Аппроксимация наипростейшими дробями и их модификациями тема автореферата и диссертации по , 01.00.00 ВАК РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых»

На правах рукописи 0*201361693 и __

Чунаев Петр Владимирович

Аппроксимация наипростейшими дробями и их модификациями

01.01.01 — Вещественный, комплексный и функциональный анализ

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель

доктор физико-математических наук,

профессор Данченко Владимир Ильич

Владимир 2013

Содержание

Введение 4

1 Интерполяция наипростейшими дробями Паде и /г-суммами 18

1.1 Задача кратной интерполяции /¿-суммами. Формулировка основных результатов......................... 19

1.2 Оценки корней многочлена с ограничениями на их степенные суммы 24

1.3 Доказательства основных результатов об интерполяции /¿-суммами 33

1.4 Интеграл Эрмита как аппарат кратной интерполяции наипростейшими дробями....................... 36

1.5 Основная теорема о построении наипростейших дробей Паде

с помощью интеграла Эрмита..................... 41

1.6 Формула для остаточного члена интерполяции наипростейшими дробями Паде.................... 47

1.7 Оценка погрешности интерполяции аналитических функций, модули тейлоровских коэффициентов которых мажорируются некоторой геометрической прогрессией ............... 48

1.8 Примеры построения наипростейших дробей Паде и вычисления остаточного члена........................... 51

2 Экстраполяция /г-суммами 57

2.1 Многочлен специального вида, порождающий узлы экстраполяции 57

2.2 Задача экстраполяции /г-суммами. Простейшая оценка погрешности .............................. 62

2.3 О сбалансированном выборе параметров экстраполяции...... 64

2.4 Основной результат об экстраполяции: формула остаточного

члена и оценка погрешности ..........................................67

2.5 Некоторые примечания к основной теореме..........................70

3 Приложения методов аппроксимации, связанных

с наипростейшими дробями 73

3.1 Численное дифференцирование посредством /г-сумм................73

3.2 Аппроксимация посредством отношений разностей наипростейших дробей..................................................76

3.3 Приближенное вычисление значений многочленов..................80

3.4 Примеры приближенного вычисления................................81

Заключение 85

Список литературы 87

Введение

Работа посвящена вопросам интерполяции и аппроксимации наипростейшими дробями, т.е. рациональными функциями вида

п 1

ро(г) = 0; рп(г) = рп({чЬ = ^ г, гк€ С, пе Н, (0.1)

к=1 2 *к

и некоторыми их модификациями. Наипростейшая дробь порядка п представляет собой логарифмическую производную некоторого комплексного многочлена Рп(г) = - гк), т.е.

Ш = (ЬпП(* ~ **)) = (ЬпР„М)' - Щ, ** 6 с.

Внимание к наипростейшим дробям было обращено работами А. Макин-тайра и У. Фукса [45], А. А. Гончара [7], Е. П. Долженко [18], посвященными некоторым экстремальным задачам теории рациональных приближений. По-видимому, впервые задачей приближения посредством наипростейших дробей занимался Дж. Кореваар. В работе [43] он поставил вопрос о возможности равномерного приближения аналитических функций наипростейшими дробями и получил положительное решение при некоторых условиях на расположение полюсов. Точнее, им доказано следующее утверждение: если / — функция, аналитическая в ограниченной жордановой области Б с границей дБ, то существуют наипростейшие дроби рп с полюсами € дБ, к = 1,77,, которые при п —У оо равномерно сходятся к / на каждом компактном подмножестве Б. Одна из мотивировок такой аппроксимации заключена в простом и важном физическом смысле наипростейших дробей: они задают (с точностью до постоянных множителей и операции комплексного сопряжения) плоские поля различной природы в области Б, создаваемые равновеликими источниками,

расположенными в точках г^. Следовательно, задачу аппроксимации посредством наипростейших дробей можно интерпретировать как определение расположения источников гк, приближенно создающих заранее заданное поле [44]. Конструкция наипростейших дробей, предложенная Дж. Коревааром, затем исследовалась Ч. Чуй и К. Шеном [38, 39] для аппроксимации аналитических функций в интегральных пространствах Бергмана-Берса.

Дальнейшие исследования аппроксимативных свойств наипростейших дробей были инициированы известной задачей Е. А. Горина [9] о наименьшем уклонении наипростейших дробей от нуля на действительной оси М. при определенных ограничениях на полюсы хи- В разное время ею занимались Е. А. Горин [9], Е. Г. Николаев [30], А. О. Гельфонд [6], В. Э. Кацнельсон [19] и др. Она была полностью решена В. И. Данченко [10], который доказал, что указанные наименьшие уклонения имеют порядок при условии, что расстояние от полюсов наипростейших дробей до М не превосходит единицы.

В 1999 г. для наипростейших дробей со свободными полюсами был установлен следующий аналог известной теоремы С. Н. Мергеляна о полиномиальных аппроксимациях: любую функцию, непрерывную на компакте К С С со связным дополнением и аналитическую в его внутренних точках, моэю-но с любой точностью равномерно приблизить на К посредством наипростейших дробей [14]. Затем было показано, что несмотря на существенно более простую конструкцию наипростейших дробей по сравнению с многочленами, наименьшие уклонения наипростейших дробей и многочленов от функций широкого класса имеют одинаковые порядки малости [15, 25]. Это позволило получить для наипростейших дробей аналоги классических полиномиальных теорем Д. Джексона, С. Н. Бернштейна, А. Зигмунда, В. К. Дзядыка, Дж. Л. Уолша

[25]. Были предприняты попытки получить аналоги теоремы П. Л. Чебыше-ва об альтернансе, и это удалось сделать в случае аппроксимации постоянных функций [17, 22]. Однако в общем случае был обнаружен ряд неординарных аппроксимативных свойств н. д., не присущих полиномам. Оказалось, что, вообще говоря, не существует прямой связи между альтернансом и наилучшим приближением, н.д. наилучшего приближения не обязана быть единственной [16, 42]. О некоторых других особенностях аппроксимаций посредством н. д. говорится ниже.

В недавних работах О. Н. Косухина и П. А. Бородина [3], В. Ю. Протасова [32], В. И. Данченко [13], И. Р. Каюмова [20] изучалось приближение наипростейшими дробями на неограниченных множествах: прямых, лучах, полуплоскостях. Установлено [3], например, что каждая непрерывная на действительной оси М функция с нулевым значением на бесконечности в равномерной метрике с любой точностью приближается наипростейшими дробями; причем аналогичное утверждение становиться неверным, если вместо прямой рассматривать неразвернутый угол. В случае Ьр = ЬР(Ш) с конечными р > 1 класс аппроксимируемых наипростейшими дробями функций резко сужается [32]. Он содержит те и только те функции /, которые являются аналитическими на М. и обладают одним из следующих равносильных свойств:

1) функция / продолжается в С до мероморфной и представляется в виде ряда f(z) = ~ гк £ С) сходящегося к / в Ьр. При этом показатель

сходимости последовательности {г^} удовлетворяет неравенству

2) функция / является логарифмической производной некоторой целой

функции F порядка не выше 1 — 1/р, т.е. fit) — F'(t)/F(t)} tel.

Это обстоятельство способствовало возникновению теории рядов наипростейших дробей [13, 20, 21, 32].

В работах В. И. и Д. Я. Данченко [15], О. Н. Косухина [26] и А. К. Ра-мазанова [34] разработаны методы n-кратной интерполяции наипростейшими дробями, получены соответствующие теоремы существования и единственности, найдены оценки скорости сходимости интерполяционных процессов. Рассматривалась и задача простой интерполяции, т.е. с простыми узлами, которая, как оказалось, имеет ряд существенных особенностей по сравнению с п-кратной и полиномиальной. Например, как показали Я. В. Новак [31], М. А. Комаров [40, 41, 42], Е. Н. Кондакова и др. [16, 23], такая задача не всегда разрешима, а если разрешима, то не обязательно единственным образом. В связи с этим была разработана теория обобщенной интерполяции таблиц, допускающих бесконечно удаленные элементы, которая охватывает и обычную интерполяцию. В рамках этой теории в терминах особых узлов получена единообразная классификация структуры таблиц, допускающих обычную или обобщенную интерполяцию [17, 24].

Полезной модификацией наипростейших дробей при интерполяции и аппроксимации аналитических функций являются h-суммы вида

п

Hn{z) = Hn(h, {Afc}; z) = J^XkhiXbz), z, Хк e С, n E N, (0.2)

fc=i

где h — аналитическая базисная функция [12] (при фиксированной базисной функции процедура аппроксимации аналитической функции / состоит в правильном выборе чисел Ak = п)). Отметим, что любая наипростейшая дробь представляется /i-суммой при специальном выборе базисной функции.

Аппарат /г-сумм неоднократно применялся [36, 37] в численном анализе. Применялись и специальные рациональные функции, представляющие собой отношения разностей наипростейших дробей. При незначительном усложнении конструкции по сравнению с наипростейшими дробями такие функции обладают значительно более сильными аппроксимативными свойствами [11].

Цель работы — разработка новых методов аппроксимации, интерполяции и экстраполяции посредством наипростейших дробей, /¿-сумм и отношений разностей наипростейших дробей.

Диссертация включает в себя введение, три главы, разделенные на параграфы, заключение и список литературы. Общий объем диссертации — 94 страницы; список литературы содержит 56 библиографических ссылок.

Во введении обосновывается актуальность, приводится история рассматриваемых вопросов и кратко излагаются основные результаты диссертации.

Глава 1 посвящена вопросам п-кратной интерполяции (и аппроксимации) Паде с узлом г = 0 аналитических в окрестности этого узла функций / посредством /¿-сумм вида (0.2). Всюду в первой главе для удобства считаем, что /г — фиксированная базисная функция, аналитическая в единичном круге \г\ < 1. Считаем также, что все эти функции задаются рядами Маклорена:

Отметим, что маклореновское разложение соответствующей /¿-суммы (0.2) сходится в круге \х\ < пищ \Xk\~1. Как обычно, п-кратная интерполяция означает, что

оо

(0.3)

к=0

Ц(г)-Нп(г)\ = 0(\г\п), г 0.

Сформулирует основные результаты первой главы.

Пусть /гш_1 Ф 0, если /то_1 ф 0; введем числа 5ш(/г, /) по правилу:

/) = 0<= /т-1 = о, /) = ^ /то_1 ^ 0, т € N.

Лта-1

Теорема 1.2 [46]. Пусть = 5ш(/г,/) п |зт| ^ ат п^ж всех натуральных т и некотором а > 0. Пусть при каждом фиксированном п числа А& = А ¿(/г, /, п) в И-сумме Нп являются решением алгебраического уравнения

Ап - сгхА71"1 + сг2Ап_2 + ... + (-1)п<гп = 0, (0.4)

где коэффициенты а к находятся по рекуррентным формулам {Ньютона) О"! = 51, (Тт = (-1)т+1ггг1 + , т = %п. (0.5)

Тогда справедливы следующие заключения.

(а) Суммы Нп осуществляют п-кратную интерполяцию функции f в узле г —

(б) Функция / определена и аполитична в круге \х\ < а-1, а суммы Нп определены и аналитичны в кругах \г\ < (1 — еп)а~1, где еп — положительные числа, удовлетворяющие соотношениям еп е (0,1) и

е2п - (1 - еп)п+1 = 0, £п~2п-1Ып, п-> оо. (0.6)

(с) Имеет место равномерная сходимость Нп(г) п оо; в кру-

ге \г\ ^ (1 — 5) а-1 прм любом фиксированном сколь угодно малом 5 € (0,1). Кроме того, для любого в Е (0,1) при достаточно больших п ^ щ(а,к,6,в) справедлива оценка

|/(г) - Я„й| ^ в-15~\1 - И < (1 - 8)а-\ (0.7)

Теорема 1.3 [46]. В условиях теоремы 1.2 радиус а~1 круга сходимости Нп(г) к f(z) не может быть увеличен, а в оценке (0.7) нельзя заменить 1—65 числом, меньшим 1 — 5 (при фиксированном множителе 0~г5~1).

Ранее результат, аналогичный теореме 1.2, был установлен в работе [12], где, однако, не рассматривался вопрос о точности радиуса круга сходимости Нп(г) к /(г) и скорости этой сходимости, и вместо (0.6) и (0.7) были указаны весьма грубые оценки, носящие скорее качественный характер.

Доказательства теорем 1.2 и 1.3 основаны на следующем вспомогательном утверждении, представляющем и самостоятельный интерес.

Лемма 1.4 [46]. Пусть для комплексных чисел их степенные суммы

удовлетворяют неравенствам ¡SVuf ^ &т> т = 1,п, с некоторым а > 0. Тогда

где еп определяется как в (0.6).

Приведен пример, показывающий, что утверждение леммы 1.4 нельзя значительно уточнить в следующем смысле (ср. с (0.6)): найдется набор чисел Ai,..., Ап такой, что их степенные суммы |iL?m| ^ ат, т = 1, п, и |Ai| = при достаточно больших п ^ щ.

В следующей части первой главы дано построение интерполяционной н. д. в виде интеграла Эрмита. Такой подход позволяет получить явный вид остаточного члена интерполяции и простую его оценку. Н. д. ри (порядка 0 ^ и ^ п) интерполяции с n-кратным узлом z = 0 функции /, аналитической в некоторой

п

(0.8)

|А/с| < -г——, к = 1,п,

его окрестности, будем называть н. д. Паде; она определяется единственным образом из соотношения

Ш-р„(г)\ = 0(\г\п), г-*0. (0.9)

Пусть 7 — спрямляемый жорданов контур, содержащий внутри себя точку % — 0, и пусть функция / аналитична на замыкании области £(7), ограниченной контуром 7. Кроме того, будем предполагать, что хотя бы один из

коэффициентов /т, т = 0,п — 1, разложения (0.3) отличен от нуля. Н. д. Паде ищется в виде интеграла Эрмита

ЛИ = ш ю »е «(7).

где

п и

к=1

а числа V и ф 0 требуется определить. Эта задача приводит к нелинейной системе уравнений для степенных сумм (см. обозначения (0.3) и (0.8)):

1, т = 1,п. Известно, что такая система всегда имеет и притом единственное решение Ах,..., Ап, причем в силу предположения на коэффициенты /т хотя бы одна из его компонент отлична от нуля. Обозначим число таких отличных от нуля компонент А& через ц — /л(/), 1 ^ ^ ^ п, а сами эти компоненты — через Лх,..., А^ (некоторые из них могут совпадать). Нами доказано, что интеграл «7П является н. д. Паде (удовлетворяющей условию (0.9)), тогда и только тогда, когда у = ¡1, а нули г^ многочлена являются решением системы (см. (0.3))

= -/т-Ь 771 = 1,71, 1 < =/¿(/) 71.

к=1

При этом «/п представляется в виде логарифмической производной многочлена С}. Этот критерий (а также способ вычисления можно записать в виде следующей теоремы. Введем алгебраическое уравнение

Тп(Л) = Ап - пЛ"-1 + т2Л + ... + (-1)4, = О, коэффициенты которого определяются по рекуррентным формулам П = -/о, тт = (-1 )тт~1 + !т-э-лТ^ 1 т =

Теорема 1.4 [47]. Интеграл Эрмита Зп является н. д. Паде п-крат-ной интерполяции функции / для единственного многочлена вида (0.10),

имеющего корни Zk = \k , где Xk, к = 1,/л; — отличные от пуля корни многочлена Тп. При этом

м-m и Q(z) = ©■ ((Ш)

Как уже отмечалось, формула Эрмита позволяет получить остаточный член в достаточно простой форме; справедлива

Теорема 1.5 [47]. Остаточный член п-кратной интерполяции имеет

вид

1 ОО ß

m - Л(/, Q\z) = --Г Vzk V qmfk-m, И ^ min ICI, (0.12)

Q(z) fn m^o C£7

где многочлен Q определяется по формуле (0.11).

Формула (0.12) в ряде случаев позволяет оценивать остаточный член интерполяции с помощью весьма простого анализа. Приведем одну такую оценку в случае, когда коэффициенты интерполируемой функции (0.3) по модулю ограничены членами некоторой геометрической прогрессии.

Теорема 1.6 [47]. Если |/т_1| ^ ат для натуральных т и некоторого а > 0, то при \г\ < г < (1 — имеем

1 _ п\ ■У гу*ТЬ \ 1 _ С _ пг I 'Г —

1 — а\г\ гп \1 — £п — аг где числа еп определяются как в (0.6).

Вторая глава посвящена экстраполяции аналитических функций /г, посредством их /г-сумм вида (0.2). Здесь же проведено сравнение метода /г-сумм с классическими полиномиальными методами.

Пусть а > 1 и Ах,..., Ап, п ^ 2, — набор комплексных чисел, для которых элементарные симметрические многочлены

От = <7т(Ль . . . , А„) = ¿т, Ш=1,П,

удовлетворяют равенствам

(л т~1 _

<71 = 1, ^ = \ П(«*-1). т = 2, п. (0.13)

гп\

к=1

Нами показано, что для таких чисел и их степенных сумм (0.8) имеем:

шах \Хк\ < а - (а - 1)п-1, £т = т = Т~п. (0.14)

к—1,п

Опишем идею экстраполяции. Пусть Н — функция, аналитическая в некоторой области Д. = {г : \х\ < г}, 0 < г ^ оо. Через Йп обозначим /¿-сумму с числами ^к = Аа), удовлетворяющими равенствам (0.13), взяв в качестве базисной функцию = Н{х/а). Оказывается (см. теорему 2.1 во второй главе), что такие суммы при возрастании п аппроксимирует функцию /г сколь угодно точно на компактных подмножествах области £?Г) причем, как первоначально было установлено в работе [47],

оо

ад - Нп{г)| ^ 6п(!I, а; г) = (1 + ап) ^ \Нт\\г\т, г е Д.. (0.15)

771=71

Из оценки в (0.14) вытекает, что модули аргументов слагаемых в сумме Нп строго меньше точнее

< рп = 1-—- < 1.

ап

Тем самым получается экстраполяционная формула ¡г(г) « Нп{г) = Нп{г/а) в том смысле, что значения функции к в точках * выражаются через ее значения в точках \kzfa с меньшими модулями. Указанный процесс экстраполяции можно повторить, т.е. провести рекурсивный процесс восстановления значений функции Н по уже восстановленным ее значениям. Тогда получится //-кратная /¿-сумма вида

С увеличением кратности экстраполяции модули аргументов слагаемых в таких суммах убывают как геометрическая прогрессия ¡3%\г\. С использованием оценки (0.15) был получен первый результат о сходимости ^-кратной экстраполяции. Было показано, что при любом Го £ (0,1) и для любой целой функции /г конечного порядка существует последовательность {/¿п} такая, что суммы Н^п\г) равномерно сходятся к К{х) на окружности \г\ — 1, причем все узлы экстраполяции лежат в круге < г о < 1. Другими словами, любая целая функция конечного порядка