Суммирование и распределение значений мультипликативных функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

РГ6 од

2 0 С^Яш^Е^СКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ТУЛЯГАНОВ Сабирджан Туляганович

СУММИРОВАНИЕ И РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫХ ФУНКЦИЙ

01.01.06 — Математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Ташкент —

1993

Работа выполнена в Институте математики имени В. И. Романовского Академий Наук Республики Узбекистан.

Официальные оппоненты — доктор физико-математических наук, профессор А. И. Виноградов

—доктор физико-математических наук, профессор Н. М. Тимофеев

—доктор физико-математических наук, профессор Ш. К- Форманов

Ведущая организация — Вильнюсский университет.

Защита диссертации состоится «_ 7- » 993 г.

п 1 *С часов на заседании специализированного совета Д 067.02.21 при Ташкентском государственном университете по адресу: 700095, г. Ташкент-95, математический факультет, ауд. 205.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Ташкентского госуниверситета (Вузгородок).

Автореферат разослан _1993 г.

Ученый секретарь специализированного совета доцент

с.,

, - 3 -

ОИЧАЛ хшктглигаа'чЛ ГЛБОТЛ

Теория суммирования мультипликативных функции является одним па основных разделов теория чисел. Сред-нио значения мультипликативных функция играют ваянуп роль, например, п методе рошета, п вероятностной теории чисел и в аддитивных задачах. Асимптотика суг.ггл мультипликативных :{у;пщяЯ изучалась в работах Б.М.Ередихиип, А.И.Виноградова, З.Ькрзпига, Г.Делан»п, ЙЛ1.Кубпл«са, Б.В.Левина, И.М.Тт.!о{еева, М.И.Туллга-нопой, Г.Халвса, А.Хялде0рапдта, А.С.йаЗнле.'Ип, Ц.Эрдспа и др.

Изученио распределения значения арп{мвтических функций -получений локалышх п интегральных предельных теорпм я сцепка их скорости сходимости - является основными задачами вероятностной теории чисел.

являются разработка методов исследования су(.м мультипликативных ЗункцаИ, "сильно" растущих в степенях прости* чисел, асимптотических формул с остатками для сумм мультипликативных функции, а также исследование интегральных и локальных продольник теорем для пецоотвешшх мультипликативных цункциЛ.

1!аучдая доризна, .теоретическая д практическая. ценность. В перло;] главе диссертации при изучении сумм мультипликативных (¿.унпциг! применяется аналитический метод, развиты;! в работах ГДаласа, Б.В.Левина и Н.М.ТимоГеева. Прогресс в этом вопросе достигнут за счет существенных модификаций идей этих авторов.

Для суш мультипликативных функций, "енльпо" растущих в степенях простых чисел, доказываются теореш сравнепия и део новые асимптотические формулы. Полностью исследована одна гипотеза о средних значениях вещестпенпшс мультипликативных функця.г.

Предложен элемеМаршп! подход к получению асимптотики с остатком для суш мультипликативных $уикцл.1, который позволяет для некоторых классов получить неулучжаемае результата.

Докапана теорема редакции, которая задачу ой интеграль-

клс предельных тезроыах дня вещественных ыультишнкатаиша функций подцостьв сводит к аналогичной задача для вещественных одднтиваах функций. Для одного класса вещественных мультипликативных функций на арифметической прогрессии с растущий модулем доказана внтеграль-иаз предельная теорема с оценкой скорости сходццоста. Для ыатураль-иаго рада она общео и точнее ранее существующих. Додеваны локальные твореш для вещественных ыудьтиплякативных ^ у акций.

Работа носят теоретический характер, ее результата и иетоды иогут быть использованы при дальнейшем исследовании сумм иультц-пликатавкшс функций на натуральной раде, на его подпоследовательностях н на полугрушах. С помощью топреми редукции все интегральные предельные теореш для вещественных аддитивных функций могут бить перенесены на вещественные мультипликативные функции. Результаты о распределении значений мультипликативных функций ыогут бить использованы для арн|иотаческаго моделирования случайных величин.

Д п п о б р н и я. Результаты диссертации докладывалась на сшниаре академика АН Литвы И.Н.Куйвлкса в Вильипсскон университета, на сеаштре по теории чисед в ИГУ, на соиинаре про^.С.Б.Стьчкина в I Л ¿11 СССР (1УВ6, 1589), на семинара про$.В.Ы.Золотарёва в МГУ (1986), на Всесоюзных евегодиых шкалах под руководством про&.С.Б.' Стечиииа (г.Ыиасс, 1005, 1987, 1989; г.Душанбе, 1988), на сшикара . 1;ро$.Н.М.Тимофеева, иа семинаре члеиа-корр.АН Риспубцики Узбекистан Дп.ХДадкяевз, ыа сешняро чдена-корр.АН Республика Узбекистан А.&.Заврика, на сшанаре про|.М.Н.Нсрзнлоьа, на соыанара доктора $аз.-ыа».иоук Ц.И.ТулотанавоЗ. Все результата диссертации доклада-ьались на сеиенарах по теории чнеед Л01В1, Владимирского гос.пад. института, а такдэ на сошнэро члг-лорр.РАН Н.В.Кузнецова.

Креие того, по разудлвтаы работа делались доклада :

- иа Всесоюзный конференции "Теория чисел и её припоквши", Хбядзся (1985),

* но Нарвоа Всемирной конгрессе ОЛдества ыатешгазасдиа статистику и теории вероятностей им.Бернулли, СССР, Ташкент (1986),

~ на Международном коллоквиуме по теория члсел, Вопгрп, Ядо-пешт (1У07),

- на ЕсссеэтзноЯ школе "Конструктивные мотодн и агприу тво-рпи чксел", Минск (1989),

- на Международной ко»! еренцнн по аналитической п гепоягност-ноЯ теории чисел, Литва, Паланга (.1931).

II X й й 11 Д а и й Л- По теме диссертации оиубликовзиэ болео '10 работ. Основное результата дисспртвцчи содержатся п 1С работах, список которых приводится в конце автореферата.

Структура й обьг-ц. Диссертация состоит из выедания, трех глав и библиографии. Обь ем диссертации -- ?£3 стрпгшш машинописного текста. Библиография содержит 115 наименований.

ОБЗОР СОДЕРЕАНПЛ РАБОТУ

Во еводсния дано описание основних результатов работа п пт сбязи с другими извостнима результатами.

В первой глава исследуется сроднее значение мультипликативных теоратпко-часловнх функций в формч

* л б я:

В работах Э.Вирзинга, Г .Деланна, Б.В.Лсщн.ча, А,Репьи, Н.М.Тимофеева, Л.С.Фа!!ате1?бп, П.Эрдеша рассматриваются мультипликативные функции / такие, что "п среднем'' близко к некоторому числу Г , когда р пробегает простив числа, и исследуются условия, при которых гчерт место соотношение

-Г Г

гЖ п/(*>"(ш п,1, ■(х>^ «>

где - постоянная Э;1лера, Г(Г) - гомма-^уншдая и

//Л*) ч

П,(Х)= л (1+ И ~1Г1- ).

/ р£Х Р

При этом ограничивалась ^ункцляки, значения котерше в е?еа<г-

ндх простых (/(р"1) при ) растут по слипг.см

Зисгро. ß puöüiö [Iх] для фуикцай, принимавших пслоааталь-

1ши значении, и ь [2х] для комплекснозначиих функций доказано, чю длл справедливости формулы (I) достаточно, чтобы значения функции в простых числах удовлетворяли условию

Г. /(Р) Up = (Z*o(i))x . (2)

pix

Как показано в [3х] , условие (2) нельзя, вообще говоря, заменять более слабым ограничением

}(p)tnp п

—-- = (Z+a(j)) fa Z. (3)

Pix *

Однако, бела к (3) добавить еца положительность Г , неотрицательность функции -I и еа ограниченность сверху в простых числах, то, как показал Вирзинг [ 3х ] , соотношение (I) остается справедливым. Для комвлекснозначной функции аналогичной результат имеет место только лиль в случае, когда рад

—_- сходится. Другие виды дополнительных

P f .

усдошй па множество ^значешзЦ 'i(p) , добавление которых к (3) обеспечивает выполнение соотношения (I), были получены -

в работе [4х] . Таким условием является, например, /(р)^с>0,

1х) eipBlne С, Eas ueyirptctiacbe Verbal tec vou Cuusien über

multiplied live Punktion.I.// l.iJth.Ann. 19S1 .143. Ilo 1.V5-102

2х) Левин Б.В. ,§айнлейб A.C. Об однем метода, суммирования мультипликативных функций.// Изб. АН СССР.Сер.матем.1967. 31. ,С .,697-710.

3х) Wirejns Е. Dae anymptotioche Verhalten von Sui.ai.en über

multij. ¡1icative Funktionen. II // Acta iiath. Scir»un,j.1967. 10. 1:9 3-4. 411-467.

4х) Левин J>.B.', ФайнлеИб A.C. Мультипликативные функции и вероятностная теория чисел.// Изв. АН СССР. Сер. матем. 1970. 34. С,1064-1109.

Параду с вышеизложенной исследовалась и задача еугмерования мультипликативных функций в следующей, более общо!) постановке. Пусть ft ¡1 - napa мультипликативных ^упп;и<1 h(H)>Q,

При каких условиях на функции / и /t :

1. Величина суммы

£ /с К) определяется с точностью <' П£Х П4Х

2. Существуют постоянные £„ и "С такие, что

где /¿(n) = -f(,i)iCLt .

В [3х] для вецзственнозначной / зга задача решается при предположении I /(и.)|< /г ( п.) , h(p)-Oíl) и

/t удовлетворяет условию (3). А для комплекснозначпо!! / на значения /7/3) накладываются довольно обременительные требования, такие, что функции . , г до X. - ха-

рактер, вообще говоря, перестают им удовлетворять. Там яге Вирзингом бала сформулирована гипотеза: если //(/i)/£ i , то существуют постоянные С, , CL и медленно меняющаяся функции ¿(U), It (и.) J = 4 , С которыми

«5/w = L + О(IX) ,

i 1 + lCL

Г.Халас [5х] , усовершенствовав аналитический метод, доказал эту гипотезу. В.В.Левин и Н.М.Тима|еев (1970) обобщили результат Халаса для класса мультипликативных функций

Wи крг)«(2р)^ ?H(¿<Í)}( (5)

где - символ И.М.Виноградова, заменяв условие

5х ) Ha la 3 2 G. 'üboi dio ¡,'ittelv/erta rail ti plicativer Zahles-theorotiáher Fum: ti on en // Acta I.'nth, Scí.Kukk. 1960. 19. 335-403.

- и -

усдоеиол

.Цалыыпаоо нрсдьахепца в атом вопроса получил U.Ll.Timü^ecü (1971). Он доказал соотношение (4) для неотрицательной А £ W

i

удовлетворяйся условию (3) с Т > ¿ и коммекснозначнол Í£. Vi' > потребовав

и сделав ецо несколько довольно 061411Х предположении. Эти результаты пр;шеш:ш к функциям вида \.(н) А О1) • Но их основным недостатком является ограничение Z > 4 'В работе С 6х ] удалось избавиться от этого недостатка. Таи доказана теорема, сравнивающая суммы мультипликативных функций, в которой содержатся подобные результаты с Г >0 . Почти одновременно похо-кая теорема, в других предполокенилх, доказана А.С.Файплецбсм. Ы.И.Туляганово.1 рассмотрен случай ¿ 4

Во всех существующих работах, как правило, на значения функции в степенях простых чисеч выле ncpaoii накладывались такие условия (си., например, (5) ), которые не оказывали влияния на порядок роста суммы. В псле зрения специалистов постоянно находилась, в частности, задача ослабления условии, налагаемых на значения' функции к степенях простых чисел выие первой. Однако результаты типа (I) или (4) для мультипликативных функций í , значения которых в CTenejHX простых вике первой, влияет-на порядок роста сумма So (Oí) , получены впервые. '

В первой главе диссертации вылерпссмотрошше задачи о сумме £f(:х) исследуются для классов мультипликативных функций, содержащих как функции, для которых порядок S^fa) определяется их значЕшшии только в простых числах { то есть значения f(p}) при растут "не сильно"), так и $унк-

6х) Левин Б.В., Тимофеев K.M. Теоремы сразиььзд доя мультц-ППйуатквных функций//Acta Arittaa. 1982. 4?. С.2t—17.

- э -щи, значения которих в степенях простых влтшт на этот noj*t-! t

док (т.о. Цр ) рястуг "сильно"). Она состоит из ивсти параграфов. В первом параграфе исследуются свойства радов Ли--ряхле функций класса .V .

Мультипликативная функция 1 £ Л! , еслм

ргйХ '

и

/ ~ i f(p*)i w - \hp*)\ е 8 \

/з v ?ti /3 7 х г

Мультипликативная функция М , если сущестиукт é>0 , 1С >О такие, что ли любых постоянных Х- > V. , К.уо

б л

существует такое, что при а: d ) / ¿ / ¿ }ci t

i < S" <. er

(i- toiti Up) >y ¿he.

V____

¿--л >6

Приводятся болео простые достаточные условия принадлежности функций массу М • Такими условиями для 4 является например, условие (6) и существование 'функции со ,

| кр*) 19 (¿(р*) ? 0 та ко Л, что Т. ((О, х)?,с1 > О при X г 1а „

оО(рг) д > л ъ

2- —ир приу-'-^.

Усрг&'г '

Здесь и в дальнейшем .

Л Н/О*) р г

Лги. Р

Второй параграф главы I поскзден сравнению суглглэ торных функций комплакснозначной и неотрицательной мультипликативных функций. Доказывавта следукгда

Теорем а 1.2.1. Пусть задана пара мудьгаплшштивш* (функций / и к из класса У Л Л] , ¡1(4) >. О , 1(к,и)?

при и. >, ио и суп.еству;эт постоянные Л к ¿>0 такие,что пра и г 2

гг(///,и ) 6 г (А., и) + А / &г(ии))

1*£

Тогда либо существует единственное ь .такое, что при

(а)

ы:

Z рг

(9)

сходится, и тогда п.йх \ Шт.

Л.

елр

с XI

Р ¿X

к(ръ) г1

(10)

гда

рг р у

рч г={ р ' < ^

крг)

си)

Р 4 р ' ' у гч Р

либо при любом этот ряд расходится к , и то1',ца

£ йп,- .(ук. ю 2

В этом же параграфа доказано, что если в теореме 1.2.1 вместо условия г(к,и)>Л7йпотребовать ~ £ к(рх)£црг Г > О,

р2т

то в (10) и (II) остаточные члени манию заменить на о (теорема 1.2.2).

В теоремах 1.2.1 и 1.2.2 усредненность условия (8), по сравнению с условиями типа = ^(>г) , приобретают

особую значимость. Благодаря ей допускаются случаи, когда / в степенях простых растет "сильно", а /г - "не сильно". То ость, подставляя вместо асимптотику, найденную из

- и -

ранее известных результатов, мо*но получить асимптотику ^(х) для функций / , значения которых в степенях простых влияют на поилок (х) .

В следующих двух параграфах подготовленные п 5 1Л две модификации метода Холаса-Левин.ч-Ти.\н>{<зсвп используются в двух принципиально различных подходах к исследованию асимптотического поведения суш мультипликативных $унглий, "сильно" растущих в степенях простых чисел. При цррвом псдхопе исходим из информации о поведении функции в степенях простых чисел в среднем вила £(/,:£) — £ (см. (7)). Центральным результатом параграфа 1.3 является

Теорема 1.3.1. Пусть зодрпа п.'ра мультипликативных функции / и к , 4 € а' П н , к е У , к (и) > О . Далее,пусть , , и существуй? постоянные А и ¿>0 та-

кие, что имеет место (8). Тогда либо существует единственное число "£ такое, что при Ь ~ "£а ряд (9) сходится, л тогда

-г х

£ 101) * п Сх)е,хр(-1: '

+ а(т5г. (к)

либо при всех ■£ р1Д (Э) расходится к + , и тогда

- ■ П1СХ>). (1Э)

где

* / г- к(р*) ч

л;(*)= я /¿+ х . х -4- )

я. Р(Х V Р

и У , Г » - те не, что и в формуле (I).

Формула (12) отличается по существу ог тех, которые получались ранее (см. (I) и (4)) г.'П ска телом

&хр( -XI 4(Р>)/р*^'^^ ) В главном члено. Это еще

рбх, рг>х

раз показывает, что асимптотика оуш для рассматриваемых в диссертации мультлояякагавгш: фуккцлЯ суцествеяно зависит от значен г.и { на степса« простых шао первой.

В 1бйрыв 1.3.2 умерадаатсн, что длл спрйвед'шьости оценки (13), Быесто асимптотического равенства Z(k,x) ~ £ , достаточно потребовать только лишь неравенство Z(k, г.с) г d >0 .

Во втором подходе в качестве исходной информации принимается условие р п. nbfX , где ¡хЛр\-PÍX р Г i г'

JГ 1 1

t Y" ? • При таком подходе, кроме всего прочего,

г =7 р*'*

возникает трудность с равномерной сходимостью ряда

V Í- т Adir, __ i \ ¡¡г ps tri р1"* у íTíxwj / при

I JntS I ¿ )¿ для любого постоянного Я. Ею, в основ-

ном, вызвано возникновение класса L .

Мультипликативная функция -/ принадлежит массу L , если существуют функции Z(O-) , , стремящиеся к нулю

при 0-—+-а<> такие, что интегралы

iíííIj,. T i""

СХОДЯТСЯ И

ч. Í "" ^ Há^l Inp = г(1>) in.ee + 0 (£(!>) &LX )г

где a ■

f ' г*о Р 1 -

Для функции класса L в § 1.4, в частиости, доказана Теорема I.4.I. Пусть / £ ¿JП Al . I) Если для любого Г ряд (9) с расходится и X (¡}), X) Ъ d>0

при то Д /(Я) = о (Z) ) .

2) Если существует вещественное в , такое, что при i.-9

и /l=//( ряд 0) СХОДИТСЯ И / £ /» , ПрИЧсМ Т.Ц) >а ,

s у- > ----тв

1IT^' /па

то

й < Ч ¿У i f í г t в .

21 т-. е--Í_2;--П;(Я) + я А--- п , М\ (14)

(шв)Пш))Ьix 4 ■

Этим методом, в отличие от первого,' задачу (4) удаогсч решить только длч А. = /// . Тем не м^нее кетс.н;! из них имеет свои преимущества. Отметим,• что при сгпр.н:м подходе в главном члене асимптотической формулы (14) воз!П!кает новы!!, по сравнению со случаем "не сильно" растущих ^ степенях простых функций, поспшшШ множитель ехр | ^ )

В § 1.5 Д-'и1 £ и более широкого класса мультипдикя-

Л.«*

тивных функций, чем тот, который рассматривался лерод этил, получены результаты, аналогичные результатам параграфов 1.2 и 1.3. Формулы (12) и (14) показывает, что для функций, "сильно" растущих в степенях простых чисел, формулы, который получались ранее (см., например, (I), (1)), перестают быть справедливыми.

Теоремы 1.2.2, 1.3.1 и 1.4.1 являются источниками многих фактов теории суммирования мультипликативных функций. Ряд таких следствий приводится в диссертации.

Если в теоремах 1.2.1, 1.2.2, 1.3.1, 1.4.1 ограничимся функциями, растущими в степенях простых "не сильно", то получим обобщение многих известных ранее теорем и некоторые новые результата. К примеру о суммах вепественнозпачннх мультипликативны-!: функции в [4х] высказана следующая гипотеза:

если /б: IV (см. (5)) /(р, Т. $(р) ¿кр -V я £ —р ир л, г^ ¿кх. , г^о,

то имеет место (I) с Ту •

В последнем, иестсм, параграфе первой главы из теоремы 1.3.1 выводится болео сильный факт чем тот, что утверадоется

в гипотезе, за исключением случая Ту ■ Х^ й£> . Это исключение, оказывается, но случайно. Для кзвдого Г >0 , построим мультипликативную функцию (а :

)= - .если реЕ и ^С/3^) -О .если <¿>1 или

рф Е , где Е - [р ' 3 £ N такое, что

(Jn-i)x Цпа)г _ (Ш1)7С

H

(■¿mu* }

u n (* )-- 'i(p)j , X(x)

- число простых чисел nu Происходящие x . Функция f npiijaiViujUiT классу и "С. --X . Она вместе с фушщией

д(р) s Û удоаг.етворлст условию гипотезы. Дяя лее имеют месл\

Лу (х) « и Л (X) «

Поатому, согласно (1), если гипотеза верна, то долкно ьипол-

пяться соотноленпа (X) - о ( X SnF X ) . Однако,

с помети разработанного в нрододувдх параграфах метода, для этой функции удалось доказать, что для любого постоянного Ц при х лз справедливо соотношение (теорема 1.6.2)

lz fk^fP^- )*

0 ji/fiAi t

где 1(¥.)~>-Ù при .fcf ^ > Mj(Z)= /;гH ¿'le -f ]

Из otoi'o соотношения легко выводится оценка J^t = /? Г

-Q>(cc ¿ч х ) , что опровергает гипотезу в рассматрпвеысм

исключительном случае. f

Характерная ссабенность пострознной функции Яй в том, что она не прпнздлеьшт классу M .Ив го-же время она удовлетворяет всем остальным условиям теорем I.3.I и I.4.I. Позему пз (15) следует, что в результатах §5 1.2 - 1.4 условие принадлежности функции классу M опустить, вообще говоря, невозможно.

Результаты первой главы диссертации опубликованы в статьях [8] , [10^15} .

Вторая глава диссертации посвящена асимптотике средних значений мультипликативных функций с остаточными членами.' В oToii аацаче, естественно, чем кеотче ограничения, тем точнее получается формул;!. Для огашх гиппн задач требуется

Bcmmornni с "хорошим" сстетк"!, а для друхтд достаточно и cni,:,!"r иопизвнло в остаточном члчнр . D этой яроблсш следу trnee простое соображение оказываете-! полезным: сели две г/у•атнтикативнчо ,'уч-кции Í и ^ в определенном смысле слизки, то асимптотики иг оумматорных функций долины быть однатялнк. Если для какой-то мультипликативной функции О есть асимптотика то час.го

для "близкой" к ней функции I того мекпо налтн асимптотику ${(Х). Эта идея, по-видимому, впервые етементзрным мете,ьгм реализована в работе [7У\ когда f и <? п степешх простых "Ч::гп— но близки" и дм имеетгл асимптотика со степенным попп-пе-

пием. Случай i "близко,!" в простых числах к некоторой "постола-ной" аналитическим методам исследован П.Н.Кубклиссм [Вх] . Гго результат нашел многочисленные применения в вороятмстной теории чисел. Исследования Й.П.Кубилюеа в после.иугле.м продолжены в работах ero учеников. Э.Манставнчюс (IJ7-1) с уешзиом I {('t)l t? •/ , Л.Лауринчикас (1976) без этого ограничения ослабили степснь "близости" {(р) к "постоянной", но при этом получили несколько худшие остаточные члены. З.Критыс (1980) точее рассмотрел случай i и получил результат, близкий к неулуч^аемпму. Наконец, неулучлаемый остаточный член в задаче Л.П.Кубилвсп получен А.С.Файплейбом и автором (19Б6). Идея работы [7х] М.СЧ'.озое™ и А.СЛайнлейбом (1976) перенесена на арифметические прогрессии.

В качестве возможной реализации вылеотмеченно,": идеи во второй главе работы предложен алем°нтарный подход (который изложен и развивался в работах СЗ] ,.t.5] , [6] , [9] ). Fro суть г'следующем:

7х) Файнлейб A.C. Некоторые асимптотические формулы для сумм мультипликативных функций и их приложения.// Лит.матем.еб. 1967. 3. С.535-546.

8х) Кубилюс il.II. Метод производящих рядов Дирихае в теории распределения аддитивных арифметических функций. I. // Лит.матен.сб. 1971. II. C.I25-Ioíi.

■ - ю -

Предполагал наличие асимптотики

(X) = А X. 1*1 а- + О ( 2"- !>(. 1 о , (I-

устанавливиегсл асимптотическое соотношении (теораш 2.1.1)

„/х / ' ^У'С^.йМ -д

где ^ $ А. - арифметическая свёртка функций ^ к к , то есть ^^

(Г/

СО

а,{со =

/ />£'! Г

•г.

Любую иультшшшатцвиую $уш<ц.ш / можно представать а видо

• где. у - функция, обратная в смысле свертки " по Дирихле к функции ^ . Поэтому, когда / "близка" к $ . в простых числах, а в степенях простых они растут "но сильно", это ' соотношение дает асимптотику для VхI . (.¡[¡мое луч-

шее, что мокет дать 4ориула (17), ото деление на х .

Но зато здесь требуется довольно слабь.-; нг^ормацлл о близости функций / , О и об остаточном члене в формуле (16).

В § 2.1 этим методом исследуются «снилютшш сумм мультипликативных функций на арифметической прогрессии с растущим модулем. Полученные результаты в Т'лаве II применяются к изучению распределения значений вещественных мультипликативных функций. В этом параграфе, в частности, доказана

Т е о р р'ы а 2.1.4'. Пусть , т е С ,

ае К , 1аI £ С^ , / - мультипликативная функция, -

комплексная последовательность, /$(р)/ £ А , удовлетворяющие условиям:

х \

Из)

' рёбСтоЛЪ) раыюперпо при Эё&С-*)-&1>0 , & у. й (если & = о , то > 4 );

а 2 £ < с. ;

/> 1--2 Р 0

3) ^ 1

р^В р ' 1

/ ¿>с ^ ¿и г) \

Тогда равномерно по I —г-¡гх—Т~Г~\ /

, (Лс X Ышх /

и справедливо

/¿¿.и Га) /»¿х Р »о /> Г ;

гдо

(чтШк х) \

„ V I {(р)~2<р)рих\ . р и .

Р ^ * ^ '

Р^//П. означает, что р /л. и ; постоянная, подра-

зумеваемая в стшоае $ , зависит от Л , <-1у , ^ , ^ и постоянной в усливии (18).

Громоздкость остатка в этой теореме связана с общностью результата. В более конкретных ситуациях некоторые слагаемые исчезают. Так, если в условии (18) & £ О , то слагаемое с сомножителем (1 - &) отсутствует. Если в-о и 2 , то оно включается в последнее слагаемое.

Из теоремы 2.1.4 , в частности, вытекает Следствие 2.1.4. Пусть / - мультипликативная функция I {("-)! £ { , лей , /а / < . Далее, существуют фиксированное к в" V и А -ЕС. ( к , Ц, /с) - * ) такие, что

7*- £ £ (к,

2 /(к, (¡,к) -^ рех,р ъЦтМк)

при ос. ао . Тогда для любого (8, £ ) = 4 , равномерно

но /и5* ее и (£, ~ 4 имеет место соотношение

Лйа: %г(иса.)Г(г) р±х ' 1*е Р

р/$

п. ~ ¿(тасОЦ)

: И

рв^(тслк)

/(X)' X X - У 1 кр,

Предлагаемый прием никоим образом не претендует на преимущество перед аналитическим методом по общности получаемых результатов. Однако этот метод очень прост и иногда дает неулучшаемые результаты. Кроме того, этот метод можно приме-;игть, когда аргумент пробегает другие подпоследовательности,

например, множество значений целочисленного полинома, заданного на всем натуральном ряде или на простых числах.

В [6] отим методом оценена суша вида ¿1 А.(Ни)

г до А. и / - мультипликативные функции, означает

ту часть И- , все простые делители которой меньше . Этот результат в диссертации приведен в § 2.2.

Задача об оценке сумм мультипликативных функций с "малыми" и о "большими" простыми делителями возникает в связи с методом решета, с вопросами вероятностной теории чисел и в обобщенных аддитивных задачах. Этими оценками занимались У.В.Лшшик, А.Ь.Виноградов, А.А.Бухштаб, Де Брейн, Р.А.Ран-кии, Б.В.Левин, Л.М.Тимофеев и другие.

Третья глава поевлщена исследованию распределения значении вещественных мультипликативных функций. Вопрос о распределении значений арифметических функций является одной из основных задач вероятностей теории чисел. Начало этой науки было положено в работах Х.Давенпорта, И.Шоэнберга, П.Эрдёда, Мл'.аца, ¡1. Ту рана, а затем в трудах И.Н.Кубиласа она выделилась в самостоятельную ветвь. Наиболее вакше результаты о этем направлении были получеьы в работах Ы.Б.Ьарбапа, А.И. Виноградова, А.Винтера, Й.П.Кубилюса, Б.В.Левина, А.Лаурин-чикаса, Э.Манставичюса, Н.М .Тимофеева, П.Турана, А. Хилдео-р.чпдта.Н.Д.Т.А.Эдлиота, П.Зрдёша , А.А.Юдина и других.

Получению интегральных предельных теорем для аддитивных арифметических функций посвящены обширные исследования многих математиков, А для мультипликативных функций эта проблема долгое время оставалась малоисследованной. Первые результат!! в атом направлении были получены И.Эрдёшем (1946—47). Им были найдены необходимые и достаточные условия существования собственного предельного распределения для неотрицательных мультипликативных функций. А.Бакштис (1968) исследовал эту проблему для мультипликативных функций, принимающих отрицательные значения только на редком множестве простых чисел. Основная трудность в рассматриваемой проблеме, по сравнению с задачей для аддитивных функций состоит в том, что здесь нужно следить и за знаком функции, а не только за ее модулем.

Л '-л г.'ульпчишкаишних функций, но аналогии с теорией нерол шостей, естественной считается нормировки

-Аг*' */&(*)

¡в ¿~пЧ га1;с» нормировке, с про-

изволышш А(х) и & , задача о существовании не-

тривиального предельного распределении полностью решена в [I]. А для случая л? в [I] доказывается теорема редак-

ции. Эта теорема проблему существования нетривиальных продельных распределений мультипликативных функций полностью сводит к лучше иеследовашюЯ аналогичной задаче для аддитивных функций. Сходимость к"внрогдошшм" законам исследована А.Лзу-ринчлкасом (.Т977).

Первоначальное доказательство теоремы редукции довольно громоздкое. Е § I главы Ш приведено новое, более простое, доказательство этой теорем!. Прежде чем ее сформулировать, введем некоторые определения.

Характеристическими преобразованиями функция распределения Г (и) называют функции

]' у*1*. (г,'-2)>

— со

где штрих указывает, что точка' 0 исключается из области интегрирования.

Пусть , &(Л) = В(М) - некоторые веще-

ственные функции, [я] -целая часть х , . /А I - означает количество олементов множества А .

-Ж*)

Для \£ I существует предель-

ное распределение, если последовательность функции распределения У/Д/Т1

1 к ~Мх) 1!°(х) ц

Гх (и ;А(х),&(х))-~ т | [«: и ¿ х,1е

сходится к некоторой функции распределения ^(и) во всех точках непрерывности Р(и) и Г (¿"0) —>• Р(±0) . Запишем это так: Р. (и; А(х), &(х)) ==> Г(и),

При гаком определенна сходимости имеет место пепрерынюе соответствие ме&цу Fc(U > &ta ).) них характеристи-

ческими преобразованиями ( £ ) и ( р ) .

Далее, для заданной функции L] через <$* обозначим мультипликативную функцию, которая олредаляется следующим 'образом:

если д(р°*)*0 и f(p^hd .если .

Положим

Вспомним, что закон распределения называется выровдешшм в точке О , если функция распределения имеет вид

_ ( о, если U ■<- О , ' \i, если и >О .

Функция распределения F(u) называется симметричной, если F(U)= i- F'(-U- О) для всех и.

При этих обозначениях теорему редукция, доказанную в 5 3.1 коуло сформулировать следующим образом.

Теорема 3.1.1. Пусть - веществепнозначпаа

мультипликативная функция и —- со при —.

I. Для того чтобы

Fx (и; А(х).&(л)) => Г(и) * В(и)г

необходимо н достаточно, чтобы

1) ряд сходился;

9(р)--й I

2) LPX (и j А(х), &(х)) сходилась к некоторой функции распределения 'Р(и) во всех точках непрерывности последней.

II. Если предельные распределения существуют, то имеют место соотношения

где hT^ ( ?) ~ характеристические преобразования F(U),

-характеристическая функция Ф (U) и , son дг(ры) v

ч-пц-щ^ Z —у^-) <.с,,0,еа„

ряд "7Г расходится).

§ipxo

III. P(u)=o¿E(u + a) t-ц E(U)+ УЕ(и-а) (n¿+Y*o,а>о)

тогда и только тогда, когда Ф(и) - Е (и- Лс а).

IV. Для того, чтобы F(u) была симметричной,необходимо и достаточно, чтобы

1) ряд JEI расходился

g(p)*6 i

или

2) ^ С2.¿) < О для лябого i .

С помощью этой теоремы все результаты о распределении значений вещественных аддитивных функций переносятся на вещественные мультипликативные функции.

В § 3.2 результата х'лавы П применяются к исследованию скорости сходимости в интегральных предельных теоремах для мультипликативных функций на арифметических прогрессиях с растущими моделями. Полученные результаты, в частности, для натурального ряда уточняют и обобщают многие известные результаты п в общем случае неулучшаемн.

В последнем, третьем параграфе главы Ш доказан ряд локальных теорем для вещественных мультипликативных функций, в частности, теоремы типа теорем П.Эрдёгап и Г.Халаса. Пусть

é] Un: ft¿*' ■

Теорема 3.3.1 утверг.цает существование обсолютной постоянной

С- такой, что дач любой вещественной мультипликативной функции % и для любого вещественного а. фо справедливо неравенство

Тх(д,а) * С ,/ Е Т

Там также доказана

Теорема 3 3.4. Пусть % - вещественная мультипликативная функция. Для любого а существует предал

г • Ёс,ли "Ждется хотя бы одно

а* О такое, что 7(9, а)1 О то ряд Р

сходится.

р- - ОО

то Д./1Я всех Л*0 , Тх - .В теореме 3.3.5,

для одного класса таких функций уточняется поведение ?х .

В заключение автор шракает глубокую признательность академику АН Литш й.П.Кубнлюсу и профессору Н.М.Тимофееву за полезные обсуждения и поддержку.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Т у л я г а н о в С.Т. Распределение значений мультипли-

кативных функций.// Изв.-АН УзСОР. Сер. физ.-мат.наук. 1972. Л 5. С. 30-38.

2. Ту л я I' а нов С Л'. Локальная предельная теорема для

мультипликативных арифметических функций.// Лг■.Шш.оИси. ^cJв¿. 1.0 4. Р.359-369.

3. Т у л я г а п о в С.Т. Асимптотики средних значений муль-

типликативных функций.// Натем. заметки. 1985. Т.38,

Ьип.Г. С.15-28.

4. Т у л я г а н о в С.Т. Интегральная предельная тео1)ена

для арифметических функций./'/ Первый всемирный конгресс Общества матом, стат. и тоор. вероятностей им. Бернулли. Ташкент: 1986. 8-14 сентябри. Тез. докл. Т.П. С.803.

5. Т у л я г а н о в С.Т. О средних значениях мультиплика-

тивных функций на арифметических прогрессиях.// Мптйы, заметки. ГЭ87. Т.42, Вып.2. С.315-335.

'i. 'С u 1 у e g a ii о v S.T. Oil -tlie summation of miltiplicB-tivc arithmetical iunctiora.// CoXloquia iiath.Soc. J .Во1уч1. 51. Topics in number theory. Budapest. 19S7. r.539-S7J.

7. Туляганов С.Т. О средних значениях мультипликатив-

ных функций на арифметических прогрессиях.//Дакл.АН СССР. 1987. Т.297, & I. С.47-51.

8. Туляганов С.Т. Суммы мультипликативных функций,

сильно растущих в степенях простых чисел.// Пятая Международная Вильнюсская конференция по теории вероятн. и мат.статистике, Вильнюс. 1989, 26 нюня - I июля. Тезисы докл. Т.4. С.293-294.

9. Туляганов С.Т. О распределении значений мультипли-

кативных функций на- Сфифметической прогрессии.// Acta Arithmetics.1990. V.55i Ко 3. P.1-27.

10. Т у л я г а н о в С.Т. Суммы мультипликативных функции,//

Докд.АН СССР. 1990. T.3I4, Jf I. С.143-147.

11. Туляганов СЛ. Об одной гипотезе о cyt/мах мульти-

пликативных функций.// Доил.АН СССР. 1990. Т.315, № 2. С.319-322.

12. Туляганов С.Т. Асимптотическое поведение суммы

мультипликативных функций.//Матем.заметки. 1990. Т.48, Вып.1. С.153-155.

13. Туляганов С.Т. Сравнение, .сумма мультипликативных

функций.// Дпкл.АН СССР. 1990. Т.315, К 3. С.547-550.

14 .Туляганов С.Т. Об одной гипотезе о суммах мультипликативных функций.// Матем.сборник. 1390, Т.181, Я II. С.I543-1557.

15. Туляганов С.Т. О сродних значениях мультипликатив-

ных функций.// Матем.заметки. 1991. Т.49, Вып.5. С.I17-127.

16. Т у л я г а и о в С.Т. Оценка функции концентрации мульти-

пликативных функций и её приложения.//' Мат№. заметки. 1993. Т.53, Вшт.З. С.102-113.

цуига.'гпдшчш ^уш-лц^шар доштларшв!

ЯЛП1Ш ВА УЛАРШ ТДОИШНП

Аннотация

Нультигшпсамв рункциялар ^ийматлари йигинаиси(Д/С1) --¿¿Ji {>' ') ii;i асимптотик бита s сонлар наззрн'ясининг т.урли масалаларида нуу.пм ftvniiiinrra ora. Куп математикларимнг изланияларн бу проблема га 6и-пизаангая. Enp.h;, хамма изламиппарца, туб сонларгашг rarçcpn чзтярицаги цнКматлариСАр2), нннг укис тартпбнгь ч:.!-

сир цилкайлигаи (ягни унчялик тез усмайцигаи) фуькциялар билан ки-¡фояланилган. Еахоланки, .фушшяяшшг буи дай ¡{ийпатлзрига куйть/гир.я п.артларии булай!"*"риз1 п.чсалнои хп.м мутахасисларнннг доииий эътнбор доираппдя бултан масглалар яумласига киради. Диссер'тэгшпнинр бп-ринчи бобида, уибу масала-туб сонлэрннпг ;п;;орн дзрз'яаларипаги ijuíi-матчэри )гам пилг тартнбига таьсир -лнлп^.и иу?.1К1ш булган функ-ниялар учун ургакилгап. Исботланган теоремалар,Sj(x) ниш1 yanni r:ip-тиба функцишшнг .fia-;ат туб сонлардагп ¡(нЯматларн бнлан вккдонадиг«:; доллар учун , >;г,;;чргача олангян натижаларнинг купларини умуылагати-риб ва кучэйгирибгина |(олмг<Я балки, а Ярим муаммо булнб келган плеч лалар очяипаршш хам уз ичига оладл.

1970 й. Б.13.Левин вп А.СДзйшгейб ;;уйида1 п гипотезами илгарн с.урлшгон эли (Изв.АН СССР, 34.С. 1039).

Г ИЛОТ R 3 А." Агар feW, {(p)¿Q(f>) , Р^'Ц ^

в а (3) бау.арилиб, T^rfl булса, у >,олда (I) уринлн буладч, бу ерцч W (5) тенглпк бллан' ашцпанган туплаи.

1.3.1 - теорянага кура^оч учуй, гипогэгзда илгарл гурклган паьяопан кучпиро.{ дагвони тасди^лаш иуикин. Истисно si«: ган Т'flyéù хрлда acá гипотеза рад эти иди.

Иккинчи бобда ¿у{г)асиыптотикасини, ¡¡о.лди.; jç-ад.и бэноеи 6in<iu олиш учун олементар ус луб таклпф цилинган. Еу методнннг i.îo:u:hih куйидагича: Sj(x) учун асимптотик формула ( [6) маа^уц даб, Sq^Ó) учун (17) асимптотик муносабатни келтириб чи.^арилади, бу ер да i -арифметик свёртка амалндир. дар ¡¡ачдай / нультипликатив фушшияни куринишда ифодалаа нумкин булиб, бу ерца ^ ,

омалга нисбатан, Q га тескари функцияднр. % сабабли, -/ функция туб сонларда га я^нн, лънн faß кячик, булганда в а у туб сон нар даражаларида "унчалик тел усмага^ида", (17) ыуюоа--

7Л

батдан Sf<x)y".yn ({олг.ш? ^апчи асимптотик формула олишга nyraf^a;; булииади. Еу углуб бмлан, усувчи модулли арифметик прогрсссипца, мультипликатив функция цийматлари йигшшиси урганилди. Ушбу усул бплзн, аРрим лолларда, >{одш{ з^ални ани:; ба^осига орипил мумкин. Таклиф цилинган услубни, прогресспядан бот';.г бир ^анча котма-иег-ликларга хам кулляш мумкин.

Диссерташпчинг учинчп бобл ци^атли мультипликатив

функциялар ^иРматлариниип та^симлагоишни урганипга багипланган. Э,ч;тимоллар назариясига циёсан, мультииликатив функплплар учун .утпбу ) е-Мх)?(п))'/&(*} нормалаш табиий ^исобланаци. Еу нор-

малашда, мультипликатив функциялар циЯматлярэтотнг лимит тацсимотга эга булиш масаласшш, одднтив функци.члэрнинг ана шундаП масаласн-га бутунлай келтирадиген редукция теоремаси лсботланилди. Аццнтив функциялар учун эса бу масала анча яхеи урганилган, Иккинчи бобда олинган натижа ёрдамида, мультипликатив фумкпигслеп учум интеграл лимит теоремапярда лциилатпит тез лиги ба?;оланилди. Г'уларцан ташцарн, мультипликатив функция лар цийматларининг л о кал та^симоти урганилди. Жумладан, адцитив функшялзрга таъл,у;;ли Эрдёи ва Халас локал теоро-маларининг ухшатм?лари мультипчикатпя функипллар учун псботлмшл-ди.

СИ EMBIATIOH AND DISTIUBUTIOII THE VA1.1IES CF ЮТ .XII' LI С Л XIV E FUKCTJONS f.ummary

The asymptotic behaviour сf the sum of inultiplieattve functions 'f(^) plays an important rolo in varions number theoretical questions. Many authors* worJca \iere devoted to this subject. Eut in all those works there nre restrictions for tlio values cf functions at prime powers ( -/ (p4 ), ) in order

to those values can* t influence to the order of growth of the sum.

The first chapter of dissertation is devoted to research of tl\ii problem for multiplicative functions the valueo of which at prime powers can influrnce to the order of growth Sj (Z) . When the order of growth Ь^!?-) depends only on the values of function tit princ numbers the obtained theorems strengthen ana generalize cany of the earlier results.

By B.V.Levin end A.C.iainleib [iav.Akad.Knuk SSSR 34 (1970). Fjicesj were mdc the following conjecture for multiplicative!

fui.ctiojis cf the clans w (eeo equality (5) fivi.; tJ:u present

^C erg ec tur e: if fe W , /(/>)£ Z

are valid and tl.3 ccr.di ticn (3) is fulfilled with , tnen

equality (1) ia valid.

In particular theorem 1.3.1 offers more strunt; fact than tin: conjecture dees, except for the case when Ty • rjf . This ejccep-

tion turns cut to be essential. It ia shown that the conjecture is not valid in this ca.;e.

In chapter II the elementary method ia given for getting the asymptotical formula with the remainder for the sum of multiplicative functions. Its eii3ei.ce is following: Assuming the existence of asymptotic (16) for SgC*) i it establishes asymptotical correlation (17) for i where *~is arithmetic convolution. Every multiplicative function / can be represented in tl:o form

f * if * § } I w^cre 2 ~iB tlle inveroe function for ^ in tiie sense of convolution. Therefore, when / is close to y at prime numbers and they grow "no quickly"at prime po>'/er3 correlation (17) givc3 the asymptotical formula for* , By this method the asymptotical formula is obtained for the sum cf multiplicative functions at arithmetic progression with growing modulus. The offered method gives come times nonin.provable i-enults. Moreover thin ne thod can-be applied when the argument runs over other subsequences, for instance, the values of numerical polynomial.

Ihe thirl chapter in devoted to the reseach of the distribution of real multiplicative function's values. By the anology with probability the cry the normalization S^

is natural for multiplicative functions. At ¡¿uoh normalization the reduction theorem ia proved. l<y this theorem existance problem for limit distributions for values of rcultiplicative functions, with arbitral'/ A(r) and ¿(3) — no t in reduced to v.ell studied analogical problem for udJitive functions.

Tiie resul ts of chapter II are used to the research of the speed of convergence in integral limit theorems for multiplicative functions. A number of local theorems for realvalue multiplicative function, particularly, P.Erdcc and C.Halaos type theorems are proved. _______