Геометрические характеристики функциональных банаховых пространств тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ . 3 - II

ГЛАВА I. ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ И ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ

СВЕДЕНИЯ. 12

ГЛАВА П. ВЛОЖЕНИЕ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА

БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВ. 28

§ I. Отсутствие связи индексов Бойда с вложением в шкале пространств Lp<^ 28 -

§ 2. Верхние и нижние оценки в идеальных банаховых пространствах. 32

§ 3. ( Cj^, р ) - выпуклость банаховых решеток.37

ГЛАВА Ш. ОЦЕНКИ РАССТОЯНИЯ БАНАХА-МАЗУРА МЕЖДУ

КОНЕЧНОМЕРНЫМИ ПРОСТРАНСТВАМИ t55 -

ГЛАВА 1У. КОНСТАНТЫ СИММЕТРИЧНОСТИ

ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВ 71-

§ I. Определение величин ©^(Е) и|Сп(е), их свойства. 71

§ 2. Константы симметричности пространств L (1<Р< оо, и пространства

Орлича LM (о, 1) . 78

Теория банаховых решеток представляет собой одно из важных направлений функционального анализа. Значение этой теории определяется рядом обстоятельств. Многие пространства, рассматриваемые в анализе, являются банаховыми решетками (например, пространства Lp(TtZ,/*) , Лоренца, Марцинкевича, Орлича) при том или ином естественном порядке. Теория банаховых решеток служит мощным средством исследования конкретных пространств.

Важным классом банаховых решеток являются симметричные пространства, появившиеся в работах по теории интерполяции линейных операторов и гармоническому анализу (см. /19/, /34/ ). Геометрия банаховых решеток и, в частности, симметричных пространств долгое время оставалась неисследованной. Но последние 10-15 лет ознаменовались крупными достижениями в этой области. Итоги этих исследований приведены в ряде монографий и обзорных статей /4/, /15/, /34/, /39/. Результаты, связанные с геометрией симметричных пространств находят применение в теории интерполяции и теории ортогональных рдцов, играют все возрастающую роль в теории вероятностей.

Возникающие в рамках абстрактной теории банаховых решеток понятия и свойства вызывают естественное желание выяснить, какие из симметричных пространств этими свойствами обладают. Решению некоторых задач, относящихся к геометрической теории симметричных пространств, и посвящена диссертационная работа.

Основное содержание диссертации изложено в главах П - 1У. Им предпослана глава I, в которой собраны основные обозначения и предварительные сведения, используемые в работе.

Глава П посвящена изучению некоторых геометрических свойств банаховых решеток и, в частности, симметричных пространств. Шимогаки в /41/ показал, что существует симметричное функциональное пространство Е , фундаментальная функция которого такая же, как у пространства , а один из индексов Бойда тривиален. В первом параграфе строится симметричное пространство (сокращенно СП) £ такое, что Е с Lдля любых наперед заданных 1 < t< оо $ х < р < оо } а его индексы Бойда тривиальны. Тем самым показано отсутствие связи индексов Бойда СП Е с его вложением в шкале пространств Lp<^ .

Цафрири в /45/ исследовал связи между понятиями типа (соответственно, котипа) банахова пространства X и нормированного типа (соответственно, нормированного котипа) и показал, что *WP {р • X - типа р J = iupip : X - нормированного типа pj ; i-h| {р: X - котипа pj = {р : X - нормированного котипа pj , но существуют банаховы пространства, которые имеют нормированный тип р , i* р< & (соответственно, нормированный котип для Z<<\, 4 ), но не имеют типа р (соответственно, котипа Су ). Для р =2 эти понятия совпадают. По аналогии, во втором параграфе вводятся понятия нормированной верхней и нормированной нижней р - оценки ( i < р< 00 ) банаховой решетки (сокращенно БР) X » доказывается, что если БР X удовлетворяет нормированной нижней р -оценке, то сопряженная к ней БР.Х удовлетворяет нормированной верхней р -оценке, где р + р« = i (предложение 3.1). Затем исследуется связь между понятиями верхней (нижней) р -оценки и нормированной верхней (нормированной нижней) р -оценки банаховаидеального пространства (сокращенно БИП). Справедлива

Теорема 2.2. Пусть X -БИП, удовлетворяющее нормированной верхней (соответственно, нормированной нижней) р -оценке ( i < р < о* ). Тогда X удовлетворяет верхней ^ -оценке (соответственно, нижней *L -оценке) для любых р < 1 < со.

Тем самым устанавливается, что для БИП X

WPI р : X удовлетворяет верхней р -оценке ] = = 5up[p : X удовлетворяет нормированной верхней р -оценке] , { Р «X удовлетворяет нижней р -оценке] = -си^ { р : X удовлетворяет нормированной нижней р -оценке] .

Но в то же время существуют БИП, которые удовлетворяют нормированной верхней (соответственно, нормированной нижней) р -оценке, но не удовлетворяют верхней (соответственно, нижней) р -оценке. Пример такого БИП приводится в теореме 2.3.

В третьем параграфе изучаются понятия ( р , ) - вогнутости и ( Cj, , р ) - выпуклости, где i^p о , банаховых решеток (см. /4/), являющиеся обощением понятий с^ -вогнутости и р - выпуклости. Доказывается, что если БРХ удовлетворяет верхней р -оценке, тоХ( ъ , р ) - выпуклая для любого р > i (предложение 2.3). В качестве примера рассматриваются пространства р ,

1 ^ с^ £ ). Далее, в предложении 2.4 для СП Е с фундаментальной функцией ЧЧО устанавливаются условия, при которых выполняется неравенство:

V/3L и <» \

I IX/

II*-ll.il. где

YL - функция, обратная к ^ , 1 - пространство последовательностей Орлича, построенное по функции cfrl , постоянная С- не зависит от ^ .

Хорошо известно, что если БР X удовлетворяет верхней (соответственно, нижней) р -оценке для 1 < , то она 'г. -выпукла (соответственно, ф -вогнута) для любых I ± р < о^ < ро .В то же время существуют банаховы решетки, например, пространства L-p^ , которые не являются р - выпуклыми ( р - вогнутыми), но удовлетворяют верхней (нижней) р -оценке. В этом случае интересным становится вопрос об оценке величины

ТР/Г для любых элементов xt, ,., Хк из данной банаховой решетки. Справедливы следующие результаты.

Предложение 2.5. Пусть i < р< иЕРХ удовлетворяет верхней (нижней) р -оценке. Тогда существует постоянная С < 00 такая, что для любого набора элементов iA*3i=i из X выполняется

Кг

Предложение 2.7. Пусть X = ,

Тогда существуют постоянные К*, и Кц * 00 такие, что

1С, i-t IIZ Pclff „ A-i

Глава Ш посвящена оценкам расстояния Банаха-Мазура между конечномерными пространствами u^ ( I < р< с*> j

Пусть X » У - изоморфные нормированные пространства. Расстоянием Банаха-Мазура называется величина (см. /14/, /15/ ) а(ХЛ)--Ч{||Т||||Т1 Т: X - У - изоморфизм] .

Этой тематике посвящено большое количество работ (см. обширную библиографию в обзоре М.И.Кадеца /15/ ). Е.Д.Глускин в /12/ показал, что сЦХ.У) : сЫХ =dun есть величина порядка Уь

Ситуация резко меняется, если ограничиться рассмотрением только симметричных пространств. Так, в работе Дэвиса и Марэ /29/ показано, что если Е -симметричное пространство размерности YV , то найдется такое р , р е 00] , что а(Е. ) а Дэвис и Энфло /28/ установили, что в этом случае для любого ( i 6 с^ < оо ) имеет место оценка cL( Е,

Е.Д.Глускин в /II/ и /13/ показал, что близкая оценка dlE.F) *C5]/JZ верна, если заменить на произвольное симметричное пространство F той же размерности. Одновременно с ним близкий, но несколько лучший результат получила Томчак-Ягерманн /43/ сЦЕ, F) +

Если брать конкретные классы симметричных пространств, то для них имеются уже более точные оценки расстояния Банаха-Мазу-ра. Так, в случае пространств (i^p^^) В.И.Гурарием, М.И.Кадецем, В.И.Мацаевым в /14/ получены следующие результаты

4 С £ ) - , если f U-p4) = ЦьЦ-ръ) , и

С5 килх если pt ±pz ± оо

В главе Ш рассматриваются конечномерные пространства ЛоренлИ ца t„а ( i^p^oo t ) t являющиеся обобщением

D ^ пространств , и оценивается расстояние Банаха-Мазура между ними. В теореме 3.1 показано для , или р<*>° ,

Если же i^.^o* , , то

•и^а^-иг*-"-».

Аналогичная оценка сверху доказана для случаев, когда где о п» "1 (теорема 3.2). В теореме 3.3 показана г Р справедливость следующих оценок

Си(LкГ ^{Qл;л)г,

-1-4 р г если 1<р<г , - ^и(г.р) или тах(г,р)^<Ъ<<х>. j d (& , ф ) *

X -X г г

Постоянные в приведенных выше неравенствах зависят лишь от р. 1г.

1. Беккенбах Э.Ф., Беллман Р. Неравенства. - М.: Мир,1965. -276 с.

2. Берг Й., Лёфстрём Й. Интерполяционные пространства. Введение. М.: Мир, 1980. - 264 с.

3. Браверман М.Ш., Семенов Е.М. Конечномерные подпространства симметричных пространств. Сиб. матем. ж., 1982, 23, № I, с. 12 - 24.

4. Бухвалов А.В., Векслер А.И., Лозановский Г.Я. Банаховы решетки некоторые банаховы аспекты теории. - УМН, 1979,т.34, № 2, с. 137 183.

5. Былинкина О.П. Некоторые оценки расстояния Банаха-Мазура между конечномерными пространствами Лоренца. В кн.: Школа по теории операторов в функциональных пространствах (4-1I июля 1982 г.) : Тез. докл. Минск, 1982, с. 31.

6. Былинкина О.П. Некоторые оценки расстояния Банаха-Мазура между конечномерными пространствами L ^ .- В кн.: Теория операторов в функциональных пространствах: Межвуз. сб. науч. тр. Воронеж, 1983, с. 14 28.

7. Былинкина О.П. Константы симметричности функциональных пространств. В кн.: Некоторые актуальные проблемы современного научного знания. Итоговая науч. - практ. конф. молодых ученых: Тезисы докл. и сообщ. Математика и физика. Ярославль, 1983, с. 8.

8. Былинкина О.П. Индексы Бойда, верхние и нижние оценки симметричных пространств. Воронеж, 1983. - 16 с. - Рукопись представлена Воронежским университетом. Деп. в ВИНИТИ112.83, № 6439-83.

9. Вулих Б.З. Введение в теорию полуупорядоченных пространств.-М.: Физматгиз, 1961. 407 с.

10. Глазман И.М., Любич Ю.И. Конечномерный линейный анализ. М.: Наука, 1969. - 476 с.

11. Глускин Е.Д. Об оценке расстояний между конечномерными симметричными пространствами- В кн.: Исследования по линейным операторам и теории функций. Л., 1979, вып. 9, с. 268 273.

12. Глускин Е.Д. Диаметр компакта Минковского примерно равен- Функц. анализ и его прилож., 1981, т.15, № I, с. 72 73.

13. Глускин Е.Д. О расстояниях между некоторыми симметричными пространствами. В кн.: Исследования по линейным операторам и теории функций. Л., 1981, вып. II, с. 218 - 224.

14. Гурарий В.И., Кадец М.И., Мацаев В.И. О расстояниях между конечномерными аналогами пространств . Матем. сб., 1966, 70, № 4, с. 481 - 489.

15. Кадец М.И. Геометрия нормированных пространств. В кн.: Итоги науки и техники. Матем. анализ, М., 1975, т.13, с. 99- 127.

16. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. - 741 с.

17. Кальдерон А.П. Промежуточные пространства и интерполяция, комплексный метод. Математика, 1965, 9:3, с. 56 - 129.

18. Красносельский М.А., Рутицкий Я.Б. Выпуклые функции и пространства Орлича. М.: Физматгиз, 1958. - 271 с.

19. Крейн С.Г., Петунин Ю.И., Семенов Е.М. Интерполяция линейных операторов. М.: Наука, 1978. - 400 с.

20. Маркус М., Минк X. Обзор по теории матриц и матричных пространств.- М.: Наука, 1972. 232 с.

21. Новиков С.Я. Котип и тип функциональных пространств Лоренца.- Матем. заметки, 1982, 32, № 2, с. 213 221.

22. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. М.: Наука, 1981. - 797 с.

23. Трибель X. Теория интерполяции, функциональные пространства,дифференциальные операторы. М.: Мир, 1980. - 664 с.

24. Фауг-S W. } tMayrty b. Ле сЬяЬхлъССftrobi, <ь<гы£ <fp — !Pret. Ун,Ь. Смп-Ц-. Орет.MfSra6 cuxd dpff. Xju^, тч, 5Ш.30. <Z)at/w> W^/-, МсНыаппУ.Ф., -^егиишА^ tf. Жеdltitastce ёе^соссп^ (Lw-fautb ft* -^'MMitW Jbcuuzc^r. % 4 Mxtk., Ш, иЗ9, Si-Z, 1-15.

25. Jiajfriri С-la/y^caI/ ha*uuL &р>леи., Suction, ЦмШд. "" hzrltn,: fyrwujer-Verta^; ief3.-~Zll3f>f>.

26. Sxcofiibro У. On, ilU a^d wtyper' еЦ-bfoucx*,- fif. vdcdL.j me,v.bZ, r/Lf 3Z-3S.