Объёмные отношения и оценки расстояний между конечномерными нормированными пространствами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

§0. Введение.

Глава 1. Предварительные сведения.

§1. Основные обозначения.

§2. Предварительные сведения о нормированных пространствах

Глава 2. Объёмные отношения и модифицированное расстояние Банаха-Мазура.

§3. Связь между объёмными отношениями и расстоянием д(Х, Y)

§4. Оценки норм операторов через норму Гильберта-Шмидта и расстояния между пространствами lvn

§5. Логарифмическая выпуклость модифицированного расстояния Банаха-Мазура относительно размерности.

§6. Сравнение расстояний d(X,Y) и д(Х, Y).

§7. Верхние оценки объёмных отношений и расстояния д для пространств lvn.

§8. Нижние оценки объёмных отношений.

§9. Некоторые следствия.

Глава 3. Расстояния между суммами нормированных пространств

§10. Оценки норм операторов, действующих из ivn @ в tn © isn

§11. Вычисление расстояний и объёмных отношений для сумм пространств lvn.

§12. Объёмные отношения для пространств £р разных размерностей

Глава 4. Пространства с безусловным базисом.

§13. Объёмные отношения для пространств с 1-безусловным базисом.

§14. Сечения пространств с безусловными базисами.

§15. Расстояние Банаха-Мазура до пространств вида X ф t\

Теория банаховых пространств начала свое самостоятельное существование в двадцатых годах XX века с развития общей теории нормированных пространств в работах польского математика Стефана Банаха и венгерского математика Фридьеша Рисса. Появление абстрактных пространств привело к геометризации основных понятий и позволило трактовать многие вопросы анализа в терминах геометрии. Поэтому в проблематике теории банаховых пространств важное место занимают геометрические направления: геометрия единичной сферы и геометрия подпространств. Центральную роль в изучении геометрических свойств банаховых пространств играет расстояние Банаха-Мазура, впервые появившееся в монографии Банаха [1].

В настоящее время большинство исследований в теории банаховых пространств сконцентрировались в области локальной теории, возникшей в шестидесятые годы под влиянием работ Гротендика [56, 57] и теоремы Дворецкого [48] о почти сферических сечениях выпуклых тел.

Локальная теория изучает структуру конечномерных пространств и отношения между бесконечномерными банаховыми пространствами и их конечномерными подпространствами. Развитие теории показало, что многие свойства бесконечномерных банаховых пространств обусловлены только их локальной структурой (совокупностью всех конечномерных подпространств данного банахова пространства).

Тривиальные в конечномерной ситуации качественные вопросы геометрии бесконечномерных пространств оказываются содержательными и важными, если изучать их количественные аналоги. Во многих из них решение конечномерной задачи не только дает ответ на соответствующий вопрос бесконечномерной задачи, но и позволяет получить дополнительную информацию.

В семидесятых годах для построения пространств, не обладающих некоторыми свойствами, в теории банаховых пространств начали использоваться вероятностные методы. Отметим в этой связи работу Деви [45], в которой доказано существование пространства без свойства аппроксимации, а также работы Бенне, Гудмана, Ньюмана [37] и [38], последняя вместе с Дором и Джонсоном. Чуть позже проникновение вероятностных методов дало сильный импульс к развитию геометрии конечномерных нормированных пространств. В 1977 году появилась работа Кашина [13], в которой доказывалось, что большинство сечений n-мерного октаэдра, близки к евклидову шару. Эта работа вызвала целую серию публикаций развивающих идею изучения свойств типичных сечений. Здесь следует упомянуть работы Кашина [14], Кривена [62], Шарека [85], Шарека и Томчак-Егерманн [93].

Появившаяся в 1981 году статья Глускина [5], посвященная диаметру компакта Минковского, дала метод, позволяющий строить «патологические» конечномерные пространства. Вслед за ней появилось множество работ, развивающих технику Глускина. Стоит особо отметить работы Глускина [6], Бургейна [39], Шарека [86, 87, 88] и Манке-вича [70, 71]. Из последних работ по этой теме можно выделить работы [53], [67] и [72]. Большое внимание изучению геометрических свойств с привлечением вероятностных методов уделено в монография Мильма-на и Шехтмана [74].

Следует подчеркнуть, что до сих пор нет конкретных примеров ни пространств, на которых реализуется оценка диаметра компакта Минковского, данная Глускиным, ни почти сферических подпространств октаэдра, существование которых доказано Кашиным.

Настоящая работа посвящена изучению обобщенных объемных отношений и расстояния Банаха-Мазура. Напомним, что расстоянием Банаха-Мазура называется величина: d(X,Y) = inf {ЦТЦх^г • ЦГ^Ну^х : Т — изоморфизм}.

Для любых конечномерных пространств X и У таких, что dimX ^ dim У, определим обобщенное объемное отношение Vr(X, У) следующим образом

Vr(x<=inf {(^т) '/п :U{Br) СВх' и: Y"х)} • где п — dimX.

В случае, когда dimX — dim У, с помощью обобщенного объемного отношения можно модифицировать классическое понятие расстояния Банаха-Мазура: d(X, У) = Vr(X, Г) • Уг(У, X) = inf{||T||X->y : | det T\ = 1} • inf {||Г||^Х : | detT| - 1}.

Величины lnd(X, Y) и 1п<Э(Х, У) являются метриками на множестве Шп всех n-мерных нормированных пространств.

Расстояние d(X,Y) неявно использовалось Гурарием, Кадедом и Мацаевым в работе [9] для вывода оценок расстояния Банаха-Мазура между пространствами tvn и Глускиным в работе [5] для нахождения диаметра компакта Минковского. Величина (Vr(X, У))п рассматривалась Макбетом в работе [68] и Леви [63] (см. также [8]) для множества выпуклых, не обязательно центрально симметричных, п-мерных тел. В работе [68] доказана компактность этого множества в метрике 1пУг(Х,У) + 1пУг(У, X). Величина д является основным инструментом, для получения нижних оценок расстояния Банаха-Мазура. До сих пор остаются неизвестными оценки расстояния Банаха-Мазура, лучшие в степенной шкале, чем оценка основанная на неравенстве d(X,Y) > д(Х, У). В связи с этим самостоятельное изучение модификации расстояния Банаха-Мазура представляет большой интерес.

Дадли в работе [47] изучал характеристики компактов, основанные на отношении объёма n-мерной проекции к объему евклидова шара той же размерности. Объемное отношение vr(X) = Vr(X, впервые появилось в работе Шарека [85] и совместной работе Шарека и Томчак-Егерманн [93] в связи с уже упоминавшейся работой Кашина [13] о почти сферических сечениях октаэдра. Кубическое объёмное отношение изучалось Боллом в работе [30] для оценок объёмов сечений куба. Гордон, Мейер и Пажор в работе [54] получили с помощью объёмных отношений нижнюю оценку для абсолютной проекционной константы, являющейся важной геометрической характеристикой нормированных пространств. Совсем недавно Гордон и Юнг в работе [55] получили оценки на объёмные отношения, в случае, когда пространство X конечномерно, а У — бесконечномерное пространство £р.

Излагаемый в данной диссертации материал подразделен на четыре главы, нумерация параграфов сплошная. Первая глава содержит некоторые предварительные сведения. Для удобства читателя здесь приведены точные формулировки большинства используемых ниже результатов.

Вторая глава содержит ряд общих свойств объёмных отношений и расстояния д. В §3 устанавливается связь между объемными отношениями и расстоянием д: д{Х, Y) = Vx{X, Y) ■ Vr(Y, X) х Vr(X, Y) ■ Vr(X*,Y*).

§4 носит вспомогательный характер, в нем получены оценки норм операторов, действующих из lvn в lqn через норму Гильберта-Шмидта. Попутно вычисляются объёмные отношения и доказывается, что равномерно для любых 1 ^ р, q ^ оо

Стало быть на пространствах расстояния d ид ведут себя одинаково.

В §5 устанавливаются верхние оценки расстояний и объёмных отношений для сумм нормированных пространств через расстояния и объёмные отношения для слагаемых. На основе этих оценок в §6 для любого п строятся такие n-мерные нормированные пространства Xq и Y0, что d(X0,Y0) > ■ д(Х0,¥0). у elnn

Таким образом, близкие на пространствах lvn расстояния d ид могут существенно различаться. Верхняя оценка расстояния Банаха-Мазура через расстояние д известна лишь тривиальная: n-d(Xo,Yo)^d(Xo,YQ).

§7 посвящен верхним оценкам расстояний и объёмных отношений вида д(Х, £%) и Vr(X, £?), где X — произвольное n-мерное пространство. Верхним оценкам расстояния d(X,£*) посвящены работы Бургейна и Шарека [43], Шарека и Талаграна [91], Шарека [89] и [90], Джаннопу-лоса [51] и [52]; нижним оценкам — работы Шарека [89] и [90]. Наилучшая, известная на настоящий момент оценка при р = 1 такова: y/nlnn -< sup{d(£ln,X) : dimX = n} -< п5/6.

В §§7 и 8 доказывается, что sup Vr(X, Щх^ и sup д(Х, £рп) х у/п.

Т. е. устанавливаются аналогичные асимптотики для величин д(Х, tvn) и

В §8 развивается техника Глускина для получения точных в степенной шкале нижних оценок для объёмных отношений и расстояний между суммами нормированных пространств.

Теорема 0.1. Для любых нормированных пространств X и Y, dimX = п, dim У = к < 5п существуют пространства Z и Z' (dim Z = dimZ' — п — к), для которых где с > 0 — абсолютная константа.

В случае, когда X — 11п

Vr(£l У © Z) > с • п^2 и Уг(У © Z\ С) ^ с • п(1~*)/2.

Теорема 0.2. Пусть 0 ^ $1,82 ^ 1, Щ ^ Sin, П2 ^ Ь^п, dimXo = щ, dimYo = щ- Тогда существуют пространства X и Y, dimX = п — rii, dim У = п — щ, для которых l£i±£2. где с > 0 — абсолютная константа.

В §9 собраны некоторые следствия общих фактов, доказанных в главе 2 и оценок, связанных с расстояниями Банаха-Мазура.

Третья глава посвящена изучению расстояний и объёмных отношений для сумм пространств 1рп. В §10 получены необходимые оценки для норм операторов, действующих из lvn © в tn 0 tn. В §11 устанавливается формула

Vr(« ©ССеС) * (mm{Vr(CC) • Vr MX), Vr(CC) • Vr

§12 посвящен изучению объёмных отношений Vr{&пЛт) ПРИ rn ^ п. В случае, когда р = 2 и q — 1 этот вопрос связан с объёмами многогранников, вписанных в сферу и имеющих 2га вершин. Он рассматривался в работах Бараньи и Фюреди [32] и [33], Глускина [7], Болла и Пажо-ра [31].

Четвертая глава связана с расстояниями между пространствами, обладающими безусловным базисом. В §13 устанавливается, что если пространство X имеет 1-безусловный базис, то

Vr(4*KVr(CCKe и Vr(X,CKVr(4,CKe.

Если помимо наличия 1-безусловного базиса потребовать, чтобы пространство X было р-выпукло и ^-вогнуто, а пространство У — г-выпукло и 5-вогнуто, то д(Х,У) <4П(И)++(И)+.

Эта оценка при некоторых условиях на взаимное расположение чисел р, g, г и s обобщает результаты параграфа §5.

Кроме того в §13 доказывается существование пространства, равномерно далекого от всех пространств с безусловными базисами. А именно, справедлива

Теорема 0.3. Существует такое пространство X, что для любого n-мерного пространства Z с 1-безусловным базисом.

В случае, когда пространство X имеет безусловный базис, a Y произвольно, даются верхние оценки расстояния d(X,Y):

В §14 некоторые оценки §13 переносятся с пространств, имеющих безусловный базис, на их подпространства. В частности, доказывается существование такого n-мерного нормированного пространства, что расстояние от него до всех n-мерных подпространств пространств размерности 2п, имеющих 1-безусловный базис, не меньше сл/п, и выводится аналог оценки (0.1). Как следует из результатов Глускина [5] оценка (0.2) для подпространств пропорциональной размерности пространств с безусловными базисами не может иметь места.

§15 посвящен оценкам расстояния Банаха-Мазура до пространств вида X ф В частности, мы доказываем, что если пространство X имеет безусловный базис и 2-выпукло (или 2-вогнуто), то Х®1\ лежит в центре компакта Минковского. В §13 показано, что такие пространства X лежат в <9-центре компакта Минковского.

Основные результаты настоящей диссертации опубликованы в работах [24, 25, 26] и [27], докладывались на семинаре по теории операторов и комплексному анализу. d(X, Z) > д(Х, Z) > с^ь d(X,Y) yfii-vrX и d(X,Y) -< n3/4.

0.1) (0.2)

1. Банах С. С. Курс функционального анал1зу. Ктв, Радяньска школа, 1948. (Banach S. Theorie des Operations Lineaires. Warsaw, 1932.)

2. Болтянский В. Г., Баладзе Э. Д. Проблема Секефальви-Надя в комбинаторной геометрии. М., Наука, Физматлит, 1997.

3. Восканян В. В. Полиэдральные постранства: экстремальные операторы и расстояние Банаха-Мазура // Изв. АН Армянск. ССР, сер. матем. 25, 1990, №3, С. 284-292, 310;

4. Восканян В. В., Халди Р. Расстояние Банаха-Мазура между двумерными нормированными пространствами // Докл. АН Армении 84, 1993, №1, С. 3-10.

5. Глускин Е. Д. Диаметр компакта Минковского примерно равен п // Функц. ан. и его прил. 15, вып. 1, 1981, С.72-73.

6. Глускин Е. Д. Конечномерные аналогии пространств без базиса / / ДАН СССР 261, №5, 1981, С. 1046-1050.

7. Глускин Е. Д. Экстремальные свойства ортогональных параллелепипедов и их приложения к геометрии банаховых пространств // Мат. сб. 136 (178), №1(5), 1988, С. 85-96.

8. Грюнбаум Б. Этюды по комбинаторной геометрии и теории выпуклых тел. М., Наука, 1971.

9. Гурарий В. И., Кадец М. ИМацаев В. И. О расстояниях между конечномерными аналогами пространств Lp // Мат. сб. 170 (112), №4, 1966, С. 481-489.

10. Дэй М. М. Нормированные линейные пространства. М., ИЛ, 1961.

11. Загускин В. JI. Об описанных и вписанных эллипсоидах экстремального объёма // УМН 13, №6, 1958, С. 89-93.

12. Залгаллер В. А., Решетняк Ю. Г. О спрямляемых кривых, аддитивных вектор-функциях и смещении отрезков // Вестн. Ленингр. ун-та 2, 1954, С. 45-67.

13. Кашин Б. С. Сечения некоторых конечномерных множеств и классов гладких функций // Изв. Акад. Наук СССР 41, 1977, С. 334351.

14. Кашин В. С. О некоторых изоморфизмах в Z<2(0,1) // Comptes Rendus Acad. Bulgare des Sciences 38,1985, C. 1613-1615.

15. Кашин В. С. О параллелепипедах наименьшего объёма, содержащих выпуклое тело // Мат. заметки 45, №2, 1989, С. 134-135.

16. Ляпунов А. А. О вполне аддитивных вектор-функциях // Изв. АН СССР, Сер. мат. 4, №6, 1940, С. 465-478.

17. Лозановский Г. Я. О некоторых банаховых структурах / / Сибирск. Мат. журн. 13, 1972, С. 1304-1313.

18. Маркус М., Минк X. Обзор по теории матриц и матричных неравенств. М., Наука, 1972.

19. Макаров В. М. р-абсолютно суммирующие операторы и некоторые их приложения // Алгебра и анализ 3, вып. 2, 1991, С. 1-76.

20. Макаров В. М., Голузипа М. Г., Лодкин А. А., Подкорытов А. Н. Избранные задачи по вещественному анализу. М., Наука, 1992.

21. Мильман В. Д. Геометрическая теория пространств Банаха. Часть I. Теория базисных и минимальных систем. УМН 25, №3, 1970, С. 113-174.

22. Фихтенголъц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. том III, М., Наука, 1970.

23. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М., Мир, 1989.

24. Храброе А. И. Оценки расстояний между суммами пространств ^ // Вестн. С.-Петербург, ун-та, Сер. 1. Вып. 3 (№17), 2000, С. 56-62.

25. Храброе А. И. Обобщенные объёмные отношения и расстояние Банаха-Мазура // Мат. Заметки 70, №4, 2001, С.

26. Храброе А. И. Экстремальные объёмные отношения для сумм нормированных пространств // В сб. Проблемы математического анализа. Вып. 21. Новосибирск, Научная книга, 2000, С. 264-275.

27. Храброе А. И. Расстояния между пространствами с безусловными базисами // В сб. Проблемы математического анализа. Вып. 23. Новосибирск, Научная книга, 2001, С. 206-220.

28. Asplund Е. Comparison between plane symmetric convex bodies and parallelograms // Math. Scand. 8, 1960, P. 171-180.

29. Ball K. Cube slicing in Rn // Proc. Amer. Math. Soc. 97, №3, 1986, P. 465-473.

30. Ball K. Volumes of sections of cubes and related problems / / Geometric aspects of functional analysis (1987-88), P. 251-260, Lecture Notes in Math., 1376, Springer, Berlin-New York, 1989.

31. Ball K., Pajor A. Convex bodies with few faces // Proc. Amer. Math. Soc. 110, Ж, 1990, P. 225-231.

32. Bar any, /., Furedi, Z. Computing volume is difficult // Discrete Comput. Geom. 2, 1987, P. 319-326.

33. Bar any, I,, Furedi, Z. Approximation of the sphere by polytopes having few vertices // Proc. Amer. Math. Soc. 102, №3, 1988, P. 651-659.

34. Bastero J., Galve F., Репа A., Romance M. Inequalities for the Gamma function and estimates for the volume of sections of Bp // preprint.

35. Baumbach G., Linde W. Asymptotic behavior of p-absolutely summingnorms of identity operators // Math. Nachr. 78, 1977, P. 193-196. •«

36. Behrend F. Uber einige Affinivarianten konvexer Bereiche // Math. Ann. 113, 1937, P. 713-747.

37. Bennett G., Goodman V., Newman С. M. Norms of random matrices // Pacific J. Math. 59, №2, 1975, P. 359-365.

38. Bennett GDor L. E., Goodman V., Johnson W. В., Newman С. M. On uncomplemented subspaces of Lp // Israel J. Math. 26, №2, 1977,P. 178-187.

39. Bourgain J. Real isomorphic complex Banach spaces need not be complex isomorphic // Proc. Amer. Math. Soc. 96, №2, 1986, P. 221226.

40. Bourgain J., Milman V. Sections euclidiennes et volume des corps convexes symetriques // C. R. Acd. Sci. Paris. A 300, 1985, P. 435-438.

41. Bourgain J., Milman V. Distances between normed spaces, their sub-spaces and quotient spaces // Integral Equations and Operators Theory 9, 1986, P. 31-46.

42. Bourgain J., Milman V. New volume ratio properties for convex symmetric bodies in Rn // Inventiones Math. 88, №2, 1987, P. 319340.

43. Bourgain J., Szarek S. J. The Banach-Mazur distance to the cube and the Dvoretzky-Rogers factorization // Israel J. Math. 62, №2, 1988, P. 169-180.

44. Danzer L., Laugwitz D., Leuz H. Uber das Lownersche Ellipsoid und sein Analogen unt.er deu einem Eikorper einbeschriebener Ellipsoiden // Arch. Math. 8, 1957.

45. Davie A. M. The approximation problem for Banach spaces // Bull. London Math. Soc. 5, 1973, P. 261-266.

46. Davis W. J., Milman V. D., Tomczak-Jaegermann N. The distance between certain n-dimensional Banach spaces // Israel J. Math. 39, №1-2, 1981, P. 1-15.

47. Dudley R. M. The sizes of compact subsets of Hilbert space and continuity of Gaussian processes //J. Functional Analysis 1, 1967, P. 290-330.

48. Dvoretzky A. Some results on convex bodies and Banach spaces // Proc. Internat. Sympos. Linear Spaces (Jerusalem, 1960), 1961, P. 123-160 Jerusalem Academic Press, Jerusalem; Pergamon, Oxford.

49. Dvoretzky A., Rogers C. A. Absolute and unconditional convergence in normed linear spaces // Proc. Nat. Acad. Sci. USA 36, 1950, P. 192-197.

50. Geiss S. Antisymmetric tensor products of absolutly p-summing operators j I Journ. Approx. Theory 68, 1992, P. 223-246.

51. Giannopoulos А. А. К proportional Dvoretzky-Rogers factorization result // Proc. Amer. Math. Soc. 124, 1996, P. 233-241.

52. Giannopoulos A. A. A note on the Banach-Mazur distance to the cube // Geometric aspects of functional analysis (Israel, 1992-1994) Oper. Theory Adv. Appl. 77, Birkhauser, Basel, 1995, P. 67-73.

53. Gluskin E. D., Litvak A. E., Tomczak-Jaegermann N. An example of a convex body without symmetric projections // preprint.

54. Gordon Y., Meyer M., Pajor A. Ratios of volumes and factorization through // Illinois J. Math. 40, №1, 1996, P. 91-107.

55. Gordon Y., Junge M. Volume ratios in Lp-spaces // Studia Math 36, №2, 1999, P. 147-182.

56. Grothendieck A. Produits tensoriels topologiques et espaces nucleaires // Memoirs AMS, 16, Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1955.

57. Grothendieck A. Resume de la theorie metrique des produits tensoriels topologiques // Bui. Soc. Mat. Sao Paulo 8, 1956, P. 1-79.

58. Jamison R. I., Ruckle W. H. Factoring absolutely converging series // Math. Ann., 224, 1976, P. 143-148.

59. John F. Extremum problems with inequalities as subsidiary conditions // Courant anniversary volume, Interscience, New York, 1948, P. 187-204.

60. Junge M. Proportional subspaces of spaces with unconditional basis have good volume properties // Geometric aspects of functional analysis (Israel, 1992-1994), Oper. Theory Adv. Appl., 77, Birkhauser, Basel, 1995, P. 121-129.

61. Koldobsky A. An application of the Fourier transform to sections of star bodies // Israel J. Math. 106, 1998, P. 157-164.

62. Krivine J. M. Sur un thorme de Kasin // Seminaire d'Analyse Fonc-tionnelle 83/84, Universite Paris 7.

63. Levi F. W. Uber zvei Satze von Herrn Besicovitch // Arch. Math. 3, 1952, P. 125-129.

64. Lindenstrauss JSzankowski A. On the Banach-Mazur distance between spaces having an unconditional basis // Aspects of positivity in functional analysis (Tubingen, 1985), North-Holland Math. Stud., 122, Amsterdam-New York, 1986, P. 119-136.

65. Lindenstrauss J., Tzafriri L. Classical Banach Spaces I, Sequence Spaces. Ergebnisse 92, Berlin, Springer-Verlag. 1977.

66. Lindenstrauss J., Tzafriri L. Classical Banach Spaces II, Function Spaces. Ergebnisse 97, Berlin, Springer-Verlag, 1979.

67. Litvak A. E., Tomczak-Jaegermann N. Random aspects of high-dimensional convex bodies // GAFA Israeli Seminar, Lecture Notes in Math., Springer, Berlin-New York, to appear.

68. Macbeath A. M. A compactness thoerem for affine equivalence-classes of convex regions // Canad. J. Math. 3, №1, 1951, P. 54-61.

69. Mahler K. Ein Ubertrangungsprinzip fur konvexe Korper // Casopis pro Pestovani Mat. a Fys. 68, 1939, P. 93-102.

70. Mankiewicz P. Finite dimensional Banach spaces with symmetry constant of order yfn // Studia Math 79, P. 193-200.

71. Mankiewicz P. Subspace mixing properties of operators in Rn with applications to pathological properties of Gluskin spaces // Studia Math 88, 1988, P. 51-67.

72. Mankiewicz P., Tomczak-Jaegermann N. Quotients of finite-dimensional Banach spaces; random phenomena //in «Handbook in Banach Spaces», (eds. Johnson W. В., Lindenstrauss J.), Elsevier, to appear.

73. Meyer M., Pajor A. Sections of the unit ball of Ln? // J. Funct. Anal. 80, №. 1, 1988, P. 109-123.

74. Milman V. D., Schechtman G. Asymptotic theory of finite dimentional normed spaces. Lecture Notes in Math., vol. 1200, Springer-Verlag, Berlin and New York, 1986.

75. Pelczynski A., Szarek S. J. On parallelepipeds of minimal volume containing a convex symmetric body in R™ // Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 109, №1, 1991, P. 125-148.

76. Pisier G. The volume of convex bodies and Banach space geometry. Cambridge University Press, Cambridge, 1989.

77. Reisner S. Random Polytopes and the volume product of symmetric convex bodies // Math. Scand. 57, 1985, P. 386-392.

78. Reisner S. Zonoids with minimal volume product // Math. Z. 192, 1986, P. 339-346.

79. Rogers C. A., Shephard C. The difference body of a convex body // Arch. Math. 8, 1957, P. 220-233.

80. Rudelson M. Contact points of convex bodies // Israel J. Math. 101, 1997, P. 93-124.

81. Saint-Raymond J. Sur le volume des corps convexes symetriques // Seminaire Initiation a l'Analyse. 80/81. Exp. №11, Universite P. et M. Curie, Paris.

82. Santalo L. Un invariante afin para los cuerpos convexos del espacio de ri dimensiones // Portugal Math. 8, 1949, P. 155-161.

83. Schmuckenschlager M. Volume of intersections and sections of the unit ball of £P 11 Proc. Amer. Math. Soc. 126, 1998, P. 1527-1530.

84. Stromquist W. The maximum distance between two-dimensional Banach spaces jI Math. Scand. 48, №2, 1981, P. 205-225.

85. Szarek S. J. On Kasin's almost Euclidean orthogonal decomposition of ^ 11 Bull. Acad. Polon. Sci. 26, 1978, P. 691-694.

86. Szarek S. J. The finite-dimensional basis problem with an appendix on nets of Grassmann manifolds // Acta Math. 151, №3-4, 1983, P. 153-179.

87. Szarek S. J. On the existence and uniqueness of complex structure and spaces with "few" operators // Trans. Amer. Math. Soc. 293, №1, 1986, P. 339-353.

88. Szarek S. J. A superreflexive Banach space which does not admit complex structure // Proc. Amer. Math. Soc. 97, №3, 1986, P. 437444.

89. Szarek S. J. On the geometry of the Banach-Mazur compactum // Functional analysis (Austin, TX, 1987/1989), Lecture Notes in Math., 1470, Springer, Berlin, 1991, P. 48-59.

90. Szarek S. J. Spaces with large distance to and random matrices // Amer. J. Math. 112, №6, 1990, P. 899-942.

91. Szarek, S. J., Talagrand, M. An "isomorphic" version of the Sauer-Shelah lemma and the Banach-Mazur distance to the cube // Geometric aspects of functional analysis (1987-88), Lecture Notes in Math., 1376, Springer, Berlin-New York, 1989, P. 105-112.

92. Szarek, S. J., Talagrand, M. On the convexified Sauer-Shelah theorem // J. Combin. Theory Ser. В 69, №2, 1997, P. 183-192.

93. Szarek S. J., Tomczak-Jaegermann N. On nearly Euclidean decomposition of some classes of Banach spaces // Compositio Math 40, 1980, P. 367-385.

94. Tomczak-Jaegermann N. Banach-Mazur distances and finite-dimensional operator ideals. Pitman Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics, 38. Longman Scientific Sz Technical, Harlow, New York, 1989.

95. Vaaler J. D. A geometric inequality with applications to linear forms 11 Pacific Journ. Math. 83, 1979, P. 543-553.