Теоретическое исследование импульсных резонансных явлений методом мультипликативного интегрирования тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ



005554695

На правах рукописи

СОКОЛОВ Олег Владимирович

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ИМПУЛЬСНЫХ РЕЗОНАНСНЫХ ЯВЛЕНИЙ МЕТОДОМ МУЛЬТИПЛИКАТИВНОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ

Специальность: 01.04.02-Теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

6 НОЯ 2014

Великий Новгород 2014

005554695

Диссертационная работа выполнена на кафедре общей и экспериментальной физики федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого»

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук, доцент

Ковалевский Михаил Михайлович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Самарцев Виталий Владимирович

заведующий лабораторией нелинейной оптики ФГБУИ «Казанский физико-технический институт имени Е.К. Завойского» Казанского научного центра Российской академии наук, заслуженный деятель науки РФ и РТ

доктор физико-математических наук, профессор Суриков Виктор Васильевич

профессор кафедры общей физики и физики конденсированного состояния Отделения физию* твердого тела Физического факультета ФГБОУ ВПО «Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова»

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» имени В.И. Ульянова (Ленина)», г. Санкт-Петербург

Защита состоится « 27 » ноября 2014 года в 15.30 на заседании диссертационного совета Д 212.168.11 федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого», по адресу: 173003, Россия, Великий Новгород, ул. Большая Санкт-Петербургская, 41, ауд. 6 пот.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого».

Автореферат разослан « Х^» _ К> _20!4 года

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.168.11 кандидат физико-математических наук, доцент

Коваленко Д.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы.

Импульсные резонансные явления, включая ядерное квадрупольное, спиновое и световое эхо, применяются для изучения внутренних движений в кристаллах, Ьрироды химической связи, комплексных соединений, дефектов в твердых телах. В отличие от стационарных резонансных методов импульсные резонансные методы позволяют не только получать сведения о константах квадрупольного взаимодействия, параметрах асимметрии и величинах химического сдвига, но и дают возможность исследовать неравновесные состояния спин-систем (релаксационные процессы), внутренние электрические и магнитные локальные поля на ядрах в кристаллах [1]. Импульсные методы позволяют наблюдать сигналы в неупорядоченных кристаллах, что существенно расширяет возможности резонансных методов.

При исследовании импульсных резонансных явлений необходимо решать либо уравнение Шрёдингера, либо уравнения Блоха. И в том и в другом случае получается система линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами (СЛДУПК). В связи с этим актуальна проблема нахождения решений таких систем.

Случаи точного решения систем линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами исключительно редки. Поэтому актуальна проблема разработки приближенных методов нахождения решения систем линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами общего вида в форме аналитических выражений.

Метод мультипликативного интегрирования существенно расширяет класс задач, для которых могут быть получены приближенные аналитические решения систем линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами общего вида.

Общее решение СЛДУПК допускает представление с помощью мультипликативного интеграла (МИ). В связи с этим возникает проблема вычисления МИ. Известно, что в случаях функционально-коммутативных и

функционалыю-нильпотентных матриц МИ допускает точное аналитическое вычисление. Ранее в [2] был разработан итерационный метод вычисления мультипликативного интеграла от матриц произвольной структуры, основанный на использовании в качестве начального приближения матричной экспоненты и доказана сходимость полученного произведения счетного множества сомножителей. Также в [2] найдены некоторые варианты структур функционально-коммутативных и функционально-нилытотентных матриц.

Настоящая работа посвящена исследованию импульсных резонансных явлений с помощью метода мультипликативного интегрирования и нахождению структур функционально-нильпотентных матриц. Знание структуры функционально-нильпотентных матриц позволяет упростить вычисление мультипликативного интеграла от произвольной матрицы путем выделения из нее функционально-нильпотентной матрицы и последующего применения интегрирования по частям. С помощью метода мультипликативного интегрирования удалось получить новые оригинальные результаты по теории импульсных резонансных явлений. Некоторые из этих результатов могут быть применены в фурье-спектроскопии для улучшения конструкции фурье-спектрометров.

Цель и задачи работы.

Целью диссертационной работы является исследование импульсных резонансных явлений, описываемых на основе модели Блоха и уравнения Шрёдингера, с помощью метода мультипликативного интегрирования. Для достижения поставленной цели в диссертационной работе решаются следующие задачи:

1. Решение уравнений Блоха и уравнения Шрёдингера, сводящихся к системам линейных дифференциальных .уравнений с переменными коэффициентами, методом мультипликативного интегрирования.

2. Разработка метода нахождения всех структур функционально-нильпотентных матриц третьего и четвертого порядков.

Методы исследования. Для решения поставленных в диссертационной работе задач были использованы метод теоретического описания изменения с течением времени вектора намагниченности вещества в конденсированном состоянии с помощью уравнений Блоха, метод квантово-механического описания системы ядерных спинов в магнитном поле с помощью уравнения Шрёдингера, метод матрицы плотности, метод мультипликативного интегрирования.

Достоверность результатов исследований. Обоснованность и достоверность положений, выводов и рекомендаций подтверждается использованием апробированных методов теоретической физики, корректным применением математических методов, а также тем, что полученные результаты совпадают в предельных случаях с результатами теоретических расчетов и результатами экспериментов, выполненных в этой области знаний другими авторами.

Положения, выносимые на защиту.

1. Учет релаксации в явлениях ядерного квадрупольного и спинового эха влияет как на величину, так и на форму эхо-сигнала. Если длительность эхо-сигнала мала по сравнешпо с временами релаксации, то асимметрия формы эхо-сигнала явно не выражена. Если длительность эхо-сигнала сравнима по величине с временами релаксации, то асимметрия, напротив, — сильно выражена.

2. При корреляционной обработке сигнала с шумовой составляющей зависимость выходного отношения сигнал-шум от входного отношения сигнал-шум в логарифмическом масштабе при увеличении мощности шума из линейной переходит в нелинейную.

3. При получении ядерного квадрупольного эха двухчастотное импульсное возбуждение позволяет усилить эхо-сигнал по сравнению с одночастотным возбуждением.

Научная новизна. В ходе исследования были получены следующие новые результаты:

1) в явлениях спинового и светового эха при помощи модели Блоха установлена связь между временами релаксации с одной стороны, и формой и величиной эхо-сигнала с другой стороны;

2) найдена зависимость выходного отношения сигнал-шум от входного отношения сигнал-шум при корреляционной обработке сигнала с шумовой составляющей;

3) путем решения уравнения Шрёдингера методом мультипликативного интегрирования получена зависимость амплитуды эхо-сигнала от площади радиочастотного импульса при двухимпульсном возбуждении спинового эха в ферромагнитном поликристалле;

4) разработан метод нахождения всех структур функционально-нилытотентных матриц третьего и четвертого порядков, определено полное количество структур функционально-нильпотентных матриц третьего порядка;

5) показано прямыми методами, что ранг функционально-нильпотентной матрицы и-го порядка не может превосходить ;

6) разработан общий метод нахождения некоторых структур функционально-нильпотентных матриц, порядок которых выше четвертого.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на международных научных конференциях: на конференциях «Математика в ВУЗе» (Великий Новгород, 2005 г.; Санкт-Петербург, 2008 г.), на 4-м Международном семинаре «Физико-математическое моделирование систем» (Воронеж, 2007 г.), на 11 -й Международной конференции «Физика диэлектриков» (Диэлектрики-2008) (Санкт-Петербург, июнь 2008 г.) и на международной научно-практической конференции «Современные проблемы и пути их решения в науке, транспорте, производстве и образовании» (Одесса, 2009 г.).

Публикации. Всего по теме диссертации опубликовано 10 работ. Из них 4 работы опубликованы в рецензируемых научных журналах, рекомендованных ВАК, 5 публикаций в материалах международных научных конференций и одна публикация в электронном журнале. Одна из работ опубликована без соавторов в журнале," • рекомендованном ВАК. Получено одно свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, трех приложений, библиографического списка. Работа изложена на 93 страницах, содержит 18 рисунков, библиографический список включает 83 наименования.

В первой главе диссертации дан обзор литературы по теории мультипликативного интегрирования и вопросам спинового и других видов эха.

Во второй главе диссертации найдены все структуры функционалыю-нильпотентных матриц третьего порядка, разработан метод нахождения всех структур матриц четвертого порядка, приводятся примеры. Показано прямыми методами, что ранг функционально-нильпотентной матрицы м-го порядка не может превосходить целой части от (п/2).

При исследовании импульсных резонансных явлений возникает проблема решения уравнений Блоха или уравнения Шрёдингера. В обоих случаях при использовании для нахождения решения метода мультипликативного интегрирования необходимо вычисление мультипликативного интеграла от функционально-некоммутативных матриц. Эту задачу иногда удается упростить применением интегрирования по частям, предварительно выделив из исходной функционально-некоммутативной матрицы функционалъно-нилыготентнос слагаемое. Мультипликативный интеграл от функционально-нильпотентной матрицы вычисляется точно и особенно просто

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Квадратная матрица A(t) размером пхп является функционально-нильпотентной, если выполняется соотношение

4040=o (2)

для любых t,l' eR.

Условие (2) можно рассматривать как однородную систему п2 линейных уравнений

л2

ZV; = 0, (3)

i=1

где а', - элементы матрицы A(t'), пронумерованные одним индексом, l,k = I..«2, а матрица системы Ли (/) вычисляется с помощью кронекеровского (прямого) произведения Âtl=A®E,A = A(t).

Из (3) следует, что матрица A = A(i) должна быть особой

det Л = 0. (4)

Г аи ап ахг

Рассмотрим случай п = 3. Матрица А = \а2, а22 а23

1Я31 агг «33 )

Так как матрица А должна быть особой, то ее ранг не может превышать двух. Поэтому хотя бы одна ее строка является линейной комбинацией оставшихся двух строк, и, аналогично, хотя бы один ее столбец является линейной комбинацией оставшихся двух столбцов. Например, третья строка является линейной комбинацией первой и второй строк, а третий столбец — линейная комбинация первого и второго столбца:

=C,"u+C2a2f "32 =С1а12 +С2<322> Я33 =С1°13+С2й,23. (5)

а13=Й1ап+М|2. Я23=Й.«21+62а22, «33 = 61й31 + Ь&1■ (6)

Подставляя (5) и (6) в условия функциональной нильпотентности (3), после несложных преобразований получаем следующее ограничение на коэффициенты

1 + è,c, + b2c, = 0. (7)

Далее находим следующие структуры функционально-нильпотентных матриц

с,аи с2аи -аи

С&, С2а21 "«21 > (8) с,с2а21 с^гап+с1а21 -с,а„-с2а21>

А =

Л/А, Ь1а21 Ь^ап+Ь1Ь2а22 Ь2а2х Ь2а22 + 62а22

(9)

Строку и столбец в этой схеме для матрицы третьего порядка можно выбрать девятью способами.

Из анализа полученных структур следует, что структура нильпотентной матрицы третьего порядка обладает тем свойством, что в ней либо элементы двух строк пропорциональны ДЕум соответствующим произвольным функциям времени, а третья строка является линейной комбинацией этих строк, либо эта ситуация относится к столбцам матрицы. Зависимую строку мы можем выбрать тремя способами, то же самое относится к зависимому столбцу, значит, всего существует шесть типов структур нильпотентных матриц третьего порядка.

Аналогичным образом рассматривается случай матрицы четвертого порядка, находится сходное ограничение на соответствующие коэффициенты

1 + 6,^ + Ьгс2 + Ь3с3 = 0 . (10)

Выражения для элементов одной из найденных структур нильпотентной матрицы четвертого порядка содержат четыре произвольные функции t ^„,¿„,^,,¿¡3 и пять произвольных констант А1,62.с|,с1,с;3.

Обобщением частных случаев функционально-нильпотентных матриц третьего и четвертого порядков найден также общий алгоритм нахождения некоторых структур для произвольного п. Показано прямыми методами, что ранг функционально-нильпотентной матрицы не может превосходить .

В третьей главе диссертации рассматриваются при помощи уравнений Блоха и уравнения Шрёдингера различные аспекты образования сигналов спинового и светового эха. Физический смысл образования эхо-сигналов проще всего понять с помощью векторной модели спинового эха, которая рассмотрена в [3]. Ранее рядом авторов рассматривались вопросы резонансной обработки

сигналов различными методами. Например, в [4] с помощью метода матрицы плотности были получены результаты, указывающие на то, что релаксационные процессы влияют на величину эхо-сигнала, но влияние на его форму не изучалось. В дальнейшем качественно было показано, что релаксационные процессы влияют как на величину, так и на форму эхо-сигнала [5]. В данной работе это сделано более полно и доказательно, рассмотрены конкретные примеры и также рассмотрен вопрос влияния помех на форму эхосигнала.

В первой части главы в рамках модели Блоха, пригодной для описания спинового и светового эха в парамагнитных материалах, рассмотрено влияние релаксационных процессов на форму и величину эхо-сигналов.

Рассмотрено возникновение эха при трехимпульсном воздействии, когда второй сигнал следует за первым через время Т3, а третий сигнал следует за первым через время Т. Было проанализировано стимулированное эхо в малосигнальном приближении, возникающее в момент времени Г+7з (рис. 1). Малосигнальное приближение применимо, когда выполняется соотношение

|уЯ(г)^г«1, (11)

где / - гиромагнитное отношение, II (г) — зависимость огибающей импульса магнитного поля от времени.

Л \ л

тз

т

т*тз

Рис. 1. Схема возникновения стимулированного эха при трехимпульсном воздействии. Для сигнала стимулированного эха получено следующее выражение

где

о о

■!>,,(') — текущий спектр сигнала с возрастающей экспонентой, $2А<) - текущий

спектр сигнала с убывающей экспонентой, Н1 (г) — радиочастотный сигнал,

7 = 1,2,3 - номер сигнала; /,,/2,е3 - длительности первого, второго и третьего

радиочастотных импульсов; Тх — время продольной (спин-решеточной)

релаксации, Тг - время поперечной (спин-спиновой) релаксации; -

неоднородно уширенная линия, которую считаем постоянной в пределах ширины спектров радиочастотных импульсов.

Ч 2

V2 "";(')

cu (,) = -2.р ■ Л/„ ■ \su (г) • bj (г) ■ еО'с/т,

О

C2j{t) = 2-i-p-М0 ■ Jí,', ( г) • Ь, (г) ■ e"dr,

О

ciAl)=P-M*-\aATYe"dT'

о

aj(')=c

"А')

На рис. 2 показана рассчитанная зависимость величины эхо-сигнала(£) от времени для двух сигналов с линейной частотной модуляцией (JI4M). Зависимость от времени сигнала ЛЧМ задается следующим образом

/ (/) = d sin («у + bt1) ■ (0(т - 0 - 0{-t)) , (13)

где d — амплитуда сигнала ЛЧМ, а>0 - начальная частота, b — коэффициент девиации, т- длительность сигнала ЛЧМ, e(t) - функция Хевисайда.

ЕЮ'

ЕЮ1"

Г

/ | V I ^ мс

5 10

, УГ\ I I, мс 10

а

Ь

Рис. 2. Рассчитанная зависимость величины эхо-сигнала от времени для двух сигналов

71 Я*

ЛЧМ с параметрами ®„=750, 6 = 800, г = 1. Промежутки между

импульсами Тг = 6, Т = 10, времена релаксации 7\ и Гг на рисунке а) = 4 и 7"2 = 1, на рисунке Ь) Тх = 0,0105 и Г2 = 0,01.

Числовые параметры, использованные для расчетов, призваны подчеркнуть зависимость от них эхо-сигнала.

Асимметрия формы эхо-сигнала на рис. 2а явно не выражена, что связано с тем, что длительность эхо-сигнала мала по сравнению со временами релаксации. На рис. 2Ь асимметрия заметна, так как длительность эхо-сигнала сравнима по величине с временами релаксации. Подобные малые времена релаксации встречаются при наблюдении светового эха.

Во второй части третьей главы изучено влияние помех на корреляционную обработку сигналов, в случае, если первый сигнал является ЛЧМ радиоимпульсом, а второй представляет собой смесь ЛЧМ-сигнала и шума. Длительность шумового сигнала в 5 раз больше, чем длительность ЛЧМ.

На рис. 3 показана зависимость отношения сигнал-шум на выходе (5) от отношения сигнал-шум на входе (/), оба отношения отложены в дБ. Видно, что при небольших мощностях шума зависимость практически линейная, а с ростом мощности шума, что соответствует уменьшению отношения сигнал-

шум, появляется нелинейность, что легко понять из формулы.(12), так как при

Рис. 3. Зависимость отношения сигнал-шум на выходе в дБ от отношения сигнал-шум на входе в дБ.

В третьей части третьей главы рассмотрен случай, когда первый и второй сигналы являются псевдошумовыми. Зависимость псевдошумового сигнала от времени

а, — случайные числа, принадлежащие промежутку от минус единицы до единицы, - равномерное разбиение по длительности псевдошумового сигнала. Первый и второй сигналы частично перекрываются, длительность первого импульса больше промежутка времени между началами импульсов г > Г3. В малосигнальном приближении при значениях параметров т = 2 с, п = 50 получены зависимости эхо-сигнала от времени для Г3 = 1,80; 1,00; 0,20 с. При небольшом перекрытии исходных сигналов эхо-сигнал реализует достаточно точную автокорреляционную обработку. При увеличении перекрытия уменьшается величина эхо-сигнала и смешается максимум автокорреляционной функции. При сильном перекрытии происходит практически полный «развал» эхо-сигнапа. Этот анализ оказывается полезным при обработке сигналов большой длительности, когда может происходить их частичное наложение.

В четвертой части третьей главы диссертации при помощи решения уравнения Шрёдингера и уравнений Блоха без учета релаксации рассмотрены

особенности сигналов спинового эха в ферромагнитных поликристаллах. Известно, что в ферромагнетиках при действии на ядра радиочастотного поля его величина усиливается за счет сверхтонкого взаимодействия ядер с электронами в г] раз, где г) — неоднородный коэффициент усиления [6]. т] значительно больше для ядер, находящихся в стенках, разделяющих соседние домены, чем в центральных областях доменов. Поэтому основной вклад в эхо-сигнал дают ядра в стенках. Будем считать г/ константой, и под величиной радиочастотного поля подразумевать уже усиленную в г/ раз напряженность поля.

В [7,8] рассматривалось возбуждение спинового эха случайными сигналами типа белого шума. Здесь рассмотрено импульсное возбуждение спинового эха в поликристаллическом образце, в каждом микрокристалле которого существует внутреннее постоянное магнитное поле, направленное случайным образом. Исследован случай, когда ядра имеют спин ХА. При воздействии на образец двух радиочастотных импульсов внешнего магнитного поля наблюдается спиновое эхо. В качестве первого импульса используется произвольный радиочастотный импульс, а второго - очень короткий импульс типа дельта-функции площадью п.

Поведение спина ядра в магнитном поле описывается уравнением Шрёдннгера

сР¥

Ш— = НЧ1, (15)

А

где Т - двумерный спинор, Н = -у1-Н - гамильтониан системы, к -постоянная Планка, - оператор спина, ау,ау,&2 - спиновые матрицы

Паули, Н - напряженность магнитного поля.

Если совместить ось г с внешним радиочастотным полем, а направление внутреннего поля относительно оси 2 определить сферическими углами &,{/>,

то составляющие Н вдоль координатных осей будут

Нх = Н^твсоъ(р,

Ну = Н0$тв$лп1р, (16)

Нг=Н0 соя*?+ #,(/),

где Н0 и Я] (?) — напряженность внутреннего постоянного и внешнего радиочастотного магнитных полей.

В результате для эволюции спинора получается следующее уравнение

Л

где

+ соэб1) Одвт^е

(17)

(18)

2 " 2 Я{1) = гН1{1),а>0=гН0.

Представим матрицу А(1) в виде суммы постоянной матрицы

4 =

—со0$тве"р —-СУ0соз<9 \2 2

(19)

и матрицы

А =

■2Щ о

. » -¡т

(20)

тогда фундаментальную матрицу уравнения (17) можно, как это сделано в [9], записать в виде

Х = Х0-Х„ (21)

где Х0 - решение уравнения

Ж»

--Ай-Х0,

(22)

а Х1 — решение уравнения

ахх си

'У-Х,,

где матрица V определяется соотношением

г = х;1-лгх0.

(23)

(24)

Поскольку в общем случае /?(г) произвольная финитная функция, фундаментальная матрица решений уравнения (23) в общем виде может быть представлена с помощью мультипликативного интеграла

Хг = | У(г)с1г

(25)

Нахождение точного значения мультипликативного интеграла в данном случае сопряжено с большими математическими трудностями в связи с функциональной некоммутативностью матрицы

В нулевом приближении мультипликативный интеграл может быть заменен матричной экспонентой

Хх = ехр

]у(т)(К

(26)

Получаем следующие выражения для элементов матрицы Х1

(Л-,)И= ^гРсоъ2 в + в[з + 5* |

Ь + а,

Ь,

М21 =

(в)со5(в)е--гзт(в)«« (<9)е"?(я + 5*) +

(27)

г^««2 в + —г бш2 в^Б + )

Ь,

F = \R{TYT, S = ]R{Tyia°rdz, S' =)я(туа°тс1т,

0 0 0

. О (28) „ 2sin— i-

a = cos-y, b= 2 , Q-\jF2 cos2 в +15|2 sin2 0. После действия обоих импульсов волновая функция системы будет

(29)

где VF0 - волновая функция системы в начальный момент времени, Кх и К2 -фундаментальная матрица X за время действия первого и второго импульса, Д и D2 - фундаментальная матрица X за промежуток между первым и вторым импульсом и за время после окончания второго импульса.

Считая, что все направления внутреннего постоянного поля равновероятны, найдем намагниченность во всем поликристаллическом образце путем усреднения по сферическим углам в, <р.

__п • /Л 27Г *

dq>Mz, (30)

о о 1п

где g {(■•)()) — неоднородно уширенная линия, Mz - часть намагниченности, относящаяся к двухимпульсному эху.

Для сигнала двухимпульсного эха во всем поликристаллическом образце получено

Mz - ЛГ^Мг) jsin£ ^ - cos2 dfdd.Q 1)

о 8 ^

Вместо уравнения Шрёдингера для волновой функции системы можно использовать уравнения Блоха непосредственно для намагниченности. Был проведен расчет без учета релаксации и зависимость М? от угла в полностью аналогична полученной при использовании уравнения Шрсдиигсра.

Если частота заполнения радиоимпульса а^ близка к центральной частоте й>0, и выполняется условие т1з> —, то интеграл преобразуется к следующему виду

где //0, IIх - функции Струве, g0 - постоянная в пределах ширины спектра ^ неоднородно уширенная линия.

На рис. 4 показана зависимость амплитуды спинового эха от амплитуды радиочастотного поля А, рассчитанная для радиочастотного импульса с прямоугольной огибающей с юх = 107 с~х и длительностью г, = 10~5 с. Величина амплитуды эхо-сигнала отложена в относительных единицах. По оси абсцисс отложено произведение Атх.

Рис. 4. Зависимость амплитуды эхо-сигнала от площади радиочастотного импульса.

Так как при вычислении мультипликативного интеграла было использовано нулевое приближение, то полученные результаты справедливы приблизительно до уровня радиочастотного сигнала Лг, = л. При более высоких уровнях радиочастотного сигнала для расчета величины эха необходимо использовать следующие приближения для мультипликативного интеграла. При этом появятся спектры сигнала на частоте, сдвинутой по

отношению к частоте со0. Величина сдвига будет зависеть от величины радиочастотного сигнала [10].

В пятой части третьей главы установлены условия, при которых может быть выполнен анализ спектров сигналов в спиновых эхо-процессорах в реальном масштабе времени.

Явление спинового эха используется для создания управляемых линий задержек и других устройств обработки сигналов. Спиновые эхо-процессоры (СЭП), принцип действия которых основан на явлениях спинового или светового эха, отличаются простотой изготовления и настройки, относительно малыми габаритами. И хотя, в связи с развитием цифровой техники уже не так актуальны становятся эхо-процессоры, работающие на принципах ядерного квадрупольного и спинового эха при частотах порядка 10 - 100 МГц, но фотонные эхо-процессоры, работающие на сверхвысоких частотах, по-прежнему актуальны.

В [11] было показано, что в СЭП возможно осуществить получение спектров сигналов в реальном масштабе времени трехимпульсным методом, используя в качестве третьего управляющего импульса сигнал с линейной частотной модуляцией (ЛЧМ), при выполнении условия

где ^ — длительность анализируемого сигнала, г - длительность ЛЧМ, 2Д/ -величина девиации частоты ЛЧМ импульса. Также при этом необходимо использование фазового детектора. Затем удалось исключить неравенство (33) путем введения предварительной операции гетеродинирования анализируемого сигнала. Эта операция заключается в умножении анализируемого сигнала на гетеродинный импульс с ЛЧМ, коэффициент девиации которого равен коэффициенту девиации третьего управляющего импульса с ЛЧМ [12]. Необходимо отметить, что условие (33) ограничивает возможность анализа

(33)

спектров сложных фазоманипулированных сигналов, длительность которых сравнима или превышает

Целесообразно установить возможность получения в спиновых эхо-процессорах спектров сигналов в реальном масштабе времени по трехимпульсной методике без применения дополнительных устройств.

Показано, что в этом случае спектр третьего сигнала должен удовлетворять интегральному уравнению Фредгольма 1 -го рода

где S2(o)) —спектральная функция второго импульса; S3(co) — спектральная функция третьего импульса; А о, АъВ,ц,а = const, а имеет размерность [с"2].

Решение этого уравнения с помощью обратного преобразования Фурье дает для спектра третьего сигнала

где а = г) I {1кВА^Ах) имеет размерность [с"1], /(г) — второй сигнал.

Из (35) видно, что для спектрального анализа сигнала в реальном времени управляющий сигнал должен определенным образом зависеть от свойств исследуемого сигнала.

Интересен вопрос, каким должен быть спектр исследуемого сигнала, чтобы при использовании в качестве управляющего импульса сигнала ЛЧМ на выходе СЭГ1 получался этот спектр в реальном масштабе времени.

Выяснено, что спектр исследуемого сигнала должен удовлетворять однородному уравнению Фредгольма 2-го рода

(34)

(35)

| K(x,s)z(s)ds = Az(x),

(36)

О

которое имеет счетное множество линейно независимых решений.

Например, для ЛЧМ с параметрами «0 = 4,52 -108 с~', г = 6,4-10 5 с, Л/ = 106 Гц на рис. 5 показаны модуль и фаза одного из решений.

а " Ь

Рис. 5. Модуль (а) и фаза (Ь) исследуемого сигнала.

В четвертой главе диссертации рассмотрены особенности ядерного квадрупольного резонанса (ЯКР) при двухчастотном возбуждении по сравнению с одночастотным.

Ядерный квадрупольный резонанс — область радиоспектроскопии, методы которой применяются для изучения внутренних движений в кристаллах, природы химической связи, комплексных соединений, дефектов в твердых телах. В экспериментах по ЯКР получаются сведения о константах квадрупольного взаимодействия, параметрах асимметрии и величинах химического сдвига.

При математическом моделировании явлений ЯКР необходимо решать уравнение Шрёдингера, решение которого также удобно представить с помощью мультипликативного интеграла.

В последнее время большое распространение приобрело импульсное возбуждение ЯКР, что связано не только с возможностью исследования неравновесных состояний спин-систем (релаксационные процессы), но и главным образом с более широкими возможностями изучения внутренних электрических и магнитных локальных полей в кристаллах. Импульсные методы ЯКР позволяют наблюдать сигналы в неупорядоченных кристаллах, что существенно расширяет возможности метода.

При исследовании ЯКР, так же как в случае спиновых систем, были обнаружены явления эха.

При импульсном возбуждении образец подвергается воздействию радиочастотных импульсов (импульсы с высокочастотным заполнением). Сигналы ЯКР при этом наблюдаются после импульсов. В случае полуцелых спинов можно осуществить двухчастотное возбуждение квадрупольного спинового эха, когда радиочастотные импульсы одновременно возбуждают переходы ±1/2—>±3/2 и ±3/2->±5/2 (для При этом возмущении

возникает каскадная перекачка спинов с самого нижнего уровня на верхний через промежуточное состояние |±3/2). В работе [13] были предприняты попытки рассчитать сигналы эха для сигналов конкретной формы, а впоследствии авторы занимались исследованием конкретных веществ. В данной работе рассматривается воздействие импульсов совершенно произвольной формы.

Ю23

Ю12

А.

.А_й.

Рис. 6. Схема возникновения эха при двухчастотном импульсном возбуждении.

Получены выражения для сигнала эха при одночастотном и при двухчастотном возбуждении. Установлено, что при двухчастотном воздействии достигается усиление эхо-сигнала по сравнению с одночастотным

лг = 201ое(^)-з,7ад. (38)

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные результаты диссертационной работы состоят в следующем: 1. Проведено исследование явлений спинового и светового эха с помощью метода мультипликативного интегрирования. Показано, что учет релаксации в этих явлениях влияет как на величину, так и на форму эхо-сигнала. Если длительность эхо-сигнала мала по сравнению с временами релаксации, то асимметрия формы эхо-сигнала явно не выражена. Если

длительность эхо-сигнала сравнима по величине с временами релаксации, то асимметрия напротив — сильно выражена.

2. Исследована зависимость выходного отношения сигнал-шум от входного отношения сигнал-шум при корреляционной обработке сигнала с шумовой составляющей. Показано, что при увеличении мощности шума зависимость в логарифмическом масштабе из линейной переходит в нелинейную.

3. Исследована зависимость амплитуды эхо-сигнала от площади радиочастотного импульса при двухимпульсном возбуждении спинового эха в ферромагнитном поликристалле. Показано, что зависимость имеет максимум при определенном значении площади радиочастотного импульса.

4. Найдено условие для получения в спиновых эхо-процессорах спектров сигналов в реальном масштабе времени по трехимпульсной методике без применения дополнительных устройств: либо спектр управляющего импульса должен зависеть определенным образом от характеристик исследуемого, либо при определенном управляющем импульсе в виде ЛЧМ исследуемый импульс должен принадлежать соответствующему счетному набору сигналов.

5. Аналитически показана возможность усиления эхо-сигнала ядерного квадрупольного резонанса при использовании двухчастотного импульсного возбуждения вместо одночастотного.

6. Разработан метод нахождения всех структур функционально-нильпотентных матриц третьего и четвертого порядков, определено полное количество структур матриц третьего порядка, показано прямыми методами, что ранг функционально-нильпотентной матрицы и-го порядка не может превосходить целой части от (и/2). Также разработан общий метод нахождения некоторых структур функционально-нильпотентных матриц, порядок которых выше четвертого.

СПИСОК ОСНОВНЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Работы, опубликованные в рецензируемых научных журналах, рекомендованных ВАК.

1. Ковалевский М.М., Соколов О.В. Влияние релаксационных процессов на величину и форму эхо-сигнала // Журнал технической физики. - 2009. -Т. 79.№4.-С. 14-18.

2. Ковалевский М.М., Соколов О.В. О возможности анализа спектров сигналов в спиновых эхо-процессорах в реальном масштабе времени // Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов. - 2011. - № 2. -С. 94-98.

3. Ковалевский М.М., Соколов О.В. Об анализе спектров сигналов в спиновых эхо-процессорах в реальном времени // Вестник НовГУ. -2012.-№68.-С. 37-40.

4. Соколов О.В. Исследование спинового, светового и ядерного квадрупольного эха при помощи мультипликативного интеграла// Современные проблемы науки и образования.- 2014.- № 3. [Электронный ресурс], URL: www.science-education.ru/117-13069 (дата обращения: 14.05.2014).

5. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2012611118 Расчет эхо-сигналов при ядерном квадрупольном резонансе от 26 января 2012 г.

Публикации в других изданиях.

1. Ковалевский М.М., Соколов О.В. Приложения теории мультипликативного интеграла к анализу явления ядерного квадрупольного резонанса// Материалы конференции Математика в ВУЗе. -Великий Новгород. - 2005. - С. 114-115.

2. Соколов О.В. Мультипликативный интеграл в теории магнитного резонанса // Материалы 4-го Международного семинара Физико-математическое моделирование систем. Часть 1.- Воронеж. - 2007.-С. 111-116.

3. Ковалевский М.М., Соколов O.B. Мультипликативный интеграл в теории импульсной спектроскопии // Материалы 11 -й Международной конференции Физика диэлектриков (Диэлектрики-2008). - Санкт-Петербург, 3-7 июня 2008 г. - Том 1. - С. 222-224.

4. Ковалевский М.М., Соколов О.В. Структура функционально-нильпотентных матриц // Материалы конференции Математика в ВУЗе. - Санкт-Петербург. - 2008. - С. 102.

5. Ковалевский М.М., Соколов О.В. О возможности анализа спектров сигналов в спиновых эхо-процессорах в реальном масштабе времени // Сборник научных трудов по материалам международной научно-практической конференции «Современные проблемы и пути их решения в науке, транспорте, производстве и образовании 2009». -Том 22, Физика и математика, География. - Одесса. - 2009. - С. 41-44.

6. Ковалевский М.М., Соколов О.В. Приложения теории мультипликативного интеграла к анализу явления ядерного квадрупольного резонанса// Ученые записки НовГУ. - 27.12.2005. [Электронный ресурс], URL: http://www.admin.novsu.ac.ru/uni/scpapers.nsf/319f85f85d57590bc325674 4002dc9dd/39bd3bl67a2e80f0c32570e400401bf5!QpenDocument (дата обращения 16.04.2014).

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Стеценко П.Н, Антипов С.Д., Горюнов Г.Е., Смирницкая Г.В., Суриков В.В., Колумбаев A.JI. Локальные магнитные состояния и сверхтонкие взаимодействия в магнитных сверхрешетках и спин-туннельных переходах // УФН. - 2002. - т. 172, № 11. - С. 1299-1303.

2. Ковалевская Н.М. Вычисление мультипликативного интеграла итерационным методом // Материалы межд. научно-практ. конф. «Математическое моделирование в образовании, науке и производстве», Тирасполь - 2001. - С. 78-80.

3. Евсеев И.В., Рубцова H.H., СамарцевВ.В. Когерентные переходные процессы в оптике. -М.: Физматлит. - 2009. - 536 с.

4. Леше А. Ядерная индукция. - М.: ИЛ. - 1963. - 680 с.

5. Васильев A.A., Евстигнеев Ю.Ф., Ковалевский М.М. Влияние релаксационных процессов на работу спиновых эхо-процессоров // Техника средств связи, серия Техника радиосвязи. - 1982. — вып. 2. -С. 103-107.

6. Петров М.П., Туров Е.А. Ядерный магнитный резонанс в ферро- и антиферромагнетиках. - М.: Наука. - 1969. - 260 с.

7. Баруздин С.А. Амплитудные характеристики возбуждения стимулированного фотонного эха шумовыми и когерентными импульсами// Квантовая электроника. - 2001.- Т. 31. № 8.- С. 719722.

8. Рассветалов Л.А. Амплитудные характеристики эхо-процессора при стохастическом возбуждении // Вестник Новгородского Государственного Университета. -2004. - № 26. - С. 81-84.

9. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. - М.: Наука. - 1967. - 576 с.

Ю.Ильин Э.В., Ковалевский М.М. // Известия РАН. Сер. физическая.-

2002. - Т. 66. № 3. - С. 361-364.

П.ИвановЮ.В. О возможности анализа спектров сигналов в спиновых устройствах в реальном масштабе времени // Радиотехника и электроника. - 1977 - Т. 22. № 5 - С. 1008-1013.

12.Соколов С.Л., Иванов Ю.В. Гетеродинный способ анализа спектров при помощи эффекта спинового эхо // Радиотехника и электроника -1979 - Т. 24. № 1 - С. 99-104.

13.Гречишкин B.C., Синявский Н.Я., Новые физические технологии: обнаружение взрывчатых и наркотических веществ методом ядерного квадрупольного резонанса // УФН. - 1997. - Т. 167. № 4. - С. 413-427.

Подписано в печать 26.09.2014. Бумага офсетная. Формат 60x84 1/16. Гарнитура Times New Roman. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,5. Уч.-изд. л. 1,7. Тираж 100 экз. Заказ № 3 Издательско-полиграфический центр Новгородского государственного университета им. Ярослава Мудрого. 173003, Великий Новгород, ул. Б. Санкт-Петербургская, 41.

Отпечатано в ИПЦ НовГУ. 173003, Великий Новгород, ул. Б. Санкт-Петербургская, 41.