Мультипликативные свойства аналитических функций, гладких вплоть до границы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение

Основные обозначения

Глава I. (р)-свойства.

§ I. Наличие (Р) -свойства в пространствах Л^ (Ф)

§ 2. Умножение.

§ 3. Примеры отсутствия (р)-свойства.

Глава П. Модули гладких вплоть до границы аналитических

Функций.

§ I. Пространство Л

§ 2. Внешние функции из Ни .' и-1 п

§ 3. Пространства Д И

§ 4. Теоремы вложения типа теоремы В.П.Хавина - Ф.А.Шамояна.1зз

Глава Ш. Нули и их кратности

§ I. Нули функций из Л^.

§ 2. Кратность граничного нуля функций из некоторых подклассов.

Глава IУ. Замкнутые идеалы пространств X ол (о),1) • •

§ I. Эквивалентная норма в X (и^Л)

§ 2, Специальная аппроксимация в X (о), I).Ко

I. Эта работа посвящена, в основном, неванлинновской факторизации классов функций, аналитических в открытом единичном круге D и гладких - в том или ином смысле ^ - вплоть до его границы ЭО . Различные способы факторизации (т.е., попросту говоря, разложения функции на "простейшие" множители) играли и продолжают играть важнейшую роль в комплексном анализе. Канонические произведения в теории целых функций, произведения Бляшке, внутренние и внешние функции стали неотъемлемой частью современного аналитического арсенала. И в наше время он пополняется новыми средствами -укажем, например, на развитие факторизационной техники в обширной серии работ М.М.Дкрбашяна [40] , или на факторизацию целых функций, предложенную Рубелем [42] , или на произведения Горовица Q433. Интерес к различным методам факторизации аналитических функций вызван самыми насущными вопросами комплексного анализа - и, прежде всего, необходимостью исследования свойств единственности и распределения значений, составляющих самую его суть. Факторизационный аппарат широко используется при исследовании идеалов в алгебрах аналитических функций, в задачах спектрального анализа и синтеза; его векторные и операторные аналоги играют существенную роль в современной спектральной теории операторов.

Мы будем здесь заниматься едва ли не наиболее хорошо известной и распространенной факторизацией, а именно, неванлинновской -или как теперь принято говорить - внешне-внутренней. Разработанная Р.Неванлинной, Г.Сеге и В.И.Смирновым, эта факторизация была изу

Такого рода функции мы будем иногда ради краткости называть гладкими аналитическими функциями, подразумевая гладкость граничных значений. чена, что называется, "вдоль и поперек" уже в 20-х - ЗОх годах, й, тем не менее, исследования последних лет принесли принципиально новые сведения, обнаружив феномен, который можно приблизительно описать так: внешне-внутренняя факторизация приспособлена не только к пространствам типа классов Харди, но и - неожиданным образом - к пространствам, состоящим из функций, гладких вплоть до границы.

Напомним некоторые определения и факты (подробности можно найти в'[44]| ,£45 ]).

2. Аналитическая в О ограниченная функция I называется внутренней, если 1мп | 1(Ъ£)1=/1 при почти всех Х^дЮ

Приведем примеры внутренних функций. а) Пусть {«* } - последовательность точек множества к конечная или нет), удовлетворяющая условию

0-ик|)<оо. к

Тогда произведение и II . - сходится в У 1 к некоторой внутренней функции, обращающейся в нуль в точках к и только в них. Функция вида Ъ о , где Ж , называется произведением Бляшке. б) Пусть - неотрицательная борелевская мера на окружности

ЭЮ » сингулярная относительно лебеговой меры на ЭЮ . функция

- внутренняя. Она не обращается в нуль в О . Ее называют сингулярной внутренней функцией (отвечающей мере ^ ).

Этими двумя примерами можно ограничиться, так как любая внутренняя функция I единственным образом представляется в виде

I =СВБ , (I) где С&ЭЮ , 8 - произведение Бляшке, а в - сингулярная внутренняя функция.

Для дальнейшего важно заметить, что, как правило, функция (I) не обладает никакой гладкостью на границе круга О : если I равномерно непрерывна в О , то $ = 1 , а функция В рациональна. в) Внешние функции. Пусть (80 . Если к тому же то с гЬ можно связать функцию 1в

Эту функцию называют внешней (отвечающей функции \М ). Она регулярна в 0 »не обращается в нуль, и с г-и-о при почти всех £ ^ с> Ю г) Класс N . Говорят, что функция | , регулярная в Ю , принадлежит классу N (классу Неванлинны), если $ир | Ц/ ||(ге )\кв<оо, о<г<'I о

Этот класс играет важнуд роль в анализе. Классы функций, аналитических в О , поставляемые гармоническим анализом, теорией операторов, теорией вероятностей, чаще всего содержатся в N .

Отправной точкой неванлинновской факторизационной теории служит следующая

Теорема. Любое произведение вида (2) где С = соп, 1С 1=1 , В - произведение Бляшке, функция вида (0), - вещественная сингулярная (не обязательно неотрицательная!) борелевская мера на дю , а 0\\г ~ внешняя функция, принадлежит классу N ; любая функция | класса N единственным образом представима в виде (2). Условимся записывать равенство (2) в виде где Х^сЪв^ , с = сф

Ценность неванлинновской факторизации состоит в том, что она позволяет дать полное описание как самого класса N , так и некоторых его важных подклассов с помощью "вещественных" параметров, определяющих множители 1| и е| (такими параметрами служат константа сф , мера = , определяющая множитель , последовательность {о6к и число Ш- , определяющие произведение Бляшке В и, наконец, функция 1Я|зю «К подклассам, которые мы имеем в виду, относятся, прежде всего, классы Харди и класс

В.И.Смирнова О , (Напомним, что [44]

РсЫ ^ ¿0 Р н — {#N ^р (||(ге )1 ¿е<°°, с<?<™},

0<ъ<1 о со оЖ, и -{¡^ы : ¿^р {¡\< , ю ц »

ИЩ^Ыт (Щ||(ге Ет Ц+||(ъе ;

1^-1-0 -¡0 Л 1^-0 р' р" , я легко видеть, что Н с Н , если оо>р>р >0 ).

Класс Б можно описать и так: функция | класса N принадлежит Б тогда и только тогда, когда сингулярная мера /К|) неотрицательна.

Таким образом, для функций | класса Смирнова (и только для них) множитель (ас ним и 1| ) становится "внутренним", а факторизация (2) "внешне-внутренней".

Классы Харди с помощью факторизации (2) полностью характеризуются следующим образом:

3. Остановимся на некоторых моментах, связанных с формулой (2), особенно, существенных для нашей работы.

I. Условимся говорить, что внутренняя функция 12 делит внутреннюю функцию I,, (или что Г1 делится на 12 ), если оо

1(/1г£Н .

Из сказанного выше легко усмотреть, что если , а внутренняя функция I делит функцию I о , то 11 & В . Точо Р Р но так же, если И , а I делит 1| , то Н

Можно сказать, что функция 11р получена из функции | в результате "выделения ее нулей". В самом деле, не обращается в нуль в Ю , (так как уже ^ В | не имеет нулей в Ю ), а "устранение множителя" означает (в некотором смысле) "выделение граничных нулей" функции | : внешний множитель е| во многих вопросах теории аппроксимации и в задачах описания идеалов и инвариантных подпространств оказывается "как бы обратимым". р

Итак, классы Б и Н инвариантны относительно "выделения нулей".

П. Факторизационная теорема Неванлинны доставляет полную характеристику функций, заданных на окружности Ъ Ю и способных р быть модулями граничных значений функции класса N или Н . В самом деле, пусть К - неотрицательная функция, заданная на ЭЮ . Следующие утверждения равносильны: сО ^^ Ь (Э Ю) \ (|3) найдется ненулевая функция км такая, что н при п.в. К^дю.

3)

Равносильны и такие утверждения (при любом ре: (о, + ооЦ ): Р ^^Ь(ЭО); (р ) найдется ненулевая функция | класса Н такая, что выполнено (3).

Включение кь(ЭЮ) влечет неравенство Ц (ю$к(1б<оо.

Поэтому условие СО можно переписать так: ] к ¿^9

Еаким образом, из равносильности утверждений С<1 ) и (|3р) вытекает чрезвычайно важная для многих приложений теорема единственности: р ] 1=0 . (4) дВ

Ш. В теореме Неванлинны содержится также полное описание подмножеств круга Ю , способных быть множеством корней некоторой функции класса N . В самом деле, пусть - последовательность точек круга D . Следующие утверждения равносильны: (У) найдется функция класса N (или Н^ ), обоо ращающаяся в нуль в точках о6к ; (б) 2L О"!0^!) < 00

КМ

IУ. Представление (2), которое влечет соотношенияе^|д)=е|«е^ и I , составляет аналитическую основу важных теорем, описывающих структуру идеалов в некоторых алгебрах аналитических функций (или инвариантных подпространств оператора сдвига в пространствах аналитических функций). Широко известным (но далеко не единственным) примером может служить классическая теорема Берлин-га об операторе ¡f—в пространстве H .

4. Теперь мы можем сформулировать (пока еще очень приблизительно) четыре вопроса, которым, в основном, посвящена эта работа.

I. Какие еще классы X , содержащиеся в D , инвариантны относительно "выделения нулей"?

П. Каковы свойства модулей 1|11дд) функций данного подкласса X класса D ?

Ш. На каких подмножествах круга D могут обращаться в нуль функции данного подкласса X класса D ?

1У. Какова структура замкнутых идеалов (если X - алгебра функций, Xе1 D ) или инвариантных относительно умножения на Ъ замкнутых подпространств (если X - банахово пространство)?

Более подробное и конкретное обсуждение наших намерений будет дано ниже. Сейчас мы подчеркнем только, что класс X , которому адресованы вопросы I - 1У , будет, как правило, состоять из гладких (в том или ином смысле аналитических функций).

Перейдем к более подробному обзору результатов работы. В.П. Хавин в M ввел в употребление следующее

Определение. Говорят, что множество X^D обладает (F)-свойством, если для любой функции | ^ X и для любой внутренней функции I , делящей 1| , <|ункция |1 принадлежит X • р

Как мы уже видели, классы ВиН,0<р4°° , обладар ют (р) -свойством. Наличие (Р) -свойства у класса Н объяс Э классу Н определяется лишь следом ее модуля на ЭЮ (точнее, включением

Лэю £ ь (АО) а деление на внутреннюю фикцию не меняет граничных значений модуля. Но вот уже то обстоятельство, что (Р) -свойством обладает диск-алгебра Сд (т.е. множество всех равномерно непрерывных в 0 функций класса N ) менее тривиально - не говоря уже о еще более узких классах. Для диск-алгебры Сд

Р)-свойство впервые установил, по-видимому, Рудин ЦбЦ (в связи с описанием замкнутых идеалов в Сд ). Напомним,что в отличие от классов Х= V или X = Н » когда оба множителя 1| , всегда принадлежат X вместе с | , диск-алгебра "почти не содержит" внутренних функций (принадлежащие ей внутренние функции обязаны быть рациональными). Механизм (Р)-свойства в Сд тоньше, он объясняется некоторым специальным взаимодействием внутренних и внешних множителей, участвующих в факторизации (2) функций класса Сд .

Еще более тонким и неожиданным оказался результат Карлесона

И, обнаружившего (Р) -свойство у класса — {Iе1 N : 2 ^ А

Х+ир1 (в [зЦ дано полное описание "параметров" ,/К|) , {оЦЛ и ||||()Ю , участвующих в факториза2 ции (2) для этого класса), Функции из » (аналитические функции А с конечным интегралом Дирихле) обладают некоторой "граничной гладкостью^, и изучение взаимодействия сомножителей и 1| для оказалось довольно тонкой аналитической задачей. В работах М и С7~] было показано, что (Р)-свойством об

- II и2 ¿4 г О I I2 РСП) 112 1 ладают классы Ц. £: Н • } £ п ) • Функции этих классов уже "по-настоящему" гладки вплоть до границы. Развивая прием, использованный в И иН, В.П.Хавии Й] доказал наличие (Г) -свойства у классов

Р кЛ Р СП) р и сб иы, л сп-) сб в классах Д ив некоторых других близких классах С г) -свойство одновременно и другим способом обнаружил Ф.А.Шамоян Щ).

Упомянутый прием позволяет - в ряде случаев - избежать непосредственного анализа множителей и и состоит в рассмотрении теплицевых операторов Т : т а М \ Г о&На.)^ р V и°° а- — 'ЯЛУ £-1 дю

Если оо

Т.Х^Х , какова бы ни была функция Н , (5) а то класс X обладает (Р)-свойством: достаточно в качестве О, взять внутреннюю функцию I и заметить, что 11 | = , если

I делит 1| (в силу формулы Коши). Свойство (5) класса X В.П. Хавин предложил называть (К) -свойством. В работах [б] »И »И » [41Д (р)-свойство выводилось из (К)-свойства соответствующего класса (то же относится, по существу, и к работе Е.М.Дднькина

СзД, где рассматривалась несколько иная схема). Укажем еще на работу [ДО] Ш.-П.Кахана, где другим способом были получены некоторые аналогичные результаты.

После названных работ вполне естественной стала казаться следующая гипотеза: ( р)-свойством должны обладать все "естественные" классы гладких аналитических функций.

Труднее всего оказалось, однако, доказать наличие (Р)-свой-ства как раз в наиболее "естественных" классах

М- СИ)

СА = {|-СД:| еСА}, .

Можно показать, что они заведомо не обладают (К)-свойством, и от непосредственного анализа множителей 1| и | для доказательства (Г) -свойства в этих классах уклониться, по-видимому, невозможно. Но такой анализ представляет известные трудности.

Первой работой, в которой (Р) -свойство классов функций с граничной гладкостью устанавливалось непосредственно, без апелляции к (К)-свойству, была (если не считать пионерской работы Л. Карлееона СзЦ) работа автора и С. А.Виноградова [49]. в ней было доказано, что (р)-свойством обладает пространство

00 / оо а пространство | е Н } "почти" обладает (Р)-свойством. Наличие (У) -свойства у классов Сл и Н ={|€:Са' сп) оо А

I £ п ) было доказано автором [51], ¡5з] с помощью нового метода, который позволил детально исследовать характер убывания функции 111 вблизи множества 5рСС

Со) и ?

1= В6 для гладкой вплоть до дЮ функции, аналитической в о .

В настоящей работе (гл.1) этот метод применяется к аналитическим функциям "переменной граничной гладкости".

Основным результатом § I является следующая теорема. Теорема I. Пространство А^ (Ф) обладает (Т) -свойством при и > 0 , I Ф I ^д)^ А^ (Э Ю) , и любом модуле непрерывности СО .

ТЛ^ГА ! о(Ю пСЮ здесь 1ГЪ)-ГЪ)1 4

С#Ф - внешняя в Ю функция, Д^ - класс Макенхаупта, т.е. должно выполняться |$| «СШемЫ 1Ф1

I I для любой фуги 1с: д О

Естественен вопрос, можно ли не только делить на внутреннюю функцию, оставаясь в рассматриваемом пространстве, но и умножать на нее. Если N , то |1 ^ N для любой I ; если|еН, р оо то Н для любой Н ; если 1еСд, |ХеСд , если 1/х ^Сд .В данной работе найдено условие, накладываемое на внутреннюю функцию, позволяющую умножать на нее в пространствах А^ (Ф)

Теорема 2. Пусть Ф - внешняя в Ю функция, ^ произвольный модуль непрерывности, IФI |эю & А 4 (Э Ю), Iе1 А^ (Ф) I - внутренняя функция, |/т & Сл и кратность нулей функции $ в точках оС е: брес IП Ю не меньше И- "Н . Тогда

1-Л>).

Теорема 2 доставляет еще один пример интересной закономерности состоящей, грубо говоря, в том, что если на внутреннюю функцию "можно делить", то на нее же "можно умножать" (несколько более слабый результат такого типа был доказан автором в [5IJ). При этом ограничения, касающиеся кратности нулей в точках множества Spec I П D , существенны, как показывает

Теорема 3. Для любого модуля непрерывности и) можно указать

О ^ г\ * функцию + е: А ~ П СА и произведение Бляшке В такие, ин А что

1/6

Несущественно изменяя доказательство этой теоремы, при любом натуральном U можно построить такую | е Л^ и такое произведение Бляшке В , что 1фатность нулей функции / во всех точках множества Spec BHD равна ti , |/ В ^ , но | В Л^ . Ограничения, касающиеся кратности нулей функции I в теореме 3, отпадают лишь в случае "невысоких гладкостей" (tV=0 ) или тогда, когда I - сингулярная внутренняя функция.

Несмотря на обилие примеров пространств аналитических функций, обладающих (F) -свойством, свойство это не универсально. Первым примером пространства, лишенного (Р)-свойства, оказалось пространство

А А то

В.П.Гурарий, Затем последовали и другие примеры: пространnPíW л Л Р ство L ||(n)l <«»} (при в Йо], а при ~~ в ЕЙ)» а также пример Дж.Андерсона

M {Ie№°: lf(2)l -°((1-I2I)H)J . в§ Згл.1 указаны новые примеры пространств, не обладающих (F) -свойством.

Теорема 4. Пусть последовательность чисел / {> ) такова, что ' при всех л =1,2,. » где сл , ся положительные постоянные. Класс

Н1 4 <00^ не обладает (Р) -свойством, если » Р/2 •

П Граничные значения модуля гладкой аналитической функции. Предположим, что функция ^ класса £) обладает некоторой граничной гладкостью (например, ). Как это сказывается на ее модуле (точнее, на ¡{¡¡^¡р )? Конечно, должен быть суммируемым на ЪЮ (если ^ О )• Понятно, кроме того, что /<^^£¿¿/3* , если О <°< < { • Вот, пожалуй, и все, что видно "невооруженным глазом". Но есть и более тонкие закономерности. В.П.Хавин и Ф.А.Шамоян [12] показали, что если 0(£ (о, 1) , не имеет корней в £) , а ^¿¿р ос, то £ Д^ . Этот результат точен ¡^существует внешняя $ , у которой ¡<[¡1 , но ^ П1>и (как сообщается в [13"1 , близкий результат содержался в одной неопубликованной работе Якобса). Впоследствии ВЛ.Хавиным в [13] эта теорема была обобщена на классы функций , у которых рсо , где со модуль непрерывности общего вида. Результаты работ ¡12) и [13] указывали на то, что граничная гладкость внешней функции должна быть ЕДЕое меньше гладкости ее модуля на окружности ^ как бы ни понимать слово "гладкость". В работе [14] Дд.Бренная (в связи со своими исследованиями по теории аппроксимации) доказал справедливость этого предложения для функций

Сд с ^^Р* ПРЙ О <°< < 2 , а в работе Тейлора и

Вильямса [15] и Бруна и Ортеги [47] это утверждение использовалось (без доказательства) уже при любом со ссылкой на неопубликованный результат Карлесона и Якобса; его доказательство с тех пор так нигде и не появилось.

В работе [51] эффект "уполовинивания гладкости" получил новое освещение: там было найдено условие, необходимое и достаточное для того, чтобы внешняя функция ек , отвечающая неотрицательной функции [г-е Ц/роС , 0<Ж</1 , принадлежала А (1ек Однако условие это было записано в виде, плохо поддающемся обобщению на случай оС > \

Во второй главе настоящей работы упомянутый результат статьи бД обобщается на всю шкалу Л ( оС - не целое), а также на р -ин шкалу Нп и Д И , 2 - класс Зигмунда. В § I гл.П доказана Теорема 5. Пусть ке.ССдВ) , к ^0 , сб - нецелое положительное число. Для того, чтобы А , об - нецелое, необходимо и достаточно, чтобы

1. существовала функция Р&С , такая, что ;

Ц п ос

2. если 1\(2)== МОХ К{Х)>Л\-\1\) , то

ЙД ¿едЮ 4/4 у s

6) lit) ''i^i2 > w rKU л и постоянная С^ не зависит от % . Напомним,что А , оС - нецелое, есть пространство функций + еС* » таких, что (Ю) об А jf е Lip (ci-И), С - множество комплекснозначных функций F на 3D , для которых F е Llp0(D (d,- M) ; z

- класс Зигмунда на 3D], Ь^Ч^СОО):^"^ 1Р(ЭЮ)} ,

В §§ 2 и 3 доказаны, соответственно, теоремы § и 7 о принадлежноо Р И'Н сти е (г пространствам Н ^ , "I < р < ,иД Ъ ,

И . При этом ограниченность интеграла (6) постоянной, не зависящей от Ъ , при условии Н СХ , к , %) , является единственным условием, которое выделяет модули функции мР АНН "7 подпространств /\ , , А £ из модулей функции пространств С , Ь , С 2 , а функции задаются так:

Н(Х,Ы=

-\%\) , Х = А , оС - нецелое, и ПН

I (Мх|) , Х=А 2. р р

Наличие функции ^ е: Ь (ЭР) при описании Н*. следует Р понимать так: если » /1<р<°° ,то существует

ЧЧ') = е ЬР(Э О) , такая, что при интеграл в (6) ограничен; если существуют функции Р& и Ф^Ь такие, что при интеграл (6) ограничен постоянной, не зависящей от % , то Н^

Ограниченность интеграла (6) оказывается вполне "рабочим" условием, из которого можно извлечь важную информацию о гладких аналитических функциях. Приведем следствия, собранные в теореме 8 § 4: пусть Цр|||А0>-<» . Тогда дю „ * п

Ре С =>е| е А ; (7) р<оо н^ ; (8) если / 0<««, то

Импликация (7) усиливает упоминаемую Тейлором и Вильямсом, Бруна и Ортегой "теорему Карлесона-Якобса", т.к. не требуется неотрицательности функции ^ . Ф.А.Шамоян [48] установил импликацию (8) для случая ; соотношения (7) и (8) £ -точны в естественном смысле.

Ш Глобальные и локальные свойства нулей гладких аналитических функций. Кэкоео строение замкнутых частей Е замкнутого круга Ю » на которых может обращаться в нуль отличная от тождественного нуля функция класса Л ? Из неравенства Иенсена легко следует, что для этого необходимо условие

-<=*> (9) я>

Оно было отмечено, фактически, Берлингом в 1939 г.; в работе [2] Л.Карлесона оно появилось вновь. Там же было показано, что если о(>0 , а £ с № , то условие (9) и достаточно для существования функции

Л с 4'Хо)=£ Тейлор и Вильяме [15] и Б.И.Коренблюм [16] независимо друг от друга доказали, что из (9) следует существование функции еА с 4 (о)*Е при этом Тейлор и Вильяме ссылались на уже упоминавшейся результат Карлесона-Якобсона, первое известное нам доказательство которого дано в [58] , [61]) . Если , $40 , где со - какой-нибудь модуль непрерывности, т.е. если | - ~ г , , то

Ю) где Е = Г1(°) •

Для весьма специальных модулей СО (произведений степеней итераций логарифма) Й.Штегбухнер (U 7]] ,ВО) показал, что из (10) следует существование с | (0)=Е . В § I гл.Ш мы доказываем следующую теорему.

Теорема 9. Пусть и) - модуль непрерывности, E^D , - внутренняя функция, Spec la Е . Если Е удовлетворяет условию (10), то найдется такая i^A^ , что | (0)= Е , |1 - внешняя функция, |l~ е Д^

Подчеркнем, что в этой теореме на модуль непрерывности не наложены никакие дополнительные ограничения. Метод доказательства теоремы 9 использует соображения, принципиально отличные от более или менее "явных" конструкций работ [2] , [15) - [18].

До сих пор мы говорили об описании множества корней "в целом". Второй параграф гл.Ш посвящен локальным характеристикам корней; в нем предпринята попытка уточнить представления "о кратности граничного корня". К такому уточнению ведут два пути (впрочем, связанных друг с другом).

Во-первых, интенсивность корня функции Ц- в точке обе д D можно характеризовать с помощью мажоранты Н» СО, Л-* СО,00) > удовлетворяющей неравенству и стремящейся к нулю при М - О

Во-вторых, с любой функцией $ класса N можно связать и такую характеристику:

Здесь D(cU) = {£e:<C:l£-c6l<5}, Ш.&^ЪОП DU,8) , [ol } - последовательность корней функции | в круге О .

Чем медленнее убывает при , тем выше "кратность" корня об функции | .

Для функций N , | ф 0 1 невозможна мажоранта Н , стремящаяся к нулю быстрее любой функции вида £00р это легко усмотреть из формулы (2). С другой стороны, мажоранта О \ о 00 веер (- ^ ^ ^ возможна даже для функций е: А (если содержит точечную нагрузку в точке об , так что величина М|(о6,5) отделена от нуля). Более содержателен вопрос о мажоранте и об оценках величины |\|| (оС, §) для функций | с редкими коэффициентами Маклорена. В той части, которая касается мажоранты Н , он близок к задаче о предельной скорости убывания вдоль оси рядов Дирихле с редкими показателями (Л.Шварц, рС^], Хиршман и Дкенкинс [2С[| и др.).

В теореме 10 описаны мажоранты Н для ненулевых функций | пк вида К2)=Ца12 , где к р

Ак . (12)

Это описание в известном смысле неулучшаемо, если р > 2 ; если 1 < р-^2 , то оно более точно, чем в работе [2(3•

Теорема 10 относится к любым функциям с редкими коэффициентами (без каких-либо предположений о граничном поведении). Если

00 такая функция принадлежит Н , то естественно ожидать, что величина N о (сИ, не может быть слишком большой. Дж.М.Андерсон в

-1 0 00 о

21] показал, что если Н » ¿-Ф 0 имеет адамаровские лакуны (т.е. = £ » где > Ц > 4 )» то меРа не может быть "слишком сосредоточенной": пу ^ и < °° , об^ЭЮ.

Эту оценку Дж.Андерсон вывел из теоремы Хиршмана-Дкенкинса [20] . В п.2.2 гл.Ш мы получаем новый результат такого типа. Он относится к функциям класса и Н , подчиненным условию (12) при нег>о котором р , причем мы оцениваем (а не только

X (сЬ, 5)) ). В теореме II доказано,что для таких функций

2-Р Р-1

1т 5 НиеЬ,1))<°0 (13) о 00 и построен пример функции | е: Н , подчиненной условию (12) и такой, что левая часть неравенства (13) положительна (более того, положителен нижний предел, отвечающий первому и третьему слагаемому в выражении (II)).

В теореме 12 показано, что для таких "почти экстремальных"! величина N^(06, Я) достаточно регулярно зависит от 6 : если нижний предел в (13) положителен, то соответствующий верхний предел конечен.

В п.2.3 гл.Ш мы возвращаемся к гладким аналитическим функциям. Здесь показано, что быстрое стремление к нулю коэффициентов функции препятствует малости мажоранты Н (см. выше). Так, одно из

-¿ОД утверждений теоремы 13 гласит: если I в при некотором б>0 и всех и

I ^("СЦ Гг) , где С , С) > 0 , А > \ , то (Хп ~ 0 , П>,0 . Тривиальный пример (&0=1 , = , (Х^=0, Ю2) показывает, что в этом утверждении неравенство АН нельзя заменить равенством А= \ . 1У Замкнутые идеалы в некоторых алгебрах гладких аналитических функций. Первый результат посвященной этому вопросу, был получен Г.Е.Шиловым И, который описал примарные идеалы диск-алгебры. Полное описание замкнутых идеалов этой алгебры принадлежит У.РудинуСб]. В.П.Гурарий [22Ц исследовал идеалы в алгебре абсолютно сходящихся степенных рядов, Б.И.Коренблюм [23],[24] - в ал

УХ' 2 гебрах Сд и Н^ , , Ф.А.Шамоян [25] - [27] - в алгебрах

1.Р

А , сО - нецелое, г\ , 1 < р < 00 , А^ , где модуль непрерывности СО удовлетворяет условию X О с1 автор - в алгебрах Н^ и А В^ (алгебре аналитических функций, входящих в пространство 0.В.Бесова). Все эти результаты так или иначе связаны с неванлинновской факторизацией, с (Т) -свойством или некоторыми их заменителями; само понятие (р) -свойства возникло под влиянием исследований, посвященных идеалам в алгебрах гладких аналитических функций.

Несмотря на значительное разнообразие аналитических средств, которые использовались в перечисленных выше работах, результаты их - с формальной точки зрения - формулируются одинаково и приводят к "стандартному" описанию идеалов. Это означает следующее. Пусть алгебра X такова, что при некотором п+1 ^

СА $ХССА

Пусть А - внутренняя функция, Е^.^Е^ - замкнутые подмножества круга Ю , причем Е^3 Е,р . , , ^Е^ ,

Идеал {|€:Х:|Д ^С* , Л =0, , к=0,.,п) к называется стандартным.

Результаты, о которых говорилось выше, о какой бы конкретной алгебре X ш ^ в них речь - объединяется следующей формулировкой: все замкнутые идеалы в X - стандартны.

В глЛУ мы устанавливаем стандартность всех замкнутых идеалов в каждой из алгебр шкалы Хпп С СО, • Эта шкала содержит все алгебры вида А^ , где модуль непрерывности ш подчинен условию X 5 соф) г 1

СО х об+г

14)

В ней заключены, кроме того, алгебры , 0 <с04 \ , , и алгебры, состоящие из функций "переменной гладкости". Класс ъ

Хр^(о)Д) состоит по определению (которое обобщает определение "аналитического" класса 0.В.Бесова) из всевозможных функций | класса С к \ к для которых

СМр. как) т вА и

Здесь - модуль непрерывности, удовлетворяющий условию (14) и при некотором а>0 ЕеД^ ( А^ - класс Макенхаупта - см. выше теорему I). При этом величины связаны друг с другом некоторыми неравенствами. Так, например, если со(1/) — X , 0<оС<1 , £ == ^ ,то требуется, чтобы р> Уж ; в этом случае X (сд,4) сов

1 г' X* падает с "аналитическим" классом 0. В. Бесова * *

В теореме 14 доказана стандартность идеалов в алгебрах ^ (Цб) со

Основные усилия (§§ 2-3) пришлось сосредоточить на докатг зательстве некоторых аппроксимационных утверждений в рамках изг вестной схемы Карлемана-Берлинга-Коренблюма. При этом в Лр^С00^) вводится специальная норма, эквивалентная исходной. Насколько нам известно, такая перенормировка - новая даже в случае аналитических классов 0.В.Бесова. Ей посвящен § I гл.1У.

Основные обозначения

I С Я?

- комплексная плоскость

- вещественная ось [£) - единичный круг: - верхняя полуплоскость Ц\[ - натуральный ряд т

П Пространства функций на <^11/ :

С", o<o<4i: ^/я-?/* - дифференцирование вдоль с)Я) с1г

1, Р>о:(1р го -г -п.-,

С«,: \к%)-Ш = 0(со\%-^)) , и / А-^ о Со) : V ^ / 7 е ^о) о

С^ в правой части (I) о(о)(|£-£|)) (л) Iе Со) для любой дути 1с ЭЮ. I 1

П Если 1с:ЭЮ - дуга или 1с: - отрезок, то для любого упомянутого в П пространства X через Х(1) обозначаем пространство функций на I, определяемое аналогично X

Ш Классы аналитических в Ю функций Л - все аналитические в 0 функции

N - класс Неванлинны р

Н , р > 0 - класс Харди

Сд I | е: Л , | непрерывна в Ю Сп СА u) Сд, П Сд

AnZ=CwZDCA

A v п^о" то e4P = {i=I|(n)A^:Llf(«)|P<o°) .

1У. Факторизация Неванлинны. $ - множество всех произведений Бляшке

§ - множество всех сингулярных функций

3 - множество всех внутренних функций

- множество всех ограниченных внутренних функций Ь ч если , то В (0), spec B = Z6 , если S^S »то Jl - мера из представления если Jli - сингулярная мера, то 5у £ § определяется формулой (2); если обе: D - счетное множество, то tt о если I = В 5 е 3 , то spec I = sp€C В U sup>p Jls если то lilt

3D если | e N , то |=e| • I| =e| • Cg ' B| ' Sj> - факторизация Неванлинны в D .

Для внешней функции в полуплоскости П применяем обозначение у :

У* Технические обозначения. дю^к £ V I

1-сг^щмш I х

1*00= (¡Ы^И^Л икоо, РгЦ;2;?)-£ ^(¿^^-а-г)"

У=0 4 7 4 I) означает I й-1 4 С I & I , С - абсолютная постоянная ах & : &,и ё 4а а х В : а 4 & Й к а сИ,.,сО об,.,а) а)

Zp(Í2) *" множество нулей на множестве И

У1. Нумерация лемм и формул в каждой главе автономна.

1. Шилов Г.Е. О кольцах функции с равномерной сходимостью. -Укр.мат.журнал, I95I, 4, Д 4, 404-411.

2. Carleson L. Sets of uniqueness for function regular in the unit circle. - Atbta Math., 1952, 87, К 3-4, 325-345-

3. Carleson L. A representation formula for the Dirichlet integral. - Math.Z., I960, 73, N 2, 190-196.

4. Хавин Б.П, 0 факторизации аналитических функций, гладких вплоть до границы. - Зап.научн.сем,ЛОМИ, I97I, 22, 202-205.

5. Rudin W. The closed ideals in an algebra of analitic functions. - Canad.J.Math., 1957, 9, К 3, 426-434.

6. Коренблюм Б.И., Королевич B.C. Об аналитических фун1щиях, регулярных в круге и гладких на его границе, - Мат,заметки, 1970, 7, II 2, 165-172.

7. Коренблюм Б.И, Экстремальное соотношение для внешних функций, - Мат,заметки, I97I, 10, И I, 53-56,

8. Шамоян Ф.А. Деление на внутреннюю функцию в некоторых пространствах функций, аналитических в круге. - Зап.научн.семин. ЛОМИ, I97I, 22, 206-208.

9. Гурарий В.П. О факторизации абсолютно сходящихся рядов Тейлора и интегралов Фурье. - Зап,научн,семин.ЛЙ/1И, 1972, 30, 15-32. р

10. Вербицкий Н.Э. О мультипликаторах в пространствах Л. . - Функц, анализ и его прилож., 1980, 14, й 3, 67-68. П . Anderson J.M. Algebras contained within Н*". - Зап.научн.семин. ЛШИ, 1978, 81, 235-236,

11. Хавин В.П., Шамоян Ф.А. Аналитические функции с липшицевым модулем граничных значений. - Зап.научн.семин,ЛОМИ, 1970, 19, 237-239. - 216 -

12. Хавин В.П. Обобщение теоремы Привалова-Зигмунда о модуле непрерывности сопряженной функции, - MsE.iffl Арм.ССР, Математика, I97I, 6, И 2-3- 252-258, И 4, 265-287.

13. Brennan J. Approximation in the mean by polynomials on non Garatheodory domains. - Ark.Mat., 1977, 15, N 1, 117-168.

14. Taylor Б.А., Williams D.L. Zeros of Lipschitz functions analytic in the unit disc, - Mich.Math.J,, 1971, 18, Ж 2, 129-139.

15. Коренблюм Б.И. О функциях голоморфных в круге а гладких вплоть до его границы. - ДАН СССР, I97I, 200, И I, 24-27.

16. Stegbuchner J. lullstellen analytischen Punctionen und veral- Igemeinerte Carleson-Mengen, I. - Sitznugsber. Oster, Akad. Wiss, Math-Nat, 1975, Abt.2, 183, N 8-10, 463-503.

17. Stegbuchner J. £ -Invarianten bei verallgeraeinerten Carleson -Mengen. - Monats hefte. Math., 1976, 81, H 3, 217-224-

18. Schv/artz L, Etudes des somraes d'exponentielles reelles. Pa ris, 1943.

19. Hirschmen I.I., Jeiikus J.A. On lacunary Dirichlet series. - Proc.Amer.Math.Soc, 1950, 1, II 4, 512-517.

20. Anderson J.M. Bounded analytic functions with Hadamard gaps. . - Mathematika, 1976, 23, ^ 2, 142-147.

21. Гурарий В.П. Спектральный синтез ограниченных функций на полуоси. - Функц.анализ и его прил., 1969, 3, В 4, 34-48. л"

22. Коренблюм Б.И. Замкнутые идеала кольца /\ . - Функц.анализ . и его прилож., 1972, 6, Ш 3, 38-53.

23. Коренблюм Б.И. Инвариантные подпространства оператора сдвига во взвешенном гильбертовом пространстве. Мат.сборник, 1972, 89, Ji I, II0-I37.

24. Шамоян Ф.А. Построение одной специальной последовательности, и структура замкнутых идеалов в некоторых алгебрах аналитических функций. - Изв.АН Арм.ССР, Математика, 1972,7, )s6, 440-470. - 217 -

25. Шамоян Ф.А. Структура замкнутых идеалов в некоторых алгебрах функций, аналитических в круге и гладких вплоть до его границы. - ДАН СССР, 1975, 60, II 3, 133-136.

26. Шамоян Ф.А. Замкнутые идеалы в алгебрах аналитических функций, гладких вплоть до границы. - Изв.АН Арм.ССР, Математика, I98I, 16, J« 3, I73-I9I.

27. ТамразоЕ П.М. Контурные и телесные структуры свойства голоморфных функций комплексного переменного. - Успехи мат.наук, 1973, 28, II I, I3I-I6I.

28. Данькин Е.М. Оценки аналитических функций в жордановых областях. - Зап.научн.семин.ЛОМИ, 1977, 73, 70-90.

29. MucKenhoupt В. Weighted norm ineisjualities for the Hardy maximal functions. - Trans.Amer,Math.Soc, 1972, 165, 207-226,

30. Зигмунд A. Тригонометрические ряды, т.I. М., Мир, 1965.

31. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М., Наука, 1977.

32. Голузин Г.М. Теоретическая теория функций комплексного переменного, М., Наука, 1966.

33. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М., Мир, 1973.

34. Гольдберг А.А., Островский И.В. Распределение значений меро- морфных функций. М., Наука, 1970.

35. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. М,, ГИТТЛ,1956.

36. Дынькин Е.М. Конструктивная характеристика классов Л.Соболева и О.В.Бесова. Тр.мат.ин-та АН СССР, I98I, 155, 41-76.

37. Крейн Г., Петунии Ю.И., Семенов Е.М. Интерполяция линейных операторов. М., Наука, 1978.

38. Дынькин Е.М. Гладкие функции на плоских множествах. ДАН СССР, 1979, 208, а I, 25-27. - 218 -

39. Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. М., Наука, 1966,

40. Horowitz Factorization theorems for functions in the Bergman spaces. - Вгдке Math.J., 1977, 44, H 1, 201-213.

41. Привалов И.И. .?раничные свойства аналитических функций, М., 1950.

42. Hoffman К. Banach spaces of analytic functions. Prentice-Hall, Eugl.diffs. N.Z., 1962.

43. Kahanu J.-P. Best approximation, in - Bull.Amer.Math. Soc, 1974, 80, Ж 5, 788-804.

44. Bruna J., Ortega J. Closed finitely generated ideals in algebras of holomorphic functions and smooth to -the boundary in strictly pseudoGonvex domains. -Math.Ann.,1984,268,И2,137-157.

45. Шамоян Ф.А. Теплицевы операторы и деление на внутреннюю функцию, в некоторых пространствах аналитических функций, - ДАН Арм.ССР, 1983, 76, Л 3, I09-II3.

46. Виноградов А., Широков Н.А. Факторизация аналитических функ- ций с производной из Н . - Зап.научн.семин.ломи, I97I, 22, 8-27.

47. Широков Н.А. Некоторые свойства примарных идеалов абсолютно сходящихся рядов Тейлора и интегралов Фурье, - Зап,научн. семин.ЛОШ, 1974, 32, I49-I6I.

48. Широков Н.А. Идеалы и факторизация в алгебрах аналитических - 219 -Ч^ункций, гладких вплоть до границы. - Труды ШАН, 1978, 130, 196-222.

49. Широков Н.А. Стандартные идеалы алгебры j-j^ . - Функц.анализ и его прилож., 1979, 13, Л I, 86-87.

50. ShirokoT Ж.А. Division and multiplication Ъу inner fimction in spaces of analytic functions smooth up to the boundary. - Lect.Notes in Math., 1981, 864,413-440.

51. Широков Н.А. О модуле граничных значений аналитических функ- ций класса A^j .- Зап.научн.семин.ЛОМИ, I98I, И З , 258-260.

52. Широков Н.А. Шожества нулей функций из Лео • - Зап.научн. семин.ЛОШ, 1982, 107, 178-188.

53. Широков Н.А. Деление на внутреннюю функцию не меняет класса гладкости. - ДАН СССР, 1983, 268, М 4, 821-823.

54. Широков Н.А. Несколько свойств слаболакунарных степенных рядов. - УМН, 1982, 37, И 2, 249-250.

55. Широков Н.А. Модули аналитических функций, гладких вплоть до границы. - Препринт ЛОМИ, 1982, Р-7-82, 43 стр.

56. Широков Н.А. Замкнутые идеалы алгебр типа Вр<, • Изв. АН СССР, серия матем., 1982, 46, Н 6, I3I6-I333.

57. Широков Н.А. Факторизация Неванлинны в некоторых классах аналитических функций. - Зап.научн,семин.ЛОМИ, 1983, 126, 205-207.

58. Широков Н.А. Свойства модулей аналитических функций, гладких вплоть до границы. - ЛМ СССР, 1983, 269, II 6, I320-I323.