О геометрических и линейно-топологических свойствах некоторых пространств Банаха тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

& 1 0 9 9.Й

ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУД.1РСТВЕННКЯ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Май о хин Ев гош! 5 Ещторовач

О ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ И Л1ШЙНО-ТОПОДОГИЧЕС1СИХ СВОЙСТВАХ НЕКОТОРЫХ ПРОСТРАНСТВ БАНАХА

01.01.01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

дассертацад ца сокскягша уюаоЗ стопе.та кандидата физадо-матег^агаческнх наук

Харьков-1992

Работа выполнена на кафедре высшей математики Харьковского института инхенеров городского хозяйства

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

профессор Кадец М.И.

Официальные

оппоненты: доктор физико-математических наук

профессор Фонф В.П.

кандидат физико-математических наук, доцент КалшныЙ В.Н.

Ведущая организация: Физико-технический институт низких

температур АН Украины, г¿Харьков

Защита состоится "2 " 1992 г. в часов

на заседании специализированного совета К.053.06.02 Харьковско государственного университета, по адресу:

310077, г.Харьков, пл.Свободы, 4, ayд¿ ФЛ

С диссертацией можно ознакомиться в Центральной научной библиотеке Харьковского государственного университета;

Автореферат разослан 1, " ^и/о^ч. 1992 г^

Учений секретарь специализированного Совета А.СгСохин

(^еМ^ А.С:С

г Г Ц!П CS --- --

. i. .'^F-. ЬЛ.ЮТ^КА '—^НЩ-ХАРАКТЕРИСДЦа РАБОТЫ

Актуальность теми. Одш'.м из серьез!шх технических, инструмен-ов теории пространств Банаха является "метод эквивалентных норм;' эторый заключается в возможности введения в банаховом простран-гве эквивалентной нормы, обладающей тем или иным "хороыим" сво{Ь гвом. Например, М.И.Кадец сумел доказать топологическую эквивя-знтность всех бесконечномерных сепарабелышх банаховых прост-1HCTB,, используя ¡этот метод» Следовательно, актуальными являют-i исследования о возможности или невозможности введения в данном шаховом пространстве" эквивалентных норм, обладающих разными ' сороашлы" свойствами. Известный результат такого характера впер-jo получил Дя.А.Кларксон в 1935 г.с который ввел понятие строгой зриировакностн и доказал, что любое сепарабельное банахово про-гранство изоморфно строго нормированному. Потом возник ряд дру-IX подобных понятий, как, например, гладкость, локальная равно-;рная выпуклость, {-] - свойство, Н(Г) - свойство и другие эдобнне понятия.

Локально равномерно выпуклые (LL1R) пространства были вве-^нл в 1955 г. А.Р.Ховалья. Позхе эти пространства исследовались шгилш авторами. В 1959 г. М.И.Кадец доказал, что кавдое сепаратное банахово пространство изоморфно локально равномерно еы-гклому. И.Линденштраус и независимо С.Л.Троянски показали, что ¡сепарабельное банахово пространство £ ^ не становится ло-шьно равномерно выпуклым ни в какой эквивалентной норме.

Троянски доказал теорему, дающую достаточные условия сущест-|вания эквивалентной локально равномерно выпуклой нормы в несе-1рабельных банаховых пространствах и доказал, что любое \1 CG-пространство Банаха изоморфно локально равномерно выпуклому, ратимся теперь к f-j - свойству.

Единичная сфера гильбертова пространства Н обладает следующим легко обнаруживаемым свойством: иа ней совпадают слабая н сильная сходимости последовательностей элементов.;

Говорят, что банахово пространство X обладает Ц -овойствоЫ;, если на его единичной сфере совпадают слабш

и сильная сходимости последовательностей:

Х0С: X, X, ПХ„.Н * <, Х^Хс * иХч-Х0П=<

Известно, что И - овойством обладает каждое локально ра номерно выпуклое (ЦЛЮ банахово пространство. Напомним соответствующее определение:

П.-»«О

Обратное, вообще говоря, неверно: в проотранотве £ ^ совпадают слабая и сильная сходимости (свойство Щура), но оно I и ДО*® не строго нормированное.

Долго оставался открытым следующий еотеотвенный вопрос: ее банахово пространство обладает Н - свойством, будет ли оно локально равномерно выпуклым в некоторой эквивалетной норме? О' рицатвлышй ответ получен совсем недавно. Наличие у данного ба нахова пространства эквивалентной нормы о И - свойством (и эквивалентной локально равномерно выпуклой нормы) использовало разными авторами в разных ситуациях (доказательство топологиче кой эквивалентноетн рефлексивных сепарабельных пространств Банаха, доказательство существования оильно выставленных точек у каждогЬ"слабо компактного подмножества банахова пространства«, некоторых случаях при применении "метода эквивалентных норм" с нарукивалась необходимость заменить Ц - свойство более оил!

- 4 -

ребованием, которое мы определим ниже. Это более сильное войство применялось в доказательстве топологической эквивалент-ости сепарабельных сопряхенных банаховых пространств, и теории иортогональных систем, в теории абстрактных почти периодических ункций, при доказательстве гомеоморфизма всех бесконечномерных епарабелышх пространств Банаха.

ОПРДЦеШЕНИЕ I. Банахово пространство Д обладает

р ч/*

войством по отношению к тотальному подпространству ) «с д , ели для каждой последовательности (ХнСс X выполнена сле-ухщие условия:

(КО если {(Xь.)-*-fixо) для всех ^ fc Г , го (лип ЦДСиИ>ЦХ0Н.

(Кг) если сверх того ^«Im = 1\эс0у , т0 \\х £oli-0.

Если в качестве Г взять все X » то получится обычное H - свойство. В случае сепарабельных пространств Банаха вопрос о наличии цшвалентной нормы, относительно которой X обладает

VU г)

зойством, решется следующим утверждением, которое мы предварим зумя определения!ш.

OIIPFJIPJIEHIIü 2. Подмножество

рс X называется тоталь-гм, если условие ^1х)=-0 для всех F влечет ос = О.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Подпространство Fe называется

фмируюцим, если его характеристика Диксмье положительна:

К Г)>0.

Здесь

г(Г) = i-n.F SUP U(ix)\ :<ffc Г,

SCX.)

Каждое нормирующее подпространство тотально. Обратное, вообще говоря, неверно.

Теперь сформулируем хорошо известную теорему М.И.Кадеца о связи между слабой и сильной сходимостью на единичной сфере се-парабельно'го банахова пространства.

ТЕОРЕМА (М.И.Кадец). Пусть X - сепарабельное пространство Банаха, Г с X* - нормируицее множество. Тогда в X можно ввести эквивалентную норму, относительно которой У о6ле дает Н(Г)- свойством; Более того, можно добиться, чтобы эт£ норма была локально равномерно выпуклой.

Как показывает пример Д. Ван Дульста, требование г(Г)>0 иногда может быть опущено. Окончательно вопрос о необходимости условия Ь'(Г')>0 решает результат Б.В.Годуна, согласно которому, если сепарабельное банахово пространство X содержит по; пространство, изоморфное , то найдется (тотальное) под-

пространство Г0- X* с нулевой характеристикой, для которого на Д существует эквивалентная норма с Н(Г) - свойством; Если X не содержит и обладает - свойством

для некоторого Г , то Р - нормирующее.

В случае несепарабельного пространства X условие У*(Г)>С может оказаться недостаточным для наличия у него эквивалентной нормы с

НСГ) - свойством. В настоящей работе приводится ода! из способов обнаружения таких Г ; Доказанная в диссертации теорема 2;2.1 позволяет указывать многочисленные примеры несепа рабельных пространств X и нормирующих подпространств ГСХ* на которые не распространяется теорема М.И.Кадеца;

Банаховы пространства

непрерывных функций на метр: ческих-'компактах К изучены достаточно хорошо как в смысле их изоморфной классификации (теорема Милютина, теорема Бессаги-Пел чинского), так и в других отношениях (базисы, биортогональные

системы и прочее).

Теория эквивалентных норм для пространств С (К) с метрическим К есть, в основном, следствие этой теории для общих зепарабельных пространств Банаха ( сепарабельно в том и

только том случае, если К - метрический компакт, сопряженное пространство СС(Ю]* сепарабельно в том и только том случае, зсли К - счетный метрический компакт).-

Для случая неметризуемых компактов в теорта пространств С(К) получено много глубоких результатов, однако эта теория эчень далека от завершения и находится сейчас в стадии активной разработки.

Среди всех компактов естественно выделяется класс компактов з первой аксиомой счетности. Он включает в себя класс метрических компактов, но не совпадает с ним. Примеры неметризуемых компактов с первой аксиомой счетности - две стрелки, лексикографический квадрат, компакт Хелли и др.- - хорошо известны и приводятся практически во всех учебниках топологии. Однако общей теории этих компактов, по существу, нет,; Тем более, мало что известно о Занаховых пространствах

С(К) для неметризуемых компактов с яервой аксиомой счетности. Если ограничиться теорией эквивалентных норм, то все, похадуй, сводится к результатам Г.А.Александрова; Поэтому исследование этих вопросов, проведенное в диссертант, представляется актуальным.

До недавнего времени единственным примером банахова пространства, не допускающего эквивалентной локально равномерно выпуклой нормы, было пространство всех ограниченных последовательностей Loo (а такке, разумеется, все пространства, содержащие

i со

в качестве подпространства). В работе [*] Р.ХейДОН и

Haydon R., Sisler V. A пет/ space with по locally uniformly renorning.- Can.Math.Bull.,19П9, v.32, no 1, pp.122-128.

В.Эизлер построили пример банахова пространства, которое не допускает эквивалентной локально равномерно выпуклой нормы, хотя и не содержит подпространств, изоморфных С оо ¿В диссертации доказывается, что пространство Хейдона-Зизлера не допускав! эквивалентной слабо симметричной локально равномерно выпуклой нормы, а также не обладает Н - свойством ни в какой эквившн тной норме.

Норма банахова пространства X называется слабо локальш равномерно выпуклой (WLUfO , если из условий

ОСс€ X, X, IIU-*Z

следует слабая сходимость последовательности ОС^. к элементу •ЭСо ¿В геометрии банаховых проотранств, кроме свойства ло кально равномерная выпуклость ( l_UR ) большое применение и ют ее модификации ( MLUR. и т.п.); Напомним соответствующее определение,-Пространство X называется (слабо) симметрично локально равномерно выпуклым ( Х^ WMLUR , X ^ MLUR ), о из условий

е X, = \

v л •*■ со

следует (слабая) сходимость к Oi

Перечисленные свойства связаны между собой следующим обрг

(WLUF> (LUIO* (И). IWMLUR)<= (MLUR)

В диссертации вводится некоторое обобщение слабой локально равномерной выпуклости, а именно Г* - локальная равномерная выпуклость, и изучаются ее свойства;

Цель работы: исследование вопроса о наличии, в данной банаховом пространстве эквивалентных норм с теми или иными "хорошими" свойствами выпуклости (строгая выпуклость, локально равномерная выпуклость, слабая локально равномерная выпуклость, Ц - свойство и некоторые другие).

В качестве методов исследования используются приемы геометрической теории пространств Банаха, топологии, теории пространств непрерывных функций на компактных множествах.*

Результаты диссертации являются новыми и получены самосто- ■ ятельно;

Новизна результатов заключается и в том, что впервые введено и исследовано новое понятие Г - локально равномерно выпуклой нормы.

Диссертация имеет теоретический характер; Ее результаты могут найти применение в геометрической теории банаховых пространств, в топологии и теории пространств непрерывных функций на компактных множествах.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения и трех глав. Содержание изложено на 93 страницах, библиография содержит 54 наименования; Главы делятся на параграфы; Внутри параграфов нумерация сквозная и состоит из трех цифр: первая - номер главы, вторая - номер параграфа, третья - порядковый номер утверждения«;

Апробация. Основные результаты диссертации опубликованы в работах С I ] , [2], Ы „ обсуждались и докладывались на

I. Общегородском семинаре по теории нормированных пространств, г ¡Харьков, ХИЖС, 1987 год;

2« Х1У школе по теории операторов в функциональных простран' ствах, г.Новгород, Новгородский пединститут, 1989 год;

3. ХУ Всесоюзной школе по теории операторов в функциональны пространствах, г.Ульяновск, Ульяновский пединститут, 1930 год;

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Основные понятия, обозначения, предварительные сведения и вспомогательные утверждения приведены в первой главе;

Глава 2 посвящена изучению эквивалентных И (Г) - норм на пространствах Банаха; В параграфе 2;1 основным результатом является

ТЕОРЕМА 2.1.1. Если булева алгебра Ц. , содержащая бесконечную последовательность дизъюнктных множеств, имеет БСР свойство, тогда воо не обладает п - свойством ни в како£ эквивалентной норме.

Напомним, что булева алгебра множеств (Я имеет ^СР -свойство, если для любой дизъюнктной последовательности { Ац\ множеств из IX найдется бесконечное подмножество ^ ,

такое, что {_ имеет наименьшую верхнюю границу \/ А

1/ ч4из в (Л- .

Через вей) мы будем обозначать замкнутую линейную оболочку характеристических функций ^ ^ , где А ^ 11 в пространстве [_ оо

Из теоремы 2.1Д вытекают следствия, одно из них:

СЛЕДСТВИЕ 2.1.2. Пусть £> - вполне-несвязный компакт; Если 1Л(н>) (алгебра всех открыто-замкнутых подмножеств ) имеет 5СР - свойство, тогда С(£>) не обладает Н -свойством ни в какой эквивалентной норме;

В параграфе 2.2 получено довольно общее утверждение о несуществовании эквивалентной нормы с Н(Г) - свойством;

ТЕОРЕМА 2;2.1о Пусть Д - банахово пространство» А - несчетное сейарабельное метрическое пространство, ^ ~

тожество элементов из X с таким свойством:

||СС.-0С ||^а>0 для всех \ М € А^^уЧ.

Л

(в Гс X* -¥

Пусть далее I СД - подпространство сопряженного пространства и . _

: Г*Л - Я

- отображение, определенное формулой

Ч>( Ф,» =

Золи отображение ^р непрерывно, то X не допускает эквивалент-юй нормы с М(Г) - свойством,-

Получен также следующий результат:

ТЕОРЕМ. 2.2.2; Пусть К - компактное хаусдорфово пространство,

Х = [С(К>]* Г = С(К)= ХГ

Зсли найдется А - несчетное сепарабельное подпространство К . ¿етризуемое в исходной или более сильной топологии, то

X = [ С(К)Г

1е обладает Н(Г) - свойством ни в какой эквивалентной норме;-Компактом Хелли Н называемся множество всех неубывающих )тображений ЗСМ) отрезка в себя, наделенное топологией

юточечной сходимости; В этой топологии компакт Хелли Н немет-хизуемое сепарабельное топологическое пространство с первой аксио-

мой счетности.

Каздый элемент компакта Хелли - функция на L0;l] , непрерывная во всех точках кроме, может быть, счетного множества.

Подмножество Н , образованное всеми непрерывными элементами, обозначим через Нс ¿Из теоремы 2¿2¿2 получается

СЛЕДСТВИЕ 2.2.3,; Пусть Н - компакт Хелли. Тогда сопряженное к пространству непрерывных функций на нем не обладает Н(Г) - свойством ни в какой эквивалентной норме, ее,,, г - С(Н).

Обозначим через меру Дирака, сосредоточенную в точ-

ке X d Н , то есть £ ос =

ССИ).

Имеет место следующее утверждение';

Теорема 2;2.5; Пространство непрерывных функций на компак те Хелли

С(Н) не обладает - свойством ни в какой эк

вивалентной норме, где Г= Sp { £хеНс *

Глава 3 посвящена эквивалентным выпуклым нормам в некоторых пространствах Банаха; Одним из наиболее исследованных свойств ви цуклости является локально равномерная выпуклость ( LUfO . Его обобщение - слабая локально равномерная выпуклость

Б параграфе ЗД рассмотрено некоторое обобщение слабой локально равномерной выпуклости.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ I¿ Пусть Г - замкнутое подпространство в X , X . Будем говорить, что последовательность

aCh Г- слабо сходится к эе , если

Xcm X = С) и. г-> оо

для любого $( t Г i . .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Пусть Г - замкнутое подпространство в

X • Пространство X называется Г - локально равномер! «

ыпуклыы (обозначается ), если аз условий

V

се а:,е X цхЦ«/|Хч!1-{ 11х+з:пи-2.

)лодуат И - слабая оходамооть последовательности 0СЛ я ОС ц Основным результатом параграфа 3.1 является ТЕОРЕМА 3.1.^ Если Г - сепарабельное подпространство К , то X допускает эквивалентную Г - локально равномерно выпуклую норму.

Напомним, что оопряшенное банахово пространство X называется слабо- локально равномерно выпуклым (обозначается

упиа

), еола лз уоловий

X* 11311=11^114

л „

следует слабая оходамооть последовательности •

Из теоремы вытекают

СЛЕДСТВИЕ 3.1.Если X - оопарабельное пространство, то X* допускает двойственную эквивалентную слабо- локально равно-мерно выпуклую норму;

СЛЕДСТВИЕ 3.1.3. Пространство Ь допускает двойственную эквивалентно слабо- локально равномерно выпуклую норму. Напомним, что отобра.т.зние X -* из

ХЧЮЬ в

называется опорным отображением0 если из Маси^ олодует Л^^Н ~ 4 з из ^ ^ О следует

Единичную сферу банахова пространства /\ будем обозначать

ОПРДЩШНИЕ. Банахово пространство называется строго выпуклым (обозначается Л ^ гч ), если не содержит

нетривиальных линейных оегментов. Банахово пространство X называется гладким в точке х. € БСХ) , если существует такой

единственный функционал , что

Если А гладкое в каждой точке , то мы говорим, что

X гладкое.

Известно, что если , то Л гладкое прост-

ранство. Известно, что

X г ляд к 06 в точке о ^ 5СХ) тогда к только тогда, когда каждое опорное отображение «эс —" есть сильно-слабо1* непрерывное в точке отображение

в Б С X") .

В параграфе 3.1 рассмотрен вопрос об опорном отображении пз в Х*\ , если X* есть Г - локально

равномерно выпуклое пространство, а именно, установлена

ТЕОРЕМА 3.1;4. Если X есть Г* - локально равномерно выпуклое пространство и Г - тотальное множество, то )\ -строго выпуклое пространство.

СЛЕТрТБИЕ 3.1.6. Если X слабо45 локально равномерно зыпуклое пространство, то X*" строго выпуклое пространство.

СЛЕДСТВИЕ 3.1.8. Если ^ несчетное множество, то Еоа( £>) не будет слабо* локально равномерно Еыпуклым ни в ка кой эквивалентной норме.

Из теоремы 3.1.4 следует, что если X слабо* локально равномерно выпуклое пространство, то X гладкое пространство, т.е. опорное отображение переводит сходпцуюся последовательность в слабо* сходящуюся последовательность. Можно доказать более сш 'ное утверждение.

ТЕОРЕМА 3.1.9. Если X есть Г* - локально равномернс выпуклое пространство, то опорное отображение переводит любую ела бо сходящуюся последовательность вСлабо сходящуюся последовательность.

СЛЕДСТВИЕ 3.1 ДО. Если X* есть слабо* локально равномерно выпуклое пространство, то опорное отображение переводит

-14 -

любую слабо сходящуюся последовательность в слабо* сходящуюся последовательность.

Долгое время единственным примером банахова пространства, но допускающего эквивалентной локально равномерно выпуклой нормы, было пространство всех ограниченных последовательностей оа (и„ разумеется, все пространства, содержащие 8 ^ в качестве подпространства).

Р.Хейдон и В.Зазлер построили пример банахова пространства, которое не допускает эквивалентной локально равномерно выпуклой нормы, хотя и не содержит подпространств, изоморфных £ ^ Охарактеризуем пространство , построенное Хойдоном и йдг>-

лером. Это Т* - полная подрешетка в Е- оо , содержащая С0 ц не содержащая £ .

В параграфе 3.2 доказывается, что пространство Хейдона-Зяэ-лера не допускает эквивалентной слабо симметричной равномерно выпуклой нормы, а также не обладает Н - свойством ни в какой эквивалентной норме.

Основной результат параграфа 3.2:

ТЕОРИЙ 3.2.1. Цусть

X - т - полная подрешетка в , содержащая С0 . Тогда

а) X не обладает эквивалентной слабо симметрично локально равномерно выпуклой нормой.

б) X но обладает эквивалентной нормой с Н - свойством;

СЛЕДСТВИЕ 3.2.2. Существует замкнутая подрешетка X в

^оа • которая не допускает эквивалентной слабо симметрично юкально равномерно выпуклой нормы, не обладает Н - свойством ш в какой эквивалентной норме и не содержит подпространства, [зоморфного Е-со •

ЛИТЕРАТУРА

I. Манохин Е.В; Об эквивалентных нормах в пространстве

Хейдока. - Знзлера. - ХарьковР 1989. - 10 е.- Рук.деп. в Укр. НИИНГИ. 09.06.89, № 1596 - УК 89.

2. Манохин Е.В. Банаховы пространства не обладающие Н-свойство; - и., 1989. - 9 с. - Деп. в ВИНИТИ. 24.07.89, Р 4949- В 89.

3. Нанохин Е.В. О К - локально равномерно выпуклых пространств //Изв. вузов. Математика, - 1991, - Р 5, с. 32 - 34.