Интерполяция линейных трансформаторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВОРОНЕЖСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ ЛЕНИНСКОГО КОМСОМОЛА

На правах рукописи

АТЛАСОВ Игорь Викторович

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ЛИНЕЙШХ ТРАНСФОРМАТОРОВ Специальность: 01.01.01 - математический анализ

■Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж - 1993

•• / /у /у -

Работа выполнена на кафедре математики Воронежского ордена Дружбы народов лесотехнического института'

Научный руководитель - доктор технических наук,

профессор С.Г. Крейн

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Ю.И. Петунин, доктор физико-математических наук, профессор В.И. Овчинников

Ведущая организация - Белорусский университет

Защита диссертации состоится " 18 " мая 1993 года в 15*° на заседании специализированного совета К 063.48.09 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Воронежском ордена Ленина государственном университете имени Ленинского комсомола по адресу: 394693, Воронеж, Университетская пл., I, ВГУ, математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан ",. ." "¿сгг/г^-^С-!993 года

Ученый секретарь специализированного совета

В.Г. ЗАД0Р0ЖНИЙ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Первая интерполяционная теорема теории операторов была получена М. Риссом в 1926 году, а затем уточнена Г.О. Ториным. Существенным дальнейшим шагом явилась интерполяционная теорема Ж. Марцинкевича (I939 г.), доказательство которой опубликовано А. Зигмундом в 1956 г. В 50-ых годах Е.М. Стей-ном и Г. Вейсом были получены важные обобщения теорем Рисса, То-рина и Марцинкевича. Разработка общих интерполяционных теорем для семейств абстрактных гильбертовых и банаховых пространств была начата в 1958 г. независимо в ряде стран. Первые публикации здесь принадлежат Й.Л. Лионсу, Е. Гальярдо, А.П. Кальдерону и С.Г. Крейну. В дальнейшем существенную роль сыграли работы Ж.Петре.

Теория интерполяции линейных операторов бурно развивалась и стала важным разделом функционального анализа, имеющего приложения в различных областях математики (в теории апроксимаций, в гармоническом анализе, в теории уравнений с частными производными, в геометрии банаховых пространств, в вычислительной математике, в математической физике и др.). Значительный вклад в развитие теории интерполяции сделан коллективом воронежских математиков (E.H. Семенов, Ю.И. Петунин, В.И. Овчинников, A.A. Седаев, И.Я. Шнейберг и др.).

В абсолютном большинстве работ исследовалась интерполяция в парах или нескольких банаховых пространствах. Однако, те случаи, когда банаховы пары являются операторными пространствами изучен слабо. Здесь лишь имелась пионерская работа Петре, которая, насколько нам известно, но получила дальнейшего развития. В связи с этим, является актуальным исследования интерполяции трансформаторов (линейных операторов, действующих в операторных

пространствах).

Целью-работы является исследование связей между интерполяционным функтором в категории банаховых пар с соответствуют^ функтором в операторных пространствах.

Методика исследования. В диссертации используются методь теории операторов в банаховых пространствах, теории идеальных структур измеримых функций, теории вещественной интерполяции.

Научная новизна. Все результаты являются новыми. Наиболее важные из них:

- выделение класса дополняемых банаховых пар, для которы> исследованы функторы суммы и произведения для верхних и нижни> операторных пространств ;

- исследованы идеальные структуры на верхних и нижних оп« раторных пространствах ;

- изучен метод констант и средних на верхних и нижних опе раторах пространств ;

- доказаны новые интерполяционные теоремы для конкретных операторных пространств.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация имеет теоретический характер и ее результаты могут найти применение в теории интегральных операторов, в теории дифференциальных уравнений в частных производных, в теории функциональных пространств.

Апробация работы. Результаты диссертации по мере их получения докладывались на совместном заседании семинара имени й.Г. Петровского, на научном семинаре С.Г. Крейна, на ежегодных научных конференциях Воронежского лесотехнического инстит; та и Воронежской математической школе.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Для формулировки результатов напомним ряд употребляемых в теории интерполяции понятий и введем ряд новых обозначений.

Если А и б два банаховых пространства, то через

-4- обозначается банахово пространство /, (В, А) , состоящее о

из всех линейных ограниченных операторов, действующих из пространства!^ пространство А

На протяжении всей работы через М обозначено фиксированное банахово пространство. Пространство вида гт называет-

М

ся верхним операторным пространством. Пространство вида д-называется нижним операторным пространством. По предыдущему определению, всякий линейный ограниченный оператор над верхними или нижними операторными пространствами называется трансформатором.

Целью настоящей работы является нахождение условий при которых интерполяционный функтор от верхних (нижних) операторных пространств будет изоморфен некоторому верхнему (нижнему) операторному пространству, а также описание этого пространства.

Перейдем к изложению основных результатов диссертации.

§ 2 посвящен изучению простейших интерполяционных функторов в верхних операторных пространствах. Рассматриваются функторы пересечения и суммы.

Пусть пространства А0 , А< образуют банахову пару.

Определение. Пара А о, Л1 называется дополняемой, если подпространство и " / 2 6 пространства Ао*Л< дополняемо в нем.

Зто определение играет фундаментальную роль в работе. Примерами дополняемых банаховых пар являются пары конечномерных пространств, гильбертовых пространств и пары вложенных банаховых пространств. Как сообщил В.И. Овчинников, им построены примеры

недополняемых пар.

Основным результатом § 2 является

Теорема 2.2. Если пара А,, А/ дополняема, то справедлив изоморфизм

/[«+А» = Ас + _Д|_ М ММ

При некотором естественном дополнительном условии на этот изоморфизм, из его существования следует дополняемость пары.

Лемма 2.10. Если пространства А*, к) образуют дополняемую банахову пару, а Е - промежуточное между Ао, А| пространство то является промежуточным между ~ и пространст-

вом.

В § 3 изучаются простейшие интерполяционные функторы в нижних операторных пространствах.

Снова рассматриваются функторы пересечения и суммы.

Основными результатами являются:

Лемма 3.6. Если банахова пара А«, А/ регулярна, то справедлива изометрия

м Дп-^-

Ас+А

А0 А,

Теорема 3.2. Если банахова пара А, А, регулярна и дополняема, то существует изоморфизм

м Л^Л

А.пА, А. т А,

Для регулярной банаховой пары /\е, при некотором естественном дополнительном условии на этот изоморфизм, из его существования следует дополняемость пары.

Теорема 3.4, 3,5. Пусть банахова пара Ао, А, регулярна и дополняема, Е , Р промежуточные между А„ , А/ пространства, пространство плотно в Р , тогда пространство

М ММ

"р" является промежуточным между пространствами и д~ ,

Е Л, 1

а пространство промежуточным между пространствами ,

, , _Ао . 1

Д. Л| Л«

Замечание. О понятии пространства промежуточного между конечным числом банаховых пространств см. [ J стр. 43.

§ 4. Является вспомогательным для изучения методов констант и средних, введенных Ж.Л. Лионсом и Ж. Петре в ^ и обобщен-

ных В.И. Дмитриевым £ , необходимых для исследования этих методов для операторных пространств.

Через Е(А) , где А - банахово пространство, а Е - идеальная структура, обозначается банахово пространство всех функций И ¡1) со значениями в А , сильно измеримых в А и таких, что Ии1£)Цд ь В с нормой

ИШ1ЕЩ - ШШИ)ИА Не

Теорема 4.5. Пусть структура Е изометрична (изоморфна) пространству /о- с некоторым весом, тогда справедлива изомет-рия (изоморфизм)

Ш) М

! -

При некотором дополнительном условии на изоморфизм, из его существования следует, что структура Е изоморфна £ с некоторым весом.

Теорема 4.6. Пусть структура £ изометрична (изоморфна) с некоторым весом, тогда справедлива изометрия (изоморфизм)

г

л

ЕМ)

При некотором дополнительном условии на изоморфизм, из его существования следует, что структура £; изоморфна с

некоторым весом.

В § 5 исследуется метод средних и констант на операторных

пространствах.

Теорема 5.2. Пусть задана банахова пара /1о, и структуры Ее и 1=1 , являющиеся пространствами с весами. Если пара /А») , Е~, /4|] дополняема и функция £•=/£-то справедлив изоморфизм

К

Н

Я £,

Ао

'и ' м

к

Е Е,

Лемма 5.1. Пусть задана банахова пара и структуры £"„, Е, являющиеся пространствами ^« с весами. Если ядро оператора интегрирования О дополняемо в пространстве Е0 д Ь, (4,) ' т0 справедлив изоморфизм

[~А,, 4,"

□

Еа£1

М

£'с Е,

Лемма 5.2. Пусть банахова пара Ас, регулярна, пространство ЬоП А, плотно в пространстве ГА0| Л|ТК ¡~ , где £\) В, -

пространства // с весами, <?£•£"«,■'Е| и пространство ¡К

'е. Б,

тогда справедлив изоморфизм

ЕАо, £- дополняемо в пространстве £\. /Ас) + В, [А<)

М Гм м73

[А*. А.]

стве

Лемма 5.3. Пусть , Е"; - структуры // с весами, пара

4 М л Л

регулярна, пространство " плотно в простран-

г м М1К > ( 'пара ЕЛА.) , Е, [А,]

I а,-}в:Е; 1

дополняема, тогда справедлив изоморфизм

м _ ГЛ

а/ А,

[М, 1

Р1 Е*

Теорема 5.6. Пусть Е0 , Ь, структуры Л с весами, ^и, регулярная банахова пара. Предположим, что выполнены условия:

I. а) Банахова пара Ь\ (Ас) > Ь, (А/) дополняема;

б) £ е ь'1 , (

в) Банахова пара ¡Аи) 1 ь, (А,) дополняема

г) Функтор ]'~>р< регулярен (см.[ J, стр. ) тогда справедлив изоморфизм

А А 1К га А

Ч в:1У А'

К К"

А,

- 10 -"А А

А.' А,

к

Л^1 с'

К

Е Е

е: Е;

[Ао,

П. а) Ядро оператора 3 дополняемо в пространст-

ве е: Щ л еЦа,) ;

б) £ б Е-. ■<• Е, ;

в) пространство £ Д^ А^^- Е дополняемо в пространстве Ее (Ао) + Е,(А,]

г) функтор Г-!-!*! регулярен,

-"с. Е(

тогда справедлив изоморфизм

А, А

А. ' Ав

3

Е: Е;

А„ А,

б: Е;

' А, А,

_ А' "А7

А, ~

Ас' А< .

га, а л

е! е-,1

Е]Е/

е: Е,1 J

Е: Е; 1

—1 Г-1

ь» Е,

Ш. а) Ядро М(э) оператора 3 дополняемо в пространстве Ее / А«,) П

б) £ б Е„' + Е,\ ¿е

в) банахова пара дополняема ;

д) функтор Г',.1 , I регулярен; <- J Е,

тогда справедлив изоморфизм

Ао Ао _

А, Ь л/ л(

. ГА А]3

Л,]

-I К

е! Е;

А, А

а/ а.

х г-'

ь,

к

в: Е;

э

в: Е:

ГМ^'Е,'

ГА., А,]

Е„ Ь, ■

1У. а) Банахова пара (Ао) . Е,' (А|) дополняема ;

б) её е.' * Е/

в) пространство £*А0, Е дополняемо в пространстве (Ав) + Е( (А,) ;

г) £ с- Ев+Е, ;

д) функтор Е',']1! _ регулярен;

тогда справедлив изоморфизм

А," к ' Ас А, "

Ао ' А0 ^ 1 А, _

' А. А0" о • А. А,"

А, А, 1 е; Е: _ А0 А, _

К

С* 1=, -

"3 к

Со Е,' -I Ее Е/

¡ЛЛЦе,

Следствие. В приведенных выше условиях пространства < з - •З

¿'А-.А^Е.-Е,. [М^^' ГА., />,]е'Е.'

являится интерполяционными между четверками пространств

На странице /02 диссертации показано, что во всех утвер) дениях § 5 можно рассматривать пространства Ь & , ^ с произвольными весами.

Банахову пару назовем равномерно дополняемой, есл!

она дополняема и нормы проекторов декартового произведения Л о л ¿ равномерно ограничены для всех I >О . Пусть Е идеальная структура, ^ весовые функции на УУ1_ , тогда

из равномерной дополняемости пары Но, следует равномерн!

дополняемость пары , //),] . Оказывается, что свойс

во равномерной дополняемости банаховой пары эквивалентно свойс ву ¡^ - линеаризуемости. Теоремы о вложениях операторных бан ховых пространств впервые были доказаны Петре £" . В услоЕИ квазилинеаризуемости пары Ло,/1| и произвольного банахов пространства М и весов справедливо вложение

й-- и М м

В силу эквивалентности свойств равномерной дополняемости )( - линеаризуемости предыдущее утверждение является частным случаем теоремы 5.1. Во-первых, в теореме 5.1 доказано не толь вложение, но и изоморфизм, во-вторых, вместо равномерной допол няемости банаховой пары

А

и , п| , а следовательно, и пары 1 ¿"|//1)) требуется более слабое свойство дополняемости банаховой пары

Теорема 5.9. Если пространство к, вложено в пространст кI и для двух измеримых на функций

выполнены неравенства с < Ц) ^М, .Я ^ '

*

Iя /Л

то для идеальных структур , Ьо» справедлив изоморфизм

1Л^

Л

" Ов и См

И

К

Теорема 5.10. Если банахова пара , Л| равномерно

дополняема, то если Е* , Ь, - пространства /, ^ с некоторыми весами, то справедлив предыдущий изоморфизм.

Теорема 5.11. Пусть пространство. А. плотно вложено в пространство А| , для двух положительных на УП. функций

(1=0,11 выполнены неравенства (-Ь) й^Д , ,

функтор регулярен, то

справедлив изоморфизм

м гм м "

[А, А.]^, Ч ¿Л* /А

Теорема 5.12. Если пара /Ц А. регулярна и равномерно дополняема, Е0,В, пространства * с весами, С с-Е,& функтор Г•,•'}*' регулярен, то справедлив предыдущий изоморфизм.

Теорема 5.13. Пусть пространство Аа плотно вложено в пространство к, для 4 положительных на 272- функций (1и = 0>1) справедливо неравенство ^ , ./ = ¿7/

> и функтор Г' ф регуля'

рен, то справедлив изоморфизм

А.' А..

Ас А Д0' А,

о* с—

* ОЙ

[к., Л,]^;

А*

А, ' А,

А, л А/ А,

к

г К

к

/_ ± Очэ О»

' -4-¿Л

Теорема 5.14. Пусть банахова пара Л о, регулярна и равномерно дополняема, , ^ пространства с весами,

£ £ Ее функтор Г'• 1 ^ , регулярен, то справедлив

Ее 5 Е,'

изоморфизм

А* А 1К ГА, А^К

А.' А. ' А.,.

^ е.'

к

£,} Е/

Г ГА> А Г ГА а!

а Ас'' А, Ао' а, j

е!. Е; J

В дальнейшем рассматриваются некоторые конкретные интерполяционные теоремы.

Теорема 5.15. Если /1с, А, - равномерно дополняемая пара, то справедлив изоморфизм

• " м ' [ п 1 М ) в

и—

К

Теорема 5.16. Если регулярная равномерно дополняе-

мая пара, то справедлив изоморфизм

/ л л I

( а/ а, ;

N

Ао А, /е?оо

Теорема 5.17. Пусть В,, В, - произвольная равномерно дополняемая пара, ко, к, - произвольная регулярная равномерно дополняемая пара, тогда справедливы изоморфизмы при 0 , 9*< 1

б- 6

1.

А/

Л» А,] о'о.]^- [/¡01 А,]^

б* 5,1 1 .. ^ в,]^ А. ' Л. ГМ-]^,

Следствие. Из предыдущего вытекает, что пространство интерполяционно между пространствами

А, А,

Ас ' А, ' Л,

Теорема 5.18. Если £ , г - идеальные банаховы структуры, причем Р - правильна, иУ , - некоторые весовые функции, то при О < £>"< / справедлив изоморфизм

1 Г Е Е^ -

Р Я о* (9*00

В ' Г Е* Е*-

Р г/-

Л.6-

С в

Следствие. С помощью результата Глмберта устанавливается изофорязм.

г- г / № , СО* 7 г / (»3, / £"7 1

..... Пространство Г ^ ^ &-1 а=> интерполяционно

, между пространствами ¿ос , йс , ¿01 ,

Автор выракает -благодарность научному руководителю проф. С.Г. Крейну за постоянное внимание и локо:ц<5 в рабо-Основные результаты. опусЗликованц в статья;:-:.

1. Атласов И.В. Интерполяция линейных трансфоршаторов //Д< Российской Акадешк Наук- 1993-Т 330 й I. С.7-9.

2. Атласов II.В. Простейшие трансформаторы в абстрактны: идеальных структурах. Деп. в 21.10.92 й 3032-В32