Аппелеподобные полиномы одного и двух переменных и их приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Глава I. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И РЕЗУЛЬТАТЫ.

§ 0. Введение

0.1. Аппелеподобные полиномы (4). 0.2. Полиномы класса ¡Й^ (7). 0.3. О структуре диссертации (8).

§ I. Известные факты и постановка задач

1.1. Связующие постоянные (9). 1.2. Двумерные аналоги полиномов из и 1.3. Операторная характеризация полиномов из (14). 1.4. Разложения в ряды функций, аналитических в начале координат (16).

1.5. Разложения целых функций по аппелеподобным полиномам и полиномам класса Л^ (19). 1.6.Дифференциальные уравнения бесконечного порядка в пространствах функций одного и многих переменных (20). :

§ 2. Обзор полученных результатов.

2.1. Содержание главы 2 "Отображения классов полиномов" (22). 2.2. Содержание главы 3 "Базис-ность полиномов" (29).

Глава 2. ОТОБРАЖЕНИЯ КЛАССОВ ПОЛИНОМОВ.

§ 3. Матричные отображения

3.1. Постоянные матрицы (37). 3.2. Полиномиальные матрицы Теплица (47). 3.3. Полиномиальные матрицы Вронского (52). ^

§ 4. Отображения полиномов из М$9 и Вг '

4.1. Алгебраическая структура (57).

4.2. Примеры аппелеподобных полиномов двух переменных (60). (¿^

4.3. Алгебраическая структура и% (61).

§ 5. Отображения полиномов из и 01 * дифференциальными операторами бесконечного порядка

5.1. Определения основных операторов (65). 5.2.Отображение Дб^г, в Д£6» (68). 5.3. Примеры (73).

5.4. Отображение MS, в ж (74). 5.5. Отображения Вт/2 в и в (76).

§ 6. Аппелеподобные полиномы как собственные функции дифференциальных операторов

6.1. Операторы бесконечного порядка (80). 6.2.Операторы фиксированного порядка (85).

§ 7. Исследование свойств аппелеподобных полиномов с помощью дифференциальных операторов бесконечного порядка.

7.1. Операторы, инвариантные относительно обобщенного сдвига (88). 7.2. Операторная характеризация полиномов (91). 7.3. Теорема об изоморфизме (95).

Глава 3. БАЗИСНОСТЬ ПОЛИНОМОВ.

§ 8. Пространство

Лр р.

8.1. Квазистепенная базисность полиномов из JlßSg, (98). 8.2. Базисность полиномов из

Вгсг'2) (104).

§ 9. Базисность полиномов в пространствах целых функций двух переменных

9.1. Пространство (107). 9.2. Базисность аппелеподобных полиномов в (НО). 9.3.

Базисность полиномов из в {tf^jä] (III).

9.4. Базисность полиномов из в пространстве целых функций двух переменных экспоненциального типа (112).

§ 10. Отображения функциональных пространств матричными и дифференциальными операторами.

10.1. Матричные операторы (117). 10.2. Дифференциальные операторы бесконечного порядка (119). 10.3. Дифференциальные операторы в пространствах функций одного переменного (125). 10.4. Дифференциальные операторы, порожденные операторами 1)% и (127).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [13] , [42-4б] и [49] . В [42] , [43] исследованы отображения полиномов классов и с помощью полиномиальных нижнетреугольных матриц, идея и постановка основных задач принадлежит В.А.Какичеву. В § 3 это исследование получило дальнейшее развитие. В статье [*1з] сформулированы результаты дипломной работы автора. Задачи работы [4б] также поставлены В.А.Какичевым, а доказательство принадлежит диссертанту. В статье ¡49] автором осуществлено сведение задачи о базисности полиномов из Л и примитивных функций к двумерной краевой задаче Римана. Решение краевой задачи и окончательная формулировка теоремы принадлежит В.А. Какичеву.

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на научно-исследовательских семинарах в Ростовском госуниверситете (1977, рук. проф. B.C.Рогожин, 1982, рук. проф. Ю.Ф.Коробейник, 1984, рук. доц. В.П.Захарюта), в Московском госуниверситете (1977, рук. проф. Ю.А.Казьмин), в Черновицком госуниверситете (1982, рук. доц. Н.И.Нагнибида), в Ленинградском госпединституте (1982, рук. проф. В.С.Веденский), на городском семинаре по дифференциальным уравнениям и уравнениям матем. физики (г.Ленинград, 1982, рук. проф. Н.М.Матвеев), в институте математики и механики АН АзССР (рук.академик АН АзССР И.И.Ибрагимов, 1983), в Одесском отделении института экономики АН УССР (1984, рук. проф. Г.С.Литвинчук), на 1У конференции математиков Белоруссии (г. Минск, 1975), на Ш конференции "Комплексный анализ и его приложения" (Черноголовка, 1983), на конференции "Герценовские чтения" (г. Ленинград,1983), на УШ научно-технической конференции факультета математических знаний Куйбышевского политехнического института (1983), в УШ школе по теории операторов в функциональных пространствах (г.Рига, 1983), а также на семинарах научного руководителя доцента В.А.Какичева (г.Таганрог, I98I-I983 г.г.).

Автор приносит свою искреннюю благодарность В.А.Какичеву за постановку задач, постоянное внимание и помощь в работе, чтение рукописи диссертации, И.И.Ибрагимову,Ю.Ф.Коробейнику,Ю.А.Казьмину , Г . С .Лит винчуку , Н . М . Мат вее ву , Н . И . Нагнибиде , В. С . Веденскому , В.Б.Ожегову,В.П.Подпорину,А.В.Братищеву за полезные советы и замечания.

Глава 2.

ОТОБРАЖЕНИЯ КЛАССОВ ПОЛИНОМОВ

§ 3. Матричные отображения.

3.1. Постоянные матрицы.

Через будем обозначать оператор с нижнетреугольной матрицей «к » где - постоянные. Следовательно, функции ш) у введенные формулой (1.2), не зависят от? , а производящая функция последовательности Ц-Т^р согласно (1.4) такова: ^ к=о

3.1.1. Отображение мз в м$ .

Найдем матрицу оператора , отображающего р= ]■ в ~ { В , Ь} . Приравнивая коэффициенты при 2*"" в равенстве к Й)Х Ш = 5(Ш) Ф[лк(иг)], получим систевд^ бесконечного числа уравнений

3.1)

РктТк к-т' m=0>í,2 ,. , относительно неизвестных Тк(иг), ,

Систему (3.1) можно записать в виде матричного уравнения так

Ф-Т( = й (иг)-М-О (их), (3.2) где

-вектор-столбцы, XI = { /- бесконечная диагональная матрица, а Ф« { рпк < оо - верхнетреугольная матрица, составленная из коэффициентов полиномов последовательности см. (0.3), (0.4)).

Из (0.4) видно, что все элементы главной диагонали матрицы ф отличны от нуля и поэтому Ф имеет единственную обратную матрицу ÎP . Согласно [7] (Р - также верхнетреугольная матрица, образованная элементами последовательности|ЛИК порожденной равенствами (0.6). Решая матричное уравнение (3.2), найдем, что Ты* В (ur)-9-JU-Q(w) и, значит,

2,. . (з.з)

Тп

Утверждение 3.1. Существует единственный оператор , отображающий заданную последовательность р=в заданную последовательность Cj =■ { Й , h { ; элементы inh, соответствующей ему матрицы Т порождены функциями (3.3).

Если р и Cj - последовательности одного класса {*, • }, то, как легко видеть, функции имеют особенно простой вид

Тк * d(lV)pK(w) , . , (3.4) где сl(0)*û, р(0)*0, р'(0)Ф0.

Заметим, что результаты Брауна и Голдберга [il] представляют собой частный случай утверждения 3.1 для последовательностей из класса Sk.

Легко показать, что оператор , у которого элементы in и » < о® j соответствующей ему матрицы Т порочены функциями (3.4), отображает любой класс ' } на себя, при этом последовательность { Л, Ш, J \ указанный оператор отображает на последовательность Cj - , } .

Очевидно, для произвольной пары р и Cj аппелеподобных последовательностей соотношение (3.4) не имеет место. Например, для р=

ФУ^Ч1«* Ti Си/) таковы:

- 39 -/ ^

Сформулированные результаты позволяют легко строить матрицы операторов Тс , отображающих известные полиномиальные проследовательно сти друг в друга ( см. например, таблицу 2, в которой через Ак(иУ) обозначены степенные ряды

А Ул „Л- 2ми-]^^

Птгк {п/ и ®К "и/ ' где уЦ - произвольное вещественное число).

1. Ожегов В.Б. О некоторых экстремальных свойствах обобщенных полиномов Алпеля.-Докл. АН СССР. 1964, т.159, №5,с.985-987.

2. Какичев В.А., Деревянченко Г.Д. Определение и некоторые формальные свойства аппелеподобных полиномов двух переменных. В сб: Матем. анализ и теория функций, М, МОПИ. 1973, №2, с. 146-158.

3. Висков О.В. Операторная характеризация обобщенных полиномов Аппеля. Докл. АН CCGP. 1975, т.225, №4, с. 749-752.

4. Хапланов М.Г. Линейные преобразования аналитических пространств Докл. АН СССР. 1951, т. 80, № I, с. 21-24.

5. Хапланов М.Г. Матричный признак базиса в пространстве аналитических функций. Докл. АН СССР. 1951, т. 80, № 2, с. 177-180.

6. Литвинчук Г.С., Хапланов М.Г. О базисах и полных системах в пространстве аналитических функций двух переменных. Успехи матем. наук. 1957, т. 4 (76), № 12, с. 319-325.

7. Литвинчук Г.С. О некоторых базисах в пространстве аналитических функций двух переменных. Научные доклады высшей школы, физ.-мат. науки. 1959, № 2, с. 49-55.

8. Казьмин Ю.А. О полиномах Аппеля. Матем. заметки. 1969, т. 6, №2, . с. I6I-I72.

9. Коробейник Ю.Ф. Составные операторные уравнения в обобщенных производных и их приложения к последовательностям Аппеля. -Матем. сборник. 1977, т. 102,. № 4,л. 445 498.- 132

10. Линчук С.С., Нагнибцца Н.И. О квазистепенных базисах в аналитических пространствах. Сиб.матем.журн. 1974, т. 15, № 3, с.555-561.

11. Ибрагимов И.И. Методы интерполяции функций и некоторые их применения. М: Наука, 1971. - 520 с.

12. Казьмин Ю.А. Сингулярные точки и разложения Аппеля. Math & ticci . 1970, т. 12, № I, с. 78-85.

13. Казьмин Ю.А. О разложении в ряды по полиномам Аппеля. Матем. заметки. 1969, т. 5, № 5, с. 509-520.

14. Казьмин Ю.А. О базисе из последовательных примитивных. -Матем. заметки. 1968, т. 3, с. 237-246.

15. Ибрагимов И.И., Нагнибида Н.И. Матричный метод и квазистепенные базисы в пространстве аналитических в круге функций. Успехи матем. наук. 1975, т. 30, № 6, с. 101-146.

16. Нагнибида M.I. Ще раз про многочлены Аппеля, Матер'|али Юв -лей.конферен.молодих науковц}в Буковини з проблем, природ, наук. Черновцы. 1970.

17. Нагнибида Н.И. К вопросу о баэисности полиномов Аппеля в пространстве аналитических функций.-Тезисы докл. УП Всесоюзной конферен. по теории функций комплекс, перем. Харьков, 1971, с.155-157.

18. Коробейник Ю.Ф. Исследование дифференциальных уравнений бесконечного порядка с полиномиальными коэффициентами с помощью операторных уравнений интегрального типа.-Матем.сборник. 1959, т. 49 (91), № 2, с. 195-206.

19. Коробейник Ю.Ф. Об аналитических решениях уравнения бесконечного порядка с многочленными коэффициентами. Известия ВУЗов, сер.математика. 1959, т.10, № 3, с. 130-146.

20. Коробейник Ю.Ф. Об одном классе дифференциальных уравнений бесконечного порядка с переменными коэффициентами.- Известия вузов, математика. 1962, т. 29, № 4, с. 73-80.

21. Коробейник Ю.Ф. Некоторые применения теории нормально разрешимых операторов к дифференциальным уравнениям бесконечного порядка. ?víáTeM.сборник. 1967, т. 72(114), № I, с. 3-37.

22. Коробейник Ю.Ф. Об одном классе уравнений бесконечного порядка в обобщенных производных.- Лит.матем.сб. 1967, т. 4, № 4, с. 497515.

23. Коробейник Ю.Ф., Донсков Ю.М. Аналитические решения уравнений Эйлера бесконечного порядка.- Известия вузов, математика. 1969, т.90, № II, с. 44-52.

24. Гече Ф.Н., Курей А.И. 0 целых решениях линейных дифференциальных уравнений бесконечного порядка в частных производных.- Известия АН Арм.ССР. 1973, т. 8, № 2, с. 123-143.

25. Моржаков В.В., Решение дифференциального уравнения бесконечного порядка в классе экспоненциальных функций нескольких комплексных переменных.- в сб: Физико-матем. исслед. Ростов н/Д, РГУ, 1972,с. 85-90.

26. Моржаков В.В. 0 целых решениях дифференциальных уравнений бесконечного порядка с полиномиальными коэффициентами.- Известия СКНЦ ВШ, сер.естест.наук. 1973, № 4, с. 65-70.

27. Брайчев Г.Г. 0 разрешимости уравнений в частных производных бесконечного порядка в некоторых классах целых функций.-Матем.заметки. 1976, т. 9, № 2, с. 225-235.

28. BuckhúüJ ЗЛ). âppdt polynomials and dtffe.-гепйat equations of infinite otdet. fians. Атег. Math. Soc. 1973, v.185, № II, p. 463-476.-134

29. Какичев В.А., Сторчевая Г.Д. Отображение последовательностей аппелеподобных полиномов с помощью оператора свертки. В сб.: Актуальные вопросы матем. анализа. Ростов н/Д, 1978, с. 84-91.

30. Сторчевая Г.Д. Отображения некоторых классов последовательностей полиномов с помощью полиномиальных треугольных матриц. -Ростов н/Д, 1979. 28 е.- Рукопись представлена Ростовским госуниверситетом. Деп. в ВИНИТИ 8 июня 1979, № 2075-79.

31. Сторчевая Г.Д. Отображение классов обобщенных полиномов Аппеля с помощью операторов обобщенного дифференцирования.- В сб.: Диф. уравнения ( качественная теория ). Рязань, РГПИ, 1980, с.138-149.

32. Сторчевая Г.Д. Отображение аппелеподобных полиномов с помощью дифференциальных операторов бесконечного порядка с постоянными коэффициентами.- Известия вузов, математика. 1982, т. 241, №6,с. 57-59.

33. Деревянченко Г.Д.,Какичев В.А. О разложении целых функций двух переменных по аппелеподобным полиномам.- В сб.: Матем. анализ и теория функций, М, МОПИ. 1974, № 4, с. I6I-I74.

34. Ронкин Л.И. О типах целой функции двух переменных.- Матем. сб. 1956, т. 39(81), №2, с. 253-265.

35. Коробейник Ю.Ф. Об одном функциональном уравнении. I.- В сб.: Теория функций, функц. анализ и их приложения, Харьков, 1978,30, с. 72-82.

36. Деревянченко Г.Д., Какичев В.А. Задача Римана и разложение целых функций двух переменных по квазистепенным базисам.- Матем. заметки. 1977, т. 21, № 4, с. 473-483.

37. Копаев A.B. О разложении голоморфных функций двух переменных по квазистепенным базисам.- В сб.: Матем. анализ и теория функций, М, МОПИ. 1980, с. 46-54.- 135

38. Jlf-SafomU)!A,1fctiiio£ Genetûfcjeef She f fez poiinomLciEs.-SDufce JUath. JJ. 1970, v. 37, № 2, p. 361-365.

39. PommLeij M. Sur íes testes successifs ele seiies Je (ЦЕог.- Comptes Rendus. I960, v. 250, № 15, p. 2669-2671.

40. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ, т. II.- М: Наука. 1976.- 400 с.

41. Какичев В.А. Методы решения краевых задач линейного сопряжения для функций голоморфных в бицилиндрических областях.- В сб.:Теория функций, функц.анализ и их приложения. Харьков, 1971, № 14, с.3-15.

42. Исправления сделаны после защиты диссертации

43. Стр. 43 (теорема 3.3) . где ¡с (V) и Хм произвольные формальные степенные ряды с ненулевыми значениями 1(0) и 71. Стр. 48

44. Утверждение. Оператор отображает:а> на {-,еи9Ц ; б) на} ф ^ д | , тогда и только тогда, когда:а) ± = {-¿,,6?).„°!0 в % е^ ;б) ¿е{- у}.и1. Стр. 116 ( с 10й строки)

45. В то же время, неоднородная задача (9.14) разрешима единственным образом тогда и только тогда, когда частичные индексы (см. 56 . ) функции Д ("Ш-^Со) Ф 0 равны нулю. Вследствие аналитичности функций это будет в том случае, когда В Ю1у> .