Интерполяционные и базисные разложения в ряды по биортогональным системам рациональных функций и в обобщенные ряды экспонент тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ПОЛНОТА, ЗАМЫКАНИЕ И БИОРТОГОНАЛИЗАЦИЯ СИСТЕМ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ С ПОЛЮСАМИ ИЗ ПОЛОСЫ.

§ I. Предварительные сведения и леммы

§ 2. Полнота и описание замыканий в неполных систем простейших рациональных дробей и их биортогонализация.

§ 3. Построение и биортогонализация системы рациональных функций { ГП (с (-2 к) ] 7.

ГЛАВА П. ЭФФЕКТИВНОЕ РЕШЕНИЕ ИНТЕРПОЛЯЦИОННОЙ ЗАДАЧИ С УЗЛАМИ ОГРАНИЧЕННОЙ КРАТНОСТИ В КЛАССАХ Н Р [ S к ] up^+oo) и И00 [ G(+)].

§ I. Эффективное решение интерполяционной задачи с узлами ограниченной кратности в классах "НР[S |J (1<рс + оо).

§ 2. Эффективное решение интерполяционной задачи с узлами ограниченной кратности в классе Н°° [ & ^ ]

§ 3. Эффективное решение интерполяционной задачи с узлами ограниченной кратности в классе Н °° [ £ ]

ГЛАВА Ш. БАЗИСНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЕ ПО СИСТЕМАМ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ С ФИКСИРОВАННЫМИ ПОЛЮСАМИ.

§ I. Вспомогательные утверждения

§ 2. Критерий базисности в метрике (1 < Р < + ) систем простейших рациональных дробей.

§ 3. Критерий базисности в метрике Hp[S *] Р<+<*>) системы {

ГЛАВА 1У. БАЗИСНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ В РЯДЫ ПО ОБОБЩЕННЫМ СИСТЕМАМ ЭКСПОНЕНТ IOI

§ I. Замыкание, минимальность и базисность обобщенной системы Винера-Пэли.

§ 2. Базисность системы функций { E^cXnt} (i+ca/DjJ^ . Ю

§ 3. Условия устойчивости базисности системы Е t > . П

1(a). К давним работам М.М.Джрбашяна и А.Б.Нерсесяна [ i] , [2] восходит метод построения биортогональных систем, пороящае-шх аналитическими функциями с кратными нулями, который нашел существенно новые применения в ряде различных по своей природе вопросов анализа: в теории краевых задач для дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом [з], [4] и для уравнений дробного порядка типа Штурма-Лиувилля [б], в вопросах разложений функций по неполным обобщенным системам Мюнца-Сасса [6] (б" jX > « (KeVo) и т.д.

Далее, этот метод нашел новые приложения и интересные обобщения в серии работ Верблюнского [7] - [э], относящихся, в частности, к вопросам негармонических рядов Фурье.

Отметим также, что в работах М.М.Джрбашяна [ю], [п] этот же метод впервые был применен к вопросам изучения асимптотических рядов Дирихле-Тейлора, и было достигнуто существенное продвижение в теории примыкающих рядов, берущей начало с работ С.Мандельбройта [12], [13] .

2(a). Существенно новое развитие и важные аспекты применения нашел метод биортогонализадии в цикле исследований М.М. Джрбашяна [l4]- [18].

В работе [14] был предложен метод построения системы функций { Q. к (2,) | , биортогональной на окружности 121 = 1 с системой рациональных функций » где l^nh ^ ) - последовательность комплексных чисел, удовлетворяющая условию Бляшке, а & к ^ i кратность появления числа к на отрезке {^l;^;'")^-*]

Было показано 15 , что этот метод эффективен также для построения системы функций f , биортогоналъной на вещественной оси с системой рациональных функций (т» ГД0 ч со.2)

ЛЛГ > ~ последовательность комплексных чисел, удовлетворяющая условию Бляшке для полуплоскости От 2 > О , а - кратность появле1шя числа на отрезке (; - • • Д ].

В той же работе [l4] с помощью его биортогональных систем для любого ограниченного континуума % была построена система рациональных функций { WL^ (2) j ^ с полюсами, лежащими на произвольной последовательности точек {^ к 1* ^ ^ .

Наряду с системой [№к С2)], для любого П. ( 1 ^ П < + <*>) была построена также система \ § л к ) J i аналитических вне континуума Ж функций. В случае, когда - жордаяовая область со спрямляемой границей Г , была доказана биортогональность этих двух систем на Г , и с помощью построенных систем было получено представление ядра Коши 1/ ) посредством рациональных дробей {<"(2)];.

При этом следует отметить, что системы (2)] ^ являются существенными обобщениями полиномов Фабера. б) Остановимся вкратце на другом аспекте применения метода биортогонализации М.М.Джрбашяна - кратной интерполяционной задаче.

В его работе [l6] была поставлена задача свободной интерполяции с кратными узлами в классах Нр (0 < р <+£*=>) Харди-Рисса, которую можно сформулировать следующим образом.

Пусть к \ i - произвольная последовательность комплексных чисел из единичного круга, и для данного к (16 к < + ) s * 1 кратность появления числа ^ « на отрезке {^ j J " .

Выявить условия на последовательность [ ^ ^) i и на пространство последовательностей 3 , при которых имеет место совпадение

V1)K)h" : *6М о, (о.з) и построить аппарат для эффективного представления решений интерполяционной задачи

R.l.J,-)) ( МГО. (0.4)

В том специальном случае, когда {^ к) i - суть различные друг от друга точки круга 1 2.1 < 1 и, таким образом, SK - 1 эта задача сводится к интерполяционной задаче с простыми узлами: f(AK)= ^ (К- 1,4,- ) . (0.4')

Критерии существования решения задачи (0.3)—(0.4*) были установлены в ряде работ ( в [16] приведены подробные литературные указания по этому поводу). Отметим однако, что они существенно опираются на методы теории гильбертовых и банаховых пространств. в) В работе [16 J был предложен новый, аналитический метод для полного решения сформулированной выше общей интерполяционной задачи (0.3)-(0.4) в классе И^ , метод, позволяющий дать также аналитический аппарат для представления решений этой задачи. Он основан на построении специальных систем аналитических в круге 1 00

UI * 1 функций, ассоциированных с последовательностью {*K5i и биортогональных на окружности 121 = 1 .

Применением указанного метода биортогонализации М.М.Джрбашя-на было дано полное решение общей интерполяционной задачи (0.3)

0.4) в классах Н Р (0< р <+<*>) в круге 121 * 1 , а также в классах Ир ( 1 < Р <+ в полуплоскости и в угловых областях комплексной плоскости в работах М.М.джрбашяна, Ф.А.Шамояна, Г.М.Айра-петяна, В.М.Мартиросяна [хб] - [21 ].

Критерий существования решения задачи (0.3)-(0.4) в классе Н °° в круге при условии ь^Р { был дан А.М.Джрбашяном К

22]. В случае их существования эффективное представление решений задачи (0.3)-(0.4*) с простыми узлами в классе Н°° в круге было дано П.Джонсом (препринт; см.также [23J, где приведена упрощенная конструкция П.Джонса). Этот результат был существенно обобщен В.М.Мартиросяном [24]. С применением метода биортогона-лизации М.М.Джрбашяна им был построен аналитический аппарат, позволяющий в случае их существования, представлять решения интер

Ноо в круге.

3. Отметим еще несколько результатов, с которыми также связана данная работа. а) В работах М.М.Джрбашяна [25], [2б], посвященных систематическому изложению и исследованию вопросов представления и замкнутости ряда важных систем аналитических функций, была введена также система функций, определяемая следующим образом.

Пусть (^j^o СПт^!^ т) - произвольная последовательность комплексных чисел и Рк ^ 1 ( К ^ 0 ) - кратность появления числа б" к на отрезке [^j]* .

Рассмотрим полиномы и ассоциированную с последовательностью (£ j J 0 систему функций J

Пусть, далее, (Sj("t)ie - ортогонализация этой системы на всей оси (- «о, + оо) с весом W (t) = ск .

В процитированных работах [2б],[2б] были установлены интегральные представления для функций системы {Sj(t) c/i Kilo и критерий ее замкнутости в метрике L а ( - 00 > 00) . Там же были установлены важные связи функций этой системы с полиномами Пол-лачека.

С ■) оо

Отметим, что когда числа последовательности ]0 попарно различны, и тогда система -i(t)x - le--t 7 r^-iir-t?^ 11 6 Jo переходит в систему { е J J , критерий замкнутости которой на оси в метрике L ^ с весом Q~M lil был установлен Н.Винером и Р.Пэли [27].

Отметим также, что в общем случае линейные комбинации функций систем { Ж р.^ (-(г) } 0 и {e"t6"ii: i ?i совпадают. Следовательно, совпадают критерии замкнутости системы ^p.-i(^) £ ]0 в пространстве L ^ с весом ch- и системы {e~t€'J't4P'3"1 \ ^ в пространстве L ^ с весом на

ОСИ (--о,too} . б) В ряде работ рассматривались условия, при которых система функций 5 Л© » где ^ к i - оо - последовательность комплексных чисел, образует базис Рисса в . Базисные f i A "f 7 свойства системы \ е к з.^ были рассмотрены впервые Н.Винером и Р.Пэли [27] и изучались затем в ряде работ.

В работах [27] - [30] на последовательность { А ^накладывались условия геометрической близости к целым числам, а именно, предполагалось, что числа Лк имеют вид + , где l^m£tl< + oo , , a cl достаточно мало. Наиболее сильным в этом направлении является результат М.И.Кадеца [30] , который показал, что если с( <-1/4 » то система {el,A(ct^Cto является базисом Рисса в L ^ (-ЗГ; ^).

Иной характер носят результаты работ Б.Я.Левина и его учеников [3l]-[Зб]. В этих работах условия базисности системы г сА t к Jформулируются не в терминах геометрической близости точек А к к целым точкам, а непосредственно в терминах целой функции $ ( 2 ) , имеющей последовательность { ^ к ] множеством своих корней.

Окончательный результат (необходимое и достаточное условие f с. A t 1 + 00 того, чтобы семейство экспонент \е к j образовывало базис Рисса в ) получен в работе Б.С.Павлова [зб] (см. также [37], где приведена подробная библиография).

4(a). В исследованиях М.М.Джрбашяна, подытоженных в его монографии [38 ], была создана теория гармонического анализа в комплексной области. Это - теория прямых и обратных преобразований с ядрами, порожденными целой функцией типа Миттаг-Леффлера оо ^

Е * . (S>0,f>0), (0-5) n=0 1 (vT +п/ S) u u о "7 л на произвольной конечной системе лучей, исходящих из точки г = 0 комплексной плоскости. Им были установлены существенно новые результаты типа теорем Планшереля и Винера-Пэли [38 J - [42].

В исследованиях [38]-[42] были установлены также теоремы большой общности о параметрическом представлении целых функций произвольного конечного порядка £ 1 / % и нормального типа 4 б' , интегрируемых в квадрате модуля и с весом (-i<oJ<i) вдоль заданной системы лучей (см.[38], теоремы 6.11-6.16).

Приведем здесь формулировку весьма специального случая отмеченных теорем, содержащую, однако, в себе теорему Винера-Пэли при СО = 0.

Пусть W g (- i< u) <• i; > о) - класс целых функций экспоненциального типа - & , удовле творящих условию

4- ®0 1/2.

Why - |f(i)|lltl^i f оо

Тогда имеет место теорема (см.[38], теорему 6.12). Теорема А. Класс W g совпадает с множеством функций, допускающих представление вида еz) = J Е1 (1Ы - J*-) fiVlt^'Ut ,

-е где = 1 + oJ/2 и f ( ^ ) е L а (- . При этом

И= aзг \ Б

- С

Этой теоремой мы существенно воспользуемся в гл.1У данной работы. б) В последние годы М.М.Джрбашяном и его учениками развивается новое направление дискретного гармонического анализа -дискретного аналога построенной им теории гармонического анализа в комплексной области (см.[43 J - [47]).

В исследованиях М.М.Джрбашяна [43 ], [44] были построены системы функций типа Миттаг-Леффлера, которые являются полными системами собственных и присоединенных векторов, по существу, совершенно нестандартных краевых задач, для определенных интегро-диф-ференциальных операторов дробного порядка. Им были установлены важные результаты, заключавшиеся в том, что эти системы после нормировки образуют базисы Рисса в надлежащих пространствах.

По этому поводу отметим, что впервые в давней работе М.М. Джрбашяна и А.Б.Нерсесяна [i ] была рассмотрена краевая задача типа Штурма-Лиувилля на конечном отрезке [ 0 ft] вещественной оси для штегро-дифференциальных операторов дробного порядка, существенно отличных от рассмотренных в [43],[44]. В той работе [i], пользуясь методом контурного интеграла, причем ценою значительных усилий, была установлена только равносходимость с рядами Фурье разложений функций из L ^ (О Д ) по системе собственных функций поставленной краевой задачи.

5. Данная работа посвящена вопросам интерполяционных и базисных разложений по различным системам рациональных и трансцендентных функций.

1. Джрбашян М.М., Нерсесян А.Б. Разложения по некоторым биортого-нальным системам и краевые задачи для дифференциальных уравнений дробного порядка. - Труды ММО, 1961, т.10, с.89-179.

2. Джрбашян М.М., Нерсесян А.Б. 0 построении некоторых специальных биортогональных систем. Изв.АН Арм.ССР, сер. физ.-мат. наук, 1959, т.12, Л 5, с.17-42.

3. Нерсесян А.Б. Разложения по собственным функциям некоторых несамосопряженных краевых задач. Сиб.матем.ж., 1961, т.II,Я 3, с.428-453.

4. Нерсесян А.Б. Разложения по собственным функциям краевой задачи для одного интегро-дифференциального уравнения с запаз-дыващим аргументом. Изв.АН Арм.ОСР, сер. физ.-мат.наук, 1959, т.12, № 6, с.37-68.

5. Джрбашян М.М. Краевая задача для дифференциального оператора дробного порядка типа Штурма-Лиувилля. Изв.АН Арм.ССР, Математика, 1970, т.5, № 2, с.71-95.

6. Джрбашян М.М. 0 пополнении и замыкании неполной системы функций { е'^Х^^П . ДАН СССР, 1961, т.141, № 3, с.539--542.

7. Vex&WsKi Он some lioitfvo^ona^ scstems; H Quati.— J. ПМ., 1965;V.16 , p. {-%.

8. VezMu,nstL S. On a oCass of lateqwut o/zeta-tots i tt . — ?zoo. London, Hatfi. Soc.y v.lS,

9. VetS^asia S. 0a a. c£clss of ko%t(w$onU ZXfionbioab; И Ргос. Londonflcutk. boc.; 1966 , 16 , /И* S,p. W .

10. Джрбашян М.М. Примыкание и единственность рядов типа Дирихле на вещественной оси. Изв.АН Арм.ССР, Математика, 1972,т.7,4, с.258-274.

11. Джрбашян М.М. Теоремы единственности аналитических функций, асимптотически представимых рядами Дирихле-Тейлора. Матем. сб., 1973, т.91 (133), № 4 (8), с.580-626.

12. Maace£&xo.t . q. ccolsi Ссn^tCcit^ Ссrut ana^tic continu-dtiOna, qentx&l pxLncL(ilb.- Тгсхль. Am. NaM- Soc., l^Vi , v. $$ , p.96.

13. Мандельбройт. Примыкающие ряды. Регуляризация последовательностей. Применения. М.: ИИ1, 1955.

14. Джрбашян М.М. Биортогональные системы рациональных функций и представления ядра Коши. Изв.АН Арм.ССР, Математика, 1973, т.8, № 5, с.384-409.

15. Джрбашян М.М. Биортогональные системы рациональных функций и наилучшее приближение ядра Коши на вещественной оси. Матем. сб., 1974, т.95 (137), 3 (II), с.418-444.

16. Джрбашян М.М. Биортогональные системы и решение интерполяционной задачи с узлами ограниченной кратности в классе Н % . -Изв.АН Арм.ССР, Математика, 1974, т.9, № 5, с.339-373.

17. Дяфбашян М.М. Базисность некоторых биортогональных систем и решение кратной интерполяционной задачи в классе Н Р+ . -ДАН СССР, 1977, т.234, № 3, с.517-520.

18. Айрапетян Г.М. Кратная интерполяция и базисность некоторых биортогональных систем рациональных функций в классах И р Харди. Изв.АН Арм.ССР, Математика, 1977, т. 12, 4, с.262--277.

19. Шамоян Ф.А. Теоремы вложения, связанные с задачей кратного интерполирования в пространствах Нр . Изв.АН Арм.ССР, Математика, 1976, т.II, № 2, с.124-13I.

20. Джрбашян М.М. Базисность некоторых биортогональных систем ии ррешение кратной интерполяционнои задачи в классах Н в полуплоскости. Изв.АН СССР, Математика, 1978, т.43, № 6, с.1322-1384.

21. Мартиросян В.М. Замыкание и базисность некоторых биортого-нальных систем и решение кратной интерполяционной задачи в угловых областях. Изв.АН Арм.ССР, Математика, 1976, т. 13, Ш 5-6.р

22. Джрбашян A.M. Кратная интерполяция в классах И (0< р 6 + «>) . ДАН СССР, 1977, т.234, Jfc 6, с.1253-1256.

23. Виноградов С.А., Горин Е.А., Хрущев С.В. Свободная интерпоНоаметодом Петера Джонса. Записки научных семинаров ЛОМИ.

24. Мартиросян В.М. Эффективное решение задачи кратной интерполяции в Н °° применением метода биортогонализации М.М. Джрбажяна. Изв.АН Арм.ССР, Математика, 1981, т. 16, В 5.

25. Джрбашян М.М. Об интегральном представлении некоторых ортогональных систем. ДАН Арм.ССР, 1962, т.35, I, с. 1-5.

26. Джрбашян М.М. Представление и замкнутость некоторых ортогональных систем. Изв.АН Арм.ССР, Математика, 1979, т. 14,Л 6, с.446-493.

27. Винер Н., Пэли Р. Преобразование Фурье в комплексной области. М.: Наука, 1964.

28. Coffin Sch,ae,ffw. rt-C. A- c£ass of по^лгто/ЫсFоидлег se/ue-s . Тгап-s. Ат&г. ficdh. Sос., i9Ь) уЛХ, , p. З41-3&G .

29. Головин В.Д. Об устойчивости базиса показательных функций. -ДАН Арм.ССР, 1963, т.36, В 2, с.65-70.

30. Кадец М.И. Точное значение постоянной Винера-Пэли. ДАН СССР, 1966, т.155, В 6, с.1253-1254.

31. Левин Б.Я. О базисах из показательных функций вЗаписки физ.-мат.фак-та Харьковского гос.ун-та и Харьковского матем.об-ва, 1961, т.27, сер.4, с.39-48.

32. Левин Б.Я. Интерполяция целыми функциями экспоненциального типа. Сб. "Математическая физика и функциональный анализ", ФТИНТ АН УССР, вып.I, Харьков, 1969, с.136-146.1.2

33. Головин В.Д. О биортогональных разложениях в L по линейным комбинациям показательных функций. Записки мех.-мат. фак-та Харьковского гос.ун-та и Харьковского матем.об-ва, 1964, т.30, сер.4, с.18-29.

34. Левин Б.Я., Любарский Ю.И. Интерполяция целыми функциями специальных классов и связанные с нею разложения в ряды экспонент. Изв.АН СССР, Математика, 1975, т.39, № 3, с.657-702.

35. Кацнельсон В.Э. 0 базисах из показательных функций в L . -"Функциональный анализ и его приложения", 1971, т.5, вып.1, с.37-47.

36. Павлов Б.С. Базисность системы экспонент и условие Макенхо-упта. ДАН СССР, 1979, т.247, 3 I, с.37.

37. Никольский Н.К., Павлов Б. С., Хрущев С. В. Безусловные базисы ' из экспонент и воспроизводящих ядер. Ш. Препринты ЛОМИ, P-I0-80.

38. Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. М.: Наука, 1966.

39. Джрбашян М.М. Об интегральном представлении функций, непрерывных на нескольких лучах (обобщение интеграла Фурье). -Изв.АН СССР, Математика, 1954, т.18, с.427-448.

40. Джрбашян М.М. Об асимптотическом поведении функции типа Мит-таг-Леффлера. ДАН Арм.ССР, 1954, т.19, № 3, с.65-72.

41. Джрбашян М.М. Об одном новом интегральном преобразовании и его применении в теории целых функций. ДАН СССР, 1954,т.95,C.II33-II36; Изв.АН СССР, Математика, 1955, т.19, с.133-180.

42. Джрбашян М.М. Об интегральных преобразованиях, порожденных обобщенной функцией типа Миттаг-Леффлера. Изв.АН Арм.ССР, сер. физ.-мат.наук, I960, т.13, № 3, с.21-63.

43. Джрбашян М.М. Базисность биортогональных систем, порожденных краевыми задачами для дифференциальных операторов дробного порядка. ДАН СССР, 1981, т.261, № 5.

44. Джрбашян М.М. Интерполяционные и спектральные разложения, ассоциированные с дифференциальными операторами дробного порядка. Изв.АН Арм.ССР, Математика, 1984, т. 19, №2, с.81-181.

45. Рафаелян С.Г. О базисности некоторых систем целых функций. -ДАН Арм.ССР, 1980, т.50, J& 4, с.198-204.

46. Рафаелян С.Г. Базисность некоторых биортогональных систем вс весом. Изв.АН Арм.ССР, Математика, 1983,т.19, Ш 3.

47. Рафаелян С.Г. Интерполяция и базисность в весовых классах целых функций экспоненциального типа. Изв.АН Арм.ССР, Математика, 1983, т.18, J6 3.

48. Григорян Ш.А. О базисности неполных систем рациональных функций в угловой области. Изв.АН Арм.ССР, Математика, 1978,т.13, Ш 5-6.

49. Казарян К.Г. Кратная интерполяционная задача в полосе и базисность некоторых систем функций. ДАН Арм.ССР, 19 , т. № , с.

50. Казарян К.Г. Эффективное решение кратной интерполяционной задачи в классах И°° в полуплоскости и в полосе. ДАН Арм. ССР, 19 , № , с.

51. Казарян К.Г. О свойстве устойчивости базисности для систем функций типа Миттаг-Леффлера. ДАН Арм.ССР, 19 , т. ,, с.

52. Гофман К. Банаховы пространства аналитических функций. М.: ИИЛ, 1963.

53. Джрбашян М.М., Аветисян А.Е. Интегральные представления некоторых классов функций, аналитических в области угла. ДАН СССР, 1958, т.120, В 3, с.457-460; Сиб.матем.ж., I960, т.1, № 3, с.383-426.

54. Акопян С.А. Теорема о двух постоянных для функций класса НР . Изв.АН Арм.ССР, Математика, 1967, т.2, # 2, с.123-127.

55. Седлецкий С.А. Эквивалентное определение пространств НР в полуплоскости и некоторые приложения. Матем.сб., 1975, т. 96 (138), В I, с.75-82.

56. Титчмарш Е. Введение в теорию интеграла Фурье. М.-Л.: Гостех-издат, 1948.

57. Григорян Ш.А. Об одном свойстве функций из Н р (0< + <*>) в полуплоскости. Изв.АН Арм.ССР, 1977, т.12, № 5, с.335--340.

58. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965.

59. Виноградов С.А. Базисы из показательных функций и свободная интерполяция в банаховых пространствах с L р -нормой. Записки научн.семинаров ЛОМИ, 1976, т.65, вып.УП, с.17-68.

60. Джрбашян М.М., Рафаелян С.Г. О целых функциях экспоненциального типа из весовых классов Lp . ДАН Арм.ССР, 1981, т.53, № I, с.29-36.

61. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. М.: Гостехиз-дат, 1956.

62. Гохберг И.Ц., Крейн ГЛ.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов. М.: Наука, 1965.

63. Рис с Ф., Сё кефалъви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир, 1979.

64. LevCnsoa /I/. G-ap Cuid density ikeozcms . MeW YotK : Дтег. IЫк. Ъос. сой- P educations } 1940.