Аппроксимация наипростейшими дробями и их модификациями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

. На правах рукописи

Чуиаев Петр Владимирович

Аппроксимация наипростейшими дробями и их модификациями

01.01 — Вещественный, комплексный и функциональный анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

О 5 СЕН 2013

005532725 Казань 2013

005532725

Работа выполнена на кафедре функционального анализа и его приложений ФГБОУ ВПО «Владимирский государственный университет имени А. Г. и Н. Г. Столетовых».

Научный руководитачь: Данченко Владимир Ильич.

доктор физико-математических наук, профессор. ФГБОУ ВПО «Владимирский государственный уштсрситст имени А. Г. и Н. Г. Столетовых» Официальные оппоненты: Юиомон Ильгиз Рифатонич.

доктор физико-математических паук, ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет»;

Старков Виктор Васильевич,

доктор физико математических наук, профессор.

ФГБОУ ВПО «Петрозаводский государственный

университет»

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный

университет имени Н. Г. Чернышевского»

Защита диссертации состоится 19 сентября 2013 г. в 10 ч. 00 мин. на заседании Диссертационного совета Д 212.081.10 при Казанском (Приволжском) федеральном университете по адресу: 420008, г. Казань, ул. Кремлевская, д. 33, Институт математики и механики им. Н. И. Лобачевского, ауд. 610.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Казанского (Приволжского) федерального университета по адресу: 420008, г. Казань, ул. Кремлевская, д. 35.

Автореферат разослан августа 2013 г.

Ученый секретарь Диссертационного сонета кандидат физико-математических паук, Е. К. Липачев

доцент

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Работа посвящена вопросам интерполяции п аппроксимации наипростейшими дробями (н. д.), т.е. рациональными функциями

и некоторыми нх модификациями. Внимание к н. д. было обращено работами А. Макинтайра и У. Фукса, А. А. Гончара, Е. П. Долженко1. посвященными некоторым экстремальным задачам теории рациональных приближений. По-видимому, впервые задачей приближения посредством и. д. занимались Дж. Кореваар и Ч. Чуй2. Ими была предложена конструкция н. д. для аппроксимации аналитических функций класса Вергмана-Берса в односвязных областях; при этом полюсы н.д. подбирались на границах этих областей. Одна пз мотивировок такой аппроксимации заключена в простом и важном физическом смысле h. д.: они задают (с точностью до постоянных множителей к операции комплексного сопряжения) плоские поля различной природы, создаваемые равновеликими источниками, расположенными в точках zСледовательно, задачу аппроксимации посредством н.д. можно интерпретировать как определение источников Zk, приближенно создающих заданное поле.

Дальнейшие исследования аппроксимативных свойств н. д. были инициированы известной задачей Е. А. Горина о наименьшем уклонении н. д. от нуля на действительной оси при определенных ограничениях на полюсы zk. В разное время ею занимались Е. А. Горин, Б. Г. Николаев, А. О. Гельфонд, В. Э. Кап-нельсон, В. И. Данченко3 и др. В 1999 году для н.д. со свободными полюсами

1 Macintyre A., Fuchs IV. Inequalities for the logarithmic derivatives of a polynomial // J. London Math. Soc. 1940. Sl-15, .Va'i. Pp. 1G2-168: Гончар А. А. О наплутших приближениях рациональными функциями // Докл. АН СССР. 195-5. Т. 100, .Y"2. С. 205-208; Долженко Е. 11. Оценки производных рациональных функций // Изв. АН СССР. fiep. Ma i ем. 19вЗ. Т. 27, №1. С. 9-28.

2 Komi-aar./. Asymptotically neutral distributions of electrons and polynomial approximation // Aim. of Matli. 1961. V. 80. I'p. 103-110; Chui С. K. On approximation in the Bcrs spaces // Proc. Amer. Matt. Soc. 1973. V. dO. Pp. 43S-442.

Jr<r¡)uH E. Д. Частично пшозллиптические дифференциальные уравнении в частных производных с постоянными коэффициентами // Сиб. матем. журн. 19Г>2. Т. 3. .V'Ti. С. 50G 508; Николаев Ь'. Г. Геометрическое свойство корней многочленов // Вестн. МГУ. Серия 1: Матем., мех. 1965. №5. С. 23-26; ГелъфонЗ А. О. Об

был установлен следующий аналог известной теоремы С. Н. Мергеляна о полиномиальных аппроксимациях4: любую функцию, непрерывную на компакте К С С со связным дополнением и аналитическую в его внутренних точках, можно с любой точностью равномерно приблизить на К посредством н. д. Затем было показано, что несмотря на существенно более простую конструкцию н. д. по сравнению с многочленами, наименьшие уклонения н. д. и многочленов от функций широкого класса имеют одинаковые порядки малости5. Это позволило получить для н. д. аналоги классических полиномиальных теорем Д. Джексона, С.Н. Бернштейна, А.Зигмунда, В.К. Дзядыка, Дж.Л. Уолша. Были предприняты попытки получить аналоги теоремы П. Л. Чебышева об альтернанте, и это удалось сделать в случае аппроксимации постоянных функций6. Однако в общем случае был обнаружен ряд неординарных аппроксимативных свойств и. д., не присущих полиномам. Оказалось, что, вообще говоря, не существует прямой связи между альтернантом и наилучшим приближением, н. д. наилучшего приближения не обязана быть единственной7. О некоторых других особенностях аппроксимаций посредством н. д. говорится ниже.

В недавних работах8 изучалось приближение на неограниченных мно-

Iщенке мнимых частей корней многочленов с ограниченными щюинводнымн от логарифмов на действительной оси // Матем. сб. 1966. Т. 71, »113. С. 289-296; Кацнкльсон П. Э. О некоторых операторах, действующих в пространствах, порожденных функциями // Теория функций, фушшиональныа анализ и их приложения. 1067. Вып. 4. С. 58-66: Датспко В. II. Оценки расстояний от пошосов логарифмических производных многочлепоп до прямых и окружностей // Матсм. сб. 1994. Т. 185, №8. С. 63-80.

4Датспко В. И., Данченко Д. Я. О равномерном прлближении логарифмическими производными многочленов// Теория функций, ее приложения и смежпые вопросы: Материалы пнс-копфсрсипли, носвяш. 130-летию Д.Ф. Егорова. Кшапъ, 19U9. С. 74-77.

V(a?pteiiw> И. И., Данчст-о /!■ Я. О приблпжеиип панпростейтими дробями// Матсм. заметки. 2001. Т. 70. ДМ. С. 553-559; Косугин О. Н. Об аттрокеимптпвтшх спойстпах паипростеПтих дробей// Вестик

М<к:ковского ун-та. Сер. 1. Митей. Мех. 2001. №4. С. S4-58.

с'Да«чтко П. И., Кондиким К. П. Критерий возникновения особых узлов при интерполяции наипростейшими долями // Тр. МИАН. М.: МАИК, 2012. Т. '278. G. 49- 58; Комаров М. А. Критерий ншыуиим« приближения констант наипростейшими дробями // Матем. заметки. 2013. Т. 93. №2. С. 209 215.

7 Данченко В. И., Кондакова Е. II. Чебышевский альтернате iqw ашцхжсшшцш констант шишростей-ПШМИ дробями // Тр. MIIAH. М.: МАИК, 2010. Т. 270. С. 86-96; Komarov M. Л. Examples related to best approximation by simple partial fractions// J. of Math. Sei. 2012. Vol. 184, №4. Pp. 509-523

ь Протасов В. Ю. Приближения наипростейшими дробями и преобразование Гильберта// Изв. РАН. Сер. матсм. 2009. Т. 73, Я'2. С. 123-140; ВородпнИ. Д., Кжугин О. Н. О приближении наипростейшими дробями па действительной оси// Вестник Московского ун-та. Сер. 1. Матем. Мех. 2005. №1. С. 3-8; Дапчтко В. И.

жествах. Установлено, например, что каждая непрерывная на действительной оси R функция с нулевым значением на бесконечности в равномерной метрике с любой точностью приближается н.д. (О. Н. Косухин. П. А. Бородин). В случае Lp(К) с конечными р > 1 класс аппроксимируемых функций резко сужается: все такие функции представляются рядами н.д.. сходящимися в Это

обстоятельство способствовало возникновению теории рядов н. д. (В. Ю. Протасов, И. Р. Какшов и др.).

Изучалась п-кратная интерполяция аналитических функций посредством п. д. Падс, получены соответствующие теоремы существования и едиметнетю-сти, найдены оценки скорости сходимости интерполяционных процессов9. Рассматривалась и задача проапой иитериоляции, т.е. с простыми узлами, которая, как оказалось, имеет ряд существенных особенностей но сравнению с п-кратной и полиномиальной. Например, как показали Я. В. Новак, М. А. Комаров, Е. Н. Кондакова и др.10, такая задача не всегда разрешима, а если разрешима, то не обязательно единственным образом. В связи с этим была разработана теория обобщенной интерполяции таблиц, допускающих бесконечно удаленные элементы, которая охватывает и обычную интерполяцию. В рамках этой теории в терминах особых узлов получена единообразная классификация структуры таблиц, допускающих обычную или обобщенную интерполяцию11.

Полезной модификацией н. д. при интерполяции и аппроксимации анали-

0сходимости наипростейших дробей в Lv(k)// Матом, сб. 2010. Т.201, >7. С.53-66; КаюмтИ.Р. Сходимость рядов наипростейших дробей в Lr(R)// Матем. сб. 2011. Т. 202, iV'10. С. 87-98: КакшовИ.Г. Необходимое условие сходимости наипростейших дробей в Í-P(R) /7 Матем. заметки. 2012. Т. 92. .4*1. С. 149 152.

9Данченко В. И., Данченко Д. Я. О приближении наипростейшими дробями//Матем. лшетки. '2001. Т. 70. ,\'s4, С. r>r>.'i--.r»rif); KoryruM О. Ii. О некоторых нетрадиционных методах приближения, связанных с комплексными полиномами: Дисс....канд. физ.-мат. наук. М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, 2005; Уалшзпшю .4. К. Приближение наипростейшими рациональными дробями в пространстве Харди 11¿{D) // Теория фушщпй. ее приложения и смежные нощюсы: Материалы Кв^аи. междунар. шк.-коиференцни. Казань, 2003. {'. 177-178

10 Новак Я. В. О наилучшем локальном приближении наипростейшими дробями i i Матем. заметки. 2008. Т. 84, .V'6. С. 882 -887; Komarov М. Л. Uniqueness of a simple partial fraction of best approximation // J. of Math. Sei. 2011. Vol. 175. P. 284-Г1П8: Кондакова E. H. Интерполяция наннрогггейшими ,'фОбями// Иш. Capar, ун-та. Нои. сер. Сер. Матем. Мех. Информ. 2009. Т. 9, Ю2. С. 30 37

1 "Данченко В. П., Кондакова Е. Н. Критерий возникновения особых узлов при интерполяции наипростейшими дробили ,7 Тр. МИАН. М.: МАНК, 2012. Т. 278. С. 49-58.

ТИЧССКИХ функций ЯВЛЯЮТСЯ к-сумлш Ш1ДЯ

Г1

Нп(г) = Я„(А, Ш; г) = ]ГЛ* € С, п € К, (2)

где Л — аналитическая базисная функция12 (при фиксированной базисной функции процедура аппроксимации аналитической функции / состоит в правильном выборе чисел \к = А*(/,")). Отметим, что любая и. д. представляется /1-суммой при специальном выборе базисной функции. Аппарат Л-сумм неоднократно применялся" в чнеленном анализе. Применялись и специальные рациональные функцин, представляющие собой отношения разностей н.д. При незначительном усложнении конструкции по сравнению с н. д. такие функции обладают значительно более сильными аппроксимативными свойствами1'1.

Цель работы. Разработка новых методов аппроксимации, интерполяции и экстраполяции посредством н. д., Л-сумм и отношений разностей н. д.

Методы исследования. Классические методы теории функций комплексного переменного, рациональных аппроксимаций, численного анализа, а также оригинальные методы интерполяции и экстраполяции /¿-суммами.

Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми и состоят в следующем.

1. Получены окончательные результаты о радиусе крута сходимости и скорости сходимости интерполяционных Л-сумм к интерполируемой функцин.

2. Предложен новый метод построения п. д. Паде на основе интеграла Эр-мита, получен явный вид остаточного члена интерполяции и найдены новые оценки ее погрешности.

3. Разработан метод экстраполяции посредством /г-сумм, получен явный вид остаточного члена экстраполяции и найдена точная оценка ее погрешности,

"Дапчажо В. И. Об аппроксимативных свойствах сумм вида }2к ЛцЛ(А*г)// Матсм. заметки. 2008. Т. 83. №5. С. 643-649

13Ф]МНЦГ.Н Л. 13. О численной аппроксимации дифференциальных полиномов// Ичн. Сарат. ун-та. Т1он. сор. С-ср. Мат. Мех. Ипфоры. 2007. Т. 7, №2. С. 39-43; Фряицеа Л. В. О полтгамиалышх решениях дппейпых дифференциальных уравнений// УМТГ. 2008. Т. 63, №3 (381). С. 149-150

"Данченко и. И. Оценки производных наипростейших дробей и другие вопросы// Матем. сб. 2000. Т. 197, .N'•4. С. 33-52

дано сравнение рассматриваемого метода с классическими полиномиальными методами.

4. Исследован метод аппроксимации посредством рациональных функций специального вида. представляющих собой отношешгя разностей н. д., и даны его приложения к вычислению рациональных функций общего вида. Показано, что в ряде случаен этот метод можно использовать как выгодную альтернативу схеме Горпера.

Практическая и теоретическая значимость. Результаты диссертации носят теоретический характер. Они могут быть использованы в теории рацмопальиых аппроксимаций в комплексной области, а также I! некоторых нетрадиционных задачах приближения, связанных с и. д. и /г-суммами.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались па следующих научных семинарах и конференциях: Международная конференция по математической теории управления и механике (Суздаль, 2009); Международная конференция «Современные проблемы анализа и преподавания математики» (Москва, 2010); XV Саратовская зимняя школа «Современные проблемы теории функций и их приложения» (Саратов, 2010); Воронежская зимняя школа «Современные методы теории функций и смежные вопросы» (Воронеж, 2011); X Казанская летняя школа по теории функции, се приложениям и смежным вопросам (Казань, 2011); Конференция по теории аппроксимации и анализу Фурье (Барселона, 2011); VI Петрозаводская международная конференция «Комплексный анализ и приложения» (Петрозаводск, 2012); научный семинар под руководством д.ф.-м.н., проф. М. С. Беспалова. А. А. Давыдова и В. И. Данченко (Владимир. 2009-2013); научный семинар по анализу университетов Барселоны (Барселона, 2011): научный семинар в рамках исследовательской программы «Комплексный анализ и смежные вопросы» (Севилья и Малага, 2013).

Публикации автора. По теме диссертации опубликовано 11 научных работ, три из которых — в рецензируемых научных журналах, рекомендованных ВАК для публикации результатов диссертации. В совместных работах с научным руководителем вклад каждого нз соавторов составляет 50%.

Структура и объем диссертации. Диссертация включает и себя введение.. три главы, разделенные на параграфы, заключение и список литературы. Общий объем диссертации — 94 страницы; список литературы содержит 50 библиографических ссылок.

Основпое содержание работы

Во введении обосновывается актуальность рассматриваемых вопросов, приводится их история и кратко излагаются основные результаты диссертации.

Глава 1 посвящена вопросам п-кратной интерполяции (и аппроксимации) Паде с узлом г = 0 аналитических в окрестности этого узла функций / посредством Л-сумм вида (2). Всюду в первой главе для .удобства считаем, что Л фиксированная базисная функция, аналитическая в единичном круге |г| < 1. Считаем также, что все функции задаются рядами Маклорена:

/<*)=£;>* <з>

Отметим, что маклорононскос разложение соответствующей /¿-суммы (2) сходится и круге \г\ < пши- Как обычно, п-кратиая интерполяция озна-

чает, что ¡/(г) - Нп{г)| = 0(1*1") при г0.

Пусть /¡ш_1 ф 0, если /„,_! ф 0; введем числа А-ш(/г,/) по правилу:

8П(Н, /) = 0 «= /т—1 = 0, «т(А, /) = <= !т-1 ^ 0, те N.

Теорема 1.2 [1]. Пусть вт = /) и |зт| < ат при всех нату-

ральных т и некотором а > 0. Пусть при каждом фиксированном п числа Ад. = Хк(1г, /, п) в К-сумме Нп являются решением алгебраического уравнения

А" - <7!А""1 + стгХп'2 + ... + (-1)"<г„ = 0, (4)

где коэффициенты находятся по рекуррентным формулам (Ньютона)

= ль *т = Ы)т+1т-1 + (-1У я,,,-^) , гп=ХТг. (5)

Тогда справедливы следующие заключения.

(а) Суммы Н„ осуществляют п-кратную интерполяцию функции / в узле г = 0.

(b) Функция / определена и аполитична в круге |г| < а-1, а суммы Н„ определены и аналитичны в кругах \г\ < (1 — еп)а~\ где еп положительные числа, удовлетворяющие соотношениям еп е (0,1) и

4 - (1 - £«Г+1 = О, е„~2п-1к7г1 п -> оо. (6)

(c) Имеет место равномерная сходимость Нп(г) /(~), и ~> ос, в круге \г\ ^ (1 — 5)а~1 при любом фиксированном сколь угодно малом <5 £ (0,1). Кроме того, для любого в € (0.1) при достаточно больших п > щ(а, к, 5, в) справедлива оценка

|/(г) - ВД| < - 95)п, < (1 - ¿К1. (7)

Теорема 1.3 [1]. В условиях теоремы 1.2 радиус а-1 круга сходимости ВД к /(г) не может- быть увеличен, а в оценке (7) нельзя заменить 1 — 95 числом, меньшим 1 — & (при фиксированном множителе 0~15'1).

Ранее результат, аналогичный теореме 1.2. был установлен в работе15, где, однако, тте рассматривался вопрос о точности радиуса круга сходимости Нп(г) к /(г) и скорости этой сходимости, и вместо (6) и (7) были указаны весьма грубые оценки, носящие скорее качественный характер.

Доказательства теорем 1.2 и 1.3 основаны наследующем вспомогательном утверждении, представляющем и самостоятельный интерес.

Лемма 1.4 [1]. Пусть для комплексных чисел А*, их степенные суммы

Вт = 5т(Аь..., А„.) = ^ А™ (8)

удовлетворяют неравенствам |5,„| ^ ат, т = 1 ,п, с. некоторым а > 0. Тогда |А*| < о(1 — к =1^1,

где е„ определяются как в (б).

Приведен црцмер, показывающий, что утверждение леммы 1.4 нельзя значительно уточнить в следующем смысле (ср. с (6)): найдется набор чисел А1,...,АП такой, что нх степенные суммы |5т| ^ ат, т = 1,п, и |А1| = а(1 — 0(1/п))-1 при достаточно больших п ^ пп-

П. И. Об апироксимя гмкнмх (:нойС1Ч{Ах гумм иида \1-М\кг) // Мл.ом. заметки. 2008. Т. 83, №5. С. 643-64!)

В следующей части первой главы дано построение интерполяционной п. д. в виде интеграла Эрмита. Такой подход позволяет получить явный вид остаточного члена интерполяции и простую его оценку. Н. д. р„ (порядка 0 < V ^ п) интерполяции с га-кратным узлом г = 0 функции /, аналитической в некоторой его окрестности, будем называть и. дробью Паде; она определяется единственным образом из соотношения

Шг)-Ш\=0(\гП (9)

Пусть 7 — спрямляемый жорданов контур, содержащий внутри себя точку .г = О, и пусть функция / аналитичиа на замыкании области £(7), ограниченной контуром 7. Кроме того, будем предполагать, что хотя бы один из коэффициентов /т, т - 0,п- 1, разложения (3) отличен от нуля. Н. д. Паде ищется в виде интеграла Эрмита

АС) - ш ®.) - ¿г / ЛО • 6 ВЬ)'

где

^> = 7^' ОМ =П(г-= + +■•■ + «). (Ю)

а числа I/ и г*. ^ 0 требуется определить. Эта задача приводит к нелинейной системе уравнений для степенных сумм (см. обозначения (3) и (8)):

— 1т— 1?

т — ТТга. Известно, что такая система всегда имеет и притом единственное решение Аь..., А,„ причем в силу предположения на коэффициенты /,„ хотя бы одна из его компонент отлична от нуля. Обозначим число таких отличных от нуля компонент через Ц = (1(1), 1 < < п, а сами эти компоненты через Ах, (некоторые из них могут совпадать). Нами доказано, что интеграл

,/„ является н. д. Паде (удовлетворяющей условию (9)), тогда и только тогда, когда V = а нули гк многочлена являются решением системы (см. (3))

^Т'" =т = 17«, 1 < = М/) < п-

При этом «/„ является логарифмической производной мпогочлепа <3- Этот критерий (а также способ вычисления <2) можно записать в виде следующей теоремы. Введем алгебраическое уравнение

Т„(А) = А" - пА"-1 + т2\п-'2 + - - - + (-1)"т„ = 0,

коэффициенты которого определяются по рекуррентным формулам

г, = "/о, Тт = (-1)гот-1 (/,„_! + • т =

Теорема 1.4 [2]. Интеграл Эрмита ,1п является н. д. Паде п-кратной интерполяции функции / для единственного многочлена <2 вмда (10), имеющего корни 2к = А,"1, где Ад., & = 1, — отличные от нуля корни многочлена Тп. При этом.

= %Т " = Ч^2"7» (\) ■

Как уже отмечалось, формула Эрмита позволяет получить остаточный член в достаточно простой форме; справедлива

Теорема 1.5 |2]. Остаточный член п-кратной интерполяции имеет

вид

ОО Ц

' к-п «!=0

где многочлен (2 определяется по формуле (11).

Формула (12) в ряде случаен позволяет оценивать остаточный член интерполяции с помощью весьма простого анализа. Приведем одну такую оценку в случае, когда коэффициенты интерполируемой функции (3) по модулю ограничены членами некоторой геометрической прогрессии.

Теорема 1.6 [2]. Если \fm-il ^ ат для натуральных т и некоторого а > 0, то при |г| < г < (1 — £п)а~1 имеем

где числа еп определяются как в (6).

Вторая глава посвящена экстраполяции аналитических функций к посредством их /1-сумм вида (2). Здесь же проведено сравнение метода, экстраполяции /¡-суммами с классическими полиномиальными методами.

Пусть а > 1 и А],.... Ап, п > 2, — набор комплексных чисел, для которых элементарные симметрические многочлены

"то = Ст(Аь • - ■, А„) = т=1,п.

удовлетворяют равенствам

ег,= 1, \ Д(а<; —1), т = 2,п. (13)

111' к=1

Нами показано, что для таких чисел и их степенных сумм (8) имеем:

шах |А*| < а - (а - 1)п-1, = ат~\ тп = Т~п. (14)

Опишем идею экстраполяции. Пусть /г функция, аналитическая в некоторой области Д = {г : |г| < ?•}. О < г ос. Через Нп обозначим /¿-сумму с числами А/, - А¡¿(п,а), удовлетворяющими равенствам (13), взяв в качестве базисной функцию Л (г) = /г(г/а). Оказывается, что такие суммы при возрастании п аппроксимирует функцию /г сколь угодно точно на компактных подмножествах области Д, причем, как первоначально было установлено в работе [2],

ос

- Нп{г)\ < (1 + ап) £ |А„,||гГ, г € Д. (15)

Из оценки в (14) вытекает, что модули аргументов слагаемых в сумме Нп строго меньше |л|, точнее

£(„ = 1- — <1. ап

Тем самым получается экстраполяционная формула к(г) и Я„(г) и том смысле, что значения функции к в точках .г выражаются через ее значения в точках \kzfa с меньшими модулями. Указанный процесс экстраполяции можно повторить, т.е. провести рекурсивный процесс восстановления значений функции Н по уже восстановленным се значениям. Тогда получится //-кратная /¿-сумма вида

к\ 1

С увеличением кратности экстраполяции модули аргументов слагаемых в таких суммах убывают как геометрическая прогрессия С использованием оценки (15) был получен первый результат о сходимости //.-кратной экстраполяции. Было показано, что при любом ?'п 6 (0,1) и для любой целой функции

Л конечного порядка существует последовательность такая, что суммы #п'"'(г) равномерно сходятся к к(г) на окружности |г| = 1, причем нее узлы экстраполяции лежат п круге |г| < го < 1. Другими словами, любая целая функция конечного порядка может быть сколь угодно точно экстраполирована на единичную окружность по ее значениям из круга радиуса го < 1.

Основная теорема второй главы существенно улучшает оценку (15) н распространяет последний результат о сходимости с целых функций па произвольные аналитические. Приведем ее формулировку.

Теорема 2.3 [3]. Остаточный член у,-кратной экстраполяции гшеет-

вид

Цг) - ЙМ (,) = £ />„, (1 - * € /Л,

т=тг ^ ^ ' '

71 справедлива (не зависящая, от кратности //) оценка погретност/и

ПС

|л(*) - ИМ (*)| ^ £ |/»™||гГ", г € От. (10)

тп=п

Если функция к аполитична в области Д. с г > 1, 0 < г0 < 1, а числа. ¡^ удовлетворяют равенствам

_Л1

+ 1 (где [•] означает целую часть].

■то при п —оо суммы Нп^\г) равномерно сходятся к к(г) на окружности |г| = 1, причем все узлы экстрапомции лежат в круге |г| < го < 1.

Рассматриваемый метод обладает некоторыми преимуществами перед полиномиальной экстраполяцией. Например, естественным образом снимается проблема выбора узлов экстраполяции. Кроме того, используемый аппарат обладает важным свойством локализации узлов: при увеличении кратности экстраполяции с фиксированным л со скоростью геометрической прогрессии уменьшается радиус круга, в котором лежат все узлы экстраполяции. При этом относительная погрешность экстраполяционной формулы почти не возрастает (см. теорему 2.3).

Отметим еще, что во второй главе приводится пример, когда метод /¿-сумм дает более точные результаты, чем традиционный метод экстраполяции многочленами Лагранжа.

/'г,

1и 7'0 • 1и

\ ап

В третьей главе рассматриваются некоторые применения в численном анализе Л-сумм и специальных рациональных дробей, представляющих собой отношения разностей и. д.:

в(г) = Ъ'М-Ъ'М - е С. (17)

РпЛг) - РпЛг)'

Следующий результат о численном дифференцировании получен теми же методами, что и теорема 1.2 первой главы.

Теорема 3.1 [1]. Пусть функция Н аполитична в круге ]г| < 1. Тогда

а п

г*Л«(2) « (-1)^! 1г(г) + £ А^ А**Л(А*,г), з 6 N. (18)

Р=1 /Ы1

где А„.р = (—1)*+р (С|~р)2 (в — р)! « для каждого фиксированного р числа вычисляются по формулам (4) и (5) при «д. = = (к + р — 1)}-/(к — 1)!, к = 1-я. Формула (18) применима в круге < где а — положительное число, удовлетворяющее неравенствам з^ ^ ак при всех натура.яъных к. При т,ех же, что и в теореме 1.2, значениях п, в. 6 абсолютная, погрешность формулы. (18) в круге |г| < (1 — 5)а~1 не больше в - 05)п.

Дроби вида (17) используются нами для приближенного вычисления многочленов и рациональных функций общего вида. Пусть В.(г) = где Р и (} комплексные многочлены. При фиксированном натуральном р положим

где

*(*) = £ т^м = Ш- = t

Очевидно, дроби в{р,Я\2) имеют вид (17). Известно, что рациональная функция Я достаточно быстро аппроксимируется такими дробями16: 10(р, Я; г) - Я(г)| < 2с)я'г^ |Л(г)|гч'7р\ по всех точках г, где 5|Я(г)| < р. На это исравспство опирается следующее утверждение о вычислении больших значений многочленов.

1вДанчкнки Ч. И. Оценки проичичдных наипростейших дриоей н другие вопросы /7 Матнм. 1-0. '¿006. 'Г. 197, ЛЧ. С. 33-52

Теорема 3.3 [2]. Пусть аадап отличный «от константы многочлен, (¡(г) и С?о(г) = Р ^ 1- Кий» во всеат точках, г, в которых |<Э(з)| > 5,

имам

точнее ^

где. |5(2)| ^ 1/(2|д(2)рр!) < 1/(2- 5Рр!).

Отметим, что при вычислении п. д. п (19) операнды имеют тот же порядок. что и аргументы. При непосредственном же вычислении многочленов, например, по схеме Горнера, операнды, вообще говоря, имеют порядок \г\п, что при увеличении |г| может приводить к определенным вычислительным неудобствам н быстрому росту абсолютной погрешности. В третьей главе приводятся результаты численных экспериментов при фиксированном количестве знаков после запятой, когда приближение (19) дает более точные результаты, чем схема Горнера.

Заключение

Диссертация посвящена специальным разделам теории рациональных аппроксимаций, в ней изучаются аппроксимативные свойства н. д. и их модификаций (/¡-сумм, отношений разностей н. д.). Эта тематика является новой и актуальной и исследуется многими отечественными и зарубежными авторами. Основные результаты диссертации носят теоретический характер. Разработаны новые методы интерполяции и экстраполяции посредством н. д. и /¿-сумм. Получен ряд окончательных теорем о скорости сходимости соответствующих интерполяционных процессов и области их применимости. Даны приложения к численному анализу (интерполяционные и экстраполяцнонные формулы, формулы численного дифференцирования, приближенного вычисления многочленов и рациональных функций общего вида и др.). Все основные результаты опубликованы в международных и центральных российских журналах.

1С

Список работ, опубликованных автором по теме диссертации

В э/суриалах из перечня ВАК

1. Чунаев, П. В. Об одном нетрадиционном методе аппроксимации / П. В. Чунаев Ц Труды Математического института имени В. А. Стеклова. — М.: МАИК Наука / Интериериоднка, 2010. Т. 270. С. 281-287.

2. Danchcnko, V. I. Approximation by simple partial fractious and their generalizations / V. 1. Danchenko, P. V. Cliunaev // Journal of Mathematical Sciences. - New York: Springer, 2011. - Vol. 176, №6. ~ Pp. 844-859.

3. Чуиасп, П. В. Об экстраполяции аналитических функций суммами вида Ajt/j(A*2) ./ П. В. Чунаев /'/ Математические заметки. М.: МАИК Нау-

ка/Интерпернодика, 2012. Т. 92, №5. С. 794-797.

Прочие

4. Чунаев. П. В. Об аппроксимации А-суммами / П. В. Чуиасп /7 Тезисы докладов Международной конференции но математической теории управления и механике (Суздаль, 2009). - М.: МИАН, 2009. - С. 147-148.

5. Чунаев, П. В. Об аппроксимации суммами вида ^kh(Xkz) / П. В. Чунаев // Современные проблемы теории функций и их приложения: Материалы XV Саратовской чгшпей школы (Саратов, 2010). — Саратов: Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, 2010. — С. 183-184.

6. Данченко, В. И. Формула Эрмнта для наипростейших дробей / В. И. Далчспко, П. В. Чупасв // Современные проблемы анализа и преподавания математики: Материалы Международной научной конференции, посвященной 105-летию академика С. М. Никольского (Москва, 2010). — М.: Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, 2010. — С. 19.

7. Данченко, В. И. Об экстраполяции посредством А-сумм / В. И. Данченко, П. В. Чунаев // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль. 2010): Тезисы докладов. — М.: МИАН, 2010. С. 72 73.

8. Данченко, В. И. Аппроксимация многочленов посредством специальных рациональных дробей / В. II. Данченко, П. В. Чуласи // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Материалы Воронежской зимней математической школы (Воронеж, 2011). — Воронеж: Воронежский государственный университет, 2011. — С. 115-116.

9. Данченко, В. И. Об экстраполяции целых функций суммами вида

/ В. И. Данченко. П. В. Чунаев // Труды Математического центра им. Н. И. Лобачевского / Казанское математическое общество. Теория функций, ее приложения и смежные вопросы // Материалы X Казанской летней научной школы-коиференцни. — Казань: Казанское математическое общество, 2011. - Т. 43. - С. 114-116.

10. Чунаев, П. В. Об экстраполяции аналитических функций /¡-суммами / П. В. Чунасв // Комплексный анализ и его приложения, Тезисы VI Петрозаводской международной конференции (Петрозаводск, 2012). — Петрозаводск: Петрозаводский государственный университет, 2012. — С. 79-82.

11. Chunaev. P. Extrapolation of analytic functions by sums of the form. ^ \kh{Xkz) / P. Chunaev // CRM Preprint. Bellaterra: CRM, 2012.

Подписано в печать 17 июля 2013 года. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Тираж 100 экз. Заказ № 2308.

Отпечатано в цифровой типографии "Миг-принт" (ИП Серова A.A.) Владимирская обл., г. Ковров, ул. Талантова, д.Ю, оф. 119 Тел.: 8 (49232) 9-69-08