Стохастические резонанс и индуцированная шумом сверхчувствительность к слабым сигналам в нелинейных стохастических системах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

ПЕТЕРБУРГСКИЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ

им. Б.П.Константинова р ™ ^ ()Д

и - Ь МАЙ 2303

На правах рукописи

УДК 517.925, 519.27

Пустовойт Марк Алексеевич

СТОХАСТИЧЕСКИЙ РЕЗОНАНС И ИНДУЦИРОВАННАЯ ШУМОМ СВЕРХЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ К СЛАБЫМ СИГНАЛАМ В НЕЛИНЕЙНЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

01.04.07 - физика твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ГАТЧИНА-2000

Работа выполнена в Петербургском институте ядерной физики им.Б.П.Константинова РАН.

Научные руководители:

доктор физ.-мат. наук, старший научный сотрудник

Гинзбург Саул Лейбович,

кандидат физ.-мат. наук Безруков Сергей Михайлович,

Официальные оппоненты:

доктор физ.-мат наук, профессор Малеев Сергей Владимирович;

кандидат физ.-мат. наук Зицерман Владимир Юрьевич,

Ведущая организация: Институт прикладной физики РАН..

Защита диссертации состоится " " 2000 г. в "

часов на заседании диссертационного совета Д-002.71.101 при Петербургском институте ядерной физики им.Б.П.Константинова РАН.

Адрес: 188350, Ленинградская область, г.Гатчина, Орлова Роща.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Петербургского института ядерной физики им.Б.П.Константинова РАН.

Автореферат разослан" »¿¿«^¿-/с 2000 г.

Ученый секретарь II I

диссертационного совета Ч^ ИАМитропольский

Я 93% с , О

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Как известно, до последнего времени было принято считать, что шумовые процессы в системах передачи сигналов (включая биологические) играют чисто деструктивную роль, ограничивая предел их чувствительности уровнем флуктуаций системы (обычно тепловых). Поэтому основной задачей при создании детекторов слабых сигналов становилось создание усилителей с возможно меньшим уровнем собственного шума, а также минимизация внешних помех. Тем не менее,оставалось неясным, как в сенсорных системах живых организмов достигается высокая чувствительность к полезным сигналам в условиях принципиально неустранимых сильных внешних и собственных шумов (помех).

В 80-х годах было открыто явление стохастического резонанса (СР). Оказалось, что шум оптимальной ненулевой интенсивности, добавленный к полезному сигналу, способен улучшать его прохождение через нелинейную систему. СР обнаружен в ряде динамических нелинейных систем, а также в простой нединамической системе - пороговом детекторе. Расширение класса систем, демонстрирующих СР, является на сегодня одной из приоритетных задач в изучении последнего.

С другой стороны, давно предпринимались попытки создать универсальную модель, описывающую нерегулярные катастрофические события в природе - климатические изменения, землетрясения, финансовые кризисы и т.д. Обнаружение явления оп-оАР-перемежаемости - одна из удачных таких попыток. Для систем с оп-ой"-перемежаемостью характерны долгие периоды спокойного поведения, когда динамическая пе-

ременная близка к нулю, прерываемые короткими случайными всплесками большой амплитуды. Обнаруженная нами в таких системах сверхчувствительность к слабым сигналам является ещё одним ярким примером конструктивной роли шума в природе.

Цель работы

Изучение методом численного моделирования индуцированных шумом явлений в нелинейных стохастических системах - 1) беспорогового стохастического резонанса в импульсном процессе с зависящей от внешнего воздействия скоростью генерации событий, и 2) сверхчувствительности к слабым сигналам в динамических системах с оп^Р-переме-жаемостью. Проверка теоретических зависимостей и получение результатов в области параметров, не описываемой теорией.

Научная новизна.

Приведённые в диссертации результаты имеют принципиальное значение для понимания конструктивной роли шума в природе. Среди впервые полученных результатов можно отметить следующие:

• Показано, что стохастический резонанс в системе модельных потенциалозависимых ионных каналов в клеточной мембране хорошо описывается простой теорией нединамического СР для пуассоновского процесса с модулируемой внешним воздействием скоростью генерации.

• Обнаружена сверхчувствительность к слабым сигналам в простых системах с оп-оГ£-перемежаемостью - передемпфированном крамерсовском осцилляторе с мультипликативным шумом, системе двух идентичных отображений с общим шумом и системе из двух модельных нейронов с общим синаптическим

шумом. Показано, что явление индуцируется сильным как белым, так и цветным шумом. Существуют диапазоны как интенсивности, так и времени корреляции шума, в которых коэффициент усиления сигнала (достигающий многих порядков величины) максимален.

• При амплитуде внешнего сигнала ниже «физического порога» системы (например, одна молекула за элементарный акт) аддитивный (собственный) шум системы индуцирует явление гигантского стохастического резонанса: при оптимально подобранной амплитуде шума система усиливает подпороговый сигнал на много порядков величины.

Научная и практическая ценность.

• Показано, что теория нединамического беспорогового СР работает и за границами своей применимости. Существенно расширен класс систем, способных демонстрировать СР, - показано, что оно существует для любого импульсного процесса с нелинейно зависящей от внешнего воздействия кинетикой.

• Обнаружение явления индуцированной шумом сверхчувствительности к слабым сигналам может дать толчок к созданию на его основе принципиально новых детекторов слабых сигналов, а также способствовать пониманию механизмов чувствительности живых систем к слабым внешним сигналам в шумящей среде.

Основные положения, выносимые на защиту.

• Моделирование СР в импульсном процессе с экспоненциально зависящей от внешнего воздействия скоростью генерации событий, моделирующем ионный канал в липидной мембране.

• Обнаружение явления сверхчувствительности к слабым переменным сигналам в ряде модельных динамических систем: передемпфированном крамерсовском осцилляторе с мультипликативным белым и цветным шумом, системе двух отображений с общим белым шумом, системе из двух модельных нейронов, связанных общим синаптическим цветным шумом.

• Обнаружение резонансных свойств сверхчувствительности: наличия диапазонов оптимальной амплитуды и времени корреляции шума, в которых коэффициент усиления максимален.

• Обнаружение явления гигантского стохастического резонанса по аддитивному белому шуму в сверхчувствительной системе с сигналом ниже «физического порога».

Апробация работы.

Основные результаты диссертационной работы докладывались на 14 Международной конференции по шумам в физических системах (Левей, Бельгия, 1997),

Ежегодном совещании Американского биофизического общества (1997), на Санкт-Петербургской ассамблее молодых учёных и специалистов (1998), на Зимней школе ПИЯФ 1998 г., а также на семинарах ОТФ ПИЯФ.

Публикации.

Результаты работы опубликованы в ведущих научных журналах и материалах международных конференций (всего 8 публикаций).

Структура работы.

Диссертация состоит из пяти глав (первая - вводная) и заключения. Общий объём диссертации составляют 116 страниц, включая 41 рисунок и список литературы из 176 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Глава 1. Введение в проблему.

Переоценка роли шума в природе, начавшаяся более двух десятилетий назад, еще далека от завершения. Основным ее результатом на сегодняшний день можно считать укрепившееся среди исследователей в различных областях науки понимание того, что флуктуации и шумы очень часто способны играть в реальных системах конструктивную роль, способствуя установлению в них более упорядоченного, по сравнению с нешумя-щим, состояния. Кроме спонтанной активности в нелинейных динамических системах, шум может положительно влиять и на восприятие ими сигналов извне. Поскольку реальные полезные сигналы всегда существуют на фоне того или иного уровня шума, возможные механизмы утилизации стохастической природы сигналов представляют большой практический интерес.

Наиболее широко известным и активно изучаемым эффектом, приводящим к улучшению восприятия и передачи сигнала нелинейной стохастической системой, является стохастический резонанс (СР), когда интегральные характеристики выходного сигнала системы под влиянием добав-

ленного к входному сигналу шума оптимально выбранной интенсивности улучшаются. CP был обнаружен во множестве реальных и модельных систем. Существует ряд моделей CP, применимых к различным классам динамических систем: бистабильным, моностабильным, возбудимым, а также простой нединамической системе - пороговому детектору. До появления теории беспорогового нединамического CP Безрукова и Водяного пороговый детектор считался простейшим стохастическим резонатором. Однако оказалось, что CP может существовать и в нединамической системе без порога отклика - импульсном процессе с нелинейной кинетикой генерации (процессы такого типа широко распространены в природе и технике).

Ещё одно важное явление, изучение которого даёт возможность глубже понять влияние шума на нелинейные системы - это явление on-off-перемежаемости. Процессы "взрывного" характера, когда после достаточно долгих спокойных периодов в системе происходит короткий и резкий скачок активности (землетрясения, финансовые кризисы, некоторые виды автокалитических реакций, эпидемии, ураганы...), широко распространены в природе, а понимание их механизмов далеко от совершенства.

Термином «перемежаемость» обозначается поведение системы, когда один тип активности (называемый ламинарным) нерегулярно во времени чередуется (перемежается) с другим (всплесковым, burst). Для on-off перемежаемости в ламинарной фазе активность практически отсутствует, значение переменной состояния близко к нулю, при этом амплитуда непродолжительного всплеска может быть очень большой, порядка размеров системы. Кроме того, это единственный тип перемежаемости, возникающий под влиянием не только детерминированного, но и чисто стохастиче-

ского (шумового) воздействия на систему - все остальные типы существуют лишь в детерминированных динамических системах. Механизм оп-оГГ- перемежаемости состоит в нерегулярных изменениях бифуркационного параметра, когда система случайным образом переводится через точку бифуркации, в одном направлении генерируя быстро нарастающий всплеск, а в другом - быстрое его гашение.

Самым важным характерным свойством оп-оГГ- перемежаемости, ответственным как за большую величину выбросов, так и за чувствительность к слабому воздействию, является степенной характер плотности распределения амплитуды выбросов: F(x) ~ , где а - малая величина. В многочисленных работах, посвящённых оп-о£Г-перемежаемости, влияние внешнего воздействия (кроме аддитивного шума) практически не изучалось.

Глава 2. Беспороговый СР в нединамической стохастической системе.

Рассмотрим систему, выходной сигнал которой представляет собой случайную последовательность одинаковых (прямоугольных) импульсов, причем вероятность генерации импульса экспоненциально зависит от значения сигнала на входе системы. При таком описании скорость генерации импульсов (их число в единицу времени) равна г(У(/)) = г(0)ехр(Г(*)), где У(1) - входной сигнал в безразмерных единицах напряжения, а г(0) - равновесная (в отсутствие сигнала) скорость генерации. На Рис.1 изображен сигнал на выходе такой системы для нулевого входного сигнала (слева) и меняющегося во времени (справа). Сигнал У(0 представляет собой сумму гауссова шума

с нулевым средним и конечным временем корреляции и слабого низкочастотного синусоидального сигнала.

т и

ко 1 . III11

Рисунок 1. Реализация импульсного процесса с экспоненциальной кинетикой генерации при наличии и в отсутствие входного сигнала.

Спектральная плотность такого процесса при/<</с(/с — характерная частота шума) имеет вид:

(е^ схрИе

2 /с п=1 п\п

Здесь 0 - площадь импульса, а - интенсивность шума, /я и Уц - частота и амплитуда синусоидального сигнала. Мощность периодической составляющей на выходе экспоненциально растет с ростом квадрата амплитуды входного шума. Кроме этого, она конечна для любых ненулевых амплитуд сигнала, что означает отсутствие порога отклика системы. Отношение сигнал-шум, пегко определяемое из спектральной

плотности выходного сигнала, зависит как от интенсивности а входного шума, так и от отношения равновесной скорости генерации г(0) к

юооо

э О

О

о

1

2

3

О

1

2

3

Noise intensity

Noise intensity

Рисунок 2. Зависимость выходного сигнала и отношения сигнал-шум от амплитуды шума. Сплошные линии -теоретические зависимости.

характерной частоте шума/с.

Численное моделирование проводилось для процесса, в котором длительность импульсов, в отличие от теории, не является постоянной (что соответствует случаю реального ионного канала в биомембране). На Рис.2 показаны результаты численных расчетов значений выходного сигнала и БЫII как функций амплитуды шума. Видно хорошее согласие расчёта и теории.

Глава 3. Сверхчувствительность к слабым переменным сигналам в передемпфированном крамерсовском осцилляторе с мультипликативным шумом.

Простейшей системой, демонстрирующей оп-с^-перемежаемость, является осциллятор вида:

— = Ях + - их3 +

Л

= О, Л(/ + Г) = Л( 0 =

т

1, 0 < / < — 2

Т

-1, -<1<Т. 2

Здесь Р - интенсивность белого шума, А - амплитуда прямоугольного сигнала с периодом Т. Решая соответствующее уравнение Фоккера-Планка в адиабатическом приближении, когда период сигнала намного превышает характерное время установления плотности распределения х, можно получить характерный для оп-ой"- перемежаемости скейлинговый вид этой

функции, где а = 2Л//?2 . Плотность распределения отлична от нуля только для тех х, знак которых совпадает со знаком сигнала При малых а можно вычислить коэффициент усиления через первый момент распределения:

1=Ш_= ПГ /з

- АЩ) и и АЫГ А

Например, при /3 = 0.7, и = 1, А = 10'" получим I = 2.5-109. Такое гигантское усиление сигнала и означает сверхчувствительность. При

моделировании коэффициент усиления вычислялся другим стандартным образом - через спектральную плотность выходного сигнала. На Рис.3 приведены реализации и спектр выходного сигнала для различных амплитуд управляющего шума. Как видно, усиление сверхслабого (А = 10' ") сигнала достигает 9 порядков величины. Когда вместо белого шума был использован реальный цветной шум (телеграфный и гауссов), явление сверхчувствительности также наблюдалось. Однако, поскольку «индекс сверхчувствительности» а зависит в этом случае как от амплитуды, так и от времени корреляции шума, коэффициент усиления демонстрирует резонансное поведение по обоим эти параметрам (Рис.4). Такое поведение напоминает обычный стохастический резонанс, с той разницей, что в наших системах сигнал является аддитивным, а шум - параметрическим.

а)

2

1

0

х -1

-2

0.04

0.00

-0.04

1 1.. , 1 1 I и. .1 1 1

V Л|1 II ' |Г Г

1 ■ 1 ■ 1 1.1.1

а 10000 Ь) 20000 30000 1

2

1

0

х -1

-2

0.04

А 0.00

-0.04

-0.08

с)

1Г

Ь Л-.. I 1 ........ЛЫ.______ I II 1.1 ц

1|1|] 1Г1Г ТГр [гр^

кл

юооо

20000

30000

Рисунок 3. а)Реализация выходного сигнала х и среднего <х(0> по ансамблю из 4100 реализаций с одинаковой фазой входного сигнала при Р = 1, X = -0.01; Ь) Спектр мощности сигнала а), полученный усреднением по 200 реализациям со случайной фазой; с) То же, что и а), но при X = 0.03. Амплитуда сигнала А = 10"11, период Т=8192.

70 60 50 40 30 20 10 0 -10

10' 105

ю3 10

м

30 25 20

15 10 5 0

10П V

10' ю5 !03 101

0

Ь 02

»3

04

А 4 у * *й а

Ж .......' .......' .......' ........

я 0

V сР

0

0

0

■ • ■"1 . щ|||< 11

„-2

О

10 10 10 10 10

Рисунок 4. а) Зависимость коэффициента усиления сигнала и отношения сигнал-шум от обратного времени корреляции цветного шума. Символы соответствуют: 1 - телеграфному шуму, А, = -0.05; 2 - гауссову шуму, X = -0.05; 3 - телеграфному, к = 0.02; 4 - гауссову, А, = 0.02. б) Зависимость коэффициента усиления от амплитуды шума (1 белый шум).

Глава 4. Сверхчувствительность к слабому внешнему сигналу двух

нелинейных систем с общим шумом.

Оп-оГГ перемежаемость, кроме систем с мультипликативным шумом, существует ещё в одном обширном классе систем - идентичных ос-

2Н 1

хГ о J- -i

2

> О

Рисунок 5. Фрагмент записи потенциалов двух нейронов хь х2, их разности ф(0 и последовательности импульсов детектора v(t) (на нижнем графике - в сравнении с входным сигналом AR(t)). Амплитуда сигнала А=10"6, амплитуда шума 0=1.2, его частота у = 10"4.

цилляторов с общим шумом вблизи порога синхронизации.. Для наших исследований мы использовали две аналогичные системы: дискретную, из двух простых нелинейных отображений, и континуальную, из двух модельных нейронов Хиндмарша-Розе. Аналитическое рассмотрение, по-

добное проделанному в главе 3, предсказывает существование сверхчувст-

нова в системе с шумом. Периодический прямоугольный сигнал здесь, в отличие от предыдущей главы, несимметричен (то есть принимает значения 0 и 1). Это связано с тем, что система нечувствительна к знаку сигнала, реагируя только на его наличие либо отсутствие. Для системы из двух сквидоподобных отображений численное моделирование демонстрирует в адиабатическом случае хорошее согласие с теорией - наблюдается гигантское усиление сверхслабого сигнала, достигающее максимума в оптимальном диапазоне амплитуды шума.

Для более сложной системы из двух модельных нейронов, которая описывается шестью дифференциальными уравнениями первого порядка с источником общего гауссова цветного (синаптического) шума, при моделировании обнаружено, что в области параметров вблизи перехода к хаосу разность мембранных потенциалов нейронов (детектируемая третьим «нейроном» - простым пороговым детектором с длительностью импульса, как у реального нейрона - см. Рис.5) демонстрирует сверхчувствительность к слабому разностному (подаваемому лишь на один из двух нейронов) сигналу. При сопоставлении выходного сигнала системы с экспериментальными данными для реальных нейронов оказывается, что амплитуда слабого сигнала, способного эффективно десинхронизовать нейроны, составляет величину порядка нановольт, при этом его усиление составляет 5 порядков величины. Усиление максимально в диапазоне интенсивностей шума порядка 20 мВ, что близко к амплитуде реальных постсинаптических потенциалов. Существенно также то, что время корреляции шума должно быть

вительности

сти при малых значениях параметра

где А,(0 - «мгновенный» показатель Ляпу-

а =

достаточно велико, чтобы вызвать чувствительность к сигналу, то есть белый шум для этой цели не подходит.

Глава 5. Гигантский СР в системе с сигналом ниже «физического порога».

Как правило, естественнонаучные задачи формулируются на языке дифференциальных уравнений или отображений, то есть на языке континуальной математики, в которой два числа считаются равными, если все десятичные знаки их равны. Однако, в любом физическом процессе участвует большое, но конечное число частиц п0 = 10м, где, например, N = 24, если п0 - число Авогадро,Тогда использовать при расчетах, например, плотности числа частиц х точность, большую, чем 1/по, бессмысленно, так как число частиц п = хпо надо брать округленным до единицы. Математику, учитывающую это округление, будем называть, в соответствии с идеями Клейна и Борна, физической математикой. В ней два числа, в которых N знаков совпадают, являются равными. Казалось бы, такое округление никогда не может дать существенного эффекта, поскольку обычные термодинамические флуктуации числа частиц Дп ~ По"2 ~ 10№2 » 1, то есть дискретность задачи в таких условиях не проявляется. Чтобы эффекты дискретности стали существенны, в системе должны происходить такие флуктуации, при которых п принимает значения как порядка по, так и порядка 1. Поэтому в системах с оп-с^-перемежаемостью континуальная и дискретная математики дают совершенно различные результаты. Если переписать уравнение осциллятора из главы 3 с аддитивным шумом в физической математике, получится система, в которой поглощающее состояние с сигналом

ниже «физического порога» А0 = (2л0Д/)-1 при наличии аддитивного шума перестает быть поглощающим, приводя к гигантскому усилению подпо-рогового сигнала (Рис.6).

2 1

-2

0.03

Л 0.00 х V

-0.03

0 20000 40000 60000 ЗОО

I

Рисунок 6. Реализация выходного сигнала х(0 и среднего по ансамблю из 4100 реализаций с одинаковой фазой входного сигнала <х(0> для р = 1.0, А. = 0.01, А = 3-10"16, щМ = Ю15, <т = 5-10-18, Т = 8192.

Выводы.

• При моделировании потенциалозависимого мембранного ионного канала показано, что в системе существует беспороговый стохастический резонанс, хорошо описываемый простой теорией СР для импульсного процесса с экспоненциально зависящей от внешнего воздействия скоростью генерации событий.

• Обнаружен новый яркий пример конструктивной роли шума в природе - явление индуцированной шумом сверхчувствительности к слабым переменным сигналам. Существование сверхчувствительности продемонстрировано в ряде модельных динамических систем с

-1I'|'|'1'|■1■|'

,._' д.- 1- " __ь Ц 1

яр' |,1|"| 'П|, ррт"' и ■ | —»П

1--г

ШШШ

on-off- перемежаемостью: передемпфированном крамерсовском осцилляторе с мультипликативным белым и цветным шумом, системе двух отображений с общим белым шумом, системе из двух модельных нейронов, связанных общим синаптическим цветным шумом.

• При исследовании сверхчувствительности обнаружены важные свойства, аналогичные обычному стохастическому резонансу - наличие диапазонов оптимальной амплитуды и времени корреляции шума, в которых коэффициент усиления максимален.

• В сверхчувствительной системе с сигналом ниже «физического порога» обнаружено новое явление гигантского стохастического резонанса по аддитивному белому шуму.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

S S.M.Bezrukov, I.Vodyanoy, M.A.Pustovoit. "Noise-facilitated signal transduction in threshold-free non-dynamical systems: theory and experiment", Proc.ofthe 14th Int.Conf. on Noise in Physical Systems and I/f Fluctuations, C.Claeys, E.Simoen, Eds., World Scientific, 1997, pp. 369-372.

S С.Л.Гинзбург, М.А.Пустовойт. "Индуцированная шумом сверхчувствительность к слабым переменным сигналам", Письма в ЖЭТФ, 67, 592-596 (1998).

S S.L.Ginzburg, M.A.Pustovoit. "Noise-induced hypersensitivity to small time-dependent signals", Phys.Rev.Lett., 80, 4840-4842 (1998).

S S.L.Ginzburg, M.A.Pustovoit. "Stochastic resonance, on-off intermittency and "physical mathematics", Europhys.Lett., 45, 540-544 (1999).

^ С.Л.Гинзбург, М.А.Пустовойт. "Сверхчувствительность нелинейной системы с мультипликативным цветным шумом к внешнему периодическому сигналу", ЖЭТФ, 116, 1484-1498 (1999).

Отпечатано в типографии ПИЯФ РАН 188350, Гатчина Ленинградской обл., Орлова роща Зак. 103, тир. 100, уч.-издл.1; 22.02.2000 г.