Исследований уравнений Навье-Стокса для сжимаемой электропроводящей жидкости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОЗСР

Новосибирский ордена Трудового Красного Знамени государственный университет им.Ленинского комсомола

Копьшова Наиля Тагировна

ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ-СТОКСА ДЛЯ СЖИМАЕМОЙ ЭЛЕК1Р0ПР0В0ДЯ1ЦЕЯ жидкости

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

Новосибирск 1990

Работа выполнена в Новосибирском государственном университете им. Ленинского комсомола

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

профессор ' Л.В.Кажихов

Официальные оппоненты: цоктор-фиэико-математических наук

профессор В.В.Сказка

кандидат физико-математических наук доцент Н.А.Кучер

Ведущая организация: Институт теоретической и прикладной

механики Сибирского отделения АН СССР.

Защита состоится " £ в

часов на заседании Специализированного совета К 063.98.04 по зшците диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук при Новосибирском государственном университете им. Ленинского комсомола по адресу: 630090, г. Новосибирск, 90, ул. Пирогова 2.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке НГУ.

Автореферат разослан М "Лк^Л 199) г.

Ученый секретарь Специализированного совета доктор физико-математических наук профессор

■Л-

А.М.Мейрманов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы. В последние гоп;ч в ря-^е областей фи-

пта ит

и техники все чаще применяется движение униполярно заря-ТмЬ'ннЬс или поляр.кованных жидкостей и газов в электрическом поле. Область электромагнитной гидродинамики, занимающаяся изучением таких движений, получила название электрогаэ о динамики (ЭГД).

При движении униполярно заряженной или поляризованной жидкости в сильном электрическом поле в ней возникают электростатические силы, по порядку величины соизмеримые с гидродинамическими. Эти силы приводят к перестройке гидродинамического потока. Совместное рассмотрение этих своеобразных электромеханических эффектов составляет предмет электрогазодинамики и их техническое использование - основу действия электрогидродинамических машин и устройств. Поэтому стали актуальными и теоретические исследования в этой области.

В диссертации исследуется корректность краевых задач электрогазодин&мики и вопросы стабилизации решений в случае одномерного движения.

Цель работы состоит в доказательство теорем существования и единственности в "целом" и сходимости нестационарных решений к стационарным при неограниченном возрастании .времени.

Методика исследования. В работе применяются методы функционального анализа, теории.дифференциальных уравнений. Теоремы существования и единственности доказываются методом априорных оценок.

Научная новизна, теоретическая и практическая ценность. Все результаты диссертации являются новыми. Исследованы модели ЭГД в случае баротропного и вязкого теплопроводного газа. Изучаемые постановки имеют реальную физическую интерпретацию, являются модельными при описании процессов, связанных с электрогазодинамическими устройствами.-Способ получения теоретических результатов носит конструктивный характер, что может быть использовано для построения численных методов решения данных задач.

Апробаиич работы. Результаты диссертации докладывались

на семинаре "Краевые задачи механики сплошных сред" в Институте гидродинамики им.М.А.Лаврентьева СО АН СССР под руководством профессора Б.Н.Монахова, на УП Всесоюзной школе по качественной теории дифференциальных уравнений гидродинамики (Барнаул, 1989), на П Всесоюзной конференции молодых ученых "Моделирование процессов в гидрогазодинамике и энергетике" (Новосибирск, 1990), в Институте математики СО АН СССР на семинарах "Неклассические уравнения математической физики" под руководством профессора В.Н.Врагова, "Качественная теория дифференциальных уравнений" под руководством профессора Т.И.Зеленяка, "Теоретические и вычислительные проблемы математической физики" под руководством профессора А.М.Влохина.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-41.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав и изложена на 104 страницах машинописного текста. Библиография включает 59 наименований отечественной и зарубежной литературы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении содержится краткий обзор работ, близ!":« к теме диссертации, излагаются основные результаты диссертации и методы их получения.

В первой главе рассматривается модель электрогазодинамики в случае баротропного движения газа. Цель этой главы заключается в исследовании корректности начально-краевых задач для одномерных нестационарных уравнений ЭГД с учетом диффузии ионое ,а также изучается поведение редениЛ при 4.-*

В §1 этой-главы рассматривается задача о движении газа, состоящего из ионов одного сорта и молекул нейтрального газа, в ограниченной области Д. с непроницаемыми стгиками

0т*(о.т)*л , а={х|о<х<1}

Система уравнений ЭГД в массовых лагранжевых переменных имеет вид

= и,

' + * С1.1)

с , ¿ЕЕ« »./М--.*»

Здесь \У , Ц , Е. , р - соответственно удельный объем, скорость, напряженность электрического поля, давление;

^ - коэффициент вязкости, £ - диэлектрическая проницаемость, $ - коэффициент подвижности ионов, 2) - коэффициент диффузии ионов, ^ - показатель политропы^Д^-заданная фу-нкцигКраевые условия на границах X = О, X = I, выражаются соотношениями

Ч„ги1*-;0> (1.2)

В начальный момент времени ¿ = 0 распределение скорости 14 , удельного объема *1Г , напряженности Е. предполагается известным

• (1.3)

причем 1Г0(>) - строго положительная и ограниченная функция:

0< < 0"вс«) « М<<х> , х£[о,1]

Определение I. Обобщенным решением задачи (1.1)-(1.3) называется совокупность функций ( ТА , Т? , Е )

Тогда имеет место следующее утверждение.

Теорема 1.1.Пусть начальные данные (1.3) обладают следующими свойствами гладкости ( Ио.чХ»,Е® ) 6 С-&-),

Тогда существует единственное обобщенное рещение задачи (1.1)-(1.3), причем - строго положительная и ограниченная функция.

В §2 главы I рассмотрены другие краевые задачи, имеющие физическую интерпретацию.

Неоднородная задача для напряженности имеет следующий

вид

где Ч7о(.*) - строго положительная и ограниченная функция. В этом случае верна теорема

Теорема 1.2. Пусть граничные и начальные данные (1.4) обладают следующими свойствами

Е.(о) = Н. (I) = о, «»(0) « и,(I) . о,

(1.4)

vв(o)*uM = o, ЕДОЬо,

Тогца существует единственное обобщенное решение задачи (I.I), (I 4), причем 1Г - строгэ положительная и ограниченная функция, а

Теорема существования доказывается как и в §1 методом продолжения локального по времени решения на основе глобаль-нях априорных оценок. Локальная разрешимость устанавливается методом Бубнова-Галеркина.

Для системы уравнений (I.I) возможна постановка задачи о поршне

Предполагается, что граничные функции

начальный удельный объем удовлетворяют условию

♦ <

о «

V4€fo,T] ■ (1.6)

Основное отличие по сравнению с рассмотренным выше случаем fi, = yut = 0 связано с получением первой априорной оценкой,, а все остальные рассуждения остаются прежними.

Таким образом, справедливо следующее утверждение "

б

Теорема 1.3. Если начальные данные (1.5) удовлетворяют условиям теоремы 1.2, а граничные функции и обладают следующей гладкостью:

д<р(0)= 1М1)

и удовлетворяют условию (1.6), то задача (1.1), (1.5) имеет единственное решение.

Рассмотрена так же задача об истечении газа в вакуум, когда в эйлеровых координатах граница контакта смеси с вакуумом неизвестна. При переходе к лагранжевым координатам область определения решения становится известной, и постановка задачи формулируется следующим обра.юм: в области

найти решение системы уравнений (1.1), гце с начальными данными

(1.7)

удовлетворяющие граничным условиям

(1.8)

Установлена теорема.

Теорема 1.4. Если начальные данные задачи (1,1), (1.7), (1.8) обладают такой же гладкостью, как в теореме 1.2, то она однозначна разрешима.

Здесь вывод оценок для удельного объема осуществляется проще.

В §3 главы I исследуется поведение решения следующей краевой задачи ЭГД при неограниченном возрастании времени.

В области Q = (0,1) х (0, оо ) ищется решение системы уравнений (I.I), где все константы для простоты положим равными X, удовлетворяющее граничным условиям

' EUe°t (1.9)

¿i принимающее заданные начальные данные

(1Л0)

Функции ( , Е» ) считается бесконечно дифференцируемыми,

кроме того - строго положительная и ограниченная фун-

кция.

Теорема Т.о. Решение нестационарной задачи (1.1),(1.9)-(1.10) су . ,'ствует пок всех 4. > 0 и сходится к стационарному при неограниченном возрастании времени в норме пространств -i

Р.э второй главе рассматривается более общая модель движения вязкого теплопроводного газа и ионов одного сорта в электрическом поле. Область течения XL имеет непроницаемые теплоизолированные стенки. Эта глава посвяцена так же исследованию корректности начально-краевых задач для модели элект-рогаяоцинамнки, но без учета диффузии ионов 2) = 0, и коэффициент подвижности имеет вид Í^^V , COKvt > О .В этом случае рассматривается так называемый, насосный режим, когда относительная скорость ионов МвГн«&4Е>0 всюду. Изучен так же вопрос стабилизации решения для этой задачи.

Ь §1 главы Л изучается модель электрогазодинамики, кото-рал в массовых лагранжевък переменных имеет вид

irt = u„

*/"№),

Г V

Здесь дополнительно к (1.1) искомой функцией является абсолютная температура в .

Условия на границах X = О, Х = I выражаются следующими соотношениями

«и! *.ц| =0. Е/ = -0 (2.2)

В начальный момент времени -Ь = 0 известно распределение скорости, удельного объема, температуры и напряженности

Ч-о* Мв(,° ' 1Гв(К)» (2'3)

причем 6в(Х ), 1>о (X ) - строго положительные и ограниченные функции.

Определение. Обобщенным решением задачи (2.1)-(2.3) называется совокупность функций ( ,1Т , 6 , Е. ).

ЫЬ, Е и>)£ и* (о.Г;, (Ц ^ 0*11), ¿.*<о,т; 1л^(а)).Н4(в,т;

Теорема 2.1. Пусть начальные данные (2.3) обладают свойствами гладкости

Е.(0) = 0 , & > 0 , Ео' (к)г^о

_. Тогда существует единственное обобщенное решение задачи (2.1) - (2.3)э причем ЧГ , & - строго положительные и огра-

9

ниченные функции, а б Е* 0.

Теорема существования в "целом" по времени доказывается так же методом продолжения локального решения на основе глобальных априорных оценок. Локальная разрешимость устанавлива-'ется методом Бубнова-Галеркина.

В §2 показывается разрешимость других краевых задач ЭГД для модели вязкого теплопроводного газа.

Для системы уравнений (2.1) можно поставить следующую начально-краевую задачу

Теорема 2.2. Пусть начальные и краевые условия задачи (2.1), (2.4) обладают следующими свойствами

(и0 игв, е„, £ о) е ц/* (л), (о)=ил*.) * о, /< Л) € и/ь1(°,т)

Тогда существует единственное обобщенное решение задачи, причем С" , 0 - строго положительные и ограниченные функции, а

Как и в главе I устанавливается разрешимость задачи о поршне, с неоднородными краевыми данными на скорость

Теорема 2.3. Если начальные данные (2.5) удовлетворяют условию теоремы 2.1, а граничные функции обладают следующей гладкостью

<р.сИ,/^)) е (о ,т) ,

и удовлетворяют условию (1.6), то задача о поршне имеет единственное решение.

Далее рассмотрен случай, когда на границах задан тепловой режим

где е \*/а.1(0,Т) , ¿=0,1

1 = (2.7)

Тогда имеет место следующая

Теорема 2.4. Если выполнены требования (2.7), то краевая задача о условием (2.6) для температуры и (2.2) для скорости и напряженности однозначно разрешима.

В §3 главы П доказан факт стабилизации ре: ония задачи (2.1)-(2.3) при неограниченном возрастании времени.

Теорема 2.5. Решение нестационарной задачи (2.1Ы2.3) существует при всех 4. > Э и сходится к стационарному при. неограниченном возрастании времени. в норме пространства (.•&)

Автор выражает искреннюю благодарность научному руководителю профессору А.В.Кажихову за постановку задач и помощь в работе.

Список работ по теме диссертации

1. $айзуллина Н.Т. О разрешимости краевой задачи для уравнений электрогазодинамики.- В кн.: Математические проблемы механики сплошных сред. Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1989, вып. 91, с, 135-148.

2. Файзуллина Н.Т. О разрешимости краевой задачи для уравнений злг ггрогазодинамики.- В к.;.: Тезисы докладов УП Всесоюзной школы по качественной теории дифференциальных уравнений гидродинамики. Барнаул, 1989, с.64-66.

3. Файзуллина Н.Т. Корректность краевой задачи электрогазодинамики для модели вязкого теплопроводного газа. В кн.: Математические проблемы механики сплошных сред. Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1990, вып. 97.

4. Файзуллина Н.Т. О глобальной разрешимости и стабилизации решения краевой задачи электрогазодинамики дл?{ уравнений баротропного вязкого газа. В сб.: Корректные краевые задачи для неклассических уравнений. Новосибирск, 1990,