Некоторые вопросы аппроксимации и интерполяции рациональными функциями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ОГЛАВЛЕНИЕ

ГЛАВА

СКОРОСТЬ ПРИБЛИЖЕНИЯ РАЦИОНАЛЬНЫМИ ДРОБЯМИ И

АСИМПТОТИЧЕСКАЯ МОНОГЕННОСТЬ ФУНКЦИЙ

§1. Вспомогательные результаты.

§2. Точки конечной пористости компакта.

§3. Теоремы о "массивности" подмножеств Са(К)

§4. Оценка разностного отношения рациональной функции в точках

Са-плотности

§5. Теоремы об асимптотических дифференциальных свойствах в аппро ксимативных классах функций, достаточно быстро приближаемых раци ональными дробями (в терминах плотности относительно ядра Коши)

§6. Некоторые вспомогательные неравенства

§7. Оценка разностного отношения функции класса A (z, п) в терминах аналитической емкости

§8. Теоремы об асимптотической моногенности функций в точке, достаточно быстро приближаемых функциями класса A(z, п) (в терминах аналитической емкости)

ГЛАВА

ЗАДАЧА ИНТЕРПОЛЯЦИИ В КЛАССАХ СМИРНОВА W

§1. Введение. Некоторые применения двойственности в Нр.

§2. Вспомогательные результаты. Определения.

§3. Леммы об оценках специальных сумм

§4. Основная теорема об интерполяции в классе Е1'

§5. Некоторые вопросы полноты подклассов в Нр

ГЛАВА

РАЗДЕЛЕНИЕ ОСОБЕННОСТЕЙ В НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ МЕРОМОРФНЫХ И ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ.

АППРОКСИМАЦИЯ НАИПРОСТЕЙШИМИ ДРОБЯМИ

§1. Оценки интегралов типа Коши. Оценки компонент мероморфных и гармонических функций

§2. О равномерном приближении наипростейшими дробями. Связь с распределением полюсов наипростейших дробей

Пусть К - компакт на замкнутой комплексной плоскости С, f(z) -комплекснозначная функция, определенная на К. При целых неотрицательных п через

Rn(f,K) = inf{||/ - R\\^K : degi? < n} обозначила наименьшие равномерные уклонения на К функции / от рациональных функций R(z) степеней degi? < п. Первые обратные теоремы теории рациональных аппроксимаций были установлены А.А,Гончаром и Е.П.Долженко. Оказалось, что, в отличие от полиномиального случая, достаточно высокая скорость убывания величин Rn(f,K) гарантирует только лишь аппроксимативные дифференциальные свойства функции /, например, асимптотическую моногенность (т.е. комплексную дифференцируемость) в заданной точке zq € моногенность почти всюду или вне исключительного множества малой положительной меры и т.п. Связь асимптотических свойств функций (и, вообще, линейных дифференциальных операторов) со скоростью их приближения и метрическими характеристиками компакта К изучалась в работах А.А.Гончара, Е.П.Долженко, А.Г.Витушкина, В.К.Дзядыка, А.А.Пекарского, В.Н.Русака, Е.А.Севастьянова, В.В.Андриевского и других авторов (см., например, работы [11], [12], [21-27], [29], [30], [45j, [46], [52], [53]).

В первой главе диссертации найдены некоторые условия на плотность компакта К, достаточные для асимптотической моногенности функции f(z) в наперед заданной точке z0 £ К при условии достаточно быстрого убывания величин Кп(/, К). Это условие сформулировано в чисто геометрических терминах локальной пористости компакта (в окрестности точки zq). Получены также достаточные для асимптотической моногенности функции f(z) условия на плотность К в терминах локальной аналитической емкости.

Во второй главе диссертации затронуты вопросы, относящиеся к интерполяционной проблеме Неванлинны и Пика. Именно, для односвяз-ной жордановой области G С С найдены условия на последовательности zj} С G и {cij} С С, достаточные для существования конечного решения / в классе Смирнова Ep(G), р > 1, следующей интерполяционной задачи: j = 1,2,., (1) где = p(zj,dG) - эвклидовы расстояния от ^ до Разрешимость задач типа (1) в классах Харди исследовалась ранее В.П.Хавиным, Ф.А.Шамояном, H.S.Shapiro, A.Shields, J.В. Garnett, P.L.Duren (см., например, [8], [34], [62], [68]) и другими авторами. Обычно в подобных задачах рассматриваются интерполяционные по Карлесону (универсальные) последовательности узлов Zj и при этом существенно используется карлесоновость дискретной меры ц, сосредоточенной на множестве {zj} и такой, что fJL(zj) — Pj. В диссертации условие универсальности ослаблено; в качестве узлов интерполяции допускаются последовательности {zj}, для которых

S({*j}) = supEp<pj<2pp2j \z~zj Г2< (2) где sup берется по всем р > 0 и г 6 dG. В данном случае указанная мера р, уже, вообще говоря, не является мерой Карлесона и для оценок минимальнных Ер-норм решений / задачи (1) известные методы не применимы. В основном теореме 4.1 второй главы для каждой последовательности {zj}, удовлетворяющей ограничению (2), указаны некоторые неулучшаемые условия на {«?}, достаточные для существования конечного решения задачи (1), и устанавлен точный порядок константы интерполяции.

Третья глава диссертации посвящена некоторым задачам о разделении особенностей функций. Эти задачи возникли в теории аппроксимаций и восходят к работам А.А.Гончара, Л.Д.Григоряна, А.Г.Витушкина, В.П.Хавина, А. А. Пекарского, Е.А.Севастьянова, P.LPoreda, в которых рассматривалась задача об оценках регулярных компонент мероморфных (субгармонических) в области GcC функций / с заданными граничными свойствами (см., например, работы [6], [13], [14], [17], [19], [33], [47])). Оценки граничного роста решений эллиптических уравнений в областях R" получены в работах В.А.Кондратьева, Ю.А.Алхутова, П.В.Парамонова (см., например, работы [1], [44]).

С предыдущими задачами тесно связана задача о плотности распределения множества особенностей функций с заданными граничными условиями вблизи 8G, в частности, обобщенная задача Е.А.Горина о распределении в G полюсов последовательности простейших дробей Оп (deg©„ — п) с единичными вычетами, достаточно быстро приближающих на dG заданную непрерывную функцию / (см. работы Е.А.Горина, Е.Г.Николаева, А.О.Гельфонда, В.Э.Кацнельсона [15], [42], [9], [33], [18] и работы других авторов). Такого рода задачи возникают, например, в теории потенциала при распределении единичных зарядов, имеющих заданный потенциал /.

В третьей главе в терминах гриновых потенциалов и емкостей получены оценки .//-норм компонент мероморфных функций в единичном круге А, имеющих определенный рост вблизи его границы дА. Получены также оценки 17-норм потоков решений уравнения Пуассона в А через дА. Доказан аналог теоремы С.Н.Мергеляна об аппроксимации дробями Qn на не разделяющих плоскость компактах К функций /, непрерывных на К и аналитических во внутренних точках на К и получены некоторые результаты о распределении полюсов дробей ©„.

Результаты диссертации докладывались на школах-конференциях "Актуальные проблемы математики и механики" (Казань, 1999, 2000 гг.), на международной конференции "Дифференциальные уравнения и динамические системы" (Суздаль, 2000 г.).

Результаты диссертации докладывались также на научном семинаре в ВГПУ по дифференциальным уравнениям под руководством доктора физико-математических наук, профессора В.В.Жикова (1995-2001 гг.).

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

1. Введем характеристику ш(К, г) - меру геометрической пористости компакта К С С в его точке z. При г > 0 положим и(К, z, г) = sup{p«, К)\(- z Г2: С € С\К, \ C-z\<r}.

Определим подмножество (конечной пористости относительно ядра Ко-ши) Сди(К) компакта К как множество всех точек z таких, что и(К, z) = и){К, z, оо) < оо.

Сходное с предыдущим понятие меры пористости компактов было впервые введено Е.П.Долженко в 1967 году и оказалось очень полезными в теории граничных свойств функций и в теории приближений. В заметке [77] отмечалось, что условие 2 € Са(К) необходимо и достаточно для существования в точке г оценки бернштейновского типа |-R'(;z)j < А(К, z,deg .й)||Д||ооД Для рациональных функций R со свободными полюсами (т.е. оценка зависит лишь от степени deg R рациональной функции R и от ее sup-нормы Ц-йЦсоД- на К). Кроме того, как простое следствие леммы 4 работы [19], в точке z € Са (К) получается точное по порядку степени deg R неравенство

1 R!(z) \<A-uj(K1z)degR-\\R\\OQj{. (4)

Отметим, что оценка (4) в точке z £ К может иметь место даже в том случае, когда К является лишь счетной совокупностью точек, достаточно "частой" в окрестности В §3 рассматриваются вопросы о массивности подмножеств Са (К) в случае связных компаков К, имеющих спрямляемую внешнюю границу (периметр), т.е. объединение границ всех смежных с К областей. Например, доказана

Теорема 1. Если К - континуум, внешняя граница которого имеет конечную длину, то множество К\ Са (К) имеет нулевую плоскую меру Лебега.

В §4 установлены вспомогательные неравенства для разностных отношений рациональных функций в точках z G Са (К).

В §5 найдены достаточные условия для асимптотической моногенности комплекснозначной функции / в заданой точке z компакта К в терминах скоростей убывания при п оо наилучших равномерных приближений Rn(f1K) функции / рациональными дробями R степеней deg R< п и величин ш(К, z, г), г 0.

Напомним определение моногенности по Э.Борелю и Д.Е.Меньшову ([2], [39], [40]). Пусть К Э z - неизолированная точка сгущения компакта К. Скажем, что комплекснозначная функция / имеет в точке z моногенный дифференциал относительно К, если она определена всюду К и существует (зависящее от К, /) число A(z) со свойством

КС) - № = A(z) ■ (С - z) +Ц( - Z), К Э С

Пусть z является точкой положительной тез2-плотности компакта К. Функция / называется асимптотически моногенной в точке z относительно К (в дальнейшем пишем / € MN2(K,z)), если она имеет в £ моногенный дифференциал относительно К П Е, где Е - некоторый компакт, для которого z является точкой (полной) тез2-плотности, т.е. mes2(A(z;г)\Е) — Щг2), где A(z;r) = {С : j ( — z |< г}. В этом случае число A(z) = fas(z) определяется однозначно и называется асимптотической производной относительно множества К. При условии f'as Е MN2{K,z) аналогично определяется асимптотическая производная f(a2J(z) (относительно К) второго порядка и т.д.

Пусть {Sk}^Li ~ некоторая последовательность чисел > 1. Определим при 0 < г < 1 целочисленную функцию N(r). Если 2к > г"1 при всех к 6 N, то полагаем N(r) = 1. В противном случае полагаем

N(r) ;= шах{к : Sk2k < г~\ к е N}.

Теорема 2 [71]. Пусть - некоторая последовательность чисел Sk > 1. Тогда, если при г —V 0 имеем и>(К, z, г) ES Skx = о(1) & Sk2kRAf, К) < оо, т,о / G MN2(K,z). В частности, если при некотором е € (0,1] имеем, w(K,z,r)\ner = о(1) при г 0, и In1-6nR?,(/,if) < оо, mo / € MN2(K,z).

В §5 доказана также теорема об аппроксимации на подмножествах компакта К линейных дифференциальных операторов вида Dffl(f) aN{z)f{jP(z) + . -f aQ(z)f(z) с комплекснозначными коэффициентами ап-> п — 0,JV, где N - фиксированное натуральное число. Пусть существует набор компактов К = Ко D К\ D . D KN, в котором для всех номеров 1 < п < N имеем w(Kn^uz,r) = о(1) и u(Kn-uz) < А(К) при г —> 0 и z £ Кп. Пусть, кроме того, во всех своих точках компакт К^ имеет положительную mes2-iuioTirocTb. Тогда справедливо следующее предложение.

Теорема 3. Если

ОС

M(f) £ nAr"4nl+enRn{f,K) < 00, е > О, га=1 то функция f имеет относительно Kjq все асимптотические производные до порядка N включительно. Кроме того, D(n\R2*(z)) —> ^asHf(z)) пРи s —> оо для рациональных функций наилучшего приближения R2*(z) равномерно по z б К^, где rtN\R2s{z)) = aNta(z)Bg\z) + a0,s(z)R2s(z), a an^s(z) —> an(z) при s —¥ oo равномерно no z на К. При этом sup-норма D^(f(z)) на Кх оценивается через imaxri j|a„|joo,i{M(f).

В §5 показано также, что условие 2; £ Са(К) нельзя ослабить ни в теореме 2, ни в других аналогичных теоремах из §5, а при z Е Са (К) нельзя также существенно ослабить и условия на скорость убывания величин Rn(f, К).

В §6- §8 при изучении сходных вопросов о моногенности / применяется аппарат аналитической емкости. Пусть К - компакт на С, z £ К, G{K, z) - связная компонента множества С\К, содержащая точкз^ z. Напомним, что аналитической емкостью компакта К относительно точки 2 называется величина 'Уг(К) = sup{^'(z)|}, где sup берется по всем голоморфным в области G(K,z) функциям Ф, удовлетворяющим условиям Ф(г) = 0 и 8ир{|Ф(С)| : С € G(K,z)} < 1 (см., например, [6], [7]). Для произвольного множества М С С и точки z ф М полагают 7Z(M) — sup{yz(K)}, где sup берется по всем компактам К С М.

Введем одно обобщение класса рациональных функций. Скажем, что при фиксированных z G С и п £ N однозначная функция Ф(() принадлежит классу A(z,n), если область ее определения на С (т.е. полная область аналитичности в смысле Вейерштрасса) содержит точку z и является не более чем п-связной.

В §8 установлены достаточные условия для асимптотической моногенности комплекснозначной функции /(() в точке 2 континуума К в терминах локальной аналитической емкости (в окрестности точки z) и скоростей убывания при п —у ор наименьших уклонений

Ф„(/,ЛГ)=шГ{||/-Ф||оол}. где нижняя грань берется по всем функциям Ф £ A(z, п), аналитическим на К. Приведем один результат.

Теорема 3 [71]. Пусть К - континуум и некоторая последовательность чисел Tk € (0,1/2) удовлетворяет условиям

ЕГ=1 ^гкЪ(А{г;П)\К) <оо; < ос.

Тогда f eM'N2(K,z).

В §8 получены также достаточные условия и для усиленной асимптотической моногенности MNi(K, z), где мерой исключаемых множеств служит длина обхвата их границ.

2. Вторая глава посвящена одной обратной задаче теории интерполяции о весовой интерполяции функциями из класса Смирнова Ер. Скажем, что односвязная жорданова область G С С принадлежит классу А Альфорса [46], если ее граница 7 содержит более одной точки, локально спрямляема и имеет конечную 1-плотность

0(7) sup{mesi(7 П <5)/diam(<5)} < 00 > где sup берется по всем открытым кругам 6. Напомним, что некоторая последовательность Л = {zj}f=1 С G называется интерполяционной по Карлесону, если для любого набора комплексных чисел {aj}JL1 Е I00 с нормировкой a7||joo = sup{| сij j : j G N} < 1 задача (1) имеет конечное решения / в классе Смирнова Е°°(6?) (см., [8], [16], [34], [68]).

Через w — <fj(z) = (fG(z]'z) обозначим конформные однолистные отображения области G € А на единичный круг А = Д(0; 1) с условиями ¥>j{zj) — 0 и (fj(v) > 0 з некоторой фиксированной точке v £ G. Далее, пусть в G сходятся произведения

М*) = ПФа,(г) = ФА(*)ММ> э е N. Известно (теорема Карлесона), что следующее свойство отделимости

1ФАг?(^)М, ^ = г>(А) > о, j = i,2,., является характеристическим для интерполяционности А. Шапиро и Шилдсу принадлежит следующий результат (см. [68]). Если последовательность А является интерполяционной в круге (или в верхней полуплоскости) G. то при р > 1 для любой последовательности {aj}JLi с условием нормировки IjajJJip = (Е |%'р)1^ = 1 существует конечное решение / из класса Харди НP(G) задачи (1) и при этом для Нр-нормы справедлива оценка f\\p,G<A(p)5-\ 6 = 8( А).

В главе 2 исследуется задача (1), в которой вместо интерполяционных последовательностей допускается более широкий класс Л(G) последовательностей А, удовлетворяющих свойству (2). Отметим, к примеру, что в случае G Е А для выполнения свойства (2) достаточно следующее условие ослабленной отделимости: <Pj{zs) \> а при зф s, (5) при некотором фиксированном aG (0,1),

Пусть точкам Zj 6 А € A(G) приписаны некоторые неотрицательные веса Sj. При 1 < р < оо и целых к, I определим (конечные или бесконечные) величины:

Dk = sup pj/p<2k fy Qk = £pj/ptp-W) si> Bi = 2~k/PDk-При p > 0, Ifp -f l/q = 1 положим

K(p;p,G, Л) = ЕГ=1 ^YZk eT(! +1 - fc)2;

K(p, G, A) - supp>0 K{p;p, G, Л); £(<?, G, Л; 2) = limp>0 Д(р, Л; г). Сформулируем основной результат §2.

Теорема 4 [69]. Пусть в области G £ А задана последоват,елъ-ностъ A G A(G). Тогда имеем следующую оценку Lp(dG)-нормы

Определение. Пусть а > 0. Последовательность чисел ds > 0, s G Z, будем называть а-регулярной, если при всех целых I выполняются неравенства

E6°l/+i ds < аф.

В §4 на основании теоремы 4 установлена следующая теорема об интерполяции в классе W.

Теорема 5 [69]. Пусть G G А, последовательность {Zj} £ A(G) состоит из попарно различных точек, и заданы комплексные числа {aj}^. Тогда при 1 < р < оо, ± + | = 1 и Sj =| aj || Фдj(zj) найдется решающая интерполяционную задачу (1) функция / £ ~ЕР, причем для ее W-нормы имеем оценку ii/iug < ailing,g,a;.)||pj7 < A2Kl^(p, G, A).

Если, дополнительно, последовательность

2 ~k/pDk а-регулярна при некоторых р > 0, а = а(р), то

Сделаем некоторые замечания о точности теоремы. Если выполнено неравенство

R(q,G,\--)\\p,, • ||Д(р,(?, А;.)||9>7 < К I ^ при некотором 6 > 0, то ||/||p,g > А; -)\\Рп. В случае р — 2 и а-регулярности последовательности для выполнения последнего неравенства достаточно условие

Наконец, при п > 4 в единичном круге А для множества {^j-jW = {(1 - l/nje*27^-1)/"}^ минимальное решение задачи (1) при | aj |= 1 удовлетворяет неравенству ||/||Р)д > А5К1/р(р, А, Л).

В §5 главы 2 изучаются близкие к предыдущему вопросы полноты систем дробей с полюсами, удовлетворяющими условию (5), Фан-Цзи и С.Я.Хавинсоном ([64], [65]) введены понятия О(Р) и о(Р) полноты систем в нормированных пространствах (относительно некоторой нормы или полунормы Р), когда при аппроксимации учитывается не только величина наименьшего уклонения приближаемого элемента от приближающих полиномов, но и величины коэффициентов этих полиномов. Пусть задана бесконечная последовательность положительных чисел {Mi, М2,.}. Для вещественного n-мерного вектора {/Зь • • • ,/Зп} введем норму Минковского

Р(/Зь-.,/?„)= max {| & |/М*}. (6)

Система элементов {<Pj}JLi нормированного линейного пространства X называется о(Р) полной, если для любого элемента и £ X при любом е > О существует натуральное п = п(е) и коэффициенты • • - ,/Зп такие, что одновременно

Пусть в единичном круге А задана бесконечная последовательность {(j}> удовлетворяющая условию ослабленной отделимости (5) и точки которой занумерованы в порядке неубывания их модулей. Предположим также, что число N(X,r) всех точек П {С • | С !< г} удовлетворяет условию iV(A,r) > А/(1 — г) с некоторым А > 0. В этих предположениях справедливо следующее утверждение.

Теорема 6. Пусть Р задается формулой (6), где Mk = етк неубывают при к = 1,2,. и Ит^^ооrrik/к = оо. Тогда система дробей {^г^"} является о(Р) полной во всех классах Lp(dA)/Hp(A) (р > 1).

3. Перейдем к основным результатам третьей главы. Пусть множество К - замкнуто в единичном круге А. При р > 0 определим класс

Н*(К) всех функций, однозначных аналитических в А\К и удовлетворяющих условию ограниченности роста вблизи <9 А: h{f,p)~sup{\f(z) l(l-l^l)1^ : z е А\К] < оо.

Скажем, что множество К разделимо, если при любом г е (0,1) существует некоторая окружность у — {( : | £ |= п} с г < гг < 1, не имеющая общих точек с К. Для разделимого множества К и функции / G Н*(К) определим максимальный интеграл типа Коши: т=sup|i-/ш|, if|> 1,

7 27г h ( — z где верхняя грань берется по всем не имеющим общих точек с К окружностям 7 с центром в точке z — 0.

Пусть /i - неотрицательная борелевская мера в круге А с конечной и положительной полной вариацией Тогда а-потенциалом Грина меры ji назовем следующий интеграл

МО = /lnJ(z,()dfi(z); /ta(C) = /(J°(^C)-l)^W, «€(0,1); где положено J(z, 0 — ! 1 ~ I / 1 ^ ~~ С !• П° «-потенциалам, как обычно, определяются a-емкости ГринаСа(К, дА) конденсатора [К, дА]: Са = sup j|/ijj, где верхняя грань берется по всем мерам /i, указанного класса, для которых Да(С) < 1 всюду в A, suppц С К.

Теорема 7 [71]. Пусть замнутое в А множество К С А разделимо и при некотором а £ [0,1) имеет конечную гринову а-емкость. Тогда для любой функции / G Н*(К) (р > 1) максимальный интеграл типа Коши If(z) принадлежит классу Lq(dА) при 1 < q < р и

ШкдА < A(P,q,a)h(f,P)CQ(K,dA).

Следствие. Пусть функция / мероморфна в А и число ее полюсов, лежажих в каждом кольце вида {z : j г |£ [1 — 2-s, 1 —2~s~1)}, ограничено некоторой константой А, Пусть, кроме того, f • В g н*(0), р > 1, где В - произведение Бляшке, распространенное на все полюсы функции f. Тогда при 1 < q < р максимальный интеграл типа Коши If(z) принадлежит классу Lq(dА) и а < A(p,q)h(f,p)B.

Далее, в §1 рассмотрена в единичном круге Д краевая задача для уравнения Пуассона

Au = -f(z), u(C)\aд = <Ж), (7) где и е С2(А) П С(А), ср € С(дА), / G С(A), supp / С А, так что при р > 0 имеем

Я(/,р) := 8иргед |/(z)|(l - < оо.

В уравнениях математической физики и в теории гармонических аппроксимаций важную роль играют оценки 1Лнорм решений и задачи (7), а также №~норм потоков этих решений через границу о>А, т.е. величин

Щи,р,дА) := {jQ

Некоторые задачи, связанные с оценкой потоков поставлены в работе П.В.Парамонова [44].

Теорема 8 [79]. Пусть в условиях задачи (7) имеем <р — 0. Предположим также, что Q-емкость Со конденсатора [supp f,dА] конечна. Тогда при любых р > 1 и ё > 0 справедлива оценка

Щщр,дА) < A H(f,p) • С0\пш(е + С0), где величина А зависит лишь от р и S. При оценке потока П(г*,<9А) {такой же, как предыдущая оценка при р = 1) условие <р — 0 можно опустить.

Кроме того, выполнено неравенство j«(z)| < 1 всюду в круге А, за возможным исключением некоторого его подмножества, гиперболическая плоская мера (т.е. (1 — \(\)~2dmes2(()-Mepa) которого не превосходит величины АС\п1+6(е + С), где С = \\f\\L4A). du(z) dn(z) v \ lu} dz\\ ;ЩщдА):- L du(z) ад dn(z) d z

Далее, при любых р > 1 и а Е [2/р, 1 + 1 /р) справедлива следующая оценка Ьр-нормы решения А(р, Oi)CQ\\fp2-a\\LP{A], p(z) = 1 - \z\2.

Ю.А. Алхутовым доказано предыдущее неравенство при а = 1 без каких-либо ограничений на носитель функции /. Это неравенство установлено им и в плоском, и в многомерном случаях для областей с достаточно регулярными границами.

В §2 главы 3 получены некоторые прямые теоремы аппроксимации наипростейшими дробями Q'(z)/Q(z) = Tij=1(z — Zj)~l и исследован вопрос о распределении полюсов Zj аппроксимирующих дробей. Например, в случае аппроксимации нуля, имеет место

Теорема 9 [76].Пусть множество всех нулей многочлена

Q(z) лежит вне замыкания круга А и М := ИФ'/фЦоо^д < 1/Ю. Тогда справедливо точное по порядку величин М и п неравенство

2min{|zj| : j = 1, .,n} > п > 2.

Эта теорема может быть обобщена на более широкий класс функций.

Именно, предыдущее неравенство остается справедливым и при условии нормировки М — \\Q'/Q + /||оо,ад < 1/Ю? гДе / ~ функция класса Харди Н°° во внешности замыкания круга А, /(оо) = 0. Теорема 8 дополняет следующий результат работы [18]:

1 п дающий удовлетворительную оценку расстояний лишь при достаточно больших значениях Minn (в качестве щ(М) можно взять 4М2 -f 4).

Теорема 10 [76].Пусть г > 0 и К - континуум такой, что любые две его точки можно соединить спрямляемой кривой, лежащей в К, длины < г. Далее, пусть P(z) - отличный от 0 многочлен степени п > 0 и ЦРЦооД < 1. Тогда при любом к > 6г существуют два многочлена Qs(z), s = 1,2, степени < (n+ 1 )к такие, что

О' rk

Это утверждение легко распространяется на целые функции Р. На основании теоремы С.Н.Мергеляна [67] и теоремы 10 получается следующее утверждение.

Теорема 11 [76]. Пусть компакт К не разбивает плоскость С, функция / непрерывна на компакте К и аналитична в его внутренних точках. Тогда / может быть равномерно приближена с любой точностью на К наипростейшими дробями вида Q'/Q, где Q - многочлен.

Автор выражает искреннюю благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Василию Васильевичу Жикову за постоянное внимание и помощь в работе.

1. Алхутов Ю.А. Lp-оценки решения задачи Дирихле для эллиптических уравнений второго порядка // Матем. сб, 1998, Т. 189(1), С. 3-20.

2. Borel Е. Lecons sur les fonctions monogenes uniformes d'une variable complexe. Paris, 1917.

3. Бочтейн A.M., Кацнельсон В.Э. Оценки норм проектора в одном пространстве аналитических функций // Теория функций, функциональный анализ и их приложения. 1970. N 42. С. 81-85.

4. Брело М. Основы классической теории потенциала. М.:Мир, 1964.

5. Виденский B.C. Некоторые оценки производных от рациональных дробей. Известия АН СССР, сер. матем. 1962. Т. 26.

6. Витушкин А.Г. Аналитическая емкость в задачах теории приближений Ц УМН. 1967. Т. 22JV6. С. 141-199.

7. Гамелин Е. Равномерные алгебры. М.:Мир, 1973.

8. Гарнетт Дж. Ограниченные аналитические функции. М.: Мир, 1984.

9. Гельфонд А.О. Об оценке мнимых частей корней многочленов с ограниченными производными от логарифмов на действительной оси // Матем.сб. 1966. Т.71 (113). С. 289-296.

10. Голузин Г.М., Геометрическая теория функций комплексного переменного. Изд. "Наука", М., 1966.

11. Гончар А.А. О наилучших приближениях рациональными функциями // ДАН СССР. 1955, т.100, с.205-208.

12. Гончар А.А. Обратные теоремы о наилучших приближениях рациональными функциями // Изв. АН СССР. Сер. матем., 1961, т.25, с.347-356.

13. Гончар А.А., Григорян Л.Д. Об оценках норм голоморфной составляющей мероморфной функции // Матем.сб. 1976. Т.99. С. 634-638.

14. Гончар А.А., Григорян Л.Д. Об оценке компонент ограниченных аналитических функций // Матем.сб. 1987. Т.132. С. 299-303

15. Горин Е.А. Частично гипоэллиптические дифференциальные уравнения в частных производных с постоянными коэффициентами // Сиб. матем. журн. 1962.N4. С. 506-508.

16. Данилюк И.И. Нерегулярные граничные задачи на плоскости. М: Наука, 1965.

17. Данченко В.И. О разделении особенностей мероморфых функций // Матем.сб. 1984. Т.125(167). С. 181-198.

18. Данченко В.И. Оценки расстояний от полюсов логарифмических производных многочленов до прямых и окружностей // Матем.сб. 1994. T.185JV8. С. 63-80.

19. Данченко В.И. О рациональных составляющих мероморфных функций и их производных // Analysis Mathematica. 1990. Т. 16.N4. Р. 241-255.

20. Данченко В.И. Некоторые интегральные оценки производных рациональных функций на множествах с ограниченной плотностью // Матем.сб. 1996. Т.187.АЮ. С. 33-52.

21. Дзядык В.Л. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М:Наука, 1977.

22. Долженко Е.П. О приближениях на замкнутых областях и о нуль-множествах. // ДАН СССР, 1962, т.143, N 4, с.771-774.

23. Долженко Е.П. О дифференцируемости комплексных функций. // ДАН СССР, 1960, т.130, N 1, с.17-20.

24. Долженко Е.П. О производных числах комплексных функций. // Изв. АН СССР. Сер. матем., 1962, т.26, с.347-360.

25. Долженко Е.П. Скорость приближения рациональными дробями и свойства функций // Матем.сб. 1962. T.56.N4. С. 403-432.

26. Долженко Е.П. Рациональные аппроксимации и граничьте свойства аналитических функций // Матем.сб. 1966. Т.69(111) С. 497-524.

27. Долженко Е.П., Севастьянов Е.А. Приближение рациональными функциями в интегральных метриках и дифференцируемость в среднем //Матем. заметки. 1974. Т. 16JV5. С. 801-811.

28. Долженко Е.П. О зависимости граничных свойств аналитической функции от скорости ее приближения рациональными функциями // Матем.сб. 1977. Т.103(145) С. 131-142.

29. Долженко Е.П. Некоторые точные интегральные оценки производных рациональных и алгебраических функций. Приложения // Analysis Mathematica. 1978. Т. 4.IV4. Р. 247-268.

30. Долженко Е.П. Оценки производных рациональных функций // Известия АН СССР, сер. матем. 1963. Т. 27.М. С. 9-28.

31. Долженко Е.П., Данченко В.И. Отображение множеств конечной альфа-меры посредством рациональных функций // Известия АН СССР, сер. матем. 1987. Т. 51JV6. С. 1309-1321.

32. Карлесон JI. Избранные проблемы теории исключительных множеств. М.: Мир. 1971.

33. Кацнельсон В.Э. О некоторых операторах, действующих в пространствах, порожденных функциями // Теория функций, функциональный анализ и их приложения. 1967. Вып.4. С. 58-66.

34. Кусис П. Введение в теорию пространств Нр. М.; Мир. 1984.

35. Ландкоф Н.С. Основы современой теории потенциала. М:. Наука. 1966.

36. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. М.:Гостехиздат, 1956.

37. Мельников М.С. Оценка интеграла Коши по аналитической кривой // Матем.сб. 1966. T.71.N4. С. 503-514.

38. Мельников М.С. Аналитическая емкость и интеграл Коши // ДАН СССР. 1967. Т.172.АП. С. 26-29.

39. Меньшов Д.Е. Об асимптотической моногенности // Матем.сб. 1936. T.l.iV43. С. 189-210.

40. Menchoff D. Les conditions de monogeneite. Paris, 1936.

41. Menchoff D. Sur la generalization des conditions de Cauchy--Riemann // Fund. Math. 1935. V.25. P.58-97.

42. Николаев Е.Г. Геометрическое свойство корней многочленов // Вестн. МГУ. Сер. Матем,, мех. 1965./V5. С. 23-26.

43. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения М.:Наука, 1977.

44. Парамонов П.В. О гармонических аппроксимациях в С^норме // Матем.сб. 1990. Т.181 С. 1341-1365.

45. Пекарский А.А. Неравенства типа Бернштейна для производных рациональных функций и обратные теоремы рациональной аппроксимации // Матем.сб. 1984. Т.124 С. 571-588.

46. Pekarskii A.A. Best rational approximations in the complex domain // Trudy Mat.Ins.Steklov. 1989. V.190. P.231-243.

47. Пекарский А.А. Оценки производной интеграла типа Коши с ме-роморфной плотностью и их приложения // Матем.заметки. 1982. Т.31. N3. С. 389-402.

48. Пекарский А.А. Шталь Г. Неравенства типа Бернштейна для производных рациональных функций в пространствах Lp при р < 1 // Матем.сб. 1995. Т.186 С. 119-130,

49. Poreda S.I., Saff Е.В., Shapiro H.S. Fundamental constants for rational functions // Trans. Amer. Math. Soc. 1974. УЛ89. P. 351-358.

50. Привалов И.И. Граничные свойства аналитических функций. М.-Л.Д950.

51. Привалов И.И. Субгармонические функции. М.-Л.Д937.

52. Русак В.Н. Рациональные функции как аппарат приближения. Минск. Издательство БГУ. 1979.

53. Севастьянов Е.А. Некоторые оценки производных рациональных функций в интегральных метриках // Матем.заметки. 1973. T.13.iV4.C. 499-510.

54. Селезнев А.И. О функциях, моногенных на нигде не плотных замкнутых множествах и множествах типа Fa. -ДАН СССР, 1957, т.125, N 5, с. 591-594.

55. Тепяковский Д.С. Обобщение одной теоремы Меньшова о моногенных функциях // Известия АН СССР, сер. матем. 1989. Т. 53.N4. С. 886-896.

56. Тепяковский Д.С. О голоморфности функций, которые задают отображения, сохраняющие углы // Матем.заметки. 1994. Т.бб.А^б.С. 149-153.

57. Толстов Г.П. О криволинейном и повторном интеграле. -Тр. Матем. ин-та им. В.А.Стеклова АН СССР, 1950, т. 35.

58. Трохимчук Ю.Ю. Непрерывные отображения и условия моногенности. -М., 1963.

59. Трохимчук Ю.Ю. О конформных отображениях. // ДАН СССР, 1958, т.121, N 3, с. 430-431.

60. Федоров B.C. О моногенных функциях // Матем.сб. 1935. Т.42. С. 485-500.

61. Федоров B.C. Моногенность // Матем.сб. 1946. Т.18. С. 353-378.

62. Хавин В.П. Пространства Н°° и L1 /Hq // Записки научн. семинара. ЛОМИ 1974. Т.39. С. 120-148.

63. Хавинсон С.Я. Об одной экстремальной задаче теории аналитических функций. // Успехи матем. наук. 1949. Т.4. Вып.4(32). С. 158-159.

64. Хавинсон С.Я. Об аппроксимации с учетом величин коэффициентов аппроксимирующих агрегатов. // Труды МИАН. 1961. Т.60. С. 304-324.

65. Хавинсон С.Я. Некоторые вопросы полноты систем. // ДАН СССР, 1961, т.137, N 4, с. 733-736.

66. Хейман У., Кеннеди П. Субгармонические функции. М.: Мир. 1980.

67. Уолш Д.Л. Интерполяция и аппроксимация рациональными функциями в комплексной области. М. 1961.

68. Shapiro H.S., Shields A.L. On some interpolation problems for analytic functions // Amer. J. Math. 1961. V.83. P.513-532.

69. Данченко Д.Я. Об интерполяции в классах Ер // Матем.заметки. 1999. Т.бб.ЯЗ.С. 149-153.

70. Данченко Д.Я. Некоторые интегральные неравенства для главных частей мероморфных функций // Деп. ВИНИТИ. N3335 — 87.1987. С. 1-19.

71. Данченко Д.Я. Скорость приближения рациональными функциями и асимптотическая моногенность // Деп. ВИНИТИ. N2355 — 87.1987. С. 1-24.

72. Данченко Д.Я. Некоторые интегральные неравенства для логарифмической производной многочлена j j Деп. ВИНИТИ. N2991 — 91.1991. С. 1-16.

73. Данченко Д.Я. Некоторые неравенства бернштейновского типа для рациональных функций // Материалы конференции молодых ученых. Изд. Владимирского гос. педагогического университета. 199S- С. 142-144.

74. Данченко Д.Я., Данченко В.И. Об оценке компонент аналитической функции через гринову емкость // "ТЕОРИЯ ФУНКЦИИ И ПРИБЛИЖЕНИЙ" Труды 8-й Саратовской зимней школы. Изд. Саратовского университета. 1996. С. 41-43.

75. Данченко Д.Я., Данченко В.И. Об одной интерполяционной задаче в Ер // "ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ И ПРИБЛИЖЕНИЙ" Труды 9-й Саратовской зимней школы. Изд. Саратовского унив. 1997. С. 53.

76. Данченко В.Й., Данченко Д.Я. О приближении наипростейшими дробями. Матем.заметки. 2001. Т.70. вып. 4, с. 553-559.