Абсолютно представляющие системы в пространствах аналитических функций с заданной граничной гладкостью тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

005001588

Петров Сергей Владимирович

АБСОЛЮТНО ПРЕДСТАВЛЯЮЩИЕ СИСТЕМЫ В ПРОСТРАНСТВАХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ С ЗАДАННОЙ ГРАНИЧНОЙ ГЛАДКОСТЬЮ

01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 О НОЯ 2011

Ростов-на-Дону-2011

005001588

Работа выполнена в Южном федеральном университете на кафедре математического анализа.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Абанин Александр Васильевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Фетисов Валерий Георгиевич

доктор физико-математических наук, профессор Шишкин Андрей Борисович

Ведущая организация: Башкирский государственный университет

Защита состоится 22 ноября 2011 года в 15— часов на заседании совета Д 212.208.29 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Южном федеральном университете по адресу: 344090, г. Ростов-на-Дону, ул. Миль-чакова, 8-а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Южного федерального университета по адресу : г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан " 12)" октября 2011 г.

Учёный секретарь диссертационного совета Д 212.208.29

Кряквин В. Д.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ

Актуальность темы. В диссертации рассматриваются задачи, относящиеся к комплексному и функциональному анализу, а также теории функций. Изучаются пространства функций, аналитических в ограниченной односвязной области, с заданными оценками всех производных.

В последнее время возрос интерес к изучению абсолютно представляющих систем (АПС) в различного рода пространствах. Это обусловлено тем, что развитие теории абсолютно представляющих систем в локально выпуклых пространствах позволило найти новые подходы к изучению таких важных вопросов, как разрешимость уравнений типа свертки, задача Коши для уравнений в частных производных и др.

Разработка теории АПС была начата в середине 70-х годов прошлого столетия Ю. Ф. Коробейником. Отправной точкой ему послужили фундамен-дальные исследования А. Ф. Леонтьева по представлению аналитических в выпуклой области функций рядами экспонент и их обобщений. Теория АПС развивалась, главным образом, в работах Ю. Ф. Коробейника и его учеников

A. В. Абанина, Ле Хай Хоя, С. Н. Мелихова, В. Б. Шерстюкова, И. С. Шрай-феля, а также в работах математиков уфимской школы по теории функций

B. В. Напалкова, А. Б. Секерина и др. Согласно работе Ю. Ф. Коробейника1 последовательность {хк}™^ ненулевых элементов полного отделимого локально выпуклого пространства II называется АПС в Н, если любой элемент

оо

хеН представим в виде суммы ряда .х = сь^ь абсолютно сходящегося к х по топологии II.

В цикле работ Ю. Ф. Коробейника были заложены основы теории АПС в локально выпуклых пространствах и разработан один из основополагающих методов изучения АПС, базирующийся на теории двойственности. Одновременно с этим были введены и исследованы различные свойства АПС элементов полного отделимого локально выпуклого пространства такие, как внутрь-продолжаемость и устойчивость относительно предельного перехода.

Основным модельным пространством при изучении свойств АПС экспонент и простейших дробей, для которого к настоящему времени получены результаты завершенного характера, выступало пространство Фреше всех функций, аналитических в области. Одними из малоизученных в данном отношении являются близкие к ним по набору элементов и тождественные по топологической структуре пространства аналитических в ограниченной области функций с заданной граничной гладкостью. В частности, вплоть до настоящего исследования не было известно, влечет ли эта близость пространств

1КоробеЯннк Ю. Ф. Об одной двойственной задаче I. Общие результаты. Приложения к пространствам Фреше // Матем. сб.- 1975,— Т. ЭТ.- 139:2.- С. 193-229

идентичность свойств указанных АПС. В связи с этим тематика диссертации нам представляется актуальной.

Цели работы.

— определение и изучение некоторых свойств весовых пространств аналитических функций с заданной граничной гладкостью; описание топологически сопряженных с ними пространств;

— применение полученных результатов к исследованию вопроса о существовании абсолютно представляющих систем экспонент (АПСЭ) и (или) простейших дробей (АПСПД) в пространствах аналитических функций с заданной граничной гладкостью;

— исследование свойств продолжаемости и устойчивости относительно предельного перехода по весовой последовательности или по области для АПСЭ и АПСПД в пространствах рассматриваемого вида;

— описание АПСЭ минимального типа в пространствах аналитических функций с заданной граничной гладкостью.

Методы исследований. В работе используются классические методы функционального и комплексного анализа, теории двойственности и теории целых функций. При исследовании АПС в пространствах аналитических функций с заданной граничной гладкостью применяются подходы и результаты, развитые ранее Ю. Ф. Коробейником и А. В. Абаниным.

Научная новизна и практическая значимость. Полученные в диссертации результаты являются новыми, носят теоретический характер и могут найти дальнейшее применение, например, к задачам представления аналитических функций рядами простейших дробей и экспонент, а также разрешимости уравнений типа свертки. Они могут быть использованы специалистами, работающими в Южном федеральном университете, Сибирском федеральном университете, Институте математики с ВЦ Уфимского научного центра РАН, Южном математическом институте ВНЦ РАН и РСО-А, Московском, Башкирском, Новосибирском, Саратовском университетах, а также в других ведущих российских и зарубежных научных центрах.

Апробация работы. Основные результаты неоднократно докладывались на научных семинарах кафедры математического анализа Южного федерального университета, на Международной конференции «Теория операторов. Комплексный анализ и математическое моделирование» в Волгодонске (2009, 2011 гг.), на Международной коференции «Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования» во Владикавказе (2008, 2010 гг.), на Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памя-

ти Н. В. Ефимова в Абрау-Дюрсо (2008 г.), на Уфимской международной конференции «Комплексный анализ и дифференциальные уравнения» (Уфа, 2011 г.), а также на Международной школе-конференции молодых ученых «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании» (Уфа, 2011 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано семь работ, список которых приведен в конце автореферата. В совместных с А. В. Абаниным статьях [1] - [4] А. В. Абанину принадлежит постановка задач и указание метода исследования, а автору диссертации — проведение исследования и доказательство результатов.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Объём диссертации составляет 117 страниц. Библиография — 59 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении приведен краткий обзор литературы по теме диссертации, сформулированы основные результаты, которые выносятся на защиту.

Глава 1.

В первой главе, носящей для основного в настоящей диссертации исследования АПС вспомогательный характер, речь пойдет об описании сильно сопряженных к весовым пространствам аналитических функций с заданной граничной гладкостью. Ранее эта задача изучалась в работе Б. А. Держав-ца2, на основных моментах которой мы сейчас остановимся. Отметим, что все результаты из указанной работы получены для областей из С", но мы ограничимся лишь интересующим нас одномерным случаем.

Возрастающая последовательность положительных чисел {M*}£Li называется регулярной, если выполнены следующие условия:

a) ml < тпк-i ■ mk+i ;

• .ч (тк+1V ^ ,

о) sup -I < +оо ;

iteN \ тk J

с) lim mi = +оо ,

к~*оо

где тк := А: £ N. к\

3Державец В. А. Пространства функций, аналитических в выпуклых областях пространства Сп и имеющих заданное поведение вблизи границы // Известия СКНЦ ВШ. Ест. науки,—1985.—№ 2.—С. 11-14.

Через Ж := l: п = 1,2,... | обозначено семейство регулярных

последовательностей, удовлетворяющих условиям

Мп+1Ок

МЩМк, п-> оо; VQ > 0, Vn lim * v = 0.

it-00 Mj}

Полагается

1.

Л,(г) := inf — (г > 0).

Пусть A°°(G) — пространство функций, аналитических в ограниченной односвязпой области G С С, все производные которых непрерывны вплоть до 8G. Для семейства ÜW и области G определяются следующие пространства

An(G) := {/(z) б ||/||п := supsupÖ^ < +оо};

к z&G М7к1 )

A(M,G) := proj An(G)\

п—»00

Hn(G) := \meA0(cG): |/|„ := sup <+oo};

1 iecG J

Я(9Л,С) := ind Hn(G),

71—>00

где Ло(сС) — пространство всех функций, аналитических в дополнении cG компакта G до расширенной комплексной плоскости и исчезающих в бесконечности, а р(£, 8G) — расстояние от точки £ € cG до 8G. Если дополнительно G — выпуклая область, то вводятся пространства целых функций с ограничениями на рост в бесконечности

1/(01

^сехр(Яс(0 + 1п<Ш1))

В(Ш, G) := ind B„(G),

где Я(з(0 = БирКе(^г) — опорная функция компакта С?.

Первым центральным для нас моментом в работе Б. А. Державца является результат об описании сильно сопряженного к Л(971, (7) пространства как пространства П(Ш, (2) для любой ограниченной, сильно звездной области с дважды гладкой границей, а вторым — описание сопряженного как пространства целых функций -В (ЯЛ, (3), когда С? выпукла.

Основной целью главы 1 является распространение в одномерном случае результатов, установленных Б. А. Державцем, на области С? более общего вида и, в частности, получение более удобных для приложений описаний сильно

сопряженных пространств, что является основой для глав 2, 3 и 4. Заметим, что в рамках настоящего исследования на гладкость граиицы никаких ограничений не накладывается.

В целом, применяемые нами методы хорошо известны и основаны на теореме Е. М. Дынькина3 о псевдоаналитическом продолжении гладких функций.

В первой части главы 1 приводятся некоторые известные определения и результаты, касающиеся классов Данжуа-Карлемана и классических пространств аналитических функций, а также вводятся весовые пространства аналитических функций с заданной граничной гладкостью и исследуются их свойства.

Пусть G — ограниченная односвязная область комплексной плоскости С. Символом C°°(G) обозначается пространство всех функций, аналитических на G и бесконечно дифференцируемых вплоть до ее границы 8G.

Обозначим через V семейство всех неубывающих выпуклых на [0, оо) функций для которых t — o(ip(t)) при t —> оо. Всякую функцию <р из V будем называть весовой. С каждым весом <р из V свяжем банахово пространство

MG) ••= {/ е C°°(G) : ||/||„ := sup sup^M < ooj .

Возьмем произвольную последовательность Ф = ((¿>n)£Li весов из V, удовлетворяющую условию

Рп+1 (t) + t < <pn{t) + Сп (t > 0; п е N). (1)

Образуем пространство

оо

АФ(С) :=

71—1

и наделим его топологией, задаваемой набором норм (|| ■ Ясно, что

Лф(С) является пространством Фреше, а при выполнении известного условия (Р) на область G пространство Лф{0) будет пространством Фреше-Шварца.

Вторая часть первой главы посвящена описанию пространств (Л сильно сопряженных с А¿¡(G).

Рассмотрим, вначале, случай необязательно выпуклой области G. Обозначим через <р* функцию, сопряженную с (р 6 V по Юнгу-Фенхелю, то есть

<p*(s) := sup(¿5 - ip(t)), s > 0. i>0

3Дыяышя E. M. Псевдоаналитическое продолжение гладких функций. Равномерная шкала // В сб.: Мат. программирование и смежные вопросы/ Труды Седьмой Зимней Школы. — Дрогобыч.—1974.—С. 40-74.

По ip* образуем банахово пространство

HAcG) := |F е МЛ) ■■ \F\r ■■= -р ¡Щу < оо J ,

где d(А) := max{l, l/p(\,8G)}.

Для весовой последовательности Ф = положим Нф.(сЩ :=

00 _

(J (cG) и наделим это пространство топологией внутреннего индуктив-

П=1

ного предела последовательности банаховых пространств (Я^,. (cG))^_r В силу (1) Яф.(сС) является (DFS)— пространством.

Обозначим через (CDW) семейство всех последовательностей Ф = весов из V, удовлетворяющих условию (1), для которых преобразование Ко-ши функционалов устанавливает топологический изоморфизм между пространством (Аф(С)Уь, сильно сопряженным к Aj>(G), и cG) для любой сильно звездной ограниченной области, граница которой является замкнутой спрямляемой жордановой кривой.

Теорема 1. Пусть весовая последовательность Ф = (yn)^Li удовлетворяет условию (1) и известно, что (p„(t) = 0(t2) при t оо (п Е N). Тогда Ф принадлежит семейству (CDW).

Следующий результат посвящен описанию сильно сопряженного к Аф(С) пространства в случае выпуклой области G.

Свяжем с каждым весом 6 V выпуклую функцию

ф{г) = Iр(г) + г 1п+ г > 0.

е

Очевидно, что ф — вес из V. По функции ф* — сопряженной с ф но Юигу-Фенхелю — образуем банахово пространство целых функций

Er(G) := ¡F е Я(С): = sup < оо) ,

I лес ехр(Яс(А) + ф*(ln+ |A|)j J

где Hq(А) = supRe(Ax) — опорная функция компакта G. zeG

Для последовательности Ф = {фп)™=1, образованной по Ф = {<pn)%Li с по-

оо

мощью вышеуказанного правила, положим Ey.{G) := (J E^.(G) и наделим

71=1

это пространство топологией внутреннего индуктивного предела последовательности пространств Г

Через (LDW) обозначим семейство всех весовых последовательностей Ф = (Vn)^Li, удовлетворяющих условию (1), для которых преобразование Лапласа функционалов устанавливает топологический изоморфизм между

пространством (Аф(С))'ь, сильно сопряженным к Лф(С), и Еу(С) для любой выпуклой ограниченной области.

Теорема 2. Пусть весовая последовательность Ф = (<рп)^1 удовлетворяет условию (1) и известно, что = 0(Ь2) при ( —> оо (п € И). Тогда Ф принадлежит семейству {ЬБШ).

Заключительная часть первой главы содержит описание сильно сопряженных для пространств функций с заданной граничной гладкостью, задаваемых с помощью весовых последовательностей, порождаемых одной весовой функцией. Эти пространства будут основными объектами при изучении минимальных в определенном смысле АПСЭ, которые будут введены в главе 4. Именно, пусть (р € V и последовательность положительных чисел (рп)^\ такова, что рп | р 6 (0, оо]. Для пространства Аф(О), образованного по последовательности Ф = {рп<р{1/Рп))™= 1> будем использовать специальное обозначение Л^(С'). Ясно, что оно не зависит от выбора последовательности (р„)~=1, лишь бы рп Т р.

Для веса ¡р и последовательности рп | р € (0, оо] определим весовую последовательность Ф* := (/)„!/?*(£))л°-1> а по пей весовое пространство целых функций Кр.(С?), представляющее собой внутренний индуктивный предел последовательности банаховых пространств

ч

ЫО :=\Fe Я(С,: |F|„. = sup < = !

Будем использовать для него специальное обозначение

Пусть W — подкласс тех весов <р Е V, для которых преобразование Лапласа функционалов устанавливает топологический изоморфизм между сильно сопряженным к AP^(G) пространством ^Л^(С)^ и пространством

для любой ограниченной выпуклой области G. Через W обозначим семейство всех весов из W, для которых имеет место условие

lim = +оо при любом , > 1. (2)

t >оо ilni w

Теорема 3. Для веса ip Е W преобразование Лапласа функционалов устанавливает топологический изоморфизм между пространством (Ap^{G))'b, сильно сопряженным к AP^(G), и EP^(G) для любой ограниченной выпуклой области G и любогор €Е (О, оо]. Глава 2.

Задача о представлении аналитических функций рядами простейших дро-00 ак

бей Y1-г- (ряды Вольфа-Данжуа), где {afc}^ и — последова-

ла z- Xk

телыюсти комплексных чисел, исследовалась в работах Ж. Вольфа, А. Дан-жуа, Т. А. Леонтьевой, Ю. Ф. Коробейника, Б. А. Державца, Р. В. Сибилева, В. Б. Шерстюкова и других. Так Т. А. Леонтьевой4 было установлено, что любую функцию f(z), аналитическую в замкнутой ограниченной жордановой области G, можно разложить в ряд Вольфа-Данжуа, равномерно сходящийся к функции f(z) в G. Затем Ю. Ф. Коробейником^ был детально изучен вопрос о представлениях рядами Вольфа-Данжуа функций, аналитических в областях из расширенной комплексной плоскости С. В частности, им было показано, что ни для одной области D С С нет ни одной системы простейших дробей, которая бы была АПС в пространстве A0(D). Упомянутая работа Б. А. Державца содержит функциональный критерий для АПСПД, аналог которого получен в этой главе. И наконец, В. Б. Шерстюковым6 установлено, что в пространстве A(G) ростков аналитических функций, рассмотренном со своей естественной индуктивной топологией, всегда существует АПСПД для любой ограниченной односвязной области G с С такой, что 8G = 8G.

Конкретизируем определение абсолютно представляющей системы простейших дробей в пространстве ЛФ(С). Для этого рассмотрим произвольную последовательность А = С cG, не имеющую предельных точек в

— Г 1 1°°

cG'. Обозначим символом J^(A) := <-— > соответствующую А систему

1 z ~ Лк ) к=\

простейших дробей. Система T(h) называется абсолютно представляющей системой простейших дробей (АПСПД) в АФ(С), если любой элемент из yl$(G) можно представить в виде суммы ряда

абсолютно сходящегося в A<p(G).

На основании общих результатов Ю. Ф. Коробейника7, касающихся взаимосвязи между АПС в пространствах аналитических функций и дискретными слабо достаточными множествами в изоморфной реализации сопряженных пространств, получены следующие критерии того, что система простейших дробей является абсолютно представляющей в пространстве Aj(G). Теорема 4. Пусть G — сильно звездная ограниченная область комплексной плоскости, граница которой является замкнутой спрямляемой жордановой кривой, а А = {Ajt}£Lj — ограниченная последовательность точек

4Леонтьева Т. А. Представление функций, аналитических в замкнутой области, рядами рациональных функций // Мат. заметки—1968,—Т. 4, № 2.—С. 191-200.

5Коробейник Ю. ф. К вопросу о разложении аналитических функций в ряды по рациональным функциям // Мат заметки—1982—Т. 31, № 5.-С. 723-737.

6Шерстюков В. Б. Двойственная характеризация абсолютно представляющих систем в индуктивных пределах банаховых пространств // Сиб. мат. журнал—2010.—Т. 51, X« 4—С. 930-943.

ник fO. Ф. Индуктивные и проективные топологии. Достаточные множества и представляющие системы Ц Изв АН СССР. Сер. Мат.—1986.—Т. 50, № З.-С. 539-565.

00

из сС, стягивающаяся к <9(3. Пусть, далее, Ф = — весовая после-

довательность функций из (СВ\¥). Для того чтобы система Т{К) была АПСПД в пространстве Лф(Сх), необходимо и достаточно, чтобы для каждого п € N нашлись такие т. € N и Ап > 0, что

^""(сЗ).

Далее приводится результат, устанавливающий взаимосвязь между АПСПД в пространстве и слабо достаточными множествами в пространстве Нф'{сС). С этой целью напомним понятие слабо достаточного множества, введенное Д. М. Шнайдером8. При этом ограничимся нужным нам случаем весовых пространств аналитических функций, определенных в некоторой фиксированной области расширенной комплексной плоскости.

Пусть Б — произвольная область расширенной комплексной плоскости С. Через А0(Б) обозначим подпространство А(В), состоящее из тех аналитических в В функций, которые исчезают в бесконечно удаленной точке (в случае, когда она принадлежит Б). Если £) С С, то считаем, что Аа(В) = А(Б). Для любой действительнозначной функции и(\), определенной на Б и ограниченной на всяком компакте в Б, образуем нормированное пространство

Л[у\D)=\fe A0(D) : sup M := \f\v

l AeD

< 00

Возьмем произвольную последовательность V = {уп}™=1 таких функций на Б. Будем считать, что V упорядочена по подчинению:

ЗСп > 0: ип(Л) < 1>п+1 (А) + Сп, УЛ е С.

Для последовательности V рассмотрим векторное пространство «4(У; Б) —

оо

и А&п] О) и наделим его топологией г внутреннего индуктивного предела

71—1

последовательности нормированных пространств Л(рп; Б).

Произвольное множество в С В и соответствующая последовательность полунормированных подпространств

ЛК ;5):

|/ е Л(У; Б) : sup M =: |/|nS < ooj

порождает в Б) другую индуктивную топологию Ts- В том случае, когда г = Ts, множество S называют слабо достаточным для A(V; В). Теорема 5. Пусть G — сильно звездная ограниченная область комплексной плоскости, граница которой является замкнутой спрямляемой жор-дановой кривой, а Л = {А*;}^ — ограниченная последовательность точек

8Schneiüer D.M. Sufficient sets for some spaces of entire functions // TVans. Amer. Math. Soc —1974.—V. 197,—P. 161-180.

из сС, стягивающаяся к дС. Пусть, далее, Ф = — весовая после-

довательность функций из (СО\¥). Для того чтобы система Т{А) была АПСПД в пространстве необходимо и достаточно, чтобы множе-

ство Л было слабо достаточнъш для пространства 1Тф- (сС).

Далее, распространив общий результат О. В. Епифанова9 о дискретизации слабо достаточных множеств на случай областей, содержащих бесконечно удаленную точку, а также используя предыдущие результаты, получаем: Теорема 6. Пусть С — сильно звездная ограниченная область комплексной плоскости, граница которой является замкнутой спрямляемой жор-дановой кривой; Ф = — весовая последовательность функций из

{СБШ). Тогда существует ограниченная последовательность А — {А/с}^<11 точек из сС?, стягивающаяся к дС? и такая, что система ^(Л) является АПСПД в пространстве Аф(С1).

Учитывая, что с-> Аф(0) •—► А (С), интересно сравнить теорему 6 с

вышеупомянутыми результатами Ю. Ф. Коробейника и В. Б. Шерстюкова, согласно которым в Л(С) и /1(6') нет дискретных в сС АПСПД.

В следующей части второй главы нами изучаются некоторые свойства АПСПД в пространствах вида Лф(С). Напомним, что в соответствии с определением Ю. Ф. Коробейника10 АПС элементов отделимого локально выпуклого пространства II называется свободной, если она остается АПС в Я и после удаления из нее любого конечного числа элементов. Используя достаточные условия свободности АПС в локально выпуклых пространствах из последней работы, формулируемые в терминах эпиморфности специального оператора типа свертки, нами установлен такой результат.

Предложение 1. Если последовательность Ф удовлетворяет условию (1), то в пространстве Аф(С1) всякая АПСПД является свободной. Следствие 1. В условиях предложения 1 системы простейших дробей •7-"(Л) не могут быть базисами в пространстве Аф(С).

После этого изучается свойство продолжения АПСПД в пространствах вида Аф(С1) по области. Как известно, для пространства Фреше всех аналитических в области функций, имеет место следующий результат11:

Пусть С], С2 — выпуклые области комплексной плоскости, причем = б'з + К, где К — выпуклый компакт. Тогда всякая абсолютно представляющая в А{С\) система £(Л) = {ехрА^}^ (Л^ —> оо при к —+ оо) является абсолютно представляющей в /1((?2).

Отмеченное свойство АПСЭ было названо в приведенной выше рабо-

9Епифанов О. В. Вариации слабо достаточных множеств в пространствах аналитических функций // Изв. ВУЗов. Математика,—1986— № 7—С. 50-56.

10Коробейник Ю. Ф. Представляющие системы: Теория и приложения.—Владикавказ: ЮМИ ВНЦ, 2009.— 336 с.

11 КоробеИник Ю. Ф., Леонтьев А. Ф. О свойстве внутрь-продолжаемости АПСЭ // Мат. заметки.—1980.—Т. 28, № 2.— С. 243-254.

те внутрь-продолжаемостыо по аналогии с введенным несколько раньше М. М. Драгилевым понятием внутрь-продолжимости базиса.

Нам понадобится следующее определение. Пусть дана упорядоченная пара пространств (Лф(С?1), А<р(С2)). Будем говорить, что она обладает свойством продолжения АПС относительно простейших дробей, если каждая АПСПД в нервом пространстве является также АПСПД и во втором. Предложение 2. Пусть О — ограниченная односвязная область с ОС = (ЭС7. Свойство продолжения из Аф{С) в Аф{Б) относительно простейших дробей не имеет места ни для одной подобласти О С

Глава 3. Полученное в первой главе описание сильно сопряженного к Аф(С!) пространства служит основанием и одним из главных инструментов для изучения АПСЭ в пространствах такого вида.

Пусть А = {А^}^ — последовательность попарно различных комплексных чисел с единственной предельной точкой на бесконечности. Обозначим символом £{А) := {ел'г}к=1 соответствующую Л систему экспонент. По определению, система £ (Л) называется абсолютно представляющей системой

экспонент (АПСЭ) в Аф(С), если любой элемент из можно предста-

00 _

вить в виде суммы ряда ^ а^еА*г, йк € С, абсолютно сходящегося в Аф(С). к=1

В первой части данной главы, снова используя общие результаты Ю. Ф. Коробейника о взаимосвязи между АПС в пространствах аналитических функций и дискретными слабо достаточными множествами в изоморфной реализации сопряженных пространств, приводится критерий, устанавливающий взаимосвязь между АПСЭ в Аф((7) и слабо достаточными множествами в соответствующем пространстве целых функций Еу(С). Теорема 7. Пусть Ф = — весовая последовательность из (ЬО\¥).

Для того чтобы система £(А) была АПСЭ в Аф(С), необходимо и достаточно, чтобы множество Л было слабо достаточным для Е<ц-(С), где последовательность Ф* определяется по Ф в соответствии с указанным выше правилом.

На основании данного критерия с помощью результата О. В. Епифанова о дискретизации слабо достаточных множеств получаем: Теорема 8. Пусть С? — ограниченная выпуклая область комплексной плоскости; Ф = — весовая последовательность из (ЬБ\¥). Тогда существует последовательность Л = комплексных чисел с единственной предельной точкой на бесконечности такая, что система £(А) является АПСЭ в АФ(С).

А за счет реализации предложенной Ю. Ф. Коробейником общей схемы установлено, что системы экспонент не могут образовывать базис в Аф(О).

Отметим, что примером последовательности весов Ф = (<рпудовлетворяющей всем условиям теоремы 8, является = (а — 1)£1п^ (а > 1), порождающая класс Жевре порядка а.

Во второй части третьей главы исследуются некоторые свойства АПСЭ. Исследование проводится с помощью упомянутой выше взаимосвязи между АПС и слабо достаточными множествами, установленной Ю. Ф. Коробейником, и полученных А. В. Абаниным12 достаточных условий наличия свойств продолжения и устойчивости относительно предельного перехода слабо достаточных множеств в индуктивных пределах весовых банаховых пространств целых функций общей природы.

Определение 1. Пусть дана упорядоченная пара пространств (Лф,((?1), И*а(С2)). Будем говорить, что она обладает свойством продолжения относительно АПСЭ, если каждая АПСЭ £(Л) в первом пространстве является также АПСЭ и во втором.

Мы рассматриваем вопрос о наличии свойства продолжения в двух принципиально разных случаях: при фиксированной весовой последовательности (ф1 = ф2 = ф) и при фиксированной области ((1?1 = <32 = С).

Как было отмечено выше, в пространстве Фреше всех аналитических в области функций всякая система экспонент £ (Л) — {ехр А^г}^ (А^ —> оо при к —у оо) обладает свойством внутрь-продолжаемости (при определенных условиях на области). Нами установлено, что при некоторых ограничениях на область С и весовую последовательность Ф аналогичным свойством обладают и АПСЭ в пространстве Аф{С).

Имеют место следующие результаты. Теорема 9. Пусть Ф = {<рп}п=1 — весовая последовательность функций из {ЬБШ). Если и (?2 - выпуклые области в С, причем = (?2 + К, где К —выпуклый компакт, то пара пространств {Аф(С\), Л^С^)) обладает свойством продолжения относительно АПСЭ.

Сравнивая этот факт с предложением 2, мы можем сделать вывод о том, что АПСЭ и АПСПД в пространствах вида Аф(С) существенно разнятся по свойствам.

Теорема 10. Пусть ограниченная выпуклая область С комплексной плоскости и весовые последовательности Ф\ = = {Й}^ из (ЪБТЛГ) таковы, что соответствующие последовательности весов Ф\, удовлетворяют условию 1рп(х) = {{'Фп)*(х) х > 0, п £ М, где ш(х) — неотрицательная неубывающая выпуклая на [0, +оо) функция. Тогда для пары пространств (ЛфДС), Аг>2(С)) имеет место свойство продолжения

12Лбапин А. В. О продолжении и устойчивости слабо достаточных множеств // Изв. ВУЗов. Математика.— 1987—№ 4. -С. 3-10.

относительно АПСЭ.

После этого нами изучается свойство устойчивости относительно предельного перехода АПСЭ в пространствах вида Аф(0). Впервые это свойство было выявлено Ю. Ф. Коробейником, когда предел берется по области.

Введем нужное нам для дальнейшего изложения определение. Рассмотрим семейство {Ф{ = г — 1,2,...} весовых последовательностей, удовле-

творяющих условию (1) и таких, что

4>i+l(t) < (4(t) (fc, г = 1,2,...; £ > 0).

Тогда весовая последовательность Ф = {v^}^ удовлетворяет условию (1)

__оо _

и при этом Аф(С) — Р) Аф^й). Будем говорить, что система экспонент ¿=1

обладает свойством Ф{ -устойчивости, если из того, что данная система является АПСЭ в каждом пространстве Аф^О) (г = 1,2,...) следует, что она является АПСЭ и в пространстве v4$(G).

В основе доказательства следующей теоремы лежит результат об устойчивости слабой достаточности относительно предельного перехода для весовых последовательностей общего вида, установленный А. В. Абанипым. Теорема 11. Пусть G — ограниченная выпуклая область комплексной плоскости и пусть семейство {Фi = > г = 1,2,...} весовых последова-

г—1

тельностей из (LDW) таких, что (iftl)*(x) = unix) (-а; > 0, г =

П=1

2,3,...), где и)п(х) (и 6 N) — неотрицательные неубывающие выпуклые на [0, +оо) функции и UJn(x) = 0(х) при х —у +оо. Тогда система экспонент обладает свойством Ф{ -устойчивости.

Отметим, что свойство устойчивости относительно предельного перехода по области в пространствах вида Аф(С) исследовано в заключительной главе. Глава 4.

В ряде задач необходимо иметь достаточно редкую последовательность показателей АПСЭ. Минимальные в определенном смысле АПС обобщенных экспонент впервые были построены А. Ф. Леонтьевым в пространствах аналитических в области функций (отметим, что А. Ф. Леонтьев не использовал понятия АПС и слабо достаточного множества). В последующем они изучались для тех же пространств Ю. Ф. Коробейником, В. В. Напалковым, А. В. Абаниным и др. Исследованию АПСЭ минимального типа в пространствах вида AP^(G) посвящена четвертая глава. С этой целью используется общая модель, разработанная А. В. Абаниным13 в данном направлении. Приведем точную постановку задачи, которую мы рассматриваем.

13sc Абанин А. В. Нетривиальные разложения нуля и абсолютно представляющие системы // Мат. заметки.— 1995.—Т. 57, № 4,- С. 483-497.

Пусть С — выпуклая ограниченная область комплексной плоскости; Ф = {Рп^/Рп))п=ъ гДе V ~ произвольный вес из класса Ш, а последовательность положительных чисел {рп)п=1 такова, что рп | р е (0, оо). Как и ранее (см. обзор главы 1), для пространства Л$(С?), образованного по последовательности Ф, будем использовать специальное обозначение

В рассматриваемом нами случае общее понятие минимальной абсолютно представляющей системы элементов, интерпретируется следующим образом. Определение 2. Абсолютно представляющая система экспонент £(Л) называется абсолютно представляющей системой экспонент минимального типа для если существует такая нетривиальная целая функция

Ь, которая удовлетворяет следующим условиям:

(a) Уе > О ЗД£ > 1: 1п|Ь(Л)| < ЯС(А) + (р + е)р*(1п|А|), |А| > Де;

(b) Ь имеет в точках \к простые нули (она может иметь пули произвольной кратности в других точках).

Совокупность всех целых функций Ь ф. О, удовлетворяющих условиям (о) и (Ь), обозначим символом ££.(£?; Л).

Если в определении 2 убрать требование, чтобы £ (Л) была АПС, то получим определение минимальной системы. То есть, минимальная система £(Л) — эта та, для которой Л — нули (возможно не все) некоторой функции из Л).

Постановка рассматриваемой нами вслед за упомянутыми выше авторами задачи следующая: в терминах свойств функции Ь(А) из Л) дать необходимые и достаточные условия того, чтобы £(Л) была абсолютно представляющей системой минимального типа для А^(С). Решению этой задачи посвящена четвертая глава.

Следующий результат носит вспомогательный характер и касается пространства непрерывных мультипликаторов, действующих из весового пространства в него же.

Предложение 3. Пусть вес ц> удовлетворяет условию (2). Класс всех мультипликаторов пространства Щ^й) допускает следующее описание

при 0 < р < оо

= {/х € Я(С) : Уе > ОЭС£ < оо| 1п |д(А)| < ер*( 1п+ |А|) + Се, А € с} }(С?) ={/х 6 Я (С) : ЗС > о| 1п \ц{\)\ < С{<р*{ 1п+ |А|) + 1), А е с}.

и

На пути реализации общей модели, предложенной А. В. Абаниным, нами установлены необходимые и отдельно достаточные условия для того, чтобы система £(Л) была АПСЭ минимального типа в пространствах вида

Теорема 12. Пусть р € (0, оо), — вес из IV, £(Л) — минимальная для АР^(С) система и Ь е С^,(С\А). Для того чтобы £{А) была АПС в А^(С), необходимо, чтобы для некоторого нетривиального мультипликатора ¡1 из выполнялись условия:

Эти же условия достаточны для того, чтобы £(Л) была АПС в А^(С), если они выполняются для некоторого делителя пространства Е^^С!).

В следующей части рассматриваемой главы с помощью общих результатов о приближении субгармонических функций Р. С. Юлмухаметова14 доказывается существование целой функции из удовлетворяющей достаточным условиям теоремы 12.

В заключительной части четвертой главы с помощью минимальных систем исследован вопрос, касающийся устойчивости АПСЭ относительно предельного перехода по области для пространств рассматриваемого вида. Остановимся на этом подробнее.

Как известно, для систем экспонент в близком к по набору эле-

ментов пространстве Фреше А(0) всех функций, аналитических в выпуклой ограниченной области комплексной плоскости, имеет место следующий результат, принадлежащий А. В. Абанину 15.

Пусть {^п}^! — произвольная последовательность выпуклых областей, исчерпывающая ограниченную выпуклую область б изнутри, то есть, ап С Сп+1 (п > 1) и и~! = (3. Тогда всякая система экспонент, являющаяся АПС в А(Сп) при всех п > 1, будет АПС и в

Результаты подобного характера называют теоремами об устойчивости АПС относительно предельного перехода по области.

С помощью построенного в главе 4 примера АПСЭ минимального типа нами установлено, что для пространств теоремы об устойчивости

АПСЭ относительно предельного перехода по области не имеют места.

14Юлмухаметов Р. С. Приближение субгармонических функций // Мат. сборник.—1984—Т. 124(166), № 3 (7).—С. 393415.

15Коробейник Ю. Ф. Представляющие системы // Успехи мат. наук.—1981.—Т. 36, Вып. 1.—С. 73-126.

А)

3г„ Т +оо : -ЯС(А) -|А|), |А| = г„,п£ М;

В)

Диссертант выражает благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Абанину Александру Васильевичу за постановку задачи, внимание и ценные советы при выполнении работы.

Публикации автора по теме диссертации

[1] Абаиин А. В., Петров С. В. Пространства аналитических функций с заданной граничной гладкостью и их сопряженные // Итоги науки. Южный федеральный округ. Математический форум. Т. 1. Исследования по математическому анализу.—Владикавказ, 2008.—С. 16-23.

[2} Абашш А. В., Петров С. В. Пространства аналитических функций с заданной граничной гладкостью и их сопряженные // Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова. Абрау-Дюрсо. Тезисы докладов,—Ростов-на-Дону, 2008.—С. 91-92.

[3] Абаиин А. В., Петров С. В. Существование абсолютно представляющих систем простейших дробей в пространствах аналитических функций с заданной граничной гладкостью // Итоги науки. Южный федеральный округ. Математический форум. Т. 5. Исследования по математическому анализу.— Владикавказ, 2010.-С. 118-130.

[4] Абашш А. В., Петров С. В. Свойства абсолютно представляющих систем экспонент и простейших дробей в пространствах аналитических функций с заданной граничной гладкостью // Изв. вузов. Северо-Кавказ. регион. Естеств. науки—2011.—№ 4.—С. 5-11.

[5] Петров С. В. Существование абсолютно представляющих систем экспонент в пространствах аналитических функций с заданной граничной гладкостью // Итоги науки. Южный федеральный округ. Математический форум. Т. 3. Исследования по математическому анализу.—Владикавказ, 2009.— С. 190-199.

[6] Петров С. В. Существование абсолютно представляющих систем экспонент в пространствах аналитических функций с заданной граничной гладкостью // Изв. вузов. Северо-Кавказ. регион. Естеств. науки,—2010.—№ 5,— С. 25-31.

[7] Петров С. В. Минимальные абсолютно представляющие системы экспонент в пространствах аналитических функций с заданной граничной гладкостью // Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании: тезисы докладов Международной школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых—Уфа: РИЦ, БашГУ, 2011.—С. 216-217.

Сдано в набор 14.10.2011. Подписано в печать 14.10.2011. Формат 60x84 1/16. Цифровая печать. Усл. печ. л. 1,0. Бумага офсетная. Тираж 100 экз. Заказ 1410/01.

Отпечатано в ЗАО «Центр универсальной полиграфии» 340006, г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 140, телефон 8-918-570-30-30

www.copy61.ru e-mail: info@copy61.ru

Введение

1 Пространства аналитических функций с заданной граничной гладкостью и их сопряженные

1.1 Предварительные сведения.

1.1.1 Преобразования Коши и Лапласа функционалов.

1.1.2 Регулярные классы Карлеыана

1.1.3 Классические пространства аналитических функций.

1.1.4 Некоторые виды областей в С.

1.2 Пространства аналитических функций с заданной граничной гладкостью

1.3 Сильно сопряженные к А^(С) пространства в случае необязательно выпуклой области.

1.4 Сильно сопряженные к Аф(С) пространства в случае выпуклой области

1.5 Сильно сопряженные к пространствам Аф(О), порождаемым одним весом

2 Абсолютно представляющие системы простейших дробей, их свойства

2.1 Основные определения и вспомогательные результаты.

2.2 Связь абсолютно представляющих систем простейших дробей и слабо достаточных множеств.

2.3 Существование абсолютно представляю г цих систем простейших дробей в АФ(в).

2.4 О свободное™ абсолютно представляющих систем простейших дробей в Аф{в).

2.5 Непродолжаемость абсолютно представляющих систем простейших дробей в подобласть.

3 Абсолютно представляющие системы экспонент, их свойства

3.1 Существование абсолютно представляющих систем экспонент в пространстве A<p(G).

3.2 Свойство продолжения абсолютно представляющих систем экспонент

3.3 Устойчивость абсолютно представляющих систем экспонент относительно предельного перехода по весовой последовательности.

4 Абсолютно представляющие системы экспонент минимального типа

4.1 Постановка задачи, основные определения и структура главы.

4.2 Пространство непрерывных мультипликаторов.

4.3 Необходимые и достаточные условия для абсолютно представляющих систем экспонент минимального типа.

4.4 Существование абсолютно представляющих систем экспонент минимального типа в A^(G)

4.5 Пример абсолютно представляющей системы экспонент минимального типа в AP^(G) и неустойчивость абсолютно представляющих систем экспонент относительно предельного перехода по области.

Список обозначений

Актуальность темы. В диссертационной работе изучаются пространства функций, аналитических в ограниченной односвязной области, с заданными оценками всех производных.

В последнее время возрос интерес к изучению абсолютно представляющих систем (АПС) в различного рода пространствах. Это обусловлено, во-первых, тем, что решению задач, связанных с разложениями в ряды по фиксированной последовательности функций из различных пространств, в анализе всегда уделялось особое внимание. Во-вторых, развитие теории абсолютно представляющих систем в локально выпуклых пространствах позволило найти новые подходы к изучению некоторых других важных вопросов, связанных, например, с задачей о разрешимости различных функциональных уравнений (в частности, уравнений типа свертки), задачей Коши для уравнений в частных производных, задачей конструктивного построения решений таких уравнений и, наконец, проблемой продолжения по Уитни.

Впервые понятие абсолютно представляющих систем было введено Ю. Ф. Коробейником в [17] под влиянием работ А. Ф. Леонтьева. В исследованиях А. Ф. Леонтьева, подытоженных им в монографии [30], рассматривалась задача о представлении функций, аналитических в произвольной ограниченной выпуклой области комплексной плоскости, рядами экспонент и была установлена возможность такого представления. Эти результаты естественным образом привели к появлению теории абсолютно представляющих систем (АПС), основы которой были заложены в цикле работ Ю. Ф. Коробейника [17]- [22] и которая развивалась, главным образом, в его работах и работах его учеников А. В. Абанина [2]- [6], Ле Хай Хоя [47], С. Н. Мелихова [33], В. Б. Шерстюкова [42], И. С. Шрайфеля [43] и др. Существенный вклад в развитие данного направления внесла, исходя из несколько иных позиций, основанных на использовании аппарата достаточных множеств, уфимская школа по теории функций (см. работы В. В. Напалкова [35] и А. Б. Секерина [36) и др.)

Ю. Ф. Коробейником был разработан один из основополагающих методов изучения АПС в локально выпуклых пространствах, базирующийся на теории двойственности. Одновременно с этим были введены и исследованы различные свойства АПС элементов полного отделимого локально выпуклого пространства такие, как внутрь-продолжаемость (см. [21], [3]) и устойчивость относительно предельного перехода (см. [22], [3]).

Основным модельным пространством при изучении свойств АПС, для которого к настоящему времени получены результаты завершенного характера, выступало пространство Фреше всех функций, аналитических в области. При этом в наибольшей степени, что естественно, исследованы АПС экспонент (или обобщенных экспонент) п простейших дробей. Другие пространства аналитических функций (с заданным ростом вблизи границы или с заданной граничной гладкостью; аналитических на компактах и др.) изучены пока не в такой глубокой степени. Достаточно полный обзор результатов в данном направлении имеется в [5]. Еще раз подчеркнем, что одни и те же свойства АПС не определяются полностью топологической структурой или набором элементов. Поэтому изучение АПС в различных пространствах представляет интерес как с точки зрения каждого конкретного пространства, так и для развития общей теории АПС. Одними из малоизученных в данном отношении являются пространства аналитических в ограниченной области функций с заданной граничной гладкостью. Насколько нам известно, кроме установленного М. У. Муллаевым [34] факта существования АПС экспонент в пространстве всех функций, аналитических в ограниченной области комплексной плоскости и бесконечно дифференцируемых вплоть до ее границы, а также функционального критерия для АПС простейших дробей в пространствах аналитических функций с заданной граничной гладкостью, полученного Б. А. Держащем [13], других исследований для них не проводилось. Последнее касается свойств, вопросов существования и описания минимальных в духе А. Ф. Леонтьева АПС экспонент; тех же задач для АПС простейших дробей. В частности, в связи с отсутствием (см. [23]) АПС простейших дробей в пространстве всех функций, аналитических в области, существование таких систем в близких пространствах функций с заданной граничной гладкостью в той же области имело бы важное значение.

В связи с вышеизложенным нам представляется актуальной задача о систематическом изучении абсолютно представляющих систем экспонент и простейших дробей в весовых пространствах аналитических функций с заданной граничной гладкосгыо (гладкость регулируется оценками роста всех производных).

Цели работы. В диссертационной работе исследованы следующие аспекты сформулированной выше задачи: определение и изучение некоторых свойств весовых пространств аналитических функций с заданной граничной гладкостью; описание топологически сопряженных с ними пространств; применение полученных результатов к исследованию вопроса о существовании абсолютно представляющих систем экспонент и (или) простейших дробей в пространствах аналитических функций с заданной граничной гладкостью; исследование свойств продолжаемости и устойчивости относительно предельного перехода по весовой последовательности или по области для абсолютно представляющих систем экспонент и простейших дробей в пространствах аналитических функций с заданной граничной гладкостью; описание абсолютно представляющих систем экспонент минимального типа в пространствах аналитических функций с заданной граничной гладкостью.

Методы исследования. В диссертационной работе используются классические методы функционального и комплексного анализа, теории двойственности и теории целых функций. При исследовании абсолютно представляющих систем в пространствах аналитических функций с заданной граничной гладкостью применяются подходы и результаты, развитые ранее Ю. Ф. Коробейником и А. В. Абапиным.

Научная новизна и практическая значимость. Полученные в диссертации результаты являются новыми, носят теоретический характер и могут найти дальнейшее применение, например, к задачам представления аналитических функций рядами простейших дробей и экспонент, а также разрешимости уравнений типа свертки. Они могут быть использованы специалистами, работающими в Южном федеральном университете, Сибирском федеральном университете, Институте математики с ВЦ Уфимского научного центра РАН, Южном математическом институте ВНЦ РАН и PCO-А, Московском, Башкирском, Новосибирском, Саратовском университетах, а также в других ведущих российских и зарубежных научных центрах.

Апробация работы. Основные результаты неоднократно докладывались на научных семинарах кафедры математического анализа Южного федерального университета, па Международной конференции «Теория операторов. Комплексный анализ и математическое моделирование» в Волгодонске (2009, 2011 гг.), на Международной коференции «Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования» во Владикавказе (2008, 2010 гг.), на Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова в Абрау-Дюрсо (2008 г.), на Уфимской международной конференции «Комплексный анализ и дифференциальные уравнения» (Уфа, 2011 г.), а также на Международной школе-конференции молодых ученых «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании» (Уфа, 2011 г.).

Публикации. Результаты диссертационной работы опубликованы в [53]- [59].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы из 59 наименований. Определения, предложения, теоремы и следствия имеют свою независимую нумерацию, содержащую номер главы, параграфа и результата. Объем диссертации — 117 страниц машинописного текста.

1. Абанин А. В. Об одном свойстве абсолютно-представляющих систем Миттаг-Леффлера, полезном при построении универсальных систем // Деп. в ВИНИТИ,—1983.—№ 4264-83.

2. Абанин А. В. О некоторых признаках слабой достаточности // Мат. заметки.— 1986.—Т. 40, № 4.—С. 442-454.

3. Абанин А. В. О продолжении и устойчивости слабо достаточных множеств // Изв. ВУЗов. Математика,- 1987.—№ 4—С. 3-10.

4. Абанин А. В. Характеризация минимальных систем показателей представляющих систем обобщенных экспонент // Изв. вузов. Математика.—1991.—№ 2.— С. 3-12.

5. Абанин А. В. Слабо достаточные множества и абсолютно представляющие системы: Дисс. на соискание ученой степени доктора физ.-мат. наук.—Ростов-на-Дону—1995—268 с.

6. Абанин А. В. Нетривиальные разложения нуля и абсолютно представляющие системы // Мат. заметки,— 1995,—Т. 57, № 4—С. 483-497.

7. Абанин А. В., Филипъев И. А. Аналитическая реализация пространств, сопряженных к пространствам бесконечно дифференцируемых функций // Сибирский мат. жур.—2006.—Т. 47, № З.-С. 485-500.

8. Абанин А. В. Ультрадифференцируемые функции и ультрараспределения.—М.: Наука, 2007. 223 с.

9. Абапин А. В. О мультипликаторах пространства целых функций, задаваемого нерадиальным двучленным весом // Владикавк. мат. журн.—2008.—Т. 10, Вып. 4.-С. 10-16.

10. Горина О. В. О разрешимости уравнения свертки в одном классе Жевре функций, аналитических в невыпуклой области // Мат. заметки.—1992.—Т. 52, № 3. С. 35-43.

11. Державец Б. А. Дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами в пространствах аналитических функций многих комплексных переменных: Дисс. на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук.—Ростов-на-Дону.— 1983.-102 с.

12. Державец Б. А. Пространства функций, аналитических в некоторых линейно выпуклых областях С", имеющих заданное поведение вблизи границы // Изв. ВУЗов. Математика—1985 —№ 6.—С. 10-13.

13. Державец Б. А. Пространства функций, аналитических в выпуклых областях пространства С'г и имеющих заданное поведение вблизи границы // Известия СКНЦ ВШ. Ест. науки.—1985.—№ 2.-С. 11-14.

14. Дынъкин Е. М. Псевдоаналитическое продолжение гладких функций. Равномерная шкала // В сб.: Мат. программирование и смежные вопросы/ Труды Седьмой Зимней Школы. — Дрогобыч.—1974.—С. 40-74.

15. Епифанов О. В. Вариации слабо достаточных множеств в пространствах аналитических функций // Изв. ВУЗов. Математика.—1986.—№ 7.—С. 50-56.

16. Жаринов В. В. Компактные семейства ЛПВ и пространства РБ и БРЭ //' Успехи мат. наук,—1979.—Т.34, № 4.-С. 97-131.

17. Коробейник Ю. Ф. Об одной двойственной задаче.I.Общие результаты. Приложения к пространствам Фреше // Мат. сб.—1975.—Т. 97, № 2—С. 193-229.

18. Коробейник Ю. Ф. Представляющие системы // Изв. АН СССР. Сер. матем.— 1978.-Х» 2.—С. 325-355.

19. Коробейник Ю. Ф. Представляющие системы экспонент и нетривиальные разложения нуля // Докл. АН СССР.—1980.—№ З.-С. 528-531.

20. Коробейник Ю. Ф. Интерполяционные задачи, нетривиальные разложения пуля и представляющие системы // Изв. АН СССР. Сер. мат.—1980.—Т. 44, № 5. С. 1066-1114.

21. Коробейник Ю. Ф., Леонтьев А. Ф. О свойстве внутрь-продолжаемости представляющих систем экспонент // Мат. заметки,—1980.—Т. 28, № 2.—С. 243-254.

22. Коробейник Ю. Ф. Представляющие системы // Успехи мат. наук.—1981.—Т. 36, Вып. 1.-С. 73-126.

23. Коробейник Ю. Ф. К вопросу о разложении аналитических функций в ряды по рациональным функциям // Мат. заметки.—1982.—Т. 31, X2 5.—С. 723-737.

24. Коробейник Ю. Ф. Индуктивные и проективные топологии. Достаточные множества и представляющие системы // Изв. АН СССР. Сер. Мат.—1986.—Т. 50, № З.-С. 539-565.

25. Коробейник Ю. Ф. О мультипликаторах весовых функциональных пространств // Analysis Math 1989 —Vol. 15, № 2,—P. 105-114.

26. Коробейник Ю. Ф. Нетривиальные разложения нуля в теории представляющих систем // Изв. вузов. Матем—1992—№ 7—С. 26-35.

27. Коробейник Ю. Ф. О сходимости рядов в локально выпуклых пространствах // Изв. вузов. Матем—2001 —№ 8—С. 60-70.

28. Коробейник Ю. Ф. Представляющие системы: Теория и приложения.—Владикавказ: ЮМИ ВНЦ, 2009.- 336 с.

29. Красичков-Терновский И. Ф. Одна геометрическая лемма, полезная в теории целых функций, и теоремы типа Левинсона // Матем. заметки.—1978.—Т. 24, № 4.-С. 531-546.

30. Леонтьев А. Ф. Ряды экспонент,—М.: Наука, 1976.—538 с.

31. Леонтьев А. Ф. Целые функции. Ряды экспонент.—М.: Наука, 1983.—176 с.

32. Леонтьева Т. А. Представление функций, аналитических в замкнутой области, рядами рациональных функций // Мат. заметки.—1968.—Т. 4, № 2.—С. 191-200.

33. Мелихов С . Н. О разложении аналитических функций в ряды экспонент // Изв. АН СССР. Сер. Мат.—1988.—Т. 52, № 5.-С. 991-1004.

34. Муллаев М. У. Ряды Дирихле для пространства Пж{0) // Вопросы аппроксимации функций вещ. и компл. переменных. Уфа: Изд-во БФ АН СССР.—1983.— С. 120-129.

35. Напалков В. В. О дискретных слабо достаточных множествах в некоторых пространствах целых функций // Изв. АН СССР. Сер. Мат.—1981.—Т. 45, № 5 — С. 1088-1099.

36. Напалков В. В., Секерин А. Б. Слабо достаточные множества и представление аналитических функций многих переменных рядами Дирихле // Докл. АН СССР.—1981.—Т. 260, № З.-С. 535-539.

37. Робертсон А.П., Робертсон В. Дснс. Топологические векторные пространства.— М.: Мир, 1967.-258 с.

38. Ронкин Л. И. Введение в теорию целых функций многих переменных.—М.: Наука, 1971.-432 с.

39. Себаштьян-и-Сильва Ж. О некоторых классах локально выпуклых пространств, важных в приложениях // Математика.—1957.—Т. 1, № 1.—С. 60-77.

40. Сибилев Р. В. Теорема единственности для рядов Вольфа-Данжуа // Алгебра и анализ.—1995.—Т. 7, Вып. 1.-С. 170-199.

41. Трунов К. В., Юлмухаметов Р. С. Квазианалитические классы Карлемана на ограниченных областях // Алгебра и анализ.—2008.—Т. 20, № 2.—С. 178-217.

42. Шерстюков В. Б. Двойственная характеризация абсолютно представляющих систем в индуктивных пределах банаховых пространств // Сиб. мат. журнал— 2010.—Т. 51, JV° 4.-С. 930-943.

43. Шрайфель И. С. Абсолютно представляющие системы в £2 // Изв. вузов. Северо-Кавказ. регион. Естеств. науки.—1993.—№ 3-4.—С. 68-77.

44. Эдварде Р. Функциональный анализ.—М.: Мир, 1969.—1072 с.

45. Юлмухаметов Р. С. Приближение субгармонических функций // Мат. сборник.—1984.—Т. 124(166), № 3 (7).-С. 393-415.

46. Юлмухаметов Р. С. Двойственность в выпуклых областях // В сб.: Исследования по теории аппроксимации функций.—Уфа : Изд-во БФ АН СССР.—1984.— С. 160-165.

47. Abanin А. V., Le Hai Khoi, Nalbandyan Yu. S. Minimal absolutely representing systems of exponentials for А-°°(П) // J. Approx. Theory—2011,—V. 163.—P.1534-1545.

48. Danjoy A. Sur les séries de fractions rationneles // Bull. Soc. Math. France—1924.— V. 52.-P. 418-434.

49. Glaeser G. Etude de quelques algébres tayloriennes // J. Anal. Math.—1958.—T. 6.— P. 1-124.

50. Hôrmander L. On the range of convolution operators // Ann. of Math.—1962,— V. 76.—P. 148-170.

51. Schneider D.M. Sufficient sets for some spaces of entire functions // Trans. Amer. Math. Soc.-1974.-V. 197.-P. 161-180.oo

52. Wolf J. Sur les séries £ // С. R. Acad. Sci—1921 —V. 173.-P. 1327-1328.k=1 ^ k

53. Абанин А. В., Петров С. В. Пространства аналитических функций с заданной граничной гладкостью и их сопряженные // Итоги науки. Южный федеральный округ. Математический форум. Т. 1. Исследования по математическому анализу,—Владикавказ, 2008.—С. 16-23.

54. Абапип А. В., Петров С. В. Пространства аналитических функций с заданной граничной гладкостью и их сопряженные // Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова. Абрау-Дюрсо. Тезисы докладов.— Ростов-на-Дону, 2008.-С. 91-92.

55. Абании А. В., Петров С. В. Свойства абсолютно представляющих систем экспонент и простейших дробей в пространствах аналитических функций с заданной граничной гладкостью // Изв. вузов. Северо-Кавказ. регион. Естеств. науки.— 2011.—№ 4.-С. 5-11.

56. Петров С. В. Существование абсолютно представляющих систем экспонент в пространствах аналитических функций с заданной граничной гладкостью // Изв. вузов. Северо-Кавказ. регион. Естеств. науки.—2010.—№ 5.—С. 25-31.