Биортогональные полиномы одной и двух переменных тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РГ6 од

казахский государственным национальный / 3 МАП 1S93 университет им. аль-фарлби

На правах рукописи ИЛЬЯСОВ Муратхан Hyp магам бетович

БИОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПОЛИНОМЫ ОДНОЙ И ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

01.01.01 — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Алматы, 1993

РаЗота Еь:полнена в Московском областном педагогическом институте им. Н. К. Крупской.

— доктор физико-математических наук, профессор СУЕТИН П. К.

— доктор физико-математических наук, профессор ТЕМИРГАЛИЕВ Н. Т. кандидат физико-математических наук, с. н. с. АМАНОВ Н. Т.

Ведущая организация: — Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова.

Защита диссертации состоится 19 мая 1993 г. в 15 час. на заседании Регионального специализированного совета К058.01.17 по присуждению ученой степени кандидата наук в Казахском государственном национальном университете им. Аль-Фараби по адресу: 480012, г. Алматы, ул. Ма-санчи, 39/47.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке КазГУ им. Аль-Фараби.

Автореферат разослан « » апреля 1993 г. )

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

Ученый секретарь Регионального

специализированного совета, кандидат физико-математических

наук, доцент \ А- А. БЕДЕЛЬБАЕВ

-J-

ОЬЩАЛ ХьРМС'ЯУСГГЯКА РАБОТЫ

АКГУШЛО-'ГЬ Тг'МЫ. 3 последнее враця классические орто-гоналышо ынсгочлыш применяется в теоретических исследованиях математиков, ь иатематичэсйоЯ физике, в вычислительной мшьцатшш и в квантовой механике. Taiora они находят применении при реивиии ра.чличных технических задач. В настоящей ра-0ore расццатриваагся обобщения этих многочленов __ системы би-ортогоншшшх полиномов,

ЦКЛЬ РАБОТЫ состоит в получении биортогональных систем, соотавтстнукцих трем классический ортогональным уногочленам, и систея полиноыов, биортогональных в треугольнике и круге, а тнк.хе изучению с во Лети введенных биортогональных полиномов.

1.КГ0ДМКА ИСаВДОВАШ. В работе применяются методы исследования орт о г оналышх многочленов, разработанные в научно.! литературе по ортогональным и биортогональным полиномам. Основными среда них являются монографии Г.Сегё и Я.Л.Герони-uyaa.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Полученные результаты обобщают соответствующие свойства ортогональных многочленов. В работе получены следующие новые результаты:

1. Доказана теорема о существовании и единственности биортонормированиях систем по произвольным базисным многочленам, весовой функции и интервалу;

2. Даны представления биортонормированных полиномов через степенные моменты;

3. Получен аналог формулы Кристоффеля-Дарбу; •

4. Введены системы биортогональных полиномов, соответствующие .ортогональным многочленам Лежандра, Якоби и Чебьшева; ii. Указаны способы построения биортогональшк полиномов по

двум первиенним;

б. Введены система полиномов по двум переменяны, биортого-нальных в треугольнике и круге.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Результаты работы

представляэт прежде всего теоретический интерес. Они могут

/

быть использовшш в теории приблитении Функции, в иссявповалим дифференциальных уравнения.

-.АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Основныерезультаты работы докладывались на научной конференции преподавателей и аспирантов / МОПИ, Б82г./, на У;1 Республиканской межвузовской научной конференции по математике и иэхшшке /Алма-Ата, П,р4 /, на Республиканской научной конференции "Теория приближения \и вложения функциональных пространств" / Караганда, ШГ /, научном семинаре проф. Темиргалиева Н.Т. /КазГУ, Г^Зг./, научном семинаре проф. Язнсыкбаева A.A. / КаэГУ, г./, научном семинаре акад. Амербаева D.M. / AH PK, Е-ЭЗ г./, научном семинаре доцента Снаилова Е.С. / КпрГУ, 1?93 г./

ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации опубликованы в работах / 1-5 /.

СТРУКТУРА И ОВЬЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из ведения и двух глав, содер*ал(их 7 параграфов. 'Изложена на 102 страницах машинописного текста. Библиография содерит 74 наименования. Нумерация форьтул /теорем/- ляоИная: первая щфра указывает параграф, вторая - номер формулы /теоречч' в нем. .

КРАТКОЕ СОДЗМСЫШ ДЙС^РТАЩ"-'.. Во введении обоснована актуальность темы диссертации, проведен обзор работ, имеющих-отношение к этой теме, определена цель диссертационной работы и кратко изложено с?- со-

держаяив.

Глава I посвящена биортогональньм полиномам от одной переменной. В §1 изучается обилие системы биортогональных полиномов. Рассмотрим последовательности полиномов {^М}

и {йгчМ ЕИда

(>(х)= а*.« а*, р(х)+ ••• ♦ ОмГМ" , /и

/2/

¿по ^ 5«< " • + С [И " ,

где р/ж) , % (а) - многочлены, а„п # о , £пя ¿0 ,

Опр.1.1. Последовательности полиномов /I/,/2/ бнорто-гздялыш на ипторпа;:? /<?.£) с весовой Ь/э:} если

При = систеш биортогональннх полиномов /I/,

/2/ совпадают мзтду собой и становятся одной системой ортогональных полиномов.

Опр.1.2. Системи полиномов П/,/2/ называются биорто-нормировагапйда, если а„яг£Л1,>0 . ® вместо /3/ выполняется условие

а

Биортонормирование полиномы обозначим так

Км . б«м

Основными результатами §1 являются

Теорема 1.1. Для того чтобы системы полиномов и {0„М} бьши биортогональными, необходимо и достаточно, чтобы при любом номере п выполнялись условия

Эта теорема труднопроварп^'/оо угювчп -п;ут уда&суч условиеи биортогональности /О/.

Теорема 1.2. Х^чл топ чгогл» су.^пт^чпм!» пара систем биортонор.мнровзнних т сш-»т« ^О,,

нообхочимо и достаточно, ч^оЛп , (пе, >.

Ми "' Я.......

- опрздаип чть ! р-шч,

Теорема 1.3. Если палочш 5,1 1 , то глл гшергонор-иировшшых полиномов верни представления

„Я во

Жо ^и

м «и, о 1 №

Л

ип

Р.»

, 'Г, ' ИНГ

Ли •• ./<«,(».< /Ух)

[рм]

Тесрека 1,6. Если базисный молкнем р(л) есть полином Л-ой степени относительно другого базисного полинома Цу^ , то для биортонорюфоваккых полиномов имеет.место аналог формулы И£истоффеля~Дарбу

т р(х)~рН)

.У Л

I*» _

При формула /б/ превращается в известную формулу

Кристо-йаля-Дарбу для ортоноршгрованных полиномов. Эта теорема является одним из основных результатов первого параграфа, так как формула /6/ иожет быть применена для оценки сходимости биортогокальных разложении. Результат тэореш 1.3 наглядно демонстрирует истинность утверждения тесреш 1.2.

В §2 оЗоб:!,азгся классические ортогональные многочлены Лежелдра, т.е. изучены сксте>щ поликоковк)] и дря которых (а,!)«£<,<] , , р/фх , ЦТ.}-.х' , г,Г,-,

¿ид этих полиноиоз устанавливает

Теорема 2.1. Биортогоналыше полиномы G-ni*,f) и определяются следующими явными формулами

где - символ Похгаммера для «(*о,и,-а, ,

При кн получим G-дh* Hln , Hinti= б1пи

и все они совпадают с ортогональными полиномами Лежандра. Основные свойства этих полиномов дают

Теорема 2.3. Для любых двух соседних биортогонадьны:'. полиномов одинаковой четности справедтивы ди1|!"ерен;д1альние рекуррентные формулы

хН1гхН'п = к^Н^/МН,,

При Ksi формулы /7/ совпадет нетслу собоЛ и превращаются в дифференциальную рекуррентную формулу для стандартизованных полиномов Лечсандра.

Теорема 2.4. Зсе нуля биортогонального полинома

НпМ

«А

дойсгиитвлъны, различны и расположены в интервале М, fJ , где а* хк .

Теорема 2.5. Все нули биортогонального полином', (гп{х,к.) дьИствителыш, различны и расположены в интервале (-1, <1 .

а §3 обобщаются классические ортогоназч полиномы Якоби. Рассмотрим системы полиномов {lí'ñ'fa,*)] для которых (QJUn.4) , Kíx)s H-xtlUx)*, ,

Яид этих пониномов устанавливают

Теорема 3.1. Биортогональшй полином V„ опре-

деляется формулой

V, <*".»>* м — Sи 2 . , ;

При ки полином V1/ ('И) совпадает со стандартизованным многочленом Якоби. Вид полинома U ^ даёт теорема 3.5. Основнт свойства этих полиномов определяют

Теорема 3.2. Биортогональный полином удовле-

творяет рерсуррентнрй формуле

\ /Ч * \ * í;v

_ \/J(

»*< Vn

V„ /г.") .

Теорема 3.4. Биортогональный полином Mñ ^к} удовлетворяет рекуррентной формуле

При формулы /В/ и /9/ превращаются в разные

трехчленные рекуррентные формулы для стандартизованных полиномов Якоби. Аналогичные теоремы.устанавливает свойства нулеП изучаемых биортогонаяьных полиномов.

В §4 обобщаются классические ортогональные -.многочтены Чебышева-Эрмита. Вводятся системы полиномов £ R „ I*. «>j и(х*^, дня которых {a.êM-oV»«»), fM**', t.- f.s.r, ...

Вид этих полиномов определяют

Теорема 4.1. Еиортогоналыше полиномы Тц1х*к) определяются формулами

II 2ЯХ

" ~ X

' п 11

Теорема 4» II. Биортогоначьные полиночи опреде-

ляются формулами

2I»1 i»>0 Р'Ь

При КН полиномы Т^ (ае.ч) и R„ (х, 1) совладает с ортогональными полиномами Чебквева-^рмита. основные свойства биортогоналышх полиномов доят

Теорома 4.6. для бииртогоналыг. ' о полилома Tn te* существует производящая функция

, со 2я

где ^ п! Г(аги-Т) - Функция Ьесселя-^айтланда.

Гэорема 4.¿ля биортогонального полинома существу«?' производящая -{уяй^ия

со . 1 4

«о ^ 1*1

корена 4,'/. ^п полинома верно представление

шорема ч.^. лдя полинома £„/х,к)верно представление

£ /Н/

л »

= Тп и) - 1иортогональные полиномы Конхау-

эврв, соответствуйте многочленам Лагерра и имеющие вид

«к

•/, , fcilíi -T _

V-, , W f~C^i^' 1

fl¡>it формулы /1Ш и /II/ превращали« в ниьы;пша

fpöp»v\üu пьнзиааш^а ортогональные многочлены ЧеОышева-Эрии-та и Лагерра.

Глава (t ноовящена оиортогонвльньш полиномам or ,цьух

Пи|»цмйШШ(, li Hi) иЗучШУГОН ООЩИв CHÜibbOJ ÖHOp'fOruhcUbHUX

иилигщуоь. UuHaadjüJ два способа построении пшшноиоь, Оиор-гшчлюльних. н ийластн э о весовой функцией hi*.a j . Доказаны необходимые и достаточные условия оиоргдгонадьиис-1н и уши>ш4 существования бнортогоналышх полиномов. Дня ати* полиномов даны представления через степенные моменты, a тикав рекуррентные форцули.

о ju и^учони полиномы, ûnopu'oroHajJbtiLM в треугольник« Кч) : *>о(у>о,

4ft /"'*'*

l'oopbua ó.I. Полинома и гпл t*,i) оиорто-

I'OiltMbiiiiU в Т о восовой функцией х-"1 у'"4, 4*0 ,}3° оиродилшпся форцулаш!

-I (для чти* полиномов получены обычные и ли|(фврпшш"чьш)н рекуррентные '¡"мрмулы и производила ¡.ункцин.

с) 5'/ рассмотреть полиномы, йиортогонялыше в круге К - { 1*,Ч) ■ < П

• А •(

¡эорема 7.1. Полиномы 1/П(„ (тс,ц) и ^ /т, у) щнипш ц. пильные в круга К с весовой фуНкцив!! ц.^'-^*) * 1 4 ОИрвдвЛЯЮТОЯ горчулвми

I/ч Ш Ш „ / , «-,в-3«

Ц (*.У)=2 ¿¿ЧмхУ^У)1!^),,? .

П*П [20 С-0

./снгт>ше сооЛстка »тих. полиномов дамт

Георема 7,л. полиномов и

иу.цествупт производимое ¡{тунгами

»О П , ' -1-*

, — , а, Ч-т _ . г

77 V Ми У г ♦ ,

*ГТ5Г ТГГО ^

Ч * о ^ *о ^

Теорема 7.3. для полиномов ^^ и ч)

спровзпяявн Формулы ди ¡Фйретрфования

МгггГ«!^ -2x.Lt1 "(и**«)!/ ' 1

|1уоликации по тема дкссыртацкй. 1, Ильясоь Ы.Н. Некоторые свойства биортогокалькнх скстеи полиномов // Применение функционального анализа в 1есрш приолижании. - Калинин. - - с. ЬУ-У^.

йльясов м.Н, 0 некоторая свойствах оиортогоиадькых полиномов но двум перэмешшм // 11рименение функционального анализа ь теории приОлижешш. - Калинин. - - с. 66-77.

3. Ильясов Аналог формулы Кристоффеля-Дарбу бкср-тогональннх полиномов И Известия АН КазССР сер. фаз.-«гг.

- Алма-Ата. - ШЗ. - Г5. - с. 75-73.

4. Ильясов М.Н, Биортогональныэ полиноьаг, соответствующие полиномам Лежандра // Тезисы докладов У. ^зспубликаяской межвузовской научной конференции по математике и механике.

- Алма-Ата. - ИВА. - ч.Х, - с. 42.

5. Ильясов М.Н. Еиортогнальные полиноми, соответствующе полиномам Якоби // Тезисы докладов Республиканской научной кон '«ренции "Теория приближения и вложения функциональных пространств", - Караганда. - Ю1.-С. 25.

м л 3 л1 v н д л л1 л

Дисеертацияльгк, жумыста ортогоиальды кэпмушелштер жуйесшщ ке-нейтиген тур1 — биортогопальды кепмушсл'ктер жуйеа карастырылады. Б;р!»ш1 татауы б!р тэуелС13 айнымалыга байланысты биортогопальды кэпмуше.ттерге арналган. Биортогопальды кэпмушелисгер жуйесип'н ксз келген базис, салмакты функция жзне аралыкга барлыгы жэие жалгкз-дь.ты дэлелдендь Биортогопальды кепмушелштердщ дореже.-пк момепттср архылы курылуы бермген. Биортогопальды кепмушелштер ушш Кристоф-фель-Дарбу формуласы дэлелдендй Классикалык Лежандр, Якоби жзне Чебышев-Эрмит кепмушел!ктерш'1ц кенейтшгец биортогопальды турлер! жасалган. Екпнш тарауы ею тэуелаз айнымалыга байланысты биортогопальды кепмушел'ттерге арналган. Ею айнымалыга байланысты кеп.му-шелштерд1 курудьш еш жолы керсетичген. Эрб!реу1 ушш оны дэрежелп-; моменттер аркылы алынуы керсеплген. Ет айнымалы биортогопальды кепмушел1"ктер донгелекте жгне ушбурышта сойке: салмакты функцияла-рымсн зерттелгсн.

Формат 60х84;Аб. Объем 1 п. л. Зак. 504. 31.03.93 г. Тир. 100.

Отпечатано на ротапринте п КП «Карина», ул. Желтоксаи, 115.