Стохастический транспорт, индуцированный квазислучайным телеграфным сигналом тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ



./ / .У) ' / >>

!

Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского

На правах рукописи

НИКИТИН Александр Петрович

УДК 530.162:621.373

СТОХАСТИЧЕСКИЙ ТРАНСПОРТ, ИНДУЦИРОВАННЫЙ КВАЗИСЛУЧАЙНЫМ ТЕЛЕГРАФНЫМ СИГНАЛОМ

01.04.03 - радиофизика

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук, доцент Постнов Д. Э.

Саратов - 1998.

Содержание.

Сокращения, использованные в диссертации. 5

Введение. . 6

1 Фазовая автоподстройка частоты как система с асимметричным периодическим потенциалом. 20

1.1. Вывод модельных уравнений. . .............. 20

1.2. Экспериментальная установка и методика эксперимента. 28

1.3. Модельные уравнения и некоторые их решения...... 31

1.3.1. Движение частицы под действием белого шума . 31

1.3.2. Движение частицы, вызванное медленным шумом. 39 ' 1.4. Выводы по Главе 1.................... . . 52

2 Аддитивное действие квазислучайного телеграфного сигнала на систему с периодическим потенциалом. 54

2.1. Введение к Главе 2...................... 54

2.2. Квазислучайный телеграфный сигнал. Определение. Свойства............................... 56

2.3. Аддитивное действие квазислучайного телеграфного сигнала на систему с периодическим потенциалом. Экспериментальные результаты. . ................. 59

2.4. Аддитивное действие квазислучайного телеграфного сигнала на систему с периодическим потенциалом. Теоретические результаты...................... 60

2.5. Аддитивное действие периодического во времени сигнала

на систему с периодическим в пространстве потенциалом. 67

2.6. Влияние инерционности на движение частицы, возбуждаемой шумом.......................... 81

2.7. Выводы по Главе 2. ..................... 94

3 Мультипликативное действие квазислучайного телеграфного сиг. нала на систему с периодическим потенциалом. 96

3.1. Введение к главе 3...................... 96

3.2. Особенности экспериментальной установки для исследования системы с мультипликативным воздействием. . . 100

3.3. Экспериментальные результаты по мультипликативному действию квазислучаного телеграфного сигнала на систему с периодическим потенциалом............ 101

3.4. Теоретические результаты по мультипликативному действию квазислучайного телеграфного сигнала на систему

с периодическим потенциалом................ 104

3.4.1. Поток частиц при периодической модуляции потенциала. Случай передемпфирования....... 104

3.4.2. Поток частиц при модуляции потенциала посредством квазислучайного телеграфного сигнала. . . 107

3.4.3. Влияние массы частиц на их поток......... 109

3.5. Поток частиц, приводимых в движение "цветным" гаус-совским шумом........................ 114

3.6. Выводы по Главе 3...................... 125

4 Система с периодическим потенциалом и бегущей волной под действием шума. 127

4.1. Введение к Главе 4...................... 127

4.2. Уравнение фазовой автоподстройки частоты, находящейся под действием гармонической помехи.................128

4.3. Броуновское движение в периодическом потенциале в при-

сутствии волны.............................133

4.4. Движение частиц в периодическом потенциале в присутствии волны и медленного шума............................137

4.5. Выводы по Главе 4....................................149

Заключение. 150

Список цитированной литературы. 153

Приложение I.

165

Сокращения, использованные в диссертации.

ФАП - система фазовой автоподстройки частоты.

СТС - случайный телеграфный сигнал (дихотомический шум).

КТС - квазислучайный телеграфный сигнал (бинарный шум).

Введение.

Настоящая работа посвящена исследованию направленного движения в стохастических системах с периодическим потенциалом, а так же проблеме управления этим движением. В последнее время при описании подобных явлений все чаще используют термин "стохастический транспорт" (stochastic transport). Данный класс задач является интересным по нескольким причинам. Во-первых, системы с периодическим потенциалом широко распространены в технике. Например, системы фазовой автоподстройки частоты [1, 2, 3] и синхронизируемый периодическим сигналом автогенератор [4] при некоторых предположениях можно рассматривать как системы с периодическим потенциалом. В условиях флуктуаций их фазовые переменные, как заметил Стратонович, ведут себя подобно броуновской частице [5]. Несколько лет назад выяснили, что броуновское движение в периодических потенциальных полях широко распространено в живой природе - в клетках [6, 7, 8, 9,10]. Оказалось, что движение ионизированных молекул около полимерной цепи есть не что иное как броуновское движение в периодичном потенциальном поле, которое создается за счет периодичности структуры полимера. Кроме перечисленных систем, к данному классу можно отнести и хорошо изученный в теоретической физике контакт Джозефсона [11, 12, 13]. Во-вторых, неожиданным оказалось то, что результаты исследований систем с периодическим потенциалом могут быть полезными не только в радиофизике, биологии и медицине, но и в нанотехнологии [14, 15, 16]. В настоящее время инженеры заимствовали принцип действия молекулярных моторов и пытаются применить его в нанотехнологии для сортировки и направленного перемещения частиц.

Любопытно, но броуновское движение в периодических Потенциаль-

ных полях затрагивает проблему обоснования Второго закона термодинамики [17]. На первый взгляд может показаться невероятным, что Второй закон вносит ограничения на поведение, например, системы фазовой автоподстройки частоты, которая подвержена флуктуациям. Хотя ограничения законов термодинамики на движение частиц около полимера кажутся естественными.

Для систем с периодическим потенциалом Второй закон означает, что существует шум с такой статистикой, под действием которого переходы через потенциальные барьеры в противоположных направлениях осуществляются с равной вероятностью, и поток вероятности в среднем равен нулю, причем для потенциальных барьеров любой фи-зичной формы и асимметрии. Такому требованию отвечает белый гаус-совский шум. Его условно называют равновесным и с его помощью описывают тепловые флуктуации. Наиболее ясное физическое объяснение тому, почему гауссовский белый шум является равновесным и не вызывает направленного Движения, дает модель Магалинского [18]. Данная модель представляет собой классическую механическую систему, описывающую тяжелую частицу-осциллятор, который взаимодействует с системой из N свободных осцилляторов. Модель показывает, что действие свободных осцилляторов на частицу может быть двояким. С одной стороны, осцилляторы возбуждают частицу и приводят ее в движение. Поэтому силу со стороны осцилляторов можно называть толчковой. С другой стороны, осцилляторы мешают частице свободно двигаться, что приводит к затуханию ее скорости. Такое взаимодействие играет роль трения. Если число свободных осцилляторов велико, и все они действуют на тяжелую частицу одинаково, то есть имеет место равномерное распределение энергии по степеням свободы как при тепловом равновесии, то, принимая во внимание, что коор-

динаты и импульсы всех осцилляторов являются случайными величинами, согласно Центральной предельной теореме теории вероятностей

[19] толчковая сила имеет гауссовское распределение. Модель Магалин-ского является обобщением флуктуационно-диссипационной теоремы

[20] и связывает трение с толчковой силой. В пределе N оо толчковая сила становится ¿-коррелированной, то есть белым гауссовским шумом. В радиофизике очень часто посредством белого гауссовского шума аппроксимируют широкополосную помеху [21, 22] или электродвижущую силу теплового движения электронов в элементах контуров. Но, в отличие от модели Магалинского, здесь белый шум может выступать не только внутренним, но и внешним для системы. В данном случае это не принципиально, поскольку систему с внутренним шумом и систему с внешним шумом описывают уравнения ланжеве-новского типа, то есть стохастические дифференциальные уравнения [23, 24]. В ряде случаев уравнения системы фазовой автоподстройки частоты и броуновского движения в периодичном потенциале совпадают (это будет показано в настоящей работе). Естественно, совпадают и их решения. Поэтому можно проводить соответствующие обобщения результатов, полученных, например, для броуновского движения, на системы фазовой автоподстройки частоты. Подобный подход принят в синергетике - в междисциплинарном направлении, которое использует аналогию в поведении систем различной природы и поэтому интегрировало в себя многие отрасли знания [25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32].

Интерес исследователей к проблеме влияния асимметрии периодического потенциала на поток в стохастической системе был вызван работами Магнеско [6, 7]. В этих работах было показано, что энергия аддитивно приложенной симметрично распределенной коррелированой во времени силы может быть трансформирована в энергию направлен-

ного движения частицы. Ценность работ очень велика, поскольку до этого исследовались системы, у которых потенциальные барьеры были симметричны. По сути,дела, Магнеско "открыл" новый класс неисследованных систем.

Как было указано ранее, математическими моделями систем с периодическим потенциалом являются уравнения Ланжевена, причем нелинейные. Нелинейность стохастических уравнений оказывается препятствием на пути решения задачи, в ходе которой требуется найти среднюю скорость изменения фазовой переменной. Сложность решения задачи заключается в том, что среднее от нелинейной функции со случайным аргументом не совпадает с значением этой функции от среднего ее аргумента. По этой причине непосредственным усреднением ланжевеновского уравнения нельзя перейти к уравнению, записанному относительно среднего фазовой переменной, а значит и решать задачу принятым в линейной теории методом [5]. Здесь требуется качественно иной подход. Например, когда шум, генерируемый ланжевеновским источником, является марковским процессом, можно совершить переход к уравнению Фоккера-Планка, которое описывает эволюцию плотности вероятности фазовых переменных. Уравнение Фоккера-Планка для данного класса задач является линейным уравнением в частных производных с периодическим коэффициентом сноса. На сегодняшний день получено несколько его стационарных решений при периодических граничных условиях [33, 34, 35]. Все эти решения относятся к режиму передемпфирования, то есть когда частица движется в условиях большого трения, и ее инерционными свойствами пренебрегают.

К первой группе аналитически решаемых задач относятся системы под аддитивным и мультипликативным действием дискретных шумов с непрерывным временем [33, 34, 35]. Следует отметить, чтобы реше-

ние было нетривиальным (ненулевой поток вероятности) необходимо при мультипликативном цветном шуме присутствие аддитивного белого гауссовского шума. Из-за дискретности значений, принимаемых шумом, уравнение Фоккера-Планка преобразуется к так называемым управляющим уравнениям. В стационарном случае управляющие уравнения превращаются в систему связанных обыкновенных дифференциальных уравнений. Если шум имеет конечное число возможных состояний, то, соответственно, и уравнений будет конечное число. Наиболее простое решение имеет задача, когда в качестве аддитивного воздействия выступает случайный телеграфный сигнал. Поскольку дискретных состояний у шума два, то система уравнений будет состоять из двух уравнений первого порядка, причем, проделав необходимую замену переменных и затем подставив одно уравнение в другое, можно перейти к уравнению относительно одной независимой переменной и одной искомой функции. Уравнение первого порядка решается стандартными хорошо разработанными методами [36]. Решение для шумов трех состояний громоздко, но тем не менее его можно использовать для тестирования численных методов, которые оказываются во многих случаях единственными способами решения задачи.

Вторая группа решаемых аналитическими методами задач относится к системам с дискретным фазовым пространством [37]. Задача сводится к решению системы линейных дифференциальных уравнений высокой размерности: от шести и выше.

В других случаях приходится применять приближенные или численные методы решения [38, 39]. Например, можно находить асимптотические решения в пределах малого или большого времен корреляции шума [40]. Для марковских шумов разработан численный метод, который состоит в том, что искомое решение для стационарной плотности

вероятности представляют рядом Фурье. Получают незамкнутую цепочку уравнений, связывающих амплитуды гармоник этого ряда. Посредством рекуррентных соотношений задачу решают на компьютере. Таким методом были решены задачи о воздействии на систему с периодическим потенциалом процесса Орнштейна-Уленбека [41] и гармонического шума [42]. Наиболее распространенными методами численного интегрирования стохастических дифференциальных уравнений являются методы, сохраняющие неизменным шаг интегрирования по времени, например, метод Рунге-Кутта [43]. Однако, они обладают существенным недостатком - требуется много компьютерного времени. В связи с этим Элстон и Деринг разработали для данного класса задач численный метод [44], который использует не дискретизацию по времени, как другие численные методы, а дискретизацию фазового пространства.

Тестовые эксперименты показали, что по времени вычисления новый метод интегрирования стохастических дифференциальных уравнений эффективней используемых ранее методов примерно в 25 раз.

Множество интересных результатов было получено за последние пять лет в изучении стохастических систем с периодическим потенциалом. Наиболее хорошо исследован режим передемпфирования, поскольку в таких условиях обычно функционируют молекулярные моторы в клетках [45]. Движение броуновской частицы в асимметричном потенциале под действием аддитивной коррелированной во времени силы х сильно зависит от статистики последней. В [33] показано, что по коэффициенту

ф —< г4 > / < г2 >2, где < г4 > и < г2 > - четвертый и второй моменты стационарного симметричного распределения Р(^), можно предсказать направление потока вероятности в пределе малых времен кор-

реляции шума гс. Так как в этом пределе поток оказывается пропорциональным величине (2 — ф), то смена его направления Происходит при ф — 2. Для случайного телеграфного сигнала ф = 1; для гауссовского шума ф = 3. Это означает, что потоки для этих шумов будут иметь встречные направления. На примере дискретного случайного процесса, имеющего только три возможных состояния в [46] было показано, что при малых временах корреляции шума поток направлен в сторону более пологого склона потенциальных барьеров. Но при увеличении времени корреляции шума может произойти смена направления потока, если коэффициент ф превышает значение 1. Причем, смена знака потока произойдет дважды, если ф меньше чем 2: сначала в одну сторону, затем в обратную сторону. Аналогичная смена знака потока наблюдается и при мультипликативном действии случайного процесса с тремя возможными состояниями. Однако, в этом случае требуется асимметрия распределения 2.

Интересной представляется реакция системы с периодическим потенциалом на периодичное во времени аддитивное воздействие [47, 48, 49]. Средний поток за период воздействия квантуется с шагом линейной частоты внешнего воздействия. Подобная ситуация имеет место в системе автоподстройки частоты в присутствии гармонической помехи [50, 51] и означает синхронизацию гетеродина на частотах, кратных разности частот эталонного генератора и гармонической помехи. Дополнительное присутствие белого гауссовского шума оказывает не только сглаживающее действие на систему, но и в некоторых случаях способно сменить направление потока [47]. Это представляется интересным потому, что в детерминистской системе смены знака потока не обнаружено ни при каких параметрах. То есть факт смены направления потока является еще одним примером того, что шум способен

вызвать качественно новый режим функционирования системы, отсутствующий в невозмущенной детерминистской системе.

Поведение непередемпфированной системы под действием гармонического сигнала качественно отличается от поведения передемпфированной системы [52]. При некоторых параметрах детерминистская система проявляет хаотическое поведение, характеризуемое положительным старшим ляпуновским показателем. Если взять ансамбль таких осцилляторов с разными начальными условиями в пределах одного периода потенциала, то с течением времени огибающая распределения фазовой координаты примет гауссовский вид. Это говорит о том, что непередемпфированная система при периодическом внешнем воздействии ведет себя качественно как передемпфированная система с шумом. Для того, чтобы сменить направление потока, не требуется присутствие белого шума, достаточно изменить параметры внешнего воздействия