Мультипликативные свойства целых чисел на коротких интервалах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В.Ломоносова

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

Л 1

На правах рукописи УДК 511.335

ХОДЖАЕВ Наби Мамедгусейнович

МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫЕ СВОЙСТВА ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ НА КОРОТКИХ ИНТЕРВАЛАХ

специальность 01.01.06 - математическая логика,

алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1994

Работа выполнена на кафедре математического анализа механико-математического факультета Московского государственного университета им.М.В'.Ломоносова.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор В.Н. Чубариков

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор Н.М. Тимофеев, кандидат физико-математических наук, доцент О.В. ТЫ^С-ина.

Ведущая организация - Математический институт РАН

им. В.А. Стеклова.

Защита состоится ""1994 г. в час. ¿^ГмЦн на заседании специализированного совета Д.053.05.05 при Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова по адресу: 119899, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан " гё&Ж&ги/ 1994 г.

Ученый секретарь специализированного совета Д.053.05.05 при МГУ доктор физико-математических наук профессор

Я.Я-

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Еще со времен Л. Эйлера оценки специальных сумматорных арифметических функций являются одним из центральных направлений аналитической теории чисел. Одними из наиболее известных задач такого типа являются проблема круга Гаусса, проблема делителей Дирихле и проблема распределения простых чисел. Менее известна, но важная во многих приложениях теории чисел, задача, двойственная проблеме распределения простых чисел — распределение чисел с малыми простыми делителями.

В середине прошлого столетия К. Гаусс, Л. Дирихле и П.Л. Че-бышев с помощью элементарных тождеств получили первые оценки, соответственно, в проблемах круга, делителей и распределения простых чисел. Около начала нашего столетия Г.Ф. Вороной и Г.Х. Харди, Ж. Адамар и Ж. Валле-Пуссен с помощью так называемых явных формул или специальных формул суммирования получили значительные улучшения. С тех пор, несмотря на огромное число исследований на эту тему, были получены относительно незначительные усиления. Обычно при этом используют те или иные варианты метода тригонометрических сумм.

Для коротких интервалов в упомянутых задачах удается получить более точные результаты. Так, в проблеме распределения простых чисел на коротких интервалах известен порядок величины соответствующей сумматорной функции при ограничении на длину интервала, близком к тому, который можно получить из гипотезы Римана [1], а для проблем круга и делителей порядок величины соответствующей сумматорной функции известен вплоть до очень малых интервалов [2], но получение асимптотики с хорошим остаточным членом даже более трудная задача, чем для полных интервалов.

В первой главе диссертации получена новая нетривиальная связь между оценками на коротких и полных интервалах в проблемах круга, делителей и распределения простых чисел. Близкий результат здесь был получен ранее М. Ютилой [3], который связал оценки остаточного члена в проблеме делителей Дирихле на коротких интервалах с оценкой дзета-функции Римана на прямой Res = 5.

Во второй главе с помощью сведения к проблеме делителей и использования последних достижений в этой области получены новые оценки количества чисел с малыми простыми делителями на коротких интервалах. При этом использовался метод, близкий к тому, который применили А. Балог и А. Шаркоци [4] для получения "теорем существования" в этой задаче. Среди исследований на эту тему упомянем только те, которые посвящены оценкам снизу количества чисел с малыми простыми делителями на коротких интервалах: в работе Ж.Б. Фридлендера и Ж.Г. Лажариса [5] получены разнообразные результаты, в частности, обобщение результатов А. Балога и А. Шаркоци (результаты второй главы диссертации улучшают большинство из результатов Ж.Б. Фридлендера и Ж.Г. Лажариса); А. Балог [6] для интервалов вида [х,х + х 2+£] получил очень сильный результат в форме "теоремы существования" для чисел, все простые делители которых не превосходят хе.

В третьей и четвертой главах диссертации, с помощью результатов предыдущей главы, рассмотрены различные задачи, в основном поставленные П. Эрдешом, в которых изучается мультипликативная структура произведений натуральных чисел из коротких интервалов. Например, в задаче Е.М. Никишина [7] и Я. Терка [8] требуется определить при каких натуральных числах пик числа ln(n + 1),... ,1п(п + к) линейно зависимы над полем рациональных чисел. Элементарные комбинаторные рассуждения показывают [7], что при 1 < к <С lnn/lnlnn имеет место линейная

независимость, а при к yfn — линейная зависимость. Сочетая комбинаторные рассуждения с методом Гельфояда-Бейкера оценок линейных форм от логарифмов алгебраических чисел, Я. Терк доказал, что линейная независимость сохраняется вплоть до интервала 1 < к -С Inn In Inn/In In Inn, а с помощью элементарных тождеств чебышевского типа и оценок сумм вида (^(^¡г) ~ ""(<?))'

полученных К. Рамачандрой [9] с помощью метода решета и метода тригонометрических сумм Ван дер Корпута, доказал, что линейная зависимость имеется уже при к и0'496. В главе 3 диссертации последняя оценка улучшена до к >• п°'42+е. Заметим, что здесь также известные результаты весьма далеки от ожидаемых. Предполагается, что числа 1п(п+ 1),... ,1п(п + к) линейно независимы над полем рациональных чисел при 1 ^ к ^ exp(ci Vln п In In п) и линейно зависимы при к ^ ехр(сг \/ln п In In n).

В четвертой главе получено полное решение одной задачи В.Г. Спринджука ([11], стр. 240).

Цель работы. Получение новых оценок значений арифметических функций в задачах мультипликативной теории чисел.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.

Методы исследования. Используются результаты об оценках тригонометрических сумм.

Научная и практическая ценность работы. Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в теории арифметических функций и диофантовых приближений.

Апробация диссертации. Основные результаты диссертации докладывались на научно-исследовательских семинарах "Основы аналитической теории чисел" под руководством профессора Архи-пова Г.И. и профессора Чубарикова В.Н., "Аналитическая теория •чисел и приложения" под руководством профессора Карацубы A.A.

Публикации. Основные результаты диссертации были опубликованы в работе, которая приведена в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы, содержащего kî наименований. Объем диссертации "/¿^страниц.

Содержание диссертации

В первой главе диссертации получена новая нетривиальная связь между оценками на коротких и полных интервалах в проблемах круга, делителей и распределения простых чисел..

Теорема 1. Пусть Р(х) — остаточный член в проблеме круга, т.е. Р(х) = 1 — ЖХ1

п2 + 7712 ^Х

n,m£Z

а Д(х) — остаточный член в проблеме делителей, т.е.

А(х) = 1 -х(Ых + 2'у- 1),

пт^х

где 7 — постоянная Эйлера. Тогда при всех х ^ 2 выполняются неравенства

W <<1+тах

X*lnX l^h^x fis

lit I h*

Теорема 2. Пусть Afc(x) — остаточный член в общей проблеме делителей, т.е.

Тогда при всех х ^ 1 выполняется оценка

Aib(x) < 1 + max |Afc(a; + h) - Afc(x)|,

Теорема 3. Пусть ф(х) — функция Чебышева, т.е.

где суммирование ведется по простым числам р и натуральным числам т. Если верна гипотеза Римана, то при х ^ I

( \ф{х) — x\i \ , Щх + h) - Ф(х) - h\

ехр сз1У1- ,—— < 1 + max ^-' -I,

\ xi ) hi

Из теорем 1 и 2 сразу следует, что если при 1 ^ h ^ х

Р(х + h) - Р(х) < Vhxc, &к{х + h) - Ак(х) < Vhxe,

то справедливы неулучшаемые по порядку величины оценки

Р(х) < х*+е, Ак(х) <

Во второй главе получены новые оценки количества чисел с малыми простыми делителями на коротких интервалах. Из общей теоремы 4 выведены 2 следствия

Следствие 1 из теоремы 4. Пусть Ф(м,и) — количество натуральных чисел не превосходящих и, все простые делители которых не превосходят v. Если х ^ h ^ С4, h ^ +

3xi ^ z ^ 2жз, то справедлива оценка

<Z>(x + h,z) - V(x,z) 2>h(lax)~8 7 ,

Следствие 2 из теоремы 4. Если х ^ so(a), аг1-С5а ^ h ^ х, z — ха, где а — произвольное число из интервала 0 < а ^ то

Ф(ж + h,z) - Щх,г) > /i(1üx)-C90,"\

В третьей главе рассматривается ряд задач о мультипликативной структуре произведений натуральных чисел из коротких интервалов. Типичной является задача Е.М. Никишина и Я. Терка об оценке наименьшего натурального числа к = /(п) такого, что числа ln(n-f-l),... ,Ы(п + к) линейно зависимы над полем рациональных чисел. В теореме 5 и следствии 1 из теоремы 5 показано, что все рассмотренные задачи по-существу равносильны друг другу, а также оценкам выражения вида Ф(п + k, z) — Ф(п,г). Отсюда выведены 2 следствия.

Следствие 2 к теореме 5. Для всех целых п ^ 1 имеем f(n) ^ га°'42+е.

Следствие 3 к теореме 5. Пусть N(x) — количество тех натуральных чисел п ^ х, для которых выполняются неравенства

Тогда при х —♦ со

N {х)=х + 0{хе~^1ах^).

В четвертой главе получено полное решение задачи В.Г. Сприн-джука, который поставил вопрос о существовании константы с ^ 1 такой, что для бесконечно многих пар натуральных чисел пике условием к < (1пп)с выполняется неравенство

<2((п + 1)...(п + к)) <кк, 8'

где для натуральных чисел о через Q(a) обозначена бесквадратная часть числа а. В такой постановке отрицательный ответ легко выводится из результатов Т.Н. Шорея, К. Рамачандрыи Р.Тайдемана [12]. В теореме б получен более общий результат

Теорема 6. Если 1 ^ к ^ (1 — e)e~xi~\/п, п ^ по(е), то

Q((n+l)...(n + fc)) > кк. Если к > (1 + ^/п, п ^ п0(е), то

Q((n + l)...(n + k)) <кк, Здесь 7 — постоянная Эйлера.

Работа по теме публикации

Ходжаев Н.М., Некоторые мультипликативные свойства произведений натуральных чисел из короткого интервала, Вестник МГУ (матем., мех.), 1993, 6.

Литература

1. Mozzochi C.J. On the difference between consecutive primes, J.number theory, 1986, v. 24, № 2, p. 181-187.

2. Shiu P. A Brun-Titchmarsh's theorem for multiplicative function, J. reine und angew. math., 1980, B. 313, S. 161-172.

3. Jutilla M., Riemann's zeta-function and divizor problem. Arkiv for Matem., 1983, B. 21, № 1, S. 75-85.

4. Balog A., Sarkozy A. On sums of integers having small prime factors, II, Studia sci. Math. Hung., 1984, v. 19, № 1, p. 81-88.

5. Friedlander J.В., Lagariegs J.C. On the distribution in short intervals having no lage prime factors, J.number theory, 1987, v. 25, p. 249-273.

6. Balog A. On the distribution of integers having no large prime factor, Asterisque, 1987, № 147-148, p. 27-31.

7. Никишин E.M. О логарифмах натуральных чисел, Изв. АН СССР, Сер. мат., 1979, т. 43, № 6, с. 1319-1327.

8. Turk J. Multiplicative properties of integers in short intervals, Indag. math., 1980, v. 42, Fasc. 4, p. 429-436.

9. Ramachandra K. A note of numbers with lage prime factors, J. London Math. soc. (2), 1969, v. 1, № 2, p. 303-306.

10. Erdos P., Sarkozy A. On the prime factor of (£) and of consecutive integers, Util. Math., 1979, v. 16, p. 197-215.

11. Спринджук В.Г. Классические диофантовы уравнения от двух неизвестных. М.: Наука, 1982.

12. Ramachandra К., Shorey T.N., Trijdeman R. On Grimm's problem relating to factorization of a block of consecutive numbers, II, J. reine und angew. math., 1975, B. 273, S. 102-124.

Типография ЦНИЭИуголь.