn, te Ж+, (2)

с теми же оператор-функциями А и кусочно-непрерывными неодно-родностями / Ж+ —► Ж", имеющими неположительный характеристический показатель25

t—юо t

Множество М„ превратим в топологическое пространство, задав топологию с помощью семейства норм

I\(А, f)\\a - sup (P(i)|| + е-°<|/(*)1), (Л /) € Ml

где параметр а пробегает множество Ж* = (0, +оо)

Определение I26 Показателями Ляпунова однородной системы А € М„ называются

Л,(Л) = inf sup lim \ In 0)x||, г = 1, .., n,

¿eg, i->°o г

где ç?t — множество всех г-мерных подпространств L векторного пространства Ж", а Хд — оператор Коши системы (1) Аналогично, показателями Ляпунова неоднородной системы (А, /) € М^ называются

\(А, /) = inf sup Em I In ¡I XAJ(t, 0)s|| el, « = 0,1,. , n,

¿еД xeL i->oo t

25 Демидович В П Лекции по математической теории устойчивости M Изд-во Моек ун-та, 1998

^Миллионщиков В M Формулы для показателей Ляпунова неоднородных линейных систем Дифференц уравнения 1988 Т24, »12 С 2183

где Лг — множество всех г-мерных подпространств Ь аффинного пространства Ж", а Ха,} — оператор Коши системы (2)

Набор показателей Ляпунова однородной системы А € Л4п, дополненный показателем

Ао(А) = х(0) = -оо,

совпадает с набором показателей соответствующей неоднородной системы {А, 0) € М-п, а связь между показателями однородной и неоднородной систем описывается равенствами

А1(Д/) = тах{А4(А),Л0(Л/)}, * = 0, ,п,

В первой главе диссертации исследуется поставленная В. М Милли-онщиковым27

Задача, Для каждого г = 0,.. ,п найти условие на решения системы (А, /) е Мп, необходимое и достаточное для того, чтобы эта система была точкой полунепрерывности сверху г-го показателя Ляпунова, рассматриваемого как функция на

Определение 2. Верхним центральным6 показателем и верхним центральным неоднородным18 показателем системы А € М.п называг ются

.. т—1

ПМ)= 1Ш1 Шп —=1п У^П(А,Т,к)

К ' Т—»оо от—»оо тТ ^ 4 '

к=О

И

т—1 т—Х

х(А) = 1нп ПЕ — 1п П Я (А Т, к, з),

Т—юо тп—> оо тп1 л—* А к=0

27М'ЛЛЛК0НЩИК0В В М Две задачи о показателях Ляпунова неоднородных линейных систем Д^хфференц уравнения 1992 Т28, №6 С 1085

где при всех Т > 0 обозначено

_ п{Ат,к)-1

I

3 = к, В(А,Т,к)^1,

ЩА,1,К,э)- ^ ^ 3 = к, П(А,Т,к) = 1,

£>(Д Г, Л) = ЦХ^((/с + 1)Т, *Г)||, оператор Коши системы (1)

Для всякой системы (Л, /) € обозначим

А;(А/)= й АДг), 2 = 0, , п (3)

Основной результат первой главы устанавливает

Теорема 1. Для любой системы (А, /) е выполнено равенство

Таким образом, старший показатель Ляпунова неоднородной системы полунепрерывен сверху в точке (А, /) € тогда и только тогда, когда

Для остальных показателей Ляпунова критерий полунепрерывности сверху приводится лишь в частном случае и формулируется, как

Теорема 2. Если для системы (Л, /) € М°п выполнено неравенство

а(А) Ф я(А),

то справедливы равенства

\(Д/) = х(Л), « = 0,1, ..,п

Во второй главе для произвольного фиксированного а > 0 рассматривается топологическое пространство получаемое из множества

М\ введением в нем а-экспоненциальной топологии, задаваемой нормой

II(Л /)1!а = вир (||А(г)|| + е<*\т\), (Л /) е м:

teя+

(в некоторых точках эта норма принимает бесконечное значение, что однако не мешает ей задавать окрестности и таких точек).

Определение 3. Верхним центральным а-неоднородным показателем системы А е Л4п называется

.. т—1 т—1

я"(А) = Ьт Ш — 1п у; И Д

Т—»оо т—юо ТПХ —' А

где в обозначениях определения 2

На(А,Т,к,з) =

- < е-а(л+1)гТ) у = к, 1п £>(Д Г, Л) = —аТ,

В(А,Т,з), з>к.

Перенесем обозначение (3) на топологическое пространство М.* Теорема 3. Если для системы (А, /) € М.% выполнено неравенство

х(/) <

то справедливо равенство

\~п{А, /) = шах{П{А),х»(А)}

Последнее равенство дает, в частности, критерий полунепрерывности сверху старшего показателя Ляпунова однородной системы, рассматриваемой как точка пространства Для всех же вообще точек этого пространства в диссертации указана лишь полунепрерывная

9

сверху (не минимальная) мажоранта старшего показателя Ляпунова неоднородной системы

Теорема 4. Для любой системы (А, /) € М" справедливо неравенство

Ап(Д/)<тах{П(Л), *%4), x~xW(A)}.

Третья глава посвящена изучению локальных бэровских классов показателей Ляпунова на пространстве Л4п, наделенном топологией сходимости в среднем, задаваемой полунормой

t

1|А||j = Em —Ц í ¡|A(r)¡! oír, A € Mn

t—s—+oo X — S J s

Определение 421,23. Скажем, что показатель A Á4n -»Re точке A € Mn принадлежит k-му (к e N [J{0}) классу Бэра, если для любого интервала I с Ж, содержащего число А (Л), существует такая окрестность U с Ain точки А, что А_1(/) U — есть множество аддитивного класса к28 Если, кроме того, показатель А в точке А не принадлежит (к — 1)-му (к е N) классу, то скажем, что он в той я« точке принадлежит в точности к-щ классу Бэра

Помимо показателей Ляпунова и верхнего центрального показателя системы А € Л4п, рассмотрим также показатели7'15

_ х т-1 __*

ш(А) = lim lim In У^ d(A, Т, к), сип(А) = lim — / trAMdr, 4 ' T—ioo m—>oo ТпТ t—*oo nt J K ' '

где d(A, T, к) = IIX¿\{k + 1 )T, кТП'1

Теорема 5. Для любой системы А е Мп справедливы утверждения.

а8 Куркговский К Топология. TI М "Мир", 1966

a) если

ш(А) = шп(А) = П(А),

то в точке А показатели Ляпунова и все показатели ш, шп, Q принадлежат нулевому классу Бэра;

b) если

ш(А) = шп(А) < П(А),

то в точке А показатели Ляпунова не принадлежат никакому классу Бэра, показатели ш и шп принадлежат нулевому, а О, — в точности первому классу Бэра,

c) если

а>{А) < шп{А) <

то в точке А показатели Ляпунова не принадлежат никакому классу Бэра, показатель ш„ принадлежит нулевому, а и> «П — в точности первому классу Бэра.

В этой теореме отображено все многообразие возможных вариантов, а именно, справедлива

Теорема 6. Все возможные соотношения между со(А), шп(А) и Г2(Л) описываются условиями а), Ь) и с) теоремы 5, причем каждое из этих условий задает в Мп непустое подмножество.

Доказательство теорем 5, 6 опирается на ряд фактов, установленных И. Н. Сергеевым15

С каждым показателем Л . Л4п —» Ж свяжем функцию

Л .М„-^Ж2,

действующую по следующему правилу

Л(Л) = (Л(Л)Д(Л)), А€Мп, 11

где, вопреки обозначению (3),

\(А)= inf А (В), А (Л)= sup А (В)

115-^11^=0 \\B-A\\j=Q

Определение 5. Скажем, что показатель Л . Мп ->1х1б точке А € Мп принадлежит k-му (и даже в точности к-му) классу Бэра, если для любых интервалов I\,h С К, удовлетворяющих условию Л(А) е 1\ х h, существует такая окрестность U точки А, что A-1(/i х /2) Р) U есть множество'аддитивного класса к (и если, соответственно кроме того, показатель А в точке А не принадлежит (к — 1)-му классу Бэра).

Для модифицированного таким образом определения локального бэ-ровского класса доказана

Теорема 7. Для любого г = 1,..., п показатель Л, = (А,, А,) в точке А € Мп в случае равенства А, (А) = А, (А) принадлежит нулевому классу Бэра, в противном случае — в точности первому

Наконец, в четвертой главе диссертации речь идет также о локальных классах Бэра показателей Ляпунова на множестве Мп, но наделенном равномерной топологией, задаваемой нормой

\\М = sup ||A(i)||. teR+

Для этого пространства И Н Сергеевым21 была поставлена Задача. Может ли какой-либо из показателей Ляпунова, рассматриваемый как функционал на пространстве Мп принадлежать первому классу Бэра в точке, не будучи непрерывным в этой точке? Положительный ответ на поставленный в этой задаче вопрос дает Теорема 8. При п > 1 для любого 1 — 1,.. , п существует точка А € Мп, в которой показатель Ляпунова А, принадлежит в точности первому классу Бэра

Автор выражает глубокую благодарность профессору В.М Милли-онщикову за постановку задачи, своему научному руководителю профессору И Н. Сергееву за постановку задач и постоянное внимание к работе, а также кандидату физико-математических наук В. В Быкову за полезные обсуждения.

Работы автора по теме диссертации

1 Рожин А.Ф К задаче о классе Бэра в точке для показателей ЛяпуноваГ Дифференц. уравнения '2003. Т 39, №11. 0.1577.

2 Рожин А.Ф. О классах Бэра:в точке показателей Ляпунова в топологии сходимости в среднем Дифференц уравнения. 2006 Т.42, №6 С 853-854.

3. Рожин А Ф. О полунепрерывности сверху старшего показателя Ляпунова неоднородной системы Дифференц. уравнения. 2006 Т42, №11. С Л573-1574.

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ км, М.В, Ломоносова. Подписано в печать

Формат 60 х 90 1 / 16 , Усл. печ. л. О ¿У

Тираж ¡00 зю. Заказ 2,3.

Введение з

1 О полунепрерывности сверху старшего показателя Ляпунова неоднородной системы

1.1 Показатели Ляпунова неоднородных систем

1.2 Минимальная полунепрерывная сверху мажоранта старшего показателя Ляпунова

2 Неоднородные системы в альфа-экспоненциальной топологии

2.1 Верхний центральный альфа-неоднородный показатель

2.2 Полунепрерывная сверху мажоранта старшего показателя Ляпунова неоднородной системы.

2.3 Системы с экспоненциально убывающими неоднородностями

3 О классах Бэра в точке показателей Ляпунова однородной системы в топологии сходимости в среднем

3.1 Локальная бэровская классификация показателей Ляпунова

3.2 Двумерные показатели Ляпунова.

4 О классе Бэра в точке показателей Ляпунова однородной системы в равномерной топологии

4.1 Примеры систем с показателями Ляпунова локально в точности первого класса Бэра.

Одним из основных направлений качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений является изучение характеристических показателей [3,12], которые были введены А. М.Ляпуновым в связи с исследованием устойчивости по первому приближению. Библиография в обзорах Н. А. Изо-бова [8,10] по изучению теории показателей Ляпунова и связанных с ними характеристик насчитывает несколько сотен наименований.

Важным вопросом теории показателей Ляпунова является вопрос об их зависимости от правой части системы дифференциальных уравнений. Перрон показал [21], что старший показатель Ляпунова, рассматриваемый как функционал на пространстве линейных однородных систем, наделенном топологией равномерной сходимости коэффициентов на положительной полуоси, является разрывной функцией. Усилиями Р. Э. Винограда [6], В. М. Мил-лионщикова [13], Н. А. Изобова [9] и И. Н. Сергеева [28,30] для каждого из показателей Ляпунова был получен критерий его полунепрерывности сверху в данной точке, а в не более чем трехмерном случае — и критерий полунепрерывности снизу.

В. М. Миллионщиков предложил [14] для описания свойств характеристик асимптотического поведения решений дифференциальных уравнений использовать классификацию Бэра [4] разрывных функций, установив, что показатели Ляпунова, как функционалы на пространстве систем с топологией равномерной сходимости коэффициентов на компактах, принадлежат второму классу Бэра. Затем М. И. Рахимбердиев доказал [22], что эти показатели не принадлежат первому классу Бэра даже на пространстве систем с равномерной топологией.

Свойства показателей изучались на пространствах не только с перечисленными выше топологиями. Так, М. И. Рахимбердиев и НХ. Розов [23] рассматривали пространство линейных однородных систем с топологией сходимости в среднем. В пространстве систем с такой топологией для каждого из показателей Ляпунова И. Н. Сергеев получил [29] критерий его полунепрерывности сверху и снизу в отдельности, а также доказал [31], что он не принадлежит никакому классу Бэра.

В. М. Миллионщиков распространил определение [16] показателей Ляпунова на линейные неоднородные системы, что естественным образом привело к изучению свойств этих характеристик в рамках теории Бэра разрывных функций. О. И. Морозов нашел [19] критерий полунепрерывности сверху старшего показателя, рассматриваемого как функционал на пространстве линейных неоднородных систем, наделенном равномерной топологией, а также доказал [20], что показатели Ляпунова на этом пространстве являются функциями второго класса Бэра.

Впоследствии И. Н. Сергеев [32] начал изучать локальные свойства характеристических показателей с точки зрения все той же теории Бэра разрывных функций. Оказалось, что если понимать локализацию, как суже- \ ние на некоторую окрестность системы в пространстве с топологией равномерной сходимости коэффициентов на компактах, то каждый из показателей Ляпунова по отношению к любой точке имеет второй класс Бэра, а для пространства с равномерной на положительной полуоси топологией младший показатель Ляпунова локально по отношению к любой точке либо имеет нулевой класс, либо не имеет и первого. Позже был предложен [33] еще один вариант локализации, идея которой заимствована у К. Куратовского [И], так появилось определение принадлежности показателя какому-либо классу Бэра в точке. В дальнейшем это определение было модифицировано В .В. Быковым [1], который установил [2], что на пространстве линейных однородных не менее чем двумерных систем с равномерной топологией каждый из показателей Ляпунова принадлежит первому классу Бэра в точке тогда и только тогда, когда он полунепрерывен снизу в этой точке.

В настоящей диссертации установлен критерий полунепрерывности сверху старшего показателя Ляпунова на пространстве линейных неоднородных систем с топологией, заданной семейством норм, а при некотором дополнительном условии на однородную часть системы получен критерий полунепрерывности сверху для каждого из показателей Ляпунова. Найдена полунепрерывная сверху мажоранта старшего показателя Ляпунова на пространстве линейных неоднородных систем с альфа-экспоненциальной топологией. А при некотором дополнительном условии на неоднородность получен критерий полунепрерывности сверху для старшего показателя Ляпунова. Описаны все возможные случаи принадлежности тому или иному классу Бэра в точке показателей Ляпунова на пространстве линейных однородных систем с топологией сходимости в среднем. Для каждого показателя Ляпунова, как функционала на множестве линейных систем с равномерной топологией, указана точка, в которой он является функцией в точности первого класса Бэра.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, включающих в себя 8 параграфов, и списка литературы, содержащего 34 наименования. Нумерация формул, определений, теорем, лемм и т.д. в главах независимая, первая цифра обозначает номер главы, вторая цифра обозначает номер форму-лы(определения, теоремы, лемы и т.д.) в этой главе.

1. Быков В.В. Модификация определения класса Бэра показателя в точке. Дифференц. уравнения. 2003. Т.39, Ml. С.1577.

2. Быков В. В. Локальная Бэровская классификация показателей Ляпунова. Тр. семинара им. И.Г.Петровского. 2007, вып.27.

3. Былов Б.Ф., Виноград Р.Э., Гробман Д.М., Немыцкий В.В. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости. М.: Наука, 1966.

4. Бэр Р. Теория разрывных функций. М.-Л.: ГТТИ, 1932.

5. Ветохин А.Н. О Лебеговских множествах показателей Ляпунова. Дифференц. уравнения. 2002. Т. 38, №11. С.1567.

6. Виноград Р.Э. О центральном характеристическом показателе системы дифференциальных уравнений. Матем. сборник. 1957. Т. 42, вып. 2, С.207-222.

7. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1998.

8. Изобов Н.А. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений. В кн.: ВИНИТИ, 1974, Т. 12, С.71-146.

9. Изобов Н.А. Минимальный показатель двумерной линейной дифференциальной системы. Дифференц. уравнения. 1977. Т.13, №5. С.848-858.

10. Изобов Н.А. Исследования в Беларуси по теории характеристических показателей Ляпунова и ее приложениям. Дифференц. уравнения. 1993. Т. 29, №12, С.2034-2055.

11. Куратовский К. Топология. Т.1. М.:"Мир", 1966.

12. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М.-Л., Госте-хиздат, 1950.

13. Миллионщиков В.М. Доказательство достижимости центральных показателей. Сибирск. мат. журнал. 1969. Т. 10, №1. С.99-104.

14. Миллионщиков В.М. Бэровские классы функций и показатели Ляпунова. Дифференц. уравнения. 1980. Т.16, №8. С.1408-1416.

15. Миллионщиков В.М. Показатели Ляпунова семейства эндоморфизмов метризованного векторного расслоения. Матем. заметки. 1985. Т. 38, №1, С.92-109.

16. Миллионщиков В.М. Показатели Ляпунова неоднородных линейных систем. Дифференц. уравнения. 1988. Т.24, №12. С.2179-2180.

17. Миллионщиков В.М. Формулы для показателей Ляпунова неоднородных линейных систем. Дифференц. уравнения. 1988. Т.24, №12. С.2183.

18. Миллионщиков В.М. Две задачи о показателях Ляпунова неоднородных линейных систем. Дифференц. уравнения. 1992. Т.28, №6. С.1085.

19. Морозов О.И. Показатели Ляпунова неоднородных линейных систем дифференциальных уравнений. Дисс. 1991.

20. Морозов О.И. О Бэровском классе показателей Ляпунова неоднородных линейных систем. Вестник МГУ. Серия 1. Математика, механика. 1991, №6. С.22-30.

21. Perron 0. Uber lineare Differentialgleichungen, bei denen die unabhangige Variable reel ist. — J. reine und angew. Math., 1931, 142, S.254-270.

22. Рахимбердиев М.И. О бэровском классе показателей Ляпунова. Мат. заметки. 1982. Т.31. №6. С.925-931.

23. Рахимбердиев М.И., Розов Н.Х. Распределение показателей Ляпунова линейных систем периодическими коэффициентами, близкими в среднем к постоянным. Дифференци. уравнения. 1978. Т. 14, №9. С. 1710— 1714.

24. Рожин А.Ф. К задаче о классе Бэра в точке для показателей Ляпунова. Дифференц. уравнения. 2003. Т.39, №11. С. 1577.

25. Рожин А.Ф. О классах Бэра в точке показателей Ляпунова в топологии сходимости в среднем. Дифференц, уравнения. 2006, Т. 42, №6. С.853-854.

26. Рожин А.Ф. О полунепрерывности сверху старшего показателя Ляпунова неоднородной системы. Дифференц. уравнения. 2006. Т. 42, №11. С.1573-1574.

27. Сергеев И.Н. Точные верхние границы подвижности показателей Ляпунова системы дифференциальных уравнений и поведение показателей при возмущениях, стремящихся к нулю на бесконечности. Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16, №3. С.438-448.

28. Сергеев И.Н. Инвариантность центральных показателей относительно возмущений, стремящихся к нулю на бесконечности. Дифференц. уравнения. 1980. Т.16, №9. С.1719.

29. Сергеев И.Н. Точные границы подвижности показателей Ляпунова линейных систем при малых в среднем возмущениях. Тр. семинара им. И.Г.Петровского. 1986, вып. 11. С.32-73.

30. Сергеев И.Н. Критерий полунепрерывности снизу показателей Ляпунова трехмерных линейных систем. Успехи мат. наук. 1994. Т.49, вып.4. С.142.

31. Сергеев И.Н. О классах Бэра показателей Ляпунова линейных систем с топологией сходимости в среднем. Успехи мат. наук. 1996. Т.51, вып.5. С.188.

32. Сергеев И.Н. О локальных классах Бэра показателей Ляпунова. Дифференц. уравнения. 1996. Т.32, №11. С.1577.

33. Сергеев И.Н. Определение класса Бэра показателя в точке. Дифференц. уравнения. 2000. Т.36, №11. С.1570.

34. Хаусдорф Ф. Теория множеств. М.-Л.: ОНТИ, 1937.