Слабо сепарабельные пространства и отображения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Р Г Б ОД

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ и*- М.В. ЛОМОНОСОВА МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

УДК 515.12 На правах рукописи

БЕХПШОВ РУЗИНАЗАР БЕБУТОВИЧ

СЛАБО СЕПАРАЕЕЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОТОБРАЖЕНИЯ

Специальность О1.01.04-Геометрия и топология.

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук.

Москва 1994

Работа выполнена на кафедре общей топологии и геометрии механико-математического факультета Московского Государственного Университета им. М.В.Ломоносова.

Научный руководитель - доктор физико-математических

наук,профессор В.В.Федорчук. Официальные оппоненты - доктор физико-математических

наук, профессор, члея-корр. АН Кыргизстана А.А.Борубаев, кандидат физико-математических наук, доцент М.В.Матвеев

Ведущая организация - Московский Государственный

Педагогический университет.

Защита диссертации состоится

Щ1994 г. в 16

час. 05 кин. на заседании специализированного совета по математике Д.053.05.05 при Московском Государственном университете им. М.В.Ломоносова по адресу: 119899, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 1408.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ.

Автореферат разослан

1994 г.

Ученый секретарь

Специализированного совета по математике Д. 053.05.05 при МГУ, профессор, доктор физико-математических наук

В.Н.Чубариков.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ .

Актуальность темы■ Одним из важнейших разделов современной общей топологии является теория

кардинальнозначвнх инвариантов топологических пространств. Среди этих инвариантов вторым по значимости (после веса) является плотность. В определяемой плотностью иерархии пространств центральное место занимают пространства наименьшей бесконечной плотности, т.е. пространства, которые содержат счетные всюду плотные подпространства. Исторически сложилось так, что эти пространства называются сепарабельными, хотя слово "сепарабельный" в буквальном переводе означает "отделимый" и непосредственного отношения к плотности не имеет.

Сепарабельные пространства играют видную роль не только в общей топологии, но и в других разделах математики, где возникают топологические пространства как инструмент или объект исследований. Наличие счетного плотного множества в данном топологическом пространстве зачастую позволяет получить дополнительную информацию об этом пространстве. Так сепарабельное метризуемое пространство имеет счетную базу, сепарабельный упорядоченный континуум метризуем, сепарабельное регулярное пространство имеет не более чем континуальный вес и т.д.

Класс сепарабельных пространств замкнут при переходе к расширениям этих пространств. В то же время, обратная операция (переход к всюду плотному подпространству) выводит за рамки сепарабельных пространств. В 1963 г. американский тополог Комфорт [1] построил не сепарабельное пространство (даже топологическую группу), Стоун-Чеховское расширение которого является сепарабельной топологической группой. В связи с этим возник вопрос:

Какие вполне регулярные пространства имеют сепарабельные бикомпактные расширения?

Другое направление исследований свойства

сепарабельности и его обобщений связано с общей теорией непрерывных отображений. В этой теории в последние годы наметилась тенденция рассматривать непрерывное отображение как объект, более общий, чем топологическое пространство.

При этом, топологические пространства отождествляются с их постоянными отображениями. Оказалось, что перенесение фактов и даже понятий, касающихся топологических пространств, на непрерывные отображения отнюдь не носит автомагический характер. Большая работа в этом нацравлении проделана Б. А. Пасынковым и его учениками. Так, в работе [23 Б.А.Пасынков ввел тихоаовские отображения и для них построил:

бикомпактификации того же веса, что и они саки (аналог георемы А.Н.Тихонова): бикомпактификации, являющиеся аналогом одноточечных бикомпактификаций П.С.Александрова; а также ввел и изучил понятия локально бикомпактного, полного по Чеху, паракомпактного,

предметриэуемого и т.д. отображения.

Третье направление исследований данной работы связано с теорией ковариантных функторов, действующих в категории Тор всех топологических пространств и непрерывных отображений, а также в некоторых ее подкатегориях. Общий подход к изучению ковариантных функторов был предложен Е.В.Щепиным [3]. Он, в частности, выделил ряд естественных и малоограничительных свойств функторов и дал определение нормального функтора.

На Пражском топологическом симпозиуме в 1981г. В.В.Федорчух [4] поставил несколько общих проблем в теории ковариантных функторов, определивших новые направления исследований в данной области топологии. В частности,как

1. W.W. Confort . An example in density character. Archiv der Math. 1963, V. 14, pp.422-423.

2. Б.А.Пасынков. О распространении на отображения некоторых понятий и утверждений, касающихся пространств. 'Отображения и пространства". М. ,МГУ .1984,с.72-102.

3. Е.В.Цепин. Функторы и несчетные степени компактов. УМН.1981,т.36,вып. 3,с.3-62.

4. В.В.Федорчух. Ковариантные. функторы в категории компактов, абсолютные ретракты и -многообразия, УМН.1981,т.36,вып. 3,с.117-195.

ведут себя те или иные свойства пространств при воздействии на них различными ковариантными функторами?

Нелъ работы. Диссертация посвящена исследовании слабо сепарабельных пространств и их бикомпактных расширений, сепарабельных и слабо сепарабельных отображений, поведению сепарабельности и слабой сепарабельности пространств при воздействии на них ковариантными функторами.

Методы исследования. В диссертации используются методы теории кардинальноэначннх инвариантов, теории непрерывных отображений и теории ковариантных функторов.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты.

1. Доказано, что слабо сепарабельные тихоновские пространства и только они имеют бикомпактные сепарабельные расширения.

2. Выделены классы пространств, в которых свойства сепарабельности и слабой сепарабельности совпадают.

3. Введены понятия сепарабельного и слабо сепарабельного отображения. Доказано, что произведение континуума (слабо) сепарабельных отображений (слабо) сепарабельно.

4. Доказано, что свойства сепарабельности и слабой сепарабельности сохраняются функторами, близкими к нормальным.

Научная_и практическая пянность. Диссертационная

работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут найти применение в общей топологии, в частности, в теории непрерывных отображений и теории ковариантных функторов. Результаты диссертации могут быть полезны специалистам, работающим в функциональном анализе и топологической алгебре.

Апробапия работы Результаты докладывались на

кафедральном семинаре по общей топологии и геометрии в Московском Государственном Университете им. М.В. Ломоносова, яа научно-исследовательском семинаре "Обратные спектры и их приложения" под руководством профессора В.В. Федорчука, па научном семинаре кафедры "Геометрии".

Ташкентского государственного педагогического института имени Низами.

Публикация. По теме диссертации опубликовано 6 работ.

Структур^ диссертации. Диссертация состоит из введения, трех параграфов и списка литературы. Текст изложен на 62 страницах, список литературы содержит 40 наименований.

Содержание работы. В первом параграфе определены и изучены некоторые основные топологические и геометрические свойства слабо сепарабельннх пространств. Слабо сепарабельные пространства по многим топологическим свойствам близки к сепарабельным пространствам. Изучаются связанные со слабой сепарабельностью свойства произведений, непрерывных образов, неприводимых прообразов, бикомпактных расширений и другие вопросы.

Определение / В.И.Пономарев /. Топологическое пространство X называется слабо сепарабельным, если существует П-база, распадающаяся на счетное число центрированных систем открытых множеств, т.е. такая П-база б= V {б^ : 1 £ ы}, где б£ : А^ и -

центрированная система открытых множеств для любого 1 е ю.

Основными результатами первого параграфа являются:

Теорема 1.1. Бикомпактное хаусдорфово пространство сепарабельно тогда и только тогда, когда оно слабо сепарабелыю.

Теорема 1.2. Для вполне регулярного пространства X следующие условия эквиваленты:

1. X слабо сепарабельно;

2. Стоун-чеховская бикомпактифихация селарабельна;

3. Всякая бикомпактификация Вх пространства X с епарабельна;

4. X имеет сепарабельное бикомпактное расширение;

5. X имеет какое-нибудь сепарабельное расширение.

Теорема 1.3. Всякое слабо сепарабельное пространство

X имеет сепарабельное расширение еХ. При этом:

1. нарост еХ \ X является не более чем счетным хаусдорфовым пространством.

2. для всякой пары точек х £ X, у £ еХ \ X существует окрестность Оу. , не содержащая точки х.

Поэтому:

3. если X было Т0 - пространством, то еХ также является Т0 - пространством.

Показано, что всякое сепарабельное пространство слабо сепарабельно, а всякое слабо сепарабельное пространство удовлетворяет условию Суслияа. Для метрических, локально бикомпактных / в частности, бикомпактных /, линейно упорядоченных пространств слабая сепарабельность совпадает с сепарабельностью / утверждение Г.4, утверждение 1.14 и теорема 1.7 /. В утверждении 1.5 и следствии I.I показано, что всякие открытые или всюду плотные или канонически замкнутые подмножества слабо сепарабельного пространства слабо сепарабельны. Приводятся примеры, показывающие, что замкнутое - подмножество слабо сепарабельного

пространсва не обязано быть слабо сепарабельным.

Доказывается:

Утверждение 1.6. Если слабо сепарабельное пространство всюду плотно в пространстве X, то X тоже слабо сепарабельно.

Утверждение 1.7. Непрерывный образ слабо сепарабельного пространства слабо сепарабелен.

Утверждение 1.8. Пусть £ ;Х->У - непрерывное, замкнутое и неприводимое отображение "на*. Пространство X слабо сепарабельно тогда и только тогда, когда пространство У слабо сепарабельно.

Утверждение 1.9. Произведение континуума слабо сеиарабельных пространств слабо сепарабельно.

Утверждение 1.10. Произведение любого числа слабо сепарабельных пространств обладает свойством Сусхгина.

Утверждение 1.11. Пусть - такое бикомпактное

расширение нигде не локально бикомпактного слабо сепарабельного пространства X, что каждая центрированная система б; П -базы б= и {б; : ± £ и} имеет точку

I* и

прикосновения а^, не принадлежащую к X. Тогда нарост ёх\х сепарабелен.

Утверждение Г.13. Пусть К(Х) седарабельно. Тогда следующие условия эквивалентны:

/I/ существует такое бикомпактное расширение 6х, что сепарабельно;

/2/ существует непрерывное отображение Ь из пространства [ рХ\Х]^ на некоторое сепарабельное

пространство, причем Ь/ШХ) взаимно однозначно на И(Х).

Теорема 1.4. Слабо сепарабельное подмножество бикомпакта счетной тесноты сепарабельно.

Теорема 1.5. Сумма счетного числа слабо сепарабельных пространств слабо сепарабельна.

Теорема 1.6. Регулярное слабо сепарабельное пространство финально компактно тогда и только тогда, когда X паракомпакгно.

Изучаются кардинальные инварианты и свойства метризуемости слабо сепарабельных пространств, и получаются следующие результаты.

Утверждение 1.15. Если хаусдорфовое слабо сепарабельное пространство X удовлетворяет первой аксиоме счетности, то ¡X/ ¿2^° у

Утверждение Г. 16. Если 2' 1 > 2 0 и слабо сепарабельное нормальное пространство X обладает счетным измельчением то оно метриэуемо и имеет счетную базу.

Во втором параграфе вводится понятие сепарабельного и слабо сепарабельного отображения. Доказывается, что произведение не более чем континуума сепарабельных / соотв. слабо сепарабельных/ отображений сепарабельно /соотв. слабо сепарабельно/.

Определение 2.2. Множество 2 С X называется однозначным относительно отображения f¡Х—У ,если } 1Е Г\ $ у \ ^ 1 для каждой точки у £ У.

Определение 2.4. Отображение £:Х-+¥ называется сепарабельным, если оно имеет П-сеть, состоящую из счетного числа однозначных множеств.

Определение 2.5. Отображение £:Х-*У называется слабо сепарабельным,если оно имеет такую П-соть 6= У {б; :1 € и}

V

что каждое семейство б^ дентрированно.

Основным результатом второго параграфа является следующая:

Теорема 2.1. Произведение яе больше чем континуума сепарабелышх /слабо сепарабельных/ отображений f^ ,

JtC А сепарабельно / слабо сепарабельно/.

Доказано также следующее утверждение.

Утверждение 2.1. Отображение f: X->Y в регулярное пространство У слабо сепарабельно тогда и только тогда, когда оно имеет П-базу б, распадающуюся в сумму счетного числа центрированных систем 6¿ , I £ w.

Утверждение 2.3. Пусть Х- сепарабельное /слабо сепарабеяьное/ пространство и £¡ Х-*У -непрерывное отображение. Тогда f - сепарабельно /слабо сепарабельно/.

Утверждение 2.4. Пусть У - слабо сепарабельное пространство и f: Х-*У - непрерывное замкнутое неприводимое отображение. Тогда f - слабо сепарабельно.

Утверждение 2.5. Пусть Х-слабо сепарабельное пространство и X1 -открытое /соотв. всюду плотное/ подмножество и £:X-»Y -непрерывное отображение. Тогда ограничение f'=f:x'-»Y отображения f слабо сепарабельно.

Утверждение 2.6. Пусть X - локально бикомпактное /в частности бикомпактное/ или метрическое слабо сепарабельное пространство. Тогда всякое непрерывное отображение £ :X-»Y - сепарабельно.

Утверждение 2.7. Пусть f¿ : , е А - семейство

отображений и 0ZTot— {J {: i е cú J

П- сеть отображения .Тогда для каждого семейства Oí , конечно разделяющего множество А, семейство01), где В i с и) <LéA J является П-сетью отображения .

В третьем параграфе доказывается, что если F ковариантный функтор, действующий в категории Comp бикомпактных пространств и удовлетворявший всем условиям нормальности, кроме /может быть/ сохранения прообразов, то для всякого /слабо/ сепарабельного тихоновского пространства X пространство F & (X) также /слабо/ сепарабельно. Здесь через F ^ обозначается естественное

распространение функтора F на категорию Tych тихоновских пространств.

Доказываются следующие

Утверждение 3.1. Пусть ковариантный функтор F:Cosnp-» Comp удовлетворяет всем условиям нормальности, кроме /может быть/ сохранения прообразов. Тогда для любого бикомпакта X множество ^|X)=U{Pn(X)sngw} всюду плотно в F (X) .

Лемма 3.1. Пусть Р:Сопр->Согер - ковариантный функтор, удовлетворяющий всем условиям нормальности кроме /может быть/ сохранения прообразов. Тогда, если X всюду плотно в У,то F^fX) всюду плотно в Fn(Y).

Утверждение 3.2. Пусть Р:Сотр->Со1пр - ковариантный функтор, удовлетворяющий всем условиям нормальности кроме /может быть/ сохранения прообразов. Если X плотно в У, то F^X) плотно в .

Утверждение 3.3. Если F удовлетворяет всем условиям нормальности кроме /может быть/ сохранения прообразов и X плотно в бикомпакте У,то плотно в F(Y).

Основные результаты третьего параграфа следующие.

Теорема 3.1. Если ковариантный функтор F:Comp->Comp удовлетворяет всем условиям нормальности, кроме /может быть/ сохранения прообразов, то дяя любого бесконечного тихоновского пространства X имеем dF^(X)^dX.

Следствие 3.1. Если ковариантный функтор F:Сотр->Соп>р . удовлетворяет всем условиям нормальности кроме /может быть/ сохранения прообразов, то F сохраняет класс сепарабельных бикомпактов.

Теорема 3.2. Если ковариантный функтор F:Согар->Согср удовлетворяет всем условиям нормальности кроме /может быть/ сохранения прообразов, то для любого слабо сепарабельного пространства X пространство Р? (X) тоже слабо сепарабельно.

Следствие 3.2. Пусть X - слабо селарабельное пространство. Тогда пространства ехр„Х, ехр^Х, exp X, SPgX, Р„(Х), PW(X) , Р(Х), Ah(X),Aw(X), Nn(X), N^X), N(X), Kj|X, Л*<Х), N *(X) , N$(X), n£(X) тоже слабо

сепарабельяы.

и

Замечание 3.1. Из теоремы 3.1 вытекает следствие, формулировка которого получается из формулировки следствия 3.2 заменой слабой сепарабельности на сепарабельность.

В заключении я выражаю глубокую признательность своему научному руководителю В.В.Федорчуху за руководство работой, внимание и поддержку.

Рабстн автора до.тзме диссертации.,

1. О некоторых свойствах слабо сепарабельных пространств. Узб.мат.журн. Ташкент 1994. №1.

2. Слабо сепарабельное пространство и сепарабельность. ДАН Респ.Узбекистан, 1994. »3.

3. О слабой сепарабельности произведения непрерывных отображений. ДАН Респ.Узбекистан, 1994. »5.

4. Ковариантные функторы и слабая сепарабельность. ДАН Респ.Узбекистан, 1994. »7.

5. Функторы вероятностных мер конечной степени и слабая сепарабельность. Исследования по математическому анализу и методике его преподавания. Ташкент, 1991. с.82-84.

6. Сепарабельность наростов бикомпактных расширений вполне регулярных пространств.Сонлар назарияси, алгебра, математик тахлил, информатика, геометрия ва топология буйича долзарб масалалар. Тошкент, 1993, с. 39-41.