Матричные преобразования и вещественный метод интерполяции для операторных пространств тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

ИИ4611649

Беломытцева Елена Геннадьевна

Матричные преобразования и вещественный метод интерполяции для операторных пространств

01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ

Автореферат диссертации

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 8 ОКТ 2010

ВОРОНЕЖ- 2010

004611649

Работа выполнена на кафедре математического моделирования Воронежского государственного университета

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Овчинников Владимир Иванович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Баскаков Анатолий Григорьевич

кандидат физико-математических наук, доцент Иохвидов Евгений Иосифович

Ведущая организация: Казанский (Приволжский) федеральный университет

Защита состоится 9 ноября 2010 г. в 15 часов 10 минут на заседании диссертационного совета Д 212.038.22 при Воронежском государственном университете по адресу: 394006, Воронеж, Университетская пл., 1, ауд. 314

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан " " октября 2010 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.038.22 доктор физ - мат. наук, профессор

Гликлих Ю.Е.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Изучение пространств операторов н изучение свойств треугольных матриц взаимодействуют, по-видимому, с самого начала возникновения этих понятий в теории операторов. Один из важнейших результатов, касающийся этих объектов - знаменитая теорема В.И. Мацаева, доказавшего, что преобразование треугольного усечения действует во всех идеалах Неймана-Шаттена Sp при 1 < р < оо. Этот результат был дополнен исследованием треугольных усечений в пространствах вблизи краев шкалы Sp, что привело к введению и изучению идеалов операторов, отличных от идеалов Неймана -Шаттена, аналогов функциональных пространств Лоренца и Марцинкевича. Преобразование треугольного усечения является частным случаем мультипликаторов Шура, которые, в частности, подробно изучались в виде трансформаторов, задаваемых двойными операторными интегралами в работах М.Ш. Бирмана и М.З. Соломяка1. Содержательные результаты о подпространствах треугольных матриц в симметрично-нормированных идеалах были получены в работах Ж.Пизье2. В работах В.И. Овчинникова 3 было замечено, что при изучении интерполяции между пространствами операг торов, действующих в разных гильбертовых пространствах, естественно возникают подпространства треугольных матриц. С их помощью описываются пересечения пространств операторов, сумма и тому подобные преобразования пространств. Помимо этого, в 4 были найдены формулы для /^-функционала в парах пространств всех ограниченных операторов, а в 5 вычислены пространства конструкции Лионса- Петре для этой же пары операторных пространств. Оказалось (и это один из главных

1Бирман М.Ш. Оценки сингулярных чисел интегральных операторов / М.Ш. Бирман, М.З. Со-ломяк Ц Успехи математических наук,- 1977. Т. 32, и.1 (19.3). - С.17-84

2Piswr G. Interpolation between #р spaces and non-commutative generalization J / G. Pisier // Pacific Journal of Mathematics. - 1992. - Vol. 155. - N 2. - P. 441-368.

3Овчинников В.И. Некоммутативные пространства ВМО, когерентная идерность и ограниченные расширения матриц / В.И. Овчинников // Докл. РАН - 1998. - Т. 363, N 1. - С. 17-19, Овчинников В.И. Интерполяция в симметрично-нормированных идеалах операторов, действующих в различных гильбертовых пространствах / В.И. Овчинников // Функциональный анализ и его приложения. - 1994. - Т. 28, N 3. - С. 80-82.

4Овчинников В.И. Когерентно ядерные операторы в парах гильбертовых пространств / В.И. Овчинников // Математические заметки. - 1988. - Т. 63, N 6. - С. 886-872.

5 Ovchinnikor V.I. Lions-Peetre Construction for Couples of Operator Spaces / V.I. Ovcliiuuikov // Russian Journal of Mathematical Physics. - 1995. - Vol. 3. - P. 407-410.

результатов данной работы), что упомянутые результаты В.И. Овчинникова могут быть использованы для вычисления К-функционалов и пространств вещественного метода для более сложных пар ограниченных операторов, действующих в гильбертовых парах, таких как пары алгебр Неймана или пары пространств вполне непрерывных операторов. Расширение семейства пар операторных пространств, для которых удается вычислить традиционные интерполяционные конструкции, является актуальной задачей интерполяции линейных операторов. Основным инструментом при этом оказалось изучение преобразований блок-матриц.

Цель работы. Основными целями предлагаемой работы являются:

1. Изучение вещественного метода интерполяции для пар пространств ограниченных операторов, действующих в различных гильбертовых пространствах. В частности, изучение пар алгебр Неймана и вычисление АГ-функционалов в таких парах операторных пространств.

2. Изучение мультипликаторов в пространствах матриц.

3. Продолжение неполных матриц до ограниченных и вполне непрерывных операторов.

Методы исследования. В диссертации используются методы теории операторов в гильбертовом пространстве, теории операторных пространств и алгебр операторов, общей теории интерполяции линейных операторов.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми и приводятся с полными доказательствами.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты представляют интерес для теории интерполяции линейных операторов и ее приложений в исследовании операторных пространств.

Основные результаты диссертации:

1. Найден новый класс мультипликаторов матриц, действующих в идеалах Неймана-Шаттена Бр при 1 < р < оо.

2. Вычислен /¿"-функционал б парах алгебр Неймана, действующих в различных гильбертовых пространствах.

3. Описаны пространства вещественного метода интерполяции для

пар алгебр Неймана, действующих в разл ичных гильбертовых пространствах.

4. Найдено необходимое и достаточное условие расширения верхнетреугольной неполной матрицы до вполне непрерывного оператора.

5. Установлено, что пара пространств вполне непрерывных операторов, действующих в различных гильбертовых пространствах, является А'-подпарой пары соответствующих пространств ограниченных операторов.

6. Найдено как необходимое,так и достаточное условие существования ограниченного и вполне непрерывного продолжения для специального класса неполных матриц, значительно расширяющего класс треугольных неполных матриц.

Апробация работы. Материал диссертации докладывался на Воронежской зимней математической школе (Воронеж, 2004 г.), на международной конференции "Современные проблемы математики, механики и их приложений" (Москва, 2009 г.), посвященной 70-летию В.А. Садовни-чего, и на семинаре ВГУ по теории операторов (рук. проф. А.Г. Баскаков).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 10 работах. В совместных публикациях [3],|4] соавтору принадлежит постановка задач. Работа [10] соответствует списку ВАК РФ для кандидатских диссертаций.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав, разбитых на параграфы, и списка цитируемой литературы из 46 наименований. Общий объем диссертации — 77 стр.

Содержание работы

Во введении проводится общий обзор исследований, связанных с темой диссертации, перечисляются основные результаты, полученные автором, проводится краткое изложение содержания работы.

Нумерация приводимых ниже определений и теорем совпадает с их нумерацией в диссертации.

Первая глава посвящена нахождению классов подмножеств индек-

сов числовых матриц, характеристические функции которых, являются мультипликаторами и идеалах Поймана Шаттона S,, при 1 < ]> < оо.

В параграфе 1.1 собраны основные обозначения и предварительные сведения, используемые в главе.

В параграфе 2.1. мы расширяем теорему Мацаева'1 на характеристические функции множести индексов, отличных от множества Е -- {(',./) : i < у}. Впервые на возможность расширить класс множеств, для которых справедлив аналог теоремы Мацаева, обнаружена в7, где рассмотрен случай множеств {о/ < j;a ■■■- const}.

Обозначим через 9 и ф отображения из множества целых чисел Z u Z, то есть <p(j) и (/'(/) будут являться целочисленным» функциями целочисленного аргумента. Этим функциям поставим в соответствие следующее преобразование матриц а - - {(iij}nz.nz ■

Т / ч / «/•>. ocviti (/•(/) < <f {j), •" 'Л"}" \ о. сели ii'(i) > tf(j).

Очевидно, что это преобразование сводится к обычному преобразованию треугольного усечения, если <p(j) - j и </>(/) ■ •/. Нетрудно видеть, что преобразование так же, как н преобразование треугольного усечения является мульгнллнкатором в пространстве матриц, порожденном характеристической функцией множества Е ----- {(/', j) : </'(/) < y'(j)}. Нашей первой целыо является исследование свойств ограниченности оператора Тфкр в пространствах матриц, соответствующих классам Неймана Шаттепа в пространстве !.■>■ Основной результат главы это доказательство того, что преобразование для произвольных функций (р н ф так же, как и преобразование треугольного усечения, оставляет инвариантными классы Неймана Шаттона при 1 < р < оо. В дальнейшем мы будем отождествлять линейные ограниченные операторы в 1> и соответствуют» е м ат ] >и цы.

Теорема 1.2,1. Для любого 1 < р < оо и любого тщктшщ А €

^Л'Л'ГК'РГ 11Ц. Тс 1|111>| ИП.1Ы1 ] К 11(1.1 X ((licpa ¡'((¡(ОН It 111.11.Г((-[1К»|((1М 11]>(>Г I ¡>,)1ПТП1' >| СС 1Ц II ¡.ИШ'НПЯ

И.Ц. ГихГ*'111\ М.Г. КрсП» М. Наука. НМ>7. Ш г.

7DtHlih* P.G. Ijipsrhity, (((Ill ill1 lity мГ I ¡1С (i i i.s( i[ 111 с value anil Hies/ ¡irujrrl ion in symmetric (ipcnilor span's . P.G.Dodcls. T.K.DoiMs. H.PhkIit. P.A.Subx licv .luiirnal nf ГшШмша! Analysis. 1!M>7. Vol. 11!). К 2« (ifl.

G

где константа 7,, иг. .ттсит от Л, и </.\

Идея доказательства, теоремы состоит в том, что преобразование удастся представить как чат, преобразования треугольного усечения, действующего и пространствах блок-матриц.

Напомним, что мультипликатором Л/„ в пространстве матриц, называется отображение вида

Пусть функции <р н i/' такие же отображения, как и выше. Рассмотрим мультипликатор Л/„ где элементы матрицы и задаются но правилу

Следствие 1.2.2. Мулыпишикатор А/„ огртичааш действует в

пропщжюпве Sr при. I < р < сю.

Вторая глава диссертации посвящена дальнейшему исследованию связи треугольных матриц и интерполяции в пространствах операторов, действующих в разных пространствах. Здесь найдена новая формула для А'-фупкционала в парах алгебр Неймана, действующих в различных гильбертовых пространствах. В результате удалось доказать, что нары "одинаковых" алгебр Неймана, действующие в разных гильбертовых пространствах оказываются А'-ноднараын пары, образованной всеми операторами, действующими в соответствующих пространствах. Это, в свою очередь, позволяет описать пространства Лпонеа-Петре, построенные на паре алгебр Неймана.

Первый параграф этой главы содержит вспомогательные определения и предложения, используемые в главе.

В параграфе 2.2 мы определяем пару алгебр Неймана.

Пусть {//и, Hi} регулярная пара гильбертовых пространств, то есть пересечение 11цС\ И\ плотно в Н» и н Н\. Предположим, что в пересечении алгебр Ц//(,) и /,(//,) содержится подалгебра В, которая является алгеброй Неймана, п в //() и в //j.

м„: {«/Л ^ {«о«,,} -

где и --- {«,,} некоторая матрица

В описанной нами ситуации пространства Я0 и Н\ можно понимать как модули над кольцом В, причем операция умножения на элементы кольца согласована на Но и Яь то есть если h 6 Я0 п #j, В € В, то fi(/i) в fía и B(h) в fíi совпадают. Иными словами пара {Но, Н\] является парой гильбертовых В-модулей. Обозначим Ьв(Яо) и Ьв{Н\) алгебры В-модульных гомоморфизмов в Но и в Н\ соответственно.

Если обозначить Ао коммутант В в Яо, а через А\ коммутант В в #1, то Aj состоит из ограниченных операторов в Hj, коммутирующих со всеми операторами из алгебры Неймана В. Следовательно, Ао = Lb(Hq) и Ai = Ьв(Н\). То есть мы рассматриваем пару

{Л,Л} = {Ьв(Я0),Ьв(Я1)>.

В параграфе 2.3 приводятся конкретные примеры пар гильбертовых пространств, алгебры В и соответствующих пар модульных гомоморфизмов.

Наибольшего внимания заслуживает пример пар алгебр Неймана, порожденных произвольной алгеброй Неймана и присоединенным к ней оператором.

Пусть А - произвольная алгебра Неймана операторов в пространстве Я. Через В обозначим коммутант алгебры А.

Определение 2.3.1. Замкнутый оператор А в Н называется присоединенным к А, если B(D(A)) С D{A) и АВ£ = ВА£ для всех В £ В и £ € D(A). Иными словами оператор А коммутирует со всеми операторами из коммутанта алгебры А.

Обозначим через J неограниченный самосопряженный положительный оператор с областью определения D(J) с Я и KerJ = 0, присоединенный к А. Положим

ЫЫ = И^Ия

для всех £ € D( J).

Обозначим через Hi пополнение D(J) по норме ||£||яг Легко видеть, что

для всех £,ту € D(J).

Можно проверить, что В является алгеброй Неймана в пространстве

Положим Н0 = Н. Тогда можем рассмотреть пару б-модулей

{А,А} = {Ьв(Но),Ьв(Н1)},

которая порождена алгеброй Неймана Л и присоединенным к ней оператором 3.

Данная пара является основным объектом нашего исследования. Это связано с тем, что для данной пары алгебр Неймана удается получить структурную теорему, которой посвящен параграф 2.4. С помощью спектрального разложения оператора 7 строится последовательность С к гильбертовых пространств такая, что пара {Яо, Н\} изоморфна весовой паре векторнозначных последовательностей {/г^], /г^"*^]}. Под ЫФь] будем понимать пространство векторнозначных последовательно-

оо

стей {ха;} таких, что Хк 6 (?ь и ^ Цх^Ц^ < со с нормой

к=~оо

00

II {я*} II ад =

к=-оо

Через 12\2~кСь] будем обозначать пространство векторнозначных после-

00

довательностей {х^} таких, что Хк € £4-, и ^ ||2_,с2;л||с4 < оо с нормой

¿=-00

00

иыиьр-^] = (£ ■

к=—оо

Этот изоморфизм порождает представление алгебр Ло

и *А.[ в виде

пространств Ло и Л\ блок-матриц.

Теорема 2.4.1. Пара {.До, Л\} алгебр Неймана, порожденная алгеброй Неймана Л и присоединенным к ней оператором <7, изоморфна паре пространств матриц {Ао<, А\}, где Л\ состоит из матриц {Ттп}, таких что {2т~пТтп} £ До-

Параграф 2.5 посвящен определению Х-функционала Петре и известным формулам его вычисления в случае пары всех ограниченных операторов, действующих в различных гильбертовых пространствах.

8Мерфи Дж. С*-алгебры и теория операторов / Дж. Мерфи. - М. : Факториал, 1997. - 336 с.

Напомним", что для любой банаховой пары X -- {ЛЦ, A'i} опродслои /\'-фуикцноиал 1 1етре па пространстве Хц + X)-.

К (l.x, X) inf ||.r(l||,v„ -1-фПи,, /X).

•> .1 .1 r I

IJ параграфах 2.6 и 2.7 мм рассматриваем простые примеры нар алгебр Неймана, близких к паре ж ох ограниченных операторов, действующих в различных гильбертовых пространствах, и вычисляем для них /\'-функцноиалы.

В параграфе 2.8 доказывается основной результат второй главы.

Няр.у {//(|,//|} можно отождестннть с парой {h\(h\,k\2 V/Y)}- Через V,, обозначим ортопроектор в Ь|(>а) - Ни иа бесконечную сумму подпространств (п при к < п. 'Гон же буквой обозначим соответствующий ортопроектор в 12\2 *(7<,-] П\.

Неотрицательные (функции /(.т) и у(х.) эквивалентны (обозначается /(:<:) у(х)), сели существуют положительные постоявшие C'i п С'а, такие, что C'hj(x) < /(.г) < С2у(х).

Следствие 2.8.2. Для любого Т е Л» I Л\

К{ 2'',Т,{Л>,Л})

х sup \\V„4,T[l-Р„)\\л, I 2" sup \\(I - V,n„)TV,,\\Ar

-x.<:n<x. xOfC-x:

Даже в случае алгебр всех операторов, последнее выражение представляет гобои новую формулу для Л'-функцнонала. Поскольку вычисление проекторов V,,, очевидно, может вызвать затруднения, чтя формула для вычисления Л'-функцнонала не очень удобна. Однако, она полезна тем, что из нее вытекает

Теорема 2.8.1. Jlyam, {Дь Л|} пара алгебр Неймана, порожденная алгеброй Неймана А и присоединенным к ней тс.рипорам ./. тогда для любого (I Е .Ли I А\

А'(/,//,{ЛьЛ}) X Л'(/,ГЛ{ВД|)./'№)})•

Это означает, что пара алгебр Неймана {<4[i,.4i} является Л-нодпарой нары {/,(//[,), 1,{Н\)}.

"ilrpr ii. И|п''']||1(,.1Я11И,hiiii.Ii' п]><ктрапгnt;i Itm.дпшг II. Псрг. II 1 ii}к i]к'-м М. : Мир. ЮНО.

2М г.

Параграф '2.9 посвящен описанию пространств Лнопса.-Петре

(Л), A\)i>.i,.

Пуст]. О < 0 < 1, 1 < р < ос. Как обычно, черсч (Хц, X|)W/> обочпачим пространство, состоящее нч х £ Хц I таких, что

V 'Kit^AXibXMydt <оо

(I

с: соответствующей iiopMoii.

Если р ■■■■ оо, то пространство (Хц, Xi)a.x состоит пч .т £ Хц I Л"! таких, что

sup --------------------< оо.

В работе' описаны пространства. (L(Hо), L{ll\))o.p и т<4)ынна.х матриц. Результаты предыдущего параграфа позволяют описать с их помощью и пространства (Ль А\)о.,,.

Теорема 2.9.1. Для нсп: 0 < 0 < 1, 1 < р < оо

(А,Ак„ (/.(//о),^(//:))«.„П(Л) I At).

Вернемся к определению пары {Ao.At}. Операторы нч алгебры В (коммутанта Ао и Ai) ограниченно действуют и и //<], и в Н\. Япачпт, операторы нч алгебры В ограниченно действуют и в //цП //| п н //() I II¡. Следовательно, для отображений Т € ЦУ/цП//] —+ //ц-|7/|) можно oii|xv дслить понятие перестановочности с операторами нч В. Иными словами, равенство

ТВ ИТ.

где В € В.

Обозначим через Ah пространство тех Т € Ц//ц П If] --» 11ц I /7|), которые удовлетворяют равенству ТВ ИТ. Теорема 2.9.2. Щюсшщпстиа

А. I А\ (/Д7/„) 1 ф/,))ПЛг'.

Следствие 2.9.1. Нроащктпшю (Дь A\)i).tl состоит ш тех жеманное щюстраиашш {L(H(t), /,(//())Лр, которые, пг.рсашииннгчпы с любыми операторами и.< алгебры В. то есть

(Л, Л)«,, - (/-.(//„), ОД))».„ П/. 1 1

В третьей главе рассмотрено необходимое и достаточное условие расширения верхнетреугольной неполной матрицы до вполне непрерывного оператора. На основе этого установлено, что пара пространств вполне непрерывных операторов, действующих в различных гильбертовых пространствах, являются К"-подпарой соответствующей пары всех ограниченных линейных операторов.

В параграфе 3.1-3.2 рассмотрены вспомогательные факты о расширении конечных верхнетреугольных матриц, подобные результатам В. Ар-весона10 и С. Пэррота11.

Неполной матрицей мы будем считать функцию, заданную не на всем множестве индексов -со < г, j < оо, а на его некотором подмножестве.

В параграфе 3.3 дается ответ на вопрос о вполне непрерывном продолжении верхнетреугольной бесконечной блок-матрицы.

Напомним, что через Vn, обозначен ортопроектор на бесконечную сум-

п

му подпространств © Gk С h[Gk] , то есть для х = {х*} ё h\Gk]

k=—со

, . J Xfc, если к < п,

-in. . ^

1 0, если к > п.

Последовательность проекторов {Рп} монотонная, и Vn f /, если п —* -foo, и Vn | 0, если п —» —оо.

Рассмотрим произведение V„T(I—Vn-i). Нетрудно видеть, что в матричной форме действие этого оператора имеет вид

(00

R™ прит-п'

О, при т> п.

Поэтому такой оператор определен не только в случае полной матрицы Ттп, но и в случае верхнетреугольной неполной матрицы. Таким образом, верхнетреугольная матрица Т может задать последовательность операторов, которую по-прежнему будем обозначать VnT(I — Vn-i), дей-

10Arveson W. Interpolation problems in nest algebras / W. Arveson // Journal of Functional Analysis. - 1975. - Vol. 20. - P, 208-233.

"Parrott S. On a quotient norm and the Sz.-Nagy-Foias lifting Theorem/ S. Parrott // Journal of Functional Analysis. - 1978. - Vol. 30. - P. 311-328.

ствующих во всем пространстве hlGk]- Предположим, что все такие операторы равномерно ограничены, и обозначим через

||?||= sup \\Vnf{I-V,^)\\.

—оо<п<оо

Известно (см.11 или12), что верхнетреугольную матрицу Т можно расширить до ограниченного оператора, тогда и только тогда, когда

sup ||Vnf{I - Рп_!)|| < оо.

—00<7l<00

Причем существует расширение, у которого норма ра.вна ||Т||. Однако это продолжение не обязательно является вполне непрерывным оператором. В данной главе мы находим необходимое и достаточное условие на верхнетреугольную неполную матрицу, гарантирующее существование вполне непрерывного оператора (без оптимальности нормы).

Теорема 3.3.1. Пусть Т - верхнетреуголъиая матрица. Для того чтобы ее можно было расширить до вполне непрерывного оператора Т в h[Gk] необходимо и достаточно, чтобы операторы VnT(I — Vn-\) были вполне непрерывны и

||РПТ(7-РП-1)1Н0

при п —+ ±оо.

Параграф 3.4 посвящен вычислению .¿Y-функционала в паре пространств вполне непрерывных операторов.

Через Soo(H), как обычно, обозначается пространство всех вполне непрерывных линейных операторов в пространстве Н.

Алгебры операторов Soo(Hq) и Sx(Hi) естественным образом порождают интерполяционную пару {S00(Ho),SrXl(Hi)}

Теорема 3.4.1. Пусть {¿¡^(Яо), ¿^(//j)} пара пространств вполне непрерывных операторов. Тогда для любого оператора Т б Sx(Hq) +

Soo{Hl)

Kit^iS^WM)}) х Ar(i,T,{L(tfo),L№)}).

Таким образом, пара {¿^(Яц), ¿^(^l)} является К-подпарой пары всех ограниченных операторов.

В четвертой главе мы рассматриваем общую задачу о продолжении неполных подматриц. Точная формулировка задачи такова.

Пусть {а^} неполная матрица, то есть {%}(!,^ео, где О С 2x2, а2 - множество целых чисел. Если £> — {('',.?) : г < j}, то неполная матрица называется верхнетреугольной матрицей.

Определение 4.1.1. Неполная матрица А будет, называться прямоугольной, если И = Р х в, где Р, С С 2.

Определение 4.1.2. Неполную матрицу {ау}(у)ео будем называть квазитреугольной, если найдутся такие функции р \ Ъ —> Ъ и ф : 2 —> %, что множество В состоит из (г, д) таких, что ^{г) <

Пусть / : 21 —► С скалярная функция, заданная на некотором множестве 21 прямоугольных подмалриц.

Определение 4.1.3. Функция/(Л), А 6 21, будет называться стремящейся к нулю на бесконечности, если для любого е > О существует конечное множество Де с Ъ х Ъ такое, что для всех А £ 21, лежащих в дополнении справедливо неравенство |/(А)| < е.

Под /2(^3), где й С 2, будем понимать гильбертово пространство последовательностей {я;} ¿еС с нормой ||я||,2(с) = 1*г|2)1/2-

_ ¿ее

Теорема 4.2.1. Пусть Т - произвольная квазитреугольная неполная матрица. Для продолжения Т до матрицы вполне непрерывного оператора необходимо и достаточно, чтобы все ее прямоугольные подматрицы {оу^г^е^хс порождали вполне непрерывные операторы, действующие из пространства в пространство ЫР), и нормы

этих подматриц стремились к нулю па бесконечности.

Аналогичная теорема справедлива и в случае продолжения квазитреугольной неполной матрицы до матрицы ограниченного оператора.

Теорема 4.2.2. Пусть Т - произвольная квазитреугольная неполная матрица. Для продолжения Т до матрицы ограниченного оператора ¿2(2) необходимо и достаточно, чтобы все ее прямоугольные подматрицы {аг-Л(м)е.Р,хб' порождали ограниченные операторы, действующие из пространства ¿г (С) в пространство 1ъ{Р), и нормы этих подматриц были равномерно ограничены.

Публикации автора по теме диссертации

[1] Беломытцева Е.Г. Обобщение теоремы Мацаева о мультипликаторах / Е.Г. Беломытцева // Современные методы теории функций и смежные проблемы : Воронежская зимняя мат. шк. Тез. докл. - Воронеж : ВГУ, 2001. - С. 40-41.

[2] Беломытцева Е.Г. О мультипликаторах в пространствах матриц / Е.Г. Беломытцева // Сборник трудов молодых ученых математического факультета ВГУ. - Воронеж : Воронеж, гос. псд. ун-т, 2001. - С. 6-13.

[3] Беломытцева. Е.Г. О /^-функционале в парах: алгебр фон Неймана / Е.Г. Беломытцева // Труды молодых ученых физико-математического факультета : Межвуз. сб. тр. - Курск, 2001. — С. 21-30.

[4] Беломытцева Е.Г. Вычисление Х-функционала в паре алгебр фон Неймана / Е.Г. Беломытцева // Современные методы в теории краевых задач "Понтрягинские чтения - XII": Воронежская весенняя мат. шк. Тез. докл. - Воронеж : ВГУ, 2001. - С. 18-19.

[5] Беломытцева Е.Г. Вещественный метод интерполяции для пар алгебр Неймана / Е.Г. Беломытцева, В.И. Овчинников // Труды математического факультета. - Воронеж : ВорГУ, 2001. - Вып. 5. - С. 10-23.

[6] Беломытцева Е.Г. О парах алгебр Неймака / Е.Г. Беломытцева, В.И. Овчинников // Воронежская зимняя математическая школа-2002. - Воронеж : ВорГУ, 2002. - С. 7-8.

[7] Беломытцева Е.Г. Вполне непрерывные продолжения подматриц / Е.Г. Беломытцева // Сборник трудов молодых ученых математического факультета ВГУ. - Воронеж : Воронеж, гос. ун-т, 2003.- С. 20-28.

[8] Беломытцева Е.Г. Расширение матриц / Е.Г. Беломытцева // Воронежская зимняя мат. шк. - 2004. - Воронеж : ВорГУ, 2004. - С. 20-21.

[9] Беломытцева Е.Г. О продолжении неполных матриц до вполне непрерывных операторов в Ц / Е.Г. Беломытцева // Современные методы теории краевых задач : материалы Воронежской весенней мат. шк. "Понтрягинские чтения - XX". - Воронеж : ВГУ, 2009. - С. 22-23.

[10] Беломытцева Е.Г. О продолжении неполных матриц до вполне непрерывных операторов / Е.Г. Беломытцева // Математические заметки. -2010. - Т. 87, N3.-0. 453-455.

Работа [10] опубликована в издании, соответствующем списку ВАК РФ.

Подписано и печать 24.09.10. Формат 60*84 '/|6, Усл. печ. л. 0, Тираж 100 экз. Заказ 1222

Отпечатано с готового оригинала-макета в типографии Издательско-полиграфического центра Воронежского государственного университета. 394000, Воронеж, ул. Пушкинская, 3.

Введение

I. Мультипликаторы в пространствах матриц

1.1. Вспомогательные определения.

1.2. Преобразование %р<г.

II. Вещественный метод интерполяции для пар алгебр Неймана

2.1. Вспомогательные определения.

2.2. Определение пар алгебр фон Неймана.

2.3. Примеры пар алгебр фон Неймана.

2.4. Структурная теорема для пар алгебр Неймана

2.5. ^-функционал.

2.6. Вычисление ^-функционала в паре {а42(#0)> а42(Я1)} •

2.7. Вычисление ^-функционала в паре {М^(Яо), М£2(Ях) }

2.8. Вычисление /('-функционала в паре модульных гомоморфизмов {Ьв(Но), Ьв(Н\)}.

2.9. Описание пространств (Ло, Л^в,р.

III. Вполне непрерывные продолжения неполных треугольных матриц

3.1. Расширение блок-матрицы 2 X 2 до вполне непрерывного оператора.

3.2. Случай конечных верхнетреугольных блок-матриц

3.3. Случай бесконечных блок-матриц.

3.4. Вычисление ^-функционала для пар пространств вполне непрерывных операторов {^(До), З^Щ)}

IV. Общая задача продолжения неполных матриц до вполне непрерывных операторов

4.1. Вспомогательные определения.

4.2. Теорема о вполне непрерывном продолжении.

Изучение пространств операторов и изучение свойств треугольных матриц взаимодействуют, по-видимому, с самого начала возникновения этих понятий в теории операторов. Один из важнейших результатов, касающийся этих объектов, - это знаменитая теорема В.И. Мацаева, доказавшего, что преобразование треугольного усечения действует во всех идеалах Неймана-Шаттена при 1 < р < оо. Этот результат был дополнен исследованием треугольных усечений в пространствах вблизи краев шкалы Бр, что привело к введению и изучению идеалов операторов, отличных от идеалов Неймана-Шаттена, аналогов функциональных пространств Лоренца и Мар-цинкевича. Преобразование треугольного усечения является частным случаем мультипликаторов Шура, которые подробно изучались в виде трансформаторов, задаваемых двойными операторными интегралами в работах М.Ш. Бирмана и М.З. Соломяка (см., например обзор [14]). Содержательные результаты о подпространствах треугольных матриц в симметрично - нормированных идеалах были получены в работах Ж.Пизье (см., в частности [46]). В работах В.И. Овчинникова [31],[32],[33] было замечено, что при изучении интерполяции между пространствами операторов, действующих в разных гильбертовых пространствах естественно возникают подпространства треугольных матриц. С их помощью описываются пересечения пространств операторов, сумма и тому подобные преобразования пространств. Данная работа примыкает к указанному кругу задач.

Часть результатов относится к свойствам мультипликаторов Шура, близких к преобразованиям треугольного усечения. Как известно, для некоторых подмножеств индексов бесконечной матрицы, преобразование, определяемое умножением на характеристическую функцию этого подмножества, задает оператор неограниченный в классах Неймана-Шаттена. (Это означает, что такие пространства не являются функциональными решетками матриц см. [41].) Теорема Мацаева говорит о том, что умножение на характеристическую функцию множества индексов, определяющих верхнетреугольную часть матрицы, все же является ограниченным оператором во всех идеалах Неймана-Шаттена 5Р при 1 < р < оо. В первой главе данной диссертации найден довольно широкий класс подмножеств индексов таких, что умножение на характеристическую функцию этих подмножеств, определяет преобразование, действующее в идеалах Бр при 1 < р < оо, подобно теореме Мацаева. Это позволило, найти новые ограниченные мультипликаторы Шура в классах Бр.

Вторая глава посвящена развитию идеи В.И. Овчинникова о связи треугольных матриц и интерполяции в пространствах операторов, действующих в разных пространствах. Здесь найдена новая формула для ^-функционала в парах алгебр Неймана, действующих в различных гильбертовых пространствах. В результате удалось доказать, что пары "одинаковых" алгебр Неймана, действующие в разных гильбертовых пространствах оказываются К-подпарами пары, образованной всеми операторами, действующими в соответствующих пространствах. Это, в свою очередь, позволяет описать пространства Лионса-Петре, построенные на паре алгебр Неймана.

В третьей главе результаты о расширении треугольных матриц применяются для изучения пары пространств вполне непрерывных операторов, действующих в разных гильбертовых пространствах. Здесь так же, как и в случае пары алгебр Неймана, оказалось, что пара вполне непрерывных операторов является /Г-подпарой пары ограниченных операторов. Для доказательства этого факта пришлось обобщить результаты С. Пэрротта (см.[45]) и В. Арвесона (см. [36]) о вполне непрерывном расширении треугольных матриц.

В четвертой главе найдено как необходимое так, и достаточное условие существования ограниченного и вполне непрерывного продолжения для специального класса неполных матриц, значительно расширяющих класс треугольных неполных матриц.

1. Ахиезер Н.И. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве / Н.И. Ахиезер, И.М. Глазман - М. : Наука, 1966. -443 с.

2. Беломытцева Е.Г. Обобщение теоремы Мацаева о мультипликаторах / Е.Г. Беломытцева // Современные методы теории функций и смежные проблемы : Воронежская зимняя мат. шк. Тез. докл. Воронеж : ВГУ, 2001. - С. 40-41.

3. Беломытцева Е.Г. О мультипликаторах в пространствах матриц /Е.Г. Беломытцева / / Сборник трудов молодых ученых математического факультета ВГУ. Воронеж : Воронеж, гос. пед. ун-т, 2001. - С. 6-13.

4. Беломытцева Е.Г. О /Г-функционале в парах алгебр фон Неймана / Е.Г. Беломытцева // Труды молодых ученых физико-математического факультета : Межвуз. сб. тр. Курск, 2001. -С. 21-30.

5. Беломытцева Е.Г. Вычисление /^-функционала в паре алгебр фон Неймана / Е.Г. Беломытцева // Современные методы в теории краевых задач "Понтрягинские чтения XII": Воронежская весенняя мат. шк. Тез. докл. - Воронеж : ВГУ, 2001. - С. 18-19.

6. Беломытцева Е.Г. Вещественный метод интерполяции для пар алгебр Неймана / Е.Г. Беломытцева, В.И. Овчинников // Труды математического факультета. Воронеж : ВорГУ, 2001. - Вып. 5. - С. 10-23.

7. Беломытцева Е.Г. О парах алгебр Неймана / Б.Г.Беломытцева, В.И.Овчинников // Воронежская зимняя математическая школа-2002. Воронеж : ВорГУ, 2002. - С. 7-8.

8. Беломытцева Е.Г. Вполне непрерывные продолжения подматриц / Е.Г. Беломытцева // Сборник трудов молодых ученых математического факультета ВГУ. Воронеж : Воронеж, гос. ун-т, 2003.- С. 20-28.

9. Беломытцева Е.Г. Расширение матриц / Е.Г. Беломытцева // Воронежская зимняя мат. шк. 2004. - Воронеж : ВорГУ, 2004. - С. 23-24.

10. Беломытцева Е.Г. О продолжении неполных матриц до вполне непрерывных операторов в 12 / Е.Г. Беломытцева // Современные методы теории краевых задач : материалы Воронежской весенней мат. шк. "Понтрягинские чтения XX". - Воронеж : ВГУ, 2009. - С. 22-23.

11. Беломытцева Е.Г. О продолжении неполных матриц до вполне непрерывных операторов / Е.Г. Беломытцева // Математические заметки. 2010. - Т. 87, N 3.- 0. 453-455.

12. Берг Й. Интерполяционные пространства. Введение / Й. Берг, Й. Лёфстрём. М. : Мир, 1980 - 264 с.

13. Бирман М.Ш. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве / М.Ш. Бирман, М.З. Соломяк Л. : ЛГУ, 1980. - 264 с.

14. Бирман М.Ш. Оценки сингулярных чисел интегральных операторов / М.Ш. Бирман, М.З. Соломяк // Успехи математических наук. 1977. - Т. 32. - Вып. 1(193). - С. 17-84.

15. Браттели У. Операторные алгебры и квантовая статистическая механика / У. Браттели, Д. Робинсон. М. : Мир, 1982. - 512 с.

16. Гохберг И.Ц. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве / И.Ц. Гохберг, М.Г. Крейн. М. : Наука, 1965. - 448 с.

17. Гохберг И.Ц Теория вольтеровых операторов в гильбертовом пространстве и ее приложения / И.Ц. Гохберг, М.Г. Крейн. М. : Наука, 1967. - 448 с.

18. ДанфордН. Линейные операторы. Общая теория / Н. Данфорд, Дж. Шварц. М. : Иностр. лит,-1962. - 563 с.

19. Диксмье Ж. С*-алгебры и их представления. / Ж. Диксмье. -М. : Наука, 1974. 399 с.

20. Дмитриев В.И. Основы теории интерполяции линейных операторов / В.И. Дмитриев, С.Г. Крейн, В.И. Овчинников // Геометрия линейных пространств и теория операторов. Ярославль : ЯрГУ, 1977. - С.31-74

21. Крейн С.Г. Интерполяция линейных операторов / С.Г. Крейн, Ю.И. Петунин, Е.М. Семёнов. М. : Наука, 1978. - 400 с.

22. Крейн С.Г. Функциональный анализ / С.Г. Крейн. М. : Наука, 1977. - 367 с.

23. Лидский В.Б. Несамосопряженные операторы, имеющие след / В.Б. Лидский // ДАН СССР. 1958. - Т. 125,- N 3.- С. 485-488.

24. Люстерник Л.А. Элементы функционального анализа / Л.А. Люстерник, В.И. Соболев. М. : Наука, 1965. - 520 с.

25. Мацаев В.И. О вольтеровых операторах, получаемых возмущением самосопряженных / В.И. Мацаев // ДАН СССР. 1961. -Т. 139, - N 4. - С. 810-814.

26. Мерфи Дж. С*-алгебры и теория операторов / Дж. Мерфи. -М. : Факториал, 1997. 336 с.

27. Наймарк М.А. Нормированные кольца / М.А. Наймарк. М. : Наука, 1968. - 664 с.

28. Овчинников В.И. Когерентно ядерные операторы в парах гильбертовых пространств / В.И. Овчинников // Математические заметки. 1998. - Т. 63, N 6.-0. 866-872.

29. Овчинников В.И. Интерполяция операторов класса Зр в гильбертовых парах / В.И. Овчинников // Математические заметки. 1980. - Т. 27, N 2.-0. 273-282.

30. Овчинников В.И. Интерполяция в симметрично-нормированных идеалах операторов, действующих в различных гильбертовых пространствах / В.И. Овчинников // Функциональный анализ и его приложения. 1994. - Т. 28, N 3. - С. 80-82.

31. Овчинников В.И. Расширение подматриц и некоммутативное пространство ВМО / В.И. Овчинников // Труды математического факультета. Воронеж : ВорГУ, 1999. - Вып. 4. - С. 72-77.

32. Овчинников В.И. Некоммутативные пространства ВМО, когерентная ядерность и ограниченные расширения матриц / В.И. Овчинников // Докл. РАН. 1998. - Т. 363, N 1. - С. 17-19.

33. Овчинников В.И. Некоммутативные аналоги пространств гладких функций / В.И. Овчинников // Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ : Междунар. конф., Москва, 27 апреля-3 мая 1995. - С. 208-209

34. Овчинников В.И. Оптимальная интерполяционная теорема для квазибанаховых пространств 1р с весами и для операторов из классов Неймана Шаттена в гильбертовых парах / В.И. Овчинников // Математические заметки. - 1993. - Т. 53, N 2. - С. 94-99.

35. Хилле Э. Функциональный анализ и полугруппы / Э. Хилле, Р. Филлипс. М. : Изд-во иностр. лит., 1962. - 829 с.

36. Arveson W. Interpolation problems in nest algebras / W. Arveson // Journal of Functional Analysis. 1975. - Vol. 20. - P. 208-233.

37. Brudnyi Ju.A. Interpolation Functors and Interpolation Spaces / Ju.A. Brudnyi, N.Ya. Krugliak. Amsterdam : North Holland., 1991. - 632 p.

38. Davidson K.R. Nest algebras / K.R. Davidson London : Longman Sci. and Techn., 1988. - 411 p.

39. Dodds P.G. Lipschitz continuity of the absolute value and Riesz projection in symmetric operator spaces / P.G. Dodds, T.K. Dodds, B. Pagter, F.A. Sukochev // Journal of Functional Analysis. 1997. - Vol. 148. - P. 28-69.

40. Dodds P.G. Lipschitz continuty of the absolute value in preduals of semifinite factors / P.G. Dodds, T.K. Dodds, B. Pagter, F.A. Sukochev // Journal of Functional Analysis. 1997. - Vol. 148. - P. 1-35.

41. Kwapien S. The main triangle projection in matrix spaces and its application / S. Kwapien, A. Pelczynski // Studia Mathematica. -1970. Vol. 34. - P. 43-68.

42. Lewis D.R. An isomorphic charecterization of the Schmidt class / D.R. Lewis // Compositio Mathematica. 1975. - Vol.30. - N 3. -P. 293-297.

43. Nehari Z. On bounded bilinear forms / Z. Nehari // Annals of Mathematics. 1957. - Vol. 65. - P. 153-162.

44. Ovchinnikov V.l. Lions-Peetre Construction for Couples of Operator Spaces / V.l. Ovchinnikov // Russian Journal of Mathematical Physics. 1995. - Vol. 3. - P. 407-410.

45. Parrott S. On a quotient norm and the Sz.-Nagy-Foias lifting Theorem / S. Parrott // Journal of Functional Analysis. ~ 1978. Vol. 30. - P. 311-328.

46. Pisier G. Interpolation between Hp spaces and non-commutive generalization I / G. Pisier // Pacific Journal of Mathematics. -1992. Vol. 155. - N 2. - P. 441-468.