Оценка числа специальных абелевых расширений поля рациональных чисел тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

ОБОЗНАЧЕНИЯ.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ТЕОРШЫ.

§ I.I. Алгебраические леммы .••.

§ 1.2. Арифметические лемм»-, г-.-*.

§ 1.3. Ключевая теорема . *.

ГЛАВА П. ОЦЕНКА ЧИСЛА СПЕЦИАЛЬНЫХ АБЕЛЕВЫХ

РАСШИРЕНИИ ПОЛЯ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ.

§ 2.1. О распределении абелевых расширении с заданным количеством различных кри-. тических простых чисел.

§ 2.2. О распределении примарных абелевых расширений с "малыми" критическими прос-. . тыми числами

§ 2.3. Опенка числа специальных примарных пиклических расширений степени q •

ГЛАВА Ш. ОЦЕНКА ЧИСЛА ДИСКРИМИНАНТОВ КОНЕЧНЫХ

АБЕЛЕВЫХ РАСШИРЕНИЙ ПОЛЯ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ.

§ 3.1. Опенка числа .дискриминантов пиклических расширений простой степени.

§ 3.2. Распределение дискриминантов примарных циклических расширений степени Ц

§ 3.3. Распределение дискриминантов регулярных абелевых расширений степени П

§ 3.4. Распределение дискриминантов специальных примарных циклических расширений степени о^ (<*>2)

§ 3.5. Опенка числа дискриминантов специальных регулярных абелевых расширений степени Yl

§ 3.6. О дискриминантах с "малыми" простыми делителями . П

Проблемы распределения полей алгебраических чисел с .дискриминантом, не превосходящим заданной гранипы, приобретают в настоящее время ванное значение в алгебраической теории чисел.

Исследования в этом.направлении были начаты в сороковых годах нашего века Б.Н.Делоне и Д.К.Фаддеевым. Они доказали [3, с.168] , что для числа всех кубических полей, .дискриминанты которых по абсолютной величине не превосходят х , имеет место опенка

WjW >сх , где С > О - абсолютная постоянная.

В дальнейшем этими вопросами занимались также Дэвенпорт, Хейльбронн [28], Кон [27] . Ими получен ряд важных результатов, относящихся к вопросу о распределении кубических полей. Вопрос о распределении биквадратичных полей был предаетом исследования в докторской диссертации А.Бэйли [ 25,2б] . В настоящее время существует гипотеза [26, с.190] о том, что число полей алгебраических чисел любой данной степени У1 над полем рашональных чисел, дискриминанты которых по абсолютной величине не превосходят X , асимптотически пропорционально X . Для М.^3 вопрос остается пока открытым.

Задачи о распределении абелевых расширений поля рашональных чисел с .дискриминантом, не превосходящим заданной гранили, были рассмотрены Б.М.Уразбаевым [ll,14] . Он исследовал также вопросы распределения абсолютно абелевых полей при некоторых дополнительных ограничениях на дискриминанты. Кроме того, для некоторых классов абелевых расширений поля рациональных чисел им получены асимптотические разложения, характеризующие распределения дискриминантов. При построении асимптотических формул Б.М.Уразбаев использует классический аналитический метод комплексного интегрирования (см., например, [4] ). Так, для числа циклических расширений простой степени cj, поля рациональных чисел, дискриминанты которых взаимно просты с cj, и не превосходят X , он получил асимптотическую формулу

4 1 1 с X + о ( X СЯЧ)1 £ где с >0 - постоянная, зависящая только от <\ , а £>о~ - произвольное. .Впоследствии эта формула уточнялась Г.Сарбасовым [9] и А.С.Файнлейбом ♦ Элементарное доказательство.этой формулы (без остаточного члена) было предложено М.И.Строни-ной [io] . Более подробная информация о распределении числовых полей содержится в монографии f29J . Однако многие вопросы, связанные с распределением абелевых расширений поля рациональных чисел остаются еще не выясненными.

Исследованию этих случаев специальных абелевых полей и посвящена настоящая диссертация. В ней рассматриваются задачи о распределении так называемых специальных абелевых расширений поля рациональных чисел с дискриминантом, не превосходящим заданной величины. Изучаются также вопросы распределения .дискриминантов полей алгебраических чисел с данной абелевой группой в качестве группы Галуа. Эти задачи привлекают внимание ряда исследователей [14,24-28] . Они тесно связаны между собой своими постановками, а также методами решения, В настоящей диссертации для этого используются некоторые факты о распределении полей с данными дискриминантами,и о суммировании мультипликативных арифметических функций.

Основная пель диссертационной работы состоит в получении новой информации о распределении абелевых расширений поля рациональных чисел с .дискриминантом, не превосходящим заданной границы, и о плотности дискриминантов таких типов полей, а также в выявлении преимуществ используемого нами метода при изучении этих вопросов.

В диссертации автору удалось получить новые асимптотические формулы для распределения специальных абелевых расширений поля рациональных чисел; получены элементарные доказательства ряда известных теорем о распределении дискриминантов .полей алгебраических чисел с данной абелевой группой Галуа. Более того, для наиболее общих классов абелевых полей построены асимптотические.разложения, характеризующие распределения .дискриминантов.

Все результаты диссертационной работы являются новыми и получены единым методом. Метод исследования, использованный в нашей работе обладает тем преимуществом, что он, в отличие от метода комплексного интегрирования, не требует подробного исследования аналитических свойств соответствующих производящих функций и вычисления сложных контурных интегралов, что приводит к значительному сокращению в рассуждениях и численных расчетах. Кроме того, он позволяет получить результаты, труднодоступные пока сильным аналитическим средствам. Таково, например, положение с задачами, рассмотренными нами в параграфах 2.2 и 3.6.

Перейдем к более подробному изложению содержания диссертации. Работа состоит из введения, трех глав и библиографии. Первая глава, состоящая из трех параграфов, имеет вспомогательный характер. В § I.I приводятся некоторые факты о распределении примарных абелевых полей с данными дискриминантами, которые образуют исходный пункт нашей работы. В § 1.2 даются формулировки некоторых известных результатов о суммировании мультипликативных арифметических функпий. В заключительном параграфе этой главы на основе одной теоремы Левина--Файнлейба нами доказывается так называемая "ключевая" теорема, которая играет существенную роль при построении асимптотических разложений для распределения спепиалыдах абелевых полей и дискриминантов полей алгебраических чисел с данной абелевой группой Галуа. Она формулируется так:

1. Б о р в в и ч З.И., Шафаревич И.Р. Теория чи-сел. М.: Наука, 1972.

2. В а н дер В а р д е н Б.Л. Алгебра. М.: Наука, 1976.

3. Д е л о н е Б.Н., Фаддеев Д.К. Теория иррапиональностей третьей степени. Труды Математического ин-та АН СССР, 1940, XI.

4. И н г а м А.Е. Распределение простых чисел. М.: ИЛ.,1936.

5. Кострикин А.И. Введение в алгебру. М.: Наука,1977.

6. Л е в и н Б.В., Файнлейб А.С. Применение некоторых интегральных уравнений к вопросам теории чисел. УМН, 1967, 22, JS 3 (135), с. II9-I97.

7. Л е н г С. Алгебра, М.: Мир, 1968.

8. Л р а х а р К. Распределение простых чисел. М.: Мир,1967.

9. Ура з б.а ев Б.М. Алгебра элементарно абелевых полей. Изв. АН КазССР, сер. физ.-матем., 1,1965, с. 3-9.

10. Уразбае.в Б.М. Алгебра элементарно абелевых полей. П.Изв. АН КазССР, сер. физ.-матем., I, 1966, с. 3-9.

11. Уразбаев Б.М. Асимптотические формулы в алгебре. Алма-Ата: Нэктэп, 1972.

12. Файнлейб А.С. Некоторые асимптотические формулы для сумм мультипликативных функций и их приложения. Литовский матем. сборник, 1968, 7, J5 3, с. 535-546.

13. Хушвактов М. Распределение абсолютно абелевыхо кциклических полей степени с и специальных абсолютно абелевых полей заданных типов. Вопросы математики (Труды ТашГУ), 1972, 418, с.338- 351.

14. X у ш в а к т о в М. Распределение абсолютно абелевыхциклических полей степени (h^-2)» Доклада АН УзССР, 1975, J® 5, с.5-7.

15. X у ш в а к т о в М. Распределение дискриминантов абсолютно абелевых циклических полей.степени qk (h>2) • Изв. АН УзССР, сер. физ.-матем., 1976, й I, с. 34-39.

16. Хушвактов М. К теореме о распределении дискриминантов циклических полей .простой степени.- Изв. АН УзССР, сер. физ.-матем., 1977, 4, с. 73-74.

17. Хушвактов М. О распределении некоторых конечных абелевых расширений с малыш дискриминантами над.полем рациональных чисел. Изв. АН УзССР, сер. физ.-матем., 1977, 15 6, с. 47-52.

18. Хушвактов М. Распределение дискриминантов регулярных абелевых расширений степени И, поля рапиональных чисел. -.Вопросы математики (Труда ТашГУ), 1977, 548, с. I09-II4.

19. Чеботарев Н.Г. Основы теории Галуа. чД.Л. -М.; ОНТИ, 1935.

20. Чеботарев Н.Г. Основы теории Галуа. ч.2.Л. М.: НКТП СССР, 1937.

21. Эльнатанов Б.А. Асимптотическая опенка специальных арифметических сумм. Доклада АН Тадж. ССР, 1966, 9, 15 5, с. 3-6.

22. В a i 1 у A. On the density of discriminants of quartic fields. Doctoral Thesis, University of Michigan. 1977.

23. В a i 1 у A. On the density of discriminants of quartic fields. J. reine und angew. Math., 1980, 315, 190-210.

24. С о h n H. The density of abelian cubic fields. Proc.Amer. Math. Soc., 1954, 5, 476-477.

25. Davenport H., Heilbronn H. On thedensity of discriminants of cubic fields II. Proc. Roy. Soc. London A 322, 1971.

26. Narkiewicz W. Elementary and analytic theoryof algebraic numbers. Warszawa 1974.

27. О г i a t В. Etude arithmetique dee corps суcliquesъde degre p sur le corps des nombres xation-nels. Eneeign. math., 1972, 18, L"o 1, 57-104.31. li a 1 f i s z Am. V/eylsche Exponentialsummen in derneuerexi Zahlentheorie. D.V.V/., Berlin. 1963.