Фазовые переходы в системах с мультипликативным шумом тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ УКРАИНЫ СУМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

1'Г6 О.-; 3 3 ФЕВ 1537

На правах рукописи

Харченко Дмитрий Олегович

ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ В СИСТЕМАХ С МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫМ ШУМОМ

Специальность 01.04.02 — теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

СУМЫ - 1996

Диссертацией является рукопись

Работа, выполнена в Сумском государственном университете Научный руководитель

доктор физико-математических наук,

профессор

Олемской Александр Иванович

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, академик АНУ Пелетминский Сергей Владимирович доктор физико-математических наук, Клепиков Вячеслав Федорович

Ведущая организация

Харьковский государственный университет

Защита состоится ¿¿¿¿ЗчуЛ-Г 199#г. в 14.00 час.

на заседании специализированного ученого совета Д02.11.02 при Институте монокристаллов АН Украины

310001, г.Харьков, пр.Ленина. 60, зал заседаний

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института монокристаллов АН Украины

Автореферат разослан ^

1996г.

Ученый секретарь

специализированного совета Д02.11.02

Л.В.Атрощенко

ьй

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность работы. Известной особенностью теории стохастических систем является зависимость от выбора исчисления (Ито, Стратоновпча и т.д.). В отличие от неоднозначности потенциала калибровочного поля, непроявляющейся при переходе к напряженности, измеряемой в эксперименте, неоднозначность в описании стохастической системы приводит к существенному изменению распределения вероятности микросостояний стохастической системы при переходе от одного исчисления к другому. Характерно, что такая неоднозначность проявляется только при наличии мультипликативного шума, представляющего внешнее влияние флуктуирующей среды на стохастическую систему. В отличие от внутренних флуктуации, представляющих аддитивный шум, действие внешних может приводить к изменению вида стационарной функции распределения микросостояний стохастической системы. Более того, она может приобретать сингулярный характер, обусловливающий нарушение эргодичности типа наблюдаемого при стекловании жидкости. В последнее время появились также работы, указывающие на возможность потери симметрии стохастической системы. Вместе с тем, последовательная теоретическая схема, позволяющая в рамках единого подхода представить статистическое описание стохастической системы до настоящего времени отсутствовала. В связи с этим, представляется актуальной задача построения последовательной схемы описания стохастической системы с произвольным мультипликативным шумом, в которой возможны эффекты нарушения симметрии и эргодичности.

Целью работы является теоретическое исследование характера поведения стохастической системы с произвольным мультипликативным шумом и наличием межчастичного взаимодействия.

Научная новизна

• Впервые построена схема калибровочного преобразования стохастической системы, позволяющая избежать неоднозначности ее вероятностного описания за счет введения фазового множителя в

функцию распределения, с одной стороны, и перенормировки си-нергстического потенциала, с другой.

• ЕЗпервые разработан подход, позволяющий самосогласованным образом представить нарушение симметрии и эргодичности стохастической системы с произвольным мультипликативным шумом и межчастичным взаимодействием.

в Впервые рассмотрено влияние внутреннего шума на поведение спнергетической системы, для которой соподчинение гидродинамических мод приводит к трансформации аддитивного шума в мультипликативный.

Научные положения, выносимые на защиту

1. Однозначное описание стохастической системы достигается за счет калибровки распределения вероятности, позволяющей компенсировать появление фиктивной силы, связанной с выбором исчисления.

'2. Область определения стохастической системы в фазовом пространстве имеет фрактальный характер с размерностью, ограниченной значениями 0, 2. При малых величинах фрактальной размерности стохастическая система может испытывать потерю эргодичности, при больших нарушение симметрии.

3. В силу принципа соподчинения для степеней свободы спнергетической системы аддитивные шумы управляющего параметра и сопряженного поля трансформируются в мультипликативные, а для параметра порядка аддитивных! шум сохраняет свою природу.

Практическая ценность

Получены формулы, выражающие наиболее вероятное значение реализации стохастической системы, а также параметры стеклования и дальнего порядка в зависимости от интенсивности и характера мультипликативного шума. Они позволяют прогнозировать, наблюдаемые в

эксперименте, свойства конденсированной среды, далекой от состояния равновесия.

Апробация работы

По материалам диссертации опубликовано 7 работ и были доложены на X зимней школе по механке сплошных сред (Пермь, 1995); III Черкасском семинаре стран содружества "Актуальные вопросы диффузии, фазовых структурных превращений в сплавах" (Сокирне, 1995); научно-технической конференции "Техника п физика электронных систем и устройств" (Сумы, 1995); научно практической конференции молодых ученых Республики Хакасия ''Молодежь и наука — третье тысячелетие" (Абакан, 1995); конференции по прочности и пластичности (Барнаул, 1996); научных семинарах ХГУ (г.Абакан) и СумГУ (г.Сумы).

Личный вклад автора

Во всех работах вклад диссертанта оценивается 50%. В работе [1] участие автора сводилось к аналитическому решению поставленной руководителем задачи. В остальных работах проводилось как аналитическое, так и численное решение поставленных задач.

Структура и объем работы

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Объем диссертационной работы составляет 123 страницы, включая 15 рисунков и библиографию из 70 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обоснована актуальность темы диссертации, приведено краткое содержание работы, сформулированы цели и задачи исследования, а также основные положения, выносимые на защиту.

Глава 1, носящая обзорный характер, посвящена изложению математического аппарата, используемого при описании стохастической системы. В разделе 1.1 приведена стандартная схема получения стохастического уравнения Ланжевена. Показано, что внешний шум не сводится к исчезающим в термодинамическом пределе внутренним флук-

туанням. Раздел 1.2 посвящен изложению схемы, приводящей к различным исчислениям. Выяснено, что выбор исчисления задается способом определения производной от временной зависимости координаты стохастической частицы. Показано, что неоднозначность определения этой производной приводит к появлению фиктивной силы, зависимой от вида исчисления. Эта сила добавляется к реальной детерминистической составляющей, входящей в уравнение Фоккера-Планка. В исчислении Ито фиктивная сила сводится к нулю, при переходе к исчислению Стра-тоновича возникает добавка, пропорциональная интенсивности шума и производной от эффективного коэффициента диффузии. В кинетическом представлении Климентовича величина этой добавки удваивается. Показано, что множество возможных исчислений является континуальным и, таким образом, реализуется континуальный набор возможных силовых добавок. Характерно, что они существенным образом входят в решение уравнения Фоккера-Планка, в результате чего статистическая схема становится неоднозначно определенной. В разделе 1.3 показано, что указанный произвол в выборе исчисления сказывается не только на уравнении Фоккера-Планка, но и на виде производящего функционала, на использовании которого построены современные полевые теории. Оказывается, что при переходе от одного исчисления к другому лагранжиан, так же как и сила, приобретает произвольную добавку. Раздел 1.4 посвящен изложению различных способов вывода уравнения Фоккера-Планка н его решению. В разделе 1.4.1 стохастическое уравнение движения представлено не с помощью производной, а в дифференциальной форме Ито. Показано, что в рамках такого представления произвольная сила возникает уже в самом уравнении движения. Разумеется, эта сила сохраняется и при переходе к соответствующему уравнению Фоккера-Планка (при этом используется метод, основанный на рассмотрении величин, усредненных по распределению, являющегося решением этого уравнения). В разделе 1.4.2 изложена схема перехода от стохастического уравнения движения к уравнению Фоккера-Планка, основанная на кинетическом подходе Климонтовича, В разделе 1.4.3 уравнение Фоккера-

Планка выводится исходя из управляющего уравнения. Это позволяет наиболее прямым образом выяснить математическую природу фиктивной силы. Заключительный раздел 1.4.4 посвящен исследованию случаев, когда уравнение Фокхера-Планка имеет аналитическое решение. Показано, что такая ситуация реализуется в стационарном случае или в автомодельном режиме, где временная зависимость содержится только в характерном значении стохастической переменной, играющей роль масштаба.

Глава 2 посвящена исследованию влияния произвольного мультипликативного шума на характер поведения стохастической системы. Поскольку наше рассмотрение основывается на стационарном решении уравнения Фоккера-Планка, то в разделе 2.1 проведено исследование природы силы, возникающей за счет произвола в выборе исчислений. Показано, что эта сила может быть скомпенсирована, если исходную плотность вероятности выразить через перенормированную функцию распределения [1]

подчиняющуюся канонической форме прямого уравнения Колмогорова, полученному из решения управляющего уравнения (раздел 2.1.1). Сопоставление эволюционного уравнения для исходного распределения Р(г,<) с каноническим для Р{:хг,"£) показывает, что описание стохастической системы становится однозначным, при выполнении условий

где V — затравочный синергетический потенциал, V — перенормированный, Т — интенсивность шума, д(х) — мультипликативная функция, Л — произвольная константа, задающая выбор исчисления. Согласно (2), (3) распределение фазы а(х) дается выражением

Р(х, г) = Р(х, г) ехр(—а(а:))

(1)

V« - V 1п V« = -2УУ/Тд2 + 2ЛУ 1п д2 Уа = У(\/ -У)/Т«72-Ь АУЪгД

(2) (3)

определяемым видом эффективного сннергетического потенциала

Соответствующее рассмотрение для обратного уравнения Колмогорова (раздел 2.1.2) показывает, что в уравнении с рассматриваемым выше случаем прямого уравнения Колмогорова различие калибровок (1) сводится к изменению знака перед показателем экспоненты.

Таким образом, в рамках приближения белого шума следует использовать не исходное уравнение Фоккера-Планка для решение которого зависит от выбора исчисления, определяемого значением А, а каноническую форму Ито для перенормированного распределения Р(х,1). При этом синергетический потенциал У(х) рассматривается как зависимость, имеющая изначальный физичекий смысл, а ]/(» = У(х) + АТ(<7(а'))2 — как не обладающий им затравочный потенциал. Такая калибровка вероятности снимает вопрос о выборе исчисления. С другой стороны, указанный показатель экспоненты определяет характер поведения стохастической системы во всем интервале ее эволюции.

Центральное место занимает раздел 2.2, посвященный описанию поведения стохастической системы в зависимости от характера мультипликативного шума, представляемого функцией д(х) — \/2ха, где а — произвольный показатель. В качестве исходного синерегетического потенциала, принято разложение Ландау. В разделе 2.2.1 исследуется переход, индуцированный шумом, при котором плотность вероятности качественно изменяет свой вид, но не приобретает сингулярности. Показано, что наиболее вероятные значения стохастической переменной задаются решением уравнения

где а, Тс --- параметры разложения Ландау, О = Т/Тс — безразмерная интенсивность шума. Зависимость температуры перехода 0о = 7о/Тс

ж2 + (2а/а)елГ2(1-в) + 0 = 1,

(6)

от показателя мультипликативной функции, определяется уравнением (1 - е0)2~а _ 2а (2 - а)2~" Т0

О~0 "7 (1 ' °0==тР (?)

Оказывается, что переход имеет непрерывный характер только в предельных случаях аддитивного шума (а = 0) и при линейном характере мультипликативной функции (а = 1).

Раздел 2.2.2 посвящен исследованию стохастической системы при значительных скоростях нарастания мультипликативной функции, когда плотность вероятности приобретает неннтегрируемую расходимость. На основе анализа возможных видов распределения фазы а(х) определено поведение стохастической системы во всем временном интервале ее эволюции. Показано, что реальные режимы реализации при значениях показателя мультипликативной функции а 6 [0,1]. Детерминистический режим, отвечающий зависимости z(t) = 0, реализуется только в случае а > 1/2, где система имеет бесконечную вероятность в точке х = 0. Нормировка соответствующей функции распределения достигается за счет выделения ¿-образной особенности:

P(x) = C6(z) + P0(r.)P'(£): (8)

отвечающей выпадению детерминистического конденсата, плотность которого определяется величиной С. Здесь Ро(х) = Zq1x~2<1 и Р'(х) = (1/2') ехр (—U(x)fT) — составляющие функции распределения Р(х), представляющие окрестность и периферию конденсата. Установлено, что стохастический режим в любой момент времени реализуется наравне с детерминистическим при 0 < а < 1/2, а при 1/2 < а < 1 система достигает положения х = 0 за конечное время.

Самосогласованное поведение конденсата, определенное константой С, задается условием нормировки распределения (24):

оо

<7=1-1/2', Z' = jex(9)

о

где — нормировочная константа, соответствующая распределению Р'(х), А - А/2Г(1 - а), ц = В/2Т(2- а), 1/2 < а < 1. Численный анализ зависимости С'(0) показал, что с ростом интенсивности шума © = Т/Тс плотность конденсата спадает от значения С = 1 при 0 = 0 до С = 0 при критической величине ©с- При больших значениях термодинамического стимула к упорядочению а спадание плотности конденсата происходит при следующем условии: чем выше значение показателя а, тем больше соответствующее значение © интенсивности шума. В случае а ~ 1 в области малых 0 рост показателя по-прежнему приводит к увеличению плотности конденсата, а при больших 0 — к уменьшению. Зависимость ©с(а) критической интенсивности шума от показателя мультипликативной функции при малых а монотонно спадает, а при больших а возрастает. При малых а < 1 детерминистический конденсат реализуется при всех значениях интенсивности шума. Показано, что плотность играет роль параметра Эдвардса-Андерсона при стекловании жидкости.

В разделе 2.3 выяснено, что произвол в выборе исчисления, а также представленная в разделе 2.2 картина фазовых переходов обусловле-71 ы тем, что область определения стохастической переменной в фазовом пространстве имеет фрактальный вид. При этом, следуя стандартной методике, мы исходим из представления полученной картины фазовых переходов функцией описывающей временную зависимость координаты частицы в процессе обобщенной диффузии с коэффициентом

(Т/2)д2. Тогда из соотношения Херста а(£) ос 2я для характерного 1 /

значения а{1) = (масштаба измерения) стохастической пере-

менной следует определение показателя Гёльдера

Я"1 =2(1 -а), (10)

задающего максимальный порядок производной от неаналитической функции а^), через параметр теории а. Согласно (10) при аддитивном шуме (а = 0) реализуется процесс а(2) ~ отвечающий обычной диффузии. При этом-зависимость х('{) не имеет даже первой производной. Хотя с ростом параметра а показатель Гёльдера Н увеличива-

ется, такая ситуация сохраняется до значений а — 1/2. В интервале 1/2 < а < 3/4 имеем 1 < Я < 2. При этом сама зависимость x(t) является гладкой, однако ее первая производная уже неаналитична. Для произвольного интервала (2п — 1)/2п < а < (4п — 1)/2п гладкими функциями являются все производные до тг—го порядка включительно. При О < а < 1/2 неаналитпческая-зависимость x(t) имеет настолько сложный вид, что стохастический процесс "запутывается" в ней, и детерминистический конденсат не образуется.

Приведенные особенности зависимости x(t) означают, что ее график имеет фрактальный вид типа того, что реализуется для функции Вепер-штрасса. Количественной характеристикой такой зависимости является, как известно, внутренняя фрактальная размерность D = Я-1. При О < а < 1/2 получаем 2 > D > 1, и график зависимости x(t) представляет геометрический объект, занимающий промежуточное положение между линией и плоскостью. Это означает настолько значительное расширение области определения функции распределения P(x,t), что конденсатная составляющая С5(х) не проявляется (С = 0). Соответственно, при 1/2 < а < 1 имеем 1 > D > 0, и область определения функции P{x,t) занимает промежуточное положение между линией и точкой. Столь значительное обеднение стохастического процесса обусловливает замерзание системы в детерминистическом конденсате x(t) — 0.

Изначальной причиной представленного поведения стохастической системы является фрактальный характер зависимости W{x,y), определяющей в управляющем уравнении интенсивность переходов между микросостояниями. Из свойств самоаффинности найден вид этой функции в пределе х,у —> 0. Поскольку для фрактальной области определения искомая функция является однородной, то с учетом асимптотики Р(х) ос ж2а, выполнение условия детального равновесия для вероятности переходов и выражения мультипликативной функции через W(x, у)

были получены зависимости:

Ш{х,у)-1 (И)

_ у~гф{х!у).

Очевидно, как в пределе ж <С У, где \¥ ~ так и при х у,

УЧ ~ у~3 функция Ш(х, у) имеет сингулярный характер. Соответственно, дрейфовая и диффузионная составляющие уравнения Фоккера-Планка имеют асимптотики /5 сх х1~°, д ос х1~°!2. С ростом параметра а (уменьшением фрактальной размерности О) найденные сингулярности ослабляются, что и обусловливает при а > 1/2 выпадение детерминистического конденсата.

В пределе х —» 0 сингулярная сила ос а;1--0 имеет тот же характер, что и мнимая сила Ь = 2А(2 — П)Тв уравнении Фоккера-Плаика, зависимая от выбора исчисления. Поскольку изначальной причиной появления обеих сил является фрактальный характер фазового пространства системы, то их зависимость от х оказывается одинаковой. Однако, будучи моментом первого порядка, сила / ос Т1!2 пропорциональна амплитуде шума, а сила Н ос Т — его интенсивности. Кроме того, сингулярная сила не содержит произвольного параметра А, величина которого определяет мнимую силу к ос Л, а тем самым и выбор исчисления. Сила fs всегда направлена в сторону точки а; = 0, в то время как детерминистическая сила / = —ди/дх ос х°~1 меняет свое направление от х — 0 к — (—А/В)1!2 только при в < 1. В этом случае выпадение детерминистического конденсата целиком обеспечивается действием силы /д (ж), приобретающей вблизи точки х = 0 наиболее сингулярный характер.

Обычно при рассмотрении стохастической системы принимается, что в моделируемом ею многочастичном ансамбле отсутствует взаимодействие. В связи с этим до последнего времени не были обнаружены фазовые переходы, понимаемые в термодинамическом смысле. Глава 3 посвящена исследованию влияния межчастичного взаимодействия на характер поведения стохастической системы [2]. В разделе 3.1 получено

стохастическое уравнение движения, содержащее силу межчастичного взаимодействия, записанную в приближении среднего поля,

fi = -Цг - rj), (12)

где введено характерное значение энергии взаимодействия w = cz, z — число ближайших соседей, и определение параметра дальнего порядка т) = (х). Из вида стационарного распределения вероятности следует, что межчастичное взаимодействие приводит к перенормировке критической температуры Тс — Tco — w/a и появлению вклада в эффективный потенциал, который обладает минимальной степенью величины стохастической переменной.

Исследование возможных типов расходимостей решения стационарного уравнения Фоккера-Планка позволяет определить типы переходов в стохастической системе при различных значениях показателя а мультипликативной функции д — \/2ха.

Раздел 3.2 посвящен исследованию картины нарушения симметрии, реализующейся в случае а < 1/2. Согласно условию нормировки распределения стационарных состояний, статистическая сумма имеет вид

со

z = I x~2aP(x)Pn{x)dx-, (13)

— СО

Р(х) = ехр Ае^1-"^ - ftxW—lJ , (14)

Р„{х) = екр И»1-2") , (15)

где v — ui/(l — 2а)вТй, а температура в = Т/Тс измерена в единицах перенормированной критической температуры Тсо. Фактор Рп(х), связанный с дальним порядком ц ф 0, содержит асимметрию относительно замены — х —► х, которая обусловливает потерю симметрии при упорядочении. Величина г/ = (х) задается условием самосогласования

оо

Т} = 7Г1 j х1~7аРп{х)Р{х)Ах. (16)

—оо

Дифференцируя обе части по 1], получаем необходимое условие реализации фазового перехода

оо

1=^/2(0)) ! г2(1-2з)Р(х)(1х, 2(0) = г{г) = 0), (17)

-оо

определяющее температуру фазового превращения ©о. Поскольку интеграл в правой части (17) имеет положительное значение, то V > 0 и параметр взаимодействия ни = (1 — 1а)ОТсV также положителен.

Анализ уравнения (17) показывает, что параметр дальнего порядка г) ф 0 при значениях показателя мультипликативной функции 0 < а < 1/2, а при 1/2 < а < 1 дальний порядок отсутствует (»7 = 0). Учитывая определение фрактальной размерности, видим, что дальний порядок реализуется при значениях фрактальной размерности 1 < В < 2, а при О < О < 1 имеем »7 = 0. Очевидно, такое поведение отвечает хорошо известному факту флуктуационного разрушения дальнего порядка в системах с размерностью О < 1. Построена зависимость параметра дальнего порядка от интенсивности шума, а также соответствующая фазовая диаграмма (см. рис.1, 2). Их характерная особенность состоит в нерегулярном виде температурной зависимости параметра порядка т](Э) и фазовой диаграммы 0о(м). Это объясняется тем, что с уменьшением размерности до критического значения I) = 1 происходит настолько сильное сужение фазового пространства, что с увеличением температуры начинают сказываться флуктуации, приводящие к указанным особенностям. Численный анализ показал, что благодаря кластеризации фрактального фазового пространства происходит не плавное, а скачкообразное сужение области, отвечающей упорядоченной фазе.

Раздел 3.3 посвящен исследованию потери эргодичности стохасти-чекой системы с межчастичным взаимодействием. Оказалось, что его влияние на картину потери эргодичности является несущественным. Единственное отличие от систем без межчастичного взаимодействия состоит в перенормировке критической температуры, входящей в разложение Ландау.

Рис.1. Температурная зависимость параметра дальнего порядка при различных значениях показателя а=0;0.2;0.3;0.4;0.45 (кривые 1-5)

Л

Рис.2. Зависимость температуры перехода от параметра межчастичного взаимодействия при различных значениях показателя а=0.3;0.4;0.42;0.45 (кривые 1 -4)

В разделе 3.4 содержится анализ связи фрактальной природы фазового пространства с характером поведения стохастической системы. При этом произведен учет не только силы межчастичного взаимодействия, но и введенной в разделе 2.4 выражение для которой имеет вид

Л = -Ш/Т^х1-0, % = 4/ тгоу. (18)

Здесь то— микроскопическое время, олеределяющее масштаб измерения скорости переходов Ш/(х, х — у), у — кинетический коэффициент.

Учитывая все слагаемые полной силы / = Л + /о + /», получено выражение для эффективного синергетического потенциала:

ие}(х) = (2-0)Т\пх + и{х)-, (19)

и(х) = и0(х) + и{(х) + и,(х), (20)

"•<*>=г*"+ <5ТГв" (21)

¿^с^^ = С-^— ^^^зту - (22)

ВД-^Г*2-*. (23)

Из вида потенциала 17, (х), обусловленного вкладом сингулярной силы, следует, что рост фрактальной размерности приводит к уменьшению показателя стохастической переменой х. Так для аддитивного шума (В = 2) сингулярное слагаемое (/„ в потенциале ие/(х), как и следовало, пропадает.

Выпадение детерминистического конденсата происходит в области О < 1. Тогда, согласно определению плотности конденсата (9) при учете сингулярного вклада и,(х) для статистической суммы, имеем

оо

г'= I Р(х)Ах, Р{х)= ехр (-кх2-° - \х° - цх2+°) , (24)

где к = (Т5/Тс)1/261/'2/(2 - О). Характерно, что в распределении (24) отсутствует дальний порядок.

Численный расчет плотности конденсата в зависимости от температуры 0 показал, что включение сингулярной силы приводит к уменьшению критической температуры образования конденсата. В области О € (1,2] в системе существует дальний порядок. Параметр дальнего порядка имеет вид (ср. с (16))

12'

СО

-1 J х°-18к (>7/хР(х)<1х; (25)

г = 2 Iх°-2ск Р(х)Ах, (26)

о

(27)

где распределение Р(х) задается равенством (24). Точка фазового перехода определяется уравнением (ср. с (17))

со

2(0) = 2и! х2(°-^Р{х)&х, (28)

о

где 2(0) = 2(г} — 0). Численный анализ зависимости т?(0) и фазовой диаграммы ©о(го) показал, что с увеличением сингулярного вклада качественных изменений на зависимостях ?/(©) и 0о(гА>) не происходит. Здесь также происходит уменьшение температуры перехода 0о с ростом параметра к, задающего эффективность влияния фрактальности фазового пространства. Необходимо также заметить, что параметр дальнего порядка и фазовая диаграмма сохраняют нерегулярности.

Влияние сингулярного вклада на индуцированный шумом переход прослеживается в решениях уравнения экстремумов

+ - ^ + (|) 17 V-") = 1-0, (29)

V

которые действительны, если интенсивность шума не превосходит значение ©о, задаваемое равенством

^ О + 2 аТс 2 +1) \те) °° ~ 2[°°

(30)

Численный анализ уравнения экстремумов показал, что с ростом отношения Тв/Тс происходит спадание величины хо, приводящее к понижению температуры перехода. Действие силы при О < 1, где ц — 0 не изменяется в случае £> > 1 (г) ф 0).

Таким образом, наличие сингулярной силы ос

у/Тх1^11, обусловленной фрактальным характером фазового пространства, противодействует стохастическому поведению системы, т.е. проявляется своеобразный принцип Ле-Шателье в стохастических системах с мультипликативным шумом.

Глава 4 посвящена исследованию влияния мультипликативного шума на поведение трехпараметрической синергетической системы, представленной стандартной схемой Лоренца. Такая схема подробно исследована в детерминистическом режиме, когда параметр порядка, сопряженное поле и управляющий параметр не имеют флуктуирующих составляющих. В отличие от этого основная задача, поставленная в главе 4, сведена к выяснению вопроса — каким образом изменится поведение синергетической системы, если все три степени свободы обладают аддитивным шумом [3], [4]. В разделе 4.1 показано, что соподчинение в изменении управляющего параметра и сопряженного поля величине параметра порядка приводит к трансформации аддитивного шума двух первых степеней свободы в мультипликативный. Уравнение эволюции параметра порядка т] принимает вид

п= + + (31)

где точка означает дифференцирование по безразмерному времени, а2 — интенсивность шума £ параметра порядка, а\ — интенсивность шума сопряженного поля /¿, — интенсивность шума управляющего

параметра Т. В уравнении (31) безразмерный детерминистический си-нергетический потенциал, играющий в термодинамике роль свободной энергия, имеет вид

У = У(г])=1-[т12-в\п{1 + г12)}, (32)

0 — безразмерный управляющий параметр, мультипликативные функции

дт = т = ^2ч(1 + г]2)~\ (33)

дн = уД(1+Ч,)~1 (34)

определяют характер флуктуационных добавок сопряженного поля и управляющего параметра соответственно. Выражение (31) представляет обобщенное уравнение Лаюкевена, в котором детерминистическая составляющая обобщенной силы [ = —дУ/дт] определяется видом синер-гетического потенциала (32), а стохастическая — представляет сумму аддитивного^ и двух мультипликативных шумов с соответствующими мультипликативными функциями (33), (34). В заключении раздела 4.1 найдено стационарное решение уравнения Фоккера-Планкаи положение максимума плотности вероятности в зависимости от интенсивности шумов. Уравнение экстремумов всегда имеет решение г) = 0, отвечающее неупорядоченной фазе. Соответственно, для упорядоченной получаем

х3 - Эх2 - 1ха\ + 4(4 — <т\) = 0, х = 1+ г]2. (35)

Как видно из (35), стационарные состояния не содержат зависимости от шума параметра порядка, и определяются лишь значениями интнсивно-стей шумов сопряженного поля, управляющего параметра и значением самого управляющего параметра.

В разделе 4.2 показано, что аддитивный шум параметра порядка не приводит к качественному изменению поведения синергетической системы. Найдена временная зависимость параметра порядка в отсутствие шума.

Центральное место в главе занимает раздел 4.3, посвященный исследованию влияния мультипликативного шума на картину синергетиче-ского перехода. В разделе 4.3.1 показано, что мультипликативный шум сопряженного поля приводит к сдвигу точки синергетического превращения согласно соотношению © = 1 — При малых значениях © и <гд стационарные значения параметра даются следующими зависимостями:

(4^2)1/3 _ ! + | (! + 1/л/Щ ) 0^0

*

(36)

©-1 + 40-2/02,.

о.

Выражения (36) указывают на наличие перехода второго рода при условии 0 > 1 — 4од. Характерно, что при 0 = 0 наблюдается синергетиче-ский переход в несимметричное состояние, при условии <ть, > (тс = 1/2. Отсюда видно, что этот переход индуцировац шумом одного сопряженного поля, а не управляющего параметра. При условии сгд = 0 реализуется обычный детерминистический переход.

Намного более существенным оказывается влияние стохастического управляющего параметра, исследованное в разделе 4.3.2. Оказывается, что нарастание интенсивности шума приводит к подавлению симметричного состояния, в интервале, ограниченном значениями

1 -

е\ о2

20

1/2

(37)

На фазовой диаграмме они определяют границы области существования упорядоченной и неупорядоченной фаз.

Поведенение параметра порядка в зависимости от интенсивности шума управляющего параметра задается выражением

41

&

3 + а/(3 - О)2 + 4(20 - 3 + 2<4)

(38)

Показано, что аналогично системам, рассмотренным в разделе 2..3.2,

при малой интенсивности шума в синергетической системе также возможно образование детерминистического конденсата, отвечающего зависимости T/(t) = 0. При значениях интенсивности шума управляющего параметра сг^ < 0 — 1 детерминистический конденсат недостижим за бесконечное время, тогда как при try > 0 — 1 его выпадение происходит в течение бесконечного долгого времени.

В разделе 4.3.3 проведено обобщение результатов, полученных в разделах 4.3.1 и 4.3.2, на случай совместного учета шумов сопряженного поля и управляющего параметра. Оказалось, что при этом на фазовой диаграмме появляются области метастабильных состояний упорядоченной и неупорядоченной фаз. Трикритическая точка на фазовой диаграмме с осями 0 — от определяется соотношениями

0 = 1(1-^), 4 = 1(1 + 8^). (39)

При фиксированной интенсивности шума сопряженного поля (<т= const) изменение управляющего параметра приводит к фазовому переходу второго рода. Если величина сгт превышает критическое значение, определенное вторым условием (39), система претерпевает переход первого рода.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Произвольная сила, возникающая в уравнении Фоккера-Планка при выборе исчисления, компенсируется умножением исходной плотности вероятности на экспоненту, показатель которой определяет характер поведения системы во всем временном интервале. Кроме того, при этом производится перенормировка синергетиче-ского потенциала.

2. Наличие мультипликативного шума приводит к трансформации области определения в фазовом пространстве стохастической системы в самоподобное фрактальное множество, имеющее размерность, заключенную в интервал от 0 до 2. Фрактальный характер

фазового пространства обусловливает появление сингулярной силы, величина которой пропорциональна амплитуде шума и производной от мультипликативной функции по стохастической переменной.

3. При малых значениях фрактальной размерности в стохастической системе реализуется детерминистический режим, в котором стохастическая переменная становится независимой от времени. С уменьшением интенсивности шума конечная доля степеней свободы попадает в детерминистический конденсат, т.е. система теряет эргодичность аналогично тому как это происходит при стекловании жидкости.

4. Наличие межчастичного взаимодействия при больших значениях фрактальной размерности приводит к потере симметрии стохастической системы, состоящей в том, что функция распределения приобретает антисимметричность относительно замены знака стохастической переменной. Температурная зависимость параметра дальнего порядка имеет немонотонный характер, обусловленный фрактальной природой фазового пространства.

5. Включение аддитивных шумов в уравнения Лоренца, моделирующие поведение синергетической системы показывает, что принцип соподчинения приводит к трансформации этих шумов в мультипликативные только для сопряженного поля и управляющего параметра. Это обусловливает нетривиальную перестройку синерге-тического поведения в зависимости от интенсивности шума управляющего параметра.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах *

[1] А.И.Олемской, Д.О.Харченко. Калибровка стохастической системы. Ц Изв.вузов.Физика. — 1996, N2, С.121—123.

[2] А.И.Олемской, Д.О.Харчепко. Нарушение симметрии и эргодичности в стохастической системе с произвольным мультипликативным шумом и межчастичным взаимодействием. // Метеллофизика и новейшие технологии. — 1996, т.18, С.З—11.

[3] Е.А-.Торопов, Д.О.Харчепко. Влияние шума на характер поведения синергетической системы.//Изв.вузов.Физика. - 1996, N5, С.75-82.

[4] Е.А.Торопов, Д.О.Харченко. Синергетический переход в условиях шума. // Вестник СУмГУ. — 1996, N3. С.8—15.

[о] А.И.Олемской, Д.О.Харченко. Кроссовер стохастической системы в детерминистический режим. // Научно практическая конференция молодых ученых Республики Хакасия "Молодежь и наука — третье тысячелетие": Тезисы докладов. — Абакан, 1995. — С.10.

[6] Е.А.Торопов, Д.О.Харченко. Критическое поведение синергетической системы в условиях шума. // III Черкасский семинар стран содружества "Актуальные вопросы диффузии, фазовых структурных превращений в сплавах": Тезисы докладов. — Сокирне, 1995. — С.99.

[7] Е.А.Торопов, Д.О.Харченко. Пластическая деформация в условиях стохастичности. // Научно-техническая конференция "Техника и физика электронных систем и устройств": Тезисы докладов. — Сумы, 1995, — С.242.

Харченко Д.О. Фазовые переходы в системах с мультипликативным шумом.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико- математических наук по специальности 01.04.02 — "Теоретическая физика", Сумский государственный университет, Сумы 1996. Защищается 7 научных работ, в которых развита калибровочная схема стохастической системы и проведено исследование эффектов нарушения симметрии и

эргодичности в стохастических системах с произвольным мультипликативным шумом и межчастичным взаимодействием. Описано поведение синергетической системы, находящейся в условиях стохастического окружения.

Ключевые слова: стохастическая система, фазовый переход, мультипликативный шум, фрактальная размерность.

Kharchenko D.O. Phase Transitions in Systems with Multiplicative Noise. Thesis on search the scientific degree of candidate of physics and mathematics for speciality 01.04.02 — Theoretical Physics, Sumy State University, Sumy, 1996. 7 scientific works are defended in which gauge scheme for stochastical systems has been developed as well as the research of breaking symmetry and ergodicity has been carried out in a stochastical system with arbitrary multiplicative noise and particle interaction. The synergetic system's behavior within stochastical media has been described. Key words: stochastical system, phase transition, multiplicative noise, fractal dimensionality.

Ответственный за выпуск — Олемской А.И. Подп. к печати Формат 60x80/16 Обл.изд.стр.1

Тираж. 6 О Заказ ^& Бесплатно "Ризоцентр" СумГУ. 244007, г.Сумы, ул.Римского-Корсакова,2