Представление и аппроксимация функций с помощью систем экспонент и их линейных комбинаций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ



АКАДЕМИЯ НАУК С С С H ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛВДШ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ям. В.А.СТЕКЛОВА Ленинградское отделен«

(о S ^^^ и ^ vAV * ^ ^ К

^ / О L> ^ г На правах рукописи

• ^ " ' • ЛЮБАРСКИЙ ЮРИЙ; ИЛЬИЧ I

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ- И^АППРОКОТЩИЯ ФУНКЦИЙ С ГОМОЩЬЮ СИСТЕМ ЭКСПОНЕНТ И ИХ ЛИНЕЙНЫХ КОМБИНАЦИЙ •

01.01.01 - математический анализ

V

67

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степей« доктора физико-математических наук

Ленинград - 1989

Работа выполнена в отделе теории функций Физико-технического института низких температур АН УССР

Официальные оппоненты: академик В.А.МАРЧЕНКО

доктор физико-математических наук, ' профессор А.Г.К0С1ЮЧЕНК0

1 1 ' ■ 1 -

доктор физико-математических наук,

' ¡профессор Н.К.НИКОЛЬСКИЙ - 1

. •■ ■■ . о. . ' I • ■ :

Ведущая организация Институт математики Башкирского научного

■центра Уральского отделения АН СССР

Залита состоится " " 199 г. в часов

на заседании специализированного совета Д 002.38.04 при Ленинградском: отделении Математического института им. В.А.Стеклова АН СССР Ленинград, наб. р. Фонтанки, д.27 комн. 311

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ЛОМИ

Автореферат разослан " " 19 г.

Ученый секретарь специализированного совета, профессор 1 ¡М

А.П.Осколков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Предмет исследования. Исследование воз-ожности представления и аппроксимации функций с помощью систем кспонент ведет свое начало от классической работы Ж. Фурье "0<3 хлаждении равномерно нагретой сферы" С1807), в которой был пред-ожен метод, названный впоследствии методом Фурье. Позже оказа-ось, что эти вопросы тесно связаны с широким кругом задач Смате-атических'и прикладных), относящихся к спектральной теории опе-аторов, дифференциальным уравнениям конечного и бесконечного по-ядка, теоремам единственности и интерполяции для аналитических ункций, А также другим вопросам. Это обеспечило устойчивый инте-ес к свойствам систем экспонент и вызвало появление большого цела исследований, продолжающихся и в настоящее время, в которых истемы экспонент изучаются в пространствах функций, определенных а отрезке, кривой, в области и в других множествах в комплексной носкости. Исследование свойств системы функций в том или ином ¡гасциональном пространстве обычно начинается с изучения следующих вопросов:

1. Является ли система функций полной, т.е. можно ли любой темент пространства сколь угодно точно приблизить линейными жбинациями функций, прнадлежапшх' нашей системе?

2. Является ли система минимальной, т.е. уменьшается ли за-зкание ее линейной оболочки при изъятии хотя бы одного элемента?

3. Если система полна и минимальна, то каждому элементу про-'ранства можно сопоставить формальное разложение в ряд по этой ютеме. Что мбжно сказать о сходимости или суммируемости' этого гда?

4. Если система функций не является полной в пространстве,

I какие элементы пространства можно приблизить с помощью линей-ос комбинаций функций из рассматриваемой системы?

Применительно к системам экспонент наиболее полные ответы на »ставленные вопросы получены для пространств функций, определен-пс на отрезке. В случае, когда отрезок есть [-тг,я], а показатели спонент пробегают множество £2, эти вопросы исследуются в клас-ческой теории рядов Фурье. В работах Н.Винера и Р.Пэли,

Н. Левинсона.Б. Я. Левина, А. Берлинга и П. Малявэна, И. Кореваара, Ж. Кахана, Р.Редхеффера, И. Ф. Красичкова и многих других весьма полно исследованы вопросы полноты и минимальности систем экспо-онент в пространствах функций на отрезке, а в работах Н.Винера и Р.Пэли, Р. Янга, Н. Левинсона, Б.Я.Левина, В.Д.Головина, М. И. Ка-деца, В. Э. Кацнельсона, С.А.Авдонина, А. М. Седлецкого, Б.С.Павлова, Н.К.Никольского, С.В.Хрущева и других - вопросы базисности систем экспонент в этих пространствах. ССм., соответственно, работы СИ и [2], содержащие, в частности, подробное изложение истории вопроса). Получение этих результатов, как правило, основано на эквивалентности теорем о полноте и базисности систем экспонент соответственно теоремам единственности и интерполяции для специ-иальных классов целых функций экспоненциального типа. (ц. ф. э. т. ).

Еще один цикл исследований ведет свое начало от классической теоремы Мюнца, согласно которой система 0=\ <Х1< ... пол-

на в пространстве С[а,Ь] (здесь 0<а<Ь) в том и только том случае, когда ряд £ расходится. С Обзор работ на эту тему имеется в [3]). После замены переменных I —♦ ехрСхЗ теорема Мюнца переходит в теорему о системе экспонент. От упомянутых в предыдущем абзаце эти результаты отличает "слабая чувствительность": свойство полноты системы экспонент не зависит ни от размеров отрезка, ни от выбора конкретного пространства функций, ни от изменения системы экспонент на конечное число функций. Последнее связано с тем, что в случае, который описывается теоремой Мюнца, задача о полноте приводит к "мягким" теоремам единственности для голоморфных функций: изменение множества узлов на конечное число точек не влияет на справедливость этих теорем.

Почти все известные результаты, относящиеся к свойствам систем экспонент в пространствах функций на кривых и в областях, также нечувствительны к изменению системы экспонент на конечное число членов. Системы экспонент в пространствах функций на кривой впервые рассмотрены в [4]. В этой и немногих последующих работах Собзор см. в [ЗЗ.С5]) получены теоремы типа теоремы Мюнца при различных ограничениях на кривую и на множество показателей.

В 1965 г. А.Ф.Леонтьев показал возможность представления с помощью ряда экспонент любой функции, голоморфной в выпуклой области комплексной плоскости. Этому вопросу посвящено значитель-

ное число работ, в которых исследустся разложения, сходящиеся на каждом внутреннем компакте в области Собзор этих работ, вышедших до 1976 г. см. в Еб]) или в других счетно-нормированных Сем., напр., [7]) топологиях, что снова приводит к теоремам, имеющим "мюнцевский" характер. Исключение составляет случай выпуклого многоугольника для которого в работах А.Ф.Леонтьева, В. К. Дзядыка Б. Я. Левина и Ю. И. Любарского, А. М. Седлецкого, Ю. И. Мельника, А.П.Хромова и других Собзор части этих результатов см.[46]) по лучены теоремы о полноте и минимальности систем экспонент и изучена сходимость разложений по этим системам в равномерной топологии и в некоторых других топологиях нормированных пространств}

Представляется весьма важным выяснить, существуют ли системы экспонент, для которых можно дать ответы на вопросы 1-3 для случая нормированных пространств функций, определенных на кривых и в областях. Это означало бы построить для рассматриваемых ситуаций аналоги классических рядов Фурье для отрезка и, хотя бы частично, понять какие свойства классических рядов Фурье наследуются при переходе от отрезка к кривым и областям.

В отличие от систем экспонент системы линейных комбинаций экспонент очень мало изучены даже для пространств Ц'Са,Ю. В то же время эти вопросы представляют значительный интерес. Это связано со следующими обстоятельствами. Во-первых, при их изучении обнаруживаются неожиданные эффекты, не наблюдавшиеся для обычных систем экспонент. Во-вторых, эти системы, а также системы более общего вида где

^со^аЛ, к=о,1..........а;

2 j-l,..■ >п - заданные непрерывные функции, возникают

при решении дифференциальных уравнений в связи с применением метода Фурье, когда после разделения переменных нужно представить граничные Сили начальные) данные с помощью ряда по системе собственных и присоединенных функций Сс. п. ф. 3 некоторой спектраль-юй задачи. В простейшем случае, когда эта система порождена од-юродным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициента-га, возникает система вида С1).Более общо рассматриваемые задачи шляются задачами следующего типа. Для данного операторного пучка выяснить, обладает ли система с. п. ф. , отвечающая части его спек-

Ь

тра, свойствами полноты, минимальности, базисности. Начиная с основополагающих работ М. В. Келдыша этим вопросам посвящено большое число исследований (обзор, историю вопроса и библиографию см.[8]) в которых развиты мощные "операторные" методы,основанные на оценках резольвенты и (или) факторизации пучков операторов. В настоящей работе для исследования поставленных вопросов применяются теоретико-функциональные методы, отличные от тех, которые применялись ранее. Они используют структуру функций, входящих в рассматриваемые системы, но во многих случаях позволяют существенно ослабить "операторные" требования Стипа нормальности, подчиненности , знакоопределенности некоторых операторов), неизменно возникающие при применении операторных методов.

Еще одна причина, вызывающая интерес к системам (1), заключается в следующем. С помощью соображений двойственности теоремы о полноте и базисности могут быть переформулировании как теоремы единственности и интерполяции в соответствующих классах аналитических функций. Формулировки получающихся при этом теорем отличны от классических - в них определены не значения аналитической функции в заданной последовательности точек, а линейные комбинации таких значений. Для доказательства таких теорем не удается применить классические методы, использующие мультипликативную структуру соответствующих классов аналитических функций. Возникает необходимость в новых подходах, адекватных этим задачам.

- Начало исследований этого круга вопросов связано с системой функций

Г = (eantsinCnO) 00 , аб€ С2)

СХ п =1

Эта система порождена квадратичным пучком

у"+2<хку' +\гСаг+1)у-0, у(0}=уСп)=0 (3)

При аеК этот пучок возникает, например, при разделении переменных в уравнении Лапласа в наклонной полуполосе Сем. рис.). Системой с.п.ф. задачи СЗ) является множество {eantsinCnt^}n^ ffl .которое (см. , напр., [8]) двукратно полно в смысле М.В.Келдыша в LzC0,n). Поэтому можно ожидать, что половина системы с. п.ф.-система (отвечающая убывающим

решениям задачи) окажется полной и минимальной в пространстве 1гС0,п). По-видимому, впервые задача о свойствах половины системы о.п.$. полиномиального пучка исследована в работе 19]. В [10-12] цаны условия кратной полноты половины системы с.п. ф. полиномиального самосопряженного пучка произвольного порядка, из которых, в тастности, следует полнота системы в 12С0,п) при аёЕ.

В 1969 г. А.Г.Костюченко поставил вопрос о доказательстве юлноты системы Я* с помощью теоретико-функциональных методов. Гакое доказательство при аеК было дано в [13]. Более общий вид, чем К*, имеет система

6 = { I [ ыа>я+ зл"7 п]}'

шределенная набором функций (р^) и чисел <<\У, При г-1,

< 11=ехрао система 6 совпадает с системой { АсовС^Э+ВвшСт)}, юлнота и минимальность которой в пространствах 1рСо,Ю изучены в 14]. Случай произвольного гИ при определенных ограничениях на 'к' "к' РассмотРен в [15]. Из полученных в этой работе результатов вытекает, в частности, не только полнота, но и минималь-ость системы К* в 12(0,п) при аеК. Отметим также, что замыкания инейных оболочек систем (1т. У^Си}®, (Не ЪРСО}^ и некоторых си-тем более общего вида в пространствах ¿.РС0,Ю, СС0,Ю при опре-еленных ограничениях на V рассмотрены в [16-18]. При аеК система * совпадает с первой из них при ЖО^ехрССа+ОО.

Задачи теории дифференциальных уравнений приводят к необхо-имости распространить результаты, относящиеся к системе К* в ледующих направлениях:

О число а может быть невещественным - это соответствует эреходу к несамосопряженным пучкам вида (3);

И) показатели экспонент, из которых составлены функции рас-яатриваемой системы, являются значениями линейной функции в точ-IX спектра рассматриваемого пучка. В случае системы этот 7ектр совпадает с множеством целых чисел. В более общих случаях !апример, при рассмотрении других краевых условий) показатели сспонент являются значениями линейной функции в последовательно-ги точек, отличной от более того

Ш) показатели экспонент не обязаны линейно зависеть от

спектрального параметра - в случае неоднородного пучка возникает алгебраическая зависимость;

¿и.) число слагаемых, образующих каждую из функций системы, может быть больше двух - это соответствует рассмотрению пучков порядка выше чем два; наконец

V) каждая иэ функций рассматриваемой системы может быть линейной комбинацией степеней не экспонент, но функций более общего вида, причем коэффициенты этой линейной комбинации могут не быть константами.

В соответствии с изложенным цели диссертации состоят в построении и изучении аналогов рядов Фурье для пространств функций, голоморфных в выпуклых областях и пространств функций на кривых, т. е. нахождении условий полноты и минимальности системы экспонент в этих пространствах, построении таких систем,изучении разложений, в ряды по этим системам экспонент и исследовании связанных с этими вопросами теорем единственности и интерполяции в соответствующих классах аналитических функций; разработке методов исследования и исследовании свойств систем линейных комбинаций экспонент на отрезке; применении этих результатов для изучения свойств корневых систем полиномиальных пучков дифференциальных операторов.

Научная новизна и практическая ценность работы.

Для широкого класса выпуклых областей получен аналог теоремы Винера-Пэли, построены системы экспонент, полные и минимальные в пространствах В.И.Смирнова в этих областях, исследованы вопросы сходимости и суммируемости разложений поэтам системам экспонент. Установлены связанные с этими вопросами теоремы об интерполяции ц.ф. э.т.

Получены условия полноты и минимальности систем экспонент в пространствах функций на кривых, при этом установлена связь между свойством минмиальности системы экспонент и аналитическими свойствами преобразования Лапласа порождающей функциии. Построены разложения в ряды экспонент функций, заданных на кривых, и изучены вопросы сходимости и Суммируемости этих разложений. Введены и исследованы аналоги пространств В. И. Смирнова, отвечающие нецелым показателям (описание этих пространств дано ниже) и изучена структура проекторов, соответствующих этим про-

Ни один из шагов этой схемы не переносится автоматически на рассматриваемый нами случай. Во-первых, для выпуклых областей G не был известен аналог теоремы Винера-Пэли, т. е. описание класса функций вида

FCX^Sqq eXz<pCzMz, С8)

когда p<zLz(d63. Во-вторых, не было ясно, существует ли аналог класса ф.т.с. для выпуклой области, отличной от многоугольника и даже, как он должен быть определен. В-третьих, методы доказательства интерполяционных теорем в случае отрезка и многоугольника основаны на существовании системы выделенных лучей Снормалей к отрезку или к сторонам многоугольника) и используют технику пространств Харди в углах, образованных этими лучами. В нашем случае выделенных лучей нет и нужно развивать другую технику доказательства интерполяционных теорем. В первой главе работы преодолеваются эти трудности: в §2 доказан аналог теоремы Винера-Пэли, в §3 для области 6 определен аналог класса ф. т. с. и строятся функции, принадлежащие этому и более широким классам. Однако, в отличие от случая отрезка и многоугольника соответствующая система экспонент не является безусловным базисом в пространстве Е®Сб). Мы доказываем это и исследуем вопросы сходимости и суммируемости разложений функций из ЕгС63 по возникающим системам экспонент.

Первый параграф этой главы носит вспомогательный характер -в нем исследованы свойства пространств E^CG~J. Во втором параграфе получено представление ц.ф.э.т. , принадлежащей

Теорема 1.1. Пусть ае[-1,1]. для того, чтобы преобразование Бореля Ыр ц. ф. э. т. F принадлежало пространству E^CG~J необходима и достаточно, чтобы FOJ-FCOУ € При этом

IltOpll^g--, IFCOJM + lIFCU-FCCDIIga C9J

Замечания. 1) При а>0 из теоремы 1.1 следует, что каждая функция FeE* представима в виде С8) с функцией реЕ^Св-?.Таким образом эта теорема является аналогом для области 6 классической

^Нумерация утверждений здесь и далее повторяет нумерацию в диссертации.

теоремы Винера-Пэли.

2) В случае, когда G -круг, а а=0, эта теорема доказана в [25,26]. Аналогичная теорема для выпуклого многоугольника доказана в [27].

Аналогом класса ф. т.е. для области 6 оказывается следующий класс S-.

Определение, ц.ф. т. S принадлежит классу S-, если

1) Корни {\к> функции S простые и при некотором £>0 круги

С\еС: |Х-Хк|<сУрС^Т; попарно не пересекаются.

2) ¿ля любого г)>0

|soj>| ехрснсюл и а.-а о) Функции, принадлежащие этому и некоторым более широким классам построены В §3 первой главы. В дальнейшем при изложении результатов гп. 1 будем считать, что фиксирована некоторая функция SeS-, Л=(Хк> - последовательность ее корней и %( Ю-( expíX^z?) - соответствующая последовательность экспонент. В §4 исследуются вопросы полноты и минимальности систем экспонент в пространствах Смирнова В нем на основании теоремы 1.1 даны необходимые и достаточные условия на последовательность (ц} для того, чтобы система экспонент (expCfu^z)) была полна и минимальна в пространстве E^fG). В частности, система %СЮ полна и минимальна в пространствах E^fG) при

аеС-1/4,3/42. Упомянутая теорема о полноте и минимальности аналогична классической теореме для случая отрезка, содержащейся в [27]. Отметим, однако, существенное отличие от случая отрезка: одна и та же система экспонент может быть одновременно полна и минимальна в нескольких содержащихся друг в друге областях:

Определение. Будем говорить. что область G жестко вложена в область ЕсС, если б£В и для любого аеС\0 а+бсВ.

Теорема 1.4. Пусть ВсС - выпуклая область, опорная функция которой удовлетворяет условиям С4), и в жестко вложена в В. Тогда система ЪСЮ полна и минимальна в Ег(В).

При а€(-1/4,3/4? каждой функции /e£*CG.) можно сопоставить ряд по системе ЪСЮ-

^ Z с^С/УехрСХ^г? С11?

В §§5,6 гл.1 исследуются вопросы сходимости и суммируемости этого

ряда. Как уже отмечалось, ряд CID, вообще говоря, расходится.

Теорема 1.5. Ни при каких значениях аеС-1/4,3/4) система %СЮ не является базисом в пространстве E^fG).

Поэтому мы даем метод суммирования ряда CID. Для того, чтобы это сделать, зафиксируем функцию аеСгСО,т), такую, что сгСО=1 при Ш0,1 ] и а(0=0 при t>2.

Теорема 1.6. Пусть аeC-i/4,3/4). Для гобой функции / € £^<TG3

верно

1 А 1 с.ср е\г -► fCz), R —► от (12)

L К. К J k gBfly

Одновременно доказьшается, что для функции из пространства EqCG) ряд CID сходится по норме более слабой, чем норма этого пространства.

Теорема 1.8. Пусть аеС-1/4,1/2). Тогда для любой функции

ряд СП) сходится по норме пространства E^fG). Доказательство этих теорем основано на интерполяционных теоремах в пространствах £*. Каждой функции Г€£* можно сопоставить интерполяционный ряд Лагранжа, построенный по функции 5:

га> . е fcv ь>а)а-к~) (i3) к к

Терема 1.10. Пусть azl-3/4,11. Для любой функции FeZ^ р_яд С13) сходится к функции F по норме пространства £* Си, вообще говоря, не сходится по норме пространства £*).

Теорема 1.7. Пусть функция а та же, что и в теореме 1.6. и зеС-1/4,3/4). Тогда для любой функции Fe£* верно

Н -¿Г* * — ««

Для получения условий равномерной сходимости ряда (11) представим функцию S в виде

SCXXX-X^S'Ck^Sgff^w^zJdtz, fo€E*CG-) С15)

[возможность такого представления следует из теоремы 1.1) и на функциях из пространства E*(G) определим функционал

?0<Р = -\,WC24Cz;d2 + 5d0-f'(z^ocz}dz Ci6)

Теорема 1.9. Пусть' функция feE'CG) такова, что JQCf)=0. Гогда ряд CID равномерно в Clas(G) сходится к функции /.

Глава 2. Системы экспонент на кривых. В этой главе изучаете свойства систем экспонент в пространстве I2 на кривой ГсС. При этом в качестве Г выбирается простая кусочно гладкая кривая, соединяющая точки -пия, и обладающая следующими свойствами: О При некотором веСО.Ю

ГчГ-л,я>сПе :.= (ге€: г=х+уеьв, хеС-я.ть), уеВУ СП)

Ш Пусть Ор ш - неограниченная связная компонента множестве в>.{Ти[-л,я]>. Тогда ГсС1оз(0Г (д).

Свойства простейшей системы экспонент ъаЮ: ={е^п^}'х>да в пространстве 12СП хорошо известны. В самом деле, логарифмическая замена переменных I —► 2=ехрСи^ переводит Г в простую замкнутую кривую ехрСЧЮ = (г-ехрСИУ, 1еП, охватывающую ноль, а 8(42) - в систему степеней которая, конечно же,

полна и минимальна в 1.г(ехраЮ}. С системой степеней связано много содержательных результатов, относящихся к функциям, голоморфным во внутренности Сили во внешности) кривой ехрСЬТУ. В частности, пространства Смирнова в этих областях - это замыкания линейных оболочек множеств п>0) и <гп, п<0У соответственно; эти пространства лежат под ненулевым углом в ^СехрСъЮ^ и их прямая сумма дает все пространство 1г(ехрС1ПО; оператор проектирования, отвечающий этой сумме, выписывается явно с помощью преобразования Гильберта на ехрСЮ. Цель второй главы диссертации - выяснить, в каком виде эти результаты могут быть распространены на случай системы %аю (ехрах^ О), с нецелыми показателями и получить соответствующие теоремы, описывающие свойства этой системы в пространстве

В качестве множества показателей Л = СХ. > фиксируется множество корней функции 5 типа синуса - это естественное для данного круга вопросов обобщение множества целых чисел. Кроме того, рассматриваются системы $аю={ехра^ки), где - последовательность корней функции Т вида

ГСМ = ¡^^сЬСО, С1&)

а а - функция ограниченной вариации со скачками в точках ±п. Для

простоты будем считать, что Т не имеет кратных корней. Если это не так и ркеМ - корень кратности т, то он должен быть'- представлен в системе SC¿Ю функциями tJexpCipkО, j=0,i.....rn-i. Эти

обозначения сохраняются на протяжении всей второй главы.

В §1 гл.2 доказаны теоремы о полноте и минимальности этих систем в пространстве 1гСЮ. Для того, чтобы их сформулировать, представим при каждом MeZ функцию S в виде

SOJ=S'akXX-Xk;>i_£ е1*-1укС1Ж, (191

Возможность такого представления вытекает из теоремы Винера-Пэли.

Положим Dp=C\Clos(Dp др. Для простоты будем считать, что это множество состоит из конечного числа компонент Dj,...D . Будем говорить, что функция /, голоморфная в Dp, принадлежит пространству EzCDp), Если для каждого j=l,2,...п имеет место включение

/|г, € E2CDJ. При сделанных выше предположениях оказывается, что j

минимальность системы SCiAJ) в L2CD связана с аналитическими свойствами функции fo, определенной в С193 при к-0.

Теорема 2.1. В сделанных выше предположениях 0,i0 справедливы следующие утверждения:

1). Система tCiЮ полна в /.2СП);

2) Для минимальности %аю в L2CГ) необходимо и достаточно, чтобы существовала функция / e£2CDp) такая, что

АЛ-я.я>чГ = VoU-n.msT СШ

Замечания. 13 Из того, что Dp состоит из конечного числа связных компонент, следует, что пересечение Гп[-л,л] состоит из конечного числа точек или сегментов. Условие С20) обозначает продолжимость функции ц>о Си, как доказано в §2.1, всех остальных функций у у) с частей сегмента [~тс,п], не принадлежащих Г.

2) В §1 гл.2 приведен пример, показывающий, что от требования tt) нельзя отказаться без того, чтобы утверждение 2) теоремы 2.1 перестало быть верным.

Теорема 2.2. Система SCiM) полна и минимальна в 1гСП.

В дальнейшем во второй главе, если противное не оговорено явно, рассматриваются только те системы 8С£Л2, которые полны и минимальны в i.aCD. В этом случае каждая из функций у>к продолжается с Г-я,я7\Г до функции из E2CDp), которую мы также обозначим через у/ . Сужения этих функций на Г образуют систему ФСг/0=

fyklp^> биортогональную $Cî/l) относительно квазискалярного произведения

<f,ë>r = Jr C2ÎJ

Система 8<ГШ не является базисом в L2<fD - это следует, например, из результатов §3 гл.2. Поэтому полнота в L2(D биортого-нальной системы не вытекает из общих соображений двойственности. Мы устанавливаем эту полноту при дополнительных ограничениях на кривую Г.

Определение. Пусть веСО.п?. Кривую Г назовем 0-графиком, если при каждом xetR прямая Iq(x?=(z<=£; z=x+texpCie?) пересекает Г не более чем в одной точке. Будем говорить, что б-график имеет ограниченный наклон, если ни одна из прямых IgCx? не является касательной к нему (односторонней в точках изломов).

Теорема 2.3. Пусть при некотором беСО.л) кривая Г является 9-графиком. Тогда система ФСШ полна в LaCD.

Аналогичная теорема доказана для системы 8С£М> для частного случая двузвенной ломаной:Г=ГЬ=Г иГг, Г =[-п,Ы, rWb.nJ, где ЬеС\{Т-ю,-n)vCn,aù} - некоторое фиксированное число. Этот случай будет использован в гл.4 для исследования корневой системы квадратичного пучка вида более общего чем (3).

Каждой функции /е£.гСП) можно сопоставить ряд по системе SCiAJ:

/-*lckcpel\где <://;>=</,ук>г С 22?

Сходимость и суммируемость этого ряда исследуется в §§3,4. Положим

т)+= maxfimÇJÇeD, т)_= lainnmÇjÇeD, I^=ÎÇe€;i)_<imÇ<T)+>. Рассмотрим также функционал (это - аналог функционала (16))

?ofpJ = y/oCOfe~aot-çCOl'dt, C23?

заданный на функциях tpéLz(-ntn? таких, что ç'éL^C-п,п?. (Здесь функция ц>о определена (19) при fc=0).

Мы доказываем, что если ряд С22) для функции /е1аСГ) сходится по норме этого пространства, то он сходится равномерно на компактах в Пр и функция /, продолженная с его помощью в полосу Пр, удовлетворяет соотношению

*0(lf/CÇ+t;J = О, уС«Пг. С24?

(Индекс t обозначает, что функционал применен по переменной t). Имеет место и "почти обратное" утверждение: если функция / голо-

морфна в Пр, имеет предельные в среднем квадратичном значения на любом отрезке, лежащем на границе Пр, и выполнено (24), то сужение / на Г принадлежит LZCD и ряд (22) сходится к /|р по норме этого пространства.

Для описания метода суммирования с каждым значением 8еС0,л)

i й

свяжем класс ЬСв) голоморфных в СХеС: ImCXe Э>0) функций и таких, что

Vс>0 Ixr'ReuOJ —» при X —► га, argC\)z.C-e+e,n-Q-c) Каждой функции и^ЪСв) сопоставим голоморфную в €-~РехрСьв) функцию

6CAJ=uOJ при lmCXeis)>0; йСХй=иСКе~1в) при lmCXei9)<0.

Определение. Пусть u<z.1£8). Ряд (22) назовем суммируемым методом Абеля относительно и с параметром в (.АСи,В}-суммируемым) в L2CD к функции /, если существует предел в смысле сходимости в L2CD

lim. Z 2 cvCP ехра\.Х-6йяС\.» = fCV С25)

6-Ю ' как

Замечание. При д=п/2 и uCX)-XlogX, иСХЗ=ГСХ+1) этот метод совпадает с классическими методами суммирования Линделефа и Миттаг-Леффлера.

Метод суммирования ряда (22) удается дать при дополнительных ограничениях на функцию S и кривую Г.

Теорема 2.6. Пусть веСО,л); Г - 8-график ограниченного наклона; S - ф. т. с. такая, что соответствующая ей функция у/ пр_и-надлежит E^CD^O (т.е. yj^eE'CDр)) ; функция usliCQl. Тогда ряд (22) АСи,в)-суммируем в £.гСГЗ к функции / аля любой функции /, удовлетворяющей условию Гельдера на Г с каким-нибудь показателем а>0.

Замечание. После замены z-expCiD условие того, что Г является 0-графиком, перейдет в условие звездности кривой expCiD относительно логарифмических спиралей с фокусом в нуле. Если при этом Л=2, то теорема перейдет в теорему о суммировании степенного ряда на границе звездной области. В такой формулировке она, насколько нам известно, также является новой. Отметим, что как показано в работе [28], даже при суммировании степенного ряда внутри области условие звездности является существенны?!.

Рассмотрим следующие подпространства пространства L2CO.

£=ЕСП=5рсспССеапЬ ч >. Е =Е СП=5рапССеапЬ < >,

* * г п > о - г пЬо

в =в+ m=SpanC<y>n ;п)0;; В. =В_ CD-SpanCfip^ >nio );

Это - аналоги пространств Смирнова для последовательности показателей Л; они изучаются в §5 гл.2. Заметим, что при Л=2 системы 8СЧЛ.) и ФТШ совпадают и возникает только одна пара подпространств.

Если St , Хг - замкнутые подпространства гильбертова пространства X, такие, что Жп*г=0, то через <Ж,Жг> будем обозначать угол между этими подпространствами, а через цн - проек-

1 2

тор (возможно неограниченный) прямой суммы Я +Ж, на Ж параллельно Ж .

г

Теорему о разложении пространства LZCD в прямую сумму подпространств £+, как и теорему о суммировании ряда (22), удается доказать при дополнительных ограничениях на функцию 5.

Теорема 2.7. Пусть Г является б-графиком ограниченного наклона, а функция типа синуса S такова, что функция ц> , опреде- ' ленная соотношением (19) при к-0, принадлежит пространству E?(Dp) Тогда <Е+СО,£ СТ)> > О, <В+СГ),В СГ)> > 0, и, таким образом, LSCD=E+ +£_ =В+ +В_.

Замечание. При этом проектор цЕ выписывается явно. Ока-

1 2

зывается, что он лишь вполне непрерывным возмущением отличается от проектора, возникающего в случае Л=2+а при подходящем аеС.

Аналогичная теорема для системы SCiM) доказана в частном случае Г=ГЬ, упомянутом выше. При этом предполагается, что функция Т, порождающая множество М, имеет вид

ТСХ) = цДВтеашт + SrfCw)eiXwdw С 26)

Здесь feL*(rb) - некоторая функция; - набор точек на Гь,

занумерованных в порядке прохождения Гь от -п к я, причем =-л, ы=п; В еС, т=1,2,... ,Н, и В В*0. В этом случае соответству-

Mm., 1 и

ющий проектор ? "чувствует" расположение точек спектра функции Т. Будем считать, что корни занумерованы таким образом, что ±Renk>0 при ±k>0 и №±к151м+<1с+1 ,1 при k>0, а 8С1Ю, ФС1М> -соответствующая последовательность экспонент и биортогональная к ней система. Положим, как и раньше

£+ =5рапС(е^>п >о>, Е_ =5рапС(е^пЬп<д >,

В=5рапС<у У ч В =Брап«у/ } < ;>; С27)

+ г ГП П>0 - г гп п^о

Для гаТ обозначим через Т'СгЭ части ломаной Г, соединявшие г с

±тс, и определим функцию —► {0,1) равенствами ъх=Г*(г) и х Си>1, жГСг).

ъ

Теорема 2.8. В сделанных выше предположениях <Е+,Е_> > О, <В+ ,В_> > 0 и проектор цЕ имеет вид

Л/-► /Ср + Хр/СгЖС.г^

где

/ М Г /

ШСг=и~ + I Вш 1 В" +

' щ=1 4 1 ^ т

ВТ лйс-я'ш } + "С.*?. сге;

п т

а I - ядро вполне непрерывного оператора в 12СГЬ3.

Таким образом, особенности ядра к, определенного в "квадрате" ГьхГь, расположены на диагонали этого квадрата и в точках С±п,ъ)^>, т=1,2,... ,Н, лежащих на его сторонах.

Отметим, что множество М может существенно отличаться от последовательности целых чисел. Если, например, /тЬ>0, то точки рк при К>0 асимптотически приближаются к точкам арифметической прогрессии, а при к<0 могут быть расположены весьма нерегулярно.

Описание структуры ядра проектора ? является новым и в случае, когда Г - отрезок. В §6 гл.2 это описание используется для исследования вопроса о базисности с конечным дефектом "составных" систем экспонент. Пусть заданы два квазиполинома со спектром на

Б/О = Е ^акЛгШ)с, -л=1о<...<1н, 5^±п>0, М,2. С291

и 1=1,2 - множества их корней. Положим Л^ ' =(\еЛ<^' :ИеХ>0),

Л^'гЛ^Ч Л^ ' , _/=/,2 и рассмотрим системы экспонент ' =

<еШ: ХеЛ^'З, = 8<г>иЗ<1>. Кроме того,

будем предполагать, что корни каждой из функций 5. разделены, т.е. т/{7Х-м/:Х,меЛ< ' , \*ц)>0, 1=1,2. 1

Определение. Будем говорить, что система элементов гильоер-ова пространства образует базис Рисса с конечным дефектом, если

она превращается в базис Рисса после изменения на конечное число элементов.

Теорема 2.9. В сделанных выше предположениях для того, чтобы система ^ Си, соответственно, $а) являлась базисом Рисса с конечным дефектом в IгС-п,Ю необходимо и достаточно, чтобы

Б СЮ Б СЮ —5- • —^- $ С-со, 07 С30?

S С-Ю S С-Ю 1 2

Эта теорема используется в §7 гл. 2 для исследования многоточечной краевой задачи в пространстве L*CO,n?.

+piCt,\?yin-l\...*pnCL,\)y=0, U.Cy?=0, j=l,2,..,n. C31? где UCy?= Г \SU Су?: U Cy?= T У a y^l)Ct?

J o<s<n Js js i<k<n 0<1<N Jkl 1 '

0=t <...<t =jt. Здесь p Ct,\?=p +p COX"1"1 + +p_ m(t?l p = Const; рд .€(/"[0,71], j=l ,2,... ,m, w=l,2,...n.

Задачи такого типа рассмотрены во многих работах Сем., напр., [8], где, среди прочего, изложена история вопроса и дана подробная библиография). В [29], в частности, выделен класс задач Сони названы регулярными) для которых система с.п.ф^ является п-крат-ным базисом в специальном пространстве функицй на С0,Ю. Спектр регулярной задачи может быть разбит на п частей, при этом в ряде задач (библиографию и примеры см. также в [8]) естественно рассматривать лишь те с.п.ф., которые отвечают лишь одной части спектра.

Оказывается, что система с.п.ф., отвечающая одной n-й части спектра, может рассматриваться как возмущение системы t, рассмотренной выше. Однако, это возмущение не является квадратично близким, что не позволяет воспользоваться общими теоремами об устойчивости базиса Рисса относительно квадратичного возмущения.* в работе приведены собственные функции задачи (31) и даны необходимые и достаточные условия того, что одна п-я часть корневой системы является базисом Рисса с конечным дефектом в Lz(0,n?.

Глава 3. Линейные комбинации степеней с целыми показателями. В этой главе исследуются вопросы полноты и минмиальности в

1гС0,п) системы функций

ып(0=а(0рпС0+ЬС0т(ГС0, С 32) где функции а,Ъ,р,Ц! подчинены следующим ограничениям: а,ЬйС[0,п1, р,щС*10,л]; а(1),ЪС1),рС1),уС1),р'СО,у'С1)*Оу Ш0,л1. Эта система является естественным обобщением ситемы Я*. Свойства системы существенно зависят от расположения на комплексной плоскости кривых

Гр:=С2€С: г-рСО, ШО.п]}, г=уС1), Ы[0,п1).

Будем предполагать, что пересечение Г^пГ^ не более чем счетно. Положим Г=Г^иГу. Легко видеть (это, в частности доказано в §1 гл.3), что если Г не разбивает плоскость, то система полна и имеет бесконечный избыток в 1?С0,п). В этой главе рассмотрен простейший (и, как нам кажется, наиболее интересный) случай, когда {\Г несвязно. Именно, предполагается, что рС0)=у(0), <рСп)=ц1Сп) к Г - простая кривая. Через Ор обозначим соответственно ограниченную и неограниченную компоненты множества С\Г. При этом Г - кусочно-гладкий контур, имеющий изломы разве что в точках Со=<рС0) и С, -рСп). Пусть пво, я01 - внутренние углы контура Г в этих точках. Будем предполагать, что 8о, Э< >0. Зададим на Г^ ориентацию в направлении от £0 к ^, а на Г^ - от к (о и будем считать, что эта ориентация совпадает с положительным направлением обхода контура Г. Для простоты будем считать, что ОеОр и рассмотрим пространство =С '"Е^СОр: =</; ("/Ср^СОр}.

С функциями <р,ц) связан сдвиг, т.е. гомеоморфизм от-Г —► Г : ы:С _ о:С — рСг'СОЭ.КеГу. (33)

В §1 гл.З установлена связь между вопросами полноты и минимальности системы и краевыми задачами со сдвигом со для функций из пространства Е*. Определим на контуре Г функции

аШри) . ; 6СС)=1/С<^)), С€ГГ

:(ХРГк-1 - СеГ,

Лемма 3.0.1. А) ЛЗЯ полноты системы в 1гС0,п) необходимо и достаточно, чтобы однородная краевая задача со сдвигом

ЛСиСС^бСсоСрЖ!:.), СеГ (34)

имела лишь тривиальное решение в пространстве Е*.

Б) Для минимальности системы в пространстве 1г(0,п) необходимо и достаточно. чтобы краевая задача со сдвигом

/т^СооСеГ (35)

имела при каждом решение ^еЕ®.

Краевые задачи со сдвигом указанного вида подробно рассмотрены в монографии [30], где также изложена история вопроса. В том случае, когда Г - ляпуновский контур, а сдвиг со имеет всюду на Г производную ш', удовлетворяющую условию Гельдера, в [30] изложен метод конформного склеивания для решения этих задач. Он заключается в построении простой ляпуновской кривой * и конформного отображения 2: йр —► Счк, предельные значения которого удовлетворяют соотношению 2((,)=2(иС(,)), (еГ. С помощью такого отображения задачи С343,С35) сводятся к задаче Римана на кривой Г.

В рассматриваемом нами случае кривая Г имеет изломы в точках (о, С,. причем даже после перехода Сс помощью вспомогательного конформного отображения) к задаче в круге производная гомеоморфизма окружности, индуцированного со, имеет разрывы в образах этих точек. Легко видеть, что в этом случае конформное склеивание не может быть осуществлено на внешность ляпуновского контура. В §2 гл.3 мы доказываем, что в этом случае конформное склеивание может быть осуществлено отображением обдасти 0р на дополнение С к некоторой спирали Сем. рис.), которую будем обозначать ж. При этом точки С0.С, переходят в фокусы * Сбудем считать, что они расположены в точках ±1. При приближении к этим точкам кривая ж асимптотически ведет себя как логарифмическая спираль, параметры которой Сони вычислены в работе) определяются по скачкам производной со' в точках С0 и . Таким образом, краевые задачи С34),С35) со сдвигом и сводятся к задаче Римана на спирали. Исследование этой краевой задачи Соно не является новым, см. , напр. , [31]) вместе с приведенной выше леммой 3.0.1 приводи-к следующей теореме, показывающей, как при заданных функциях а,Ь: <р,у, нужно выбрать Н, чтобы система К была полна и минимальна в

@Г"ч<5)

Тогда оператор Rff:HpCyi -в —* WpCyi ,У2Л определенный

в*

равенством Ra: g(z2 —► J 2gc2+icOdorCoO, обратим.

-0

1

Теорему о представлении функций в угле сформулируем для того частного случая, который применяется к системе КСа.Ю. В этом случае ф.о. в. er есть кусочно-постоянная функция с двумя скачками.

Теорема 4.3. Отображение F —► GOJ-FCC-a+UX^-FCC-a-ОХУ есть изоморфизм между пространствами HpC<CnpJ) и HpCAqD.

Из этой теоремы и условия Бляшке для угла сразу получается критерий полноты системы 8Са,Ю в L2C0,nJ).

Теорема 4.4. Для неполноты Си минимальности) системы КСа.Ю в 1гС0,Ю необходимо и достаточно чтобы

I С Re ) у С 1+1хк12п/Сп~гЮ ■) < т

В §§ 2-4 гл.4 исследуется свойства системы RCa.KD в пространстве L2C0,n). При этом, если в §1 на множество К. не накладывалось дополнительных ограничений, то теперь естественно считать, что К - множество корней целой функции специального вида. Как и в гл.2, рассматривается два случая.

В первом из них К "близко" к множеству натуральных чисел. Именно, будем считать, что задана S -некоторая ф. т.с., Л - множество еэ корней и множество К является "половиной" множества Л:

K=\=ArV ^

Второй случай возникает непосредственно в связи с исследованием квадратичных пучков. Пусть по-прежнему adR. Рассмотрим ломаную Г=Г+иГ_, где r+=f±it, icrnl. Через D обозначим треугольник с вершинами в точках ±тг и iarn. В качестве множества показателей к рассматривается множество К=М+, где - все, лежащие в .

Сдр, корни функции ТОО вида С26) с b=ian.

Зафиксируем функции S, Г и множества Л+ и М+ на время изложения результатов гл.4. Так как "половика" множества корней ф.т. с. определяется с точностью до конечного числа точек, то естественно изучать вопрос о полноте и минимальности системы Ж(а,№ с точностью до.конечного числа функций, т.е. выяснять вопрос о том, может ли эта система быть сделана полной или минимальной после изменения ее на конечное число функций.

Теорема 4.6. В сделанных выше предположениях система KCa,M+J

'¿Ь

полна и минимальна в пространстве с точностью 50 конечно-

го числа функций.

Из этой теоремы вытекают следующие утверждения.

Теорема 4.7. Пусть функция уо> которая определяется из С19) при к=0, может быть продолжена с С-л,л) функции из пространства £*СШ. Тогда система КСа,Л+.) полна и минимальна в пространстве Ю с точностью до конечного числа функций.

Теорема 4.8. Пусть заданы функция ё&1.3(0,Ю, точки (0,п1, причем 0<1а<. .. <Ьп=л, и числа {'а^сС, причем а^О- Тогда система сл^^ краевой задачи

у'н2аХу'+<Гаг+ОХг}/=0; уС0Э=0, с^а^Н* §СОу(1Ш=0, отвечающая собственным значениям, лежащим в правой (левой) полуплоскости , полна и минимальна в пространстве IгСО,Ю с точностью ао конечного числа функций.

Эти теоремь: доказаны в §2 гл.4. В §3 доказано, что при а>0 требование аналитической продолжимости в теореме 4.7. существенно.

Теорема 4.9. Пусть а>0, и функция уо, определенная соотношением (19) при к=0, представима в виде у/ Си=,Фо(О+гС О, где Ф е£гСД), а г - рациональная функция, имеющая хотя бы один полюс в 0. Тогда система КСа,полна в пространстве £.гС0,п) и остается полной после изъятия любого конечного числа функций.

В §4 доказано, что при а<0 от требования аналитической продолжимости в теореме 4.7 можно отказаться без утраты минимальности.

Теорема 4.10. Пусть а<0 и ф.т.с. Б определена соотношением 5СХ> X 5СОеШк + 5СОешсИ,

к^о *

где -п=1о<... <'tii=л, 5€С[-п,п1, БСЬ^^О. Предположим, кроме того. что не существует функции голоморфной в 0 и имеющей предельные в среднем квадратичном значения на (-л,п1, совпадающие с функцией у>о, определенной в (19) при к-0. Тогда система ВСа,Л+) полна и минимальна в 1гС0,лЭ с точностью до конечного числа функций.

Замечания. 1) Таким образом, случай, рассмотренный в этой теореме в существенном является дополнительным к случаю, рассмотренному в теореме 4.7.

23 Теоремы 4.6, 4.7, 4.9, 4.10, остаются справедливыми и для

2) Теоремы 4.6, 4.7, 4.9, 4.10, остаются справедливыми и для яшексных значений aeC\{C-ico,-iJv[i,ica)}. При этом требование ? С соответственно а<Ш в теореме 4.9 С4.10) заменяется на тре-îaHHe Rea>0 (Rea<0). .

3) Положим Л = ЛпС , M =МлС . Теоремы о полноте систем i,A RCa.M ) могут быть получены из приведенных выше с помо-

3 замены a на -а.

В качестве системы линейных комбинаций экспонент, показатели горых алгебраически зависят от спектрального параметра, в§5

4 исследована система функций

ЙТр.^-соХ'/у®; h^C D=e^ ^ * sin куСО, k=i,2... î o>0, р,щС[0,лЗ - вещественнозначные функции, а значение кор-определяется условиями (к^-ы2)1 /z>0, к>ы', -iCkz-wz)1 /г>0, к<ы. î система является не только модельной. Она возникает при изу-1ии классической задачи Рэлея о рассеянии плоской монохромати-;кой волны на периодической поверхности. Если уравнение поверх-;ти имеет вид у=<рСх), возникает система (sinCnt)x oCçC '.)Спг-шгУ Утверждение о полноте и минимальности этой

:темы в LsC0,n) содержится в [32]. В случае, когда поверхность ;ет складки, ее уравнение записывается в параметрическом виде оСО, x=y(t) и мы приходим к системе Жр,у,ы).

Теорема 4.11. Пусть выполнены следующие условия: О уС0)=0, уСл)=л, рС0)=рСл);

Ш lç'Ct)l+ly'Ct)l>0, tçl0,nh причем y'COlxyi'CnW, iii) y:={z(t)=yCt)+i<p(0, t<zl0,n]} - простая кривая, целиком исключением концов гСО) и гСп) лежащая в полосе <z:0<Rez<n). гда система Жр,у',ш) полна и минимальна в пространстве LsC0,n) гочностью до конечного числа функций.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Redh'effer R. M. Completeness of sets of complex exponents // Advances in Mathematics. - 1967,- v. 24. - P. 1-62.

2. Hruschev S. V. , Nikol'skii N. K. , Pavlov B. S. Unconditi-il bases of exponentials and reproducing kernels // Complex ilysis and Spectral Theory CLect. Notes in Math, n.864).-~lin et. al., Springer, 1981.

3. Korevaar J. Muntz-type theorems for arcs and for R" //

Cañad. Math. Soc. Conf. Proc.- 1983,- y. 3.- P. 199-225.

4. Леонтьев А.Ф. 0 полноте системы (z\) на кривых в комплексной плоскости // Докл. АН СССР.-1958.-т.121, N5.- С.797-800.

5. Леонтьев А. Ф. Последовательности полиномов из экспонент. -М. : Наука, - 198С.

6. Леонтьев А.Ф. Ряды экспонент,- М.: Наука.- 1976.

7. Юлмухаметов Р.С. Пространство аналитических функций, имеющих заданный рост вблизи границы // Матем. заметки.-1982,- т.32, Ni. - С.41-57.

8. Маркус А.С. Введение в спектральную теорию полиномиальных операторных пучков.- Кишинев: Штиинца.- 1986.

9. Ворович И. И. , Ковальчук В.Е. 0 базисных свойствах одной системы решений однородных уравнений // Прикладная математика и механика. - 1967.- т. 37, n5. - С. 861-869.

10. Гасымов М.Г. 0 кратной полноте части собственных и присо единенных векторов полиномиальных операторных пучков // Известия АН АрмССР, Математика,- 1971,- т.6, n2-3.- С.131-147.

И. Гасымов М.Г., Джавадов М.Г. Кратная полнота части собственных и присоединенных функций дифференциальных операторных пучков Докл. АН СССР.- 1972.- т.203, N6.- С.1235-1237.

12. Радзневский Г.В. Об одном методе доказательства полноты корневых векторов оператор-функций // Докл. АН СССР.- 1974.-

т. 214, N2,- С. 291-294.

13. Левин Б. Я. Целые функции. - М. : МГУ. - 1971.

14. Feinerman R. Newman D.J. Completeness of {AsinCrvö* Bcos(nx^) on f0,n] // Michigan Math. Journ..- 1968.-v.15, мЗ.-P. 305-312.

15. Шкаликов А.А, Об одной системе функций // Математические заметки.- 1975,- т.18, вып.6.- С.855-860.

16. Казьмин Ю. А. 0 замыкании линейных оболочек двух систем функций // Докл. АН СССР. - 1977.- т. 236, мЗ. - С. 535-537.

17. Барменков А.Н. Казьмин Ю. А. Полнота систем функций специального вида // В кн. Теория отображений, ее обобщения и приложения.- Киев: Наукова думка.- 1982.

18. Тумаркин А.Г. 0 полноте действительных и мнимых частей степеней комплекснозначных функций // Сибирский математический журнал. - 1982. - т. 23, n6. - С. 160-169.

19. Симоненко И.Б. Новый общий метод исследования линейных ператорных уравнений типа сингулярных интегральных уравнений 1// звестия АН СССР, серия математическая.- 1965,- т.29, иЗ.-.567-586.

20. Гохберг И. Ц. , Крупник Н. Я. Введение в теории одномерных ингулярных интегральных операторов.- Кишинев: Штиинца.- 1973.

21. Крупник Н. Я. Банаховы алгебры с символом и сингулярные зтегральные операторы.- Кишинев: Штиинца.- 1984.

22. Левин Б. Я. Интерполяция целыми функциями экспоненциально типа // Математическая физика и функциональный анализ.-фьков: 1969. - в. 1.- С. 136-146.

23. Левин Б.Я. , Любарский Ю. И. Интерполяция целыми функциями гециальных классов и связанные с нею разложения в ряды экспонент 'Известия АН СССР, серия матем.- 1975.- т. 39, N3.- С. 657-702.

24. Левин Б.Я. 0 базисах из показательных функций в 1* // шиски матем. отделения физ.-мат. факультета Харьковского гос-[иверситета и Харьк. матем. общества. - 1961.- т. 27, сер. 46. -29-37.

25. Лихт М. К. Замечание к теореме Винера и Палея о целых гнкциях конечной степени // Успехи матем. наук.- 1964.- т. 19, гп. 1. - С. 169-171.

26. Кацнельсон В.Э. Обобщение теоремы Винера-Пэли о едставлении целых функций конечной степени // Теория функций, нкциональный анализ и их приложения.- 1965.- в.16.- 99-110.

27. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций. - М.: стехиздат. - 1956.

28. Аракелян Н. У. Об эффективном аналитическом продолжении епенных рядов // Математический сборник.- 1984.- т.124, N1.-24-44.

29. Шкаликов А.А. Краевые задачи для обыкновенных дифферен-альных уравнений с параметром в граничных условиях // Труды минара им. И. Г. Петровского. - 1983. - вып. 9. - С. 190-229.

30. Литвинчук Г. С. Краевые задачи и сингулярные уравнения со вигом. - М..: Наука. - 1977.

31. Данилов Е. А. 0 факторизации положительной функции на ятуре неограниченной закрученности // Докл. АН СССР. - 1985.-283, N5,- С. 1051-1053.

32. Костюченко А.Г., Шкаликов А.А. О спектральной теории квадратичных операторных пучков // Успехи матем. наук,- 1984.т. 396, N4. - С. 106-107.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

33. Любарский Ю.И. 0 системе линейных комбинаций экспонент //Теория функций, функциональный анализ и их приложения. -

1981.- в. 34. - С. 69-74.

34. Любарский Ю. И. Представление функций из Нр в полуплоскости и некоторые его приложения // Теория функций, функциональный анализ и их приложения. - 1982. - в. 35. - С. 76-84.

35. Любарский Ю.И. 0 полноте линейных комбинаций простых дробей // Доклады АН СССР,- 1982.- т.263, N1,- С.274-276.

36. Любарский Ю.И. 0 системе Се^пгзьпкпг}™ // Функциональный анализ и его приложения.- 1985.- т.19, N4,- С.89.

37. Любарский Ю. И. Система экспонент на кривой // Доклады АН СССР.- 1985.- т. 284, N4,- С. 298-300.

38. Любарский Ю.И. Теорема Винера-Пэли для выпуклых множеств //Доклады АН УССР, серия А.- 1986.- ыЗ.- С.14.

39. Любарский Ю.И. О полноте и минимальности системы Рэлея //Успехи математических наук. - 1986.- т.41, N4,- С.213-214.:

40. Любарский Ю.И. Полнота и минимальность системы Рэлея // В кн. Операторы в функциональных пространствах и теория функицй.-Киев: Наукова думка, - 1987,- С. 116-126.

41. Любарский Ю. И. Теорема Винера-Пзли для выпуклых множеств //Известия АН АрмССР, Математика, - 1988,- т. 23, N26,- С. 163-172.

42. Любарский Ю. И. Конформная склейка для сдвига Карлемана, имеющего разрывную производную // Доклады АН УССР, серия А.-1986. - N5. - С. 18-19.

43. Любарский Ю. И. Аналоги пространства Смирнова для нецелых показателей // Теория функций, функциональный анализ и их приложения,- 1988,- вып. 50. - С. 115-127.

44. Любарский Ю.И. Полнота и минимальность систем функций вида (аСОрпСО -Ь(ИцРС// Теория функций, функциональный анализ и их приложения. - 1988,- в. 49. - С. 77-86.

45. Любарский Ю.И. Система экспонент на кривой // Сибирский математический журнал. - 1989.- т. 30, N2.- С. 108-121.

46. Любарский Ю. И. Ряды экспонент в пространствах Смирнова и атерполяция целыми функциями специальных классов // Известия АН ЗСР, серия математическая. - 1988,- т. 52, нЗ. - С. 559-580.

47. Любарский В. И. Базисность части корневой системы регу-ярного дифференциального пучка // Функциональный анализ и его зиложения. -1989. -т. 23, N3 - с.67-68.

Ответственный за выпуск - доктор физико-математических наук - В.А.Ткаченко

Щ Л 19763 , подписано к пе*йтн25. 09 . 89,физ.п.л. I учет*, изд. л. 2, заказ '¿10, тираж 100. Бесплатно

гаприит ФТИНТ АН УССР, 310164, Харьков-164, пр. Ленина 47