Ряды экспонент в пространствах целых функций комплексных переменных тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. РЯДЫ ЭКСПОНЕНТ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ПОКАЗАТЕЛЯМИ

§1.1. Линейный дифференциальный оператор бесконечного порядка в пространствах целых функций многих комплексных переменных

§ 1.2. Порядок роста по вертикалям многомерного ряда экспонент

§ 1.3. R. -характеристики роста многомерного ряда экспонент

§ 1.4. Кратные ряды экспонент с положительными показателями

ГЛАВА II. РЯДЫ ЭКСПОНЕНТ С КОМПЛЕКСНЫМИ ПОКАЗАТЕЛЯМИ

§ 2.1. Условия сходимости многомерного ряда экспонент в ЧЦ . Вычисление классического порядка роста суммы ряда

§ 2.2. Условия сходимости многомерного ряда экспонент в ^ . Вычисление классического типа роста суммы ряда

§ 2.3. А-характеристики роста целых функций многих комплексных переменных. Пространство

А-порядок роста многомерного ряда экспонент

§ 2.4. А-тип роста многомерного ряда экспонент

§2.5. Кратные ряды экспонент с комплексными показателями.

ГЛАВА III. ИССЛЕДОВАНИЕ СВОЙСТВ ЗАМКНУТОЙ

ЛИНЕЙНОЙ ОБОЛОЧКИ СИСТЕМЫ ЭКСПОНЕНТ

§ 3.1. Условия представления функций замкнутой линейной оболочки многомерным рядом экспонент с показателями, сумма координат которых имеет конечную верхнюю плотность

§ 3.2. Условия представления функций замкнутой линейной оболочки многомерным рядом экспонент с показателями, сумма координат которых имеет показатель сходимости больше единицы

§ 3.3. Исследование замыкания линейной оболочки кратной системы экспонент

Теория одномерных рядов экспонент имеет более чем столетнюю историю. Большой вклад в ее развитие внесли Э.Борель, Ж.Ритт, С.Мандельбройт, А.Ф.Леонтьев, Г.Л.Лунц, Ю.Ф.Коробейник, В.П.Громов, Ю.Н.Фролов, И.Ф.Красичков и другие.

Начиная с 60-х годов появился большой цикл работ А.Ф.Леонтьева, в которых получены фундаментальные результаты о разложении аналитических функций в ряды экспонент и более общие функциональные ряды. Исследования рядов экспонент и свойств функций, определяемых такими рядами, составляют в настоящее время один из важнейших разделов теории функций. Интерес к рядам экспонент неуклонно растет и в связи с их применением в различных областях математики, например, в современной теории линейных дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами, в теории асимптотических методов решения нелинейных уравнений (см. обзор [153). Если теория одномерных рядов экспонент достаточно хорошо развита (ее основные достижения наиболее полно отражены в монографиях А.Ф.Леонтьева [22-243, [29]), то теория многомерных рядов экспонент, включая и кратные ряды экспонент, находится до сих пор в начальной стадии развития.

Одной из первых работ, в которой рассматривались ряды вида схо

A V Ч (1) О» СО была работа В.П.Громова [9 3, опубликованная в 1969 году, в которой показано, что каждой предельной функции последовательности конечных линейных комбинаций многомерных экспонент соответствует ряд (I) при определенных условиях на показатели ряда оО Я'ти он однозначным образом определяет предельную функцию Fc?> . В работе [14] аналогичная задача решается в более общем случае. Область абсолютной сходимости ряда (I) описана в работе З.Г.Га-бовича С41. Ряды вида (I) в дальнейшем будем называть многомерныч ми рядами экспонент.

Кратным рядом экспонент называется ряд схэ) (2)

Кратный ряд экспонент, в отличие от многомерного ряда экспонент, подвергался исследованиям несколько чаще. Основными работами по теории кратных рядов экспонент являются работы А.Ф.Леонтьева ([281), В.П.Громова ([II-I3]), А.И.Янушаускаса ([44,45]), Г.И.Ибрагимова ([18,19]).

Настоящая работа посвящена, в основном, изучению свойств и поведения многомерного ряда экспонент в различных линейных топологических пространствах целых функций многих комплексных переменных. Наибольшее внимание уделяется тем свойствам ряда, которые зависят от поведения показателей i^v^U^., XДр>)*} . При изучении многомерного ряда экспонент мы заботимся лишь о поведении системы показателей в целом, не накладывая дополнительных условий на каждую координату показателей в отдельности, как это делается часто в случае кратных рядов экспонент. Этот момент - одно из существенных отличий многомерного ряда экспонент от кратного ряда экспонент. На наш взгляд, именно поэтому, во многих задачах практического комплексного анализа многомерный ряд предпочтительней, чем кратный ряд экспонент.

Большинство результатов, полученных для многомерных рядов ■ экспонент, не следует из соответствующих результатов для кратных рядов экспонент и не может быть сведено к ним, и наоборот. Хотя в некоторых частных случаях наблюдается пересечение результатов.

Другим существенным моментом, отличающим исследования многомерных рядов экспонент от аналогичных исследований кратных рядов экспонент, является метод исследования. Методы, применяемые для исследования кратных рядов экспонент, здесь не подходят.

Основой метода исследования многомерных рядов экспонент в работе является развитие (применительно к многомерному случаю) метода линейных дифференциальных операторов бесконечного порядка, детально разработанного в одномерном случае А.Ф.Леонтьевым. В нашем случае эти операторы имеют вид сЮ

LLF] с з) о где

Я) Ген) —^-' lid 11 = 0^ + . } fbZ i ^ Ctc^ €

С.

Следует отметить, что часть результатов, полученных в работе для многомерных рядов экспонент, содержит в себе, как частный случай, результаты новые и для одномерного ряда экспонент (например, теоремы 1.2.2-1.2.6, 2.1.2, 2.3.1-2.3.3, 2.4.1, 2.4.3, 2.4.4, 3.1.5, 3.1.6, 3.2.1, 3.2.2 ).

Перейдем к краткому изложению содержания диссертации. Работа состоит из трех глав, в которых проводится исследование многомерного ряда экспонент. Последний параграф каждой главы посвящен кратным рядам экспонент.

Основными функциональными пространствами, в которых проводятся исследования, являются следующие:

I) qJoo - пространство всех целых функций многих комплексных переменных с топологией равномерной сходимости на компактах;

2) ^^ - пространство целых функций многих комплексных переменных порядка роста (по совокупности переменных) не выше о) , топология которого задается системой норм

РЦ€ = ea^R^')} ^ \/<?>о,

3) С-о, <=**>-] - пространство целых функций многих комплексных переменных порядка роста меньше -о с топологией индуктивного предела пространств 6а- = re - пространство целых функций многих комплексных переменных порядка роста меньше или равного , но типа роста не выше ъ , с топологией, определяемой системой норм

5) - пространство целых функций многих комплексных переменных порядка роста не выше , если порядок равен ^ , то тип конечен, с топологией индуктивного предела пространств

Поскольку в работе все характеристики роста целых функций многих комплексных переменных рассматриваются по совокупности переменных, то термин "по совокупности переменных" в дальнейшем будем опускать.

Как известно СЕ373), тип роста целой функции многих комплексных переменных зависит от области исчерпывания пространства

С , р ^ l .В настоящей работе при изучении типа роста целой функции многих комплексных переменных исчерпывание пространства всегда будем производить с помощью полицилиндра р } и Д^ упрощения записи вместо fбудем писать просто с

Первая глава работы посвящена изучению роста целых функций, представимых многомерным рядом экспонент (I) с положительными показателями. Как уже отмечалось, метод исследования работы опирается на линейные дифференциальные операторы бесконечного порядка вида (3), поэтому в § I.I изучаются свойства операторов вида (3).в пространствах целых функций многих комплексных переменных. Основной теоремой этого параграфа является теорема I.I.I.

ТЕОРЕМ I.I.I. Пусть характеристическая функция оператора LIH целая функция порядка роста f> ^ . Тогда LtF] определен на пространстве (^-С. > 1 , переводит его в себя и является линейным непрерывным оператором.

Во втором параграфе главы I начинается непосредственное изучение роста целых функций, представимых абсолютно сходящимся рядом экспонент (I) с положительными показателями, имеющими единственную предельную точку в бесконечности, f<«= JET IVURV

Пусть N(^.,6^= ^llFK^V -.V^'- 'V^'TV

ЛЕММА. Если

М СР,<ч, - ^ Л- i - • ■ + V t V6i » Г1'- 1 Р » » а>° » то г>

Лемма показывает, что если Rz) не является конечной линейной комбинацией экспонент, тоМСР,растет быстрее. рост функции Fc?) будем характеризовать с помощью порядка роста по вертикалям. Порядком роста по вертикалям функции Рсго называется величина -f— Ь^Щра.о

V Um- р ( ^ . / + Op)

Между порядком роста по вертикалям, коэффициентами и показателями ряда (I) существует связь.

ТЕОРЕМА I.2.I. Пусть - целая функция, представимая абсолютно сходящимся рядом (I) с положительными показателями, имеет порядок роста по вертикалям ^ и пусть коэффициенты ряда удовлетворяют равенству

JI>rvll оС-1. trv 11 / ct p. I

Тогда o^-iv . Если же существует ® , , такое, что

Ьл, h

TO o^zr , НХЛ||= + <PJ

Понятие порядка рост! по вертикалям душ целых функций одной переменной, представимых абсолютно сходящимся рядом экспонент с положительными показателями, вводилось в работе [17].

Известно, что рост целой функции можно характеризовать с помощью классического порядка роста и^М(РДА)

V - Urn. р q '

Где M(P,R,50)= та®. \lFca>|:(.|)e % ^ Я^г^'- ^ Естественно возникает вопрос о связи классического порядка роста с порядком роста по вертикалям.

В § 1.2 показано (теорема 1.2.2), что при некоторых условиях, накладываемых на поведение суммы координат показателей ряда, справедливо неравенство

4. ёг 0 — ^ ± ^ir, где f— tvl^JI е

Здесь же показано (теорема 1.2.4), что условие г 1 nvio является необходимым и достаточным для совпадения классического порядка роста и порядка роста по вертикалям целой функции, пред-ставимой абсолютно сходящимся рядом (I) с положительными показателями.

Пусть последовательность { -VII ] , ^^ t имеет усредненную верхнюю плотность и слой в пространстве Р . Порядком роста в слое <S(.t°a) целой функции Риз , представимой рядом (I), назовем величину

J— . ^trvnC^S,^,. W \--'—

ТЕОРЕМА 1.2.5. Порядок роста в слое S(i'о0 , а> , суммы ряда (I) удовлетворяет неравенствам

J\ г. Q ^ -л) ^ Н) п)л1 - - ^S ~

В теореме 1.2.6 показано, что условие (4) является необходимым и достаточным для того, чтобы ^ v

Результаты § 1.2 являются новыми и для одномерного случая, кроме теоремы I.2.I, которая уточняет известный одномерный аналог.

В § 1.3 изучается рост целых функций, представимых абсолютно сходящимся рядом (I) и имеющих бесконечный порядок роста по вертикалям. В этом случае принято вводить R. -характеристики роста. Понятие Я -характеристик роста для целых функций, представимых кратным рядом экспонент, вводилось в работах[18],[40]. В § 1.3 указаны (теоремы I.3.I и 1.3.2) формулы для вычисления -характеристик роста суммы ряда (I) через коэффициенты и показатели ряда, установлена связь (теоремы 1.3.3 - 1.3.6) между R.-характеристиками роста суммы ряда (I) во всем пространстве С- и в слое S(t>) , л> яя* .

Вторая глава посвящена исследованию многомерного ряда экспонент (I) с комплексными показателями е .

В § 2.1 изучены свойства ряда (I), связанные с порядком роста (классическим) его суммы. Условия сходимости ряда (I) в топологии пространства и рост его суммы описывает теорема.

ТЕОРЕМ 2.I.I. Пусть последовательностьп."] с единственной предельной точкой в бесконечности удовлетворяет условиям где l|xjt = 1 >^1 + . . Если коэффициенты ряда (I) удовлетворяют равенству tn.4> Л ^ . b^Ji, (5) то ряд (I) сходится абсолютно в топологии пространства ^^ и представляет собой целую функцию порядка роста ^ - %

Следующий результат тесно связан с условием (5) (он является новым и для одномерного случая).

ТЕОРЕМА 2.1.2. Пусть последовательность удовлетворяет условию

Ьх. к.

Для того, чтобы ряд (I) абсолютно сходился в топологии пространства , , и не сходился в топологии пространства ^^ при l+if + c^ , необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие (5).

В связи с этим результатом возникает вопрос: можно ли и как вычислять порядок роста суммы ряда (I) через его коэффициенты и показатели. Если последовательность различных чисел имеет конечный показатель сходимости j> , то можно лишь определить (теоремы 2,1.3 и 2.1.4) границы интервала, в котором лежит порядок роста его суммы. Если же дополнительно потребовать выполнения условия

ЩГЬ i Р

ИгЦь d ерь Я

- 1 где то порядок роста ^ суммы ряда (I) можно вычислять по формуле (теорема 2.1.5) t^Ua&j " ^

Второй параграф главы II посвящен изучению типа роста суммы ряда (I). Прежде всего укажем условия сходимости ряда (I) в топологии пространства

ТЕОРЕМ 2.2.1. Пусть показатели {х„. \ удовлетворяют условию

V Ьх. П

К > [rvuajc. С\ур ] п- 4.

I + . . . + х с? л

-О О

Ряд (I) сходится абсолютно в топологии ^^ и не сходится в топологии при уз < т , тогда и только тогда, когда г

-f/fv-i) (i>t) i/o-i)

6)

В одномерном случае аналог теоремы 2.2.1 получен ранее другим методом А.Ф.Леонтьевым [24, стр. 15].

В теореме 2.2.3 показано, что при некоторых дополнительных условиях на показатели ряда (6) в точности дает формулу для вычисления типа роста суммы ряда (I). Этими дополнительными условиями являются существование конечной верхней плотности последоf со v СР> "I вательности различных комплексных чисел {Х^ + . . + ) и условие

-О h--?> оо 1 ч «о . cpj

-4 9 ль

-о. (V)

Если условие (7) не выполняется, то можно (теорема 2.2.2) указать только границы интервала, содержащего тип роста суммы ряда (I).

В случае бесконечного порядка роста целой функции вводятся новые характеристики роста. Одна из них - А-порядок - введена В.П.Громовым [6] для целых функций одной переменной, представи-мых рядом экспонент. Им получены достаточные условия ( А.Ф.Леонтьев [26]показал, что эти условия и необходимые ), в которых А-порядок роста можно вычислять через коэффициенты и показатели ряда экспонент. Понятие А-типа роста для тех же функций введено в работе [20]. Понятие А-порядка роста для целых функций многих комплексных переменных, представимых кратным рядом экспонент, вводилось в работе Г.И.Ибрагимова [18] при исчерпывании пространства полицилиндрами. Однако, как оказалось, А-характеристики роста целых функций многих переменных зависят от области исчерпывания пространства и, следовательно, введенное в [18] определение носит частный характер. Оставался открытым и вопрос о связи А-характеристик роста целой функции с ее тейлоровскими коэффициентами. Поэтому в § 2.3 дается общее определение А-характеристик роста целых функций многих комплексных переменных и устанавливается их связь с тейлоровскими коэффициентами, при этом доказывается зависимость А-характеристик роста от области исчерпывания пространства <СР ; описываются свойства пространства ^«С^З, поровденного целыми функциями конечного А-порядка роста эе. и изучается поведение ряда (I) в пространстве GL^C®3. р

Пусть Рсг) ,2-^(12 , p^i целая функция. А-порядком роста функции Fez) назовем величину

-у— Lgg.M(F R.,3» а ■= хллгь 0 а->00 к

А-типом роста функции Fez; при данном А-порядке ^ будем называть величину

1гъН(Р R Я» где &*fiAlFca>\ ■ , с: (С.р - ограниченная, полная, кратно-круговая область с центром в начале координат. г

ТЕОРЕМА 2.3.1. Для того, чтобы целая функция имела А-порядок роста и при этом порядке А-тип , необходимо и достаточно, чтобы

Лгтг [LllKll -V7l£CK)l-<itK>Ocn } = ^

UWTt

ПК II of з£ -а

ПК П • S-oep А

SD ■> где = *ufiAi*iK: в

Обозначим через бЦ^С^О пространство целых функций А-поряд-ка роста не выше с топологией, задаваемой системой норм

РЦС= \M(F,R9>).e«p(-e )\7 Ve>o.

С такой топологией бЦД^)) полное, счетно-нормированное пространство. Пространство сопряженное с ним описывает теорема. л

ТЕОРЕМА 2.3.2. Любой линейный непрерывный функционал на пространстве О^Ш имеет вид пк« 2L с'

Рм tlc> к: к

ЭН^. -<эг г

К-) = СО) X . . . где

I т/ (с1к)| (ю! ± е^нкп 1/ oL^c»)

Ряды экспонент во введенном пространстве Сю) удобно изучать, если в качестве области исчерпывания рассматривать область ЯГ= {?£ СР-1(^ д = .ц. ^ р} , поэтому в дальнейшем будем опускать индекс у «е» .

В § 2.3 доказана следующая теорема.

ТЕОРЕМА 2.3.3. Пусть последовательность удовлетворяет условию

Хп. I

АЛП- |ч (i) UP) l^yv + . . . + Л ^

Для того, чтобы ряд (I) абсолютно сходился в топологии и не сходился в топологии (Х^ при о^оо f необходимо и достаточно, чтобы

Г->| 1 СО.

К—> со I

Заметим, что теоремы 2.3.1 - 2.3.3 новые и для одномерного случая.

Далее, пусть последовательность { . .txlfl, xJT , V , имеет конечную верхнюю плотность, тогда существует интервал, содержащий А-порядок роста суммы ряда (I). При некоторых дополнительных условиях на показатели можно указать формулу для вычисления А-порядка роста суммы ряда (I).

ТЕОРЕМА 2.3.5. Пусть \ Ч <Р« , ч «-> ч <р) (о \

I + . +V ] V fu^fn.

Для того, чтобы А-порядок роста суммы ряда (I) вычислялся по формуле

- = об

П.->С7° - -itvl ct(vl необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие f~ i Р 0.

В § 2.4 вводится пространство Г») целых функций А-по-рядка роста меньше «.я или равного ^ , но А-типа не выше ^ , с топологией, задаваемой системой норм

ИП1£ = (ПСР R % , Ve>o, где мCP,= i j = в дальнейшем вместо бужж писать просто ). Условия сходимости ряда (I) в топологии ^^^ описывает следующая теорема (новая и для одномерного случая).

ТЕОРЕМА 2.4.1. Пусть последовательность {>v] удовлетворяет условию

О 1мг

Vi/пг t4) (f).

I + . . . ■+ I 0.

Для того, чтобы ряд (I) абсолютно сходился В ТОПОЛОГИИ & и не сходился в топологии при jb f необходимо и достаточно, чтобы

Um. tllAJMcU J.

Если последовательность (х^] удовлетворяет условию (8), то существует интервал, содержащий А-тип роста суммы ряда (I) и границы этого интервала неулучшаемы (теоремы 2.4.2 и 2.4.3). Если, кроме этого, наложить ограничения на скорость сближения показателей, то получим следующий результат.

ТЕОРЕМ 2.4.4. Пусть последовательность удовлетворяет условию (8). Для того, чтобы А-тип роста суммы ряда (I) вычислялся по формуле

4 f- Г «/ll-XrJI I t = ik iun \ llxj-lolj J

К—>c-o ; необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие f I (j 1

АА1Ь I . (i) (p; . . . -t"

Ub o.

Третья глава работы посвящена исследованию свойств замкнутых линейных оболочек многомерных систем экспонент в различных топологических пространствах целых функций многих комплексных переменных.

В § 3.1 изучаются свойства замыкания линейной оболочки системы езер ^ s> } в ТОПОЛОГИИ ПрОСТрЭНСТВа Л^о :

При этом на показатели { X ^} накладываем следующие условия

Латъ \. (1-) ср)

К->>00 j ■+

К- . с« (Р) . <*> ч (pj и

Известно ([14]), что между функциями из и рядами вида

I) существует изоморфизм о<Э

В § 3.1 получены необходимые и достаточные условия сходимости ряда (9) для функций из И ^^ . Здесь же уточняется топология, в которой ряд (9) сходится, и указываются формулы для вычисления соответствующих характеристик роста. В одномерном случае критерии сходимости ряда (9) для любой функции из HlX1! , имеющей классические характеристики роста, доказаны А.Ф.Леонтьевым [251,126]. В настоящей работе удалось получить результаты новые и для одномерного случая. Приведем их.

ТЕОРЕМА 3.1.5. Пусть - любая целая функция, имеющая А-порядок роста . Для того, чтобы ряд (9) абсолютно сходился к F сг) в топологии пространства ^^ , необходимо и достаточно, чтобы Г 1 щгь h ч О эе

ТЕОРЕМА 3.1.6. Ряд (9) абсолютно сходится к Рс^) , VFe , в топологии пространства , тогда и только тогда, когда 91

Lv 1

А) п. <Р)\

0.

При этом А-порядок роста ^ * суммы ряда (9) вычисляется по формуле фл к I

1/ЫЛГЬ

- Itv IcL^ I

В § 3.2 рассматривается случай, когда последовательность показателей такова, что последовательность различных комплексных

С ч м ч <Р> \ чисел i -+ - > • + ^ N У имеет конечный показатель сходимости f>l . Замыкание линейной оболочки системы г>] производится в топологии пространства ( Т^Т > ^

Основной теоремой этого параграфа является теорема 3.2.2.

ТЕОРЕМА. 3.2.2. Для того, чтобы любая функция ре И с: , представлялась абсолютно сходящимся в топологии > ^ 1 рядом (9), необходимо и достаточно, чтобы 1

IrtE-v V

И в этом случае порядок роста -э функции вычисляется по формуле

-у— jJlVU

--><*=> ЬЛсЛИ^

Результаты § 3.2 являются новыми и для одномерного случая. Как уже отмечалось, в последнем параграфе каждой главы ( §§ 1.4, 2.5, 3.3 ) задачи, рассмотренные в предыдущих параграфах, ставятся и решаются для кратных рядов экспонент (2)

Отметим, что в известных работах по теории кратных рядов экспонент многие из рассмотренных задач детально не изучались. Например, впервые в теории роста кратных рядов экспонент удалось получить результаты для того случая, когда, по крайней мере, одна из координат показателей имеет неограниченную верхнюю плотность (теоремы 1.4.3, 1.4.4, 2.5.7, 2.5.8, 3.3.8).

Заметим, что результаты для многомерного ряда экспонент (I) получены в довольно общих условиях, накладываемых на показатели ряда. При таких общих условиях на показатели аналогичные результаты для кратных рядов (2) неизвестны и некоторые из них, по-видимому, невозможны.

Естественно, что в том случае, когда на показатели многомерного и кратного рядов экспонент накладываются одинаковые условия некоторые частные результаты о многомерном ряде экспонент можно получить как следствие из соответствующих результатов о кратном ряде экспонент, К таким теоремам относятся, в частности, теоремы I.2.I, 2.1.2, 2.2.1, 2.3.3, 2.4.1. В общем случае при исследовании многомерного ряда экспонент (I), как правило, на показатели накладываются существенно иные условия, чем в случае кратного ряда (2).

Поясним последнее замечание. Например, основные результаты §2.2 главы II справедливы при следующих предположениях

- <<=хо. (TQ)

Для кратного ряда подобные результаты получены лишь в предположении, что г О- . (II)

IN1

Очевидно, что условия (10) и (II) существенно различны, причем (II) является более широким требованием на показатели и только в случае положительных показателей они совпадают.

При вычислении R. -характеристик роста для многомерного ряда экспонент мы накладываем следующие условия на показатели:

L rv для R -порядка

1 СХУ

ГГЬ ч U)V \ ч (f) Р \ CFJ

12)

Sn. для R,-типа -

HTt (1> CP)

В случае кратных рядов экспонент Ф.Г.Салимов [401 требует выполнения условий для R -порядка ф = , ^ггух^р.^

Ч ~ u ^ (13) для К -типа Р . ^ d a «rV--, P

Совершенно ясно, что условия (12) шире условий (13). Более того, даже в тех случаях, когда условия (12) вытекают из условий (13), для многомерного ряда экспонент получаются более точные результаты.

Кроме иных условий на показатели, которые обсуждались выше, задачи о кратных рядах экспонент требуют и других операторов исследования.

В § 1.4 изучается рост целых функций, представимых абсолютно сходящимся рядом (2) с положительными показателями. В частности, доказана теорема.

ТЕОРЕМА 1.4.6. Пусть последовательность имеет усредненную верхнюю плотность и "V - порядок роста по d вертикалям суммы ряда (2). Для того, чтобы порядок роста по верр тикалям во всем пространстве С совпадал с порядком роста в слое SCt1» , » необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие L ит lltvll-;»^ f-tL^tb i где W-a - целая функция с простыми нулями \ , j=V~>p .

В § 2.5 исследуются свойства ряда (2) с комплексными показателями, указываются условия сходимости ряда (2) в различных линейных топологических пространствах целых функций многих комплексных переменных. Например, доказаны следующие теоремы.

ТЕОРЕМ 2.5.7. Если последовательность Vh-j*^ , имеет показатель сходимости Е ф и> ф

• N ч .

-Lllx

14 I

IIMI-^oo *

-L где у = rrvo-oc (y»j) > i. , j^i,. см ^ p , то ряд (2) абсолютно сходится в топологии пространства и порядок роста его суммы удовлетворяет неравенству cj, где величина 0 вычисляется по формуле

0-1 & г

II дггь

Wl-^eo

ТЕОРЕМ 2.5.8. В условиях теоремы 2.5.7 условие А lrv||->00

L\x

40 является необходимым и достаточным для того, чтобы порядок роста суммы ряда (2) вычислялся по формуле Г jvMI p-d

§ 3.3 посвящен изучению замыкания линейной оболочки кратной системы экспонент в зависимости от поведения показателей. В частности, если система ] имеет показатель сходимости и гл-а^с, уэ ) > 4.

I. А

Г1. р

ТО

IS и каждой функции из единственным образом ставится в соответствие ряд (2). Для этого случая справедлива теорема.

ТЕОРЕМ 3.3.8. Для того, чтобы любая функция Fe Н \ Х ^ с" » представлялась абсолютно сходящимся в топологии (5 ^ 1 рядом (2), необходимо и достаточно, чтобы

-V—

Ьигь

IIMI-f 4

1ъ1\

С1) О I m<J

Если ^ - порядок роста функции место формула

К) f s-*то имеет j щп

UMI-^oO kkU/oU

В заключение автор выражает глубокую признательность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору В.П.Громову за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

1. yfzpei.fi.a. J.Q Ofu "tile. Rifct ardLe-r oJ^ erdirre %vrl<Msbt ^riM.—GliMxA. tf v. 4.5" л/5-gj i г

2. E^-ar^^G- Le^oni уллг Егл •ie^iw SL ie/rrn^fW*, 93 p.

3. Владимиров B.C. Методы теории функций многих комплексных переменных. ГЛ.: Наука, 1964, 412 с.

4. Габович З.Г. Функции нескольких переменных, представимые рядами типа Дирихле. Дис. канд. физ.-мат, наук. Ростов-Дон, 1974, 108 л.

5. Гаврилова P.M. Об аналитических функциях двух комплексных переменных, представимых рядами Дирихле. Дис. канд. физ.-мат. наук. Ростов-Дон, 1972, 148 л.

6. Громов В.П. О рядах по системе . ДАН СССР, 1962, т. 144, № I, с. 23-26.

7. Громов В.П. О росте функций, определяемых рядами J^ck-fC^2)- -Математ. сб., 1965, т. 67(109), В 2, с. 190-209.

8. Громов В.П. О дифференциальных операторах бесконечного порядка в частных производных. Доклады научно-техн. конференции, МЭИ, секция математ., 1967, с. 39-50.

9. Громов В.П. О последовательностях полиномов Дирихле. -Доклады научно-техн. конференции, МЭИ, секция математика, 1969, с. 18-25.

10. Громов В.П. Об аналитических решениях одного класса функциональных уравнений. Ученые записки МОПИ, мат. анализ,1969, т. 296, вып. 14, с. II7-I38.

11. Громов В.П. К вопросу о представлении кратным, рядом Дирихле.■ Сибирский математ. журнал, 1972, т. XIII, № I, с. 74-85.

12. Громов В.П. К теории кратных рядов Дирихле. I. Изв. АН Арм.ССР, Математика, 1970, т. У, № 5, с. 449-458.

13. Громов В.П. К теории кратных рядов Дирихле. II. Изв. АН Арм.ССР, Математика, 1972, т. УН, 2, с. 90-103.

14. Громов В.П. О последовательностях линейных агрегатов, составленных из решений дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами. В кн.: Теория функций и метод Монте-Карло. Уфа, 1975, с. 59-77.

15. Ибрагимов Г.И. 0 росте функций, определенных кратными рядами Дирихле. Изв. ВУЗов, Математика, 1973, JS 7(134),с. 32-39.

16. Ибрагимов Г.И. Оруджев С.Р. К вопросу о росте функций, определенных двойными рядами Дирихле. Баку, 1974, с. 21. Рукопись деп. в ВИНИТИ, № 2160-74 .

17. Каримов З.Ш. К вопросу об А-типе роста функции, представленной рядом Дирихле. В кн.: Исследования по теории аппроксимации функций. Уфа, 1981, с. 43-46.

18. Коробейник Ю.Ф. Об одной двойственной задаче. Математ. сб., 1975, т. 98, с. 3-26.

19. Леонтьев А.Ф. Ряды экспонент. М.: Наука, 1976, 536 с.

20. Леонтьев А.Ф. Последовательности полиномов из экспонент. -М.: Наука, 1980, 380 с.

21. Леонтьев А.Ф. Обобщения рядов экспонент. М.: Наука, 1981, 320 с.

22. Леонтьев А.Ф. Ряды полиномов Дирихле и их обобщения. -Труды МИАН им.В.А.Стеклова, 1951, т. XXXIX, 214 с.

23. Леонтьев А.Ф. К вопросу о росте функций, определенных рядами Дирихле и некоторыми другими рядами. Математ. сб., 1964, т. 65(105), й 2, с. 227-237.

24. Леонтьев А.Ф. О представлении целых функций многих переменных рядами Дирихле. Математ. сб., 1972, т. 89(131), № 4, с. 586-598.

25. Леонтьев А.Ф. О представлении целых функций из линейной оболочки системы экспонент рядами. В кн.: Исследования по теории аппроксимации функций. Уфа, 1979, с. 3-17.

26. Леонтьев А.Ф. Целые функции. Ряды экспонент. М.: Наука, 1983, 176 с.

27. Лунц Г.Л. Ряды Дирихле с последовательностью комплексных показателей, имеющих угловую плотность. ДАН СССР, 1963, т. 151, & 2, с. 279-281.

28. Лунц Г.Л. О рядах Дирихле с комплексными показателями. -Математ. сб., 1965, т. 67(109):1, с. 89-134.

29. Мандельбройт С. Примыкающие ряды, регуляризация последовательностей. Применения. М-Л.: ИЛ, 1955, 267 с.

30. Мандельбройт С. Ряды Дирихле, принципы и методы. М.: Мир, 1973, 172 с.

31. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. М., 1967, т. I, 488 е., т. 2, 624 с.

32. Оруджев С.Р. О порядке и типе целых функций, представленных рядами Дирихле. Изв. ВУЗов, Математика, 1974, В 7(146), с. 60-65.

33. Rdt Й Е. Огь fvoirvU uv bis "Ь^еог^ ol ~ Jmm. у. сМЖ; V.50, Л, р.?3

34. Ронкин Л.И. Введение в теорию целых функций многих комплексных переменных. М.: Наука, 1971, 432 с.

35. Садыхов Г.С. 0 росте функций в полосе, определенных рядами Дирихле. Изв. АН Азер.ССР, серия физ.-техн. и мат. наук, 1965, № I, с. 20-29.

36. Салимов Ф.Г. Об области сходимости рядов Дирихле, Тейлора-Дирихле, о порядке и типе целых функций, представленных кратными рядами Дирихле. Дис. канд. физ.-мат. наук. Баку, 1970, ПОл.

37. Салимов Ф.Г. О росте целых функций многих комплексных переменных, определяемых рядами Дирихле. Изв. ВУЗов, Математика, 1972, № 5, с. 74-79.

38. Фролов IC.H. Об аппроксимации решений уравнений бесконечного порядка в обобщенных производных посредством элементарных решений. В кн.: Исследования по теории аппроксимации функций. Уфа, 1979, с. 268-281.

39. Фукс Б.А. Введение в теорию аналитических функций многих комплексных переменных. М.: Наука, 1962, 420 с.

40. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. М.: Наука, 1976, т. I, 320 е., т. 2, 400 с.

41. Янушаускас А.И. Дойные ряды Дирихле. Литовский математ. журнал, 1978, т. ХУШ, й 3, с. 20I-2II.

42. Янушаускас А.И. Свойства сопряженных абсцисс сходимости двойных рядов Дирихле. Литовский математ.'журнал, 1979. т. XIX, А* I, с. 213-228.

43. Монако Т.П. К вопросу о росте целых функций многих комплексных переменных, представленных рядами Дирихле. В кн.: Избранные задачи компл. анализа. Тр. науч. семинара. Москва, апрель, 1982, с. 138-152. Деп. в ВИНИТИ, 5592-82.

44. Монако Т.П. О некоторых свойствах замыкания линейной оболочки экспонент. В кн.: Исследования по математике, физике, механике и процессам управления (тезисы докладов). Уфа, 1983, с. 37-38.

45. Монако Т.П. К вопросу о росте функций, представленных рядами Дирихле. В кн.: Общая теория граничных задач. Киев, 1983, с. 285-286.

46. Монако Т.П. К вопросу об А-характеристиках роста целых функций. Москва, 1983, 14 с. ^копись деп. в ВИНИТИ, В 4106-83.

47. Монако Т.П. О некоторых свойствах замыкания линейной оболочки экспонент. I. В кн.: Представление аналитических функций функциональными рядами и интегралами. Тр. науч. семинара, Москва, апрель, 1983, с. 93-103. Деп. в ВИНИТИ,В 4832-83.

48. Монако Т.П. О некоторых свойствах замыкания линейной оболочки экспонент. II. В кн.: Представление, аналитических функций функциональными рядами и интегралами. Тр. науч. семинара, Москва, апрель, 1983, с. I04-II2. Деп, в ВИНИТИ,В 4841-83.