Спектральные характеристики инерционного преобразования шума и сигнала нелинейной системой

Кричигин, Алексей Владимирович

Спектральные характеристики инерционного преобразования шума и сигнала нелинейной системой тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

Кричигин, Алексей Владимирович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Нижний Новгород МЕСТО ЗАЩИТЫ

2010 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.03 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Спектральные характеристики инерционного преобразования шума и сигнала нелинейной системой»

Автореферат диссертации на тему "Спектральные характеристики инерционного преобразования шума и сигнала нелинейной системой"

0И4Ы

1654

На правах рукописи

КРИЧИГИН Алексей Владимирович

СПЕКТРАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ИНЕРЦИОННОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ШУМА И СИГНАЛА НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМОЙ

01.04.03 - Радиофизика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 8 О КТ 2010

Нижний Новгород - 2010

004611654

Работа выполнена в государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского»

Научный руководитель: К.ф.-м.н., доцент кафедры бионики и статистической радиофизики радиофизического факультета ННГУ Н.В.Агудов

Официальные оппоненты: Д.ф.-м.н., заведующий кафедрой теории колебаний и автоматического регулирования радиофизического факультета ННГУ В.Д.Шалфеев

Д.ф.-м.н., старший научный сотрудник ИФМ РАН АЛ.Панкратов

Ведущая организация: ФГУП ФНПЦ НИИИС им. Ю.Е.Седакова.

Защита состоится « 03 » ноября 2010 г. в 15°° часов на заседании диссертационного совета Д 212.166.07 при Нижегородском государственном университете им. Н.И. Лобачевского по адресу: Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23, корп. 1 , ауд. 420 .

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке Нижегородского государственного университета им. Н.ИЛобаческого.

Автореферат разослан « /У » 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, к.ф.-м.н., доцент В.В. Черепенников

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Одним из важнейших направлений современной радиофизики является исследование статистических характеристик случайных процессов в нелинейных инерционных системах. В этой области активно ведутся как теоретические, так и экспериментальные исследования. Актуальность подобных исследований обусловлена важностью большого числа приложений, возникающих в многочисленных разделах науки и техники.

Представление любой сложной системы зависит от правильного учета информационного обмена между ее компонентами. Практически во всех естественных и искусственных системах информация о сигнале смешивается с шумом. Традиционно считается, что воздействие шумов затрудняет обнаружение сигналов, так как с точки зрения классической радиотехники наличие флуктуаций в системе может только ухудшать ее характеристики. Широко известны проблемы, связанные с ограничением чувствительности усилителей и конечностью ширины спектральной линии генераторов, что обусловлено воздействием естественных и технических шумов. В силу дискретности строения материи флуктуационные явления присущи всем реальным системам и принципиально неустранимы.

Более того, задача о влиянии шумов на поведение реальных электронных систем с каждым годом становится все актуальнее. Например, плотность размещения транзисторов на кристаллах микросхем в полном соответствии с законом Мура удваивается каждые 24 месяца. Одновременно с увеличением числа транзисторов снижается их напряжение питания, становясь сравнимым с уровнем шума. Таким образом, шумы оказывают все большее влияние на работу микросхем.

когда динамически связываются два инвариантных состояния: периодический аттрактор и неустойчивое шумовое состояние. Изменение уровня шума может значительно изменять (в том числе минимизировать и максимизировать) выходные характеристики нелинейной системы, на вход которой поступает слабый сигнал. Шум может вызывать и оптимизировать временную регулярность динамической системы, невзирая на присутствие других внешних сил, так называемый когерентный резонанс.

Также при определенных параметрах шум может выступать в роли переносчика информации. Существенна роль флуктуации в процессах детектирования, кодирования, а также дальнейшей передачи информации по нейронным сетям. Известно, что при квантовании амплитуды аналогового сигнала неизбежны искажения и потеря информации о форме сигнала. Для уменьшения искажений и восстановления формы сигнала еще с 1950-х годов перед квантованием к аналоговому сигналу подмешивали шум малой величины. Данный технологический прием получил название «размывание» или подмешивание псевдослучайного шума.

Одним из наиболее ярких примеров, иллюстрирующих конструктивную роль шума в нелинейных системах, является стохастический резонанс. Стохастический резонанс - это кооперативный эффект в нелинейных системах, при котором энергия шума, распределенная по широкому спектру, перекачивается в выходную энергию на частоте входного сигнала. Эффект стохастического резонанса определяет группу явлений, в которых отклик нелинейной системы на слабый внешний периодический сигнал (обычно в бистабильной системе) может быть усилен аддитивным внешним шумом определенной оптимальной интенсивности. То есть стохастический резонанс предоставляет возможность усиливать за счет шума сигналы с амплитудой существенно меньшей его интенсивности. При этом интегральные характеристики на выходе системы имеют отчетливо выраженные максимумы при некотором оптимальном («резонансном») уровне шума.

За прошедшие 30 лет с момента открытия данного явления количество работ по проблеме стохастического резонанса достигло большого числа и продолжает с каждым годом увеличиваться весьма быстрыми темпами (в настоящее время более 4000 журнальных статей). По проблеме стохастического резонанса кроме международных конференций и рабочих совещаний изданы монографии, специальные выпуски научных журналов и опубликованы обзорные статьи. Состоялись международные форумы, целиком посвященные данному явлению в г. Сан-Диего (США, 1992 г.), в г.Эльба (Италия, 1994 г.), в г.Дрезден (Германия, 2004 г.), в г. Перуджа (Италия, 2008 г.). Неослабевающий интерес объясняется существенным расширением области приложения эффекта, а также одновременным возникновением множества разновидностей явления, таких как двойной стохастический резонанс, когерентный стохастический резонанс, апериодический стохастический резонанс, адаптивный стохастический

резонанс, стохастический резонанс, возникающий при изменении размеров системы и др.

Характеристики стохастического резонанса как качественные, так и количественные во многом определяются свойствами конкретных нелинейных систем. К настоящему времени явление стохастического резонанса обнаружено и исследовано во многих бистабильных динамических системах: в лазерах, в электронных системах, в магнитных системах, в системах магнитных субмикронных частиц, в пассивных оптических бистабильных системах, в системах с электронным парамагнитным резонансом, в экспериментах с броуновскими частицами, в экспериментах с магнитно-упругой лентой, в туннельном диоде, в сверхпроводящих квантовых интерферометрах, в ферромагнетиках и сегнетоэлектриках в Джозефсоновских переходах, в связи и обработке сигналов, в теории информации и др.

Эффект стохастического резонанса наблюдается также в биологии, медицине, химии, социологии. В частности, это явление было обнаружено в моделях одиночных нейронов и нейронных сетях. Кроме этого стохастический резонанс наблюдается в человеческом восприятии и случайно-связанных потенциалах мозга.

Происхождение стохастического резонанса во всех этих, на первый взгляд, совершенно различных системах основано на том факте, что периодическая сила модулирует вероятности флуктуационных переходов между сосуществующими устойчивыми состояниями. Другими словами, это является причиной сравнительно сильной модуляции координаты системы с амплитудой, пропорциональной расстоянию между устойчивыми состояниями. Следовательно, вероятность переходов резко увеличивается в зависимости от интенсивности шума.

По мнению некоторых исследователей, суть явления стохастического резонанса состоит в наличии двух характерных временных масштабов. Первый масштаб обусловлен случайными блужданиями частицы и характеризует средний период (частоту) переключений самой бистабильной системы. Ему отвечает среднее время (или частота) выхода из метастабильного состояния - время Крамерса т*. Второй определяется внешним периодом (частотой) периодического сигнала Г.

Если предположить, что параметры системы и сигнала фиксированы, то время Крамерса т* зависит лишь от интенсивности входного шума q. При малой интенсивности шума время перехода чрезвычайно велико и намного превышает период модуляции Т. При высоком уровне шума за время одного периода сигнала система с высокой степенью вероятности совершит многократные переключения. Изменяя интенсивность шума, можно обеспечить режим, когда среднее время переходов через барьер близко к периоду модуляции. Переключения системы будут происходить в среднем в фазе с внешней периодической силой. Таким образом, варьируя интенсивность шума, можно настроить стохастическую бистабильную

систему в режим максимального усиления сигнала модуляции и отношения сигнал-шум:

Т = 2Ч{дор1). (1)

Теоретические и экспериментальные исследования бистабильных систем подтверждают, что условие (1) выполняется приближенно.

С другой стороны, существует ряд работ, ставящих под сомнение выводы вышеописанной феноменологической теории равенства временных масштабов и вообще данного объяснения стохастического резонанса. Например, утверждается, что нахождение оптимального значения интенсивности шума из равенства среднего времени преодолении барьера в невозмущенном состоянии и периода внешнего воздействия не является верным, так как в этом случае характеристики системы, например, коэффициент усиления по мощности, должны достигать максимального значения не только при вариации интенсивности входного шума (то есть при изменении первого временного масштаба, определяющего локальную динамику), но и при изменении частоты входного воздействия (то есть при изменении второго временного масштаба, определяющего глобальную динамику). Вместе с тем, экспериментально установлено, что коэффициент усиления по мощности имеет монотонный характер, как функция частоты входного сигнала. Однако, несмотря на этот и подобные факты, в подавляющем большинстве работ по стохастическому резонансу соотношение (1) рассматривается, как основное условие, при котором это явление возникает.

При более детальном анализе явления стохастического резонанса приходится сталкиваться с рядом сложностей принципиального характера. Даже в простейшем варианте отсутствия внешнего гармонического сигнала, на сегодняшний день, не удается отыскать точные аналитические выражения для плотностей вероятности в общем случае, следовательно, не удается точно вычислить корреляционную функцию и спектральную плотность мощности. При добавлении в систему внешнего периодического сигнала появляются дополнительные сложности из-за возникающей неоднородности соответствующих случайных процессов во времени.

Сложности первой группы не связаны непосредственно с эффектом стохастического резонанса и подробно рассматривались в теории случайных процессов. Бурное развитие исследований в области стохастического резонанса выявило сложности второй группы и послужило причиной создания общей теории стохастических диффузионных процессов с периодически меняющимися во времени коэффициентами сноса и диффузии. Тем не менее, аналитические выражения для характеристик стохастического резонанса удается получить лишь при использовании некоторых аппроксимаций. В качестве основного метода можно назвать приближение малого входного сигнала, когда отклик на него можно считать линейным. Кроме этого используются приближения, накладывающие ограничения на частоту сигнала. Таким образом, наиболее широко применяемыми являются

две приближенные теории: теория двух состояний (адиабатическое приближение) и теория линейного отклика.

Цель работы

Целью настоящей работы является:

- разработка нового приближенного метода для получения основных статистических характеристик (функции корреляции, спектральной плотности мощности, коэффициента усиления, отношения сигнал-шум) на выходе нелинейной инерционной системы при произвольной интенсивности входного шума в рамках теории линейного отклика;

- проверка и подтверждение эффективности метода путем сопоставления с известными точными выражениями и результатами, полученными путем численного моделирования;

- использование предложенного метода для исследования моностабильных нелинейных систем, где потенциальный барьер принципиально отсутствует и другие методы анализа, известные на сегодняшний день, неприменимы или требуют громоздких вычислений.

Методика исследования

Для решения поставленной задачи разработан новый метод нахождения спектральной плотности мощности и функции корреляции сигнала на выходе возмущаемой шумом нелинейной инерционной системы, основанный на общих методах спектрального анализа и статистической радиофизики. Также использовались теория линейного отклика и элементы теории вероятностей, теоретической радиотехники, математическое и имитационное компьютерное моделирование с использованием специальных программ.

Достоверность результатов работы подтверждается их непротиворечивостью с известными в литературе: воспроизводимостью результатов при рассмотрении различных математических моделей, в отдельных случаях строгими доказательствами, а также согласованием полученных теоретических оценок с результатами численного моделирования.

Научная новизна

Предложен новый приближенный метод расчета спектральной плотности мощности и функции корреляции на выходе нелинейной инерционной динамической системы, возмущаемой белым гауссовским шумом.

Результаты, полученные с помощью нового метода, сравнивались с точными выражениями, полученными для ряда модельных нелинейных функций. Данные сравнения показали хорошее соответствие между точными и приближенными выражениями. В результате был сделан вывод о возможности использования предложенного метода для описания не только качественных, но, во многих случаях, и количественных характеристик поведения нелинейных систем.

К преимуществам данного метода кроме эффективности и простоты применения следует отнести возможность использования его для систем с произвольной высотой потенциального барьера и даже для исследования моностабильных систем.

При помощи нового метода впервые обнаружена возможность существования и проведено систематическое исследование явления стохастического резонанса в моностабильных инерционных нелинейных системах. Механизм данного стохастического резонанса коренным образом отличается от классического, наблюдаемого в бистабильных системах, так как наличие максимума зависимости отношения сигнал-шум не всегда сопровождается наличием максимума коэффициента усиления сигнала на выходе системы по мощности.

Впервые исследована система, для которой функция коэффициента усиления выходного сигнала от интенсивности входного шума имеет минимум, то есть наблюдается явление, обратное стохастическому резонансу, так называемый стохастический антирезонанс, который до этого предполагался лишь на основе качественного анализа.

Впервые показано, что существуют нелинейные моностабильные системы, для которых коэффициент усиления по мощности выходного сигнала, как функция интенсивности входного шума, может иметь несколько локальных максимумов и минимумов, то есть наблюдается явление стохастического мультирезонанса.

Научная и практическая значимость

Полученные в работе результаты имеют как теоретическую, так и практическую значимость. Они могут быть использованы при анализе статистических характеристик для широкого круга физических (а также биологических, химических и др.) нелинейных систем, поведение которых описывается на основе модели броуновской диффузии. В частности, предложенный в работе метод может быть применен при анализе явления стохастического резонанса, который обнаружен в огромном количестве самых разнообразных систем во многих областях науки и техники.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Функция корреляции и спектральная плотность мощности случайного процесса на выходе произвольной нелинейной инерционной системы с белым гауссовским шумом на входе могут быть вычислены с помощью нового приближенного метода. Для использования данного метода необходимо получить точные аналитические выражения для среднего значения, дисперсии и времени корреляции, которые могут быть вычислены из стационарного распределения. Предложенный метод обладает рядом преимуществ по сравнению с существующими на сегодняшний день.

основе нового метода, теории линейного отклика и флуктуационно-диссипационной теоремы.

3. В моностабильных нелинейных инерционных системах при преобразовании аддитивной смеси гармонического сигнала и белого гауссовского шума может существовать новый тип явления стохастического резонанса, свойства которого значительно отличаются от известных свойств стохастического резонанса в бистабильных системах.

4. Зависимость коэффициента усиления по мощности в моностабильной нелинейной системе от интенсивности входного шума может иметь как максимум, так и минимум. Кроме этого существуют нелинейные системы, для которых коэффициент усиления выходного сигнала по мощности, как функция интенсивности входного шума, имеет несколько локальных максимумов и минимумов.

5. Впервые обнаружено явление стохастического резонанса в инерционной (сверхвязкой) системе, где условие (1) не выполняется. Кроме того, впервые показано, что максимумы коэффициента усиления и отношения сигнал-шум могут наблюдаться не одновременно, а по отдельности при различных параметрах системы, и при этом ни один набор параметров не следует из условия (1).

Апробация результатов

Основные результаты диссертационной работы отражены в 13 научных публикациях, в том числе 6 статьях и 7 докладах на конференциях: на ежегодных научных конференциях по Радиофизике в ННГУ, на международных конференциях International Workshop «Critical Phenomena and Diffusion in Complex Systems» (Нижний Новгород, 2006) и «Stochastic Resonance 1998SR2008» (Перуджа, 2008).

Личный вклад автора

Диссертант принимал непосредственное участие как в постановке задачи, так и в расчетах, обсуждении и физической интерпретации результатов.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и библиографии. Общий объем диссертации составляет 106 страниц и 44 рисунка. Библиография содержит 165 ссылок на литературные источники.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении рассмотрена актуальность нелинейных систем в современной радиофизике и описана роль флуктуаций в них. В частности, показано, что наличие шума не всегда приводит к ухудшению характеристик системы, но может нести и конструктивную роль. В нелинейных системах при определенных условиях могут существовать явления, которые невозможно реализовать в отсутствии флуктуаций.

Подробно описано явление стохастического резонанса, как наиболее яркий пример, иллюстрирующий конструктивную роль шума в нелинейных системах. Приведена история открытия, физическая основа и области, в которых наблюдается данный эффект. Стохастический резонанс обнаружен на сегодняшний день не только в физике, но и во многих других областях науки, таких как: биология, медицина, химия, социология и т.д. Приведены основные сложности, которые возникают при изучении данного явления.

Приведено описание нелинейной инерционной системы, которая изучается в рамках данной работы, перечислены области применения рассматриваемой модели. Рассмотрены основные характеристики, используемые в работе для исследования входных и выходных процессов, а также свойств самой системы.

Также приведена постановка задачи, методика исследования, научная и практическая значимость, выносимые на защиту положения и описание общей структуры работы в целом.

Первая глава посвящена исследованию преобразования белого шума нелинейной инерционной динамической системой, которое может быть описано уравнением Ланжевена:

Л с/х

где ф) - белый Гауссовский шум с нулевым средним и интенсивностью 2д, Ф(дг) - некоторая постоянная во времени потенциальная функция, характеризующая систему, и - сигнал на выходе. Известно, что уравнению Ланжевена соответствует уравнение Фоккера-Планка для плотности вероятности Щх,():

дЩх,1) 81

а с!Ф(х) | в2 сЬс ск ? 8хг

Решив уравнение Фоккера-Планка, можно получить статистические характеристики выходного процесса.

Проанализированы некоторые применяемые на сегодняшний день точный и приближенный методы вычисления функции корреляции и спектральной плотности мощности процесса на выходе системы. Приближенный метод гауссовской аппроксимации позволяет достаточно просто без относительно сложных математических вычислений получить оценочные соотношения для характеристик системы. Однако, результаты, полученные с помощью данного метода, обладают низкой точностью, а в некоторых случаях и вовсе не могут быть применены для описания систем, например, бистабильных, где и возникает классический стохастический резонанс.

Метод решения уравнения Фоккера-Планка на основе преобразования Лапласа, напротив, позволяет точно описать поведение характеристик системы. К сожалению, получение точных аналитических выражений сопряжено с большими вычислительными сложностями и на сегодняшний

день реализуемо лишь для некоторых систем, например, описываемых кусочно-линейными потенциалами.

На основе общих закономерностей поведения спектров и известных точных выражений для среднего значения, дисперсии и времени корреляции предложен новый приближенный метод нахождения функции корреляции и спектральной плотности мощности процесса на выходе системы, возмущаемой белым гауссовским шумом. Основное преимущество данного метода заключается в том, что он позволяет получать более точные характеристики сигнала по сравнению с методом гауссовской аппроксимации и при этом требует намного меньше вычислительных затрат, чем точный метод преобразования Лапласа.

Проведено сравнение результатов, полученных с помощью нового метода, с известными в литературе точными выражениями: для линейной системы, для мягкой системы, для жесткой системы и для мягко-жесткой системы. В ходе данных сравнений, показавших хорошее соответствие между точными и приближенными выражениями, сделан вывод о возможности использования предложенного метода для качественного и количественного описания характеристик процессов в системах, для которых точное решение неизвестно.

Вторая глава посвящена исследованию преобразования аддитивной смеси гармонического сигнала и белого гауссовского шума нелинейной инерционной динамической системой:

В настоящее время известно несколько характеристик, которые рассматриваются (вычисляются аналитически, моделируются на компьютере или измеряются в физическом эксперименте) при анализе стохастического резонанса. В данной работе в качестве основных характеристик стохастического резонанса используются коэффициент усиления выходного сигнала по мощности г| и отношение сигнал-шум Я.

На основе теории линейного отклика, то есть в приближении малой амплитуды входного сигнала, спектральная плотность мощности выходного сигнала состоит из суммы шумовой платформы и дельта-функций на частоте входного сигнала. В данном приближении получено выражение для коэффициента усиления выходного сигнала по мощности и отношения сигнал-шум на выходе системы.

При помощи предложенного в предыдущей главе приближенного и известного точного методов исследованы зависимости выходных спектральных характеристик сигнала (коэффициент усиления выходного сигнала и отношение сигнал-шум) от интенсивности входного шума для систем, описываемых различными кусочно-линейными моностабильными потенциалами, а именно: мягким, жестким, мягко-жестким, жестко-мягким, мягко-мягким и жестко-жестким. Для этого впервые получены и проанализированы лаплас-образы точных решений уравнения Фоккера-

Планка для жестко-мягкого, мягко-мягкого и жестко-жестю потенциальных профилей.

Коэффициент усиления выходного сигнала как функция интенсивно« входного шума в системах ведет себя качественно различным образом. Г. рассмотрении наиболее простых систем эта зависимость монотонн возрастает в мягкой системе, убывает в жесткой системе. При переходе более сложным системам наблюдается наличие экстремума: максимум мягко-жесткой системе, минимум в жестко-мягкой системе. В друг рассматриваемых случаях в зависимости от параметров самих систем кро монотонного режима: возрастание в мягко-мягкой, убывание в жест] жесткой - существует режим, когда коэффициент усиления сигнала выходе системы имеет локальные экстремумы.

В литературе наличие максимума зависимости коэффициента усилен выходного сигнала по мощности от интенсивности входного шума получи название стохастического резонанса, а наличие минимума данн зависимости - стохастического антирезонанса. Таким образом, анал поведения усиления выходного сигнала по мощности показал возможное существования в моностабильных системах явления стохастическс резонанса и стохастического антирезонанса. Отметим, что последний эффе до этого лишь предполагался в литературе на основе качественного анализг демонстрируется впервые.

Исследование кусочно-линейных моностабильных систем позволя сделать вывод, что возможно существование нелинейных систем, д которых коэффициент усиления выходного сигнала по мощности к функция интенсивности входного шума может иметь несколько локальш максимумов и минимумов, то есть наблюдается явление стохастическо мультирезонанса.

Поведение отношения сигнал-шум на выходе моностабильной систе!» коренным образом зависит от вида нелинейности и параметров сам« системы. В мягкой, жесткой и мягко-жесткой системах отношение сигна шум монотонно убывает при увеличении интенсивности входного шума, а жестко-мягкой, мягко-мягкой и жестко-жесткой системах возможно налич] максимума функции отношения сигнал-шум.

Таким образом, впервые установлено, что на выходе моностабильнс системы, на вход которой поступает аддитивная смесь гармоничест сигнала и белого гауссовского шума, может наблюдаться явлен] классического стохастического резонанса. Однако механизм стохастическо! резонанса в моностабильных системах коренным образом отличен < механизма классического стохастического резонанса в бистабильнь системах хотя бы потому, что в моностабильной системе не существу! потенциального барьера.

Совместные исследования интегральных характеристик на выхо; показали, что существуют системы, в которых наличие максимун зависимости отношения сигнал-шум не сопровождается максимуме зависимости коэффициента усиления по мощности.

Кроме кусочно-линейных систем представлен анализ моностабильной системы, описываемой гладким потенциалом, который встречается при описании оптических ловушек. Показано, что в подобной системе имеет место явление стохастического резонанса как максимум зависимости отношения сигнал-шум на выходе системы от интенсивности входного шума.

В заключении сформулированы основные результаты работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Предложен новый приближенный метод вычисления функции корреляции и спектральной плотности мощности процесса на выходе нелинейной инерционной системы, на вход которой поступает белый гауссовский шум. Проведено сравнение результатов, полученных на основе нового метода, с точными выражениями. Для этого впервые получены и проанализированы лаплас-образы точных решений уравнения Фоккера-Планка для ряда модельных потенциальных профилей. Сравнение показало, что предложенный метод с успехом может применяться для оценки спектральной плотности мощности и функции корреляции и обладает рядом преимуществ: по сравнению с точными методами он требует меньших вычислительных затрат и приводит к более простым аналитическим выражениям, а по сравнению с методом гауссовой аппроксимации точнее описывает поведение системы в области низких частот и может быть использован для более широкого класса систем, например, для мультистабильных, вероятностное распределение которых, в отличие от гауссовского, принципиально должно иметь несколько максимумов, соответствующих локально устойчивым состояниям нелинейной системы.

2. На основе предложенного метода, теории линейного отклика и флуктуационно-диссипационной теоремы впервые получены и проанализированы характеристики для ряда инерционных нелинейных систем, на вход которых поступает аддитивная смесь сигнала и белого гауссовского шума. Особое внимание уделено изучению следующих выходных характеристик: функции корреляции, спектральной плотности мощности, усилению мощности сигнала и отношению сигнал-шум на выходе системы в зависимости от интенсивности входного шума.

3. Обнаружен и проанализирован новый тип явления стохастического резонанса, который наблюдается при преобразовании сигнала и белого гауссовского шума в моностабильных нелинейных системах.

4. Впервые обнаружено явление стохастического резонанса в инерционной (сверхвязкой) системе, где условие (1) не выполняется. Кроме того, впервые показано, что в отличие от классического стохастического резонанса, наблюдаемого в бистабильных системах с потенциальным барьером, разделяющим метастабильные состояния, наличие максимума отношения сигнал-шум на выходе системы не всегда сопровождается аналогичным максимумом функции усиления мощности сигнала от интенсивности шума на входе.

5. При помощи нового метода выявлены и проанализирова) некоторые другие явления, обусловленные существенной ролью шума нелинейных системах. В частности, показано, что зависимость усилен мощности сигнала на выходе моностабильной нелинейной системы интенсивности входного шума может иметь как максимум, так и миниму Явление, подобное последнему и упоминаемое в литературе к «стохастический антирезонанс», до этого предполагалось существующ! лишь на основе качественного анализа. Также впервые показано, ч существуют нелинейные системы, для которых усиление мощное выходного сигнала как функция интенсивности входного шума име несколько локальных максимумов и минимумов, то есть возника «стохастический мультирезонанс».

Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ 02-05-17517-а, 05-С 16405-а, 08-02-01259-а.

СПИСОК РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

N.V. Agudov and A.V. Krichigin. Investigation of Stochastic Resonance in Monostable Systems // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2008, v. 18, № 9, p.2833-2839.

Агудов H.B., Кричигин A.B. Стохастический резонанс и антирезонанс в моностабильных системах // Известия вузов. Радиофизика. 2008, Т.51, № 10, р.899-913.

N.V. Agudov, A.V. Krichigin, D. Valenti and B. Spagnolo. Stochastic resonance in a trapping overdamped monostable system // Phys.Rev.E. 2010, v.81, p.051123.

Агудов H.B., Кричигин A.B. Влияние формы потенциала на свойства стохастического резонанса в моностабильных системах // Вестник ННГУ. 2010. (Принято к печати)

Агудов Н.В., Кричигин А.В. Преобразование сигнала и белого шума нелинейной инерционной системой // Актуальные проблемы статистической радиофизики (Малаховский сборник). 2006, т.5, с.103 - 135.

Агудов Н.В., Кричигин А.В. Стохастический резонанс в моностабильной системе, описываемой гауссовским потенциальным полем сил // Актуальные проблемы статистической радиофизики (Малаховский сборник) 2008, т.7, с.118 -124.

Агудов Н.В., Кричигин А.В. Об аппроксимации спектра броуновского движения в произвольном поле сил // Труды научной конференции по радиофизике, ННГУ, 2004, с. 154 - 155.

Agudov N.V., Krichigin A.V. Investigation of stochastic resonance in monostable systems // International Workshop CRITICAL PHENOMENA AND DIFFUSION IN COMPLEX SYSTEMS, Nizhni Novgorod, Russia, December 57,2006, Program and Abstracts, p.29.

Агудов H.B., Кричигин A.B. Стохастический «антирезонанс» // Труды научной конференции по радиофизике, ННГУ, 2007, с.127 - 129.

Агудов Н.В., Кричигин А.В. Спектр броуновской диффузии в кусочно-линейной моностабильной системе // Труды научной конференции по радиофизике, ННГУ, 2008, с.158 - 160.

Агудов Н.В., Кричигин А.В. Анализ нового вида стохастического резонанса в сверхвязких моностабильных системах // Труды научной конференции по радиофизике, ННГУ, 2008, с. 160 - 162.

Агудов Н.В., Кричигин А.В. Стохастический резонанс в моностабильной системе // Нижегородская сессия молодых ученых. Естественнонаучные дисциплины, Нижний Новгород, 2008, с.56-57.

Nikolay Agudov, Alexey Krichigin. Investigation of signal-to-noise ratio at the outpup of monostable overdamped systems // Stochastic Resonancw 1998SR2008 Perugia, Aug. 17-21,2008, List of contributed posters, p.3.

ОГЛАВЛЕНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Введение.

1.1. Актуальность проблемы.

1.2. Описание системы.

1.3. Постановка задачи.

1.4. Методика исследования. Научная новизна. Науч] практическая значимость.

1.5. Основные положения, выносимые на защиту.

1.6. Апробация результатов.

1.7. Структура и объем диссертации.

2. Инерционное нелинейное преобразование белого шума.

2.1. Постановка задачи.

2.2. Уравнение Фоккера-Планка.

2.3. Приближенный метод для определения функции коррел спектра нелинейной системы.

2.4. Примеры моностабильных систем, описываемых к; линейными потенциалами.

3. Инерционное нелинейное преобразование аддитивной гармонического сигнала и белого шума.

3.1. Постановка задачи.

3.2. Преобразование шумов и сигналов линейными системами.

3.3. Теория линейного отклика.

3.4. Флуктуационно-диссипационная теорема.

3.5. Выходные параметры на основе приближенного метода.

3.6. Примеры моностабильных систем, описываемых к; линейными потенциалами.

3.7. Моностабильная система, описываемая гладким потенциал

4. Заключение. Список литературы.

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского» 603950, г. Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23

Формат 60*84 Ш6. Бумага офсетная. Печать офсетная. Гарнитура Тайме. Усл. печ. л. 0,58. Заказ Кг 352. Тираж 100 экз.

Отпечатано в Центре цифровой печати Нижегородского госуниверситета км. Н.И. Лобачевского 603950, г. Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Кричигин, Алексей Владимирович

1 Введение

1.1 Актуальность проблемы.

1.2 Описание системы.

1.3 Постановка задачи.

1.4 Методика исследования. Научная новизна. Научная и практическая значимость.

1.5 Основные положения, выносимые на защиту.

1.6 Апробация результатов

1.7 Структура и объем диссертации.

2 Инерционное нелинейное преобразование белого шума

2.1 Постановка задачи.

2.2 Уравнение Фоккера - Планка.

2.3 Приближенный метод для определения функции корреляции и спектра нелинейной системы.

2.4 Примеры моностабильных систем, описываемых кусочно-линейными потенциалами.

3 Инерционное нелинейное преобразование аддитивной смеси гармонического сигнала и белого шума

3.1 Постановка задачи.

3.2 Преобразование шумов и сигналов линейными системами

3.3 Теория линейного отклика

3.4 Флуктуационно-диссипационная теорема.

3.5 Выходные параметры на основе приближенного метода

3.6 Примеры моностабильных систем, описываемых кусочно-линейными потенциалами.

3.7 Моностабильная система, описываемая гладким потенциалом.

Введение диссертация по физике, на тему "Спектральные характеристики инерционного преобразования шума и сигнала нелинейной системой"

1.1 Актуальность проблемы

В качество простого примера нелинейной инерционной системы можно рассмотреть обычный детектор, простейшие схемы которого приведены на рис. 1. Напряжение на выходе данных систем х подчиняется дифференциальным уравнениям первого порядка (см., напр., [1]), а именно, для схемы рис. 1, а: х х 1 ,, . — Р {и - х), и для схемы рис. 1, б:

Ах

Й В.С С яс и(!) здесь .Р (х) - нелинейная функция вольтамперной характеристики доода, и - входное напряжение. Связь между входной и и выходной х переменными является не только нелинейной, но и инерционной. я с? "(О Г X х(г) а)

Рис. 1: Простейшие схемы детектора.

Представление любой сложной системы зависит от правильного зачета информационного обмена между ее компонентами. Практически во всех естественных и искусственных системах информация о сигнале смешивается с шумом. Традиционно считается, что воздействие шумов затрудняет обнаружение сигналов, так как, с точки зрения классической радиотехники, наличие флуктуаций в системе может только ухудшать ее характеристики (см., напр., [1]). Широко известны проблемы, связанные с ограничением чувствительности усилителей и конечностью ширины спектральной линии генераторов, что обусловлено воздействием естественных и технических шумов [2], [3], [4]. В силу дискретности строения материи флуктуационные явления присущи всем реальным системам и принципиально неустранимы [5].

С другой стороны, в последние десятилетия в литературе большое внимание стало уделяться флуктуационным явлениям в нелинейных системах, которые невозможно объяснить на основе классической теории, где шум является мало возмущающим фактором, приводящим лишь к отклонениям от среднего. Множество накопившихся экспериментальных фактов указывает на наличие достаточно большого количества неравновесных систем, где источники шума могут не только мешать работе нелинейных устройств, но и, наоборот, играть конструктивную роль, например: существенно увеличивать чувствительность систем, увеличивать упорядоченность в системах и вызывать возникновение более регулярных структур [6], [7], подавлять внутренние шумы с помощью внешнего шумового сигнала [8], синхронизировать фазу в системах с несколькими степенями свободы [9], синхронизировать хаотические колебания [10], [11] и хаотизировать периодические колебания [12], [13]. Шум может индуцировать некоторые режимы, которые в отсутствии флуктуаций принципиально нереализуемы. В частности, индуцированный шумом хаос представляет собой явление, при котором шум является причиной возникновения хаотического аттрактора, когда динамически связываются два инвариантных состояния: периодический аттрактор и неустойчивое шумовое состояние (см., напр., [14], [15], [16], [17], [18], [19], [20], [21]). Изменение уровня шума может значительно изменять (в том числе минимизировать и максимизировать) выходные характеристики нелинейной системы, на вход которой поступает слабый сигнал (см., напр., [5], [22], [23], [24], [25]). Шум может вызывать и оптимизировать временную регулярность динамической системы, невзирая на присутствие других внешних сил, так называемый когерентный резонанс (см., напр., [26]).

Также при определенных параметрах шум может выступать в роли переносчика информации [27], [30], [28], [29]. Существенна роль флуктуаций в процессах детектирования, кодирования, а также дальнейшей передачи информации по нейронным сетям (см. обзор [31]). Известно, что при квантовании амплитуды аналогового сигнала неизбежны искажения и потеря информации о форме сигнала. Для уменьшения искажений и восстановления формы сигнала еще с 1950-х годов перед квантованием к аналоговому сигналу подмешивали шум малой величины. Данный технологический прием получил название "размывание" или подмешивание псевдослучайного шума [32].

Одним из наиболее ярких примеров, иллюстрирующих конструктивную роль шума в нелинейных системах, является стохастический резонанс. Стохастический резонанс - это кооперативный эффект в нелинейных системах, при котором энергия шума, распределенная по широкому спектру, перекачивается в выходную энергию на частоте входного сигнала [33]. Эффект стохастического резонанса определяет группу явлений, в которых отклик нелинейной системы на слабый внешний периодический сигнал (обычно в бистабильной системе) может быть усилен аддитивным внешним шумом определенной оптимальной интенсивности [34]. То есть стохастический резонанс предоставляет возможность усиливать за счет шума, сигналы с амплитудой существенно меньшей его интенсивности [33]. При этом интегральные характеристики на выходе системы имеют отчетливо выраженные максимумы при некотором оптимальном ("резонансном") уровне шума [5].

Термин "стохастический резонанс" впервые был введен группой итальянских ученых в работах [22], [23], [24], [35] в 1981-1982 гг. при описании периодичности глобальных оледенений на Земле на основе модели бистабильного осциллятора [5]. Качественно исследовалось явление смены эпох оледенения, используя уравнение для температуры поверхности Земли, которое имеет вид сверхвязкого движения легкой частицы в симметричном бистабильном потенциале под действием слабой внешней периодической силы. Устойчивые положения потенциала соответствовали ледниковому и нормальному периодам. Колебаниям эксцентриситета Земной орбиты соответствовала периодическая сила. Реальная амплитуда периодической силы не в состоянии обеспечить переход из одного устойчивого состояния системы в другое. Подобные переходы стали возможными только после введения в модель случайной силы. Таким образом, именно наличие шума обеспечивает смену устойчивых состояний в данной модели.

Впервые экспериментальное наблюдение явления стохастического резонанса имело место в бистабильной электронной цепи (триггер Шмитта) [36] и двунаправленном кольцевом лазере [37]. Триггер Шмитта может быть реализован на основе операционного усилителя (см., напр., [31]) (рис. 2). В работе [36] установлено, что имеет место эффект захвата частоты, то есть внешний периодический сигнал в определенном диапазоне интенсивностей шума синтезирует стохастическую динамику процесса. Впервые попытка теоретического описания эффекта через приближенные уравнения для населенностей устойчивых состояний предпринята в работе [37]. Для описания явления было использовано отношение сигнал-шум на выходе системы. Как показали измерения, шум на входе может привести к заметному увеличению отношения сигнал-шум на выходе, а зависимость этого отношения как функция интенсивности входного шума имеет ярко выраженный максимум. Следовательно, в системе существует оптимальный уровень шума, при котором периодическая компонента сигнала усиливается максимально

Рис. 2: Электрическая схема трип ера Шмитта на основе 0пераци0нн01 о усилителя.

Как говорилось выше, добавление шума при квантовании амплитуды аналогового сигнала позволяет уменьшить ошибки квантования. При

15]. ж г I определенном уровне шума данная ошибка становится минимальна, а, следовательно, аналого-цифровое преобразование наилучшее, то есть наблюдается явление, похожее на эффект стохастического резонанса, которое фактически впервые описано в работах [38], [39] и используется по сей день.

В работах [40], [41], [42] теоретически и экспериментально рассмотрена модель однобитного запоминающего элемента, созданного с использованием явления стохастического резонанса. Схема состоит из кольца двух идентичных сверхвязких бистабильных осцилляторов (два объединенных в кольцо триггера Шмитта) (рис. 3). Показано, что существует оптимальный уровень шума, эффективность работы данной системы при котором максимальна, то есть наблюдается эффект стохастического резонанса.

1 т т г и(г) ->

ТШ ТШ х{г)

Рис. 3: Структурная схема однобитного элемента памяти, выполненного на основе кольца двух идентичных триггеров Шмитта (ТШ).

За прошедшие 30 лет с момента открытия данного явления количество работ по проблеме стохастического резонанса достигло большого числа и продолжает с каждым годом увеличиваться весьма быстрыми темпами (в настоящее время более 4000 журнальных статей) [33]. По проблеме стохастического резонанса кроме международных конференций и рабочих совещаний изданы монографии [43], [44], [45], специальные выпуски научных журналов и опубликованы обзорные статьи [5], [31], [46], [47], [48], [49], [50], [51], [52]. Состоялись международные форумы, целиком посвященные данному явлению в г. Сан-Диего (США, 1992 г.), в г. Эльба (Италия, 1994 г.), в г. Дрезден (Германия, 2004 г.), в г. Перуджа (Италия, 2008 г.) (см. обзор [33]). Неослабевающий интерес объясняется существенным расширением области приложения эффекта, а также одновременным возникновением множества разновидностей явления, таких как двойной стохастический резонанс, когерентный стохастический резонанс, апериодический стохастический резонанс, адаптивный стохастический резонанс, стохастический резонанс, возникающий при изменении размеров системы и др.

Характеристики стохастического резонанса как качественные, так и количественные во многом определяются свойствами конкретных нелинейных систем. К настоящему времени явление стохастического резонанса обнаружено и исследовано во многих бистабильных динамических системах [22], [53]: в лазерах [37], [54], в электронных системах [36], [55], [56], в магнитных системах [57], в системах магнитных субмикронных частиц [58], в пассивных оптических бистабильных системах [59], в системах с электронным парамагнитным резонансом [25], в экспериментах с броуновскими частицами [60], в экспериментах с магнитно-упругой лентой [61], в туннельном диоде [55], в сверхпроводящих квантовых интерферометрах [62], в ферромагнетиках и сегнетоэлектриках [63], [64], [65] в Джозефсоновских переходах [66], в связи и обработке сигналов [67], [68], [69], [70], [71], [72], в теории информации [73], [74] и др.

Эффект стохастического резонанса наблюдается также в биологии (см. обзор [52], [75]), медицине [76], [77], химии [78], [79], [80], социологии [81], [82], [83]. В частности, это явление было обнаружено в моделях одиночных нейронов [49], [84], [85], [86], [87], [88], [89] и нейронных сетях (см. обзор [90]). Кроме этого стохастический резонанс наблюдается в человеческом восприятии [91] и случайно-связанных потенциалах мозга [92], [93].

Среди актуальных систем встречается много моностабильных, описывающих физические, химические, электронные и биологические системы [51], [58], [94], [95], [96], [97], [98], [99], [100], [101]. Кроме бистабильных и моностабильных динамических систем, стохастический резонанс был обнаружен и исследован в нединамических или, так называемых, пороговых системах [27], [38], [39], [102], [103], [104], [105], [106], [107]. Пространственно-временной стохастический резонанс в легковозбудимой среде имеет множество применений в биологии и медицине [31]. Эффект стохастического резонанса наблюдался в пространственно-распределенных системах под общим названием пространственно-временной стохастический резонанс [105], [108], например, в цепях диффузионно связанных стохастических бистабильных осцилляторов [109], [НО], решетках связанных изображений [111], системах с солитонами [112], [113], [114], реакционно-диффузионные моделях [115] и др.

Характеристики и свойства стохастического резонанса зависят не только от параметров нелинейной системы, но и от структуры сигналов, воздействующих на данную систему. Причем это относится как к входному сигналу, так и к шуму [5]. Входной сигнал может быть гармоническим или многочастотным, а может представлять собой узкополосный случайный процесс [116] или сигнал с более сложным спектральным составом, то есть гармонический шум [117]. Шум по своим статистическим свойствам может быть близким к белому, а может иметь конечное время корреляции и ограниченный спектр [118]. В зависимости от свойств сигнала, шума и конкретных параметров нелинейных систем эффект стохастического резонанса будет характеризоваться специфическими свойствами.

Эффект, аналогичный стохастическому резонансу, можно наблюдать в хаотических системах переключательного типа без добавления внешнего шума, где роль шума играет собственная хаотическая динамика, так называемый эффект детерминированного стохастического резонанса в системах с кризисом аттракторов [119].

Рис. 4: Симметричный бистабильный потенциальный профиль.

Происхождение стохастического резонанса во всех этих, на первый взгляд, совершенно различных системах основано на том факте, что периодическая сила модулирует вероятности флуктуационных переходов между сосуществующими устойчивыми состояниями [34]. Другими словами, это является причиной сравнительно сильной модуляции координаты системы с амплитудой, пропорциональной расстоянию между устойчивыми состояниями. Следовательно, вероятность переходов резко увеличивается в зависимости от интенсивности шума.

По мнению некоторых исследователей (см., напр., [5], [31], [120]), суть явления стохастического резонанса состоит в наличии двух характерных временных масштабов. Первый масштаб обусловлен случайными блужданиями частицы и характеризует средний период (частоту) переключений самой бистабилыюй системы. Второй определяется внешним периодом (частотой) периодического сигнала.

Амплитуда периодического воздействия предполагается малой настолько, что исключает переходы через барьер в отсутствии шума. Первому временному масштабу отвечает среднее время (или частота) выхода из метастабильного состояния - время Крамерса [121], [122]. Для случая белого шума, параболических потенциальных ям и относительно высоких потенциальных барьеров время Крамерса выражается (см., напр., [5]): где то - время релаксации к квазистационарному распределению внутри потенциальной ямы, ДФ - высота потенциального барьера (рис. 4), g -интенсивность воздействующего белого шума.

Присутствие периодической силы A cos (cot) приводит к периодической модуляции как потенциальных ям, так и высоты потенциального барьера. Второму временному масштабу соответствует период (или частота) модуляции внешней силы:

Если предположить, что потенциальный барьер ДФ, амплитуда А и частота со модуляции фиксированы, то время Крамерса зависит лишь от интенсивности входного шума д. При малой интенсивности шума время перехода чрезвычайно велико и намного превышает период модуляции Т. При высоком уровне шума за время одного периода сигнала система с высокой степенью вероятности совершит многократные переключения. Изменяя интенсивность шума, можно обеспечить режим, когда среднее время переходов через барьер близко к периоду модуляции. Переключения системы будут происходить в среднем в фазе с внешней периодической силой. Таким образом, варьируя интенсивность шума, можно настроить стохастическую

Т =

2 7Г бистабильную систему в режим максимального усиления сигнала модуляции и отношения сигнал-шум [5]:

Т = 2тк (дор1). (1)

Теоретические и экспериментальные исследования бистабильных систем подтверждают, что условие 1 выполняется приближенно.

С другой стороны, существует ряд работ, ставящих под сомнение выводы вышеописанной феноменологической теории равенства временных масштабов и вообще данного объяснения стохастического резонанса. Например, в [53], [123] утверждается, что нахождение оптимального значения интенсивности шума из равенства среднего времени преодолении барьера в невозмущенном состоянии и периода внешнего воздействия не является верным, так как в этом случае характеристики системы, например, коэффициент усиления по мощности, должны достигать максимального значения не только при вариации интенсивности входного шума (то есть при изменении первого временного масштаба, определяющего локальную динамику), но и при изменении частоты входного воздействия (то есть при изменении второго временного масштаба, определяющего глобальную динамику). Вместе с тем экспериментально установлено (см., напр., [33]), что коэффициент усиления по мощности имеет монотонный характер как функция частоты входного сигнала. В работах [123], [124], [125] было показано, что причиной стохастического резонанса является изменение вследствие шума эффективных параметров системы, а именно, упругости и коэффициента затухания по отношению к реакции на входной сигнал. Однако, в подавляющем большинстве работ по стохастическому резонансу соотношение (1) рассматривается, как основное условие, при котором это явление возникает, а доводы, приведенные в вышеперечисленных работах противников феноменологической теории равенства временных масштабов, не принимаются во внимание.

Рис. 5. Спектральная плотность мощности выходного сигнала. характеристик системы и структуры сигналов явлению стохастического резонанса присущи общие фундаментальные свойства, проявляющиеся в увеличении степени порядка в выходном сигнале при оптимальном уровне шума [5]: коэффициент усиления по мощности сигнала и отношение сигнал-шум имеют отчетливо выраженный максимум при некотором оптимальном уровне шума соответствующем равенству (1) (рис. 6, 7).

Рис. 6: Коэффициент усиления по мощности сигнала на выходе системы.

При более детальном анализе явления стохастического резонанса приходится сталкиваться с рядом сложностей принципиального характера [5]. Даже в простейшем варианте отсутствия внешнего гармонического сигнала на сегодняшний день не удается отыскать

L Р(Я) opt q

Рис. 7: Отношение сигнал-шум на выходе системы. точные аналитические выражения для плотностей вероятности, следовательно, не удается точно вычислить корреляционную функцию и спектральную плотность мощности. При добавлении в систему внешнего периодического сигнала появляются дополнительные сложности из-за возникающей неоднородности соответствующих случайных процессов во времени. При рассмотрении периодической внешней силы A cos (cut) выходной сигнал будет включать периодическую компоненту, то есть в спектре мощности выходного сигнала регистрируются 8-пики на частоте модуляции и ее нечетных гармониках (в случае симметричного потенциала) (рис. 5).

Сложности первой группы не связаны непосредственно с эффектом стохастического резонанса и подробно рассматривались в теории случайных процессов (см., напр., [2], [127], [128]). Бурное развитие исследований в области стохастического резонанса выявило сложности второй группы и послужило причиной создания общей теории стохастических диффузионных процессов с периодически меняющимися коэффициентами сноса и диффузии [5], [50], [129], [130]. Тем не менее, аналитические выражения для характеристик стохастического резонанса удается получить лишь при использовании некоторых аппроксимаций. В качестве основного метода можно назвать приближение малого входного сигртала, когда отклик на него можно считать линейным. Кроме этого используются приближения, накладывающие ограничения на частоту сигнала. Таким образом наиболее широко применяемыми являются две приближенные теории: теория двух состояний (адиабатическое приближение) [126] и теория линейного отклика [131], [132], обсуждавшаяся применительно к стохастическому резонансу в работах [31], [34], [50] [51], [130], [133].

1.2 Описание системы

Рассмотрим общий вид нелинейного дифференциального уравнения первого порядка, связывающего выходной х(£) и входной и(Ь) процессы в нелинейных инерционных системах (рис. 8):

Входной процесс u(t) может представлять собой некоторую совокупность сигнала s(t) и шума £(/). Сложность решения подобных уравнений с произвольной функцией f[x,u,t] заключается в отсутствии регулярных количественных методов. На практике чаще всего каждое конкретное уравнение приходится решать индивидуальным способом.

Данная работа посвящена анализу нелинейных инерционных систем, на вход которых поступает аддитивная смесь детерминированного сигнала s(t) и шума £(£)

Поведение исследуемых систем описывается уравнением Ланжевена: где и - коэффициент, характеризующий инерционность системы (вязкость), который далее, не уменьшая общности, будем считать равным единице (и — 1), £(£) - белый Гауссовский шум с нулевым средним и интенсивностью 2дг, Р(х) - произвольная нелинейная функция, характеризующая систему, и х{Ь) - сигнал на выходе.

2) и(г) = aft) + i(i).

F(?)+Ф)+т

Рис. 8: Нелинейная инерционная система.

Модель (3) возникает при описании множества различных процессов: в статистической радиофизике [2], [3], [4], в лазерной физике [37], [54], радиотехнике [1], при обработке и преобразовании сигналов ¡134], в физике диэлектриков, фазовых переходов [127], в джозефсоновских переходах [66] и т.д. Кроме того, данная модель широко используется в химии [78] и биофизике. В частности, в работе [31] приведен пример электрической схемы, позволяющей реализовать электронные симуляции уравнения (3) для случая Р(х) = ах — Ьх3. Для решения данной задачи применен операционный усилитель, на основе которого составлены основные узлы электрической схемы: интегратор Миллера (рис. 9), суммирующий усилитель (рис. 10).

Рис. 9: Интегратор Миллера. и, и, и

Рис. 10: Суммирующий усилитель.

Входной сигнал и нелинейную функцию Р{х) можно представить в виде производной от некоторой потенциальной функции тогда уравнение (3) можно переписать в следующем виде:

1х ди(х,г) дх в этом случае x(t) может быть интерпретирована как координата броуновской частицы, диффундирующей под действием шума в сверхвязкой среде (когда массой частицы можно пренебречь) в потенциальном поле сил:

U(x,t) = Ф(х) - х s(t), (5) где Ф(а:) = — / F{pc)dx - фиксированный во времени потенциал, а слагаемое х sit) приводит к изменению формы потенциала Ф(я;) во времени. Будем считать, что Ф(ж) —> оо при х —> ±оо.

В работе в ходе изучения системы будем использовать такие понятия, как "возмущенная" и "невозмущенная" система. "Невозмущенной" системой назовем систему, на вход которой поступает лишь белый Гауссовский шум £(i) без сигнала s(t) = 0. На вход "возмущенной" системы кроме белого Гауссова шума £(t) поступает внешний детерминированный сигнал s(t) ф 0. Для различения в ходе дальнейшего рассмотрения характеристик "возмущенной" и "невозмущенной" систем характеристики последней будем выделять знаком

Основными задачами данной работы являются нахождение и анализ корреляционной функции и спектральной плотности мощности выходного процесса x(t) отдельно для "возмущенной" и "невозмущенной" систем.

Как известно (см., напр., [135]), уравнению Ланжевена (4) соответствует уравнение Фоккера-Планка для нестационарной плотности вероятности W(x,t): dW(x,t) dt д dU(x,t) + ^ <92 в, ■-а*», (6)

Рассмотрим так называемые естественные граничные условия:

И'(±оо,£) = 0. (7)

В качестве начальных условий примем:

У(х, 0) = 5(х — .то), (8) то есть в начальный момент времени ^ = 0 система находилась в состоянии х = хо. В этом случае решением уравнения Фоккера-Планка (6) с начальными условиями (8) будет плотность вероятности переходов УУ(хо, 0\х, ¿) (функция Грина уравнения (6)).

Рассматривается случай, когда в отсутствие сигнала в данной системе (s(t) — 0) с течением времени устанавливается ненулевое стационарное распределение V^jf^ic) 0. Время, необходимое системе для достижения стационарного распределения, называется временем релаксации тг. Стационарное решение уравнения Фоккера-Планка dW^fx) г\ можно легко получить из условия —= 0:

9) где N - нормировочный множитель. В случае теплового шума, когда его интенсивность пропорциональна температуре q — кТ: распределение (9) является распределением Больцмана.

Установившиеся значения дисперсии Dst и среднего mst могут быть получены из известного стационарного распределения (9) (см., напр., [4]):

00 x\Vst{x)dx, (10)

Dst = x2Wst(x)dx - m2st. (11)

Согласно классификации, данной в [4], сигналы s(t), x(t) и шум ^(¿) принадлежат ко второй группе, то есть имеют бесконечную энергию: оо

J x2(t)dt -> 00

00 и конечную мощность:

1 Т р = г^гт J{x2{t))dt < здесь и далее угловые скобки соответствуют усреднению по статистическому ансамблю.

В этом случае нахождение спектральной плотности мощности обычно сводится к Фурье-преобразованию от функции корреляции второго рода, которая определяется как:

1 т

Кх[т] = Hm — J (x(t)x(t + r))dt, (12) где (x(t)x(t + г)) - функция корреляции процесса x(t)). Учитывая четность функции корреляции второго рода, спектральная плотность мощности сигнала х(£) есть:

1 оо / Кя[т]со&(шт)д.т. (13)

Время корреляции ть для произвольной функции Кх[т) можно определить по правилу равновеликого прямоугольника: (Кх[т] - ^Г,[оо]) Лт 7 (.Кх[т] - тп%) ¿т 4 = КХЩ - Кх[оо] = ' (14)

Функция корреляции К%[т] и спектральная плотность мощности ¿¿(ы) входного шума выглядят следующим образом:

К;[т] = 2д6 (т), (15) I- (16)

7Г

В качестве входного сигнала в данной работе будем рассматривать гармонический сигнал: й(г) = АсовЦ^) • (17)

В этом случае, как известно (см., напр., [4]), функция корреляции К3[т] и спектральная плотность мощности ш) входного сигнала:

А2

ВД = у соз (ы0т), (18)

А2 —(5{и-и;о)+6(и + ш0)). (19)

При наличии на входе системы сигнала ф 0 можно ввести коэффициент усиления по мощности и отношение сигнал-шум для описания усилительных свойств системы. Коэффициент усиления по мощности определяется следующим образом: а2 , ,

V = (20) где а, А - амплитуды выходного и входного сигналов соответственно.

Следуя [44], определим отношение сигнал-шум как отношение величины полной спектральной плотности мощности к величине спектра шума на частоте сигнала о>о:

2 а>о+Дш

Д = (0) / ЪМсЬ,. Да; —> 0. (21) ч^о) ш0—Аш

Основная математическая сложность в определении вышеуказанных характеристик заключается в том, что нестационарное решение уравнения Фоккера-Планка (6) в общем случае для подавляющего большинства нелинейных систем, где возникают явления, подобные стохастическому резонансу, неизвестно. Соответственно, невозможно найти точные выражения для функции корреляции, спектра, коэффициента усиления и отношения сигна-шум на выходе системы.

Следует отметить, что все вышеприведенные выражения могут быть одинаково применены при анализе систем, описываемых потенциальными профилями с произвольной высотой потенциального барьера, и, следовательно, могут применяться при анализе даже моностабильных систем.

1.3 Постановка задачи

Целью настоящей работы является разработка нового приближенного метода для получения основных статистических характеристик (функции корреляции, спектральной плотности мощности, коэффициента усиления, отношения сигнал-шум) на выходе нелинейной инерционной системы, описываемой выражением (3), при произвольной интенсивности входного шума д.

Эффективность метода должна быть проверена и подтверждена путем сопоставления с известными точными выражениями и результатами, полученными путем численного моделирования.

В данной работе предложенный метод должен быть впервые использован для анализа моностабильных нелинейных систем, где потенциальный барьер принципиально отсутствует и другие методы анализа, известные на сегодняшний день, неприменимы или требуют громоздких вычислений.

1.4 Методика исследования. Научная новизна. Научная и практическая значимость

Предложен новый приближенный метод расчета спектральной плотности мощности и функции корреляции па выходе нелинейной инерционной динамической системы, возмущаемой белым гауссовским шумом.

1.5 Основные положения, выносимые на защиту

2. Коэффициент усиления сигнала по мощности и отношение сигнал-шум на выходе системы в зависимости от интенсивности входного шума и амплитуды гармонического сигнала на входе могут быть вычислены на основе нового метода, теории линейного отклика и флуктуационно-диссипационной теоремы.

1.6 Апробация результатов

Основные результаты диссертационной работы отражены в 13 научных публикациях, в том числе 6 статьях [136], [137], [138], [139], [140], [141] и 7 докладах на конференциях: на ежегодных научных конференциях по Радиофизике в ИНГУ [142], [143], [144], [145], [146], на международных конференциях International Workshop "Critical Phenomena and Diffusion in Complex Systems"(Нижний Новгород, 2006) [147] и "Stochastic Resonance 19983112008"(Перуджа, 2008) [148].

1.7 Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и библиографии. Общий объем диссертации составляет 107 страниц и 44 рисунка. Библиография содержит 165 ссылок на литературные источники.

Заключение диссертации по теме "Радиофизика"

4 Заключение

В данной работе были рассмотрены выходные характеристики инерционных нелинейных систем, на вход которых поступает аддитивная смесь сигнала и шума. Особое внимание было уделено изучению функции корреляции, спектральной плотности мощности, коэффициенту усиления сигнала и отношению сигнал-шум на выходе системы. Задача решалась на основании точных и приближенных методов.

Предложен новый приближенный метод вычисления функции корреляции и спектральной плотности мощности процесса на выходе нелинейной инерционной системы, на вход которой поступает белый гауссовский шум. Проведено сравнение результатов, полученных на основе нового метода, с точными выражениями Для этого впервые получены и проанализированы лаплас-образы точных решений уравнения Фоккера-Планка для ряда модельных потенциальных профилей. Сравнение показало, что предложенный метод с успехом может применяться для оценки спектральной плотности мощности и функции корреляции и обладает рядом преимуществ: по сравнению с точными методами он требует меньших вычислительных затрат и приводит к более простым аналитическим выражениям, а по сравнению с методом гауссовой аппроксимации точнее описывает поведение системы в области низких частот и может быть использован для более широкого класса систем, например, для мультистабильных, вероятностное распределение которых, в отличие от гауссовского, принципиально должно иметь несколько максимумов, соответствующих локально устойчивым состояниям нелинейной системы.

На основе предложенного метода, теории линейного отклика и флуктуационно-диссипационной теоремы впервые получены и проанализированы характеристики для ряда инерционных нелинейных систем, на вход которых поступает аддитивная смесь сигнала и белого гауссовского шума. Особое внимание уделено изучению следующих выходных характеристик: функции корреляции, спектральной плотности мощности, коэффициенту усиления сигнала по мощности и отношению сигнал-шум на выходе системы в зависимости от интенсивности входного шума.

Обнаружен и проанализирован новый тип явления стохастического резонанса, который наблюдается при преобразовании сигнала и белого гауссовского шума в моностабильных нелинейных системах.

Впервые обнаружено явление стохастического резонанса в инерционной (сверхвязкой) системе, где условие (1) не выполняется. Кроме того, впервые показано, что в отличие от классического стохастического резонанса, наблюдаемого в бистабильных системах с потенциальным барьером, разделяющим метастабильные состояния, наличие максимума отношения сигнал-шум на выходе системы не всегда сопровождается аналогичным максимумом коэффициента усиления сигнала от интенсивности шума на входе.

При помощи нового приближенного и известного точного методов выявлены и проанализированы некоторые другие явления, обусловленные существенной ролью шума в нелинейных системах.

Показано, что зависимость коэффициента усиления сигнала на выходе моностабильной нелинейной системы от интенсивности входного шума может иметь как максимум, так и минимум. Явление, подобное последнему и упоминаемое в литературе как "стохастический антирезонанс", до этого предполагалось существующим лишь на основе качественного анализа.

Впервые показано, что существуют нелинейные системы, для которых коэффициент усиления выходного сигнала, как функция интенсивности входного шума, имеет несколько локальных максимумов и минимумов, то есть возникает "стохастический мультирезонанс".

Полученные в работе результаты могут быть использованы при анализе статистических характеристик для широкого круга физических (а также биологических, химических) нелинейных систем. В частности, предложенный в работе метод может быть применен при анализе явления стохастического резонанса. Полученные результаты позволяют исследовать не только классическое явление стохастического резонанса, но и стохастический резонанс в моностабильных системах.

Список источников диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Кричигин, Алексей Владимирович, Нижний Новгород

1. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Высш. шк., 1988.

2. Стратонович P. JL Избранные вопросы теории флуктуаций в радиотехнике. М.: Сов.радио, 1961.

3. Рытов С. М. Введение в статистическую радиофизику. М.: Наука, 1966.

4. Малахов А.Н. Флуктуации в автоколебательных системах. М.: Наука, 1967.

5. Анищенко B.C., Нейман A.B., Мосс Ф., Шиманский-Гайер J1. Стохастический резонанс как индуцированный шумом эффект увеличения степени порядка // Успехи физических наук, 1999. Т. 169. № 1. С. 7-38.

6. Гинзбург C.JL, Пустовой М.А. Индуцированная шумом сверхчувствительность к слабым сигналам // Письма в ЖЭТФ, 1998. 67 (8) С. 592-596

7. Tessone C.J., Mirasso C.R., Toral R., Guiiton J.D. // Diversity-Induced Resonance Physical Review Letters, 2006 V. 97. P. 194101.

8. Vilar J., Rubi J. // Phys.Rev.Lett, 2001. V.86. P. 950.

9. Горностырев Ю.Н., Ждахин Д.И., Кацнельсон M.И., Трефилов A.B. Стохастический резонанс между предельными циклами. Пружинный маятник в термостате // Письма в ЖЭТФ, 1999. т. 69. № 8. С. 585-589

10. Ланда П.С., Рендель Ю.С., Шер В.Ф. Синхронизация колебаний в системе Лоренца // Известия вузов. Радиофизика, 1989. 32 (9) С. 1172-1174

11. Ланда П.С. Нелинейные колебания и волны. М.: Наука, 1997.

12. Анищенко B.C., Астахов В.В. Бифуркационные явления в автостохастическом генераторе при внешнем регулярном воздействии // ЖТФ, 1983. т. 53. К0- 11. С. 2165-2170.

13. Анищенко B.C., Летчфорд Т.Е., Сафонова М.А. Эффекты синхронизации и бифуркации синхронных и квазипериодических колебаний в неавтономном генераторе // Известия вузов. Радиофизика, 1985. Т. 28. № 9. С. 1112-1125.

14. Crutchfield J.P., Huberman В.А. // Phys.Lett.A, 1980. V. 74А. Р. 407.

15. Crutchfield J.P., Farmer J.D., Huberman В.А. // Phys.Rep, 1982. V. 92. P. 46.

16. Kautz R.L. // J.Appl.Phys, 1985. V. 58. P. 424.

17. Arecchi F., Badii R, Politi. A. // Phys.Rev.A, 1985. V. 32. P. 402.

18. Gao J.B., Hwang S.K., Liu J.M. // Phys.Rev.Lett, 1999. V. 82. P. 1132.

19. Gao J.B., Chen C.C., Hwang S.K., Liu J.M. // Int.J.Mod.Phys.B, 1999. V. 13. P. 3283.

20. Gao J.В., Tung W., Rao N. // Phys.Rev.Lett, 2002. V. 89. № 25. P. 254101.

21. Hwang K., Gao J.B., Kiu J.M. // Phys.Rev.E, 2000. V. 61. P. 5162.

22. Benzi R., Sutera A., Vulpiani A. The mechanism of stochastic resonance // J.Phys.A, 1981. V. 14. P. L453-457.

23. Benzi R., Parisi G., Sutera A., Vulpiani A. // Tellus, 1982. V.34. P. 10-16.

24. Nicolis C. // Tellus, 1982. V.34. P. 1-9.

25. Gammaitoni L., Martinelli M., Pardi L. // Phys.Rev.Lett, 1991. т. 67. № 13. P. 1799-1802.

26. Lai Y.C., Liu Z. // Phys.Rev.Lett. 2001. V. 76. P. 4737.

27. Alibegov M.M. Stochastic resonance in threshold systems // Phys.Rev.E, 1999. V. 59. № 5. P. 4841-4846.

28. Мишагин К.Г., Матросов В.В., Шалфеев В.Д., Шохнин В.В. Генерация хаотических колебаний в экспериментальной схеме трех каскадно связанных фазовых систем // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2007. Т. 15. № 2. С. 55-61.

29. Мишагин К.Г., Матросов В.В., Шалфеев В.Д., Шохнин В.В. Генерация хаотических колебаний в экспериментальной схеме двух каскадно-связанных фазовых систем // Радиотехника и электроника. 2007. Т. 52. № 10. С. 1241-1247.

30. Korzinova M.V., Matrosov V.V., Shalfeev V.D. Communications using cascade coupled phase-locked loop chaos // International Journal of Bifurcation and Chaos. 1999. V. 9. № 5. P. 963-973.

31. Gammaitoni L., Hanggi P, Jung P., Marchesoni F. // Rev.Mod.Phys, 1998. V. 70. P. 223-287.

32. Bennet, W. R., 1948, Bell Syst. Tech. J. 27, 446.

33. Дубков А.А., Фарфель А.А. Актуальные проблемы статистической радиофизики (малаховский сборник), 2009. Т. 8. С. 24-42.

34. Dykman M.I., Luchinsky D.G., Manella R., McClintock P.V.E., Stein N.D., Stocks N.G. // J.Stat.Phys, 1993. V. 70. P. 463-478.

35. Nicolis C., Nicolis G. // Tellus, 1981. V.33. P. 225.

36. Fauve S., Heslot F. // Phys.Lett.A, 1983. V. 97. P. 5.

37. McNamara В., Wiesenfeld K„ Roy R, // Phys.Rev.Lett, 1988. V. 60. P. 2626.

38. Gammaitoni L. // Phys.Rev.E, 1995. V. 52. № 5. P. 4691-4698.

39. Gammaitoni L. // Phys.Lett.A, 1995. V. 208. P. 315.

40. Ibanez S.A., Fierens P.I., Patterson G.A., Perazzo R.P.J., Grosz D.F. // arXiv:0911.0878vl

41. Murali K., Sinha S., Ditto W.L. and Bulsara A.R. // Phys.Rev.Lett, 2009. V. 102. P. 104101.

42. G.A. Patterson, A.F. Goya, P.I. Fierens, S.A. Ibanez, D.F. Grosz. Experimental investigation of noise-assisted information transmission and storage via stochastic resonance // Physica A, 2010. V. 389. P. 19651970.

43. Ando В., Graziani S. Stochastic Resonance: Theory and Applications. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, The Netherlands, 2000.

44. Anischenko A., Astakhov V., Neiman A., Vadivasova Т., Schimansky-Geier L. Nonlinear dynamics of chaotic and stochastic systems. Berlin: Springer, 2002.

45. McDonnell M.D., Stocks N.G., Pearce Ch.E.M., Abbott D. Stochastic Resonance: From Suprathreshold Stochastic Resonance to Stochastic Signal Quantization. Cambridge University Press, Cambridge, UK, 2008.

46. Moss F., Pierson D., O'Gorman D // Int.J.Bif.Chaos, 1994. V. 4. P. 1383.

47. Wiesenfield K., Moss F. // Nature (London), 1995. V. 373. P. 33.

48. Wiesenfeld К., Jaramillo F. // Chaos 1998. V.8. P.539.

49. Bulsara A.R., Eiston T.C., Doering C.R., Löwen S.B., Lindenberg К. // Phys.Rev.E, 1996. V. 153. P. 3958.

50. Jung P. // Phys.Rep, 1993. V. 234. P. 175.

51. Dykman M.I. et al. // Nuovo Cimento D, 1995. V. 17. P. 661.

52. Hänggi P. // ChemPhysChem, 2002. V. 3. P. 285-290.

53. Fox R.F. // Phys.Rev.A, 1989. V. 39. P. 4148.

54. Fioretti A., Guidoni L., Mannella R., Arimondo E. // J.Stat.Phys, 1993. V. 70. P. 403.

55. Mantegna R.N., Spagnolo B. // Phys.Rev.E, 1994. V. 49. P. R1792.

56. Mantegna R.N., Spagnolo В., Trapanese M. // Phys.Rev.E, 2001. V. 63. P. 011101.

57. Grigorenko A.N. et al. // J.Appl.Phys, 1994. V. 76. 6335 p.

58. Grigorenko A.N., Nikitin S.I., Roschepkin G.V. // Phys.Rev.E, 1997. V. 56. № 5. P. R4907-R4910.

59. Дыкман М.И. и др. Письма в ЖЭТФ, 1991. т. 53. С. 182.

60. Simon A., Libchaber А. // Phys.Rev.Lett, 1992. V. 68. Р. 3375.

61. Spano M.L., Wun-Fogle М., Ditto W.L. // Phys.Rev.A, 1992. V. 46. P. R5253.

62. Hibbs A.D. et al. // Nuovo Cimento, 1995. V. 17D. P. 811.

63. Perez-Madrid A, Rubi J.M. // Phys.Rev.E, 1995. V. 51. P. 4159.

64. Neda Z. // Phys.Lett.A, 1996. V. 210. P. 125.

65. A.E.flyÖHHOB h pp. Hsb.PAH Cep.Ons, 1996. t. 60. № 10. C. 76.

66. Byrant P, Wiesenfeld K, McNamara B. // J.Appl.Phys, 1987. V. 62. P. 2898.

67. Mitaim S, Kosko B. // Proceedings of the IEEE, 1998. V. 86. P. 2152.

68. Zozor S, Amblard P.O. // IEEE Transaction on signal processing, 2003. V. 51. P. 3177.

69. Kay S. // IEEE signal processing letters, 2000. V. 7. P. 8-10.

70. Kay S, Michels J.H, Chen H, Varshney P.K. // IEEE signal processing letters, 2006. V. 13. P. 695.

71. Chen H, Varshney P.K, Michels J.H, Kay S. // Proc.IEEE ICASSP, 2006. V. 3. P. 281-284.

72. He D, Leung H. // Proc.IEEE ISCAS, 2004. V. 4. P. 589-592.

73. Inchiosa M.E, Robinson J.W.C, Bulsara A.R. // Phys.Rev.Lett, 2000. V. 85. № 16. P. 3369-3372.

74. Robinson J.W.C, Rung J, Bulsara A.R, Inchiosa M.E. // Phys.Rev.E, 2001 V. 63. № 1. P. 011107.

75. Greenwood P.E., Lawrence M.W, Russell D.F, Neiman A, Moss.F. // Phys.Rev.Lett, 2000. V. 84. № 20. P. 4773-4776.

76. Chiou-Tan F.Y, Magee K, Robinson L, Nelson M, Nuel S, Krouskop T, Moss F. // Int.J.Bifurcation Chaos Appl.Sci.Eng, 1996. V. 6. P. 1389.

77. Chiou-Tan F.Y, Magee K, Robinson L, Nelson M, Nuel S, Krouskop T, Moss F. // Am.J.Phys.Med.Rehabil, 1997. V. 76. P. 14.

78. Leonard D.S., Reichl L.E. // Phys.Rev.E, 1994. V. 49. P. 1734.

79. Dykman M.I, Horita T, Ross J. // J.Chem.Phys, 1995. V. 103. P. 966.

80. Hohmann W., Muller J., Scneider F.W. // J.Phys.Chem, 1996. V. 100. P. 5388.

81. Babinec P. // Phys.Lett.A, 1997. V. 225. P. 179.

82. Hou Z., Yang L., Xin H. // J.Chem.Phys, 1999. V. 111. № 2. P. 15921594.

83. Yang L., Hou Z., Xin H. // J.Chem.Phys, 1999. V. 110. № 7. P. 35913595.

84. Bulsara A.R., Boss R.D., Jacobs E.W. // Biol.Cybern, 1989. V. 61. P. 211.

85. Bulsara A.R., Jacobs E.W., Zhou T., Moss F., Kiss L. // J.Theoret.Biol, 1991. V. 152. P. 531-555.

86. Longtin A., Bulsara A., Moss F. // Phys.Rev.Lett, 1991. V. 67. P. 656-659

87. Chialvo D.R., Apkarian A.V. // J.Stat.Phys, 1993. V. 70. P. 375-391.

88. Pei X., Bachmann K., Moss F. // Phys.Lett.A, 1995. V. 206. P. 61.

89. Mitaim S., Kosko B. // IEEE Transaction on neuralnetworks, 2004. V. 15. P. 1526.

90. Vilar J.M.G., Sole R.V., Rubi J.M. // Phys.Rev.E, 1999. V. 59. № 5. P. 5920-5927.

91. Mori T. and Kai S // Phys.Rev.Lett, 2002. V. 88. P. 218101.

92. Srebro R., Malladi P. // Phys.Rev.E, 1999. V. 59. P. 2566.

93. Ward L.M. et al // Biol.Cybern, 1990. V.87. C. 91.

94. Stocks N.G., Stein N.D., Soskin S.M., McClintock P.V.E. // J.Phys.A: Math.Gen, 1992. V. 25. P. L1119-L1125.

95. Stocks N.G., Stein N.D., McClintock P.V.E. // J.Phys.A: Math.Gen, 1993. V. 26. P. L385.

96. M.Evstigneev, P.Reimann, V.Pankov and R.H.Prince // Euro-phys.Lett, 2004. V. 65. № 1. P. 7-12.

97. Lindner J.F., Breen B.J., Wills M.E., Bulsara A.R., Ditto W.L. // Phys.Rev.E, 2001. V. 63. № 051107. P. 1-6.

98. Soskin S.M., McClintock P.V.E. // Phys.Rev.E, 2002. V. 66. № 013101. P. 1-3.

99. Lindner J.F., Breen B.J., Bulsara A.R., Ditto W.L. // Phys.Rev.E, 2002. V. 66. № 013102. P. 1-3.

100. Jing-hui Li // Phys.Rev.E, 2002. V. 66. № 031104. P. 1-7.

101. Guo F., Zhou Y.R., Jiang, Gu T.X. // J.Phys.A: Math.Gen, 2006. V. 39. P. 13861-13868.

102. Moss F. et al. // Int. J. Bifurcation Chaos Appl.Sci.Eng, 1983. V. 4. P. 1383.

103. Jung P. // Phys.Lett.A, 1995. V. 207. P. 93.

104. Stocks N.G. // Phys.Rev.Lett, 2000. V. 84. № 11. P. 2310-2313

105. Krawiecki A., Sukiennicki A., Kosiriski R.A. // Phys.Rev.E, 2000. V. 62. № 6. P. 7683-7689.

106. Kosko B., Mitaim S. // Phys.Rev.E. 2004. V. 70. P. 031911

107. Saha A.A., Anand G.A. // Signal Processing, 2003. V. 83. P. 1193-1212.

108. Löcher M„ Cigna D., Hunt E.R., Jonson G.A., Marchesoni F., Gam-maitoni L., Inchiosa M.E., Bulsara A.R. // Chaos, 1998. V. 8. P. 606.

109. Lindner J.F., Meadows B.K., Ditto W.L., Inchiosa M.E., Bulsara A.R. // Phys.Rev.Lett, 1995. V. 75. P. 3.

110. Lindner J.F., Meadows B.K., Ditto W.L., Inchiosa M.E., Bulsara A.R. // Phys.Rev.E, 1996. V. 53. P. 2081.

111. P.M.Gade, R.Rai and H.Singh // Phys.Rev.E, 1997. V. 56. P. 2518.

112. Lindner J.F., Chandramouli S., Bulsara A.R., Löcher M., Ditto W.L. // Phys.Rev.Lett, 1998. V. 81. P. 5048.

113. Gonzalez J.A., Mello B.A., Reyes L.I., Guerrero.L.E. // Phys.Rev.Lett, 1998. V. 80. 1361 p.

114. Dikshtein I., Neiman A., Schimansky-Geier L. // J.Magn.Magn.Mater, 1998. V. 118. P. 301.115116117118119120121 122123124125126127128129

115. Haeften В., Deza R., Wio H.S. // Phys.Rev.Lett, 2000. V. 84. P. 404.

116. Neiman A. Synchronizationlike phenomena in coupled stochastic bistable systems // Phys.Rev.E, 1994. V. 49. P. 3484-3488.

117. Neiman A., Shimansky-Geier L. // Phys. Rev. Lett., 1994. V. 72. N 19. P. 2988-2991.

118. Neiman A., Sung W. // Phys.Lett.A, 1996. V. 224. P. 341.

119. Anishchenko V.S., Neiman A.B., Safonova M.A. // J.Stat.Phys., 1993. V. 70. № 1-2. P. 183.

120. Анищенко B.C., Ануфриева M.B., Вадивасова Т.Е. Стохастический резонанс в бистабильной системе под воздействием хаотического сигнала // Письма в ЖТФ, 2006. Т. 32. № 20. С. 12-17.

121. Kramers Н.А. // Phisica. 1940. V. 7. Р. 284-312.

122. Hanggi P., Talkner P., Borkovec М. // Rev.Mod.Phys., 1990. V. 62. Р. 251.

123. Ланда П.С., Трубецкой Д.И. // УФН 2009. Т.176. С.255.1.nda P.S., Neimark Yu.I., McClintock P.V.E. // J. Stat. Phys. 2006. V.125. P.593.

124. Ланда П.С., Ушаков В.Г. // Письма в ЖЭТФ 2007. Т.86. С.356.

125. McNamara В., Wiesenfeld К, // Phys.Rev.A, 1989. V. 39. № 9. Р. 4854-4869.

126. Хорстхемке В., Лефевр Р. Индуцированные шумом переходы. М.:Мир, 1987.

127. Гардинер К.В. Стохастические методы в естественных науках. М.: Мир, 1986.

128. Jung P., Hanggi Р. // Phys.Rev.A, 1990. V. 41. № 6. Р. 2977-2988 Jung P., Hanggi Р. // Phys.Rev.A, 1991. V. 44. Р. 8032.

129. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. Ч. 1. М.: Наука. 1976.

130. Белеску Р Равновесная и неравновесная статистическая механика. Т. 2. М.: Мир. 1978

131. Дыкман М.И. и др. Письма в ЖЭТФ, 1990. т. 52. С. 780.

132. Прокис Д. Цифровая связь. Пер. с англ. / Под ред. Кловского Д.Д. М.: Радио и связь, 2000.

133. Risken H. // The Fokker-Plank Equation. Methods of Solution and Applications. Berlin: Springer, 1989.

134. Агудов H.В., Кричигин A.В. Преобразование сигнала и белого шума нелинейной инерционной системой // Актуальные проблемы статистической радиофизики (Малаховский сборник), 2006. Т. 5. С. 103 135.

135. Agudov N.V., Krichigin A.V. Investigation of Stochastic Resonance in Monostable Systems // International Journal of Bifurcation and Chaos, 2008. V. 18. № 9. P. 2833-2839.

136. Агудов H.В., Кричигин A.B. Стохастический резонанс и антирезонанс в моностабильных системах // Известия вузов. Радиофизика, 2008. т. 51. № 10. С. 899-913. ,

137. Агудов Н.В., Кричигин А.В. Стохастический резонанс в моностабильной системе, описываемой гауссовским потенциальным полем сил // Актуальные проблемы статистической радиофизики (Малаховский сборник), 2008. Т. 7. С. 118 124.

138. N. V. Agudov, А. V. Krichigin, D. Valenti, and В. Spagnolo. Stochastic resonance in a trapping overdamped monostable system // Phys.Rev.E, 2010. V.,81. P. 051123.

139. Агудов H.В., Кричигин A.B. Влияние формы потенциала на свойства стохастического резонанса в моностабильных системах // Вестник ННГУ. (Направлено в печать).

140. Агудов Н.В., Кричигин А.В. Об аппроксимации спектра броуновского движения в произвольном поле сил / / Труды научной конференции по радиофизике. Н. Новгород: ННГУ, 2004. С. 154 155.

141. Агудов H.В., Кричигин А.В. Стохастический "антирезонанс" // Труды научной конференции по радиофизике. Н. Новгород: ННГУ, 2007. С. 127 129.

142. Агудов Н.В., Кричигин А.В. Спектр броуновской диффузии в кусочно-линейной моностабильной системе // Труды научной конференции по радиофизике. Н. Новгород: ННГУ, 2008. С. 158 160.

143. Агудов Н.В., Кричигрш А.В. Анализ нового вида стохастического резонанса в сверхвязких моностабильных системах // Труды научной конференции по радиофизике. Н. Новгород: ННГУ, 2008. С. 160 162.

144. Агудов Н.В., Кричигин А.В. Стохастический резонанс в моностабильной системе / / Нижегородская сессия молодых ученых. Естественнонаучные дисциплины. Н. Новгород, 2008. С. 56-57.

145. Agudov N.V., Krichigin A.V. Investigation of stochastic resonance in monostable systems // International Workshop CRITICAL PHENOMENA AND DIFFUSION IN COMPLEX SYSTEMS. Nizhni Novgorod, Russia, December 5-7, 2006, Program and Abstracts. P. 29.

146. Agudov N.V., Krichigin A.V. // Investigation of signal-to-noise ratio at the outpup of monostable overdamped systems // Stochastic Resonance 1998SR2008 Perugia, Aug. 17-21, 2008. List of contributed posters. 3.

147. Малахов A.H. Кумулянтный анализ случайных негауссовых процессов и их преобразований. М.: Сов. радио, 1978.

148. Caughey Т.К., Dienes J.K. // J.Appl.Phys, 1961. V. 32. P. 2476.

149. Ганин В.H., Дубков А.А. // Актуальные проблемы статистической радиофизики (малаховский сборник), 2003. т. 2. С. 108.

150. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.

151. Агудов Н.В., Малахов А.Н. // Известия вузов. Радиофизика, 1993. Т. 36. С. 138.

152. Frisch H., Privman V., Nicolis С., Nicolis G. Exact solution of the diffusion in a bistable piesewise linear potential //J.Phys.A. 1990. V. 23. P. L1147-L1153.

153. Малахов A.H. Диффузия через резкие потенциальные барьеры. 1. Точное решение // Известия вузов. Радиофизика, 1991. V. 34. № 5. С. 536-547.

154. Дубков A.A., Саичев А.И. Актуальные проблемы статистической радиофизики (малаховский сборник), 2005. Т. 4. С. 14.

155. Дубков A.A., Малахов А.Н., Саичев А.И. Время корреляции и структура функции корреляции нелинейного равновесного броуновского движения в потенциальных ямах произвольной формы // Известия вузов. Радиофизика, 2000. Т. 43. С. 369 382.

156. Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники. Книга первая. М.: Сов. радио, 1969.

157. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Радио исвязь, 1986.

158. Longtin А. // J. Stat. Phys, 1993. V. 70. P. 309.

159. Longtin A., Chialvo D.R. // Phys. Rev. Lett, 1998. V. 81. P. 4012.

160. Ashkin A. et al. // Opt. Lett, 1986. V. 11. P. 288.

161. Ashkin A. // Biophys J., 1992. V. 61. P. 569.

162. Ashkin A. // Proc.Natl.Acad.Sci.USA, 1994. V. 94. P. 4853-4860.

163. Volpe G., Perrone S., Rubi J.M., Petrov D. // Phys. Rev. E, 2008. V. 88. P. 051107.