Наросты расширений локально бикомпактных пространств и отображений. Теоремы о гомеоморфизме пространств и отображений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Белянова Эльвира Николаевна

НАРОСТЫ РАСШИРЕНИЙ ЛОКАЛЬНО БИКОМПАКТНЫХ ПРОСТРАНСТВ И ОТОБРАЖЕНИЙ ТЕОРЕМЫ О ГОМЕОМОРФИЗМЕ ПРОСТРАНСТВ И ОТОБРАЖЕНИЙ

Специальность 01 01.04 - геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва 2007

003161719

Работа выполнена в Московском педагогическом государственном университете на кафедре геометрии математического факультета

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук профессор Пасынков Борис Алексеевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических каук профессор Садовничий Юрий Викторович

кандидат физико-математических наук доцент Норин Владимир Павлович

Ведущая организация - Московский городской педагогический университет

на заседании диссертационного совета К 212 154 03 при Московском педагогическом государственном университете по адресу. 107140, Москва, Краснопрудная ул., д 14, ауд 301, математический факультет

ч

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Московского педагогического государственного университета по адресу 119882, Москва, ул. Малая Пироговская, д. 1.

Зашита состоится

часов

Автореферат разослан «0$ »

.2007 года

Ученый секретарь диссертационного совета

КАРАСЕВ Г А

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы.

Теория бикомпактификадий топологических пространств (s пространств) начала интенсивно развиваться с момента публикации в 1930 г статьи Тихонова, в которой он определил топологические произведения, называемые теперь тихоновскими, доказал их бикомпактность в случае бикомпактности сомножителей; выделил класс вполне регулярных пространств (теперь они также называются тихоновскими) и доказал, что пространство хаусдорфово (=отделимо) бикомпактифицируемо тогда и только тогда когда оно тихоновское. До 1930 г было установлено только одно достаточно общее утверждение об отделимой бикомпактифицируемости пространств - теорема Александрова об одноточечной бикомпактификации локально бикомпактного хаусдорфова пространства (1924 г.) В настоящее время теория бикомпактификаций пространств (кратко, ТБП) - одна из наиболее изученных областей общей топологии

К числу классических результатов ТБП относятся две теоремы Магилла (К D Magill) Первая из них (теорема М1) получена в 1966 г Она описывает множество наростов всех бикомпактификадий локально бикомпактного хаусдорфова пространства как множество всех непрерывных образов стоун-чеховского нароста этого пространства Вторая (теорема М2) получена в 1968 г., утверждает, что стоун-чеховские наросты двух локально бикомпактных пространств гомеоморфны тогда и только тогда, когда изоморфны решетки всех бикомпактификаций этих пространств Различные обобщения теорем Магилла

1) 2) получены в работах Тривикрамана (1972 г.) , Рейборна (1973 г ) , Фолкнера

3) 4)

и Виперы (1995 г) , Блудовой, Нордо и Пасынкова (2001 г.) и др 2

1) T Thnvikraman, On the lattices of compactificatwns J London Math Soc, 4(1972), 711-717

2) M C Rayburn, On Hausdorffcompactifications Pasif J Math 44, no 2(1973), 707-714

3) GD Faulkner, MC Vipera, A generalization of Magill's Teorem for non- locally spaces Comment Math Umv Carolinae 36, №1 (1995), 127-136

4) I Bludova, G Nordo, B Pasynkov, On the homeotnorphism of spaces and Magill-type theorems Q&A in General Topology, 19(2001), 95-105

В последние 20 лет многие общетопологические понятия и утверждения были распространены со случая пространств на случай непрерывных отображений (^отображений) (При этом пространство естественно отождествлять с его простейшим отображением в одноточечное пространство ) В частности, отображение / Х-*¥ называется, а) хаусдорфовым, если у любых двух точек из Л", содержащихся в одном слое отображения /, в пространстве X существуют дизъюнктные окрестности; б) локально бикомпактным, если для любой точки х из X существуют окрестность и точки х в X и окрестность V точки /(ж) в У такие, что ¡7с/-1К и отображение / \р]у-\у -> V совершенно.

В послойной общей топологии роль бикомпактных отображений играют совершенные отображения, называемые поэтому бикомпактными, а под биком-пактификацией отображения f Х-*¥ понимается его совершенное продолжение е/ еХ-^У на некоторое расширение еХ пространства X В настоящее время теория бикомпактификаций отображений (кратко, ТБО) уже довольно хорошо разработана Одна из главных задач ТБО - распространить на отображения основные понятия и утверждения ТБП

В частности, возникает вопрос о распространении на случай локально бикомпактных отображений теорем М1 и М2 Частичное распространение теоремы М2 на локально бикомпактные отображения получено Нордо и Пасынковым в 2004 году5) (для таких бикомпактификаций, все слои наростов которых неодноточечны).

Отметим ещё, что в связи с упомянутым результатом Тихонова (о том, что отделимая бикомпактифицируемость пространства равносильна его тихоновос-ти) и в связи с рассмотрением Нориным близостей на отображениях более 20 лет назад возник вопрос о внутренней (или достаточно простой) характериза -ции отделимо бикомпактифицируемых отображений.

5) G Nordo, B Pasynkov, Magill-type theorems for mappings International journal of mathematics and mathematical sciences, 26(2004), 1379-1391

Цель работы. Получить внутреннюю характеризацию отделимо биком-пактифицирумых отображений, распространить на случай отображений теоремы М1, М2 и имеющиеся обобщения этих теорем.

Методы исследования В диссертации применяются классические теоретико-множественные методы общей топологии.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми Основные результаты работы следующие

1 Доказано, что локально бикомпактное хаусдорфово отображение хаусдорфо-во (=отделимо) бикомпактифицируемо

2 Получено новое (отличное от даваемого теоремой М1) описание наростов всех хаусдорфовых бикомпактификаций локально бикомпактных хаусдорфо-вых пространств Это описание, а также теорема М1 распространены на случай локально бикомпактных хаусдорфовых отображений.

3 Теорема М1 и последующие, более общие, теоремы Рейборна и Блудовой-Нордо-Пасынкова обобщены посредством перехода от изоморфизма полурешеток К(еХ) и К(еУ) всех хаусдорфовых бикомпактификаций тихоновских пространств X и У, предшествующим бикомпактификациям еХ и еК, к изоморфизму частично упорядоченного множества К(еХ)\{еХ] и конфинальной части множества К(еУ)\{е¥}

4. Па наросты послойно плотных бикомпактификаций непрерывных отображений тихоновских пространств в бикомпакты и локально бикомпактных отображений в бикомпакты распространены теоремы Малыша, Рейборна и Блу-довой-Нордо-Пасынкова, упоминаемые в пЗ, а также обобщена доказанная часть теоремы Нордо-Пасынкова, касающаяся таких отображений

5. Получен критерий гомеоморфизма двух непрерывных отображений X; -> У к - пространств XJ, 7 =1,2, основанный на рассмотрении изоморфизмов некоторых частично упорядоченных множеств совершенных отображений, во-первых, пространств Х}, ] = 1,2, и, во-вторых, пар слоев у и

Теоретическая и практическая значимость. Полученные в диссертации результаты носят теоретический характер

Они могут быть полезны в дальнейших исследованиях по послойной общей топологии, а также при чтении специальных курсов лекций в вузах, в частности, в МПГУ, МГУ, МГЛУ и др.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре по послойной общей топологии под руководством профессора Б А Пасынкова в МГУ, на научном семинаре им. П. С. Александрова кафедры общей топологии и геометрии механико-математического факультета МГУ, нэ III Всероссийской научной конференции «Проблемы современного математического образования в вузах и школах России» (Киров, 2004)

Публикации автора. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-8]. См. в конце автореферата,

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух частей и списка литературы, включающего 21 наименование Полный объём диссертации -91 страница машинописно! о текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении кратко излагается история вопроса, обосновывается актуальность темы, формулируются цели и задачи диссертации, излагаются основные результаты, полученные в ней

В части 1 диссертации получено иное по сравнению с теоремой М1 описание всех наростов бикомпактификаций локально бикомпактного хаусдорфова пространства (см. далее теорему 2.1) использующее вводимое ниже понятие приложения локально бикомпактного пространства к бикомпакту, лежащему в некотором хауодорфовом пространстве

Определение 2.1. Подмножество и пространства X называется ограниченным в нем, если [£/]д. есть бикомпакт

Пусть X есть локально бикомпактное хаусдорфово пространство, г-хаус-дорфово пространство, и бикомпакт й содержится в пространстве 1

Определение 2.2 Непрерывное отображение X х-*2 называется приложением пространства X к бикомпакту Я в пространстве 2, если: \)К^[Л{Х\и)]2 для любого открытого и ограниченного в X множества и;

2) для любой окрестности № бикомпакта Я в пространстве 2 существует ограниченное вX множество и такое, что Л(Х\£/)сЖ

Если, дополнительно-

3) Л(Х)пЯ = 0,

то отображение Я называется точным приложением пространства X к бикомпакту Я в пространстве 2

Теорема 2.1. Для бикомпакта Я и локально бикомпакного хаусдорфова пространства X следующие условия эквивалентны

1) бикомпакт Я является наростом некоторой бикомпактификации пространства X,

2) существует приложение пространства X к бикомпакту Я в некотором пространстве 1,

3) существует точное приложение пространства X к бикомпакту Я в некотором пространстве 2.

В части 1 диссертации, в теоремах 3 1 и 1 2, получены описания наростов бдкомпактификаций локально бикомпактного хаусдорфова отображения как обобщения имеющихся описаний наростов бикомпактификаций локально бикомпактного хаусдорфова пространства

В случае одноточечного пространства У следствием теоремы 3.1 является теорема М1, следствием теоремы 1.2 является теорема 2 1

Напомним, что морфизмом Л отображения / X у в отображение

называется отображение 1 Х->г такое, что / = £°Л. Пусть даны локально бикомпактное хаусдорфово отображение /'X-±У, хаусдорфово отображение я 2 ->У и бикомпактное подотображение § = g К-^У, где , отображения ^ Теорема 3.1. Бикомпактное хаусдорфово отображение я • 2 У является

наростом некоторой бикомпактификации локально бикомпактного хаусдорфова отображения f X -> У тогда и только тогда, когда существует морфизм нароста f максимальной бикомпактификации х/ отображения / на отображение £

Очевидно, теорема 3 1 есть обобщение теоремы М1 Следующее определение обобщает определение 2 2 Определение 1.1. Морфизм А называется приложением отображения / к подотображению § отображения g, если.

е^\[С^^ , для любого открытого V в У, любого

открытого и в X такого, что и с /~1У и отображение / -> V

бикомпактно;

2) для любой точки у е и любой окрестности IV в 2 слоя существует окрестность V точки у и множество такое, что отображение /' |У]/-1с У бикомпактно и

3)отображение fR-f бикомпактно

Если, дополнительно

4) Я(Х)п/г = 0,

то морфизм Л называется точным приложением отображения / к подотображению отображения %

Теорема 1.2. Для бикомпактного отображения § и локально

бикомпактного хаусдорфова отображения / X -> У следующие условия эквивалентны

1) отображение § является наростом некоторой бикомпактификации отображения /,

2) существуют хаусдорфово отображение имеющее § в качестве

подотображения, и приложение отображения f к подотображению отображения ¿г,

3) существуют хаусдорфово отображение g г^У, имеющее § в качестве подотображения, и точное приложение отображения / к подотображению § отображения g

С помощью теоремы 1.2 получен следующий частичный ответ на вопрос о внутренней характеризации отделимо бикомпактифицируемых отображений

Теорема 1.5. Любое локально бикомпактное хаусдорфово отображение отделимо бикомпактифицируемо

В части 2 диссертации под пространством понимается топологическое 72-пространство Эта часть диссертации содержит обобщения теоремы М2 Они основываются на теоремах о (к-)гомеоморфизме пространств и отображений, полученных в этой же части диссертации

Отметим, что в 1973 году теорема М2 была частично перекрыта приводимой ниже теоремой И., полученной Рейборном Для ее формулировки потребуется понятие ¿-абсолютного пространства, то-есть тихоновского пространства нарост стоун-чеховской бикомпактификации которого является к -пространством. Очевидно, любое локально бикомпактное пространство является ¿-абсолютным.

Теорема II. Наросты стоун-чеховских бикомпактификации двух к-абсолютных пространств гомеоморфны, если изоморфны частично упорядоченные множества всех бикомпактификации этих пространств

В 2001 г. Блудовой, Нордо и Пасынковым теоремы М2 и Я следующим образом были распространены со стоун-чеховских на произвольные бикомпактификации локально бикомпактных и ¿-абсолютных пространств

Напомним, что пространства X и У называются к-гомеоморфными, если существует ¿-гомеоморфизм X на У (то есть взаимно однозначное и взаимно непрерывное на бикомпактных подмножествах пространств X и У отображение А" на Г) Кроме того, для бикомпактификации еХ тихоновского простран-

ства X символ К(еХ) обозначает частично упорядоченное множество всех бикомпактификаций пространства X, предшествующих еХ.

Теорема (теорема 4.6). Для локально бикомпактных пространств Х1

и Х2 и их бикомпактификаций еХ\ и еХ2 наросты еХх \ Х} и еХ2\Х2 гомео-морфны тогда и только тогда, когда изоморфны множества К{еХх) и К{еХ2) Эта теорема обобщает теорему М2

Теорема ВОТ2 (теорема 4.5). Если для тихоновских пространств Ххи Х2 и их бикомпактификаций еХ\ и еХ2 существует изоморфизм г К(еХ\)->К(еХ2), то наросты еХ1 \Х\ и еХ2\Х2 к-гомеоморфны, и эти наросты гомеоморфны, если, дополнительно, Ху, Х2 являются к-абсолютными пространствами Эта теорема обобщает теорему К

Следующее утверждение диссертации обобщает теорему ВЫР1 (и т. М2) Теорема 4.9. Для локально бикомпактных пространств Х\ и Х2 наросты еХ\ \Х[ и еХ2\Х2 гомеоморфны тогда и только тогда, когда существует изоморфизм г й (еХ1) ~> со/ ) для некоторой конфинальной части со/Ш(еХ2)

Для теоремы ВЫР2 и Я в диссертации получено аналогичное обобщение Перейдем к результатам диссертации, распространяющим теоремы В№1, ВЫР2 (а, значит, теоремы М2 и Я) на непрерывные отображения

Пусть / Х->У есть непрерывное отображение, еХ есть расширение пространства X и е/ еХ-*У есть непрерывное продолжение отображения / Будем использовать обозначения Ху = Гху и еХу = [ху^, где уеУ Напомним, что отображение / Х->У тихоновских пространств называется

Ш - отображением, если (/?/)"'(у) = 1 ! для любого уеУ, где

1 ЛР/Х

/?/ р^Х У есть максимальная тихоновская бикомпактификация /

Нам потребуется отображение кгевх,ху К(еХ)-> к(еХу) такое, что кге5Хгху = для любой бикомпактификации сХ е К (еХ).

Для непрерывных отображений ^ Х} -у У, ) -1,2, (к-)гомеоморфизм Ъ Хх —> Х2 пространства Ху на пространство Х2 называется (к-)гомеоморфизмом отображения /1 на отображение /2, если /1 = /2

Следующие далее, теоремы КР2 и КПР1, полученные в статье [б], распространяют теоремы Я и М2 на Ш-отображения тихоновского или локально бикомпактного пространства в бикомпакт

Теорема М*2. Наросты е/7\/,=«/} еХ} \Х]-у У бикомпактификаций

ТУХ-отображений fJ к-абсолютных пространств Х}, 7 =1,2, в бикомпакт У гомеоморфны, если существуют изоморфизмы г К(еХ1)-> К(еХ2) и 1у к{еХ\у}-+ К[еХ2у), уеУ, такие, что 1у °кге$Х\Х[у = кгезх1х-1у для любого

Теорема ]ЧР1. Наросты efJ\fj=e.f} еХ^Х^-ьУ бикомпактификаций Ш-отображений локально бикомпактного пространства Х}, ] =1,2, в бикомпакт У гомеоморфны, если и только если существуют изоморфизмы г ^К(еХх)-+К(еХ2) и гу К(еХуу)->К[еХ2у), уеУ, такие, что 1у о кге.1ххХ]у -кгеяхгХгу''1 для любого уеУ

Теоремы Я и М2 следуют из теорем №1 и №2, если взять отображение f¡ Х}^У пространства X] в одноточечное пространство У и в качестве еХ}

рассматривать рХ}, ; = 1,2

Оказалось, что эти теоремы доказаны только в случае, когда все слои наростов е^ \ /,, ] = 1,2, неодноточечны

Доказательство вышеперечисленных теорем В1МР1, ВМР2, ЫР1 и ЭДР2 основывается на методе, который сводит теоремы о гомеоморфизме

наростов бикомпактификаций двух пространств к некоторым теоремам о (к -) гомеоморфизме двух пространств.

Аналогичный метод использован и в диссертации.

Для объяснения этого метода (и, поскольку, теоремы о (к -) гомеоморфизме пространств и непрерывных отображений, как нам кажется, имеют самостоятельный интерес) приведем сначала необходимые определения и результаты

Рассмотрим пространство X. Частично упорядоченное множество всех совершенных отображений пространства X на другие пространства обозначим Р(Х)

Пусть Л е Р(Х) Отображение X называется простым, если существует единственная точка ¡л е Х(Х) такая, что |д-1 (?д)| > 1

Отображение Я называется конечно простым, если существует непустое конечное множество точек ГсА(1) такое, что |я_1(/)|>1 для любой точки t еТ

и |я-](0| = 1 Для любой точки teX(X)\T

Отображение Я называется дуальным, если оно простое и \х~1 (ь )| = 2 Пусть S(x)cp(x) есть множество всех простых отображений пространства X, FS(X)cP(X) есть множество всех конечно простых отображений пространства X, D(x) есть множество всех дуальных отображений пространства X Далее, 1{Х) будет обозначать такое подмножество множества Р{Х), что FS{X)vj{idx}<zl{X)

Определение 4.1. Пара (a,ß) такая, что a,ßeD(X) и a*ß, называется 3-вершинником, еели существует у <е D(X)\{a,ß} такое, что y>mi{a,ß}.

Семейство F с D(X) называется 3-еершинным, если для любых различных a,ßsF существует уsD(X)\F такое, что y>m£{a,ß}.

Максимальное 3-вершинное семейство называется точечным семейством

Если 3-вершинное семейство ^ содержит более одного элемента, то множество ^ ЛeF| состоит из одной точки Эту точку обозначим

•>(х)(р)

Для любого хеХ положим = <вО(Х) Тогда,

если |Х|>2, то К^(х) есть точечное семейство, х для любой

точки хеХ и {^{х) = р для любого точечного семейства ^ с й[Х)

Рассмотрим два пространства Хь Х2 и некоторые множества /(Л^) и 1(Х2) Если существует изоморфизм г 1{Х{]-*1(Х2) и |^,|>2, у =1,2, то

есть точечное семейство в /(Х2) для любой точки х\ пространства Х\ Следующая теорема получена Блудовой, Нордо, Пасынковым. Теорема В№*0 (теорема 4.1). Если пространства Х1 и Х2 к-гомеоморфны и они являются к-пространствами, то изоморфны множества Р{х{) и Р(Х2) (следовательно, изоморфны множества и Р8(Х2))

Если изоморфны некоторые множества /(Х1) и /(Х2), тогда к-гомеоморфны пространства Хх и Xи если, дополнительно, пространства и Х2 являются к-пространствами, то они гомеоморфны Более подробно, если существует изоморфизм г ¡(Хх)-^ 1(Х2) и |^7|>2, ) =1,2, то отображение А, Хх->Х2, такое, что

(*) М*1) = ф-2)(<(£(.Г1) (*!))) для любого ххеХи есть к-гомеоморфизм пространства Хх на пространство Х2

В §4 получены следующие теоремы о (к -) гомеоморфизме пространств Для пространства X положим Р(х) = />(х)\{г^}, 1{Х) = 1(Х)\{1с1х}, конфинальную часть множества будем обозначать со/$(Х).

Теорема 4.2. Если для пространств Хх и Х2 существует изоморфизм

/ /(ЛГ,)->со/Р(Х2) и S(X2)<^cof{l>(X2) для некоторых 1{Хх)и cof${X2), то пространства Х\ и Х2 к - гомеоморфны Если, дополнительно, Xj и Х2 являются k-простанствами, то они гомеоморфны

Теорема 4.3. Если в теореме 4 2 Х\ - бикомпакт, то пространства Х\ и Х2 гомеоморфны (и пространство Х2 является бикомпактом)

Теорема 4.4. Бикомпакты Х[ и Х2 гомеоморфны тогда, и только тогда когда существует изоморфизм i. cof?(X2) для некоторого мно-

жества cofft(X2)

Основным результатом §5 является следующая теорема 5.3. Нам потребуется отображение resx,A Р(Х)~*Р{Л) (гДе множество А замкнуто в пространстве Х)такое, что resх А(Л) = (/1 А->Л(А)) для любого ЛеР(Х).

Положим Y*f*h = !>■ s 7 \хХу\ = \х2у\ > 2]

Теорема 5.3 (общий критерий (^гомеоморфизма непрерывных отображений. Для непрерывных отображений f} Xj-±Y, j=l,2, следующие

условия эквивалентны

a) отображения f\ и f2 k- гомеоморфны,

b) 1) существует изоморфизм i I(X\)-+I(X2) для некоторых множеств 1{ХЛ) и 1(Х2) такой, что

(#) 1{к(х,){х1у]) = к(х2){х2у) (где {X]y}=Xjy, j =1,2) длялюбого уеУ\У%/2, 2) для любого уеУ существуют некоторые множества l{X\y}, и

изоморфизм iy l{^X2y), удовлетворяющий условию iy°resXxxly-

= resXlx2y для любого у е У/^/2

Более точно если > 2, j =1,2, то отображение {h, = Xt -> Х2 является искомым к-гомеоморфизмом отображения f\ на отобра-

жение если у =1,2, то отображение гомеоморфно отобра-

жению /2

Если, дополнительно, пространства XJI ] =1,2, являются к-пространствами, то к-гомеоморфизм является гомеоморфизмом

Заметим, что в теореме 5 3 (а) существование изоморфизма г определяет по формуле (*) ¿-гомеоморфизм пространств./^ Х1~^Х2,

(Р) условие 2) гарантирует, что \ (х]у ] = Х2у для всех у е У*/и/г , (г) условие (#) гарантирует, что к, {х^у) = Х2у для всех у е У \ , и, следовательно, \ является не только ¿-гомеоморфизмом пространств X] и , но и ¿-гомеоморфизмом отображений Л и /2 В случае совершенности отображений /] и /2 условия теоремы 5 3 могут быть несколько ослаблены

Теорема 5.4. Если отображения у =1,2, в теореме 5 3 бикомпактны

(=совьр1иенны), то выполнения условия (#) можно требовать только для точек из

§6 диссертации носит вспомогательный характер В нем сформулированы теоремы, которые являются частными случаями теорем 5.3 и 5 4

В §7, опираясь на теоремы о (к -) гомеоморфизме непрерывных отображений из §5, получены теоремы о (к -) гомеоморфизме наростов послойно плотных бикомпактификаций (см далее) отделимо бикомпактифицируемых отображений.

Пусть пространство еХ является хаусдорфовым расширением некоторого пространства X

Определение 7.1. Непрерывное отображение <р расширения еХ на расширение сХ пространства X называется каноническим, если <р{х) = х для

всех хеХ.

Определение 7.2. Бикомпактификадия ef efX->Y отделимо биком-пактифицируемого отображения / называется послойно плотной, если

Г/-'Д = (е/)"1 У для любого у<=У 1 Л(<#) у

Определение 7.3. Отделимо бикомпактифицируемое отображение / называется абсолютно послойно плотным, если {х1У1{у)-\ /~1у | для

любого уеУ, где .х/Х ->У есть максимальная бикомпактификадия отображения /

Абсолютно послойно плотными являются, например, все замкнутые отделимо бикомпактифицируемые отображения в регулярное пространство.

Очевидно, все тихоновские бикомпактификации - отображения и все бикомпактификации абсолютно послойно плотного отображения являются послойно плотными

Для тихоновского пространства X, его бикомпактификации еХ и точки х из еХ\Х через Кк(еХ) (х) будем обозначать множество всех таких би-

компактификаций сХеК(еХ), для которых каноническое отображение еХ на сХ имеет только один двухточечный слой, содержащий точку х, а все остальные слои одноточечны Следующая теорема уточняет теорему МР2, устраняя ее частичную недоказанность

Теорема 7.3. Если для послойно плотных бикомпактификации е/} еХ; ->У непрерывных отобрсакений тихоновских пространств Xр ]=\,2, в

бикомпакт У

1) существует изоморфизм г К(еХ1)-^ К(еХ2) такой, что

(#*) '(Кк(ех1){хе1у)) = КК(еХг){хе2у) (где {хщу) = Яел>,= 1,2) длялюбого

2) для любого уеУсуществует изоморфизм к{еХ1у}->к(еХ2у) такой, что ¡у°кгезх1х1у =кгезх2х2у<>1 длялюбого то

наросты е/\\/) и е/2\/2 к-гомеоморфны

Если, дополнительно, Х}, ; =1,2, являются к-абсолютными пространствами, то к-гомеоморфизм нароста е/] на нарост е/2 \ /2 является гомеоморфизмом

Теорема В№2, обобщающая теорему Я, следует из теоремы 7 3, если взять отображения fJ тихоновских пространств Х}, ] =1,2, в одноточечное

пространство У

Следующая теорема уточняет теорему №4, устраняя её частичную недоказанность

Теорема 7.7. Для послойно плотных бикомпактификаций е/} локально

бикомпактных отображений /, пространств Xр у = 1,2, в бикомпакт У

следующие условия а) и Ь) эквивалентны

a) наросты е/1\/у и е/2\/2 гомеоморфны,

b) 1) существует изоморфизм I К(еХ{)-*К{еХ2) такой, что

(#к) ¡(Кц^Ыу^ХкшЫу) (где М = длялюбого

Уе¥*/\Ч\>е/2\/2'

2) длялюбого уеУсуществует изоморфизм гу к(еХ\у)->К^еХ2у) такой, что ¡у°кге5Хххь =ье*хгх1у°* длялюбого уеУ^\/ье/2\/2

Теорема ВМР1, обобщающая теорему М2, следует из теоремы 7 7, если взять отображение /, локально бикомпактного пространства Xj в одноточечное

пространство У

В заключение автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Б. А Пасынкову за постановку задач, постоянное внимание и помощь в работе.

Публикации автора по теме диссертации

1 Белянова Э. Н. О бикомпактных расширениях локально бикомпактных отображений // Вестник Московского государственного технического университета им. Н. Э. Баумана.- 2006.-№ 1(20).-С.3-11 (0,5 печ. л.).

2. Белянова Э.Н. О наростах бикомпактных расширений локально бикомпактных отображений // Известия РАН. Серия математическая. -2007.- т. 71.- №3.- С.5-14 (0,5 печ. л.).

3 Белянова Э.Н Описание всех Т2-бикомпактификаций локально бикомпактного Т2-пространства// Научные труды Мл II У.— М. Прометей. -2004 —С.13-19 (0,4 печ л.)

4. Белянова Э Н О бикомпактификации локально бикомпактного Т2 - пространства // Актуальные проблемы математики, физики, информатики и ме тодики их преподавания (юбилейный сборник 130 лет МПГУ) - М Прометей - 2003.-С 42-43 (0,1 печ л).

5. Белянова Э.Н Характеризация отделимо бикомпактифицируемых локально бикомпактных хаусдорфовых отображений // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона -2006 - вып 8 -С.34-36 (0,2 печ,л.).

6. Белянова Э Н Об одном обобщении теорем Магилла и Рейборна // Рук деп в ВИНИТИ 28 04 07, №481-В2007. - М МПГУ, 2007 (0,6 печ л)

7 Белянова Э Н Бикомпактифицируемость локально бикомпактного отображения//Рук. деп в ВИНИТИ 28 04 07, №482-В2007.- М.МПГУ,2007 (0,4 печ л)

8 Белянова Э.Н Обобщения теорем Магилла и Рейборна на отображения // Рук деп в ВИНИТИ 28 04 07, №483-В2007. - М • МПГУ, 2007 (2 печ л )

Подл к печ 08 10 2007 Объем 1 пл. Заказ № 100 Тир 100 экз Типография МПГУ

Введение

Часть 1. ОПИСАНИЕ НАРОСТОВ БЖОМПАКТИФИКАЦИЙ ЛОКАЛЬНО БИКОМПАКТНЫХ ХАУСДОРФОВЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ И ПРОСТРАНСТВ

§ 1. Первое описание наростов бикомпактификаций локально бикомпактного хаусдорфова отображения (приложение отображений)

§ 2. Описание наростов бикомпактификаций локально бикомпактного хаусдорфова пространства

§ 3. Второе описание наростов бикомпактификаций локально бикомпактного хаусдорфова отображения (обобщение теоремы Ml)

Часть 2. ТЕОРЕМЫ О ГОМЕОМОРФИЗМЕ ПРОСТРАНСТВ И

ОТОБРАЖЕНИЙ

§ 4. Обобщения теорем Магилла и Рейборна для случая пространств

§ 5. Теоремы о к - гомеоморфизме отображений

§ 6. Теоремы о А:-гомеоморфизме наростов бикомпактификаций отображений-----------------------------------------—

§ 7. Теоремы Магилла и Рейборна для отображений

Ниже, пространство будем понимать как топологическое пространство, непрерывное отображение - как непрерывное отображение пространств, бикомпактификацию - как (если не оговорено иное) хаусдорфову биком-пактификацию пространства или отображения.

Диссертация, главным образом, посвящена наростам бикомпактификаций локально бикомпактных пространств и локально бикомпактных отображений. Она отталкивается от двух известных (полученных в 1966 и 1968 годах) теорем Магилла (К. D. Magill), описывающих, во-первых, наросты всех бикомпактификаций локально бикомпактного хаусдорфова пространства при помощи его стоун-чеховского нароста и, во-вторых, стоун-чеховский нарост локально бикомпактного хаусдорфова пространства при помощи всех бикомпактификаций этого пространства. Различные обобщения этих теорем можно видеть в работах [2], [5], [6], [9], [13].

Локально бикомпактные хаусдорфовы пространства характеризуются тем, что они открыты в любой своей бикомпактификации. Значит, наростом бикомпактификации локально бикомпактного хаусдорфова пространства является бикомпакт. Решая вопрос, когда данный бикомпакт является наростом бикомпактификации данного локально бикомпактного хаусдорфова пространства. К. Д. Магилл в 1966 году [1] доказал следующую теорему, дающую описание всех наростов бикомпактификаций локально бикомпактного хаусдорфова пространства.

Теорема Ml. Бикомпакт R является наростом некоторой бикомпактификации локально бикомпактного хаусдорфова пространства X тогда и только тогда, когда R есть непрерывный образ стоун-чеховского нароста {ЗХ \ X.

В части 1 диссертации получено иное описание всех наростов бикомпактификаций локально бикомпактного хаусдорфова пространства (см. ниже теорему 2.1), использующее, вводимое ниже, понятие приложения локально бикомпактного пространства к бикомпакту, лежащему в некотором хаусдорфовом пространстве.

Определение 2.1. Подмножество U пространства X называется ограниченным в нём, если [U]x есть бикомпакт.

Пусть X есть локально бикомпактное хаусдорфово пространство, Z-хаусдорфово пространство, и бикомпакт R содержится в пространстве Z.

Определение 2.2. Непрерывное отображение Л: X называется приложением пространства Xк бикомпакту R в пространстве Z, если: 1 )Rc[A(X\U)]z для любого открытого и ограниченного вXмножества U;

2) для любой окрестности W бикомпакта R в пространстве Z существует ограниченное вХ множество U такое, что X{X\U)c:W.

Если, дополнительно:

3) Л(Х)пД = 0, то отображение Я называется точным приложением пространства X к бикомпакту R в пространстве Z.

Теорема 2.1. Для бикомпакта R и локально бикомпакного хаусдорфова пространства X следующие условия эквивалентны:

1) бикомпакт R является наростом некоторой бикомпактификаций пространства X;

2) существует приложение пространства X к бикомпакту R в некотором пространстве Z;

3) существует точное приложение пространства X к бикомпакту R в некотором пространстве Z.

Чтобы лучше понять суть понятия приложения пространства к бикомпакту, рассмотрим некоторые частные ситуации.

Определение 2.5. Непрерывное отображение A-.X-^Z называется плотным в бесконечности, если для любого открытого ограниченного в X множества U множество A{X\U) плотно в пространстве Z.

Очевидно, если отображение А:Х R локально бикомпактного хаусдорфова пространствах в бикомпакт R является плотным в бесконечности, то оно является приложением пространства X к бикомпакту R в пространстве R.

Определение 2.4. Непрерывное отображение A:X->Z кобикомпактно накрывает множество RqZ, если:

1) Rq[A{X\U)]z для любого открытого ограниченного в X множества U;

2) множество Л(Х) бикомпактно;

3) отображение Zr=A(X\A~1R)->Y\R совершенно.

Если отображение А локально бикомпактного хаусдорфова пространства X в хаусдорфово пространство Z кобикомпактно накрывает бикомпакт RqZ, то (см. теорему 2.3) оно является приложением пространства X к бикомпакту R в пространстве Z.

Пример 1. Рассмотрим отображение А: N -> [0;1], которое натуральный ряд взаимно однозначно переводит в счетное всюду плотное в [0;1] множество.

Отображение Я является плотным в бесконечности, но не является кобикомпактно накрывающим бикомпакт [0;1].

Пример 2. Рассмотрим отображение Я:(0;1]-># такое, что /l(x) = sin- при Отображение Я кобикомпактно накрывает бикомпакт [-1;1], но не является плотным в бесконечности.

Пример 3. Тождественное вложение локально бикомпактного (но не бикомпактного) хаусдорфова пространства X в любую свою биком-пактификацию является точным приложением пространства X к наросту этой бикомпактификации, но не является кобикомпактно накрывающим этот нарост и не является плотным в бесконечности отображением в нарост.

Рассмотренные примеры показывают, что класс отображений локально бикомпактного хаусдорфова пространства, кобикомпактно накрывающих бикомпакт, не совпадает с классом плотных в бесконечности отображений локально бикомпактного хаусдорфова пространства в бикомпакт, тогда как оба содержатся в классе отображений, которые являются приложениями локально бикомпактного хаусдорфова пространства к бикомпакту.

И теорема 2.1. и теорема Магилла Ml могут быть распространены на случай непрерывных отображений. Напомним, как некоторые определения, касающиеся пространств, распространяются на непрерывные отображения.

Непрерывное отображение/ :Х Yназывается: а^бикомпактным, если оно совершенно; б) хаусдорфовым, если для любых двух таких точек х и х' из X, что хфх\ /(х) =/(*'), в X существуют дизъюнктные окрестности; в) локально бикомпактным (К.И. Ишмахаметов) [12], если для любой точки х из X существуют окрестность U точки х в X и окрестность V точки /(х) в F

Wo;

V я

И Я(х) = ух при хе я

-;1 такие, что C/c/V и отображение -»F бикомпактно; г) бикомпактифицируемым (= отделимо бикомпактифщируемым), если существует бикомпактификация (бикомпактное хаусдорфово отображение cf:cfX->Y такое, что X всюду плотно в cj-X и cf\x=/) отображения /.

Наростом бикомпактификации с/ бикомпактифицируемого отображения / является отображение cf\f = cf:cfX\X->Y. Для бикомпактифицируемых отображений определение локально бикомпактного отображения, данное Ишмахаметовым, эквивалентно определению Б. А. Пасынкова [3]: отображение f-.X-^Y локально бикомпактно, если X открыто в CfX для любой бикомпактификации cf отображения /.

Напомним также, что непрерывное отображение f:X->Y называется: а) Tq-отображением, если для любых двух таких точек * и х' из X, что хфх\ f(x) = /(*'), хотя бы у одной из точек х и х' в X найдется окрестность, не содержащая другую точку; б) функционально хаусдорфовым, если для любых двух таких точек х и х' из X, что хфх', f(x) = f(x'), найдется окрестность О точки /(*), в прообразе которой множества {х} и (х'} функционально отделимы; в) вполне регулярным, если для любой точки хеХ и любого замкнутого в X множества F, не содержащего точку х, найдется окрестность О точки /(*), в прообразе которой f~]0 множества {*} и F функционально отделимы. Вполне регулярное Г0- отображение называется тихоновским.

Как показал А. Н. Тихонов, существование бикомпактификации пространства равносильно его тихоновости. В случае отображений это не так. Все тихоновские отображения бикомпактифицируемы, но существуют не тихоновские отделимо бикомпактифицируемые отображения.

Естественной является попытка получить описания наростов бикомпактификаций локально бикомпактного хаусдорфова отображения как 7 обобщение имеющихся описаний наростов бикомпактификаций локально бикомпактного хаусдорфова пространства.

В части 1 диссертации, в теоремах 3.1 и 1.2, такие описания получены. В случае одноточечного пространства Y следствием теоремы 3.1 является теорема Ml, следствием теоремы 1.2 является теорема 2.1.

Напомним, что морфизмом X: / -> g непрерывного отображения /: X -» Y в непрерывное отображение g: Z Y называется непрерывное отображение Л: X -» Z такое, что f = g°X.

Пусть даны локально бикомпактное хаусдорфово отображение f:X->Y, хаусдорфово отображение g:Z->Y и бикомпактное подотображение g = g-.R-^Y, где RсZ, отображения g.

Теорема 3.1. Бикомпактное хаусдорфово отображение g: Z ->Y является наростом некоторой бикомпактификации локально бикомпактного хаусдорфова отображения f:X->Y тогда и только тогда, когда существует морфизм нароста / максимальной бикомпактификации Xf отображения f на отображение g.

Сформулированная теорема является обобщением теоремы Магилла Ml на хаусдорфовы локально бикомпактные отображения. Вопрос о втором обобщении теоремы Ml (на локально бикомпактные тихоновские отображения и их тихоновские бикомпактификации) остается пока открытым. В то же время, распространение на случай отображений понятия приложения пространства к бикомпакту позволяет получить (обобщающее теорему 2.1) описание наростов и всех бикомпактификаций локально бикомпактного хаусдорфова (теорема 1.2) и всех тихоновских бикомпактификаций локально бикомпактного тихоновского отображения (теорема 1.3).

Следующее определение обобщает определение 2.2.

Определение 1.1. Морфизм Л называется приложением отображения f к подотображению g отображения g, если: открытого U в X такого, что f/с/ XV и отображение iy->V бикомпактно; существует окрестность V точки у и множество U с / V такое, что

Если, дополнительно: 4) A(X)nR = 0, то морфизм Л называется точным приложением отображения f к подотображению g отображения g.

Теорема 1.2. Для бикомпактного отображения g\R->Y и локально бикомпактного хаусдорфова отображения f :Х ->Y следующие условия эквивалентны:

1) отображение g является наростом некоторой бикомпактификаций отображения f;

2) существуют хаусдорфово отображение g:Z->Y, имеющее g в качестве подотображения, и приложение отображения f к подотображению g отображения g;

3) существуют хаусдорфово отображение g:Z->Y, имеющее g в качестве подотображения, и точное приложение отображения f к подотображению g отображения g. любого открытого V в Y, любого

2) для любой точки yegR и любой окрестности W в Z слоя g 1у отображение /:[U]j-\v -> У бикомпактно и ;

3)отображение fR=f:{^X\f~x(gR)^Y\gR бикомпактно.

Теорема 1.4. Для бикомпактного отображения g-.R-^Y и локально бикомпактного тихоновского отображения f:X^Y следующие условия эквивалентны:

1) отображение g является наростом некоторой тихоновской биком-пактификации отображения /;

2) существуют тихоновское отображение g:Z->Y, имеющее g в качестве подотображения, и приложение отображения f к подотображению g отображения g;

3) существуют тихоновское отображение g:Z^>Y, имеющее g в качестве подотображения, и точное приложение отображения f к подотображению g отображения g.

Отметим, что впервые существование совершенного продолжения (т. е. бикомпактификаций) для локально совершенного отображения ^-пространств доказано Кролевец [11] в 1966 году. Заметим, что в классе регулярных 7] - пространств это означает существование совершенного продолжения для локально бикомпактного хаусдорфова отображения. Понятия отделимости отображений тогда ещё не были определены.

В связи с работами Норина и Пасынкова возник (более 20 лет назад) вопрос о внутренней характеризации отделимо бикомпактифицируемых отображений. С помощью теоремы 1.2 получен следующий частичный ответ на этот вопрос.

Теорема 1.5. Любое локально бикомпактное хаусдорфово отображение отделимо бикомпактифицируемо.

В части 2 диссертации под пространством понимается топологическое Т2 - пространство.

Эта часть диссертации содержит обобщения следующей теоремы К. Д. Магилла[4].

Теорема М2. Наросты стоун-чеховских бикомпактификаций двух локально бикомпактных пространств гомеоморфны, если и только если изоморфны частично упорядоченные множества всех бикомпактификаций этих пространств.

Отметим, что в 1973 году теорема М2 была частично перекрыта, приводимой ниже, теоремой R, полученной Рейборном (М. С. Rayborn) в статье [9].

Для её формулировки потребуется понятие к - абсолютного пространства, то есть тихоновского пространства нарост стоун-чеховской бикомпакти-фикации которого является пространством. Очевидно, любое локально бикомпактное пространство является к -абсолютным. В [9] показано, что к-абсолютными являются все вещественно-компактные (sR-компактные) пространства (то есть все замкнутые подмножества всевозможных степеней прямой).

Теорема R. Наросты стоун-чеховских бикомпактификаций двух к-абсолютных пространств гомеоморфны, если изоморфны частично упорядоченные множества всех бикомпактификаций этих пространств.

В 2001 г. Блудовой, Нордо и Пасынковым [5] теоремы М2 и R следующим образом были распространены со стоун-чеховских на произвольные бикомпактификации локально бикомпактных и к -абсолютных пространств.

Напомним, что пространства X и Y называются к - гомеоморфными, если существует А:-гомеоморфизм X на Y (то есть взаимно однозначное и взаимно непрерывное на бикомпактных подмножествах пространств X и Y отображение X на У). Кроме того, для бикомпактификации еХ тихоновского пространства X символ К(еХ) обозначает частично упорядоченное множество всех бикомпактификаций пространства X, предшествующих еХ.

Теорема BNP1 (теорема 4.6). Для локально бикомпактных пространств Х\ и Х2 и их бикомпактификаций еХ\ и еХ2 наросты еХ{ \Х\ и еХ2\Х2 гомеоморфны тогда и только тогда, когда изоморфны множества К(еХj) и К(еХ2).

Эта теорема обобщает теорему М2.

Теорема BNP2 (теорема 4.5). Если для тихоновских пространств Х\ и Х2 и их бикомпактификаций еХ\ и еХ2 существует изоморфизм i \ К(еХ\) К{еХ2), то наросты eXt \ Хх и еХ2 \ Х2 к - гомеоморфны, и эти наросты гомеоморфны, если, дополнительно, Х\, Х2 являются к-пространствами.

Эта теорема обобщает теорему R.

Пасынковым был задан вопрос о замене в теоремах BNP1 и BNP2 частично упорядоченных множеств К(еХ1) и К (еХ2) их конфинальными частями. Так как еХ является максимальным элементом во множестве К{еХ) для любого тихоновского пространства X, то, разумеется, надо рассматривать конфинальные части cofк[еХу) множеств к[еХ^ = к[еХ^\ eXj},j = 1,2.

Следующее утверждение диссертации обобщает теорему BNP1 (и теорему Ml).

Теорема 4.9. Для локально бикомпактных пространств Хх и Х2 наросты еХ\ \ Х[ и еХ2 \Х2 гомеоморфны тогда и только тогда, когда существует изоморфизм i:K(eX])-+ со/К(еХ2) для некоторой конфиналъной части со/К(еХ2).

Теорема 4.9 вытекает из теоремы 4.8.

Теорема 4.8. Если для локально бикомпактного пространства Х\ и тихоновского пространства Х2 существует изоморфизм i:K{eX\)-> ->cof К[еХ2) для некоторой конфиналъной части со/К{еХ2), то наросты еХ\ \ Х{ и еХ2 \Х2 гомеоморфны (и пространство Х2 является локально бикомпактным).

Можно ли в теоремах 4.9 и 4.8 использовать со/К{еХ{) вместо К(еХ\)Ч

Пока этот вопрос открыт, так как, так как в приводимом в диссертации доказательстве теоремы 4.8 используется существование точной нижней грани произвольного подмножества из cof К(еХх).

Далее, для К(еХ) через S(eX) будем обозначать множество всех таких бикомпактификаций сХеК(еХ), для которых каноническое отображение еХ на сХ имеет ровно один неодноточечный слой (и, очевидно, этот слой лежит в наросте еХ\Х).

Следующая теорема обобщает теорему BNP2 (и теорему R).

Теорема 4.7. Если для тихоновских пространств Х\ и Х2 и некоторой конфиналъной части со/К(еХ2) существует изоморфизм i: К [еХ\) -> -^cof К(еХ2) и S{eX2)Qcof К(еХ2), то наросты еХ\\Х\ и еХ2\Х2 к-гомеоморфны. Если, дополнительно, Х\ и Х2 являются к-абсолютными пространствами, то еХ\ \Х[ и еХ2 \Х2 гомеоморфны.

Доказательство теорем 4.7 и 4.8 основывается на методе, использованном в [4]. Этот метод сводит теоремы о (£-) гомеоморфизме наростов бикомпактификаций двух пространств к некоторым теоремам о (А:-)гомеоморфизме двух пространств.

Аналогичный метод будет использован и при распространении теорем М2, Rh BNP2, BNP1 на непрерывные отображения.

Для объяснения этого метода (и, поскольку, теоремы о (^гомеоморфизме пространств и непрерывных отображений, как нам кажется, имеют и самостоятельный интерес) приведем сначала соответствующие определения и результаты из статей [8] и [5].

Рассмотрим пространство X. Частично упорядоченное множество всех совершенных отображений пространства X на другие пространства! обозначим Р{Х).

Пусть ЛеР(Х). Отображение Л называется простым, если существует единственная точка /д еЛ(Х) такая, что Л

1.

Отображение Л называется конечно простым, если существует непустое конечное множество точек Т<^Л(Х) такое, что Л '(/)

1 для любой точки teT и

Л *(/) =1 для любой точки teA(X)\T. 2.

Отображение Л называется дуальным, если оно простое и Л 1 (t{)

Пусть 5'(Х)сР(Х) есть множество всех простых отображений пространства X, FS(x)cP(X) есть множество всех конечно простых отображений пространства X, D(X) есть множество всех дуальных отображений пространства X. В статье [5] доказано, что множество FS(X)u{idx} является решеткой.

Далее, 1(Х) будет обозначать такое подмножество множества Р(Х), что FS(X)u{idx}cl(X).

Определение 4.1. Пара (а,р) такая, что a,fieD(X) и а ф(5, называется 3-вергиинником, если существует у eD(X)\{a,p) такое, что y>\nf{a,p).

Пара (а,р), при a,fieD(X) и а*р, которая не является 3-вершинником, называется 4-еершинником. Если a,p,yeD(X), пара (а,0) является 4вершинником, пары (а,у) и (р,у) являются 3-вершинниками, то отображение у называется связывающим пару (а,р).

Семейство FcD(X) называется 3-вершинным, если для любых различных а,р е F существует у еD(X)\F такое, что у >inf {а,р}.

Максимальное 3-вершинное семейство называется точечным семейством. Если 3-вершинное семейство F содержит более одного элемента, то множество XF =n|/l"1(//l):2GF состоит из одной точки. Эту точку обозначим

Для любого хеХ положим £p^(x) = j<SeD(Z):;ce<r"l(/j)j. Тогда, если |х|>2, то есть точечное семейство, J(x)[K(X){x))~x для любого хеХ и = F для любого точечного семейства

FqD(X).

В статье [5] конечно простые отображения описаны в терминах порядка. Рассмотрим два пространства Xj, X2 и некоторые множества /(^j) и 1(Х2)■ Если существует изоморфизм i:l(X\)-> 1(Х2) и >2, / = 1,2, то есть точечное семейство в 1(Х2) для любой точки xj пространства Х\. В [5] доказана

Теорема BNP0 (теорема 4.1). Если пространства Х\ и Х2 к-гомеоморфны и они являются к-пространствами, то изоморфны множества Р{Х\) и Р(Х2) (следовательно, изоморфны множества FS{X{) и

FS{X2)).

Если изоморфны некоторые множества 1{Х\) и l(X2), тогда k-гомеоморфны пространства X] и Х2, и если, дополнительно, пространства Х\ и Х2 являются к-пространствами, то они гомеоморфны.

Более подробно, если существует изоморфизм i \ 1 [Х{) 1 (Х2) и Xj >2, j = 1,2, то отображение ht :Х\ ->Х2, такое, что для любого xi<aX\, есть к-гомеоморфизм пространства Х\ на пространство Х2.

Отметим, что формула (*) в дальнейшем играет существенную роль.

Перейдем к изложению результатов §4 о гомеоморфизме двух пространств.

Для пространства X положим P(X) = P(X)\{idx}, I(X) = I{X)\{idx}, конфинальную часть множества Р(Х) будем обозначать со/Р(Х).

Теорема 4.2. Если для пространств Х] и Х2 существует изоморфизм i:I(Xl)->co/P(X2) и S(X2)ccofP(X2) для некоторых l(X{)u cofP(X2), то пространства Х\ и Х2 k-гомеоморфны. Если, дополнительно, Х1 и Х2 являются к-простанствами, то они гомеоморфны.

Теорема 4.3. Если в теореме 4.2 Х\ - бикомпакт, то пространства Х\ и Х2 гомеоморфны (и пространство Х2 является бикомпактом).

Из теоремы 4.3 и первой части теоремы BNP0 вытекает

Теорема 4.4. Бикомпакты Х\ и Х2 гомеоморфны тогда, и только тогда когда существует изоморфизм i:P(Xi)->co/P(X2) для некоторого множества cof Р{Х2).

Приведенные выше теоремы 4.7-4.9 выводятся из теорем 4.2-4.4 (потому, что каноническому отображению яес бикомпактификации еХ тихоновского пространства X на его же бикомпактификацию сХ соответствует совершенное отображение тес - 71 ес : еХ \ X —> сХ \ X наростов этих бикомпактификаций).

Перейдем к распространению теорем М2, R и BNP2, BNP1 на непрерывные отображения. Начнем с соответствующего результата статьи [б].

Пусть f:X->Y есть непрерывное отображение, еХ есть расширение пространства X и ef:eX^Y есть непрерывное продолжение отображения /. Будем использовать обозначения: Ху = fxy и еХу > где ye Y.

Напомним, что отображение f-.X-^Y тихоновских пространств называется WZ - отображением, если {Pf)~X{y)~ f}f:f}j-X->Y есть максимальная тихоновская бикомпактификация отображения /. 1у для любого yeY, где

- r г у

В статье [6] введено отображение kresXtxy К к{еХу) так, что kresXXy(cX) = [xy~^cX для любой бикомпактификации сХ<=К(еХ).

Для непрерывных отображений :Xj Y, у = 1,2, (к-)гомеоморфизм h:Xi~>X2 пространства Х\ на пространство Х2 называется [к-)гомеоморфизмом отображения f на отображение f2, если f = f2°h.

Следующие далее, теоремы NP2 и NP1, полученные в статье [б], распространяют теоремы R и М2 на WZ - отображения тихоновского или локально бикомпактного пространства в бикомпакт.

Теорема NP2. Наросты efj \ fj = efj :eXj \Xj ->Y бикомпактификаций WZ-отображений fj тихоновских пространств Xj, у =1,2, в бикомпакт Y к - гомеоморфны, если существуют изоморфизмы i: К (еХ^) -> К [еХ2) и iy: К^еХ2у), у eY, такие, что iy°kresX]х1у = ^resX1 Х2у °' для любого yeY.

Теорема R следует из теоремы NP2, если взять отображение /у :Xj->Y к—абсолютного пространства Xj в одноточечное пространство Y, и вместо бикомпактификации eXj рассматривать pXj, у = 1,2.

Теорема NP1. Наросты efj \ fj = efj :eXj \Xj -» У бикомпактификаций WZ-отображений fj локально бикомпактного пространства Xj, у = 1,2, в бикомпакт Y гомеоморфны, если и только если существуют изоморфизмы i:K(eXi)->K(eX2) и iy к{еХ2уУ yeY, такие, что iy о kresXxXx = kresXlXl ° / для любого yeY.

Теорема М2 следует из теоремы NP1, если взять отображение fj'-Xj -> У пространства Xj в одноточечное пространство 7 и в качестве eXj рассматривать (iXj, 7 =1,2.

Оказалось, что эти теоремы доказаны только в случае, когда все слои наростов efj\fj, j = 1,2, неодноточечны. Из существования изоморфизма i:K(eX[)->K(eX2) следует (к -) гомеоморфизм пространства Хх на пространство Х2. Из существования изоморфизмов iy:к[еХ1у)К.(еХ2у), уеУ, таких, что iy0kresx{xxy=kresxixly°i ДЛЯ любого уеУ следует что

А:-)гомеоморфизм пространства Х\ на пространство Х2 переводит неодноточечный слой одного нароста в слой другого нароста над той же точкой уеУ. Приводимый в диссертации пример 5.1 иллюстрирует причину частичной недоказанности теорем NP2 и NP1. Б. А. Пасынков предложил некоторые идеи для преодоления указанного недостатка теорем NP2 и NP1. В § 5 получены результаты (теоремы 5.3 и 5.4), которые позволяют в § 7 полностью распространить теоремы R и М2 на отображения (теоремы 7.3 и 7.7) тихоновского и, соответственно, локально бикомпактного пространства в бикомпакт. Эти результаты касаются теорем о (к- )гомеоморфизме отображений, и имеют, как нам кажется, самостоятельный интерес. Нам потребуется, введенное в статье [б], отображение resx>A ■Р(Х)^Р(А) где А есть замкнутое подмножество пространства X) такое, что res х А (Я) = [Я: А -» Я(А)) для любого Я е Р(Х). Положим Y"r{yey.\xJy\>2], /Г-./} :-ГГ /7-/,:

Теорема 5.3 (общий критерий (к-)гомеоморфизма непрерывных отображений. Для непрерывных отображений fj :Xj -> У, / = 1,2, следующие условия эквивалентны: a) отображения f\ и f2 к- гомеоморфны; b) 1) существует изоморфизм i:I{X\)-> 1{Х2) для некоторых множеств 1{Хi) и 1(Х2) такой, что 1{к{хх){х\у]) = к{х2){х2у] (где {xjy\=Xjy,j = 1,2) для любого у eY\Y*f*Jr 2) для любого yeY существуют некоторые множества l(x2y^j и изоморфизм liyX2y}, удовлетворяющий условию iy°resХххХу = resx2x2y °' для любого у е Yj*j2 .

Более точно: если Xj >2, у =1,2, то отображение \ht =J(x2) °'а^(хх)]'-:Х1->Х2 является искомым k-гомеоморфизмом отображения f\ на отображение f2; если Xj <2, у = 1,2, то отображение /[ гомеоморфно отображению f2.

Если, дополнительно, пространства Xj, у = 1,2, являются к-пространствами, то к-гомеоморфизм ht является гомеоморфизмом.

Заметим, что в теореме 5.3: (а) существование изоморфизма / определяет по формуле (*) гомеоморфизм пространств hj \Х\~>Х2, условие 2) гарантирует, что 1ц(^\у) = Х2у для всех у е У*/ъ/2; (/) условие (#) гарантирует, что ht(Х\у) = Х2у для всех у е Y\Y*/hf2, и, следовательно, fy является не только А:-гомеоморфизмом пространств Х1 и Х2, ной гомеоморфизмом отображений /, и /2.

Условие (#) является основой для преодоления частичной недоказанности теорем NP2hNP1.

В случае совершенности отображений f\ и /2 условия теоремы 5.3 могут быть несколько ослаблены.

Теорема 5.4. Если отображения fj, j = 1,2, в теореме 5.3 бикомпактны (= совершенны), то выполнения условия (#) можно требовать только для точек из

В следующем результате получено существование «почти» гомеоморфизма совершенных отображений f и f2 при помощи гомеоморзма пространства Y на себя, оставляющего точки у е Y/^j2 неподвижными.

Следствие 5.3. Если для совершенных отображений fj :Xj k-пространств Xj, / = 1,2, на пространство Y

1) существует изоморфизм i: I (Xj) I (X2) для некоторых множеств l(X\) и 1(Х2) и

2) для любого yeY существует изоморфизм iy:l[X\y}-* l[x2y} такой, что 'у °resx{x{y = resx2xly 01 для любого у е y}*j2 , то отображение h = /г,-: х\* ->■ Х2 является гомеоморфизмом

L -iX\ L -iXj отображения f на отображение f *2 и существует гомеоморфизм hy:Y->Y пространства Y на себя такой, что f\=hY°f2°hi и by=hr {Yhi \ЛгЫу=ш* {Ylh\->[Ylb\

§6 диссертации носит вспомогательный характер. В нем сформулированы теоремы, которые являются частными случаями теорем 5.3 и 5.4.

В §7, опираясь на теоремы о (£-) гомеоморфизме непрерывных отображений из §5, получены теоремы о (&-) гомеоморфизме наростов послойно плотных бикомпактификаций (см. далее) отделимо бикомпактифицируемых отображений.

Для формулирования некоторых из этих теорем приведем необходимые определения.

Пусть пространство еХ является хаусдорфовым расширением некоторого пространства X.

Определение 7.1. Непрерывное отображение <р расширения еХ на расширение сХ пространства X называется каноническим, если <р(х) = х для всех хеХ.

Определение 7.2. Бикомпактификация ef :ej-X -» Y отделимо биком-пактифицируемого отображения / называется послойно плотной, если

Г/Л1 Ч1 =(efjl У Д^ любого ye У. 1 \ef) У

Определение 7.3. Отделимо бикомпактифицируемое отображение / называется абсолютно послойно плотным, если [%f) 1(j) =

Г'у для XfX любого yeY, где xf'-Xfxесть максимальная бикомпактификация отображения /.

Абсолютно послойно плотными являются, например, все замкнутые отделимо бикомпактифицируемые отображения в регулярное пространство.

Очевидно, все тихоновские бикомпактификации WZ - отображения и все бикомпактификации абсолютно послойно плотного отображения являются послойно плотными.

Пусть efj-.ej.Xj -> Y есть некоторая послойно плотная бикомпактификация отделимо бикомпактифицируемого отображения /у :Xj -> Y, j = 1,2.

Для тихоновского пространства X, его бикомпактификации еХ и точки х из еХ\Х через ^(etfjM будем обозначать множество всех таких бикомпактификаций сХеК(еХ), для которых каноническое отображение еХ на сХ имеет только один двухточечный слой, содержащий точку х, а все остальные слои одноточечны.

Следующая теорема уточняет теорему NP2, устраняя её частичную недоказанность.

Теорема 7.3. Если для послойно плотных бикомпактификаций ejj: eXj -» Y непрерывных отображений fj тихоновских пространств Xj, / = 1,2, в бикомпакт Y

1) существует изоморфизм i:K(eX\)-*К(еХ2) такой, что

Хе1 у )) = КК(еХ2) (Хе2у ) (где {xejy} = Rejy> J = V длЯ Любого

2) для любого у eYсуществует изоморфизм ху : к{еХ\у j -> к{еХ2у) такой, что iy о kresX{X{y = h-esXlXly ° / для любого у е Уе})\у,,е/2\/2, то наросты efx\fx и ef2\f2 k-гомеоморфны.

Если, дополнительно, Xj, / = 1,2, являются k-абсолютными пространствами, то к-гомеоморфизм нароста e/j\/j на нарост ef2\f2 является гомеоморфизмом.

Теорема BNP2, обобщающая теорему R, следует из теоремы 7.3, если взять отображения fj тихоновских пространств Xj, У = 1,2, в одноточечное пространство Y.

Пусть теперь fj, у = 1,2, - локально бикомпактные отображения.

Следующая теорема уточняет теорему NP1, устраняя её частичную недоказанность.

Теорема 7.7. Для послойно плотных бикомпактификаций efj локально бикомпактных отображений fj пространств Xj, у =1,2, в бикомпакт Y следующие условия а) и Ъ) эквивалентны: a) наросты ef\\f и ef2\f2 гомеоморфны; b) 1) существует изоморфизм i: К{еХ{) К{еХ2) такой, что 1{кк(еХх){хе1у)) = кк(еХ2)Ыу) (где [xejy)= Rejy, j = \,2) длялюбого yeY*efx\f\,efl\h'

2) для любого yeYсуществует изоморфизм iy :K^eXlyj->к[еХ2у) такой, что iy о kresX{X[y = kresXlXly о / для любого у g y]}^f{^ \ fl.

Теорема BNP1, обобщающая теорему М2, следует из теоремы 7.7, если взять отображение fj локально бикомпактного пространства Xj в одноточечное пространство Y .

Используя теорему 4.9, получаем теорему 7.8, которая обобщает теорему 7.7.

Теорема 7.8. Для послойно плотных бикомпактификаций efj локально бикомпактных отображений fj пространств Xj, j = 1,2, в бикомпакт Y следующие условия а) и Ь) эквивалентны: a) наросты е/ \ /j и е/2 \ /2 гомеоморфны; b) 1) для некоторого множества со/К{еХ2) существует изоморфизм i: К {еХ\) -> со/К (еХ2) такой, что / (^(е*,) (хе]у)) = (хе2у) (гЭе 7=1,2; длялюбого УеК/{\/х>е/2\/2' 2) для любого yeYu для некоторого множества со/к{е.Х2у^ существует изоморфизм iy:к{еХ\у j->со/к{еХ2у) такой, что iy °kres] = kres2 °/ длялюбого

Уе¥е/1\/1,е/2\/2

Полученные в диссертации результаты отражены в публикациях [14]-[21].

1. K.D. Magill, A note on compactifications. Math. Zeitschr. 94 (1966), 322-325.

2. T. Thrivikraman, On the lattices of compactifications. J. London Math. Soc., 4(1972), 711-717

3. Б. А. Пасынков. О распространении на отображения некоторых понятий и утверждений, касающихся пространств. Отображения и функторы, М.: Изд-во МГУ, 1984, с.72-102.

4. I. Bludova, G. Nordo. On the poset of all the Hausdorff and Tychonojfmpactification of mappings. Q&A in General Topology, 17(1999), 47-54.

5. I. Bludova, G. Nordo, B. Pasynkov, On the homeomorphism of spaces andMagill-type theorems. Q&A In General Topology, 19(2001), 95-105.

6. G. Nordo, B. Pasynkov, Magill-type theorems for mappings. International journal of mathematics and mathematical sciences, 26(2004), 1379-1391.

7. Д. К. Мусаев, Б. А. Пасынков, О свойствах компактности и полнотытопологических пространств и непрерывных отображений. Изд-во «ФАН» АН Республики Узбекистан, Ташкент, 1994.

8. К. D. Magill, The lattice of compactifications of a locally compact space.Proc. London Math. Soc. 18(1968), 231-244.

9. M. C. Rayburn, On Hausdorff compactifications. Pasif. J. Math. 44,no.2(1973), 707-714.

10. P. Энгелькинг, Общая топология. Изд-во «Мир», Москва, 1986.

11. Н. Кролевец, О локально совершенных отображениях. Доклады Академии наук СССР, том 175, №5(1967), 1008-1011.

12. К. Ипшахаметов, Бикомпактификации тихоновских отображений.Дис. канд. физ.-мат наук. Фрунзе: Киргизский госуниверситет (1987).

13. G.D. Faulkner, M.C. Vipera, A generalization of Magill's Teorem for non-locally space. Comment. Math. Univ. Carolinae 36, №1 (1995), 127-136.

14. Э.Н. Белянова, О бикомпактных расширениях локально бикомпактных отображений. Вестник Московского государственного технического университета им. Н. Э. Баумана, 1(20), 2006, с.3-11.

15. Э.Н. Белянова, О наростах бикомпактных расширений локальнобикомпактных отображений. Известия РАН. Серия математическая, том 71, №3(2007), 5-14.

16. Э.Н. Белянова, Описание всех Тг-бикомпактификаций локально бикомпактного Т2-пространства. Научные труды Mill У, М.: Изд-во Прометей, 2004, с. 13-19.

17. Э.Н. Белянова, О бикомпактификации локально бикомпактного Т2пространства. Актуальные проблемы математики, физики, информатики и методики их преподавания (юбилейный сборник 130 лет МПГУ), М.: Изд-во Прометей, 2003, с. 42-43.

18. Э.Н. Белянова, Характеризация отделимо бикомпактифицируемыхлокально бикомпактных хаусдорфовых отображений. Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона, выпуск 8,2006, с.34-36.

19. Э.Н. Белянова, Об одном обобщении теорем Магилла и Рейборна.Депонир. в ВИНИТИ 28.04.07. №481-В2007.

20. Э.Н. Белянова, Бикомпактифицируемость локально бикомпактногоотображения. Депонир. в ВИНИТИ 28.04.07. №482-В2007.

21. Э.Н. Белянова, Обобщения теорем Магилла и Рейборна на отображения. Депонир. в ВИНИТИ 28.04.07. №483-В2007.