Пространство Ср(Х) и некоторые вопросы теории непрерывных отображений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

РГ8 О

2 1 ЧАг ^

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. М.В.ЛОМОНОСОВА МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи

УДК 515.122.55,.515.126.4

ЯЩЕНКО ИВАН ВАЛЕРИЕВИЧ

ПРОСТРАНСТВО С?{Х) И НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ НЕПРЕРЫВНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ

Специальность 01.01.04 — "геометрия и топология"

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1994

Туреэе! Ьу Дд^-ТеХ

Работа выполнена на кафедре общей топологии и геометрии механико-математического факультета

Московского государственного университета ии. М.В.Ломоносова.

Научный руководитель — доктор физико-математических наук,

профессор А.В.Архангельский.

Официальные оппоненты — доктор физико-математических наук,

профессор В.И.Малыхин, кандидат физико-математических наук, доцент М.В.Матвеев.

Ведущее предприятие — Математический институт

им. В.А.Стеклова РАН.

Защита диссертации состоится " " ДУ 1994г. в 16час.05мин на

заседании Специализированного совета Д053.05.05 по математике при Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова по адресу: 119899, ГСП, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, ауд.14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (14 этаж).

3 или 1£Го

Автореферат разослан " ■ " _> 1994г.

Ученый секретарь Специализированного совета Д.053.05.05 при МГУ, доктор физико-математических наук, профессор

В.Н.Чубариков

Typeset Ьу Av)S-T£X

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Одним из важных направлений общей топологии является изучение непрерывных отображений топологических пространств и взаимная классификация топологических пространств с помощью непрерывных отображений. Значительное числа работ, лосаящено исследованию вложений, уплотнений топологических пространств, а также изучению условий вложпмостп пространств из различных классов (компакты, компактные многообразия, комплексы и т.д.) в К.". Активно изучается проблема существования неподвижных точек отображений топологпче-ких пространств. Существенную роль в диссертации играет СЯ(Х) — пространство функций в топологии поточечной сходимости на топологическом пространстве X — предмет активно развивающейся топологической Ср-теории, находящейся на стыке общей топологии и функционального анализа.

Цель работы. Изучить взаимосвязь вложений, уплотнений и расщепляемости тихоновских пространств над евклидовыми пространствами. Получить оценку на размерность пространств, расщепляемых над R". Изучить поведение дискретного числа Суслина при уплотнениях. Сформулировать аналог понятия сжимающего отображения для произвольных тихоновских пространств и доказать для них теорему существования и единственности неподвижных точек. Изучить, при каких условиях на пространство X пространство СТ(Х) является кружевным или монотонно нормальным. Исследовать связи между кольцами непрерывных и бэровских функций.

Методы исследования. В диссертации используются различные методы общей топологии, в частности, Ср-теории, теории размерности.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми. Основные результаты состоят в следующем:

(1) Доказано, что сепарабельное пространство, расщепляемое над R", уплотняется в Rn+1.

(2) Доказано, что компактное пространство, расщепляемое над R", вкладывается ' в R"+1.

(3) Получены критерии существования и устойчивости неподвижных точек отображений полных по Хьюитту пространств в себя.

(4) Доказано, что кольцо бэровских функций произвольного класса а на произвольном тихоновском пространстве с топологией поточечной сходимости является образом некоторого кольца непрерывных функций в топологии поточечной сходимости при открытом кольцевом гомоморфизме.

Практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть полезны специалистам, работающим в различных областях общей топологии, прежде всего в Ср-теории, теории неподвижных точек.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах A.B. Архангельского по общей топология и топологической алгебре, на кафедральном семинаре по общей топологии, на топологическом симпозиуме в Праге (1991г.), на международной топологической школе в Раково (1991г.).

Typeset by Ид^-ТТеХ

Публикации. По результатам диссертации опубликовано 6 работ, список которы приведен в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и опись литературы из 20 наименований. Общий объем диссертации — 53 страницы.

Содержание диссертации

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, даются основны определения, кратко излагается содержание диссертации.

В первой главе исследуются условия существования вложений и уплотнений топе логических пространств я изучается расщепляемость — принадлежащее А.В.Архан гельскому и Д.Б.Шахматову обобщение понятия уплотнения1,2. Пространство Л' на зывается расщепляемым над пространством У, если

VA С X В/ е C(X,Y): f{A) n ДХ \ А) = 0.

Очевидно, что если пространство X уплотняется (а тем более вкладывается) в прс странство Y, то пространство X расщепляемо над пространством У. Таким образов расщепляемость является обобщением понятии уплотнения и вложения, и поэтом представляет интерес нахождение условий, при которых из расщепллемости буде вытекать наличие уплотнения или вложения.

Отметим, что расщепляемость X допускает следующую наглядную иллюстрацш (ограничимся случаем расщепляемости над R").

Пусть два математика А и В играют в такую игру. У них есть некоторое прс странство X. Вначале А раскрашивает точки X в два цвета, а затем В пытаете непрерывно отобразить Л' в R" так, чтобы прообразы всех точек из f(X) были о; ноцветными. Может ли А так раскрасить X, что В не сможет отобразить Л' в R нужным образом?

В § 1.1 предлагается новый метод, основанный на изучении множества точек нес; ноэначности отображении и позволяющий исследовать расщепляемость пространств X.

1.1.1. Определение. Пусть Х,У — топологические пространства, f : X —t Y -

непрерывное отображение. Множество

*Х = {х е X :3х е X х' yi х я Дх) = Дх')}

называется множеством точек неоднозначности отображения f. Основным результатом §1.1 является

1 Архангельский A.B., Общая концепция р асщепляемости топологических пространств, Тира< польский симпозиум по обшей топологии и ее приложениям, Кишинев, (1985), 8-10.

2Архангельский A.B., Шахматов Д.Б., О поточечной аппроксимации произвольных функць счетными семействами непрерывных функций, Труды,семинара им. Н.Г.Петровского, МГУ, 1 (1988), 206-227.

1.1.2. Основная леииа. Пусть X, Y — тихоновские пространства и X расщепляемо над Y. Тогда существует непрерывное отображение } : X —>• Y такое, что

|'Л'|<|С(Х,У)|.

Основная лемма также обобщается на случай расщепяяемостп топологического пространства над некоторым классом топологических пространств посредством ото. бражений из некоторого класса.

1.1.5. Теорема. Пусть Т — класс отображений, V — класс топологических пространств п X — тихоновское пространство, расщепляемое над классом Р посредством отображении из класса Т. Тогда существуют пространство Y € V it отображение / € J-(X,Y) такие, что

1*1 < £ YÇ-P

В § 1.2 исследуются условия, при которых из расщепляемости топологического пространства над R" пли Р." можно вывести наличие вложения или уплотнения.

1.2.2. Теорема. Пусть X — тихоновское пространство, расщепляемое над R", и |С(Л')| < 2". Тогда X уплотняется в R"+I.

1.2.3. Теорема. Каждый компакт X, расщепляемый над R", вкладывается в Rn+1.

Теорема 1.2.3 позволяет дать окончательный ответ на следующий вопрос А.В.Архангельского: каково минимальное значение К(п) такое, что каждый n-мерный компактный комплекс расщепляется над Действительно, как показал Флорес , n-мернын остов 2n -f 2-мерного симплекса не вкладывается в R2". Откуда по теореме 1.2.3 мы имеем следующее обобщение результата В.В. Ткачука4:

1.2.4. Следствие. Существует n-мернын компактный комплекс, который не расщепляем над R2n~1.

С другой стороны, В.В. Ткачук4 показал, что каждый n-мерный компактный комплекс расщепляется над R2n. Таким образом, К(п) = 2п.

В § 1.3 изучается размерность пространств X, расщепляемых над различными классами пространств. Так как в ряде случаев го расщепляемости удается выводить наличие вложения, естественно ожидать, что расщепляемость тихоновского пространства X над пространствами определенной размерности должна приводить к определенным ограничениям на размерность X. Вместе с тем при изучении данного вопроса естественно возникает требование замкнутости расщепляющих отображений.

Действительно, Мазуркевич5 построил пример пространства со второй аксиомой счетности, которое бесконечномерно, но уплотняется в R. Таким образом, размерность может повышаться даже при уплотнениях, и тем более трудно рассчитывать

3Flores АЛ., Uber n-dimensionaler Komplexe, die nicht in den R2fl topologisch einbettbar sind, Erg.Math. Kollog., 5 (1933), 17-22.

4Tkachuk V.V., A noie on splittable spaces, Comm. Math. Univ. Carolinae, 33 (1992), 3, 551-555. .

5Mazurkiewicz S., Sur les problems k et \ de Urysohn, Fund. Math., 10 (1927), 311-319.

на содержательные результаты для пространств, расщепляемых произвольными непрерывными отображениями.

Изучаются размерностные функции (1 : V\ ы +■ 1, удовлетворяющие следующиы естественным условиям CP\,Vi — некоторые классы топологических пространств):

1) для каждого X £ V\ и каждого подпространства А С X, имеющего мощность строго меньше 2Ы

d(yl) = 0;

2) для каждого Y 6 V-i к любого замкнутого подпространства АСУ

а(Л) < d(K);

3) для произвольных пространств X 6 V\, Y 6 Vj и произвольного замкнутого отображения / : X Y

d(X) < d(/(Jt)) + d(/), где d(/) = sup {d (/-1 (у)) : у € Y} .

Содержательно, условия 1), 2), 3) означают, что все подпространства небольшой мощности пространств из класса Т\ d-нульмерны, d наследуется по замкнутым подпространствам в классе Vi и для d верна формула Гуревича в случае замкнутых отображений пространств из класса V\ в пространства из класса Vi.

Основной результат § 1.3:

1.3.1. Теорема. Пусть 7>i, —классы тихоновских пространств, d —размерност-ная функция, удовлетворяющая условиям 1), 2), 3). Тогда для любого тихоиовскогс пространства X 6 V\, расщепляемого над7> С V" = {V € V? '• d(Y) < п} посредством замкнутых отображений, выполнено

d(X) < п, еслл у е?

Теорема 1.3.1. позволяет получать оценки размерности для различных классов расщепляемых пространств. Для этого достаточно, с одной стороны, проверить выполнение условий 1), 2), 3) для размерностной функции и, с другой стороны, доказать требуемую в теореме оценку мощности множества замкнутых отображений. Отметим лишь одно следствие, непосредственно вытекающее из теоремы 1.3.1 с применением принадлежащего Б.А.Пасынкову6 обобщения формулы Гуревича для замкнутых отображений нормального пространства на паракомпакт.

1.3.2. Следствие. Пусть X — нормальное пространство, расщепляемое над дара-компактным пространством Y посредством замкнутых отображений, dim(K) < п и

|С(А',К)|<2".

Тогда dim(X) < п.

Если класс Vi замкнут относительно счетных произведений и перехода к замкнутому подпространству, то теорему 1.3.1. можно существенно усилить. Положим в условии 3) V\ = Vi и обозначим полученное условие 3').

6Пасынков Б.А., О формуле В.Гуревича, Вестник МГУ, 4 (1965), 3-5.

1.3.3. Теорема. Пусть V — класс тихоновских пространств, замкнутый относительно счетных произведений и перехода к замкнутому подпространству, d — раз-мерностная функция, удовлетворяющая условиям 1), 2), 3'). Тогда для любого тихоновского пространства X, расщепляемого над V С V = {V 6 V : ¿(К) < «} посредством замкнутых отображений, выполнено ■

d(X) < п, если

Наиболее важным конкретным результатом, который позволяет получить теорема

1.3.3, является

1.3.4. Теорема. Пусть X — тихоновское пространство, расщепляемое над классом n-мерных сепарабельных метрических пространств посредством замкнутых отображений, и

\С{Х)\ < (2")+.

Тогда размерность пространства X не превосходит п.

В теории непрерывных отображений топологических пространств важное место занимает исследование следующей общей задачи:

1.4.1. Задача. Пусть T,Q — классы топологических пространств. Верно ли, что каждое пространство из класса V допускает уплотнение на некоторое пространство из класса Q?

Напомним, что уплотнением называется взаимнооднозначное непрерывное отображение.

Так, известно, что не каждое тихоновское пространство допускает уплотнение на компакт. В то же время, тихоновское пространство является компактом, если и только если оно псевдокомпактно и является ллнделефовым пространством. В связи с этим А.В.Архангельский7 поставил следующий вопрос: каждое ли тихоновское пространство допускает уплотнение либо на линделефово пространство, либо' на псевдокомпактное пространство?

В работе8 В.В.Ткачук построил сепарабельное пространство веса 21", которое является контрпримером к этому вопросу.

В свете общей задачи 1.4.1 вопрос A.B. Архангельского допускает естественное обобщение, для которого нам понадобится следующее

7Arhange'skij A.V., Some problems and lines of inverstigation in Generel Topology, Comm. Math. Univ. Carolinae, 29 (1988) 4,611-629.

8Ткачук В.В., Наросты над дискретными пространствами и некоторые приложения, Вестник МГУ, 4 (1990), 18-21.

1.4.2. Определение. Дискретным числом Суслина топологического пространства X называется кардинал

dc(X) = sup{|7| : 7 — дискретное семейство

открытых в X множеств}.

В частности, каждое псевдокомпактное пространство и каждое линделефово пространство имеет счетное дискретное число Суслина.

Теперь мы можем сформулировать следующую проблему A.B. Архангельского:

1.4.3. Проблема. Каждое ли тихоновское пространство допускает уплотнение на пространство, имеющее дискретное число Суслина не больше и>?

Основным результатом этого параграфа является следующая

1.4.4. Теорема. Пусть т — бесконечный кардинал, X — тихоновское пространство веса u>(X) < 2Т и X содержит замкнутое дискретное С'-вложенное подпространство мощности т. Тогда существует непрерывное взаимнооднозначное отображение F пространства X на некоторое пространство мощности < т.

Теорема 1.4.4 позволяет для пространств веса < 2" дать положительный ответ на вопрос А.В.Архангельского (проблема 1.4.3.). А именно, справедлива

1.4.7. Теорема. Каждое тихоновское пространство X веса < 2" можно уплотнить на пространство Y со счетный дискретным числом Суслина.

Вторая глава посвящена изучению двойственности между некоторыми свойствами неподвижных точек отображения тихоновского пространства в себя и некоторыми свойствами итераций двойственного отображения. Дается обобщение понятия сжимающего отображения для отображений произвольного тихоновского пространства в себя. Получены аналоги соответствующих теорем для сжимающих отображений метрических пространств.

Примером двойственности между свойствами отображения / и свойствами двойственного отображения /* является следующее очевидное утверждение.

Пусть / — сжимающее отображение полного метрического пространства X в себя. Тогда для любой функции д, непрерывной на X, последовательность (f*)"(g) поточечно сходится к постоянной функции.

Этот результат приводит к мысли рассмотреть следующие классы отображений, которые связаны со свойствами неподвижных точек отображения /.

2.1.9. Определение. Пусть X — пространство, а f : X X — отображение. Скажем, что отображение f принадлежит классу

5, (X) : если для любого g 6 С(Х) последовательность (/*)"(<?) имеет некоторый

поточечный предел в Rx; $2 (X) : если для любого g 6 С(А') последовательность (/*)" (д) поточечно сходится к постоянной функции;

5з(А") : если для любого д £ С(Х) последовательность (/*)" (д) равномерно сходится к постоянной функции.

Следующие теоремы показывают, что введенные классы отображений представляют собой естественные обобщения понятия сжимающего отображения для произвольных тихоновских пространств, если при этом рассматривать полноту по Хью-итту как аналог полноты метрических пространств.

2.2.3. Теорема. Пусть X — тихоновское пространство, / : X X — непрерывное отображение и / € (X). Тогда продолжение / : чХ —► иХ отображения / на пополнение по А'ьюигту рХ пространства X имеет в иХ неподвижную точку. Более того, для каждой точки х 6 X последовательность {/"(х) : п £ ш} имеет предел в иХ (вообще говоря, зависящий от х), который является неподвижной точкой отображения

I

2.3.2. Теорема. Пусть X — тихоновское пространство, / : X —У X — нелрерыа-ное отображение. Тогда / £ &(Х), если и только если существует единственная неподвижная точка х0 £ иХ для продолжения / : иХ —>■ иХ, причем

Ух 6 X /"(г) —> хо при п —> оо.

2.3.3. Теорема. Пусть X — полное по Хьюитту пространство, / : X —¥ X — не-.прерывное отображение. Тогда / £ если и только если существует единственная неподвижная точка хо £ X для отображения /, причем

Ух £ X /"(х) -¥ хо при п —> оо.

2.3.7. Теорема. Пусть X — тихоновское пространство, ] : X —> А' — непрерывное отображение. Тогда / £ 5з(Аг), если и тать ко если существует единственная неподвижная точка хо £ иХ для продолжения } : vX —> рХ, причем для любой открытой окрестности И7 точки хо существует т £ а> такое, что для каждого п > т

/"(А') С И'.

В третьей главе рассмотрены свойства, близкие к метризуемости, для пространства Ср(А').

Пространство X называется кружевным, если каждому непустому замкнутому множеству ? С X можно поставить в соответствие последовательность открытых множеств так, что

1. Г С

2. ПГ„ = Г;

3. если ^ С (7, то с <?„•

Пространство X называется монотонно нормальным, если каждой паре (Г, С?) непересекающихся замкнутых подмножеств X можно поставить в соответствие открытое множество ЩР, в) такое, что

1. ГС Е/(Г,0 С ЩТГсУ с А' \ б;

2. если Г, С Г, а (?! Э (?, то £/(ГьСО С

Известно, что даже для топологической группы определенные выше свойства различны. Тем не менее для СР(Х) имеет место следующая теорема, дающая ответ на вопрос А.В.Архангельского:

3.1. Теорема. Для каждого тихоновского пространства X следующие условия эквивалентны:

1) X — счетно,

2) Ср(Х) — пространство со счетной базой,

3) Ср(А') —кружевное пространство,

4) СГ(Х) —монотонно нормально.

В четвертой главе изучается связь колец бэровских функций в тополоиш поточечной сходимости и колец непрерывных функций в топологии поточечной сходимости с помощью отображений сужения. Доказано, что кольцо бэровских функций первого класса Бэра на R является образом кольца непрерывных функций на плоскости Немыцкого L при отображении сужения на граничную прямую dL, что дает положительный ответ на вопрос А.В.Архангельского.

4.2. Теорема. Отождествим dL с вещественной пряной в обычной топологии. При такой отождествлении В1 (R) = {/[ai : S £ C(L)}.

Также предложен метод построения для каждого а < ш\ и каждого пространства

X

— пространства Ya такого, что кольцо бэровских функций класса а на А' является образом кольца непрерывных функций на Ya при отображении сужения;

— псевдокомпактного пространства Ya такого, что кольцо бэровских ограниченных функций класса а на X является образом кольца непрерывных функций на Ya при отображении сужения.

4.6. Теорема. Для любого тихоновского пространства X и любого a < ui\ существуют пространство Ya, его замкнутое подпространство Za и бпекция 0a : X —»• Za такие, что В"(X) = {/|Za о 9а : / 6 C{Ya)}.

4.8. Следствие. Для любого пространства X и любого a < ui\ существуют псевдо-коьтактное пространство Ya, его замкнутое подпространство Za и бпекция 9a : X такие, что В"'(X) = {/|г. о ва : / g С(Уа)}.

В заключение хочу выразить глубокую благодарность своему научному руководителю профессору А.В.Архангельскому за постановку задач, полезные обсуждения и постоянное внимание к работе.

Публикации автора по теме диссертации

1. Яшенко и.В., Бэровские'функции как сужения непрерывных, Вестник МГУ 6 (1989), 80-82.

2. Яшенко П.В., О кольцах бэровских функций, Вестник МГУ 2 (1991), 88.

3. Ященко И.В., Вложения « 8" и I" « расщепляемость, Вестник МГУ 2 (1992), 107.

4. Ященко и.В., О неподвижных точках отображений топологических пространств, Вестник МГУ 5 (1992), 93.

5. Yaschenko I.V., Cardinalily of discrète families of open sets and one-to-one coniinuous mappings, Questions and Answers in General Topology 2 (1992), 24-26.

6. Яшенко H.В., О монотонной нормальности пространств функций, Вестник МГУ 4 (1993), 91.