Стохастический резонанс и синхронизация стохастических систем тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ
|
Нейман, Александр Борисович
АВТОР
|
||||
|
доктора физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Саратов
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
1997
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.04.03
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
Саратовский государственный университет имени Н.Г.Чсрнышевского
-г О ..
I ; г-'Л
На правах рукописи
НЕЙМАН Александр Борисович
СТОХАСТИЧЕСКИЙ РЕЗОНАНС И СИНХРОНИЗАЦИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ
СИСТЕМ
01.04.03 - радиофизика
Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико - математических наук
Саратов - 1997
Работы выполнена в докторантуре на кафедре радиофизики и не] нейной динамики Саратовского государственного университета им. Н Чернышевского.
Научный консультант:
Заслуженный деятель науки РФ, доктор физико - математических не профессор Анищенко B.C.
Официальные оппоненты:
доктор физико - математических наук, профессор Голубенцев А.Ф. доктор физико - математических наук, профессор Климонтович Ю.Л. Заслуженный деятель науки РФ, Лауреат государственной премии РФ,
доктор физико - математических наук, профессор Малахов А.Н.
Ведущая организация: Саратовский филиал Института радиотехник] электроники РАН
Защита состоится 5 февраля 1998 года в 1530 на заседании диссерта онного Совета Д 063.74.01 в Саратовском государственном университ (410026, г.Саратов, ул. Астраханская, 83)
С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке СГУ Автореферат разослан декабря 1997 г.
Ученый секретарь диссертационного Сове': кандидат физико-математических наук
о
Общая характеристика работы
Актуальность проблемы
Исследования последних лет убедительно показали, что в нелинейных истемах шум может играть конструктивную роль, индуцируя новые ре-:имы, образуя структуры и, таким образом, упорядочивая систему. При зменении интенсивности шума возможно появление новых режимов, ко-орые не реализуются в соответствующей детерминированной системе, апример, индуцированные шумом колебания [П.С. Ланда и A.A. Заи-ин, 199G]. Эффекты этого типа получили название индуцированных гумом переходов [В. Хорстхемке и Р. Лефевр, 1987]. Одним из наибо-ее ярких примеров нетривиального поведения нелинейных систем при эйствии шума служит стохастический резонанс. Стохастический резо-анс (СР) определяет группу явлений при которых отклик нелинейной ктемы на слабый внешний сигнал усиливается при увеличении ин-енсивности шума в системе. При этом интегральные характеристики роцесса на выходе системы, такие как коэффициент усиления или отно-гение сигнал/шум, имеют хорошо выраженный максимум при некото-ом оптимальном уровне шума. Сам термин "стохастический резонанс" ал введен Р. Бенци, и др. и К. Николис в 1981 - 82 гг. при исследова-ии климатической модели, описывающей эволюцию глобальной темпе-а/гуры Земли и наступление периодов обледенения. СР был обнаружен в изических системах различной природы [Б. Макнамара и Р. Рой, 1988; .Н. Григоренко, В.И. Конов и П.И. Никитин, 1990; А. Саймон и А. Ли-ч'апер, 1990; А. Бульсара и др., 1993], в химических системах [М.И. ^ыкман и др., 1991] и в биологических системах нейро-рецепторов [Ф. Госс и др., 1993]. СР представляет собой фундаментально общее явле-ие, наблюдающееся в нелинейных системах, обладающих характерным эеменным масштабом, контролируемым шумом. СР было посвящено две тециальные конференции в Сан Диего (США, 1992) и на о.Эльба (Ита-ия, 1994). Практически все научные конференции по нелинейной днна-ике включают секции, посвященные этому явлению. В Интернете создан тециальный сервер [http://www.pg.infn.it/SR/index.html], содержащий соло 300 ссылок на избранные работы по стохастическому резонансу.
Теоретическое рассмотрение СР для простейших стохастических би-габильных систем с белым шумом для случая слабого периодического ггнала было дано в работах Б. Макнамары и К. Визенфельда (1989),
М.И. Дыкмана и др. (1990), П. Юнга и П. Хэнгги (1990). Как было уст новлено, в пределе малых сигналов стохастический резонанс корреки описывается в рамках теории линейного отклика. Другая форма описаш эффекта стохастического резонанса основана на использовании распр делений времен пребываний системы в метастабильных состояниях Гаммаитони, 1989; П. Юнг и др., 1990] и характеризует стохастически резонанс как явление типа синхронизации. Однако, несмотря на нал] чие слов "синхронизация" в работах по СР, обсуждение этого вопроса I выходило за рамки качественного. В этой связи представляется необход] мым использование радиофизического подхода, использующего понят! средней частоты и мгновенной фазы для описания процессов синхрон] зации. Возможно ли наблюдение явлений, подобных захвату частоты фазы автоколебательных систем, в стохастических системах, не имен щих собственных детерминированных частот, под действием внешне периодической силы? Возможна ли реализация эффекта синхронизац!: в связанных системах, обладающих лишь статистическими временным масштабами, такими как частоты Крамерса?
Для количественной оценки синхронизации как явления самооргаш зации необходимо введение мер, определяющих степень упорядоченное! процесса на выходе. Для стохастических систем необходимо использов ние мер сложности, основанных на представлениях статистической ф| зики и теории информации. Важность теоретико - информационного ра смотрения стохастического резонанса обуславливается также и практ! ческнми приложениями этого эффекта в системах обработки информ. ции. Стохастическая бистабильная динамика позволяет естественно и рейти к описанию процессов на языке двоичных символьных последов: тельностей, степень порядка которых определяется энтропией источник-Возможна ли минимизация энтропии источника при увеличении уров! шума в бистабильной системе, модулируемой внешним периодически сигналом?
Сформулированные выше вопросы по сути дела определяют необход1 мость проведения детального исследования новой фундаментальной нау1 ной проблемы, заключающейся в обобщении классического явления сш хронизации на класс стохастических систем, обладающих статистич скими временными масштабами, контролируемыми шумом. При этом само явление СР требует дальнейших обобщений. Углубление исследов,
ий стохастического резонанса может идти по трем основным направлении: (1) усложнение структуры внешнего сигнала: рассмотрение много-астотных сигналов и сигналов со сплошными спектрами; (и) расшире-ие класса исследуемых внутренних шумов: СР в немарковских системах внутренним цветным шумом; (111) расширение класса рассматриваемых истем: СР в хаотических системах и системах с дискретным временем.
Нелинейные динамические системы могут демонстрировать эффекты, одобные стохастическому резонансу, даже в отсутствии периодического нгнала. Этот эффект "автономного стохастического резонанса" или ко-зрентного резонанса наблюдался впервые Г.Ху с соавторами (1993). Есте-гвекно предположить, что этот эффект носит универсальный характер может наблюдаться в окрестности различных бифуркаций предельных иклов.
Другая группа открытых вопросов относится к проблемам практиче-ких приложений стохастического резонанса в биологических системах и системах обработки информации и связана с исследованием ансамблей елинейных элементов, каждый из который демонстрирует стохастиче-кий резонанс. Каково влияние числа элементов массива на выходные ха-актеристики ансамбля? Каким должно быть минимальное количество пементов для получения заданного отношения сигнал/шум на коллек-ивном выходе ансамбля? Возможна ли синхронизация ансамбля стоха-гических резонаторов слабым сигналом, когда отклик отдельного эле-ента является линейным? Каковы роли внешнего и внутреннего шумов преобразовании сигнала на коллективном выходе ансамбля?
Сформулированные выше вопросы и проблемы определили цель наго ящего диссертационного исследования, которая заключается в обобще-ии классического явления синхронизации на случай стохастических си-гем, не имеющих детерминированной собственной частоты, и в расши- : ении класса динамических систем и внешних сигналов, для которых в. словиях действия шума реализуется эффект стохастического резонанса.
Научная новизна результатов. В диссертации впервые явление стохастического резонанса обобщено на случай многочастот-эго воздействия;
показано, что стохастический резонанс имеет место для сигналов с ко-зчной шириной спектральной линии, причем форма спектра выходного
сигнала может быть оптимизирована;
- теория линейного отклика применена для слабых широкополосных си налов и показано, что механизмы стохастического резонанса для таю сигналов и для гармонических сигналов идентичны;
- стохастический резонанс исследован в немарковских системах с вн тренним цветным шумом, т.е. в системах с динамической памятью установлено, что свойства внутреннего шума существенно влияют на х рактеристики стохастического резонанса;
- показано, что стохастический резонанс имеет место в системах со ело) ной динамикой, причем при слабых сигналах явление описывается в ра! ках теории линейного отклика;
- стохастический резонанс исследован в системах с дискретным врем нем;
- установлен универсальный механизм автономного стохастического р зонанса (или когерентного резонанса) как индуцированного шумом Э1 фекта вблизи бифуркаций периодических решений динамических систе
- обнаружен и исследован когерентный резонанс в модели нейрона Ход; кина - Хаксли;
- кумулянтный анализ применен для исследования отображения окру} ностн с шумом, построены области синхронизации на плоскости парам тров "частота воздействий - интенсивность шума";
- введены понятия мгновенной фазы и частоты для описания стохаст ческого резонанса;
- показано, что стохастическая динамика переключений бистабильнь систем может быть синхронизована внешним сигналом достаточной а] плитуды;
- обнаружена синхронизация стохастической динамики переключений связанных стохастических бистабильных системах;
- исследован стохастический резонанс в связанных системах, показано объяснено существование оптимального значения коэффициента связи:
- использован энтропийный подход для описания стохастического рез нанса и стохастической синхронизации и показано, что стохастическ! резонанс при достаточно больших амплитудах характеризуется роете степени упорядоченности, выраженной в существовании минимума э тропии Шеннона выходной последовательности;
- теория линейного отклика применена к модели ансамбля стохастич
:нх резонаторов, действующих параллельно и исследована синхрониза-1Я ансамбля слабым сигналом;
исследованы эффекты внутреннего и внешнего шумов на примере ан-ьмбля нединамических элементов, моделирующего массив ионных кана-)в, установлено, что внутренний шум играет принципиальную роль в ормировании коллективного отклика системы на внешнее воздействие.
Научно-практическая значимость результатов
работе выполнено исследование, относящееся к фундаментальным про-гсмам современной статистической физики и нелинейной динамики. Hamo - практическая значимость результатов состоит в том, что стохастических"! резонанс обобщен на случай многочастотных сигналов, слючая случаи амплитудной и частотной модуляции; оценены частот-:»ie искажения, возникающие на выходе стохастического резонатора; построена универсальная теория стохастического резонанса для сиг-шов со сплошным спектром и применены новые меры для описания 1ериодического стохастического резонанса;
исследованы эффекты динамической памяти на стохастический резо-1нс и выделены случаи, когда эффект может усиливаться, либо наобо->т, исчезать;
показана аналогия между явлением синхронизации автоколебательных 1стем и процессов в стохастических системах, обладающих статисти-гскими характерными временными масштабами;
обнаруженное в диссертации явление синхронизации стохастических гстем открывает новый механизм упорядочивания сложных систем с умом;
построена теория стохастического резонанса в ансамблях и получены ормулы, позволяющие оценить минимальное число стохастических ре-»наторов, необходимое для получения заданного значения отношения хгнал/шум;
на примере простой модели исследованы роли внешних и внутренних умов и показана необходимость правильного учета внутреннего шума. Полученные результаты могут быть использованы при создании ра-юфизических устройств, использующих эффект стохастического резо-шса, а также использовались для интерпретации результатов экспери-ентов с биологическими системами. Результаты диссертации использу-тся в учебном процессе в Саратовском государственном университете.
Достоверность научных выводов работы основывается на согласи результатов теории и численного эксперимента, воспроизводимости р зультатов численного моделирования, использовании при создании мет< дов аналитического и численного исследования строгих результатов т> ории стохастических процессов, подтверждении ряда выводов натурны экспериментом.
Основные положения, выносимые на защиту
1. Явление стохастического резонанса наблюдается в стохастических а стемах, обладающих контролируемыми шумом временными масштабам и возмущаемых как внешними многочастотными, так и полностью ш; мовыми сигналами. В случае слабых сигналов, явление описывается терминах теории линейного отклика и обуславливается свойствами во> приимчивости системы в отсутствии сигнала.
2. Динамические диссипативные системы с шумом, находящиеся вблиа локальных бифуркаций предельных циклов, при изменении интенсивн< сти шума демонстрируют явление когерентного резонанса (автономно1 стохастического резонанса). Эффект проявляется в существовании oiiti мального уровня шума в системе, при котором отношение снгнал/шу? вычисленное для индуцированного шумом пика в спектре, максимально
3. Фундаментальное явление внешней и взаимной синхронизации mi жет быть обобщено на случай стохастических бистабильных динамич< ских систем, обладающих характерными статистическими временным масштабами, контролируемыми шумом, вместо детерминированных со( ственных частот. Стохастическая синхронизация проявляется в захват мгновенных фаз процессов и их средних частот в конечной области и менения интенсивности шума.
4. Явление стохастического резонанса в условиях стохастической сш хронизации сопровождается уменьшением энтропии источника выходнс последовательности, генерируемой системой. Зависимость энтропин ir точника от интенсивности шума характеризуется наличием минимум так что стохастический резонанс может квалифицироваться как возр. стание индуцированного шумом порядка в системе.
5. Ансамбль стохастических резонаторов синхронизируется сколь угодь слабым гармоническим сигналом при оптимальном уровне внутренне!
пума и достаточном числе элементов в ансамбле. Эффект синхронизации фоявляется в захвате мгновенных фаз сигнала и коллективного выхода шсамбля, а также в уменьшении энтропии источника последовательно-:ти, генерируемой ансамблем в конечной области изменения интенсивно-:ти внутреннего шума.
Апробация работы и публикации
Основные результаты работы были представлены на следующих науч-тых конференциях: NATO advanced research workshop on stochastic res-mance in physics and biology (1992, San Diego, USA); International Sym->osium on nonlinear theory and its application (1993, Hawaii, USA); Work-;hop on stucture formation in continuous dynamical systems (1993, Caputh, jermany); Chaos and noise in dynamical systems (1993, Lodz, Poland); In-emational workshop Fluctuation in Physics and biology (1994, Elba, Italy); nternational Workshop on Nonlinear Dynamics, Fractality, and Selforgani-lation of Complex Systems (1994, Wurzburg, Germany); IV школа "Стоха-:тические колебания в радиофизике и электронике (хаос)" (1994, Саратов, Россия); Международная конференция "Критерии самоорганизации ) физических, химических и биологических системах" (Суздаль, 1995, эоссия); WE-Heraeus seminar "Stochastic dynamics of mesoscopic systems" 1995, Schmerwitz, Germany); 13-th International conference on Noise in Physical systems and 1// fluctuations (1995, Palanga, Lithuania); Interna-ional symposium on coherent approach to fluctuations (1995, Kyoto, Japan); ?orth workshop on Physics and computations, PhysComp96 (1996, Boston, JSA); Международная конференция "Нелинейная динамика и хаос: принижения в физике, биологии и медицине" (1996, Саратов, Россия); 14-th nternational conference on Noise in Physical systems and 1// fluctuations 1997, Leuven, Belgium); March meeting of the American Physical Society 1997, Kansas City, USA); Forth SIAM conference on applications of dy-lamical systems (1997, Snowbird, USA); International conference "Applied lonlinear dynamics near the millenium" (1997, San Diego, USA).
Результаты работы неоднократно обсуждались на научных семина-)ах лаборатории нелинейной динамики Саратовского госуниверситета под рук. проф. B.C. Аннщенко); кафедры радиофизики и нелинейной шнамики Саратовского госуниверситета; кафедр нелинейной динамики i стохастических процессов Гумбольтского университета (Берлин, Германия) (под рук. проф. В. Эбелинга и Л. Шиманского-Гайера); рабочей
группы "Нелинейная динамика" Потсдамского университета (Потсдаг Германия) (под рук. проф. Ю.Куртса); высшей технической школы Дармштадт (Германия) (под рук. проф. В. Лаутерборна); физическо1 факультета технического университета г.Поханг (Ю.Корея); институт электроники и телекоммуникаций (ЕТШ) (Тайджон, Ю.Корея); физич ского факультета университета штата Миссури (Сент Луис, США); Це] тра нейродинамики университета штата Миссури (Сент Луис, С1Ш (под рук. проф. Ф. Мосса), а также докладывались на сессиях корейско1 (1996) и американского (1997) физических обществ.
По материалам диссертации опубликовано 41 работа: 22 статьи в р> ферируемых журналах, 6 статей в научных сборниках, 13 тезисов док л; дов.
Личный вклад автора Результаты, составляющие основу работ! получены лично автором. Работы [6], [12], [29] и [33] выполнены без соа] торов. В экспериментальной работе [10] соискателю принадлежит вед; щая роль в интерпретации результатов. В публикациях [1-2], [4-5], [7-Е [11], [14-20], [23-24], [28], [31], [36-37] соискателю принадлежит ведуии роль в постановке задач, проведении теоретического и численного ан; лиза, интерпретации результатов. В остальных работах автору пpинaJ лежит разработка алгоритмов и проведение численного моделировани а также активная роль в обсуждении и интерпретации результатов.
Структура и объем работы Диссертация состоит из введения, ч> тырех глав и заключения, содержит 285 страниц, 88 иллюстраций. Б] блиография содержит 229 ссылок на литературные источники.
Краткое содержание работы
Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, фо] мулируются ее цель и основные задачи, приводятся положения, вынос] мые не защиту.
В первой главе СР обобщается на случай, сигналов сложного сие] трального состава. Исследуются сигналы с дискретными и непрерьп ными спектрами. Рассматривается приближение малого сигнала, что ш зволяет провести исследование в рамках теории линейного отклика. Ст( хаотическая система характеризуется восприимчивостью гДе -
- интенсивность шума. Для того, чтобы система демонстрировала СР & обходимо наличие максимума в зависимости от интенсивност
ума О. Для сигналов с дискретным спектром, представляемых в виде 1дя Фурье /(£) = А ск ът(й^), меры СР, такие как коэффициент лшения (?/) и отношение сигнал/шум (БМИ), определяются, согласно ;ории линейного отклика, как
= (1)
SNR(Пk,D)=:i(Ack)'■!|x(Пk,D)|2/G(0x)(Ok,D), (2)
1е О^) (и, И) - спектральная плотность невозмущенной системы (/(£) = I. Таким образом, если модуль восприимчивости системы демонстри-^ет максимум при увеличении интенсивности шума в некоторой области гстот, соответствующей частотам гармоник то СР, согласно (1)!), наблюдается для этих гармоник. Зависимость восприимчивости от 1стоты определяет наличие частотных искажений выходного сигнала, ля определения величины этих искажений можно использовать отноше-те амплитуд различных гармоник на выходе к такому же отношению 1 входе: = |Х(ПЬ Щ-
В качестве канонической модели для исследования СР используется гредемпфированный стохастический бистабильный осциллятор, описы-1емый стохастическим дифференциальным уравнением (СДУ)
х = Х-Х3 + У/2Б№ + /(*), <£(*Ж0> = *(*-*')■ (3)
осириимчивость системы в приближении 2-х состояний дается выраже-кем
. 1 Хт(х2)з1.х . у/2 ( 1\
хе Ат/2 - скорость Крамерса выхода из потенциальной ямы в отсут-гвпи сигнала, (х2)^ - стационарное значение второго кумулянта невоз-ущенной системы. Детально исследуются амплитудно - частотные свой-гва этой системы. В качестве многочастотных сигналов подробно рас-хатриваются случаи амплитудной и частотной модуляции. Показано, го сигнал на выходе системы характеризуется частотными искажени->ш, которые определяются видом восприимчивости системы. Для биста-1льного осциллятора характерны искажения в низкочастотной области
спектра. Величина частотных искажений зависит от интенсивности вг треннего шума и максимальна в области СР. В частности, для ЧМ с! нала частотные искажения приводят к изменению числа наблюдаем) гармоник на выходе системы.
Важным для практических приложений являются сигналы с конечн шириной спектральной линии. В качестве модели такого сигнала испо.г зуется так называемый гармонический шум, являющийся откликом Д1 сипативного линейного колебательного контура на воздействие бело шума. Спектральная плотность гармонического шума имеет форму ;: нии Лоренца Суу(и}) = £Г/[ш2Г2 + (и2 — П2)2], где Г - параметр, характ ризующий диссипацию в контуре и е определяет интенсивность гармоя ческого шума. Спектральная плотность Суу(и/) при О > Г/2 характер зуется шириной (определяемой на высоте, равной половине максима; ной высоты пика) и добротностью, определяемой как отношение часто' пика к ширине линии. В случае слабого сигнала (е< 1) для исследот ния системы применяется теория линейного отклика. В качестве мер С наряду с отношением сигнал/шум, вводятся отношение ширины лнн на выходе к ширине линии на входе и отношение добротностей линии выходе и входе. В режиме СР ширина спектральной линии мшшмалы а ее добротность - максимальна. Показано, что явление СР сохраняет для сигналов с конечной шириной спектральной линии. Однако, с рост ширины линии на входе (увеличение параметра Г) эффект ухудшаете
Для биологических приложений важным представляется исследован широкополосных шумовых сигналов. Так как применение стандарта) мер СР в этом случае невозможно, для оценки степени коррелирован! сти входа и выхода в работе используется функция когерентности, кот рая в пределе слабого сигнала имеет вид:
гги = 1 - -д-_.
В качестве конкретного примера рассматривается стохастический бист бильный осциллятор, возмущаемый слабым экспоненциально коррелщ ванным шумом. Показано хорошее совпадение теории и численного э) перимента. Таким образом, показано, что механизм СР не зависит спектрального состава слабого сигнала, действующего на нелинейн; стохастическую систему и определяется восприимчивостью системы.
Во второй главе СР обобщается на немарковские системы с внутренним цветным шумом, на хаотические системы и системы с дискретным временем на основе применения теории линейного отклика и численного моделирования. Исследуется универсальный механизм когерентного резонанса на примере ряда модельных систем, в том числе и модели нейрона Ходжкина-Хаксли.
Ситуация систем с внутренним цветным шумом принципиально отличается как от случая систем с белым шумом, так и от случая внешнего цветного шума. Статистические свойства внутреннего шума £(£) системы, находящейся в состоянии термодинамического равновесия с окружением и ее диссипативные свойства связаны флуктуационно - диссипа-тивной теоремой (ФДТ): + я)) = квТ((з), где кв - постоянная
Больцмана иГ- температура. Функция ((¿) имеет смысл зависящего от времени трения, или функции затухания. В случае белого шума ФДТ имеет вид (£(£)£(£ + »)) = 2квТу6(в), где 7 - коэффициент трения в системе. Трение в системе является мгновенным (или омическим), а соответствующий случайный процесс - марковским. Однако в случае цветного шума, когда корреляционная функция шума не является ¿-функцией, трение зависит от времени, а соответствующий процесс является немарковским, имеющим память. В передемпфированном пределе стохастическая динамика системы с внутренним шумом £(/), удовлетворяющим ФДТ, описывающая движение в потенциале II (х), модулируемым внешней слабой периодической силой, определяется обобщенным уравнением Ланжевена вида
~ 1о ^ ~ ^ + № + А 3'п(Ш) = (б)
В работе используется функция трения, состоящая из двух аддитивных частей: мгновенного трения, представленного ¿-функцией, и зависящего от времени трения, представленного экспоненциально спадающей функцией памяти:
+ (7)
В формуле (7) параметр 7 есть коэффициент мгновенного трения, т - временная постоянная, называемая временем памяти, ут - параметр, определяющий интенсивность зависящей от времени части трения. Такая конструкция функции трения, а значит и внутреннего шума, позволяет
создать простую модель, учитывающую как эффекты на быстрых вре менных шкалах (марковский ¿-коррелированный шум), так и взаимодей ствие со средой на относительно длинных временных масштабах (экс поненциально коррелированный немарковский шум). СР исследовался н; примере симметричного бистабильного потенциала. Для расчета воспри имчивости системы использовалась модифицированная для случая вну треннего цветного шума теория Крамерса и вложение немарковского про цесса, описываемого уравнением (6), в марковскую систему двух связан ных СДУ. Показано, что СР существенно модифицируется наличием ди намической памяти в системе. Так, при временах памяти меньших ил] сравнимых с периодом сигнала, СР подавляется памятью и при больши: значениях коэффициента памяти К > 1, определяемого как К — 7т/г усиление слабых сигналов невозможно. Однако при очень больших врс менах памяти, превышающих во много раз период сигнала и время Кра мерса, СР может быть усилен памятью: зависимость коэффициента уси ления от коэффициента памяти К имеет максимум.
Далее в главе исследуется СР в хаотических системах на примере мо дели Лоренца с шумом. Исследуется режим индуцированной шумом пе ремежаемости хаос-хаос. В отсутствии шума и сигнала в фазовом про странстве системы сосуществуют два хаотических аттрактора. Шум ии дуцирует случайные переходы между аттракторами. Показано, что в от сутствии сигнала при слабом шуме, когда движения в системе хорош разделены (медленное движение переходов между аттракторами и отно сительно быстрое движение на аттракторах), спектральную плотность
области низких частот можно представить в виде:
= + <8
где г(П) - средняя скорость выхода фазовой траектории из области при тяжения одного из взаимодействующих аттракторов, С - константа.
(и>) - спектральная плотность невозмущенной системы (И == 0). Пр: слабом шуме, г(£)) ос ехр(—ЛФ/1)), где ДФ - высота барьера соответ ствующего квазипотенциала. Структура спектральной плотности (8) ка чественно эквивалентна спектру стохастического бистабильного оецнл лятора. Как следствие отношения сигнал/шум (SNR) при малых ампли
гудах сигнала определяется универсальной зависимостью вида
Результаты численного моделирования полностью подтвердили теоретические оценки (8)-(9).
Показано также, что СР наблюдается и в системах с дискретным временем, обладающими контролируемым шумом глобальным временным масштабом! В качестве примера СР исследуется в отображении вида = ахп ехр(—ж2) +А вт(Пп) + £„. Аналитические результаты уда-зтся получить в области значений параметра а, где отображение близко к гашенному. В области хаоса применяется численное моделирование и показано, что СР ухудшается при усложнении движения соответствующей сцшамической системы.
Значительная часть главы посвящена исследованию универсальных свойств явления автономного СР (или когерентного резонанса). На примере модельных систем дискретных отображений и системы Ресслера доказано, что этот эффект наблюдается вблизи локальных бифуркаций предельных циклов и связан с наличием шумовых предвестников этих Зифуркаций в спектральной плотности системы. Характерная структура спектральной плотности системы, наблюдаемая после некоторой бифуркации, может быть видна даже до бифуркационной точки. Мы, таким эбразом, наблюдаем шумовой предвестник бифуркации [К. Визенфельд, 1983]. Важным здесь является то, что в отсутствии шума система редактирует к устойчивому решению и ее спектр не демонстрирует никаких эсобенностей, предвещающих последующую бифуркацию. Когерентный резонанс исследуется вблизи бифуркаций удвоения периода и рождения гора. Для количественной оценки эффекта используется мера когерентности С, определяемая произведением высоты индуцируемого шумом пика э спектральной плотности системы и его добротности. Эта мера явля-этся аналогом отношения сигнал/шум в системах с внешним сигналом. Показано, что зависимость С от интенсивности шума И описывается законом:
пт\ 1 ~ехр ~а£> /1Пч
с{п) к —ЖГл—' (10)
где а и И'о - константы, определяемые конкретным видом системы. Показано, что когерентный резонанс наблюдается в модели нейрона Ходжкина-
Хаксли вблизи бифуркации Андронова-Хопфа. Причем наряду с мерами основанными на вычислении спектральной плотности, применяются клас сические для нейрофизиологии характеристики, основанные на статистических характеристиках времен спайков нейрона.
В третьей главе исследуется новое явление синхронизации биста-билыюй стохастической динамики переключений. Рассматриваются случаи внешней и взаимной синхронизации. Исследуется стохастический резонанс в системе связанных бистабильных систем, вводятся энтропийные меры стохастического резонанса и показано наличие индуцированного шумом упорядочивания. Показано, что синхронизация стохастических бистабильных систем может быть рассмотрена как обобщение классического явления синхронизации на системы, имеющие статистическис временные масштабы, вместо детерминированных собственных частот В начале главы рассматривается синхронизация автоколебательных систем с шумом. Обсуждается динамика флуктуаций фазы. Для исследования резонансов высоких порядков используется стохастическое отображение окружности. С помощью кумулянтного анализа в гауссовом приближении построены области синхронизации на плоскости параметра "интенсивность шума - число вращения".
Далее исследуется синхронизация стохастических симметричных бистабильных систем внешним периодическим сигналом. Для описания сип хронизации вводится понятие мгновенной фазы 6(t) , определяемое не основе времен переключений:
0(t) = 27Г+2л-г, ti<t<ti+,, (Ii;
ti+i ~~ U
где tf - моменты пересечения соответствующего барьера в положительном направлении. В случае периодического процесса с частотой Q определение (11) дает мгновенную фазу 9p(t) = tit. Средняя частота (w) определяется усреднением по соответствующему распределению времеь пребывания в метастабильном состоянии P(t):
г г ос п—1 1 2тг
И = тг / t P(t) dt = lim — £ - (12;
UO J JV-oo A ;=1 f,-+1 - ti
и совпадает со средней частотой переключений. Мгновенная разность фа: стохастической бистабильной системы и периодического сигнала опреде ляется как cj>(t) = 6{t) — V. t. Приведенное определение фазы предста
вляется особенно удобным при исследовании моделей нейронов, генерирующих последовательность спайков. Выходной сигнал в этом случае представляет собой последовательность ¿-функций с центрами соответствующими временам спайков: x{t) — 6(t—ti) и применение аналитического сигнала для расчета мгновенной фазы наталкивается на сложности, связанные с разрывами временного ряда. Приведены экспериментальные результаты измерения средней частоты переключений для триггера Шмитта, на вход которого подавался шум и периодический сигнал. Показан эффект захвата средней частоты переключений. Установлено, что это явление имеет место при достаточной величине амплитуды сигнала. На плоскости параметров "амплитуда сигнала - интенсивность шума" построены области синхронизации, напоминающие языки Арнольда, внутри которых средняя частота триггера захвачена и совпадает с частотой вынуждающей силы. Далее проводится детальное численное моделирование системы с расчетом мгновенной разности фаз выхода триггера и входного сигнала. Установлено, что в области синхронизации наблюдается явление захвата фаз выхода триггера и входного периодического сигнала, а стохастическая динамика разности фаз описывается СДУ вида ф = А—е sin <?+£,(!■), которое является универсальным для описания флук-гуаций фазы в синхронизируемых автоколебательных системах с шумом. Иными словами, в области синхронизации разность фаз совершает броуновское движение в некотором периодическом потенциале: мгновенная фаза в течение длительных промежутков времени флуктуирует внутри ш этого потенциала (что соответствует захвату фаз с некоторым посто-шным сдвигом) и изредка совершает 27г-скачки из одной ямы в другую 'сбои фазы). Для количественной оценки фазовой когерентности исполь-)уется коэффициент эффективной диффузии разности фаз,
Ven = Jt№(t))-m)? ], (13)
который обратно пропорционален среднему времени в течение которого £азы захвачены. Показано, что зависимость De¡¡ от интенсивности шума шеет минимум, который соответствует максимальному усилению сиг-1ала в системе, т.е. СР.
Аналогичные явления фазовой синхронизации наблюдались и для мотели нейрона Фитцхью-Нагумо. Средняя частота в этом случае ассоии-фуется со средней скоростью зажигания нейрона. Наличие в нейронных
моделях колебательных движений позволило наблюдать синхронизацию не только на основной частоте действующего сигнала, но и на ее второй гармонике.
Далее исследуется синхронизация в связанных стохастических биста-бильных системах. Чтобы избежать каких-либо колебательных движений, в качестве парциальных систем используются передемпфированные бистабильные осцилляторы:
х = ах - хъ + 7(у - х) +
у = {а + А)у-у3+ч(х-у) + \/21)и*)- (14)
В СДУ (14) параметр а определяет частоту Крамерса первой подсистемы в отсутствии связи, Д - параметр расстройки, 7 - коэффициент связи. Источники белого шума £1^) и £.2^) предполагаются статистически независимыми, так что при 7 = 0 случайные процессы в подсистемах х(Ь) и у{Ь) также статистически независимыми. Исследуются бифуркационные изменения структуры стационарной плотности вероятности системы. Обнаружено явление синхронизации стохастических переходов между ме-тастабильными состояниями подсистем при увеличении коэффициента связи. Для количественной оценки синхронизации используется функция когерентности процессов в подсистемах, вычисляются средние частоты подсистем и анализируется динамика разности мгновенных фаз. Показано, что резкое увеличение функции когерентности с ростом коэффициента связи коррелирует с бифуркационными изменениями структуры стационарной плотности вероятности. Установлено явление затягивания средних частот парциальных и захвата фаз парциальных систем при увеличении коэффициента связи.
С добавлением в правые части СДУ (14) гармонической силы А Бт(Ш) исследуется СР. В этом случае рассматривается процесс взаимодействия трех временных масштабов: двух статистических, представленных средними частотами переключений подсистем и одного детерминированного - периода внешней силы. Основное внимание уделяется характеру поведения интегральных мер СР с изменением коэффициента связи 7. Обсуждаются два различных механизма возрастания когерентности, которые должны влиять на СР. Во-первых, наблюдается когерентное поведение систем на выделенной частоте сигнала. Второй механизм определяете* стохастической синхронизацией и связан с ростом когерентности в ши-
рокой полосе низких частот. Показано, что конкуренция этих двух механизмов приводит к существованию оптимального значения коэффициента связи, при котором отношение сигнал/шум максимально. Таким образом, в связанных бистабильных системах СР может быть дополнительно усилен путем настройки коэффициента связи.
Последний раздел главы посвящен анализу СР и стохастической синхронизации в терминах теории информации. Стохастическая бистабиль-ная динамика позволяет естественно перейти к описанию на языке символьных бинарных последовательностей и ввести в качестве мер упорядоченности энтропийные характеристики. Рассматриваются условные (или динамические) энтропии Ьп распределений двоичных слов длины тг, дающие в пределе п —> оо энтропию источника Шеннона, которая является универсальной мерой порядка (хаоса) для последовательностей символов. Энтропия источника к — Нтп^^ кп определяет минимальное количество информации, необходимое для предсказания следующего символа в последовательности при наличии знания о полной преднстории процесса. Показано, что энтропия источника на выходе бистабильной системы, возмущаемой шумом и периодическим сигналом, оцененная с помощью динамических энтропии, может быть минимизирована при увеличении интенсивности шума. Иными словами, увеличивая шум в системе можно добиться золее высокой степени предсказуемости выходной последовательности, что означает увеличение степени упорядоченности в системе. Уровень пума, при котором энтропия источника минимальна и выходная последовательность наиболее упорядочена соответствует режиму СР. Важно ггметить, что описанное явление индуцированного'шумом порядка воз-ложно лишь при достаточно больших амплитудах сигнала, когда имеет лесто синхронизация стохастических переключений внешним периоди-юским сигналом. В случае, когда отклик стохастической бистабильной :истемы на воздействие периодического сигнала является линейным, энтропия источника монотонно возрастает с увеличением интенсивности пума и стремится к 1 при больших значениях И. Количество ннформа-ши, передаваемое с входа на выход анализируется с помощью энтропий Чульбака. Показано, что эти меры также минимизируются при соответ-:твующей настройке уровня шума.
Совокупность полученных результатов позволяет говорить о расшире-ши понятия синхронизации на новый класс систем, обладающих стати-
стическимп характерными временными .масштабами, контролируемым! шумом, вместо детерминированных собственных частот.
Четвертая глава посвящена исследованию ансамблей элементов, каждый из которых является системой, демонстрирующей СР, или стоха стическим резонатором. Модель содержит N стохастических резонато ров, имеющих общий вход. Каждый элемент имеет внутренний шум а выходы стохастических резонаторов х^) суммируются в некоторого центре, формирующим коллективный выход яд/(£) = ^ Е ХкЦ)- Рассма триваемая модель имеет важные приложения в биологии как простейша: нейронная сеть или массив ионных каналов. Для исследования обработю слабых сигналов применяется теория линейного отклика. В пределе бес конечно большого ансамбля (Ы —» оо) система ведет себя как линейны] фильтр с коэффициентом передачи, определяемым восприимчивостям] элементов ансамбля. Рассматриваются случаи апериодического СР, ко гда вход ансамбля представлен широкополосным шумом и нериодиче ского СР, когда вход представлен слабым гармоническим сигналом ] внешним шумом. Для первого случая получено универсальное выражени для функции когерентности ансамбля идентичных элементов в виде:
) = 1х(ц,Р)|2с„н (15
где О) - восприимчивость элемента в ансамбле, С ¡¡¡¡{и)) - спектра.'» ная плотность входного сигнала, И) - невозмущенная спектрал!
ная плотность на выходе элемента. При N —> оо функция когерентне сти стремится к 1, т.е. к наиболее когерентному состоянию, как это должно быть для линейных систем. Более того, с ростом числа элементе в ансамбле зависимость функции когерентности от интенсивности внз треннего шума Б и частоты пропадает, как это видно из формулы (15 Иными словами, выходной сигнал может быть оптимизирован при любо интенсивности внутреннего шума, начиная с некоторого малого значени; независимо от частотных свойств входа. Этот факт имеет большое пра1 тическое значение, так как означает фактически отсутствие частотны искажений на коллективном выходе системы. Для случая периодическо1 сигнала, испорченного внешним шумом, разработанная теория позволяе получить отношение отношений сигнал/шум на выходе и входе ансамбл Показано, что эта величина всегда меньше 1 и лишь в пределе N —> с отношения сигнал/шум на входе и выходе совпадают. Более того, теор!
РЧ
позволяет оценить число элементов в ансамбле, необходимое для получения заданной величины rj отношений сигнал/шум на выходе и входе:
* = ___1- (16)
где Gnn(u>) - спектральная плотность внешнего шума, Г2 - частота сигнала. В качестве примера рассматривается ансамбль, составленный из стохастических бистабильных осцилляторов. Показано, что зависимость N(D), определяемая (16) характеризуется минимумом: в режиме CP необходимо наименьшее число элементов.
Исследуется синхронизация ансамблей стохастических резонаторов слабым периодическим сигналом. Вначале приводятся результаты численного моделирования ансамблей триггеров Шмитта и нейронов Фитцхью - Нагумо. Рассматривается режим слабого сигнала, в котором стохастическая динамика отдельно взятого элемента не может быть синхронизована. Тем не менее, коллективный выход ансамбля синхронизуется слабым сигналом, что регистрируется по захвату его мгновенной фазы и средней частоты. Показано также, что энтропия последовательности, генерируемой ансамблем, может быть уменьшена при увеличении интенсивности внутреннего шума. Рассчитывается коэффициент эффективной диффузии разности фаз и показано наличие минимума при изменении интенсивности внутреннего шума. Далее развивается теория фазовых флуктуаций большого (N 1) ансамбля стохастических резонаторов. В качестве элементов ансамбля используются бистабильные системы с восприимчивостью (4). Показано, что в рамках теории линейного отклика коллективная динамика ансамбля описывается периодически модулируемым процессом Орнштейна-Уленбека:
XM--^xM + ^-cf3s{m) + y/2Dw{t), V = А + , (17)
где А/2 - скорость Крамерса отдельного элемента, Q - интенсивность внешнего шума, w(t) - белый шум. С помощью концепции аналитического сигнала делается переход к СДУ, описывающим флуктуации амплитуды и фазы. Полученные СДУ напоминают уравнения для флуктуаций амплитуды и фазы синхронизируемого автогенератора. Однако, коэффициенты уравнений являются функциями интенсивности внутреннего шума в системе. Коэффициент эффективной диффузии разности фаз
определяется как =
2тг
. тгП V
1 + ехр!ад/
1
ехр
В(О)
х
П
А + О агссоБ —
>Ла + П2
(18)
Зависимость Def¡ от интенсивности внутреннего шума характеризуется минимумом при значении Ю, соответствующему СР. Определяется условие синхронизации: ансамбль синхронизован внешним периодическим сигналом, если среднее время между сбоями фазы превышает 100 периодов сигнала: \|Deff^> 100 • 2/т/Я. На плоскости параметров "интенсивность внутреннего шума - число элементов в ансамбле" построены области, внутри которых будет выполняться указанное выше условие синхронизации. Показано, что, как и для отдельного элемента, синхронизация носит пороговый характер: если ансамбль содержит недостаточное число элементов, то флуктуации разности фаз будут значительными и синхронизация будет отсутствовать. При возрастании частоты гармонического сигнала области синхронизации сужаются и пороговое значение минимального числа элементов в ансамбле возрастает, что обусловлено низкочастотным характером восприимчивости элементов ансамбля. Развитая теория полностью объясняет результаты численного моделирования и подтверждает возможность синхронизации достаточно большого ансамбля стохастических резонаторов в широкой области изменения интенсивности внутреннего шума.
В конце главы обсуждается проблема внутреннего и внешнего шума и их ролей в формировании коллективного отклика ансамбля стохастических резонаторов на внешнее воздействие. В качестве рабочей системы используется модель массива нелинейных элементов, которые в зависимости от входного напряжения могут быть в одном из двух возможных состояний. Эта модель описывает, например, массив ионных каналов в клеточной мембране. В качестве входного сигнала используется широкополосный шум. Показано, что внутренний шум, определяющий вероятность открытия канала, модулируется как сигналом, так и внешним шумом. Установлено, что внутренний шум приводит к нетривиальному
поведению интегральных мер коллективного выхода и его учет необходим для правильного описания поведения модели.
Основные результаты и выводы
1. Стохастический резонанс может применяться для усиления ампли-гудно и частотно модулированных сигналов. Нелинейные искажения сигнала на выходе стохастического резонатора незначительны, а частотные искажения определяются восприимчивостью системы в отсутствии сиг-чала.
2. Стохастический резонанс имеет место для квазимонохроматиче-■ких сигналов с конечной шириной спектральной линии. Добротность спектральной линии на выходе стохастического резонатора может быть оптимизирована путем изменения интенсивности шума. При этом ширина линии имеет минимум, а высота - максимум в зависимости от интенсивности шума.
3. Для слабых широкополосных шумовых сигналов стохастический )Сзонане описывается в терминах теории линейного отклика. Функция югерентности является универсальной мерой для апериодического сто-састического резонанса,
4. Стохастический резонанс имеет место в немарковских системах с «утренним цветным шумом, обладающих зависящим от времени третей или динамической памятью. При этом его меры существенно за-шсят от свойств шума или памяти в системе. При временах памяти геньших или сравнимых с периодом сигнала стохастический резонанс юдавляется. Наоборот, при очень больших временах памяти стохасти-юский резонанс может быть усилен.
5. Хаотические системы, возмущаемые шумом и периодическим сиг-алом, демонстрируют стохастический резонанс в режимах перемежае-гости типа хаос-хаос. Механизмы стохастического резонанса в хаотиче-ких системах и в простых бнстабильных осцилляторах в случае слабого игнала полностью идентичны и определяются существованием глобаль-ых временных масштабов, контролируемых шумом. Стохастический ре-:шаш: наблюдается также и в бистабильных динамических системах с искретным временем.
6. Явление когерентного резонанса (или автономного стохастического езонанса) наблюдается зблизи локальных бифуркаций предельных ци-лов динамических систем, возмущаемых внешним шумом. Физическая
картина когерентного резонанса универсальна и определяется конкуренцией двух тенденций. С одной стороны, амплитуда индуцированных шумом колебаний растет с увеличением интенсивности шума, что усиливает когерентность движения на частоте индуцированного колебания. С другой стороны, индуцированная шумом линия в спектре мощности уширяется с ростом интенсивности шума, что разрушает когерентность. Результатом конкуренции является существование оптимального уровня шума, при котором индуцированный шумом пик в спектре мощности наиболее выражен на фоне шумового пьедестала.
7. При достаточно большой амплитуде периодического сигнала, действующего на стохастическую бистабильную систему, средняя частота процесса на выходе последней захватывается: в конечной области значений интенсивности шума средняя частота медленно меняется с изменением интенсивности шума и близка к частоте периодического сигнала На плоскости параметров "интенсивность шума - амплитуда сигнала' возможно построение областей синхронизации, эквивалентных языках Арнольда детерминированных динамических систем. В моделях нейронов, возмущаемых периодическим сигналом и шумом, возможен захват средней частоты как на частоте сигнала, так и на его высших гармониках.
8. Для стохастической бистабилыюй динамики возможно введен«« мгновенной фазы и частоты, что позволяет описывать наблюдаемые эф фекты в терминах фазовой синхронизации. В области синхронизацт мгновенные фазы выходного процесса и сигнала остаются захваченным! в течение длительных промежутков времени. Среднее время, в течешп которого фазы остаются захваченными определяется коэффициентом эф фективной диффузии разности фаз. Зависимость коэффициента диффу зии разности фаз от интенсивности шума характеризуется наличием ми нимума, соответствующего оптимальной интенсивности шума, при ко торой имеет место стохастический резонанс.
9. В связанных стохастических бистабильных системах возможна вза имная стохастическая синхронизация процессов переключений. Это яйле ние проявляется в затягивании частот Крамерса парциальных подсисте! при увеличении коэффициента связи и сопровождается захватом мгно венных фаз процессов в парциальных подсистемах. Указанное явлени описывается также и с помощью функций когерентности. Причем pes
шй рост степени когерентности процессов в подсистемах при увеличено! связи отражает качественную перестройку структуры стационарной шотности вероятности системы.
10. В связанных стохастических бистабильных системах, возмущаемых внешним слабым периодическим сигналом, оптимизация отношения :игнал/шум на выходе возможна путем настройки как интенсивности пума, так и коэффициента связи. Наличие оптимальной связи объяснятся конкурирующим действием двух механизмов синхронизации: син-:роннзашш на выделенной частоте сигнала и стохастической синхрони-ации переключений в подсистемах, имеющей место в широкой полосе [астот.
11. Явление синхронизации стохастических переключений внешним [ериодическпм сигналом сопровождается индуцированным шумом упо->ядочиваш1ем выходного сигнала: энтропия источника демонстрирует гишшум, соответствующий оптимальному уровню шума, при котором [аксимально усиление и отношение сигнал/шум. Применение энтропии [ульбака позволяет определить уровень шума, при котором последова-ельности на входе п выходе максимально близки по своим статистпче-кпм свойствам. Это имеет место при значении амплитуды шума, соот-етствующей границе области синхронизации.
12. Эффект стохастического резонанса может быть существенно уси-ен при использовании ансамблей стохастических резонаторов, действу-|щих параллельно. Отношение сигнал/шум на выходе может быть при-ггижено к отношению сигнал/шум на входе при сохранении усилитель-ых свойств системы. Число элементов ансамбля стохастических резона-эров, необходимое для получения заданного отношения сигнал/шум на лходе характеризуется наличием минимума в зависимости от интенспв-эсти внутреннего шума. Применение ансамбля стохастических элемента позволяет сгладить частотную зависимость функции когерентности, е. избежать частотных искажений выходного сигнала.
13. Ансамбль стохастических резонаторов, содержащий достаточное 1сло элементов, может быть синхронизован сколь угодно слабым пе-годическим сигналом при оптимальном уровне внутреннего шума. На госкости параметров "интенсивность внутреннего шума - число эле-5Нтов в ансамбле" возможно построение областей синхронизации вну->и которых мгновенные фазы коллективного выхода и входного сигнала
захвачены в течение заданного длительного промежутка времени. Синхронизация сопровождается индуцированным шумом упорядочиванием выходного сигнала: энтропия источника достигает минимума при оптимальном значении интенсивности внутреннего шума.
14. Внутренний шум, обусловленный конечностью числа элементов в ансамбле, может играть принципиальную роль в усилительных свойствах системы. В частности, в модели массива ионных каналов учет внутреннего шума необходим для адекватного описания явления стохастического резонанса, наблюдающегося в экспериментах.
Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах. Статьи в реферируемых журналах
1. Anishchenko V.S., Neiman А.В., Bifurcational analysis of bistable system excited by colored noise// Int. J. Bif. & Chaos, 1992. Vol.2. N4. P.979-982.
2. Anishchenko V.S., Neiman А.В., Safonova M.A. Stochastic resonance in chaotic systems// J.Stat.Phys. 1993. Vol.70, N 1/2. P.183-196.
3. Anishchenko V.S., Ebeling W., Neiman A. Power law distribution of spectral density and high order entropies// Chaos, Solitons and Fractals, 1993. Vol.4. P. 69-81.
4. Анищенко B.C., Нейман А.Б., Сафонова M.A., Хованов И.А. Стохастический резонанс при многочастотном воздействии// Радиотехника и Электроника, 1994. Т.39, N 8/9. С. 1380-1392.
5. Anishchenko V.S., Neiman А.В., Chua L.O. Chaos-chaos intermit,tencj and 1// noise in Chua's circuit// Int.J.Bif.and Chaos. 1994. Vol.4, N 1 P.99-107.
6. Neiman A. Synchronizationlike phenomena in coupled stochastic bistable systems// Phys.Rev.E, 1994. Vol.49. P.3484-3488.
7. Neiman A., Schimansky-Geier L. Stochastic resonance in bistable systems driven by harmonic noise// Phys.Rev.Lett., 1994. Vol.72. N 19. P.2988-2991.
8. Neiman A., Schimansky-Geier L. Stochastic resonance in two couplec bistable systems// Phys.Lett.A. 1995. Vol.197. P.379-386.
9. Neiman A., Anishchenko V., Kurths J. Period-doubling bifurcations in th( presence of colored noise// Phys.Rev.E. 1994. Vol.49, N 5. P.3801-3806.
10. Shulgin В., Neiman A., Anishchenko V. Mean switching frequency lock ing in stochastic bistable system driven by a periodic force// Phys.Rev.Let. 1995. Vol.75, N 23. P. 4157-4161.
11. Neiman A., Feudel U., Kurths J. The cumulant approach for investigating the noise influence on mode-locking bifurcations// J.Pliys.A: Math. [Jen., 1995. Vol.28. P.2471-2480.
12. Нейман А.Б. Применение кумулянтного анализа для исследования эпфуркаций динамических систем, возмущаемых внешним шумом// Изв. }узов "Прикладная нелинейная динамика", 1995. Т.З, N 3. С.8-21.
13. Ebeling W., Neiman A. Long-range correlations between letters and sen-ences in texts// Physica A, 1995. Vol.215. P 233-242.
-4. Neiman A., Sung W. Memory effects on stochastic resonance// Phys. Lett. A. 1996. Vol.224. P.341-347.
.5. Neiman A., Shulgin В., Anishchenko V., Ebeling W., Schimansky-Geier j., Freund J. Dynamical entropies applied to stochastic resonance// Phys. lev. Lett. 1996. Vol.76, N 23. P.4299-4302.
.6. Witt A., Neiman A., Kurths J. Characterizing the dynamics of stochas-ic bistable systems by measures of complexity// Phys.Rev.E., 1997. Vol.55, чт 5. P. 5050-5059.
7. Neiman A., Schimansky-Geier L., Moss F. Linear response theory applied о stochastic resonance in models of ensemble of oscillators// Phys.Rev.E., 997. Vol.56., N 1 P. R.9-R12.
8. Neiman A., Saparin P., Stone L. Coherence resonance at noisy precursors f bifurcations in nonlinear dynamical systems// Phys.Rev.E. 1997. Vol.56, J 1. P.270-273.
9. Анищенко B.C., Нейман А.Б. Стохастический резонанс и стохасти-еская синхронизация// Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 997. Т.5, N 1. С.5-10.
0. Gailey Р.С., Neiman A., Collins J.J., Moss F. Stochastic resonance in en-smbles of non-dynamical elements. The role of internal noise// Phys.Rev.Lett. 997. Vol.79. P.4701-4704.
1. Soskin S.M., Luchinsky D.G., Mannella R., Neiman А.В., McClintock '.V.E. Zero-dispersion nonlinear resonance// Int.J. Bifurcation and Chaos, 997. Vol.7, N 4. P. 923-936.
2. Luchinsky D.G., McClintock P.V.E., Soskin S.M., Stein N.D., Neiman ..B. Comment on nonlinear resoanance and chaos in the relativistic phase эасе for driven nonlinear systems// Phys.Rev.E., 1996. Vol.53, N 4. P. 4240241.
Статьи d научных сборниках
23. Anishchenko V.S., Neiman А.В., Safonova M.A., Khovanov I.A. Multi-frequencies stochastic resonance// Chaos and Nonlinear Mechanics: Proceedings Euromech Colloquium/ Eds. T. Kapitaniak, J. Brindley. Singapore: World Scientific, 1995. P. 41-53.
24. Anishchenko V., Neiman A. Stochastic synchronization// Stochastic Dynamics/ Eds. L. Schimansky-Geier and T.Poschel: Springer, Berlin, 1997, P. 155-166.
25. Neiman A.B., Soskin S.M., McClintock P.V.E. Dynamical chaos in zero-dispersion nonlinear resonance//Noise in Physical systems and 1// fluctuations/eds. Bereikis V., Katilius R. Singapore: World Scientific, 1995. P. 701704.
26. Soskin S.M., McClintock P.V.E., Stein N.D., Neiman A.B., Mannella R., Isaia V.I. Chaos in periodically driven dissipative zero-dispersion systems// Noise in physical systems and 1// fluctuations/ Eds. Claeys C., Simoen E. Singapore: World Scientific, 1997. P. 333-336.
27. Soskin S.M., Mannella R., Isaia V.I., Neiman A.B., McClintock P.V.E. Chaos in periodically driven zero-dispersion systems// Noise in physical systems and Iff fluctuations/ Eds. Claeys C., Simoen E. Singapore: World Scientific, 1997. P. 351-354.
28. Neiman A., Moss F., Schimansky-Geier L., Ebeling W. Synchronization in models of ensembles of stochastic resonators// Applied nonlinear dynamics and stochastic systems near the millenium/ Eds. J.B. Kadtke and A.R. Bulsara: AIP Conference Proceedings # 411, 1997. P. 151-156.
Тезисы докладов научных конференций
29. Neiman A. Stochastic synchronization in coupled bistable systems// Workshop on structure in continuous dynamical systems/ WE - Heraeus -Seminar: Caputh, 1993.
30. Neirnan A., Ebeling W. Statistical description of long-range correlations between sentences in texts// International Workshop on Nonlinear Dynamics, Fractality, and Selforganization of Complex Systems/ Wiirzburg, 1994.
31. Нейман А.Б., Шульгин Б.В., Сапарин П.И., Анищенко B.C. Анализ стохастического резонанса с помощью различных критериев самоорганизации// Тезисы докладов Международной конференции "Критерии самоорганизации в физических, химических и биологических системах". Суздаль, 1995. С.75.
32. Шульгин Б.В., Нейман А.Б., Анищенко B.C. Вынужденная синхро-
изация осциллятора Крамерса// Тезисы докладов Международной кон-)еренцни "Критерии самоорганизации в физических, химических и био-огических системах". Суздаль, 1995. С.103.
3. Neiman A. Stochastic resonance and stochastic synchronization// Work-hop on stochastic dynamics of mesoscopic systems/ WWE-IIeraeus-Seminar: chmerwitz, 1995.
4. Ebeling W., Poschel Т., Neiman A. Entropy and compressibility of sym-ol sequences// Proceedings of the Fourth Workshop on Physics and Compu-itions (PhysComp96), edited by T.Toffoli, M.Biafore and J.Leao/ Boston: rew England Complex Systems Institute, 1996. P. 103-107.
5. Ebeling W., Neiman A., Poschel T. Dynamic entropies, lon-range conditions and fluctuations in complex linear structures// Coherent Approaches ) Fluctuations edited by M. Suzuki and N. Kawashima/ Singapore: World cientic, 1996. P. 59-64.
3. Neiman A., Sung W. Memory effects on stochastic resonance// Bulletin : the Korean Physical Society, 1996. Vol.14. P. 159.
Г. Neiman A., Schimansky-Geier L., Anishchenko V. Stochastic synchro-zation of noisy bistable systems// Bulletin of the American Physical Soci-y, 1997. Vol.42., N 1. P. 725.
!. Dikshtein I.E., Neiman A.B. Spatio-temporal stochastic resonance of a nk motion in an inhomogeneous media// Bulletin of the American Physical >ciety, 1997. Vol.42, N 1. P.654.
I. Neiman А.В., Dikshtein I.E. Spatio-temporal stochastic resonance of a nk motion in an inhomogeneous ф4 model// Fourth SIAM conference on >plications of dynamical systems. Snowbird, Utah, 1997. P.63. '. Dikshtein I.E., Neiman A., Schimansky-Geier L. Spatio-temporal stochas-: resonance of a domain wall in an inhomogeneous magnet// Conference gest of International Symposium on Non-Linear Electromagnetic Systems 3EM), Braunschweig, 1997. P.12-15.
, Schimansky-Geier L., Freund J., Siewert U., Neiman A. Stochastic reso-nce: informational aspects and distributed systems// Nonlinear dynamics d chaos (ICND-96). Book of abstracts. Saratov, 1996. P.159.
НЕЙМАН Александр Борисович СТОХАСТИЧЕСКИЙ РЕЗОНАНС И СИНХРОНИЗАЦИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ Автореферат
Ответственный за выпуск доцент, к.ф.-м.н. Вадивасова Т.Е.
Подписано в печать ^
Усл.-печ.л. 2.0 Тираж 100 экз. Заказ 62.
