Механизмы синхронизации непериодических колебательных процессов в системах взаимодействующих осцилляторов в режимах мультистабильности тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

Введение

1 Динамика взаимодействующих нейронных осцилляторов с диффузионной связью

1.1 Двумерные модели нейронных осцилляторов.

1.1.1 Модель Мориса-Лекара.

1.1.2 Модель Хиндмарш-Розе.

1.1.3 Модификация генератора ван-дер-Поля

1.2 Эффект неустойчивости синфазного режима

1.3 Вектор диффузионной связи.

1.4 Особенности синхронизации связанных МУР моделей

1.4.1 Синхронизация в пределе слабой связи.

1.4.2 Типичные бифуркации при конечной силе связи

1.5 Синхронизация диффузионно связанных моделей Мориса-Лекара.

1.5.1 Общая характеристика динамики в области основного резонанса.

1.5.2 Структура области противофазного резонанса

1.5.3 Хаотический берет при выходе из противофазного 1:1 резонанса.

1.5.4 Кризисы квазипериодических режимов в окрестности противофазного резонанса 1:1.

1.5.5 Переход к хаосу через последовательность бифуркаций удвоения торов.

1.5.6 Переход к синфазной синхронизации

1.5.7 Кризис тора при касании седлового цикла - локальная потеря гладкости

1.6 Выводы.

2 Синхронизация колебаний и развитие хаоса высших порядков в параметрически связанных моделях динамики популяций

2.1 Уравнения математической модели.

2.2 Колебания в хемостате при периодической модуляции потока ресурсов.

2.2.1 Динамика популяции бактерий при внешней модуляции потока питания.

2.2.2 Синхронизация колебаний двух связанных популяций

2.3 Гомоклинический механизм хаотической синхронизации

2.4 Динамика модели с дискретным временем.

2.4.1 Построение модельного отображения.

2.4.2 Модель с дискретным временем: случай двух популяций.

2.4.3 Структуры из большого числа популяций

2.5 Синхронизация в каскадах из большого числа популяций.

2.6 Хаотическая иерархия в системах с глобальной связью

2.6.1 Модель.

2.6.2 Модель (2.19) с точки зрения многочастотного квазипериодического движения

2.6.3 Переход к гиперхаосу (N = 3).

2.6.4 Развитие хаоса высших порядков (N — 5)

2.7 Выводы.

3 Когерентный резонанс, генерация стохастических колебаний и синхронизация в возбудимых системах

3.1 Модели и методика измерений.

3.2 Когерентный резонанс в одиночной возбудимой системе

3.2.1 Эволюция спектров и степени регулярности сигнала .-.

3.2.2 Влияние степени релаксационности.

3.2.3 Когерентный резонанс и структурирование распределения плотности вероятности.

3.2.4 Концепция КР-осциллятора.

3.3 Механизмы стохастической синхронизации.

3.3.1 Взаимная стохастическая синхронизация

3.3.2 Вынужденная стохастическая синхронизация

3.4 Степень регулярности коллективного отклика.

3.5 Генерация нескольких мод стохастических колебаний

3.6 Выводы.

4 Хаотическая и стохастическая синхронизация в системах со счетным числом состояний равновесия

4.1 Иерархия синхронизации временных масштабов хаотических колебаний.

4.1.1 Модель.

4.1.2 Набор временных масштабов исследуемой системы

4.1.3 Иерархия синхронизации временных масштабов

4.2 Радиофизическое моделирование "stochastic ratchets"

4.2.1 Уравнения ФАП как модель системы с пространственно периодичным потенциалом.

4.2.2 Экспериментальная установка и методика эксперимента.

4.2.3 Свойства бинарного шума.

4.3 Механизмы стохастического транспорта.

4.3.1 Модель с переменным наклоном потенциала . . 2574.3.2 Учет инертности частицы. Сортировка по массе

4.3.3 Модель с пульсирующим потенциалом.

4.4 Влияние конечного времени корелляции шума на скорость дрейфа.

4.5 Стабилизация скорости дрейфа частицы бегущей волной

4.5.1 Моделирование с помощью ФАП.

4.5.2 Экспериментальные результаты.

4.5.3 Адиабатический подход.

4.6 Выводы.

Явление синхронизации - фундаментальный, принципиально нелинейный эффект, сопровождающий взаимодействие автоколебательных систем самой различной природы.

Более чем за 200 лет до возникновения самого термина " автоколебательные системы" Гюйгенсом наблюдался и был описан эффект согласования колебаний маятников часов [1]. В конце XIX века Релеем наблюдалась синхронизация органных труб, а также электрически возбуждаемых камертонов [2]. Зарождение нелинейного подхода к изучению колебаний в 30-х годах нашего столетия немедленно повлекло за собой и новые результаты по синхронизации. В числе первых следует упомянуть работы Б.Ван дер Поля [3, 4], Е.Эпплтона [5], A.A. Андронова и A.A. Витта [6].

Последующие исследования связаны, в частности, с именами А.Г.Майера, В.И.Гапонова, К. Ф.Теодор чика, Р.В.Хохлова, И.И.Минаковой и других [7] - [15]. К 70 годам сформировались целостное представление о синхронизации регулярных (периодических и квазипериодических) колебаний. Соответствующие результаты обобщены в ряде книг (П.С.Панда, Ю.И.Неймарк, В.В.Мигу-лин, Н.В.Бутенин, Ю.М.Романовский, И.И.Блехман, Т.Хаяши и др.) [16] - [24]. В спектре регулярных колебаний легко выделить основные частоты, однозначно связанные с характерными временами (периодом, квазипериодом) колебаний. При захвате частот происходит стабилизация фазового сдвига между взаимодействующими модами. Характерные времена также становятся равными или кратными. На языке теории бифуркаций фазовому захвату соответствует седло-узловая бифуркация циклов на двумерном торе, в результате которой аттрактор на границе синхронизации претерпевает качественную перестройку - вместо эргодического движения на двумерном торе возникает гетероклиническая структура, образованная устойчивым и седловым предельными циклами.

Новый импульс исследования по синхронизации получили в связи с открытием динамического хаоса. Первоначально задача о взаимодействии двух систем с хаотическим поведением была сформулирована в работах Т.Ямада и Х.Фуджисака [25], А.С.Пиковского [26, 27], С.П.Кузнецова [28, 29], В.С.Афраймовича, Н.Н.Веричева, М.И.Рабиновича [30]. Однако, в силу сложной структуры хаотических колебаний, сама постановка задачи гоб их синхронизации неоднозначна, поскольку для хаотических колебаний период или несоизмеримые периоды отсутствуют, а спектр является сплошным. На сегодняшний день известно несколько подходов к изучению и, соответственно, определений хаотической синхронизации.

Одной из первых была концепция, согласно которой хаотическая синхронизация понимается как явление возникновения периодического режима под влиянием внешнего воздействия на хаотические автоколебания или в результате взаимодействия хаотических осцилляторов [32]—[34], [35]. Переход от хаотических колебаний к регулярным наблюдается лишь при достаточной интенсивности взаимодействия осцилляторов (т.е., имеет порог) и связан с одним из механизмов синхронизации, через подавление автоколебаний, однако не исчерпывает всех возможных эффектов синхронизации хаоса.

Согласно иному подходу, первоначально предложенному в работах [25] - [29], синхронизация хаоса имеет место при взаимодействии идентичных хаотических осцилляторов и состоит в том, что с ростом связи временные реализации соответствующих динамических переменных парциальных систем полностью повторяют друг друга без какого-либо сдвига во времени (т.н. "полная хаотическая синхронизация" ). Указанный режим наблюдался в радиофизическом эксперименте [36].

Новая волна интереса к такому подходу была вызвана в 1990г. работой Л.Пекоры и Т.Керрола [37], и связана с идеей использования эффекта полной синхронизации хаоса для создания систем скрытой передачи информации. К настоящему времени такому прикладному использованию полной синхронизации хаоса посвящены десятки статей [38] - [49], среди которых следует выделить работы научных групп под руководством А.С.Дмитриева (ИРЭ РАН, Москва),

В.Д.Шалфеева (Нижегородский университет), М.Хаслера (университет Лозанны, Швейцария), У.Парлитца (Германия).

Другая группа работ направлена на изучение бифуркационных механизмов потери полной синхронизации при вариации параметров [50] - [57]. Было установлено, что процесс потери синхронизации протекает довольно сложным образом и по определенным сценариям [51, 53]. В качестве промежуточных этапов потери синхронизации могут наблюдаться т.н. "пузырящий" [51] и "изрешечивающий" [50, 52, 56] переходы. В Саратовском госуниверситете систематическое исследование указанных проблем выполнено В.В.Астаховым [58].

Режим полной хаотической синхронизации означает, что осцилляторы совершают колебания "синфазно". Синфазные колебания наблюдаются и при взаимодействии периодических осцилляторов, однако являются лишь частным случаем синхронных колебаний. Очевидно то же можно сказать и о синхронизации хаоса.

В работах В.С.Анищенко с сотрудниками [59, 60],[291]—[294] было предложено обобщение классических представлений о синхронизации как о захвате или подавлении частот на случай взаимодействия осцилляторов в режиме хаотического аттрактора, в спектре которого присутствует четко различимый пик на частоте, близкой к частоте предельного цикла, породившего хаотический аттрактор в результате последовательности бифуркаций удвоения периода. Было обнаружено, что на плоскости параметров, управляющих степенью взаимодействия и частотой расстройки хаотических осцилляторов можно выделить область синхронизации хаоса, подобную клюву Арнольда. Хаотические колебания в этой области (синхронный хаос) топологически отличаются от хаоса за ее пределами (несинхронного хаоса). Рассматривались случаи взаимной и вынужденной синхронизации хаоса, в том числе синхронизации хаоса гармонической внешней силой. Были сделаны некоторые предположения, касающиеся бифуркационного механизма хаотической синхронизации [293, 305, 313].

В работах ученых Потсдамского университета (Ю.Курц, А.Пи-ковский, М.Розенблюм, М.Закс, Г.Осипов) в рамках классического подхода к явлению синхронизации развивается представление о фазовом захвате хаотических осцилляторов [61, 62, 63, 64]. Предложены методы введения мгновенной фазы хаотических колебаний и показано, что с увеличением связи между взаимодействующими хаотическими осцилляторами, имеющими расстройку по частотам, средняя разность мгновенных фаз колебаний устанавливается постоянной, что означает явление фазового захвата. Обнаружено также, что характеристические ляпуновские показатели хаотического аттрактора определенным образом реагируют на пересечение границы области синхронизации. В работе [65] с помощью модельного отображения анализируется бифуркационный механизм фазовой синхронизации.

Как правило, синхронизация хаотических аттракторов сопровождается и явлением мультистабильности, то есть, сосуществованием набора аттракторов в фазовом пространстве. Этот факт исследовался в ряде работ [66, 67, 68, 69]. В частности, В.В.Астаховым с соавторами [66, 67] было показано, что явление мультистабильности неизбежно сопровождает взаимодействие идентичных систем с удвоениями периода, была выявлена и описана иерархия сосуществующих семейств режимов. На примере двух связанных систем Ресслера, Дж.Рашуссен с соавторами в [68] показали, что в определенных условиях некоторые бифуркации удвоения для симметричных связанных систем заменяются на бифуркации рождения тора, что ведет к квазипериодическим режимам и появлению новых семейств аттракторов. В работе [312] показано, что на плоскости параметров расстройка-степень связи явлению фазовой мультистабильности отвечает структура вложенных областей синхронизации для многотактных циклов, которая сохраняется и в случае хаотического аттрактора, имеющего ленточную структуру.

При всей детальности изучения эффекта хаотической синхронизации, подавляющее большинство упомянутых выше работ выполнено с использованием ограниченного числа базовых моделей, что позволило установить наиболее общие, типичные закономерности. Естественным следующим шагом может быть их обобщение на более широкий набор динамических систем, демонстрирующих детерминированный хаос. Не исключено, однако, что специфика нелинейности либо особенности связи могут существенно повлиять на характеристики хаотической синхронизации. Таким образом, актуален вопрос:

Возможны ли иные, не наблюдавшиеся в исследованных модельных системах механизмы фазовой синхронизации хаотических колебаний? Каковы их бифуркационные сценарии?

Сохраняет ли силу установленный к настоящему времени механизм синхронизации хаотических колебаний через захват частот или фаз в случае более сложной структуры хаоса? В частности, можно ли говорить о синхронизации хаотических колебаний в динамических системах, характеризуемых не одним (как в случае хаоса на базе последовательности бифуркаций удвоения периода), а несколькими временными масштабами?

Обилие опубликованных результатов по исследованию хаотических и даже стохастических колебательных режимов может создать впечатление, что в вопросе о синхронизации регулярных колебаний имеется полная ясность. Однако, это не совсем так. Дело в том, что ставшие классическими представления о синхронизации регулярных колебаний в основной своей массе предполагают определенный тип осциллятора. С 20х годов, во многом благодаря выдающимся пионерским работам Ван дер Поля [3, 4], предложенная им математическая модель играет роль парадигмы, т.е. типичной базовой модели с сопутствующим набором свойств и явлений. Такая удачная модель все чаще привлекается для объяснения колебательного движения и эффектов синхронизации в самих различных науках.

Осциллятор Ван дер Поля представляет удачную модель автоколебательной системы, прозрачную в радиофизической интерпретации, и описывает достаточно общую ситуацию, при которой невырожденный, без каких-либо особенностей предельный цикл на фазовой плоскости локализован в окрестности единственного состояния равновесия. К подобной ситуации, при определенных упрощениях, может быть сведено описание огромного количества автоколебательных систем в различных областях знания.

Проблема синхронизации колебаний как в неавтономном генераторе Ван дер Поля, так и в связанных таких моделях хорошо изучена теоретически (Дж.Гукенхеймер и П.Холмс [70], В.И.Арнольд [71, 72], Р.Ренд и П.Холмс [73], Д.Аронсон с соавторами [74] ). В частности, было показано, что слабая диффузионная (посредством разностного члена в уравнениях) связь по любой из переменных приводит к синфазной синхронизации, характеризуемой отсутствием сдвига фаз в случае идентичных систем. Результаты по исследованию синхронизации с использованием других моделей как правило, подкрепляют выводы, сделанные для осциллятора Ван дер Поля, тем самым подтверждая их общность. В качестве примера можно привести цикл работ Кеврекидиса с соавторами для систем типа реакции-диффузии [75, 76, 77].

Тем не менее, появляются факты, которые не укладываются в рамки представлений, сформированных при исследовании колебательных систем, подобных генератору Ван-дер Поля. Речь идет о моделях нейронов, представляющих важную в прикладном аспекте и популярную область исследований. Обнаружилось, что синхронизация даже двумерных моделей нейронных осцилляторов зачастую не подчиняется ожидаемым закономерностям. В частности, слабая диффузионная связь может приводить не к синфазной, как это неизбежно для связанных осцилляторов Ван-дер-Поля, а к противофазной синхронизации. Это явление было обнаружено и обсуждалось в работах А.Шермана и Дж.Ринцеля [78], С.К.Хана, К.Куррера, Й.Курамото [79]. В них справедливо предполагалась связь обнаруженных эффектов с особенностями структуры векторного поля, задаваемого модельными уравнениями нейронов, или же, иными словами, со специфичным типом нелинейности нейронных осцилляторов. Однако, осталось неясным, какие именно особенности моделей нейронов ставят их в особое положение? Или, по другому: как должна быть модифицирована базовая модель осциллятора для описания новой группы эффектов ?

В настоящее время, исследование малых нейронных ансамблей - одно, из важных направлений обширнейшей междисциплинарной области исследований [80] - [91]. Первоначально чисто биологическая задача об особенностях функционирования нервной клетки оказалась удачной идеологической основой для описания поведения самых разнообразных систем в терминах "воздействие - отклик". При этом, соответственно конкретным задачам, уровень описания (сложность математической модели) отдельного нейрона варьирует от предельно упрощенных одномерных моделей "integrate and fire" (накопление-отклик) до детально проработанных моделей конкретных типов нейронов с числом дифференциальных уравнений, достигающим двух десятков.

Классической моделью одиночного нейрона принято считать четырехмерную модель Ходжкина-Хаксли [87]. Ее упрощением, а также путем феноменологического описания, было построено несколько различных моделей (для обзора см. [88]), общей чертой которых можно считать представление отдельного нейрона как осциллятора,- допускающего два устойчивых режима функционирования (бистабильность). На этом уровне рассмотрения, главные свойства отдельного нейрона неплохо описываются двумерными моделями, наиболее известны из. которых модель Мориса-Лекара [89] и модель Хиндмарш-Розе [90].

Несмотря на огромный, без преувеличения, поток статей по нейронной тематике, и на очевидную доступность двумерных моделей нейронов как объектов исследования средствами нелинейной динамики, число работ, посвященных бифуркационному анализу таких систем, относительно невелико ([78, 79, 84, 85, 92], см. также ссылки в [88]). По всей видимости, причиной этого является отсутствие ясности в обсуждавшемся выше вопросе. Бифуркационый анализ для автономной трехмерной модели Хиндмарш-Розе выполнен в [93, 94, 95], откуда, в частности, следует важная роль гомоклинической бифуркации в формировани типичных колебательных режимов.

Итак, на текущий момент остаются неясными ответы на ряд важных вопросов, в частности, какие именно особенности устройства фазового пространства нейронных осцилляторов выделяют их в отдельный класс с точки зрения нелинейной теории колебаний, каковы механизмы ряда специфических эффектов при синхронизации таких систем; какими изменениями в наборе бифуркаций и разбиении пространства управляющих параметров на области различных режимов сопровождается указанное отличие?

Решение указанного круга вопросов позволило бы установить прочные связи между классами "обычных" и "нейронных" осцилляторов, расширив за счет последних число базовых моделей нелинейной теории колебаний.

Как отмечалось выше, характерной чертой нейронных осцилляторов является наличие более чем одного устойчивого режима - мультистабильность. При этом, даже если сосуществующие в фазовом пространстве аттракторы и "не вступают в игру", наличие в близкой окрестности колебательного границы его бассейна притяжения может играть важную роль. Такая ситуация, в частности, имеет место для такого представительного и практически важного класса автоколебательных систем, как модели динамики популяций.

Модели динамических систем биологического происхождения были в числе первых наглядных примеров рождения хаоса [96, 97, 98]. К настоящему времени немало интересных работ, описывающих сложную динамику экологических систем [99] - [103], физиологические процессы [104]- [108], модели эпидемий [109, 110, 111], микробиологические системы [112, 113].

Как правило, моделирование живых систем требует учета большого числа переменных (например, видов в экосистеме). Кроме того, большую роль играет адекватный выбор управляющих параметров и диапазона их изменения, поскольку многие из них в живых системах трудноизменяемы или просто недоступны исследователю.

Помимо известного вида взаимосвязи уравнений, задаваемого по типу уравнений Лотка -Вольтера [114, 20], модели динамики популяций имеют некоторые специфические черты, выделяющие их в отдельный класс. А именно, ресурсы энергии, обеспечивающей саму возможность колебаний, передаются по цепочке видов (от жертв к хищникам), и в силу этого ограничены. Второй важный фактор заключается в том, что взаимодействие между видами - переменными и их группами - осцилляторами также осуществляется через процесс питания, то есть потребления тех же ресурсов! Получающиеся в результате модельные системы заметно отличаются от привычного случая осцилляторов с диффузионной связью.

Заметим, что практические цели анализа и предсказания явлений, наблюдающихся в живой природе, требуют учета значительного числа факторов, что приводит к росту числа переменных математической модели по мере ее совершенствования и детализации. Как при этом меняются ее общие свойства? Один из центральных вопросов динамики популяций может быть сформулирован так: Какие режимы функционирования и переходы между ними становятся типичными по мере увеличения размерности фазового пространства математической модели?

Общая тенденция такова, что наращивание размерности модели сложной экологической системы путем добавления новых переменных (соответствующих различным видам хищников либо жертв) ведет к ее стабилизации [115, 116]. В то же время, немало и обратных примеров, когда увеличение числа видов хищников ведет к их конкуренции, чему в моделях отвечает развитие хаоса высокой размерности [117].

Очевидно, что сформулированная выше проблема не является прерогативой динамики популяций. Те же вопросы рассматриваются в целом ряде работ радиофизической и фундаментально физической направленности и ведут свое происхождение от задачи конечномерного описания турбулентности в распределенных системах, сформулированной в 1944г. Ландау [118] и много позднее развитые Рюэлем и Такенсом [119] в связи с появлением концепции странного аттрактора. Речь идет о том, что переход к хаосу в распределенных системах требует конечного числа вовлеченных в движение мод колебаний, и о том, что существенно полезную информацию о турбулентном движении дает изучение бифуркационных механизмов его возникновения. Определенный вклад в понимание возможности изучения сложной динамики распределенных систем с помощью конечномерных моделей внесла работа [120], где экспериментально была зафиксирована конечная размерность хаотического аттрактора в течении Тейлора -Куэтта.

Можно сказать, что сверхзадачей большинства работ по изучению сложной динамики в пространственно развитых структурах (цепочках, решетках) осцилляторов является пополнение копилки фактов о режимах колебаний ( в пространственно-временном описании) и их бифуркациях, которые могут наблюдаться в неравновесных дис-сипативных средах.

В [121] (Гапонов-Грехов, Рабинович, Старобинец) в численном эксперименте на примере однонаправленно связанных генераторов типа Ван дер Поля наблюдалась стабилизация размерности хаотического аттрактора при движении вниз по цепочке. В [122] (Анищенко, Аран-сон, Постнов, Рабинович) ээтот эффект впервые наблюдался в радиофизическом эксперименте, а в [123] был изучен также и численно.

Помимо эффекта стабилизации физических характеристик хаотического режима, была обнаружена пространственная последовательность бифуркаций удвоения периода, конечность которой в [124] была обоснована методами ренормгруппового анализа.

Родственная задача о согласовании характеристик хаотических аттракторов в их массиве рассматривалась и применительно к фазовой синхронизации хаоса [125, 126]. В частности, был обнаружен эффект кластерной синхронизации", когда соседние ячейки-осцилляторы (использовались системы Ресслера) объединяются в группы, в пределах которых хаотические колебания отвечают требованию фазовой синхронизации.

Значительное число важных результатов было получено при рассмотрении моделей типа решеток из большого числа связанных отображений [127]. - [134]. Для таких систем характерными являются формирование структур и синхронизация [134, 129, 130], медленно движущиеся когерентные структуры [131] и хаотические волны [132], и другие проявления сложной динамики. Как правило, отдельный элемент-отображение в упомянутых работах обладает хаотической динамикой, что заранее предполагает возможность высокоразмерного хаоса в решетке в зависимости от соотношения собственных управляющих параметров ячеек и степени их связи между собой. Так, например, в [127] продемонстрировано достижение "полностью развитого хаоса" по мере увеличения степени связи.

Однако, структура хаоса может усложняться и при добавлении в систему элементов с собственной регулярной динамикой. Эти результаты демонстрируют тенденцию, противоположную установленной в [121, 122, 123]. Так, для систем с глобальной связью О.Ресслером было введено понятие "хаотической иерархии" [135], заключающееся в том, что число неустойчивых направлений хаотического аттрактора неуклонно растет по мере роста размерности системы. Указанный эффект был обнаружен в относительно сложной и реалистичной модели глобально связанных микробиологических осцилляторов [113]. Позднее, в [136] был предложен путь создания моделей с подобным поведением на базе системы Ресслера, путем добавления цепочки уравнений к исходной системе. Наконец, в [137] указанная "обобщенная" система Ресслера была рассмотрена в терминах "нелинейной моды" колебаний и добавляемых к ней "линейных мод". В упомянутых работах не был решен вопрос о бифуркационном механизме данного явления.

В свою очередь, проблема перехода к хаосу высших размерностей возникает в ряде задач с относительно небольшой размерностью фазового пространства [138, 139, 140]. В частности, подмечено, что переход к гиперхаосу часто приурочен к кризисам - резкой перестройке хаотических режимов, либо к объединению нескольких аттракторов в один.

Как можно заключить из перечисленных выше результатов, имеет место ряд противоречивых тенденций, проявляющихся по мере усложнения (наращивания размерности) системы. В зависимости от ситуации имеет место как стабилизация характеристик колебаний, насыщение размерности хаоса, синхронизация соседних ячеек, так и развитие все более сложной хаотической динамики. Естественно возникает вопрос о степени общности данных эффектов, об их соотношении с типом связи и свойствами парциальной подсистемы. Или, учитывая контекст данного изложения, в более узком смысле: какие общие тенденции и какие бифуркационные механизмы могут быть установлены для ансамблей динамических систем, воспроизводящих основные свойства моделей динамики популяций, включая адекватный им способ связи?

Относительно явления хаотической иерархии, применимость которого к глобально связанным моделям динамики популяций уже установлена, проблема формулируется несколько иначе: Каковы наиболее существенные свойства глобально связанных подсистем, ответственные за неограниченный рост размерности хаотического аттрактора при наращивании размерности самой системы, какие бифуркационные переходы соответствуют увеличению размерности хаотического аттрактора?

Рассмотрение сформулированных выше вопросов, требует выбора в качестве предмета исследования конкретной модели, являющейся типичным представителем своего класса. Желательно, чтобы такая модель не была чрезмерно упрощенной (каждый параметр должен иметь реальную интерпретацию), имелась принципиальная возможность сопоставления с данными экспериментов, а также логичные биологически осмысленные) пути увеличения размерности (количества уравнений).

Таким требованиям отвечает модель микробиологического осциллятора, описывающая динамику сосуществующих популяций бактерий и вирусов, сформулированная и отчасти исследованная в [112, 113, 117], где обсуждалась степень адекватности модели, влияние выбора параметров на ее динамику, а также были отмечены некоторые особенности поведения глобально связанных таких популяций. Однако, планомерных исследований в. описанном выше контексте путей синхронизации либо механизмов развития высокоразмерного хаоса не проводилось.

Необходимость дополнения детерминированного описания автоколебательных системы путем учета действующих на нее флуктуаций отчетливо осознавалась еще создателями современной теории колебаний. Эта проблема была сформулирована в классической работе Л.С.Понтрягина, А.А.Андронова и А.А.Витта "О статистическом рассмотрении динамических систем" [142]. Впоследствии влияние флуктуаций на радиотехнические системы анализировалось в классических трудах Р.Л.Стратоновича [143, 144], А.Н.Малахова [148], Ю.Л.Климонтовича [145], С.М.Рытова [147] и ряде других работ [149, 150].

Была изучена и проблема синхронизации в присутствии флуктуаций. В частности, были введены понятия "диффузии разности фаз" (Стратонович), а также "эффективной синхронизации" (Малахов), основанные на представлении о конечности времени захвата фаз.

В последнее десятилетие наблюдается нарастающий интерес исследователей к изучению нелинейных эффектов, при которых шум может играть конструктивную роль и определяет характер функционирования исследуемой системы в целом. Наиболее яркий пример - исследование явления стохастического резонанса (СР), механизм которого был впервые сформулирован применительно к ритму оледенения на поверхности Земли [151, 152, 153]. Суть эффекта в том, что для бистабильной системы в присутствии слабого периодического сигнала существует оптимальная интенсивность шума, при которой отношение сигнал/шум максимально и достигается определенное усиление исходного сигнала. В то же время, указанный режим соответствует минимуму энтропии как меры степени беспорядка, что свидетельствует о возрастании степени индуцированного шумом порядка [154]. Подобный тип поведения был обнаружен и исследован в разнообразных примерах бистабильных систем, от кольцевого лазера и магнитных систем до социологических моделей [155] - [169]. Экспериментально было установлено, что стохастический резонанс имеет прямое отношение к функционированию биосистем [170]-[179]. Эффективным оказалось исследование этого нелинейного стохастического эффекта средствами радиофизического эксперимента [180, 161, 299, 302]. Помимо модельных бистабильных систем, CP наблюдался и в таком классическом объекте радиофизики, как генератор с жестким возбуждением [301]. Было показано, что CP имеет место также в хаотических системах с сосуществующими аттракторами [181, 182].

К настоящему моменту исследованию разнообразных аспектов этого нелинейного стохастического эффекта посвящены сотни работ (для обзора см., например, [154, 183, 184,. 185] и ссылки там).

Бистабильная система с шумом являет собой род стохастического осциллятора. Этот факт позволяет ставить вопрос о возможном проявлении синхронизации в таких системах [186, 187, 188, 189]. В [187] . (Шульгин, Нейман, Анищенко) обнаружено, что введенное для детерминированных динамических систем понятие захвата частоты может быть применено к бистабильной системе, проявление нелинейных свойств которой управляется интенсивностью шума. Аналогичное явление синхронизации характерных времен наблюдается и в стохастических системах с многоямным потенциалом, в которых переходы между потенциальными ямами вызваны действием случайных сил (Нейман, Анищенко, [186]). Более того, оказалось возможным применить к стохастическим колебаниям обобщенные представления о фазовой синхронизации. [188, 189]. При этом, ключевую роль играет понятие эффективной синхронизации [148], предполагающее конечность времени захвата фаз и зависимость этого времени от интенсивности шума.

Другой вид нелинейного стохастического эффекта наблюдается под действием шума в т.н. "возбудимых системах" (excitable systerns). Главная особенность таких систем - это генерация импульса, всплеска (spike) в ответ на превышение внешним воздействующим сигналом некоторого порога. Амплитуда и длительность генерируемого импульса определяются в первую очередь параметрами самой системы, а не сигналом воздействия. Такое качественное описание очень хорошо соответствует функционированию определенных типов нейронов, исследование которых в свое время и породило понятие возбудимых систем [190]. Позднее выяснилось, что такой тип модели хорошо также описывает и кинетику химических реакций, явления в контактах Джозефсона и т.д. (для обзора см. [191, 192]). С точки зрения нелинейной динамики такая система находится в состоянии равновесия и в детерминированном варианте не демонстрирует колебаний. Однако, ситуация меняется в присутствии шума: система начинает генерировать беспорядочно следующие друг за другом всплески, характеризуемые некоторой постоянной амплитудой. Таким образом, речь идет об индуцированном шумом фазовом переходе [193, 194]. Подобное индивидуальное и особенно коллективное поведение возбудимых систем исследовалось, например, в [195] с точки зрения статистики генерируемых всплесков, или в [196] при совместном действии шума и периодического сигнала, сходные эффекты были обнаружены для нелинейного осциллятора с малым трением [197], а также в модели автогенератора вблизи седлоузловой бифуркации [198, 199].

Наконец, в работах [200, 201, 202] было охарактеризовано явление когерентного резонанса, имеющее прямое отношение к стохастической динамике возбудимых систем. Было выяснено, что в определенном диапазоне интенсивности воздействующего шума, возбудимая система может генерировать последовательность импульсов, достаточно регулярную во времени. Здесь, однако, и возникают вопросы. В работах [201] (Нейман, Сапарин, Стоун) и [200] (Ли, Нейман, Ким) явление когерентного резонанса рассматривается в окрестности локальных бифуркаций периодических движений, т.е., предполагается, что исследуемая система в детерминированном варианте должна допускать решения осцилляторного типа. В этом случае, присутствие шума действует подобно изменению некоторого управляющего параметра, сдвигая точку бифуркации и активируя соответствующие движения в фазовом пространстве. При этом, частота индуцированных шумом колебаний (положение пика в спектре мощности) определяются параметрами детерминированной системы и слабо зависят от интенсивности шума [201]. Однако, Пиковский и Курц в [202] явно указывают, что описываемый ими механизм когерентного резонанса не требует наличия осциллирующих решений, а характерное время индуцированных шумом колебаний определяется соотношением между временем релаксации системы к состоянию равновесия и "временем активации", напрямую зависящим от интенсивности шума.

Очевидное противоречие объясняется тем, что под одним и тем же названием в упомянутых работах изучались два различных эффекта, сходные по своим проявлениям, но существенно различающиеся по механизму генерации стохастических колебаний. При этом, если эффект когерентного резонанса в смысле [200, 201] достаточно прозрачен физически (например, недовозбужденный генератор под действием флуктуаций) и близкородственен проблеме т.н. "шумовых предвестников" бифуркаций [201, 203], то механизм генерации стохастических колебаний, предложенный в статье Пиковского и Курца, практически не изучен, и его основные свойства на данный момент не ясны. Более того, указанный механизм рассматривался на примере возбудимой системы Фитсгух-Нагумо [91], которая имеет периодические решения при вариации параметров.

Таким образом, имеется ряд актуальных и важных вопросов, касающихся обсуждаемого выше эффекта когерентного резонанса:

Реализуется ли предложенный Пиковским и Курцем механизм когерентного резонанса в системах, не допускающих осциллирующих решений при вариации параметров? Каковы характеристики генерируемых таким образом стохастических колебаний и какова их зависимость от интенсивности шума? Обладают ли они таким фундаментальным свойством детерминированных (регулярных и хаотических) колебаний как способность к синхронизации? Если да, в какой мере приложимы известные на сегодняшний день способы диагностики и механизмы синхронизации?

Полученные в этом направлении результаты представляли бы интерес как в фундаментальном плане, так и с точки зрения прикладных аспектов (например, стохастическая динамика нейронных ансамблей) .

Обсуждая аспекты синхронизации в различных типах хаотических и стохастических колебательных, систем со свойствами мульти-стабильности, нельзя не упомянуть системы со счетным множеством состояний равновесия. Широко' известным радиофизическим представителем этого класса является- система фазовой автоподстройки - ФАП.

Само по себе исследование динамики ФАП интенсивно проводилось в последние десятилетия [207, 208, 209, 210] и сохраняет свою актуальность поныне, в частности, применительно к хаотическим колебательным режимам [211, 212, 213]. ( Шахгильдян, Некоркин, Белюстина, Белых, Шалфеев).

Имеющиеся результаты позволяют воспользоваться ФАП как моделью для решения вопросов более общего плана. В частности, хаотическая динамика нелинейной ФАП приводит к вопросу о синхронизации хаоса более сложной структуры, нежели та, что образуется в результате последовательности бифуркаций удвоения периода.

Попытки подобных исследований предпринимались, например, для аттракторов в системах Чуа и Лоренца, где имеется временной масштаб, отвечающий процессу переключения колебаний между окрестностями двух точек седлофокусных состояний равновесия. Аналогия хаотичных переключений системы между двумя хаотическими аттракторами с процессом в стохастической бистабильной системе позволила применить методы диагностики, разработанные при исследовании синхронизации в режиме стохастического резонанса и получить сходные результаты [214, 215, 216, 217]. В случае связанных ФАП ситуация может быть сведена к случаю взаимодействия систем с многоямным квазипотенциалом [218, 219], а процесс переключений теряет колебательный характер и превращается в хаотическое блуждание состояния системы в окрестностях счетного множества состояний равновесия. Такое поведение, в определенном смысле, является обобщением на хаотический случай регулярного вращательного движения, проблемы синхронизации которого детально исследовались, например, в [24, 23].

Таким образом, рассмотрение хаотической динамики двух связанных ФАП позволяет исследовать важный вопрос: Каким образом представления о синхронизации хаоса на базе последовательности бифуркаций удвоения периода могут быть распространены на колебания более сложной структуры, приближающиеся по своим свойствам к стохастическим?

По мере усложнения структуры колебательных режимов, становятся трудноприменимыми средства диагностики, эффективные при исследовании относительно структурированного хаоса на базе последовательности бифуркаций удвоения периода. В этом плане полезно обратиться к наиболее общим определениям синхронизации [24, 35] и включить в число рассматриваемых характерных времен изучаемой динамической системы не только детерминированные величины типа периода предельного цикла, но и статистические по своей сути характеристики типа среднего времени возврата в плоскость сечения Пуанкаре для седлофокусного хаоса (именно оно определяет положение пика базовой частоты в Фурье-спектре колебаний), либо среднего времени нахождения траектории на одном из метастабильных хаотических режимов [181].

В последние несколько лет внимание исследователей привлек также тип стохастической динамики, на первый взгляд никак не связанный с колебаниями. Речь идет о так называемых "stochastic ratchets" (дословно - стохастический храповик). Термин происходит от фундаментальной задачи, рассмотренной Смолуховским, а затем Фейн-маном и тесно связанной с обоснованием II закона термодинамики [220]. В последние годы выяснилось, что движение броуновской частицы в пространственно-периодическом потенциале под действием флуктуаций широко распространено в живой природе на клеточном уровне [221] - [225]. К нему относят различные проявления стохастического транспорта - переноса ионизированных молекул за счет энергии флуктуаций, поставляемой химическими процессами. Как выяснилось, перемещение некоторых компонентов внутриклеточного обмена происходит со скоростью, на порядок превышающую ту, что возможна за счет диффузии. В другой ситуации роль периодического потенциала могут играть сами длинные молекулы полимера, проникающие внутрь клетки через узкие отверстия пор [226]. Изучение подобных эффектов как в аналитическом исследовании, так и средствами численного моделирования, стало популярной задачей за последние годы. В числе первых можно назвать работы Магнаско [221, 222] где, по сути, впервые было сформулировано, что в стохастической системе с периодическим асимметричным потенциалом энергия приложенной симметрично распределенной, но кореллиро-ванной во времени случайной силы может быть трансформирована энергию направленного движения.

Свое название "stochastic ratchets" получили из-за формы профиля анизотропного (асимметричного) пространственно - периодичного потенциала Благодаря асимметрии потенциала индуцированные шумом переходы через потенциальные барьеры могут иметь разную вероятность для противоположных направлений. Следствием этого будет появление ненулевого потока вероятности. Характерным для "stochastic ratchets" является то, что неравновесность в системе создается шумом, а не внешней постоянной макроскопической силой.

В последние годы аналитически и численным моделированием были выявлены основные закономерности этого стохастического нелинейного эффекта [227] - [239]. Однако, остаются неисследованными множество вопросов, касающихся роли статистики шума, а также возможного взаимодействия таких систем между собой.

Следует особо отметить, что стохастическая динамика нелинейных систем - это та область, где теоретический подход наталкивается на существенные ограничения, а численное моделирование требует огромного расхода компьютерного времени. В этих условиях, представляется перспективным обращение, например, к радиофизическому моделированию. В данном случае, сходная форма уравнения движения броуновской частицы в условиях пространственно периодичного потенциала и уравнений, описывающих систему фазовой автоподстройки частоты, позволяет надеяться, что задачи стохастического транспорта частиц в клетках могут быть проинтерпретированы в терминах динамики взаимной фазы связанных автогенераторов в стохастической ФАП. При указанном подходе изучается, по сути, стохастическая десинхронизация изначально синхронной системы, а особый интерес представляет то, как именно происходит такая десинхронизация и как эти процессы зависят от параметров.

Реализация такого радиофизического подхода к изучению явления стохастического транспорта позволила бы обоснованно сформулировать вопросы о возможных проявлениях эффектов круга стохастической синхронизации: Как представления о возможных проявлениях и механизмах стохастической синхронизации могут быть распространены на тип движения, характерный для "stochastic ratchets"? Какие закономерности могут быть обнаружены в зависимости от

1) характеристик порождающего движение случайного процесса и

2) влияния другой подобной системы?

Приведенный выше обзор проблем и возможных путей их решения позволяет сформулировать цель диссертационной работы:

Обобщить имеющиеся представления о синхронизации регулярных, хаотических и стохастических колебаний, на более широкий круг динамических систем, включив в рассмотрение модели нейронных осцилляторов, типичные представители моделей динамики популяций, стохастические возбудимые системы, а также хаотические и стохастические осцилляторы со счетным числом состояний равновесия .

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие основные задачи:

- изучить особенности динамики связанных моделей нейронных осцилляторов, выявить определяющие особенности данной группы моделей автоколебательных систем с целью формулирования обобщенной модели, провести детальный бифуркационный анализ связанных таких систем с целью выявления типичных бифуркаций и разбиения пространства параметров на области режимов;

- исследовать особенности синхронизации регулярных и хаотических колебаний в параметрически связанных моделях динамики популяций, выявить бифуркационный механизм роста размерности хаотического режима в случае глобальной связи;

- разработать наиболее эффективные способы исследования в радиофизическом эксперименте как автономных, так и связанных стохастических возбудимых систем в условиях когерентного резонанса, выявить наиболее важные особенности проявления данного эффекта как в натурном, так и в численном эксперименте, исследовать возможные проявления стохастической синхронизации;

- выявить и охарактеризовать особенности синхронизации хаотических колебаний в связанных системах со счетным числом состояний равновесия, разработать методику исследования в радиофизическом эксперименте стохастических систем со счетным числом состояний равновесия, исследовать наиболее существенные проявления эффектов, относящихся к кругу проблем стохастической синхронизации.

Научная новизна. В диссертационной работе впервые

- решена задача о взаимодействии осцилляторов в субкритической окрестности точки гомоклинической бифуркации которая описывает, в частности, особенности синхронизации колебаний при диффузионной связи нейронных осцилляторов;

- обнаружена хаотическая динамика в системе двух диффузионно связанных моделей нейронов Мориса-Лекара, проведен детальный бифуркационный анализ для области противофазного резонанса колебаний;

- предложен механизм, объясняющий локальную потерю гладкости тором в непосредственной окрестности точки гомоклинической бифуркации;

- установлена роль гомоклинического механизма синхронизации для параметрически связанных осцилляторов, характеризуемых наличием седлового состояния равновесия во внешней окрестности предельного цикла;

- разработан и применен метод диагностики взаиморасположения хаотического либо квазипериодического аттрактора и седлового цикла в многомерном фазовом пространстве, заключающийся в вычислении профиля расстояний вдоль замкнутой траектории цикла, что позволяет диагностировать момент и локализовать точку касания аттрактора и цикла при гомоклинической бифуркации;

- обнаружен и охарактеризован новый способ фазовой синхронизации хаотических колебаний как бифуркационного перехода от несинхронного к синхронному хаотическому аттрактору, причем определяющую роль в указанном переходе играет гомоклиническая бифуркация для предельного цикла, не принадлежащего указанным аттракторам;

- обнаружен и исследован в радиофизическом эксперименте эффект когерентного резонанса, ранее, предсказанный теоретически, показано, что в режиме когерентного резонанса шум, приложенный к возбудимой системе, формирует в фазовом пространстве последней стохастическое множество, которое может трактоваться как аналог предельного цикла в детерминированном случае;

- в радиофизическом эксперименте на схеме моновибратора и в численном эксперименте на модели нейрона Мориса-Лекара показано, что связанные стохастические возбуждаемые системы в режиме когерентного резонанса подчиняются механизмам синхронизации, установленным для регулярных колебаний;

- показана возможность генерации на субгармониках в каскадно связанных возбуждаемых системах в режиме когерентного резонанса;

- экспериментально продемонстрирован рост степени регулярности стохастических вдоль каскада возбуждаемых систем в режиме когерентного резонанса;

- на примере взаимодействующих хаотических осцилляторов, каждый из которых характеризуется несколькими, различными по природе характерными временами, показана возможность последовательного попарного захвата указанных времен по мере увеличения степени связи;

- показана возможность изучения эффектов внутриклеточного стохастического транспорта с помощью радиофизического эксперимента на ФАП;

- обнаружен в радиофизическом и численном эксперименте и объяснен в адиабатическом приближении эффект стабилизации бегущей волной небольшой амплитуды средней скорости частицы в "stochastic ratchet", находящейся под воздействием бинарного шума;

Выносимые на защиту положения и результаты.

1. Обнаруженное в радиофизическом эксперименте явление когерентного резонанса в стохастической возбудимой системе выражается в формировании в фазовом пространстве стохастического множества кольцевой структуры с выраженным периодом движения по нему, отвечающего стохастическому колебательному процессу. Свойства указанного множества аналогичны свойствам детерминированного предельного цикла, однако их проявление не требует наличия в пространстве параметров системы осциллирующих решений в отсутствие шума. Для связанных возбудимых систем в режиме когерентного резонанса имеет место синхронизация стохастических колебаний. При этом наблюдаются, два различных сценария перестройки спектра мощности, аналогичных механизмам синхронизации регулярных колебаний через захват частот и гашением.

2. Фазовая синхронизация хаотических колебаний, как переход от несинхронного хаотического аттрактора к синхронному, может осу-ществлятся через последовательность бифуркаций, в которой ключевую роль играет нелокальная бифуркация петли сепаратрисы седло-вого цикла, не принадлежащего указанным аттракторам. В отличие от известного случая фазовой синхронизации хаоса путем захвата частот/фаз, в данном случае имеется область сосуществования синхронного и несинхронного аттракторов, которой отвечает гистерезис при вариации управляющего параметра.

3. Для глобально связанного через среднее поле ансамбля осцилляторов, бифуркационный механизм увеличения размерности хаотического аттрактора заключается в последовательности кризисов локальных хаотических аттракторов, формирующей соответствующий набор разноориентированных в фазовом пространстве хаотических седел. Кризис последнего из локальных хаотических аттракторов приводит к объединению указанных хаотических седел в единый аттрактор более высокой размерности.

4. Для диффузионно связанных осцилляторов в окрестности точки гомоклинической бифуркации разность фаз колебаний, характеризующая устойчивый синхронный режим, определяется соотношением коэффициентов матрицы диффузионной связи, причиной чего является характер неизохронности колебаний в окрестности седлового состояния равновесия.

Научно—практическая значимость результатов диссертационной работы определяется следующим:

1) Наиболее важные из вскрытых механизмов и закономерностей имеют фундаментальное научное значение и выходят далеко за рамки исследованных моделей. В частности:

- на основе изучения динамики связанных нейронных осцилляторов, сформулирована и решена задача о синхронизации осцилляторов в окрестности гомоклинической бифуркации;

- имеющаяся на сегодняшний день сумма знаний о фазовой синхронизации хаотических колебаний расширена включением в рассмотрение нового механизма, в котором определяющую роль играет гомоклиническая бифуркация;

- исследование явления когерентного резонанса позволило выработать методический подход, заключающийся в обоснованном развитии аналогии между механизмами генерации и синхронизации регулярных колебаний' и их аналогами для стохастических колебаний. Потенциальные возможности данного подхода выходят далеко за рамки рассмотренных в диссертации конкретных задач и уже использованы для дальнейшего планирования исследований, не вошедших в данную работу.

2) Наличие для ряда моделей прототипов в смежных областях науки позволяет объяснять и предсказывать поведение последних. В частности, как результат адекватного выбора значений управляющих параметров, результаты по исследованию динамики параметрически связанных микробиологических осцилляторов допускают прямую количественную интерпретацию для прообраза - модели популяций бактерий, использующихся в сыроваренной промышленности. Исследование явления когерентного резонанса позволяет выработать рекомендации и определить условия эксперимента для изучения тех же эффектов на изолированном живом нейроне.

Результаты диссертационной работы могут быть использованы в учебном процессе как при чтении общих курсов по нелинейной теории колебаний("Теория нелинейных колебаний", "Статистическая радиофизика"), так и в спецкурсах по специальностям "радиофизика" и "биофизика".

Достоверность научных выводов работы основывается на согласии результатов теоретических исследований с данными численного моделирования, на их воспроизводимости, а также на соответствии с результатами радиофизических экспериментов.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Общий объем работы 321 страница, включая 120 страниц иллюстраций. Библиография содержит 325 ссылок на литературные источники.

4.6 Выводы

В первой части данной главы, при рассмотрении двух связанных ФАП с хаотической динамикой, была обнаружена и исследована иерархия последовательной синхронизации временных масштабов, ассоциированных с хаотическими колебаниями. Существенно, что указанные временные масштабы могут быть связаны не только с колебательным движением. Как было показано выше, это может быть и среднее время нахождения в окрестности одного из локальных состояний равновесия или же время, характеризующее среднюю скорость дрейфа динамической переменной системы вдоль счетного числа состояний равновесия.

Во второй части данной главы было продемонстрировано, что нелинейные эффекты, сопровождающие явление стохастического транспорта в пространственно периодичном анизотропном потенциале могут изучаться в радиофизическом эксперименте. Основой этого служит совпадение математических моделей. При этом, индуцированное шумом поступательное движение частицы моделируется динамикой разности фаз связанных осцилляторов.

Как было показано, построенная экспериментальная установка позволяет наблюдать и характеризовать количественно два основных

285 механизма генерации ненулевой средней скорости дрейфа броуновской частицы: в условиях переменного наклона потенциала и за счет модуляции высоты потенциальных барьеров. Было также изучено влияние массы частиц на процесс транспорта и предложен способ для их сортировки, за счет создания условий, при которых скорость дрейфа имеет разный знак для частиц различной массы.

На примере бинарного шума было показано, что наличие в шумовом воздействии временного ^масштаба проявляет себя в эффекте стабилизации средней скорости дрейфа на уровнях, кратных максимальной частоте переключений бинарного шума. Наконец, был продемонстрирован и объяснен в адиабатическом приближении эффект индуцированной шумом стабилизации средней скорости дрейфа бегущей волной. Указанные выше явления принадлежат к кругу проблем стохастической синхронизации.

Заключение

Итоги проведенных в диссертации исследований могут быть подведены в виде следующих основных результатов:

1. Для диффузионно связанных осцилляторов в субкритической окрестности точки гомоклинической бифуркации сделан вывод о том, что причиной нетривиальных эффектов при их синхронизации, а именно, синхронизации в противофазе при слабой диффузионной связи, является неоднородность поля модуля фазовой скорости, порождаемая наличием сингулярной точки (седлового состояния равновесия) в непосредственной (внешней) окрестности предельного цикла. Описанный выше подход был успешно применен к задаче об особенностях взаимодействия нейронных осцилляторов.

2. Впервые проведен детальный бифуркационный анализ для диффузионно связанных моделей нейронов Мориса-Лекара в окрестности по параметрам основной области синхронизации.

Установлено, что в случае синхронизации в противофазе верхняя граница области резонанса (при увеличении параметра связи) образована седлоузловой бифуркацией с участием устойчивого цикла на резонансном торе. Таким образом, указанная граница является кризисом и соответствует резкой смене синхронного режима.

3. Найдена область параметров, в которой упомянутый выше кризис резонансного цикла инициирует особый вид хаотического движения, хаотический берет, структура которого в изученном случае определялась последовательным посещением траекторией синфазного и противофазного седловых множеств. Выявленный сценарий перехода к хаотическим колебаниям является специфическим вариантом реализации теоремы Афраймовича-Шильникова о путях разрушения двумерного резонансного тора и отличается тем, что в седлоузловой бифуркации устойчивого цикла участвует седловой цикл, изначально г не лежащий на инвариантной поверхности тора. В результате, при исчезновении указанных циклов возвращаемость в область сформировавшегося за счет деформации поверхности инвариантного тора хаотического множества в общем случае не обеспечивается, но может быть обусловлена наличием дополнительных седловых множеств в фазовом пространстве.

4. Обнаружена и. исследована область значений параметров, в пределах которой реализуется переход к хаосу путем последовательности удвоений торов. Установлено, что на уровне точности численного эксперимента характеристики перехода к хаосу свидетельствуют в пользу гипотезы о бесконечной последовательности бифуркаций удвоения торов.

5. Установлено, что неоднородность поля модуля фазовой скорости в окрестности седлового предельного цикла лежит в основе механизма локальной деформации поверхности тора при приближении к точке гомоклинической бифуркации. Наличие указанной неоднородности создает условия для неоднозначности отображения в сечении Пуанкаре, чему соответствует возникновение складки на инвариантной кривой и последующий переход к хаосу путем потери гладкости.

6. Показано, что математическая модель группы популяций бактерий и вирусов, объединенных общим потоком потребляемых ресурсов, соответствует ансамблю параметрически связанных осцилляторов, каждый из которых характеризуется наличием седлового состояния равновесия во внешней окрестности предельного цикла.

Установлено, что для таких систем определяющее значение имеет т.н. гомоклинический механизм синхронизации. В частности, для случая трех связанных микробиологических осцилляторов впервые показано, что фазовая синхронизация хаотических колебаний, как переход от несинхронного хаотического аттрактора к синхронному, может осуществляться через последовательность бифуркаций, в которой ключевую роль играет нелокальная бифуркация петли сепаратрисы седлового цикла, не принадлежащего указанным аттракторам. В отличие от известного случая фазовой синхронизации хаоса путем захвата частот/фаз, в данном случае имеется область сосуществования синхронного и несинхронного аттракторов, которой отвечает гистерезис при вариации управляющего параметра.

7. Разработан и применен метод диагностики взаиморасположения хаотического либо квазипериодического аттрактора и седлового цикла в многомерном фазовом пространстве, заключающийся в вычислении профиля расстояний вдоль замкнутой траектории цикла, что позволяет диагностировать момент и локализовать точку касания аттрактора и цикла при гомоклинической бифуркаций.

8. Установлено, что для глобально связанного через среднее поле ансамбля осцилляторов с дискретным временем увеличению размерности модели отвечает соответствующий рост числа неустойчивых направлений хаотического аттрактора. Установлен бифуркационный механизм увеличения размерности хаотического аттрактора, в основе которого лежит последовательность кризисов локальных хаотических аттракторов, формирующая соответствующий набор разноори-ентированных в фазовом пространстве хаотических седел. Кризис последнего из локальных хаотических аттракторов приводит к объединению указанных хаотических седел в единый аттрактор более высокой размерности.

9. Показано, что когерентный резонанс как принципиально стохастический нелинейный эффект хможет реализоваться в динамических системах, не имеющих осциллирующих решений в отсутствие шума. В отличие от изученного ранее сходного эффекта в окрестности локальных бифуркаций предельных циклов динамических систем, его физическая природа определяется балансом между процессами релаксации возмущенной шумом динамической системы к устойчивому состоянию равновесия и ее активации, т.е. выброса в возбужденное состояние. Указанному балансу отвечает совпадение средних времен релаксации и активации и максимум значения регулярности колебаний. При этом средний период колебаний принципиальным образом зависит от интенсивности шума.

10. Установлено, что для связанных стохастических возбудимых систем в режиме когерентного резонанса возможна как вынужденная, так и взаимная синхронизация колебаний: их средние частоты становятся равными в конечной области значений расстроек по интенсивности шума. На плоскости параметров "интенсивность шума -степень связи" возможно построение областей синхронизации, эквивалентных "языкам" Арнольда для детерминированных динамических систем. Указанному эффекту синхронизации стохастических колебаний возбудимых систем в терминах мгновенной разности фаз отвечает стабилизация фазового сдвига в течение длительного времени. Установлено, что возможные пути эволюции спектров мощности колебаний двух связанных стохастических возбудимых систем адекватны соответствующим путям, установленным для синхронизации регулярных колебаний через захват частот и через подавление собственной динамики.

11. Показано, что переход к синхронным стохастическим колебаниям в связанных возбудимых системах сопровождается ростом значения регулярности (степени упорядоченности) выходного сигнала. При условии оптимальной интенсивности суммарного воздействующего на возбудимую систему сигнала, максимальное значение регулярности на выходе связанных возбудимых систем может значительно превышать соответствующее значение для автономной системы. При каскадном соединении возбудимых систем имеет место пространственный (вдоль цепочки) рост степени регулярности колебаний.

12. Показано, что сложный хаотический колебательный режим нелинейной ФАП, включающи блуждание в окрестности счетного множества состояний равновесия, может быть охарактеризован набором их трех характерных времен, включающих средний период вращения вокруг текущего состояния равновесия, среднее время пребывания в указанной окрестности и среднее время дрейфа на расстояние между состояниями равновесия. Синхронизация движений в таких взаимно связанных системах выражается в последовательном попарном захвате указанных характерных времен.

13. Показано, что явление стохастического транспорта в пространственно-периодичном анизотропном потенциале (т.н. "stochastic ratchets") может изучаться в радиофизическом эксперименте на нелинейной системе фазовой автоподстройки. Основой этого служит совпадение математических моделей. При этом, индуцированное шумом поступательное движение частицы моделируется динамикой разности фаз связанных осцилляторов.

Указанный подход был реализован в натурном эксперименте и позволил наблюдать и характеризовать количественно два основных механизма генерации ненулевой средней скорости дрейфа броунов

290 ской частицы: в условиях переменного наклона потенциала и за счет модуляции высоты потенциальных барьеров.

14. Установлено, что наличие слабого воздействия в виде бегущей синусоидальной волны может стабилизировать среднюю скорость дрейфа частицы в условиях пространственно-периодичного анизотропного потенциала в конечном интервале амплитуд приложенного шума двух состояний. Указанный нелинейный эффект впервые обнаружен в радиофизическом эксперименте, подтвержден численно и объяснен в адиабатическом приближении.

1. Hugenii С. Horoloqium Oscilatorium. Parisiis, France, 1673.

2. Стретт Дж. (Лорд Релей) Теория звука. T.II.-M.;JL: Гостехиз-дат, 1944.

3. Van der Pol. В. Theory of the amplitude of free and forced triod vibration// Radio Rev., 1920. Vol.1 p. 701-710.

4. Ван дер - Поль. Нелинейная теория электрических колебаний. М.: Связьиздат, 1935.

5. Appleton E.V. The automatic synchronization of triode oscillator.-Proceedings of the Cambrige Philosophical Society (Math, and Phys. Sciences), 1922, v.21

6. Андронов А.А., Витт А.А. К теории захватывания Ван дер Поля. Собрание тр. А.А.Андронова. М.:Изд-во АН СССР, 1956.

7. Mayer A. On the theory of coupled vibrations on two self-excited generators// Technical physics in the USSR, 1935, v. 11, n5.

8. Районов В.И. Два связанных генератора с мягким возбуждением// ЖТФ, 1936. т.6. вып.5. с. 801.

9. Теодорчик К.Ф. К теории синхронизации релаксационных автоколебаний// ДАН СССР, 1943. т.40. вып.2. с. 63.

10. Хохлов Р.В. К теории захватывания при малой амплитуде внешней силы// ДАН СССР, 1954. т.97. вып.6. с. 411.

11. Минакова И.И., Теодорчик К.Ф. К теории синхронизации автоколебаний произвольной формы// ДАН СССР, 1956. т. 106. вып.4. с. 658.

12. Ланда П.С., Ларионцев Е.Г. Режимы биений и синхронизации встречных волн во вращающемся кольцевом газовом лазере// Радиотехника и электроника, 1970. т.15. N 6. с. 1214.

13. Романовский Ю.М. О взаимной синхронизации многих автоко-лебателных систем, связанных через общую среду// Изв. вузов. Радиофизика, 1972. т.15. N 5. с. 718.

14. Демьянченко А.Г. Синхронизация генераторов гармонических колебаний. М.:Энергия, 1976:

15. Скупой В.Ф., Копылов В.П. О синхронизации ЧМ-автогенератора// Радиотехника и электроника, 1979. т.24, N 7, с. 1374.

16. Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний. -М.-.Наука, 1981.

17. Мигулин В.В., Мустель Е.Р., Медведев В.И., Парыгин В.Н. Основы теории колебаний. М.:Наука, 1978.

18. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев H.A. Введение в теорию нелинейных колебаний. М:Наука, 1987, 384с.

19. Ланда П.С. Автоколебания в системах с конечным числом степеней свободы. М.:Наука, 1980.

20. Рабинович М. И., Трубецков Д. И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука, 1984. - 432 с.

21. Хаяси Т. Нелинейные колебания в физических системах. М.:Мир, 1968.

22. Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С. Математическое моделирование в биофизике.-М.:Наука, 1975.

23. Блехман И. И. Синхронизация динамических систем. -М.:Наука, 1971.

24. Блехман И.И. Синхронизация в природе и технике. М.:Наука, 1981.

25. Fujisaka H., Yamada Т. Stability theory of synchronized motionin coupled-oscillator systems.// Prog. Theor. Phys., 1983, V.69. P.32.

26. Пиковский А.С., О взаимодействии странных аттракторов. Препринт N 79, ИПФ АН СССР, Горький, 1983.

27. Pikovsky A.S. On the interaction of strange attractors.// Z. Phys.,1984, V. 55 B, .P. 149 154.

28. Кузнецов С.П., О критическом поведении одномерных цепочек.// Письма в ЖТФ, 1983, Т.9, N 2, С.94-98.

29. Кузнецов С.П. Универсальность и подобие в поведении связанных систем Фейгенбаума.// Изв. вузов Радиофизика, 1985, Т.28, N 8, С.991.

30. Афраймович B.C., Веричев Н.Н., Рабинович М.И. Стохастическая синхронизация колебаний в диссипативных системах// Изв. вузов. Радиофизика, 1989. Т. 29. N 9. с. 1050-1060.

31. Ланд а П.С-., Перминов С.М. Взаимодействие периодических и стохастических автоколебаний// Изв.вузов. Радиофизика,1985. Vol.28. iN 4. с. 424-428.

32. Кузнецов Ю.А, Ланда П.С., Ольхововой А.Ф. Амплитудный порог синхронизации как мера хаоса в стохастических автоколебательных системах// ДАН СССР, 1985. т.281. вып.2. с. 11641169.

33. Ланда П.С., Рендель Ю.С., Шер В.А. Синхронизация колебаний в системе Лоренца// Изв.вузов. Радиофизика, 1989. Т.32. N 9. с. 1172-1174.

34. Dykman G., Landa P., Neimark Y. Synchronising of chaotic oscillations by external force// Chaos, Solitons & Fractals, 1992. Vol.1, N 4. P. 339-353.

35. I.I.Blekhman, P.S.Landa, M.G.Rosenblum. Synchronization and chaotization in interacting dynamical systems// Appl. Mech. Rev., 1995. Vol.48, no 11. P. 733-752.

36. Волковский А.Р., Рульков Н.Ф. Экспериментальное исследование бифуркаций на пороге стохастической синхронизации// Письма в ЖТФ, 1989. Т. 15. Вып. 7. С. 5-10.

37. L. Pecora, Т. Carroll. Synchronization in chaotic systems// Phys. Rev. Lett., 1990. Vol.64. P. 821-823.

38. Chua L., M. Itoh., L. Kocarev, K. Eckert. Chaos synchronization in Chua's circuit, in Chua's*Circuits: A Paradigma for Chaos. Ed. R.N, Madan. Singapore: World Scientific, 1993. P. 309-324.

39. J. F. Heagy, T. L. Carroll, L. M. Pecora. Synchronous chaos in coupled oscillator systems Phys. Rev. E, 1994. Vol.50. P. 1875.

40. L. Kosarev, U. Parlitz. General approach for chaotic synchronization with applications to communication// Phys. Rev. Lett., 1995. Vol.74. P. 5028.

41. Rulkov N.F., Sushchik M.M., Tsimring L.S., Abarbanel H.D.I. Generalized synchronization of chaos in directionally coupled chaotic systems. // Physical Review E, 1995, V.51, P. 980-995.

42. L. Kosarev, U. Parlitz. Generalized synchronization, predictability, and equivalence of unidirectionally coupled dynamical systems// Phys. Rev. Lett., 1996. Vol.76. P. 1816.

43. Kocarev L., Halle K.S., Eckert K., Chua L., Parlitz U. Experimental demonstration of secure communications via chaotic synchronization. // International Journal of Bifurcation and Chaos, 1992, V. 2, N 3, P.709-713.

44. Parlitz U., Chua L., Kocarev L., Halle K., Shang A. Transmission of digital signals .by chaotic synchronization. // International Journal of Bifurcation and Chaos, 1992, V. 2, N 4, P. 973-977.

45. Вельский Ю.Л., Дмитриев А.С. Передача информации с использованием детерминированного хаоса. // Радиотехника и Электроника, 1993, Т. 38, N 7, С. 1310-1315.

46. Козлов А.К., Шалфеев В.Д. Избирательное подавление детерминированных хаотических сигналов. // Письма в ЖТФ, 1993, Т. 19, N 23, С. 83-87.

47. Волковский А.Р., Рульков Н.Ф. Синхронный хаотический отклик нелинейной колебательной системы как принцип детектирования информационной компоненты хаоса. // Письма в ЖТФ, 1993, Т. 19, N 3, С. 72-77.

48. Алексеев А.А., Козлов А.К., Шалфеев В.Д. Хаотический режим и синхронный отклик в генераторе, управляемом по частоте. // Известия ВУЗовv Прикладная Нелинейная Динамика, 1994, Т. 2, IN 1, С. 71-77.

49. Шалфеев В.Д., Осипов Г.В., Козлов А.К., Волковский А.Р. Хаотические колебания генерация, синхронизация, управление. // Успехи Современной Радиоэлектроники, 1997, N 10, С. 27-49.

50. Pikovsky A.S., Grassberger P. Symmetry breaking bifurcations for coupled chaotic attractors.// J. Phys. A: Math. Gen., 1991, V.24, P.4587-4597.

51. Ashwin P., Buescu J., Stewart I. Bubbling of attractors and synchronization of chaotic oscillators.// Phys. Lett., 1994, V.A193, P.126-139.

52. Ott E., Sommerer J.C. Blowout bifurcations: The occurrence of riddled basins and on-off intermittency.// Phys. Lett., 1994, V.A188, P.39-47.

53. Ashwin P., Buescu J., Stewart I. From attractor to chaotic saddle: a tale of transverse instability.// Nonlinearity, 1996, V.9, P.703.

54. Hasler M., Maistrenko Yu. An introduction to the synchronization of chaotic systems: coupled skew tent maps// IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Fundamental Theory and Applications, 1997, V.44, P.856-866.

55. Yu. L. Maistrenko, V. L. Maistrenko, A. Popovich, E. Mosekilde. Transverse instability and riddled basins in a system of two coupled logistic maps// Phys. Rev. E, 1998. Vol.57. P. 2713.

56. Alexander J.C., Kan I., Yorke J.A., You Z. Riddled basins.// Int. J. Bifurc. Chaos, 1992, V.2, P.795-813.

57. Lai Y.-C., Grebogi C., Yorke J.A., Venkataramani S.C. Riddling bifurcation in chaotic dynamical systems.// Phys. Rev. Lett., 1996, V.77, P.55.

58. Астахов B.B. Мультистабильность, синхронизация и управление хаосом в связанных системах с бифуркациями удвоения периода. дисс. на соискание д.ф.м.н., Саратов, 1998. 340с.

59. Анищенко B.C. Сложные колебания в простых системах. Механизмы возникновения, структура и свойства хаоса в радиофизических системах// М.: Наука, 1990.

60. Анищенко B.C., Вадивасова Т.Е., Астахов A.A. Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем. Саратов: Издво Сарат.унта, 1999.- 368 стр.

61. М. Rosenblum, A. Picovsky, J. Kurths. Phase synchronization of chaotic oscillators// Phys. Rev. Lett., 1996. Vol.76. P. 1804.

62. A. Pikovsky, M. Rosenblum, J. Kurths. Effect of phase syn-chromization in driven chaotic oscillators// IEEE Trans. CAS-I, 1997.

63. M. G. Rosenblum, A. S. Pikovsky, J. Kurths. From Phase to Lag Synchronization in Coupled Chaotic Oscillators// Phys. Rev. Lett., 1997. Vol.78. P. 4193.

64. A. Pikovsky, M. Zaks, M. Rosenblum, G. Osipov, and J. Kurths. Phase synchronization of chaotic oscillations in terms of periodic orbits // CHAOS, 1997. Vol.7. P. 680.

65. Pikovsky A., Osipov G., Rosenblum M., Zaks M., Kurths Y. Attractor-repeller collision and eyelet intermittency at the transition to phase synchronization// Phys. Rev. Lett., 1997. Vol.79, (in print).

66. Астахов B.B., Безручко Б.П., Гуляев Ю.В., Селезнев Е.П. Мультистабильные режимы в системах Фейгенбаума с дисси-пативной связью// Письма в ЖТФ, 1989. т.15. N 3. С. 60-65.

67. Астахов В.В., Безручко Б.П., Ерастова Е.Н., Селезнев Е.П. Виды колебаний и их эволюция в диссипативно связанных фей-генбаумовских системах.// ЖТФ, 1990, т.60, N 10, с.19-26.

68. J. Rasmussen, Е. Mosekilde, С. Reick. Bifurcations in two coupled Rossler systems// Math. Сотр.Sim., 1996. Vol.40. P. 247.

69. Anishchenko V.S., Vadivasova Т.Е., V.V.Astakhov, O.V.Sosnovtseva, C.W.Wu, L.O.Chua. Dynamics of two coupled Chua's circuits// Int. J. Bifurcation and Chaos, 1995. Vol.5. N 6. P. 1677-1699.

70. J. Guckenheimer, P. Holmes. Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields, Springer-Verlag, New York, 1983.

71. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978.

72. Арнольд В.И., Афраймович B.C., Ильяшенко Ю.С., Шильни-ков Л.П. Теория бифуркаций. В серии: Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М:ВИНИТИ. 1986.

73. R.H. Rand, P.J Holmes. Bifurcation of periodic motions in two weakly coupled van der Pol oscillators// Int. J. Nonlin. Mech., 1980. Vol.15. P. 387.

74. D.G. Aronson, E.J. Doedel, H.G. Othmer. An analytical and numerical study of the bifurcation in a system of linearly-coupled ocillators// Physica D, 1987. Vol.25. P. 20.

75. I.G.Kevrekidis, L.D.Schmidt, R.Aris. Some common features of periodically forced reacting systems// Chemical Engeneering Science, 1986. Vol.41. No.5. P. 1263-1276.

76. I.G.Kevrekidis, R.Aris, L.D.Schmidt. Forcing an entire bifurcation diagram: case studies in chemical oscillators// Physica D, 1986. Vol.23. P. 391-395.

77. M.A.Taylor and I.G.Kevrekidis. Some common dynamic features of coupled reacting systems.// PhysicaD, 1991. Vol.51. P. 274-292.

78. Sherman A., Rinzel J. Rhythmogenic effects of weak electronic coupling in neuronal models// Proc. Nat. Acad. Sei.(USA), 1992. Vol.89. P. 2471-2474.

79. Han S. K., Kurrer C., and Kuramoto Y. Dephasing and Bursting in Coupled Neural Oscillators// Phys. Rev. Lett., 1995. Vol.75. P. 3190-3193.

80. A. T. Winfree. The Geometry of Biological Time. Springer, New York, 1980.

81. C. M. Gray, P. König, A. K. Engel, W. Singer. Oscillatory responses in cat visual cortex exhibit inter-columnar synchronization which reflects global stimulus properties// Nature, 1989. Vol.338. P. 334.

82. R. Eckhorn, R. Bauer, W. Jordan, M. Brosch, W. Kruse, M. Münk,

83. H. J. Reitboeck. Coherent oscillations: A mechanism of featurelinking in the visual cortex?// Biol. Cy^rn7,T988TVol.60. P. 121130.

84. C. von der Malsburg, C. Schneider. A neural cocktail-party processor// Biol. Cybern., 1986. Vol.54. P. 29-40.

85. S.K. Han, C. Kurrer, Y. Kuramoto. Diffusive interaction leading to dephasing of of coupled neural oscillators// Int. J. Bifurcation and Chaos, 1997. Vol.7. P. 869-876.

86. D. Hansel, G. Mato, C. Meunier. Phase dynamics for weakly coupled Hodgkin-Huxley neurons. Europhys. Lett., 1993. Vol.23(5). P. 367-372.

87. Arbib M.A. The Handbook of Brain Theory and Neural Networks. MIT Press, Cambridge, 1995. P.879.

88. Hodgkin A.L., Huxley A.F. A Quantitative Description of Membrane Current and its Application to Conduction and Excitation in Nerve// J. Physiol. London, 1952. Vol.117. P. 500-544.

89. Абарбанель Г.Д.И., Рабинович М.И., Селверстон А., Баженов М.В., Хуэрта Р., Сущик М.М., Рубчинский JI.JI. Синхронизация в нейронных ансамблях// УФН, 1996. Т. 166. п.4. С. 365-390.

90. Morris С., Lecar Н. Voltage oscillations in the barnacle giant muscle fiber// Biophys. J, 1981. Vol.35. P. 193-213.

91. Hindmarsh J., Rose M. A Model of Neuronal Bursting Using Three Coupled First Order Differential Equations// Proc. R. Soc. London, 1984. Vol.B221. P. 87-102.

92. R.Fitzhugh. Impulses and physiological states in theoretical models of nerve membrane// Biophysical Journal. 1961. V.l. P. 445-466.

93. В.Б.Казанцев, В.И.Некоркин, М.Г.Велардэ. Модель нейрона с осцилляторной активностью ниже порога возбуждения// Изв.Вузов, Радиофизика, п 12, 1998, С. 1623-1634.

94. Белых И.В. Бифуркации колебаний мембранного потенциала и моделирование электрически связанных нейронов с помощью отображений// Изв.Вузов, Радиофизика, п 12, 1998, С. 15721582.

95. Белых И.В. Полная и частичная синхронизация связанных динамических систем с хаотическими аттракторами// Автореферат канд.дисс., Н.Новгород, 1999.

96. R.M. May. Biological Populations with Nonoverlapping Generations: Stable Points, Stable Cycles and Chaos// Science, 1974. Vol.186. P. 645-667.

97. R.M. May. Simple Mathematical Models with very Complex Dynamics// Nature, 1976. Vol.261. P. 459-467.

98. R.M. May G.F. Oster. Bifurcations and Dynamical Complexity in Simple Ecological Models// American Naturalist, 1976. Vol.110. R 573-599.

99. M.E. Gilpin. Spiral Chaos in a Predator Prey Model// American Naturalist, 1979. Vol.107. P. 306-308.

100. M. Scheffer. Should We Expect Strange Attractors Behind Plankton Dynamics and if so, Should we Bother?// J. Plankton Res., 1991. Vol.13. P. 1291-1305.

101. F. Doveri, M. Scheffer, S. Rinaldi, S. Muratori, Y. Kuznetsov. Seasonality and Chaos in a Plankton-Fish Model// Theor. Population Biol., 1993. Vol.43. P. 159-183.

102. M. Liberoth, M. Barfred, E. Mosekilde. Dynamics of a Food-Web Model of an Aquatic Ecosystem, in: Open Systems and Information Dynamics, 1995.

103. E. McCauley, W.W. Murdoch. Cyclic and Stable Populations: Plankton as a Paradigm// Am. Nat., 1987. Vol.129. P. 97-121.

104. M. Kaufman, R. Thomas. Model Analysis of the Basis of Multi-stationarity in the Humoral Immune Response// J. Theor. Biol., 1987. Vol.129. P. 141-162.

105. S.P. Layne, J.L. Spouge, M. Dembo. Quantifying the Infectivity of Human Immunodeficiency Virus// Proc. Natl. Acad. Sei. USA, 1989. Vol.86. P. 4644-4648.

106. M. Nowak, R.M. May. AIDS Pathogenesis: Mathematical Models of HIV and SIV Infections// AIDS 7 Suppl. 1, 1993. S3-S18.

107. J. Sturis, C. Knudsen, N.M.O'Meara, J.S.Thomsen, E.Mosekilde, E.Van Cauter, K.S.Polonsky. Phase-locking regions in a forced model of slow insulin and glucose oscillations// Chaos, 1995. 5(1). P. 193-199.

108. Неймарк Ю.И. Распознавание образов и медицинская диагностика. М: Наука, 1972, 328 стр.

109. J.L. Aron, I.В. Schwartz. Seasonality and Period-Doubling Bifurcations in an Epidemic Model// J. Theor. Biol., 1984. Vol.110. P. 665-679.

110. W.M. Schaffer. Order and Chaos in Ecological Systems// Ecology, 1985. Vol.66. 93-106.

111. W.M. Schaffer, M. Kot. Chaos in Ecological Systems: The Coals that Newcastle Forgot// Trends in Ecological Evolution 1, 1986. P. 58-63. ;

112. B.R. Levin, F.M. Stewart, L. Chao. Resource-Limited Growth, Competition and Predation: A Model and Experimental Studies with Bacteria and Bacteriophage// American Naturalist, 1977. 111. P. 3-25.

113. G.Baier, J.S. Thomsen, E.Mosekilde. Chaotic hierarchy in a model of competing populations// J. theor. Biol., 1993. Vol.163. P. 593— 607.

114. Lotka A.J. Elements of physical biology.-Baltimora,1925.

115. A.T. Bull, J.H. Slater. Microbial Interactions and Communities// Academic Press, New York, 1982. Vol.1.

116. N.G. Hairston, J.D. Allan, R.K. Colwell, D.J. Futuyama, J. Howell, M.D. Lubin, J. Mathias, J.H. Vandermeer. The Relation between Species Diversity and Stability: an Experiment Approach with Protozoa and Bacteria// Ecology, 1968. 49. P. 1091-1101.

117. Mosekilde E. Topics in nonlinear dynamics. World Scientific, Singapore, 1996.

118. Ландау Л.Д. К проблеме турбулентности//ДАН СССР. 1944. Т.44, п8, С.339-342.

119. D.Ruelle, F.Takens. On the nature of turbulence// Comm. Math. Phys., 1971. Vol.20. P. 167-192; 1971. Vol.23. P. 343-344.

120. Brandstater A., Swift J., Swinney H.L., Wolf A. Low-dimensional Chaos in a Hidrodynamic System// Phys.Rev.Lett. 1983. V.51, nl6, P 1442-1445.

121. Гапонов-Грехов A.B., Рабинович М.И., Старобинец И.М. Динамическая модель пространственного развития турбулентности // Письма в ЖТФ. 1984, Т.39, вып.12, С.561-563.

122. Анищенко B.C., Арансон И.С., Постнов Д.Э., Рабинович М.И. Пространственная синхронизация и бифуркации развития хаоса в цепочке связанных генераторов// ДАН СССР, 1986. т. 286. вып. 5. с. 1120-1124.

123. Анищенко B.C., Постнов Д.Э., Сафонова М.А. Размерность и физические свойства хаотических аттракторов цепочки связанных генераторов// Письма в ЖТФ, 1985. т.11. вып.24. с. 15051509.

124. Anishenko V.S. Auto-Oscillatory Regimes in the Chain of Coupled Generators1. Selforganization by

125. Nonlinear Irreversible Processes/ Ed. W.Ebeling and H.Ulbricht.-Berlin: Springer-Verlag, 1986. P. 198-202.

126. Osipov G.V., Pikovsky A.S., Rosenblum M.G., Kurths J. Phase Synchronization Effects in a Lattice of Nonidentical Rossler Oscillators// Physical Review E, 1997. Vol.55. N 3. P. 2353-2361.

127. A.S.Pikovsky, M.G.Rosenblum, J.Kurths. Synchronization in a population of globally coupled chaotic oscillators// Europhys. Lett. 1996. Vol.34 (3). P. 165-170.

128. Афраймович B.C., Некоркин В.И., Осипов Г.В., Шалфеев В.Д. Устойчивость, структуры и хаос в нелинейных сетях синхронизации// Горький: Изд-во ИПФ АН СССР, 1989. с.222.

129. K.Kaneko. Lyapunov Analysis and Information Flow in Coupled Map Lattices// Physica D, 1986. Vol.23. P. 436-447.

130. K.Kaneko. Clustering, coding, switching, hierarchical ordering, and control in a network of chaotic elements// Physika D, 1990. Vol.41. P. 137-172.

131. K.Kaneko. Globally coupled circle maps// Physika D, 1990. Vol.54. P. 5-19.

132. F.H.Willeboordze. Encoding of travelling waves in a coupled map lattice// Int. Journal of Bifurcation and Chaos, 1994. Vol.4. P. 1667-1673.

133. V.S.Afraimovich, V.I.Nekorkin. Chaos of travelling waves in a discrete chain of diffusively coupled maps// Int. Journal of Bifurcation and Chaos, 1994. Vol.4. P. 631-637.

134. S.P.Kuznetsov. Theory and Applications of Coupled Map Lattices// editeb by'K.Kaneko Wiley, New York, 1993.

135. V.N.Belykh, E.Mosekilde. One-dimensional map lattices: Synchronization, bifurcation and chaotic structures// Phys.Rev E,1996. Vol.54. P. 3196-3203 (1996).

136. O.E. Rossler. Phys. Lett. A, An equation for hyperchaos// 1979. 17. 155.

137. G.Baier, S.Sahle. Design of hyperchaotic flows// Phys.Rev.E, 1995. Vol.51. P. 2712-2714.

138. Th.Meyer. M.J.Bunner, A.Kittel, J.Parisi. Hyperchaos in the generalized Rossler system// Phys. Rev. E, 1997. Vol.56. P. 5069-5082.

139. V. S. Anishchenko, T. Kapitaniak, M. A. Safonova, 0. V. Sos-novtseva. Birth of double-double scroll attractor in coupled Chua's circuits// Phys. Lett. A, 1994. Vol.192. P. 207.

140. Kapitaniak T., Steeb W. Transition to hyperchaos in coupled generalized van der Pol equations.// Physics Letters, 1991, V.152A, P.33.

141. O. Sosnovtseva, E. Mosekilde. Torus destruction and chaos chaos intermittency in the beer model// Int. J. of Bifurcation and Chaos,1997. Vol.7. P. 1225.

142. Kaplan J.L.,Yorke J.A. Chaotic Behavior of Multi-Dimensional Difference Equations// Lect. Notes in Math., 1979. Vol.730. P. 204227.

143. Понтрягин Jl.С., Андронов A.A., Витт A.A. О статистическом рассмотрении динамических систем// ЖЭТФ, 1933. Т.З. С. 165-180.

144. Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флюктуации в радиотехнике. М.: Сов. радио, 1961.

145. Стратонович Р.Л. Нелинейная неравновесная термодинамика. М.: Наука, 1985.

146. Климонтович Ю.Л. Статистическая физика открытых систем. М.: Наука, 1995.

147. Климонтович Ю.Л. Статистическая теория открытых систем. М.: Янус-К, 1999. 440с.

148. Рытов С.М. Введение в статистическую радиофизику. Случайные процессы. М.: Наука, 1976.

149. Малахов А.Н. Флуктуации в атвоколебательных системах. М.: Наука, 1968.

150. Кляцкин В.И. Статистическое описание динамических систем с флуктуирующими параметрами. М.: Наука, 1975.

151. Ахманов С.А., Дьяков Ю.Е., Чиркин A.C. Введение в статистическую радиофизику и оптику. М.: Наука, 1981.

152. Benzi R., Sutera A. end Vulpiani A. The mechanism of stochastic resonance // J.Phys. A14, 1981. P. 453-457.

153. Benzi R., Sutera A. end Vulpiani A. Stochastic resonance in climatic change// Tellus, 1982. Vol.34 P. 10-16.

154. Nicolis C. Stochastic aspects of climatic transitions responce to a periodic forcing// Tellus, 1982,-Vol.34. P. 1-9.

155. Анищенко B.C., Нейман A.B., Мосс Ф., Шиманский-Гайер Л. Стохастический резонанс как индуцированный шумом эффект увеличения порядка // УФН. 1999. Т.169, nl. С.7-39.

156. McNamara В., Wiesenfeld К., Roy R. Observation of stochastic resonanse in a ring laser// Phys.Rev.Lett., 1988. Vol.60. P. 26262629.

157. Grigorenko A.N., Nikitin P.I., Slavin A.N., Zhou P.Y. Experimental-Observation of Magnetostochastic Resonance// J. of Appl.Phys., 1994. Vol.76, N 10. P. 6335-6337.

158. Дыкман М.И., Великович A.JI., Голубев Г.П., Лучинский Д.Г., Цупиков С. В. Стохастический резонанс в пассивной полностью оптической бистабильной системе// Письма в ЖЭТФ, 1991. Т.53. С. 193-197.

159. Gammaitoni L., Martinelli М., Pardi L., Santucci S. Observation of stochastic resonance in bistable electron-paramagnetic-resonance systems// Phys.Rev.Lett., 1991. Vol.67. P. 1799-1803.

160. Simon A., Libchaber A. Escape and Synchronization of a Brownian Particle// Phys.Rev.Lett, 1992. Vol.68, N 23. P. 3375-3378.

161. Spano M.L, Wun-Fogle M, Ditto W.L. Experimental observation of stochastic resonance in a magnetoelastic ribbon// Phys.Rev. A, 1992. Vol.46. P. R5253-R5256.

162. Mantegna R.N, Spagnolo B. Stochastic resonance in a tunnel-diode// Phys.Rev.E, 1994. Vol.49, N 3. P. R1792-R1795.

163. Hibbs A.D, Jacobs E.W, Bulsara A.R, Bekkedahl J.J, Moss F. Signal Enhancement in a r.f.SQUID Using Stochastic Resonance// IL Nuovo Cimento, 1995. Vol.17, N 7/8. P. 811-818.

164. Perez-Madrid A, Rubi J.M. Stochastic resonance in a system of ferromagnetic particles// Phys.Rev.E, 1995. Vol.51. P.4159-4165.

165. Neda Z. Stochastic resonance in 3D Ising ferromagnets// Phys.Lett.A, 1996. Vol.210. P. 125-128.

166. Дубинов A.E, Михеев K.E, Нижегородцев И.Б, Селемир В.Д. О стохастическом резонансе в сегнетоэлектриках// Изв. АН РАН. Серия Физическая, 1996. Т.60. С. 76-77.

167. Leonard D.S., Reichl L.E. Stochastic resonance in a chemical-reaction// Phys.Rev.E, 1994. Vol.49, N 2. P. 1734-1737.

168. Dykman M.I., Horita T., Ross J. Statistical Distribution and Stochastic Resonance in a Periodically Driven Chemical-System// J. Chem.Phys. 1995. Vol.103, N 3. P. 966-972.

169. Hohmann W., Muller J., Scneider F.W. Stochastic resonance in chemistry. The minimal brómate reaction// J.Phys.Chem., 1996. Vol.100. P. 5388-5392.

170. Babinec P. Stochastic resonance in the weildich model of public opinion formation// Phys.Lett.A., 1997. Vol.225. P. 179-181.

171. Bulsara A., Jacobs E.W., Zhou T., Moss F. Kiss L. Stochastic Resonance in a Single Neuron Model: Theory and Analog Simulation// J.teor.Biol., 1991. Vol.152. P. 531-555.

172. Longtin A., Bulsara A., Moss F. Time interval sequences in the bistable systems and the noise induced transmission of information by sensory neurons// Phys.Rev.Lett., 1991. Vol.65. P. 656-662.

173. Longtin A. Stochastic resonance in neuron models// J.Stat.Phys. 1993. Vol.70. P.309-327.

174. Douglass J.K. Wilkens L., Pantazelou E., Moss F. Noise enchancement of the information in crayfish mehcanoreceptors by stochastic resonance// Nature, 1993. Vol. 365. P. 337-340.

175. Moss F. The Crayfish Mechanoreceptor A Biological Example of Stochastic Resonance// J.Biophys. 1994. Vol.66, N 2. P. A250-A250.

176. Levin J.E., Miller J.P. Broadband neural encoding in the cricket cercal sensory system enhanced by stochastic resonance// Nature, 1996. Vol.380. P. 165-168.

177. Collins J.J., Imhoff T.T., Grigg P. Noise-enchanced information transmission in rat SAI cutaneous mechanoreceptors via aperiodic stochastic resonance// J.Neurophysiology, 1996. Vol.76. P. 642645.

178. Cordo P., Inglis J.Т., Verschueren S., Collins J.J., Merfeld D.M., Rosenblum S., Buckley S., Moss F. Noise in human muscle spindles// Nature, 1996. Vol.383. P. 769-770.

179. Gluckman B.J., Netoff T.I., Neel E.J., Ditto W.L., Spano M.L., Schiff S.J. Stochastic resonance in a neuronal network from mammalian brain source// Phys.Rev.Lett., 1996. Vol.77. P. 4098-4101.

180. Collins J.J., Imhoff T.T., Grigg P. Noise-enchancedtactile sensa- tion//Nature, 1996. Vol.383. P. 770-771.

181. Fauve S., Heslot F. Stochastic resonance in a bistable system// Phys.Lett.A, 1983. Vol.97. P. 5-9.

182. Anishchenko V.S., Neiman А.В., Safonova M.A., Stochastic Resonance in chaotic systems// J. Stat. Phys., 1993. Vol.70, no. 1/2, P. 183-196.

183. Anishchenko V.S., Safonova M.A., Chua L.O. Stochastic resonance in Chua's circuit// Int.J.Bif. and Chaos. 1992. Vol.2, N 2. P.397-401.

184. Moss.F. Stochastic Resonance: From the ice ages to the monkey ear // Some problems in statistical physics / Ed. by G.Weiss. SIAM. Philadelphia, 1992.

185. McNamara В., Wiesenfeld K. Theory of stochastic resonance// Phys.Rev.A39, 1989. P. 4854-4869.

186. Нейман А.Б. Стохастический резонанс и синхронизация стохастических систем, дисс. на соискание д.ф.м.н., Саратов, 1997. 285с.

187. Neiman А.В. Synchronizationlike phenomena in coupled stochastic bistable systems// Phys. Rev. E, 1994. Vol.49, p. 3484.

188. Shulgin B.V., Neiman А.В., Anishchenko V.S. Mean Switching Frequency Locking in Stochastic Bistable Systems Driven by Periodic Force// Phys. Rev. Lett., 1995. Vol.75. P. 4157-4160.

189. Anishchenko V.S., Silchenko A.N., Khovanov I.A. Synchronization of switching processes in coupled Lorenz systems// Phys. Rev. E, 1998. Vol.57. P. 316-322.

190. Neiman A., Silchenko A., Anishchenko V., Schimansky-Geier L. Stochastic resonance: noise-enhanced phase coherence// Phys. Rev. E, 1998. Vol.58. P. 7118-7125.

191. A.C.Scott. Rev. Mod. Phys'., 1975. Vol.47. P. 487.

192. S.C.Muller, P.Coulett, D.Walgraef Eds. From Oscillations to Excitability A Case Study in Spatially Extended Systems. Chaos 4 focus issue. 1994.

193. L.Glass and M.C.Mackey, From Clocks to Chaos. The Rhytmth of Life. Princeton University Press, Princeton, N.J., 1988.

194. Панда П.С., Заикин А.А. Шумоидуцированные фазовые переходы в простых системах// ЖЭТФ, 1997. Т.111. С. 358-364.

195. Landa P.S., Zaikin A.A. Noise-induced phase transitions in a pendulum with a randomly vibriating suspension axis// Phys.Rev.E., 1996. Vol.54., N 4.

196. Kurrer C., Schulten K. Noise-induced synchronous neuronal oscillations// Phys. Rev.E, 1995. Vol.51. P. 6213-6218.

197. A.Longtin, D.R.Chialvo Stochastic and deterministic resonances (Arnold tongues) for excitable systems// Phys.Rev.Lett., 1998.-Vol.81. P. 4012-4015.

198. Soskin S.M. Fluctuation spectrum peaks for systems where the os-cilation frequency dependence on energy has an extremum// Phys-ica A. 1989. Vol.155. P.401-429.

199. Gang H., Ditzinger Т., Ning C.Z., Haken H. Stochastic resonance without external periodic force// Phys. Rev. Lett., 1993. Vol.71. P. 807-810

200. Rappel W.-J., Strogatz S.H. Stochastic resonance in an autonomous system with a nonuniform limit cycle// Phys. Rev. E, 1994. Vol.50. P. 3249-3250.

201. Lee S.-G., Neiman A., Kim S. Coherence resonance in a Hodgkin-Huxley neuron// Phys. Rev. E, 1998. Vol.57. P. 3292-3297.

202. Neiman A., Saparin P.I., Stone L. Coherence resonance at noisy precursors of bifurcations in nonlinear systems// Phys. Rev. E, 1997. Vol.56. P. 270-273.

203. Pikovsky A.S., Kurths J. Coherence resonance in a noise driven excitable system// Phys. Rev. Lett., 1997. Vol.78. P. 775-778.

204. Wiesenfeld K. Noisy precursors of nonlinear instabilities// J.Stat.Phys. 1985. Vol.38, N 5/6. P.1071-1097.

205. Longtin A. Autonomous stochastic resonance in bursting neurons// Phys. Rev. E, 1997. Vol.55. P. 868-876.

206. Treutlein H., Schulten K. Noise-induced limit cycles of the Bonhoeffer-van der Pol model of neural pulses// Ber. Bunsen-Ges. Phys. Chem., 1985. Vol.89. P. 710-718.

207. Treutlein H., Schulten K. Noise-induced neural impulses// Eur. Biophys. J., 1986. Vol.13. P. 355-356.

208. Шахгильдян В.В., Ляховкин А.А. Системы фазовой автоподстройки частоты. М.: Связь, 1972. - 447 с.

209. Фазовая синхронизация. Под ред. В.В. Шахгильдяна, Л.Н. Бе-люстиной. М., Связь, 1975.

210. Линдсей В. Системы синхронизации в связи и управлении: Пер. с англ.// Под ред. Ю. Н. Бакаева, М. В. Капранова. М.: Сов. радио. 1978. - 589 с.

211. Системы фазовой синхронизации/ Под ред. Шахгильдяна В.В., Белюстиной Л. Н. М.: Связь, 1982.

212. Пономаренко В.П., Заулин И.А. Роль инерционности и начального рассогласования в развитии колебательных режимов в би-стабильной системе с фазовым управлением. // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика, 1995. Т. 3. N. 5. С. 26 34.

213. Шалфеев В. Д., Осипов Г. В., Козлов А. К., Волковский А.Р. Хаотические колебания генерация, синхронизация, управление// Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники, 1997. - N 10. - С. 27 - 49.

214. Shalfeev V.D., Osipov G.V. Chaotic phase synchronization of coupled PLLS. Proc:' 5-th International Specialist Workshop on Nonnlinear Dynamics of Electronic Systems// Moscow, Russia, Junne 26-27, 1997. P. 139-144.

215. Анигценко B.C., Нейман А.В., Сильченко A.H., Хованов И.A. Фазовая синхронизация переключений в стохастических и хаотических бистабильных системах // Изв.ВУЗов ПНД. 1998. Т.6, п4. С.68-85.

216. Anishenko V.S., Silchenko A.N., Khovanov I.A. Synchronization of Switching Processes in Coupled Lorenz Systems// Phys.Rev.E. 1997. V.57. P.75-81

217. Анищенко B.C., Сильченко A.H., Хованов И.А. Взаимная синхронизация процессов переключений в связанных системах Лоренца// Писыма в ЖТФ, 1997. т.23. N 8. С. 14-18.

218. Хованов И.А., Анищенко B.C. Механизм стохастического резонанса в системе с перемежаемостью типа "хаос хаос"// Письма в ЖТФ, 1996. т.2. С. 854.

219. Graham R., Hamm A., Tel T. Nonequilibrium potentials for dynamical systems with fractal attractors or repellers// Phys.Rev.Lett. 1991. Vol.66, N 24. P.3089-3092.

220. Rousselet J., Salome L., Ajdari A. and Prost J. Directional motion of Brownian particles induced by a periodic asymmetric potential// Nature (London), 1994. Vol. 370. - P. 446.

221. Magnasco M. Forced thermal ratchets// Phys.Rev.Lett., 1993. -Vol.71. P. 1477-1480'.

222. Magnasco M. Molecular Combustion Motors// Phys.Rev.Lett., 1994. Vol.72. - P. 2656-2659.

223. Maddox J. Directed motion from random noise// Nature (London), 1994. Vol. 369. - P. 181.

224. Maddox J. More models of muscle movement// Nature (London), 1994. Vol. 368. - P. 287.

225. Leibler S. Moving forward noisily// Nature (London), 1994. Vol. 370. - P. 412 - 413.

226. Sung W., Park,P.J. Polimer Transport through a Pore in Membrane// Phys.Rev.Lett, 1996. Vol.77, P. 783-786.

227. Bartussek R., Hanggi P. and Kissner J. G. Periodically Rocked Thermal Ratchets // Europhys.Lett., 1994. Vol.28, P. 459-463.

228. Astumian R. D., Bier M. Fluctuation Driven Retchets: Molecular Motors// Phys. Rev. Lett., 1994. Vol.72. - P. 1766-1769.

229. Doering Ch. R., Horsthemke W. and Riordan J. Nonequilibrium fluctuation-induced transport// Phys. Rev. Lett., 1994. Vol.72, -P. 2984 - 2987.

230. Bier M. Reversals of noise induced flow// Phys. Lett. A, 1996. -Vol.211. P. 12 - 18.

231. Faucheux L. P., Bourdieu L. S., Kaplan P. D. and Libchaber A. J. Optical thermal retchet// Phys.Rev.Lett., 1995. Vol.74. - P. 1504- 1507.

232. Никитин А. П. Индуцированный шумом перенос броуновских частиц в стохастических системах с асимметричным периодичным в пространстве потенциалом// Изв. вузов ПНД, 1997. Т.5.- N 1. С. 30 - 41.

233. Jiilicher F., Ajdari A. and Prost J. Modeling molecular motors// Reviews of Modern Physics, 1997. Vol.69. - N 4. - P. 269 - 281.

234. Prost J, Chauwin J.-F, Peliti L, Ajdari A. Asymmetric Pumping of Particles // Phys. Rev. Lett, 1994. Vol.72 , - P. 2652-2655.

235. Jung P, Kissner J. G. and Hânggi P. Regular and Chaotic Transport in Asymmetric Periodic Potentials: Inertia Ratchets// Phys. Rev. Lett. 1996. V.76. - P. 3436 - 3439.

236. Landa P. S. Noise-induced transport of Brownian particles with consideration for their mass// Phys. Rev. E. 1998. V.58. - n 2. -P. 1325 - 1333. - "

237. Derenyi I. and Vicshek T. Cooperative Transport of Brownian Particles// Phys. Rev. Lett, 1995. Vol.75. - P. 374 - 377.

238. Derenyi I. and Ajdari A. Collective transport of particles in a "flashing" periodic potential// Phys. Rev. E, 1996. Vol. 54. -N 1. - P. R5 - R8.

239. Jiilicher F. and Prost J. Cooperative Molecular Motors// Phys. Rev. Lett, 1995. Vol.75. - P. 2618 - 2621.

240. Тихонов В. И, Миронов M. А. Марковские процессы. М: Сов. радио. 1977. - 488 с.

241. Никитин А.П. Стохастический транспорт, индуцированный квазислучайным телеграфным сигналом// кандидатская диссертация, Саратов,СГУ, 1998, 167с.

242. Белюстина J1. Н, Белых В. Н. О режимах работы системы ФАП с малой инерционностью в цепи управления при действии аддитивной гармонической помехи// Изв. вузов. Радиофизика, 1972. Т. 15. - С. 1637 - 1643.

243. Белюстина JI. Н, Белых В. Н. О неавтономной фазовой системе уравнений с малым параметром, содержащей инвариантные торы и грубые гомоклинические кривые// Изв. вузов. Радиофизика, 1972.- Т. 15. С. 1039 - 1048.

244. Y. Kuramoto. Chemical oscillations, waves and turbulence. Springer, Berlin, 1984.

245. Бендат Дж., Пирсол А. Прикладной анализ случайных данных. М.:Мир, 1989.

246. Ф. Мун. Хаотические колебания. М: Мир. 1990.

247. Carsten Knudsen, Jeppe Sturis, Jesper Sovhus Thomsen. Generic bifurcation structures of Arnol'd tongues in forced oscillators// Phys. Rev A, 1991. Vol.44(6). P. 3503-3510 .

248. Heagy J.F., Hammel S.M. The birth of strange nonchaotic attrac-tors// Physica D, 1994. Vol.70. P. 140.

249. S. Strogatz, in: Biomathematics, Springer, Berlin, 1993. Vol.100.

250. P. Cvitanovic. Universality in Chaos. Adam Hilger Ltd, Bristol, 1984.

251. E. Posa Jr., E. Ott, M.H. Hess. Transition to Phase Synchronization of Chaos// Phys. Rev. Lett., 1998. Vol.80. P. 1642.

252. J. P. Crutchfield, J. D. Farmer. Fluctuations and simple chaotic dynamics// Phys. Reps., 1982. Vol.92. P. 45.

253. Kaneko K. Collapse of tori and genesis of chaos in dissipative systems. Singapore: World Scientific, 1986, 264p.

254. S.Newhouse, D.Ruelle, F.Takens. Occurance of strange axiom A attractors near quasi-periodic flows on Tm, m = 3// Comm. Math. Phys., 1978. Vol.64. P. 35-40.

255. Афраймович B.C., Шильников Л.П. О малых периодических возмущениях автономных систем // ДАН СССР. 1974. Т. 24, п 4. С. 739-742.

256. Афраймович B.C., Шильников Л.П. Принцип кольца и задача о взаимодействии двух автоколебательных систем // ПММ. 1977. Т. 42, п 4. С. 618-627.

257. Афраймович B.C., Шильников Л.П. Инвариантные двумерные торы, их разрушение и стохастичность// Методы качественной теории дифференциальных уравнений- Горький: Изд. ГГУ, 1983. С. 3-26.

258. Maurer J., Libchaber A. Rayleigh-Benard experiment in liquid helium: frequency locking and the onset of turbulence / / J. Phys. Lett. 1979. V. 40. P. L419-L423.

259. Aranson D.G., Chori M.A., Hall G.R., McGenehe R.P. Bifurcations from an invariant circle for two-parameter families of maps of the plane: a computer-assisted study // Comm. Math. Phys. 1982. V. 83. P. 303-354.

260. Franceschini V. Bifurcations of Tori and Phase Locking in a Dis-sipative System of Differencial Equations.// Physica D., 1983, V. 6D (3), pp. 285 304.

261. Анищенко B.C., Летчфорд Т.Е., Сафонова M.A. Эффекты синхронизации и бифуркации синхронных и квазипериодических колебаний в неавтономном генераторе // Изв. вузов. Сер. Радиофизика. 1985. Т. 28, п 9. С. 1112-1125.

262. Stavans J. Experimental study of quasiperiodisity in a hydrody-namical systems // Phys. Rev. A. 1987. V. 35. P. 4314-4328.

263. Glazier J.A. Libchaber A. Quasi-Periodicity and Dynamical Systems: an Experimentalist's View // IEEE Transactions on Circuits and Svstems. 1988. V. 35, n 7. P. 790-809.

264. Анищенко B.C., Сафонова M.A. Механизмы разрушения инвариантной кривой в модельном отображении плоскости // Радиотехника и электроника. 1987. Т. 32, п 6. С. 1207-1216.

265. Анищенко B.C., Летчфорд Т.Е., Сонечкин Д.М. Универсальные закономерности мягкого перехода к хаосу через режим двухча-стотных колебаний // ЖТФ. 1988. Т. 58, вып. 5. С. 849-858.

266. Kaneko К. Doubling of torus// Progr.Theor.Phys. 1983. V.69. пб. P.1806-1810.

267. Анищенко B.C. Разрушение квазипериодических колебаний и хаос в диссипативных системах// ЖТФ. 1986. Т.56. п2, С.225-237.

268. J.-I. Kim, Н.-К. Park, and Н.-Т. Moon. Period doubling of a torus: Chaotic breathing of a localized wave.//Phys. Rev. E, 1997, V.55, P. 3948-3951.

269. S. Kuznetsov, U. Feudel, and A. Pikovsky Renormalization group for scaling at the torus-doubling terminal point// Phys. Rev. E 57, n. 2, 1585-1590, 1998.

270. Pomeau Y., Manneville P. Intermittent transition to turbulence in dissipative dynamical systems// Comm.Math.Phys. 1980. V.74,n2,P. 189-197.

271. Manneville P., Pomeau Y. Different ways to turbulence in dissipative dynamical systems// Physica D. 1980. n.l. P.219.

272. S. K. Han, S. H. Park, T. Yirn, S. Kim, and S. Kim. Chaotic Bursting Behavior of Diffusively Coupled Neural Oscillators// Int.J.of Bifurcations and Chaos, 1996

273. T.R.Chay, Y.S.Fan. Bursting, spiking, chaos, fractals, and universality in biological rhythms// Int.Journ. of Bifurcation and Chaos, 1995, V.5, n.3. P. 595-635.

274. Volkov E.I., Romanov V.A. Bifurcations In the System of Two Identical Diffusively Coupled Brusselators// Physica Scripta, 1995. Vol.51. P. 19-28.

275. Stolyarov M.N., Romanov V.A., Volkov E.I. Out-of-phase mixed-mode oscillations of two strongly coupled identical relaxation oscillators// Phys. Rev. E, 1996. Vol.54. P. 163-169.

276. J.Monod. La technique de culture continue: Theorie et applications// Ann. Inst. Pasteur, 1950. 79. P. 390-410.

277. E. Mosekilde, H. Stranddorf, J.S. Thomsen, G. Baier. Hierarchy of Complex Behaviors in Microbiological Systems//' in Cooperation and Conflict in General Evolutionary Processes, J.L. Casti and A. Karlqvist (eds.), John Wiley. 1994.

278. D. Rend, S. Ostlund, J. Sethna, and E.D. Siggia. Universal Transition from Quasiperiodisity to Chaos in Dissipative Systems// Physica D, Vol.8. No.3. P. 303-342.

279. P.C.Mattews, S.H.Strogatz. Phase diagram for the collective behavior of limit-cycle oscillators// Phys.Rev.Lett., 1990. Vol.65(14). P. 1701-1704.

280. Baesens C., Guckenheimer J., Kim S., MacKay R.S. Three coupled oscillators: mode-locking, global bifurcations and toroidal chaos-// Physica D, 1991. Vol.49. P. 387-475.

281. Celso Grebogi, Edward Ott, James Yorke. Attractors on an N-torus: quasiperiodicity versus chaos// Physica D, 1985. Vol.15. P. 354-373.

282. C. Grebogi, E. Ott, J. A. Yorke. Chaotic Attractors in Crisis// Phys. Rev. Lett., 1982. Vol.48. P. 1507 (1982).

283. C. Grebogi, E. Ott, J. A. Yorke. Crises, sudden changes in chaotic attractors and transient chaos// Physica D. 1983. V.7. P.181-200.

284. Анищенко B.C. Взаимодействие странных атракторов, перемежаемость "хаос-хаос".// Письма в ЖТФ, 1984. т.10. в.10. с. 629-633.

285. Stratonovich R.L. Topics in the Theory of the Random Noise. Gordon and Breach, New York. 1967.

286. Теодорчик К.Ф. Автоколебательные системы с инерционной нелинейностью// ЖТФ, 1946. Т.16. вып.7. С. 845-854.

287. Капцов JI.H., Сенаторов К.Я. О работе RC-генератора пилообразных колебаний с инерционным активным двухполюсником// Радиотехника и электроника, 1964. т.9. в.10. с. 1757.

288. Капцов JI.H. Возникновение пичкового режима в неавтономном генераторе с инерционной нелинейностью// Радиотехника и электроника, 1975. т.20. в.12. с. 2496.

289. Гардинер К.В. Стохастические методы в естественных науках: Пер. с англ. М.: Мир, 1986. - 528 с.

290. Анищенко B.C., Постнов Д.Э. Эффект захвата базовой ча стоты хаотических автоколебаний. Синхронизация странных аттракторов// Письма в ЖТФ. 1988. Т.14. вып.6. с. 569.

291. Публикации по теме диссертации

292. Анищенко B.C., ВадивасоваТ.Е., Постнов Д.Э., Сафонова М.А. Вынужденная и взаимная синхронизация хаоса// Радиотехника и электроника,-1991. Т.36. N 2. С. 338-351.

293. Anishchenko V.S., Vadivasova Т.Е., Postnov D.E., Safonova М.А. Synchronization of chaos// Int. J. Bifurcation and Chaos, 1992. Vol.2. N 3. P. 633-644.

294. Anishchenko V.S., Vadivasova Т.Е., Postnov D.E. Synchronization of chaos. Proc. of First International Conference on Applyed Syn-ergetic and Synergetic Engeneermg, June 21-23, 1994. Erlangen, Germany. P. 200-206.

295. Anishchenko V.S., Postnov D.E. Synchronisation and Electrical activity of human brain. Proc. SPIE Optical and radiofrequency methods in diagnostic and therapy. Ed. V.Tuchin, Bellingham, USA, 1993. Vol.1981.

296. Анищенко B.C., Постнов Д.Э. Синхронизация электрических колебаний и электрическая активность человеческого мозга// Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика, 1993. T.l. N 3-4. С. 45-53.

297. Аншценко B.C., Постнов Д.Э, Хованов И.А, Шульгин Б.В, Использование стохастического резонанса для повышения отношения сигнал/шум в радиотехнических системах// Радиотехника и электроника, 1994. Т.39. N 12. С. 2004-2014.

298. Anishchenko V.S, Vadivasova Т.Е., Postnov D.E., Sosnovtseva O.V, Wu C.W, Chua L.O. Dynamics of the Nonautonomous Chua's Circuit// Int. J. of Bifurcation and Chaos, 1995. Vol.5. N 6.

299. Постнов Д.Э. Стохастический резонанс в автогенераторах с жестким возбуждением// Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика, 1995. Т.З. N 3. С. 100-111.

300. Аншценко B.C., Постнов Д.Э, Хованов И.А, Шульгин Б.В. Стохастический резонанс в бистабильной электрической цепи// Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика, 1995. Т.З. N 5. С. 16-25.

301. Д.Постнов, А.Баланов, В.Черняков. Синхронизация и хаос в моделях динамики популяций// Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика, 1997. Т.5. N 1. С. 42-54.

302. Д.Постнов, А.Баланов. Синхронизация в хаотических системах со счетным множеством состояний равновесия// Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика, 1997. Т 5. N 1. С. 54-69.

303. А.Г.Баланов, Т.Е.Вадивасова, Д.Э.Постнов, О.В.Сосновцева. Бифуркация синхронизации хаоса в осцилляторе Ресслера с гармоническим воздействием// Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика, 1997. Т 5. N 5. С. 31-43.

304. V.Raab, D.Postnov. Induced Hysteresis-free Transitions in a Bistable System (Experimental verification) // International Journal of Bifurcation and Chaos, 1997. Vol.7. N 2. C. 431-436.

305. Постнов Д.Э, Хан C.K. Механизм противофазной синхронизации в моделях нейронов// Письма в ЖТФ, 1999. Т.25. N 4. С. 11-18.

306. D.Postnov, S.K.Han, S.Kook. Synchronization of diffusively coupled oscillators near the homoclinic bifurcations// preprint of ABDUS SALAM International Centre for Theoretical Physics, IC/98/154.

307. D.Postnov, S.K.Han, S.Kook. Synchronization of diffusively coupled oscillators near the homoclinic bifurcation// Phys. "Rev. E, 1999. Vol.60. P. 2799.

308. D.E.Postnov, A.G. Balanov and. E.Mosekilde. Synchronization Phenomena in an Array of Population Dynamics Systems, //Advances in Complex Systems Multidisciplinary Journal, 1998. Vol.1. N.2-3. P. 181-202.

309. Postnov D.E., Han S.K., Yim T.G., Sosnovtseva O.V. Experimental observation of coherence resonance in cascaded excitable systems// Phys. Rev. E. 1999. Vol.59. P. R3791-R3794.

310. D.Postnov, T.Vadivasova, O.V.Sosnovtseva, A.G.Balanov. Role of Multystability in th Transition to Chaotic Phase Synchronization// CHAOS, 1999. Vol.9. N 1. C. 227-232.

311. T.Vadivasova, A.G.Balanov, O.V.Sosnovtseva, D.E. Postnov, E. Mosekilde. Synchronization in Driven Chaotic System: Diagnostics and Bifurcations// Physics Letters A, 1999. Vol.253. P. 66-74.

312. Постнов Д.Э., Никитин А.П., Анищенко B.C. Управление потоком вероятности в системе фазовой автоподстройки частоты// Письма в ЖТФ, 1996. Т.22. N 9. С. 24-29.

313. Никитин А.П., Постнов Д.Э. Индуцированный шумом перенос броуновских частиц в системе с " пульсирующим" периодичным потенциалом// Изв. вузов ПНД, 1997. Т.5. N 6. С. 21-28.

314. Никитин А.П., Постнов Д.Э. Влияние массы частиц на поведение "stochastic ratchets"// Письма в ЖТФ. 1998. Т.24. - п2. -С. 47 - 53.

315. Postnov D.E., Nikitin А.P., Anishchenko V.S. Synchronization of the mean velocity of a particle in stochastic ratchet with the running wave// Phys. Rev. E, 1998. Vol.58. N 2. P. 1662-1664.

316. Nikitin A.P., Postnov D.E. Wave Stochastic Synchronization and Resonant behavior in ratchet-like system. 5th International School on Chaotic Ostillations and Pattern Formation. The book of abstracts. Saratov: College, 1998. P. 47.

317. Д.Э.Постнов, О.В.Сосновцева. С.К.Хан. От противофазной к синфазной синхронизации в связанных моделях нейронов// Изв. вузов ПНД, 1999. Т.7. N 1. С. 88-99.

318. D.Postnov, A.Balanov, N.Janson, E.Mosekilde. Homoclinic bifurcation as a mechanism of chaotic phase synchronization// Phys.Rev.Lett., 1999. Vol.83. P. 1942.

319. S.K.Han, T.G.Yim, D.Postnov, O.Sosnovtseva. Interacting coherence resonance oscillators// Phys. Re v. Lett., 1999. Vol.83. P. 1771.

320. Д.Э.Постнов, А.Г.Баланов. "Хаотическая иерархия" в простой дискретной модели// Изв. вузов ПНД, 1999. Т.7. N 6. С. 26-34.

321. D.E. Postnov, O.V. Sosnovtseva, S.K. Han, T.G. Yim. Stochastic synchronization of coupled coherence resonance oscillators// Int. Journal of Bifurcation and Chaos, in print.3211. Благодарности

322. Автор выражает искреннюю признательность профессору Анищенко B.C. как своему учителю,'а также за поддержку и консультации в период выполнения работы.

323. Я также благодарен профессорам С.К.Хану (университет Чонг-бук, Южн.Корея) и Э.Мозекильде (Датский технический университет, Дания) за ценные советы и помощь в проведении работ.