Некоторые показатели Ляпунова и их классификация по Бэру тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

Некоторые показатели Ляпунова и их классификация по Бэру

Специальность 01.01.02 дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи УДК 517.9.

Ширяев

Кирилл Евгеньевич

Москва—1996

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений механико-математического факультета Московскго государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель

»Доктор физико-математичеасих наук, профессор Б.М. Миллионщиков

Официальные оппоненты

Ведущая организация

»Доктор физико-математических наук, профессор Е.А, Гребеников

► Кандидат физико-математических наук, доцент О.Г. Илларионова

•Институт математики АН Беларуси

Защита диссертации состоится " " ^Щ^сАШ

1996 года в 16 часов 05 минут на заседании диссертационного совета Д.053.05.04 при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119899, ГСП, Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МП' (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан " № " 1996 года.

Ученый секретарь диссертационного совета, Д.053. 05.04 при МГУ доктор физико-математических наук, профессор

Т.П. Лукашенко

Общая характеристика работы.

Актуальность темы. Одним из направлений теории дифференциальных уравнений является та область этой теории, которая занимается вопросами, связанными с показателями Ляпунова линейных систем или, в более общем случае, с показателями Ляпунова семейств эндоморфизмов векторных расслоений.

Фундаментальным понятием этой области является понятие показателя, введенное Ляпуновым в [1] в связи с исследованием задачи об устойчивости движения.

Так, отрицательность к-го показателя Ляпунова гарантирует условную устойчивость с индексом п-к+1 нулевого решения .

Развитие теории линейных систем привело к созданию целого ряда различных показателей. Все они являются модификациями показателей, введенными Ляпуновым, и поэтому, в широком смысле, могут называться ляпуновскими, однако, во избежание путаницы для них существуют особые "названия. В диссертации рассматриваются наряду с уже известными показателями Ляпунова [1] и вспомогательными [2], обобщенный логарифмический (обобщение вспомогательного логарифмического [3]) и вспомогательные и экстраординарные показатели Боля (обобщение обыкновенного показателя Боля [4]).

Важным вопросом теории показателей Ляпунова является вопрос о зависимости показателя от параметра, непрерывно входящего в правую часть системы. Известен пример Перрона [5], показывающий, что как функция параметра показатель Ляпунова не обязательно непрерывен.

[1]. Ляпунов AJV1. Н Остря задача у'апмчшхти движения. М.Л., Гостехшдат, 1950.

[2]. Илларионова О.Г. // О вспомогательных показателях линейных систем дифференциалънъы уравнений. Труды института прикладной механики им. Векуа, т.31, стр. 80-98.

Р]. Миллионщжов В.М. //Дифференциальные уравнения, 1993, т29,№6, стр. 1087.

[4]. Боль П. // Избранные труды Пер. с нем., Рига, Издательство АН JICCP, 1961.

[5]. Вылов Б.Ф. и др. // Теория тказапклей Ляпунова и ее прилсокета к вопросам уагохшзссти.М.., 1966.

Удобным оказалось классифицировать показатели в смысле Бэра. (Напомним, что функциями 0-го класса Бэра являются непрерывные, 1-го - поточечные пределы последовательностей функций 0-го класса, 2-го - пределы последовательностей функций 1-го класса и т.д.). Так, в [6] получен результат, показывающий, что показатель Ляпунова (в общем случае - семейства эндоморфизмов векторного расслоения, в частном - линейной системы) является функцией 2-го класса Бэра. Более того, существует пример [7], доказывающий, что как функция на множестве систем, наделенном равномерной топологией, этот показатель не является, вообще говоря, функцией 1-го класса.

Настоящая диссертация посвящена классификации по Бэру ряда показателей и отношением некоторых из них между собой.

Цель работы. Найти класс Бэра ряда показателей семейств автоморфизмов векторного расслоения как функции элемента базы этого расслоения, дать оценки снизу классов Бэра показателен линейных систем дифференциальных уравнений как функций на множестве этих систем, наделенном компактно-открытой топологией, а также исследовать некоторые отношения порядка между вспомогательными показателями (обычными и Боля).

Научная новизна. Все результаты работы являются новыми и состоят в следующем.

1. Найден класс Бэра ряда показателей семейств автоморфизмов векторных расслоений.

2. Найден точный класс Бэра обобщенного логарифмического показателя как функции на пространстве линейных систем, наделенном равномерной топологией.

3. Найдена оценка снизу класса Бэра ряда показателей как функций на пространстве линейных систем, наделенном компактно-открытой топологией.

4. Доказана отделенность вспомогательных показателей Боля от обычных вспомогательных показателей.

[6]. Мшиионщиков BJV1. // Показатели Ляпунова семзхтэа. эндоморфизмов >лгтриюеаннэао &эотюрнж>россюенхв. Математические заметки, т.38, №1,1985.

[7]. Раяпмбердаев М.И. // Математические заменен, 1982, тЗ 1, №6, стр. 925-933.

Методы исследования. Основные результаты изложены на язьпсе теории функций Бэра, при доказательствах используются теорема Бэра, а также разнообразная техника оценки классов Бэра показателей (метод поворотов Мнллнонщикова и т.д.).

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть полезны специалистам, занимающимся теорией показателей Ляпунова и ее приложением к теории устойчивости.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений, на расширенном заседании семинара им. Петровского (зима 1995г.).

Публикатт. Основные результаты диссертации опубликованы в работах, список которых приводится в конце автореферата.

Структура диссертаиии. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы, содержащего 20 наименований. 'Общий объем диссертации 99 листов.

Содержание диссертации.

Во введении дан краткий обзор работ, относящихся к теме диссертации, и приведены формулировки основных результатов.

В первой главе рассматриваются различные показатели семейств автоморфизмов векторных расслоений.

Пусть МсИ - множество точек, не ограниченное справа. Рассматривается семейство автоморфизмов ¿УК}: М-*А\И(Е,р, В) векторного расслоения (Е,р,В), метризованного полной метрикой.

Будем придерживаться обозначений Х(г,т) = Х( ■ X"1, где -значение отображения ¿УК} в точке ¡геМ

Определение. Пусть Н(1у.А!->М положительная неубывающая функция, удовлетворяющая условиям Л(/+ 1)-Л(/)>Л(/)-Л(/-1) для любого IeN и Ы1у-Ы1- 1)-»+«о при /->+<*>. Тогда £-ым обобщенным логарифмическим показателем семейства автоморфизмов М)

векторного расслоения (Е,р,В) называется величина

- 1 т

lim —

w->+oo h(m) Tjj

где - занумерованные в порядке невозрастания

сингулярные числа семейства автоморфизмов W}, определяемые как сингулярные числа линейного оператора

Определение. Пусть множество М удовлетворяет условию: если ТеМ то и sTeM для любого seN. Тогда Л-ын верхний

(нижний) вспомогательный показатель Боля ßk(ßk) и &-ый верхний (нижний) экстраординарный показатель Боля 8ßk(3ßk) семейства автоморфизмов ¿YY) векторного расслоения определяются как

Тк (<W)=supilndkX(iT,{i- 1)DM,

со ieN 1 7-»+co ,-6дг 1

Sßki*lim sup sup—lndkX(t + iT,t + (i-\)T)[b], -T->+cot4Q-,T)isN T

--T-++cat4W]ieM T

Теорема 1. Пусть MczR - неограниченное справа множество, и h{t)\N-*M положительная неубывающая функция,

удовлетворяющая условиям h(l+ l)-h(l)>h(l)-h(l-l) для любого IeN и Л(/)-А(/-1)~*+ео при !—>+со. Пусть дано векторное расслоение (Е,р,В) и ¿Уф - семейство автоморфизмов этого расслоения - удовтпворя&п

условию: отображение (г.ф-э-Л^ непрерывно. Пусть задано непрерывное отображение f.^jg-^B некоторого топологического пространства Jge базу В векторного расслоения (Е,р,В). Тогда для всякого ке.{\...п) функция alhk{)\vg-*R, определяемая формулой

принадлежит второму классу Бэра.

Теорема 2. Пусть МсД - неограниченное справа множество, удовлетворяющееусповшо: если Те.М, то М для любого ¿еЛ'

Пусть дано веюпорное расслоение (Е,р,В) и ОТ) - семейство автоморфизмов этого расслоения - удовлетворяет условию: отображение непрерывно. Пусть задано натрерывное

отображение некоторого топологического пространства

в базу В векторного расслоения (Е,р,В). Тогда для всякого

*е{1...л} функции ТкО^К 8рк определяемые формулами

принадлежат третьему классу Бэра.

Из теорем 1 и 2 как следствия получаются оценки классов Бэра аналогичных показателей линейных систем. Аналогичные теоремы доказаны тоже в первой главе.

Рассмотрим линейную систему вида х = А(г)х, (Г)

где >Епс1 ^ непрерывна по I.

Для системы (!) определяются /:-ый верхний (нижний) вспомогательный показатель

1

5

ук=1ш 1ш ^Ы^Г0Т,(с-1)Т),

Г->+со з->+со

1

ук = 1шх 1ип —Т1п4ДГ0Т,(1-1)Г),

- Т-у+со ¿Т

£-ый верхний (нижний) вспомогательный показатель Боля Т-Ь+а, (eN 1

ßk = Jim_ sup ^ln dkX(iT,(i -1 )T),

- Г-»+со 1

к - ый верхний (нижний) экстраординарный показатель Боля

Sßk = lim sup sup—\ndkX(t + iT,t + (i-l)T),

Sßk =_lim_ inf supIndkX(t + iT,t + (i-X)T), - f->We{0;7] ieN T

и к - ый обобщенный логарифмический показатель

1

m

alhk- lim —— J] In dkX(h(i), h(i -1))

{МсД - множество точек не ограниченное справа, функция Л(/):7У-»М - положительная неубывающая, удовлетворяющая условиям: Л(/+ 1)-Л(/)>Л(/)-Л(/-1) для любого и Л(/)-А(/-1 )->+°о при /-н-°э), ще -Ц^.г) - оператор Коши системы (1), а ¿кХ -

сингулярные числа оператора X, занумерованные в порядке невозрастания.

Обозначим И.- множество всех систем вида (1), наделенное топологией равномерной сходимости (иными словами -равномерной топологией), а Э - множество всех систем вида (1), наделенное топологией компактной сходимости (иными словами -- компактно-открытой топологией).

Во второй главе исследуется обобщенный логарифмический показатель как функция на множестве Я. Основным результатом этой главы является

Теорема 3. При //¿2 обобщенный логарифмический показатель как функция из R в R принадлежит в точности второму классу Бэра.

В основной теореме третьей главы доказано, что, в отличие от случая равномерной топологии, в случае топологии компактно-открытой, пример системы, обобщенный логарифмический показатель которой (наряду со многими другими) не принадлежит первому классу Бэра, возможен и в одномерном случае.

Теорема 4. Пусть S - множество n-мерных линейных систем вида (1), наделенное компактно-открытой топологией. Тогда для любого ke{l...n), neN, функции

Ay():S-+R (Яу - показатель Ляпунова, см., напр. [1]),

vk ():S-Ȁ,

SM--S-+R не принадлежат первому классу Бэра.

Последняя глава представленной работы посвящена отношениям между собой вспомогательных показателей (обычных и Боля); т.е., насколько эти показатели различны, могут ли быть равны и т.д. Заметим, что в случае системы с постоянной матрицей все эти показатели совпадают между собой. В случае переменной матрицы это утверждение, вообще говоря, неверно, хотя первый вспомогательный верхний показатель совпадает с нижним, а первые верхний и нижний вспомогательные показатели Боля равны между собой.

Основными результатами четвертой главы являются теоремы:

Теорема 5. Существуют 3-мерные системы вида (1), такие, что справедлива следующая цепочка неравенств > vi > ßi •

Иными словами, теорема 5 утв^эждает, что существуют системы, у которых верхний вспомогательный показатель Боля отделен от нижнего обычным вспомогательным показателем

(верхним). Учитывая неравенства > ^ , уместно

задаться вопросом - возможна ли ситуация, когда нижний вспомогательный показатель Боля, отличный от верхнего, строго больше верхнего обыкновенного вспомогательного показателя, также отличного от обыкновенного нижнего? Утвердительныи ответ на этот вопрос дает

Теорема 6. Существуют 3-мерные системы вида (1), такие,

что справедлива следующая цепочка неравенств /?2 > Рг > у2 > у2 •

Автор глубоко признателен своему научному руководителю д.ф.м.н., профессору В.М. Миллионщикову за постоянное внимание и поддержку при выполнении этой работы.

Работы автора по теме диссертации.

1. Ширяев К.Е. О классе Бэра степенных вспомогазпельных показателей. II Дифференциальные уравнения. 1994г., №6, раздел "Хроника семинара по качественной теории дифференциальных уравнений".

2. Ширяев К.Е. О классе Бэра некоторых показателей линейных систем в кошактно-огпкрытой топологии. II Дифференциальные уравнения. 1995г., №5, раздел "Хроника семинара по качественной теории дифференциальных уравнений".

3. Ширяев К.Е. О классе Бэра вспомогательных логарифмических показателей. И Дифференциальные уравнения. 1995г., №5, раздел "Хроника семинара по качественной теории дифференциальных уравнений".

4. Ширяев К.Е. Об одном свойстве вспомогательных показателей Боля. II Дифференциальные уравнения. 1995г., №11, раздел "Хроника семинара по качественной теории дифференциальных уравнений".

5.4 Ширяев К.Е. О вспомогательных показателях Боля. II Дифференциальные уравнения. 1995г., №11, раздел "Хроника семинара по качественной теории дифференциальных уравнений".

6.-Ширяев К.Е. О классе Бэра некоторых показателей линейных систем. II Дифференциальные уравнения. 1995г., №8.

7. Ширяев К.Е. О классе Бэра вспомогательных показателей Боля в компакпто-откръхтой топологии. И Успехи математических наук. 1995г., т. 15, №6, стр. 109.