Точки поворота и условия квантования для общих адиабатических систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

Санкт-Петербургский Государственный университет

Точки поворота и условия квантования для общих адиабатических систем

Специальность 01.01.03 — математическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ОД

Гринина Екатерина Александре

С анкт-Петербург 2000

Работа выполнена на кафедре высшей математики

и математической физики физического факультета Санкт-Петербургского Государственного Университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Буслаев B.C.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор физического факультета СПбГУ Яковлев C.JI.

доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник Математического ин-та им. В.А. Стеклова РАН Белишев М.И.

Ведущая организация: Московский государственный институт

электроники и математики

Защита диссертации состоится < "f * _2000 г. в

_ часов в ауд. Ж. на заседании диссертационного Совета К 063.57.17 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., Д. 7/9.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета.

Автореферат разослан * % >_fco ?_2000 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Манида С-Н

OS

&<!6l.£31]03

Ь iSX^iCSLMO^

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Адиабатические системы, описываемые дифференц альными уравнениями первого порядка в банаховом пространстве А{1)у, е -> 0, давно стали объектом интереса специалистов в области м тематической физики. Построения, примыкающие к квантовой адиабат ческой теореме, нацелены на расщепление динамики в соответствии с ра щеплением спектра А{€) на изолированные компоненты [БК]. В асимптот ческой теории дифференциальных уравнений предполагают, что операто А(Ь) обладает изолированными собственными значениями и анализирую асимптотическое поведение решений, отвечающих этим собственным зн чениям и их попарным пересечениям (точки поворота) [Г], В после нем случае обычно имеют дело с конечномерными системами, как правил - второго порядка, и исходят из явных предположений о поведении А окрестности точки совпадения собственных значений.

Однако, в ряде прикладных задач приходится иметь дело с оператор ми в бесконечномерных пространствах, когда описание модели оператор ответственной за асимптотические параметры, возникающие при пересеч нии пары собственных значений, становится отдельным и содержательны вопросом. С этим приходится сталкиваться, например, в задачах, связа пых с теорией молекул, в задачах теории распостранения воли в волнов дах, в задачах, возникающих при адиабатическом возмущении период ческих операторов.

Поэтому представляется целесообразной разработка схемы, в котору можно было бы погрузить задачи подобного типа. Элементы такой общ схемы и ее применение к задаче об адиабатическом возмущении период ческих операторов были предложены в работе [ВС]. Эта схема основана н использовании подходящего сочетания классических идей и ее централ ным элементом является обобщение на более широкий класс задач метод эталонных уравнений [01у], [ВЭ].

з

В диссертации такая схема применена к исследованию адиабатически систем общего вида. Сочетание классических идей с понятием спектраль ной модели, введенном в работе [ВС], оказывается эффективным и не толь ко позволяет выписать компактные формулы для асимптотических раз ложений в виде формальных рядов по степеням малого пераметра, но I детально иследовать высшие приближения.

Процедура построения асимптотических разложений для решений ис ходного уравнения реализована в двух вариантах - аддитивном, традиционном для задач такого типа, и мультипликативном, к решению такш задач ранее не применявшимся. Преимуществом мультипликативного варианта является ясная геометрическая интерпретация рекуррентной процедуры для построения высших приближений по степеням е. Кроме того, при реализации рекуррентной процедуры в мультипликативном варианте удается экономно решить существенный вопрос об условиях квантования. При этом удается избежать обычных при решении этого вопроса сложностей, связанных с необходимостью регуляризации возникающих фазовых интегралов.

Цель работы. Целью диссертации является:

1) принципиальное решение вопросов, связанных с построением равномерных асимптотических разложений для решений уравнения, описывающего общую адиабатическую систему, на интервалах, содержащих точки поворота;

2) предложение новой, мультипликативной процедуры, для построения указанных асимптотических разложений и вывода условий квантования. Научная новизна. В работе получены следующие новые результаты:

1) построены и детально изучены высшие приближения асимптотических формальных разложений для решений уравнения, описывающего общую адиабатическую систему, для случая параболической точки поворота, а также гиперболической и эллиптической пар точек поворота;

4

2) предложена нопая мультипликативная процедура построения асимпт тических формальных разложений решений этого уравнения;

3) построены и детально изучены формальные разложения для указанны решений в случае эллиптической пары с применением мультипликативно процедуры;

4) построены условия квантования для указаного уравнения во всех поря ках.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический х рактер. Ее результаты приложимы к широкому классу задач, возникающи как в математической, так и теоретической физике. Например, к задача возникающим в квантовой механике при изучении кристаллов, помеще ных во внешнее поле.

Апробация работы. Результаты диссертации многократно докладывали на научных семинарах кафедры высшей математики и математическо физики СП6ГУ, а также на семинаре университета Париж-Норд (Фра ция,2000).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в статья автора [G1.G2]

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из 4 глав (вклгоча введение), разбитых на параграфы и списка литературы. Общий объе диссертации 91 страниц. Список литературы содержит 31 наименование Автор благодарен своему научному руководителю профессору B.C. By слаеву за постановку задачи, внимание к работе и полезные обсуждения

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Глава 1. Введение. Во введении к диссертации дается обзор имеющихся р зультатов по теме работы, содержится постановка задачи, описание осно ных приемов исследования, формулируются и обсуждаются результаты

5

В работе рассматривается уравнение

ie$L = A(t)y, е-* 0, £ >0.

Оператор A(t) -замкнутый линейный оператор в банаховом пространстве X, t G Д С R, его спектр а{1) состоит из двух отделенных друг от друга компонент a(t) = flo(i) Uffi(t), компонента сто (t) образована двумя простыми собственными значениями ki (t) и /сг(£) и инвариантное подпространство Хд, отвечающее компоненте спектра сгр (i), двумерно.

Основным понятием, используемым при решении поставленных задач, является понятие спектральной модели. Мы определяем его. следуя работе [BG]. Операторная функция M (t) : С2 —> С2 является спектральной моделью для Ao(t) = A(t)\Xo, если существует обратимый оператор W(t) : С2 X такой, что

1) W(t), W~l(t) -гладкие функции переменной t,

2) W^W = 1С2, И^"1 - Рд-о;

3) A(t)W(t) = W(i) [§ tv Ao(t)I + M(t)] . PXa = PXo(t) - спектральный проектор на инвариантное подпространство Xq, предполагается, что он является гладкой функцией t. Оператор W предполагается нормированным таким образом, что trW~lW' = 0.

Основная идея используемого в работе подхода состоит в том, чтобы сравнить решение y{t) уравнения (1) с решением подходящего модельного уравнения z(t)

dz

y(t) = T(t)z(t), ie—j; = M(t)z. (2)

Если модельное уравнение допускает явное решение, то вопрос о построении решений уравнения (1) сводится к построению сравнивающего оператора T(t). Эта идея не является новой, см. [W], новизна предложения

состоит в использовании этой идеи на неинфинитизимальном уровне.

е

Согласно (1) и (2), этот оператор должен удовлетворять уравнению

А = А~^гА0(1)1, (3)

таким образом, вопрос о построении решений уравнения (3) является цен ральным для проводимого в диссертации исследования. Для построена решений этого уравнения в виде формальных разложений по малому п раметру £ реализуютя аддитивная (глава 3) и мультипликативная (гла 4) итерационные процедуры.

Глава 2. Спектральные модели и модельные уравнения. Эта глава име вспомогательный характер, в ней даны точные определения исследуемы точек поворота, подробное описание используемых в работе спектральны моделей и показано, что соответствующие модельные уравнения являют явно решаемыми.

Для описания необходимых понятий введем функцию /(£):

1 1 1

В п.2.1 дано определение параболической точки поворота и описана с ответствующая спектральная модель. Точка tl 6 А называется параб лической точкой попорота, если 1'2(1) - гладкая функция с единственны корнем в точке , и оператор

является спектральной моделью оператора Ао(1)- Здесь (,(1) -гладкая м нотонная функция, удовлетворяющая уравнению

I2 = -С/2С, С(«0 = 0. (6)

Можно считать, что параболическая точка поворота разделяет интеравал вещественных и комплексных собственных значений оператора М

дельное уравнение с оператором II(1) разрешимо явно в терминах функци Эйри.

В п.2.2 дано определение гиперболической пары точек поворота и оп

7

сана соотвествующая спектральная модель. Пара параболических точек поворота tl,t2 е Д образуют гиперболическую пару, если 12{Ь) - гладкая функция с двумя простыми корнями в точках и <2> I2 > 0 вне интервала [¿1, ¿г]; и один из следующих операторов

I)' = 71), (7)

является спектральной моделью оператора Ло(^). Здесь (({) -гладкая монотонная функция, удовлетворяющая уравнению

¿2 = С'2(С2-л2), = (8)

Значение параметра /и зависит от расстояния между точками ¿1 и ¿2 и дается формулой

<2

ц2 = 11 Л. (9)

<1

Можно считать, что собственные значения оператора Л0(£) вещественны вне интервала [¿1, ¿2]. Модельное уравнение с операторами Д^а разрешимо явно в терминах функций параболического цилиндра.

В п.2.3 дано определение эллиптической пары точек поворота и описание соответствующей спектральной модели. Пара параболических точек поворота ¿1, ¿2 6 Д образуют эллиптическую пару, если I2 (£) - гладкая функция с двумя простыми корнями в точках t| и <25 < 0 вне интервала [<1. £2], и один из следующих операторов

является спектральной моделью оператора Ло(£). Здесь £(<) -гладкая монотонная функция, удовлетворяющая уравнению

I2 = С'2 (м2 - С2) , <(*!) =-д, С(Ь)=р. (И)

Значение параметра /г определяется формулой (9). Можно считать, что

собственные значения оператора Ао(Ь) вещественны на интервале [¿1,^2]-

8

Модельное уравнение с операторами Е\о_ разрешимо явно в термина функций параболического цилиндра.

Глава 3. Параболическая точка поворота и гиперболическая пара. В это главе построены и детально изучены формальные решения уравнения (1 ] в виде полных асимптотических разложений на интервалах, содержащи параболическую точку поворота и гиперболическую пару точек поворот Полученные асимптотические разложения имеют равномерный характе Решения построены с помощью аддитивной итерационной процедуры, т оператор Т{е. £) строится в виде

T(e,t) = еяр

/4,(0 dt ^(te)nrn(i). (la}

n>0

В п.3.1 этой главы изучается общая структура оператора T(e,t), не зав сящая от выбора конкретной спектральной модели и предлагается реку рентная схеме для его построения в виде (12).

Проведенный в этом параграфе анализ уравнения (3) показывает, ч оператор T(e,t), удовлетворяющий этому уравнению, имеет вид

Т = W (al + ЬМ) + ieS, S : С2 X, (1г)

где а, Ь -скалярные функции, и с необходимостью подчиняется условиям

tr [W~XT') = 0, tr (W~lT'M) = 0. (1^

Все подлежащие определению элементы в (13) должны допускать разл жение по степеням параметра е, аналогичное разложению (12):

5(e,i) = 53(ie)n5n(t)> (lff)

п> О

а(е, t) = (<£)" w» 6(£'*) = £ м*)-

7l>0 п>0

Для последовательных членов разложения (12) с учетом (1о)-(16) и ан лиза уравнения (3) возникает рекуррентная схема

Тп = W (апТ + Ь„М) +Sn-1, (Vf)

9

где

= -IV

<г (И'-Х-хЛо) , ¿г (И'-1Гп_1а_) '

СГ- Н--;-о-ЛО

4яг?2

4 гп?

12

Если обозначить

М =

/ тц т12 \ У ш21 Ш22 У

+ тК-1- (18)

(19)

ТО

Хо

тп О -2 т\\ -т\2

0 О

1 О

(20)

Действие трансформатота Г описывается формулой

Г^ = — /лД'(А)РПМ{\) (¿Л, (21)

2тг2 J

Со

где ДАг -резольвента оператора А1 = (I — Ро)А, а Им -резольвента онера-тора М, Со -контур, окружающий компоненту сг0 спектра оператора Л.

Функции а„ Ьп удовлетворяют системе уравнений, отвечающей условиям (14)

Г 2< + Мг (И^-НГМ) = -4г (И^Х-О,

\ 2РЬ'п+(12)'Ьп +ап К (IVIV'М) = (ЯГ-1 в'^М) . 1 1 В п.3.2 предложенная рекуррентная процедура применяется к ситуации параболической точки поворота и доказывается существование гладкого оператора Т. В качестве спектральной модели в формулах (13) - (22) следует взять оператор и (5). Из определения параболической точки поворота следует, что коэффициент I2 перед Ъ'п в (22) имеет корень в точке ¿1, следовательно для построения гладкого оператора Т рекуррентную схему необходимо дополнить условием

(12)'Ьп + апгг (Р^-1^.!^) = 0

Старший порядок То оператора Т имеет вид

Г0 = Щ (о0Г + Ь0и),

(23)

(24)

ю

АО = ^о сЛ I - / —*---с«' I ,

V * Л (25)

Ло , (1 /-¿г^-ЧГС/) , Д

Теорема: На интервале Д, содержащем параболическую точку поворот существует оператор Т вида (12), удовлетворяющий уравнению (3), гла кий по £ на веем интервале Д.

Множество гладких решений уравнения (3) на интервале, содержаще параболическую точку поворота, определено с точностью до постоянно множителя

п>0

В п.3.3 предложенная рекуррентная процедура применяется к ситу ции гиперболической пары точек поворота и доказывается существован гладкого оператора Т. В качестве спектральной модели в формулах (13 (22) следует взять какой-либо из операторов Нхр.

Построение оператора Т для случая гиперболической пары поворо оказывается более сложным, так как условно типа (23) должно выполнят ся уже в двух точках t\ и . В общем случае мы не можем построй решение уравнения (3), гладкое в обеих этих точках одновременно, так ка множества решений уравнения (3) на подинтервалах, содержащих но одно параболической точке не совпадают. Следовательно, необходимо ввести спектральную модель дополнительный "спектральный" параметр, и в (1ъ) - (22) работать со спектральной моделью

Я + ¿£ ]Г Ап (ге)п а, (27 )

п>0 '

7- матричнозначная функция, выбираемая так, чтобы модельное уравн

1ие при переходе к модели (27) оставалось явно интегрируемым. Значени

11

А к находим из условия гладкости в точках и ¿о одновременно на каждом шаге рекуррентной процедуры.

Старший порядок То оператора Т снова имеет вид (24), но ао и 60 теперь даются формулами

, 1 } ¿г (ГТ-Х0а] Я) а0 = ^сЛ\~1 ---г. М

и

<1* „и (1 [ ^{[Ш^Ш'-Хоа] Н) '

(28)

тфУ С'2 ч/м^с^

-II

Теорема: На интервале Д, содержащем гиперболическую пару точек поворота, существует оператор Т вида (12), удовлетворяющий уравнению (3) и гладкий по на интервале А.

Множество гладких решений уравнения (7) на интервале, содержащем гиперболическую пару, определено с точностью до постоянного множителя вида (26).

Заметим, что при описании гиперболической пары не предполагалось что две параболические точки ее образующие близки. Независимо от расстояния между ними, асимптотическое поведение решений описывается од ними и теми же аналитическими конструкциями.

Глава 4. Эллиптическая пара и условия квантования. В этой главе пред ложена мультипликативная итерационная процедура построения операто ра Т. Она рассматривается на примере эллиптической пары точек поворо та, отвечающей спектральной модели . В качестве следствия выводятся условия квантования, т.е. такие условия, при которых существует фор мальное решение уравнения (1), локализованное на интервале, ограничен ном точками поворота.

В п.4.1 описана мультипликативная процедура построения оператора Мы снова рассматриваем уравнение (3) с некоторой спектральной модель Е, которому должен удовлетворять оператор Т, и переписываем его в вид

ТЕ - (А - геТ'Т~1^ Т. (30)

Здесь спектральная модель Е = Е(^£), вообще говоря, неизвестна подлежит определению. Мы будем требовать, чтобы Е имел такую ж структуру, как исходная спектральная модель (10), с тем, чтобы модельн уравнение осталось явно разрешимым. Иначе говоря, мы полагаем, что

при подходящем выборе £ и /л. Оператор Т, удовлетворяющий (30) строится как возмущение оператора И7, фигурирующего в определени спектральной модели.

Уравнению (30) сопоставляется рекуррентная схема

ТпЕп = (А - гет^т;^) Тп, Т0 = IV. (32)

Оператор 'Гп, удовлетворяющий (32), ищется в виде

Тп = (1+(гб)пСп)Тп^. (33)

Если в (32) учесть, что оператор Тп-\ имеет представление, аналогичн (33), то рекуррентная схема приобретает более четкий смысл:

ТпЕп = (Л„_1 - (¿еГЗя-ОГп, (3^

Ап= (Лп_2 - (¿е)"-1 , ^п-г = (С„_1ГП_2)' На каждом шаге рекуррентной процедуры выделяется двумерное инвар антное подпространство Л'п оператора Ап = (Л„_1 — (ге)" 5П_1), и на это подпространстве строится спектральная модель Еп онератора Ап, фигур зующего в правой части формулы (34) и являющегося возмущение

оператора Ап~\. Затем конструируется оператор Тп вида (33), удовле

13

воряющий (34).

Определитель оператора Еп, может быть вычислен по формуле

Ы Еп = Ш (Еп-г - (к)п Г-2г5„_1ГП-,) + 0(еп+г), (35)

он определяет функцию : йеЛ Еп = играющую туже роль, что и функция I2 в определении спектральной модели (10). Поэтому функция должна обладать такими же общими свойствами, но ее корни находятся теперь в других точках и Щ ■

Оператор Тп обладает свойствами ТпТ~г = Рхп, Т~хТп = /са, Рхп -спектральный проектор на инвариантное подпространство Л'п оператора Ап.

Анализ полученного при подстановке (33) в (32) уравнения для определения (7„ показывает, что С?„ имеет вид

<Зп = + (36)

где

дп,й ■ С2 —> С2, (Зпд : Л'„_1 —> Л',

<?п,0 = У2- + х) > Д^П = V» (Еп — Еп^\) , (37)

ап,1 = ~ I Ъг-гА^-Рх^п-хГп-гЕ.Я-МаХГ-^, (38; с„_,

Дп-1,1 -резольвента оператора = (/ —Гд'„_ , ДЕ" -резольвент;

оператора Еп. Замкнутый контур С„_1 окружает компоненту спектра, от вечающую инвариантному подпространству Л",,-!. Построенный согласи«

(36)-(38) в

п оказывается гладким (несмотря на на нули знаменателя ]

(37)).

Важное замечание состоит в том, что вывод о гладкости опрератора Тп удовлетворяющего (34), не требует непосредственного анализа его анали тических свойств при реализации рекуррентной процедуры. Если некотс

14

рый оператор сплетает операторы, имеющие одинаковый спектр, и в то ке совпадения собственных значений они оба оказываются жордановым клетками, то сплетающий оператор может быть выбран гладким. Спектр операторов в (34) -Еп и Лп\Хп = Ап>о -совпадают по построению Двумерный оператор оказывается в точке совпадения собственны значений жордановой клеткой, если его след равен нулю. Следовательн Тп, удовлетворяющий (34), окажется гладким, если ¿г Апо = 0. Добить выполнения этих свойств можно с помощью скалярной перенормировк соответствующих операторов.

Простота анализа рекуррентной процедуры и отсутствие необходим сти вводить дополнительный параметр для построения гладких решени уравнения (3), как это требовалось в главе 3, являются преимуществам мультипликативной процедуры.

В п.4.2 этой главы явно построен оператор Т\ вида (33)

Тг = (/ + <30 Щ Ох = \VgifiW~1 + <?1>ь (33]

здесь

= р (ТГ-1?!? + ЬЕ0, (4О)

С0

В этом параграфе также вычислен определитель ЛеХ = —/§ и показан

что фунцция ¿2 обладает необходимыми общими свойствами.

В п.4.3 этой главы проведено обоснование мультипликативной итер

ционной процедуры, описанной в п.4.1, и доказывается ее корректность.

В п.4.4 выводятся условия квантования для случая эллиптической пар

Зти условия оказываются простым следствием мультипликативной итер

щонной схемы, изложенной в п.4.1. Модельное уравнение с оператором Е

шеет решения, убывающие по £ вне интервала Щ], если параметр ц

15

этого уравнения удовлетворяет соотношению /х^ = 2пе, п £ N. Отсюда следует, что условия квантования для исходного уравнения (1) имеют вид

в случае, если эллиптическая пара допускает спектральную модель Е\. Для ситуации, когда эллиптическая пара допускает модель ¡¡2, также можно получить условия квантования в рамках мультипликативной итерационной процедуры. В этом случае они имеют вид

В п.4.5 проводится сравнение результатов главы 3 и главы 4. Аддитивная схема построения оператора Т, реализованная для случая гиперболической пары работает и в случае эллиптической пары. Также как и мультипликативная схема, разобранная на примере эллиптической пары может быть перенесена на гиперболический случай. В этом параграфе проверяется что обе процедуры приводят к одинаковым результатам для оператора Т в старшем порядке.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах

Гривива Е.А., "Решение операторного уравнения ге<1у1<И ~ А(1}у на интевалаз содержащих точки поворота Теоретическая и математическая физика, 2000г., т.122 N3, стр.357-371.

[С2] Гринина Е.Л., "Условия квантования для уравнения гейу/М = Весшш

СПбГУ, Сер.4, 2000г., вып.З (N20), стр. 153-155.

[BG] Buslaev V., Grigis A., "Turning points Prepublications Mathemetiques de l'Universit Paris-Nord, 1998, 98-21, РД-53.

[BS] Булдырев B.C., Славянов С.Ю., "Регуляризация фазовых интегралов возл вершины барьера Проблемы математической физики, Ленинградский Университет N10, 1982, стр.50-70.

[DK] Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г., "Устойчивость решений дифференциальны уравнений в банаховом пространстве "Наука 1972г.

(42)

(43)

Цитируемая литература

[F] M.V. Fedoryuk, "Asymptotic analysis. Linear ordinary differential equations Spring Verlag, Berlin (1993).

[Olv] F. Olver "Asymptotics and Special Functions Academic Press, New York, (1974). [W] WAVasov "Linear turning point theory Springer Verlag, Berlin (1985).

ЛР №040815 от 22.05.97.

Подписано к печати 26.10.2000 г. Формат бумаги 60X90 1/16. Бумага офсетная. Печать ризографическая. Объем 1 п.л. Тираж 80 экз. Заказ N1585. Отпечатано в отделе оперативной полиграфии НИИХ СПбГУ с оригинал-макета заказчика.

198904, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр. 2.