Интерполяция и аппроксимация наипростейшими дробями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Кондакова Елена Николаевна

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ и АППРОКСИМАЦИЯ НАИПРОСТЕЙШИМИ ДРОБЯМИ

01.01.01 Вещественный, комплексный и функциональный анализ

А в т о р с ф с р а т диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

I 3 иди 2012

Саратов 2012

005019033

005019033

Работа выполнена на кафедре функционального анализа и его приложений Владимирского государственного университета им. А. Г. и Н.Г. Столетовых.

Научный руководитель: доктор физико математических наук,

профессор Данченко Владимир Ильич

Официальные оппоненты: доктор физико математических наук,

доцент Колесников Сергей Викторович

доктор физико математических наук, профессор Старков Виктор Васильевич

Ведущая организация: Московский государственный университет

им. М.В. Ломоносова

Защита диссертации состоится 24 мая 2012 г. в 15 ч. 30 мин. на заседании диссертационного совета ДМ 212.243.15 при Саратовском государственном университете им. Н.Г. Чернышевского по адресу: 410012, г. Саратов, ул. Астраханская, 83, механико-математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского.

Автореферат разослан ^З'1 апреля 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук,

доцент

Общая характеристика работы

її

м

Актуальность темы. Работа посвящена вопросам интерполяции и ап-рокеимации наипростейшими дробями (н.д.), т.е. рациональными функ-цшми, представляющими собой логарифмические производные комплексных ногочленов. Как аппарат приближения н.д. впервые применялись в работе С. К. Chili1 при аппроксимации аналитических функций в интегральных пространствах Бсргмана-Бсрса. Задача построения н.д., наименее уклоняющихся от пуля в равномерной метрике на разных множествах и при различных ограничениях на полюсы, исследовалась Е.А. Гориным, А. О. Гель-фондом, Е.Г. Николаевым, В.Э. Кацнельсоном и другими авторами2. Значительно позже был доказан аналог теоремы Мергеля на? о том, что класс функций, приближаемых н.д. в равномерной метрике на ограниченном множестве, включает многочлены, а значит, и аппроксимируемые ими функции. При этом оказалось4, что скорость приближения н.д. для широкого класса функций И ограниченных множеств имеет тот же порядок, что и ско-aFoTa^mtion in the Bers spaces /7 Proc. Am?r. Math. Soc. 1973. V. 40. P. 438 442.

!n>jnm Е.А. Частично гипоэллиптичеекпе дифференциальные уравнения н частных производных с постоянны»,и коэффициентами // Снб. M*™, журн. 1062. Т. 3, » 5. С. 506 508; Николаев Е. Г. Геометрическое свойство корней многочленов // Вести. МГУ. Серия 1: Математика, механика. 1965. Л> 5. С. 23 26; Гсмьфиш) А. О. Об оценке мнимых частей корней многочленов с ограниченными производными от логарифмов на действительной оси // Метем.сб. 1966. Т. 71, Н> 113. С. 289 296; Кацнслъсон В. 9. О некоторых операторах, действу,о.них в пространствах, порожденных функциями ^Х- // Теория функций, функциональный анализ и их приложения. 1967. Вып. 4. С. 58 66; Дпгюш, В. И. Оценки расстояний от полюсов логарифмических производных многочленов до прямых и окружностей // Матеы. сб. 1994. Т. 185, .V 8. С. 63-80.

Данченко В. П., Данченко Д. Я. О равномерном приближении логарифмическими производными многочленов // Теория функций, ее приложения и смежные вопросы: материалы шк.-конференции, посвященной 130-летию со дня рождения Д. Ф. Егорова. Ка3ань, 1999. С. 74 77.

"Данченко В. И., Данченко Д. Я. О приближении наипростейшими дробями // Матем. заметки. 2001. Т. 70. .\ь 4. С. 553 559; Кисухин О. Н. Об аппрокснмап инных свойствах наипростейших дробей /'/ Вести. МГУ. Серия 1: Математика, механика. 2001. М* 4. С. 54 58.

рость приближения многочленами. Это позволило О.Н. Косухину получить для н.д. ряд аналогов классических теорем Д. Джексона, С. Н. Бсрнштсйна, А.Зигмунда, В.К. Дзядыка, Дж.Л. Уолша. В дальнейшем были обнаружены и существенные различия между аппроксимативными свойствами н.д. и полиномов, обусловленные в первую очередь нелинейностью задачи аппроксимации н.д.

В недавних работах В. Ю. Протасова, В. И. Данченко, О.Н. Косухина и П. А. Бородина, И. Р. Каюмова были получены результаты о приближении н.д. на неограниченных множествах: прямых, лучах, полуплоскостях5. Показано, например, что каждая непрерывная на прямой функция с нулевым значением на бесконечности с любой 'точностью приближается н.д. в равномерной метрике; причем аналогичное утверждение становиться неверным для неразвернутого угла. Этот результат указывает на нелинейность процесса аппроксимации, его зависимость от геометрических свойств множеств аппроксимации.

В работах О.Н. Косухина, А.К. Рамазанова6, В. И. Данченко и П. В. Чу-наева7 разработаны методы n-кратной интерполяции Паде, доказана единственность интерполяционной н.д. Паде. В задаче простой интерполяции, в отличие от л-кратной интерполяции, вопросы разрешимости и единствснно-

°Протасов В. Ю. Приближения наипростейшими дробями и преобразование Гильберт /'/' Изв. РАН. Серия математическая. 2009. Т. 73, -Х4 '2. С. 123 140; Данченко В. И. О сходимости наипростейших дробей в L,,{H) // Maren, сб. 2010. Т. 201, .V 7. С. 53-66; Бородин H.A., Косухип О.Н. О приближении наипростейшими дробями на действительной оси // Вестн. МГУ. Серия 1: Математика, механика. 2005. 1. С. 3 8; Кшомов И. Г. Сходимост ь рядов наипростейших дробей в ¿,,(К) // Матем. сб. 2011. Т. 202, ЛР> 10. С. 87 98.

вРамааанов Л. К. Приближение паип]ххлгйп(имп рациональными дробями в пространстве Харди H-i{D) /'/' Теория функций, ее приложения и смежные вопросы: материалы Казан, междунар. шк,-конференцни. Казань, 2003. С. 177-178.

7Daiichenko V.l., Clumaev P.V. Approximation by simple partial fractions and their generalizations // Journal of Mathematical Sciences. 2011. Vol. 176, .N* 6. P. 844 859.

сти, вообще 1-онорн, нс имеют однозначного ответа и зависят от алгебраической структуры интерполяционных таблиц8.

Я. В. Новак, М.А. Комаров и другие исследовали взаимосвязь чебышев-ского альтернанса, оптимальности приближения и единственности н.д. наилучшего приближения. Был выявлен ряд специфических аппроксимативных свойств, нс присущих полиномам и рациональным функциям общего вида.

В работах A.B. Фрянцева9 и П. В. Чунасва10 н.д. и некоторые их естественные модификации нашли приложения в численном дифференцировании и интегрировании, аппроксимации дифференциальных операторов, вычислении многочленов и рациональных функций общего вида, аппроксимации плоских полей, создаваемых равновеликими источниками.

Цель работы. Получить условия существования и единственности решения задачи интерполяции н.д. Построить пример неединственности н.д. Для постоянных функций изучить взаимосвязь чебышевского альтернанса и наилучшего приближения н.д., доказать единственность н.д. наилучшего приближения, оцепить скорость приближения интерполяционными н.д., построенными по чебышевской системе узлов.

Методы исследований. Использовались классические методы и подходы вещественного и комплексного анализа, линейной алгебры, теории рациональных и полиномиальных аппроксимаций, а также разработанные в диссертации новые методы обобщенной интерполяции с особыми узлами.

* Новак Я. В. О наилучшем локальном приближении наипростейшими дробями // Матем. заметки. 2008. Т. 8 J, л» O.e. 882 887; Kumarov М. А. Uniqueness of a simple partial fraction of best approximation //

Journal of Mathematical Sciences. 2011. Vol. 175, .V- 3. P. 284 308.

9 Фрянцса Л. И. О численной аппроксимации дифференциальных полиномом // Из». Саратовского университета. Новая серия. Сер. Математика, механика, информатика. 2007. Т. 7, J» 2. С. 39 43.

10 Чуниеа П. В. Об одном нетрадиционном методе аппроксимации // Дифференциальные уравнения и

динамические системы. Сб. статей. Тр. МИАН. 2010. Т. 270. С. 281 287.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются ноными и состоят в следующем.

1. Разработана теория обобщенной интерполяции таблиц, допускающих бесконечно удаленные элементы, которая охватывает и обычную интерполяцию. В рамках этой теории получена единообразная классификация струк туры таблиц, допускающих обычную или обобщенную интерполяцию. Эта классификация опирается на введенное в работе понятие особого узла, наличие которого в таблице является необходимым и достаточным для неразрешимости задачи обычной интерполяции. Получены алгебраический и геометрический критерии возникновения особых узлов, а также критерий единственности н.д. обобщенной интерполяции.

2. Получена оценка погрешности интерполяции н.д. постоянных функций в случае чсбышснской системы узлов. Показано, ч то эта оценка по порядку близка к величине наилучшего приближения н.д. соответствующей степени.

3. Доказано, что наипростейшая дробь порядка?! наилучшего приближения константы на отрезке действительной оси совпадает с ней в п узлах, лежащих на отрезке. Доказана единственность н.д. наилучшего приближения и необходимость наличия чебышевского (п + 1)-точсчного альтернанса для оптимальности н.д.

4. Построен пример неединственности н.д. наилучшего приближения.

Практическая и теоретическая значимость. Основные результаты носят теоретический характер. Они могут быть использованы в 'теории рациональных аппроксимаций и в некоторых нетрадиционных задачах приближения, связанных с комплексными многочленами и н.дробями.

Апробация работы. Результаты докладывались на научном семннаре под руководством д. ф.-м.н., профессора В. В. Жикова, на научном семинаре

Нелинейный анализ и его приложения под руководством д.ф.-м. н., профессора А. А. Давыдова, д. ф.-м. н., профессора В. И. Данченко, д. ф.-м. н., доцента М.С. Беспалова по Владимирском государственном университете им. А.Г. и Н. Г. Столетовых (2008 2012), а также на следующих российских и международных конференциях:

Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2008, 2010);

Воронежская зимняя математическая школа "Понтрягинскис чтения -XX": Современные методы теории краевых задач (Воронеж, 2009);

Современные проблемы теории функций и их приложения (Саратов, 2010, 2012);

10-м международная Казанская летняя научная школа-конференция "Теория функции, се приложения и смежные вопросы" (Казань, 2011).

Публикации автора. По теме диссертации опубликовано 10 работ, две из них [11 и [2| входят в перечень рецензируемых научных журналов, рекомендуемых ВАК РФ для публикации результатов диссертации.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, включающих 12 параграфов, и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 90 страниц; библиографический список включает 35 наименований.

Краткое изложение содержания работы

Во введении обоснована, актуальность темы диссертации',' приводится краткий обзор предшествующих результатов и излагаются основные результаты диссертации.

В первой главе рассматриваются вопросы, связанные с разрешимостью задачи интерполяции вещественных таблиц Тп := {(.т*., ш)}1'=1 с простыми

узлами хь ЄІ(1' = 1,п) посредством веществсннозначных н.д. порядка ?;,:

Япіх) = Я'п(х)/Яп(х), . Яп{х) = х" + 9„_и»"1 + . . . + <10. (1)

Рассматриваемая задача интерполяции формулируется следующим образом: по таблице Тп требуется найти многочлен вида (1), для которого

Эта задача приводит к отысканию унитарного многочлена <2„, коэффициенты которого удовлетворяют системе линейных уравнений

= УкЯп(хк), к = \,п, Ап ■ <7 = В„, <7 = (до,..., Чп-\)'Г, (3)

Многочлен С},,, найденный из системы (3) (если она совместна), не всегда удовлетворяет системе (2) (см. [7|, [8]). Это связано с тем, что многочлен <2„ одновременно с производной Ц'п могут обращаться в нуль в некоторых узлах Хк, и тогда Яп{ха) = оо, а (3) выполняется при любом у¡с.

Определение 1. Систему уравнений (3) будем называть задачей обобщенной интерполяции. Многочлен СЦп, удовлетворяющий (3), а также порождаемую им н.д. Д„ будем называть решениями задачи обобщенной интерполяции. Функцию Яп будем называть также н.д. обобщенной интерполяции таблицы Т„:

Определение 2. Пусть <5„.....решение задачи обобщенной интерполяции.

Узлы хь, в которых С2п(хк) — (^'„(хк) = 0, назовем особыми узлами относительно (для) Вп. Все остальные узлы будем называть регулярными. Через

Кп(хк) = <2'п(хк)/<2п{хк) = Ук, к = 1 ,п.

(2)

(гЛ »їх!-1 ... Уїх-'Г1 - (п - 1К"Л / пхГ1 ~ Уі*'^

: і I , Вп = |

\Уп У,,Хп - 1 ■•• УпХ"~1 - {п - 1)х]\~у \ііх]'~1 - упхпп)

Л

8П1&(Я„) и геё(Я„) обозначим множества всех особых и регулярных узлов для Я„ соответственно.

Возможны случаи, когда задача обобщенной интерполяции имеет бесконечно много решений Я„, и один и тот же узел хк является одновременно особым для одних решений и регулярным для других. Узел^А- € йп^Я,,) является нулем не ниже второго порядка для С}.,, и простым полюсом для н.д. Нп Я'п/Ян, в котором се (натуральный) вычет не меньше 2. Отсюда, в частности, вытекает, что число особых узлов (для каждого фиксированного Я„) не превосходит п/2. По определению имеем Яп{хк) - оо при хк € 8^(Я„) и ) = Ук при хк е reg(Я„) и, значит, задача простой интерполяции (2)

тогда и только тогда разрешима., когда разрешима задача обобщенной интерполяции (3) и для одного из се решений Я„ все узлы хк <5 ге§(Я.„).

Определение 3. Дополненным, графиком дВ.п всщественнозначной н.д. Я„ - <Х/<2„ назовем объединение ее обычного графика (построенного в области определения этой н.д.), вертикальных асимптот {(.т*,у) ■ -оо < у < оо} в тех вещественных полюсах х* н.д. Я,,, где многочлен С},, имеет кратный нуль, и бесконечно удаленных точек (:г*,оо) в тех полюсах х*, где многочлен

С},, имеет простой нуль.

Дополненный график дЯц решения Я„ задачи обобщенной интерполяции содержит все точки (жьУ/О таблицы Ти. Верно и обратное: если все точки Тп лежат на дополненном графике уП.п некоторой вещественной н.д. Я„, то она является решением (возможно, и нссдинственным) задачи обобщенной интерполяции.

Таблицу Т„, для которой йеЬ Ап ф 0 (т.е. существует и единственна н.д. Я„ обобщенной интерполяции), будем называть допустимой. Легко показать, что таблица Т„ не является допустимой в том и только том случае, когда все

сс точки лежат на дополненном графике некоторой н.д. порядка, меньшего чем п. Допустимая таблица может содержать особые узлы (см. теорему 1.С). Отмстим, что все постоянные таблицы Т„ (т.е. с уд: = с ф 0) допустимы, и для них н.д. обобщенной интерполяции всегда существует и единственна.

Пусть Тп допустимая таблица. Через #*+1 ~ V'/V обозначим н.д. порядка п+ 1, которая однозначно определяется тем, что она интерполирует (в обобщенном смысле) эту таблицу, а порождающий сс многочлен имеет вид

Рассмотрим расширенную таблицу Тп+г = Тп и {(х

)}, где узел

отличен от узлов таблицы Ти. Сформулируем первый основной результат первой главы геометрический критерий существования и единственности решения задачи обобщенной интерполяции таблицы Тп+\.

Теорема 1.5. Справедливы следующие заключения.

1) Таблица Тп+\ допустима тогда и только тогда, когда (ж„+1 ,упц) не лежит на дополненном графике д11и н.д. /?„ обобщенной интерполяции таблицы Тп.

2) Существует бесконечно много п.д. Я-,,+1 обобщенной 'интерполяции таблицы Ти+г тогда и только тогда, когда (х„+1, уп+\) лежит на пересечении дКп П дЩ1+1 дополненных графиков н.д. А„(:с) и Я*+1(:г).

3) Задача обобщенной интерполяции таблицы Т-неразрешима тогда и только тогда, когда {хп+\,уп+\) € дЯп \дЩ1+1-

Сформулируем критерии возникновения особого узла х-,,+1 при расширении допустимой таблицы Тп до Тп+\. Возникновение особых узлов хп+\ возможно только при непустом пересечении дополненных графиковая,, Пд11*1+1 в точках с абсциссами, отличными от узлов таблицы Тп. При х* 6 К положим

Цх*) : = {(х*,у) : -ос < у < оо},

Е,{х*) дП„ П Цх*), Е2(х*) = дЩ,л1 П Цх*), = £,(**) П

Предположим, что Б(;с*) / 0. Возможны следующие тины псрсссчениП:

1) множества Е\з{х*) и Е(х*) состоит из одной общей точки (.г*,у*)\

2) Е^х*) состоит из одной точки (х*,у*), Е2(х*) содержит асимптоту

Цх*), и Е{.г*) = {(х*,у*)};

3) Е2{х") состоит из одной точки (х*,у*), Е^х*) содержит асимптоту

Цх*), и Д(:г*) - {(:с*,у*)};

4) оба множества Е\л{х*) совпадают с асимптотой Цх*), и Я(х*) = Цх*). В 1)-3) не исключается случай у* = оо. Все типы пересечений реализуются.

Теорема 1.0 (критерий в геометрической форме). Точка х„+1 € 8п^(Ян+1) для одного из решений Яп+1 задачи обобщенной интерполяции таблицыТп+.ь если и только сели пересечение Е{хп+1) непусто и имеет первый, второй или четвертый типы. При этом выполняются следующие свойства.

1) Если {(х,,1.1,1/;,+1)} = Е(х„+1) одноточечное пересечение первого или второго типов (возможно, у.*+1 = оо), то

(г) для конечного уп+1 ф у*плЛ соответствующее решение Я„+х единственно, не зависит от 2/,,+ь « 6 (при любом у11+1 ф У*„+\ таблица Тп + 1 является допустимой и содержит особый узе.лх11+1);

(п) для у„+1 - у*н ф оо задача обобщенной интерполяции имеет бесконечное множество решений, среди которых находится решение, указанное в п. (г).

2) Если пересечение Е{хп+1) имеет четвертый тип, то при любом у„+1 задача обобщенной интерполяции имеет бесконечно много решений Я„+ь и для каждого из них ж„+1 £ 5шй'(./?п+1).

Теорема 1.7 (критерий в алгебраической форме). Для того чтобы в интерполяционной таблице Т„.и узел хп+1 был особым для одного из решений

R„ +i, необходима и достаточна совместность следующей системы п + 2 уравнений относительно п + 1 неизвестных

Vi 2/1-гі - 1

У„ У„х„ - 1 1 .Г„+1

О 1

Vix\

„«-Л

у.пх';, - ?г:с;; 1

...а

пх

11-1 ÍI+1

/

I а

91

9/1-1

/

(УІ+ІК-У,.^

)Н-1

\

(П + і К - у„.г;;

_.r»+i

\ -('Н-i).c:;;+1 у

Приведем алгебраическое уравнение для вычисления особых узлов.

Теорема 1.8. Пусть и = С/,,. Тогда все особые узлы, :г„+1 являются корнями алгебраического уравнения

U'{x,l+i)V{x,l+1) - У'(х1НЛ)и(х,иЛ) = 0.

(4)

Обратно, если x„+i корень уравнения (4), то он является особым узлом в одном из следующих случаев (все значения вымислсны в точ.ксх„+1): ULI' -j-

0: U ф 0. V" - U' =■■ 0; Ь" ^ 0, V = U = 0: V - U =- V U' = 0.

Приведем заключительный результат первой главы о структуре множества особых узлов. Таблицу интерполяции Т будем называл !, полной для заданной допустимой таблицы Т„, если она получается добавлением к Т„ всех элементов (;гявляющихся точками пересечения дополненных графиков gR„ и gR*,+1, при этом в случае пересечений четвертого типа конечное значение у/, фиксируется произвольно. Полная -таблица может содержать кроме Т„ несколько допустимых подтаблиц размерап; если они существую!', то обо-

значим их через Т,{,'"\ т = 1,... = Т„.

Теорема 1.9. В таблице. т}'"\, полученной расширением любой допустимой подтаблицы. Тп"'\ особые узлы могут возникать лишь а у .злах Т.

(1)

Во второй главе изучается обобщенная интерполяция вещественных констант с ф 0:

- cCUx) ----- -сП„(х), гЛс П„(*) = = П1=1(х ~ (5)

Здесь мы рассматриваем, вообще говоря, кратную интерполяцию с комплексными многочленами Q„ " константами с. Задача (5) всегда имеет и притом единственное решение Qn. Сформулируем критерий возникновения особых узлов. Введем наборы чисел Zm = {xj - xm}'j=1, т. = 1,п, и через ak(Zm) обозначим элементарные симметрические многочлены:

<>№„,) = У" . ^. , - х,„) • ■ • (xh - хт), к = ТГд.

Теорема 2.2. Среди (не обязательно различных) узлов г-ь имеются особые тогда и только тогда, когда Пш=1 (—1 )* с*"~ k)}- &к(2т) —

Отсюда, в частности, следует, что для каждого набора узлов хд. существует (комплексная) константа с, для которой задача интерполяции неразрешима. В частном случае интерполяции по двум m-кратным узлам Xj, .г2 (2т -- п) из теоремы G получается утверждение: узлы Xi и х2 являются особыми тогда и только тогда, когда

VV-l)fc (Ж2 - Xl)kck = 0.

Сформулируем основной результат второй главы об оценке погрешности интерполяции (обычной, не обобщенной) констант но чебышевекпм узлам.

Теорема 2.4. При интерполяции на [-1,1] константы с в (0,15/31) по чебыгиёоскои системе узлов xk ~ соя (n(2n)~1(2k - 1)), к = 1,п, имеем

с

Оценка (G) точна но порядку входящих в нес величин. Отметим, что условие на величину константы в задаче об ее аппроксимации вовсе опустить нельзя, поскольку из результата А.Дж. Макинтайра и У. X. Дж. Фукса11 следует, что для любой н.д. Я,Д.г) на отрезке (—1,1] всегда найдется точка ;г(), в которой |Я„(.Го)| < An, где А некоторая абсолютная постоянная. Значит, константы с > An заведомо не могуч' хороню приближаться н.д.

Оценка (6) переносится на случай произвольного отрезка с помощью замены у = ax+ß. При этом ¡|с-Р,'|/Яп||-_0+;,.а+;,] = а"1 ||«c-Q;,/Q„!||_u;, где Р„(у) — Qii(.t). В частности, при увеличении /унты отрезка аппроксимации в а раз аппроксимируемые константы уменьшаются во- раз.

В последнем параграфе второй главы построены комплексные ин терполяционные дроби для некоторых элементарных функций и получены соответствующие, оценки погрешности.

В третьей главе рассмотрены вопросы существования и единственности н.д. наилучшего приближения констант, взаимосвязи чебышевского альтер-нанса и оптимальности наилучшего приближения на отрезке Л' : -- [—1,1]. Пусть / заданная на К ограниченная функция.

Теорема 3.1. При каждом п € N существует н.д. R*(f;z) наилучшего приближения функции / на h . При этом расстояние от полюсов н.д. /?*(/; г) до Л' ограничено снизу некоторой величиной А > 0, зависящей лишь от Ii. п и II/H.

Отметим, что дробь /?,*(/; г) может содержать меньше чем п отличных от нуля слагаемых и даже быть тождественным нулем.

Возникают следующие вопросы.

H.\Iaeinlyre A..Ï., Fuchs W.H..1. fniqualities for the logarithmic derivatives of a polynomial //.1. London Math. Soc. 1910. V. 15. P. 1C2 168.

(a) Для любой ли вещественпозначной непрерывной на А' функции / н.д. наилучшего приближения R*, единственна?

(b) Для разности р*(х) = Д*(/;:г) - f(x) существует ли чсбышсвский альтернанс, состоящий из n + 1 точек, то есть существуют ли точки ак G А', «!<...< а„+ь для которых р*(щ.) = ±(-1)ЧИ|, А - 1,п + 1?

Отрицательный ответ на оба вопроса дает следующее

Предложение. Для функции f(x) = :с + 1 существует бесконечно много н.д. второй степени наилучшего приближения, например,

с определенным Л* « 1.62. При этом величина наилучшего приближения равна 1. Только в случае А = Л* для разности р"(А; х) R*(Х\х) - f (х) имеет место чсбышевский альтернанс, состоящий из трех точек, в остальных же случаях пет вообще никакого альтернант, т. е. для любых двух точек ni, а2 (-1 < <п < а2 < 1) равенства p*{X\ak) = ±(-1)А. к = 1,2, невозможны.

Вместе с тем для положительных констант с условием 2-е2' >0 н.д. наилучшего приближения всегда единственна и существует альтернанс из n I- 1 точек. Сформулируем соответствующие результаты.

Теорема 3.3. При достаточно больших п > щ(с) н.д. Д*(с;х) Наилучшего приближения константы с на К имеет степень, равную в точности п. Эта н.д. является интерполяционной дробью, построенной по некоторому набору простых узлов, лежащих на К. При ;тиш существуют точки (Ч. £ К, m < ... < ап+1, образующие, чсбышевский альтернанс для разности //(х) = Щ,(с\ х) - с: р*(ак) = ±(-1)А:|И|, к = 1,п + 1.

Теорема 3.5. При достаточно больших п > п0(с) н.д. Я* (с; .с) наилучшего равномерного приближения константы с на К единственна.

Публикации автора по теме диссертации

Публикации в рецензируемых научных журналах и изданиях, рекомендованных ВАК Министерства образования и науки РФ

1. Кондакова E.H. Интерполяция наипростейшими дробями // Изв. Саратов. ун-та. Нов. сер. Сор. Математика, механика, информатика. 2009. Т. 9, .V» 2. С. 30 37.

2. Данченко В. И.. Кондакова E.H. Чсбышевский альтернанс при аппроксимации констант наипростейшими дробями // Тр. МИАН. 2010. Т. 270.

С. 86 9G.

3. Danchenko К /., Kondakova Е. N. Chcbyshev's Altcrnaiicc in the Approximation of Constants by Simple Partial Fractions /7 Proceeding of the Stcklov Institute of Mathematics. 2010. V. 270. P. 80-90. (перевод [2]).

Иные публикации

4. Кондакова Е. Н. Об интерполяции наипростейшими дробями /7 Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Суздаль, 2008. С. 138-139.

5. Данченко В. И.. Кондакова E.H. Об интерполяции наипростейшими дробями 7 Современные методы теории краєві,ix задач: материалы Воронеж. весен, матсм. шк. "Понтрягинские чтения - XX". Воронеж, 2009. С. 4G-47.

6. Данченко В. И., Кондакова E.H. Об интерполяции наипростейшими дробями ,7 Современные проблемы теории функций и их приложения: материалы 15-й зимней школы, посвященной 125-летию со дня рождения В.В. Го-лубева и 100-лстшо СГУ. Саратов, 2010. С. C3-G4.

7. Кондакова Е. Н. Особые случаи интерполяции посредством наипростей-

ших дробей // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Суздаль, 2010. С. 105-106.

8. Кондаков а E.H. Особые узлы при интерполяции наипростейшими дробями // Теория функций, ее приложения и смежные вопросы: материалы Десятой междунар. Казан, лет. науч. шк.-конференции. Казань, 2011. С. 202-203.

9. Данченко D.M., Кондакова E.H. Об особых узлах интерполяции наипростейшими дробями /'/ Современные проблемы теории функций и их приложения: материалы 10-й зим. шк. Саратов, 2012. С. 61-62.

10. Данченко D.H., Кондакова E.H. Критерий возникновения особых узлов в задаче интерполяции наипростейшими дробями //Современные проблемы теории функций и их приложения: материалы 16-й зим. шк. Саратов, 2012.

С. 62-63.

Подписано в печать 16 апреля 2012 сода Формат 60x84 '/^Бумага офсетная. Объем 1,0 пл. Тираж 100 экз. Заказ №109-1

Отпечатано в типографии СГУ г. Саратов ул. Б. Казачья, 112а Тел.: (8452)27-33-85

61 12-1/1006

Владимирский государственный университет им. А. Г. и Н. Г. Столетовых

На правах рукописи

КОНДАКОВА Елена Николаевна

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ и АППРОКСИМАЦИЯ НАИПРОСТЕЙШИМИ ДРОБЯМИ

01.01.01 — Вещественный, комплексный и функциональный анализ

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор

Данченко Владимир Ильич

Владимир - 2012

ОГЛАВЛЕНИЕ1

Введение ................................................................................................................3

Глава I. Общие вопросы интерполяции

наипростейшими дробями ....................................................................16

§1. Постановка задачи обобщенной интерполяции ....................16

§2. Построение н.д. обобщенной интерполяции ............................19

§3. Индуктивное построение интерполяционной

таблицы единственности ..........................................................................24

§4. О возникновении особых узлов ....................................................28

Глава II. Задача интерполяции констант и

другие вопросы ..............................................................................................47

§1. Построение интерполяционных н.д..............................................47

§2. Особые узлы в задаче интерполяции констант ....................51

§3. Интерполяция по чебышевской системе узлов и

оценка погрешности ..................................................................................54

§4. Дополнения к материалам второй главы ................................60

Глава III. Чебышёвский альтернанс при аппроксимации

наипростейшими дробями ..................................................................66

§1. Существование н.д. наилучшего приближения ....................66

§2. Вопрос о единственности н.д. наилучшего приближения.. 68

§3. Вспомогательные результаты об интерполяции констант.... 72

§4. Теоремы об альтернансе ....................................................................80

Библиографический список ................................................................93

1 Работа поддержана грантом РФФИ (проект 11-01-97517-р_центр_а); выполнена в рамках проекта ДПННиТ № 1.1348.2011.

Введение

В работе изучается интерполяция и аппроксимация наипростейшими дробями (н.д.), т.е. рациональными функциями вида

представляющими собой логарифмические производные комплексных многочленов. Как аппарат приближения и. д. впервые применялись в работах С.К. СЬш [1], С.К. СЬш и Х.С. БЬеп [2] при аппроксимации аналитических функций в интегральных пространствах Бергмана-Берса на ограниченных жордановых областях С; при этом полюсы подбирались на границе <9С.

Возникновение теории аппроксимации посредством н.д. инициировано одной проблемой Е.А. Горина [3], которую можно переформулировать как задачу аппроксимации: найти порядок величины наилучшего приближения нуля на Ж посредством при п оо, если расстояние от множества полюсов {£&} до М каждой такой дроби не больше единицы. Этой проблемой в разное время занимались Е.А. Горин [3], Е. Г. Николаев [4], А. О. Гельфонд[5], В.Э. Кацнель-сон [6], В. И. Данченко [7] и др. Изучались и другие аппроксимативные свойства н.д.; например, доказано, что класс функций, приближаемых н.д. в равномерной метрике на ограниченном множестве, включает многочлены, а значит, и аппроксимируемые ими функции. Отсюда получается аналог теоремы Мергеляна [8]: для любого компакта К со связным дополнением и любой функции / Е С {К), аналитической во внутренних точках К, величина рп(/, К) наилучшего приближения на К функции / н.дробями порядка п стремится к нулю при п —> оо. Что касается скорости приближения, то она для широкого класса компактов К и функций / имеет тот же порядок,

п> 1,

что и скорость приближения комплексными многочленами. Так, для случая отрезка К = [—1; 1] доказано [9], что

P[nlnEn\f,K)}(f> К) ^ COnst ' Ш

где En(f,K) — величина наилучшего приближения многочленами степени п. О. Н. Косухиным [10] получена слабая эквивалентность

Pn+i(/, К) ж ВД К), где F(x) =

Последнее позволило О. Н. Косухину получить для н.д. ряд аналогов классических теорем Д. Джексона, С. Н. Бернштейна, А. Зигмунда, В. К. Дзядыка, Дж. J1. Уолша. Дальнейшие исследования, однако, показали, что имеются и значительные различия между аппроксимативными свойствами н.д. и полиномов. Это обусловлено в первую очередь нелинейностью задачи аппроксимации н.дробями.

В работах В. Ю. Протасова [11], В. И. Данченко [12], О. Н. Косухи-на и П. А. Бородина [13], И. Р. Каюмова [14] были получены результаты о приближении н.д. на неограниченных множествах: прямых, лучах, полуплоскостях. Установлено, например, что каждая непрерывная на прямой функция с нулевым значением на бесконечности с любой точностью приближается н.д. в равномерной метрике [14]. Если же вместо прямой рассматривать неразвернутый угол, то аналогичное утверждение неверно (О. Н. Косухин); этот результат указывает на нелинейность процесса аппроксимации посредством н.д., его зависимость от геометрических свойств множеств аппроксимации.

Класс аппроксимируемых функций в интегральных пространствах Ьр(Ж) с конечнымир > 1 резко сужается [11]: он состоит из тех и только тех функций /, которые представляются в виде сходящихся к ним в ЬР(Ж) рядов k(x — £fc)_1. В [12], [14] получены критерии сходимости таких рядов в терминах последовательности полюсов {£&}.

Приведем краткий обзор других результатов, касающихся интерполяции и равномерной аппроксимации н.д. О.Н. Косухиным [10], В. И. Данченко и П. В. Чунаевым [15] разработаны методы п-кратной интерполяции Паде, которые затем применялись для равномерного приближения аналитических функций. Этими авторами, в частности, доказано, что интерполяционная н. д. Паде всегда существует и единственна, были найдены эффективные численные алгоритмы для ее построения. А. К. Рамазанов [16] показал, что задача кратной интерполяции возникает и при аппроксимации в классе Харди в единичном круге.

В задаче простой интерполяции, в отличие от n-кратной интерполяции, вопросы разрешимости и единственности, вообще говоря, не имеют однозначного ответа и зависят от алгебраической структуры интерполяционных таблиц (Я. В. Новак [17], М.А. Комаров [18], В. И. Данченко и E.H. Кондакова [19]). Исследовалась взаимосвязь чебышевского альтернанса, оптимальности приближения и единственности н.д. наилучшего приближения [17], [18]. Был выявлен ряд специфических аппроксимативных свойств н. д., не присущих полиномам и рациональным функциям общего вида.

В работах А. В. Фрянцева [20] и П. В. Чунаева [21] н. д. и некоторые их естественные модификации использовались для численного дифференцирования и интегрирования, аппроксимации дифференциальных полиномов, вычисления многочленов и рациональных функций общего вида. Хотя, как было отмечено выше, скорости приближения н.дробями и полиномами сравнимы, применение н.дробей в численном анализе иногда предпочтительнее, поскольку при их вычислении почти не возрастает абсолютная погрешность.

Ряд приложений обусловлен также тем, что н.д. имеют простой

физический смысл: они задают (с точностью до постоянных множителей и операции комплексного сопряжения) плоские поля различной природы, создаваемые равновеликими источниками [1], [2], [8], [10].

Диссертация состоит из трех глав.

В первой главе рассматриваются вопросы, связанные с разрешимостью задачи интерполяции вещественных таблицТп := {(хк,Ук)}к=1

с простыми узлами £ Ё, к = 1,п, посредством вещественнознач-ных н. д. порядка п:

11п(х) = 0'п(х)/Яп(х), Яп{х) = хп + Цп^х71'1 + ... + до- (1)

Рассматриваемая задача интерполяции формулируется следующим образом: по таблице Тп найти многочлен С}п вида (1), для которого

ЯпЫ = Я'п(хк)/Яп(хк) =Ук, к = 1,71. (2)

Эта задача приводит к отысканию унитарного многочлена п, удо-

влетворяющего системе линейных уравнений при к = 1, п:

Я'п(хк) = УкЯпЫ) Ап • q = Вп, ч = (до, • • • , Чп- \)Т, (3)

У\ У\Х 1 - 1 ... У\х\ - {п - '

А-п —

\Уп Упхп ~ 1 • • • УпХпп (п —

Вп = (пхГ1 - У1Х%... пхпп~1 - упх1)т.

Многочлен п, найденный из (3) (если она совместна), не всегда удовлетворяет системе (2). Это связано с тем, что многочлен С}п одновременно с производной могут обращаться в нуль в некоторых узлах хь, и тогда Еп(хк) = оо, а (3) выполняется при любом

Определение. Систему уравнений (3) будем называть задачей обобщенной интерполяции. Многочлен С}п, удовлетворяющий (3), а

также порождаемую им н.д. Яп будем называть решениями задачи обобщенной интерполяции. Функцию Яп будем называть также н.дробью обобщенной интерполяции таблицы Тп.

Определение. Пусть — решение задачи обобщенной интерполяции. Узлы Хк, в которых (¿п(хк) = (^^(хк) = 0, назовем особыми узлами относительно (для) Яп. Все остальные узлы будем называть регулярными. Через бищ(Яп) и reg(Яn) обозначим множества всех особых и регулярных узлов для Яп соответственно.

Возможен случай, когда задача обобщенной интерполяции имеет бесконечно много решений Яп, и один и тот же узел Хк является одновременно особым для одних решений и регулярным для других. Узел Хк € ви^(Яп) является нулем не ниже второго порядка для и простым полюсом для н.д. Яп = €}'п/Яп, в котором ее (натуральный) вычет не меньше 2. Отсюда, в частности, вытекает, что число особых узлов (для каждого фиксированного Яп) не превосходит п/2. По определению имеем Яп{хк) — оо при Хк £ 8^(Яп) и Яп(хк) = Ук при Хк Е reg(Яп) и, значит, задача простой интерполяции (2) тогда и только тогда разрешима, когда разрешима задача обобщенной интерполяции (3) и для одного из ее решений Яп все узлы Хк Е reg(i?n).

Определение. Дополненным графиком дЯп вещественнозначной н.д. Яп = назовем объединение ее обычного графика (по-

строенного в области определения этой н.д.), вертикальных асимптот {(х*, у) : —оо < у < (X)} в тех вещественных полюсах х* н.д. ЯП) где многочлен фп имеет кратный нуль, и бесконечно удаленных точек (ж*, оо) в тех полюсах х*, где многочлен имеет простой нуль.

Дополненный график дЯп решения Яп задачи обобщенной интерполяции содержит все точки (хк,Ук) таблицы Тп. Верно и обратное: если все точки Тп лежат на дополненном графике дЯп некоторой ве-

щественной н.д. Яп, то она является решением (возможно, и неединственным) задачи обобщенной интерполяции.

Таблицу Тп, для которой сМ Ап ф 0 (т.е. существует и единственна н.д. Яп обобщенной интерполяции), будем называть допустимой. Легко показать, что таблица Тп не является допустимой в том и только том случае, когда все ее точки лежат на дополненном графике некоторой н.д. порядка, меньшего чем п. Допустимая таблица может содержать особые узлы. Отметим, что все постоянные таблицы Тп (уь = с ф 0) допустимы, и для них н.д. обобщенной интерполяции всегда существует и единственна.

Пусть Тп — допустимая таблица. Через Я*п+г = V'/V обозначим н.д. порядка п + 1, которая однозначно определяется тем, что она интерполирует (в обобщенном смысле) эту таблицу, а порождающий ее многочлен имеет вид

Рассмотрим расширенную таблицу Тп+\ = Тп и {(хп+1, уп+1)}, где узел хп+1 отличен от узлов таблицы Тп. Сформулируем первый основной результат — геометрический критерий существования и единственности решения задачи обобщенной интерполяции таблицы Тп+\.

Теорема 1.5. Справедливы следующие заключения.

1) Таблица Тп+1 допустима тогда и только тогда, когда точка (хп+1,уп+1) не лежит на дополненном графике дЯп н.д. Яп обобщенной интерполяции таблицы Тп.

2) Существует бесконечно много н.д. Яп+г обобщенной интерполяции таблицы Тп+\ тогда и только тогда, когда {хп+1,уп+\) лежит на пересечении дЯп П дЯ*п+\ дополненных графиков н.д. Яп(х)

иЯ*п+1{х).

3) Задача обобщенной интерполяции таблицы Тп+\ неразрешима тогда и только тогда, когда (гсп+ъ Уп+1) £ 9&п \ дЩь+1-

Сформулируем критерии возникновения особого узла хп+\ при расширении допустимой таблицы Тп до Тп+Возникновение особых узлов хп+\ возможно только при непустом пересечении дополненных графиков дЯп П дЯ*г+1 в точках с абсциссами, отличными от узлов таблицы Тп. При положим

Цх*) := {(х*, у) : -оо < у < оо}, Ег(х*) = дК П Цх*),

Е2(х*) = П Цх*), Е{х*) = Е1{х*) П Е2{х*).

Пусть Е(х*) ф 0. Возможны следующие типы пересечений Е(х*):

1) множества Е\^(х*) и Е{х*) состоят из одной общей точки (х*,у*);

2) Е\{х*) состоит из одной точки (х*,у*), Е2(х*) содержит асимптоту Цх*), и Е{х*) = {(х*, у*)};

3) Е2(х*) состоит из одной точки (х*,у*), Е\(х*) содержит асимптоту Цх*), и Е{х*) =

4) множества Е\(х*) и Е2{х*) совпадают с асимптотой Ь(х*), и Е(х*) = Цх*).

В 1)-3) не исключается случай у* = сю. Все типы пересечений реализуются.

Теорема 1.6 (критерий в геометрической форме). Точка хп+1 Е 81щ(11п+1) для одного из решений Яп+1 задачи обобщенной интерполяции таблицы Тп+1, если и только если пересечение Е{хп+\) непусто и имеет первый, второй или четвертый типы. При этом выполняются следующие свойства.

1) Если {{хп+1 ,Уп+\)} — Е{хп+\) - одноточечное пересечение первого или второго типов (возможно, = оо), то

(г) для конечного уп+\ ф Уп+1 соответствующее решение Дп+1

единственно, не зависит отуп+1, и хп+\ Е (е этом слу-

чае при любом Уп+1 Уп+1 таблица Тп+\ допустима и содержит особый узел хп+{);

(гг) для уп+\ = Ф оо задача обобщенной интерполяции имеет бесконечное множество решений, среди которых находится решение, указанное в п. (г).

2) Если пересечение Е(хп+1) имеет четвертый тип, то при любом Уп+1 задача обобщенной интерполяции имеет бесконечно много решений Яп+1 и для каждого из них хп+\ Е 81щ(1{п+1).

Теорема 1.7 (критерий в алгебраической форме). Для того, чтобы в интерполяционной таблице Тп+\ узел хп+\ был особым для одного из решений Лп+1 задачи обобщенной интерполяции необходима и достаточна совместность следующей системы п + 2 уравнений относительно п + 1 неизвестных

(

\

У\ У\х\ ~ 1

Уп Уп%п 1

1 хп+1

О 1

П 71, — 1 ^

У\х'{ — пх{

/1 I /уТЬ _ /У) грП 1

Уп-^п п

X

п+1

ПХ,

71 1 П + 1

( \

Яо Чг

Яп-1 Яп у

^ (п + ^ - У1х^

(п + 1)х1 - упх1+1

-х

п+1

\

'п+1

"(п+ 1К+1

/

Приведем алгебраическое уравнение для вычисления особых узлов.

Теорема 1.8. Пусть и = V = Я п+1- Тогда все особые узлы хп+1 являются корнями алгебраического уравнения

и'{хп+1)У(хп+1) - У\хп+1)и{хп+1) = 0.

(4)

Обратно, если хп+\ — корень уравнения (4), то он является особым узлом в одном из следующих случаев (все значения вычислены в точке хп+\) :

1. ии' ± 0;

2.и ф О, V' = V = 0;

3.и' ^ 0, V — V = 0; I V = и = У = и' = 0.

Приведем заключительный результат первой главы о структуре множества особых узлов. Таблицу интерполяции Т будем называть полной для заданной допустимой таблицы Тп, если она получается добавлением к Тп всех элементов (хк,Ук), являющихся точками пересечения дополненных графиков д11п и при этом в случае пересечениях четвертого типа конечное значение у^ фиксируется произвольно. Полная таблица может содержать кроме Тп несколько допустимых подтаблиц размера п; если они существуют, то обозначим их через тп = 1,..., Т^ = Тп.

Теорема 1.9. В таблице полученной расширением любой

допустимой подтаблицы тЬт\ особые узлы могут возникать лишь в узлах Т.

Во второй главе подробно рассмотрена задача обобщенной интерполяции вещественных констант с ^ 0:

Яп{х) - сС}п{х) = -сПп(ж), где Пп(х) := (х- хк). (5)

•*■ л-к=1

Здесь мы рассматриваем, вообще говоря, кратную интерполяцию с комплексными многочленами и константами с. Несложно показать, что многочлен

Яп{х) = С~п (п\ + спип(х) + }(*))

является (единственным) решением задачи (5). Сформулируем критерий возникновения особых узлов. Введем наборы чисел Zm = {xj —

%т\1= 1, тп = 1,п, и через а^Ят) обозначим элементарные симметри-

ч

ческие многочлены:

— / „ . . ^ (^71 хт) ' ' ' {х1к ~ хт)-, к — 1, П.

'1<П<-<3к<п

Теорема 2.2. Среди узлов Xk имеются особые тогда и только тогда, когда

п 71—1 771=1 к=О

Отсюда, в частности, следует, что для каждого набора узлов xj~ существует (комплексная) константа с, для которой задача интерполяции неразрешима. В частном случае интерполяции по двум т-кратным узлам х\, х^ (2т = п) из теоремы б получается утверждение: среди узлов х\ и х<± имеется особый тогда и только тогда, когда

Сформулируем основной результат второй главы об оценке погрешности интерполяции (обычной, не обобщенной) вещественных констант по чебышевской системе узлов.

Теорема 2.4. При интерполяции на[— 1,1] константы с Е (О, по чебышевской системе узлов Xk = cos {Щ^к), к = 1,п, имеем

с 1 — с

Цс-Д.Цсид,^^-^, п> 2. (6)

Условие на величину константы с в задаче об ее аппроксимации вовсе опустить нельзя, поскольку из результата А.Дж. Макинтайра и У. X. Дж. Фукса [22] следует, что для любой н.д. Rn(x) на отрезке [—1,1] всегда найдется точка xq, в которой |Яп(ж0)| < An, где А — некоторая абсолютная постоянная. Значит, константы с > An заведомо не могут хорошо приближаться на [—1,1] н.дробями. Оценка (6) переносится на случай произвольного отрезка с помощью замены у = ах + ¡3. При этом следует учитывать, что

IIе- К/pn\\[-a+0,a+0l = О^1 11« С - Q'n/Qn ||[-1,1],

где Рп(у) — Qn{x). В частности, при увеличении длины отрезка аппроксимации в а раз константы уменьшаются в а раз.

Для комплексных констант построена интерполяционная н.д. Rn(z) по узлам Zk в корнях п-й степени из единицы, Zk = к = 1,п.

Приведем явное выражение порождающего многочлена:

<ш = - l + c-nl^c'g.

Остаточный член имеет вид:

Rn{z)-c = c(l-zn)Q-\z).

В круге \z\ < |с|_11п2 при условии п! (2 — > 2\с\п справедлива оценка погрешности:

И — 7П\ Irl"

IRJz) -с\< |c[n+1 „ 1 , „ , ' , , х + |z\n).

1 w 1-11 n!(2 - eNW) - \c\n n\ K 1 1 ;

В третьей главе рассмотрены вопросы существования и единственности н.д. наилучшего приближения констант, взаимосвязи чебышев-ского альтернанса и оптимальности наилучшего приближения на отрезке К := [—1,1]. Пусть / — заданная на К ограниченная функци�