Метод инстантонов в модельных задачах квантовой динамики тема автореферата и диссертации по химии, 02.00.04 ВАК РФ

Введение

Глава 1. Квазиклассическое приближение

1.1. Квазиклассические уравнения в формализме ВКБ и инстантонов

1.2. Матрицы связи

1.3. Периодические орбиты

1.4. Инстантон: экстремальная туннельная траектория

1.5. Прохождение потенциального барьера

1.6. Высокоэнергетические состояния

1.7. Туннельные расщепления

1.8. Спектральная функция и квазиклассический пропагатор

Глава 2. Квантование связанных состояний многоямных потенциалов

2.1. Симметричный двухъямный Х4-погенциал

2.2. Периодический потенциал

2.3. Потенциалы с формой, зависящей от параметра

2.4. Асимметричный двухъямный потенциал

Глава 3. Квазистационарные состояния

3.1. Скорость распада и спектральное распределение

3.2. Туннельный распад

3.3. Высоковозбужденные состояния распадного потенциала

3.4. Резонансное туннелирование

3.5. Сильно асимметричный двухъямный потенциал

Глава 4. Неадиабатические переходы

4.1. Приближение Борна-Оппенгеймера

4.2. Адиабатическая теория возмущений

4.3. Квазиклассические уравнения в импульсном представлении

4.4. Задача Ландау-Зинера для двух электронных состояний

4.5. Матрица рассеяния для задачи Ландау-Зинера

4.6. Квантование пересекающихся диабатических потенциалов

Исторически сложились два направления теоретического исследования молекулярных систем. Одно из них - изучение структуры и электронно-колебательно-вращательных спектров устойчивых конфигураций молекул, другое - изучение химических реакций, т.е. переходов между устойчивыми конфигурациями. Эти направления развивались независимо, опираясь на различные теоретические модели. Если основу теории молекул и молекулярных спектров составляет квантовая механика, теория химических реакций исходит из статистических моделей типа теории переходного состояния. Различие подходов объясняется тем, что предметом молекулярной спектроскопии являются низкоэнергетические состояния дискретного спектра с определенными значениями квантовых чисел, тогда как в химических реакциях доминируют высокоэнергетические состояния почти непрерывного спектра, для которых единственным интегралом движения является полная энергия. Сегодня указанное различие начинает исчезать: молекулярная спектроскопия с высоким временным и спектральным разрешением стремится изучать молекулы и молекулярные комплексы вдали от положений равновесия (т.е. в области переходов между устойчивыми конфигурациями), а химическая динамика - переходы между определенными колебательно-вращательными состояниями. Тенденция к объединению теоретических представлений молекулярной спектроскопии и химической динамики привела к появлению квантовой химической динамики, как универсального квантово-механического метода описания внутренних движений в молекулах и реактивных комплексах в широкой области энергий и геометрий от дискретных низкоэнергетических состояний до порога диссоциации. Другой не менее важной причиной быстрого развития квантовой химической динамики в двух последних десятилетиях является прогресс вычислительной квантовой химии. Современные квантово-химические методы в сочетании с суперкомпьютерами позволяют находить поверхности потенциальной энергии (ППЭ) молекул и реактивных комплексов, содержащих до десяти атомов первого и второго периодов, с так называемой "химической точностью" в 0.1 - 0.3 Ккал/моль, которая достаточна для расчета констант скорости типичных термоактивированных реакций. Возможность построения таких ППЭ создает надежный фундамент для последующих динамических расчетов и позволяет им приобрести предсказательную ценность. Благодаря появлению "химически точных" ППЭ, изменились и методы квантовой химической динамики. Вместо развивавшихся ранее качественных методов, типа гамильтониана пути реакции (Миллер) и приближения прямолинейных траекторий (Овчинникова, Маркус), в которых многомерная ППЭ заменяется одномерным эффективным потенциалом вдоль пути, постулируемом в адиабатическом или высокочастотном пределе, стали развиваться значительно более трудоемкие, но более обоснованные квантовые методы Монте-Карло и зависящего от времени самосогласованного поля. Хотя эти методы полностью решают динамическую задачу, их возможности ограничены экспоненциальным ростом объема вычислений с ростом числа степеней свободы. В отличие от обычных задач квантования, в которых, чтобы воспроизвести волновые функции в классически разрешенной области, достаточно степенное увеличение объема вычислений, динамические расчеты требуют корректного представления экспоненциально малых "хвостов" этих функций в классически запрещенной области, т.е. учета малых вкладов возбужденных состояний. Требование к точности расчета возрастают с ростом высоты барьера и связанным с ним экспоненциальным уменьшением амплитуд междуямных переходов. Альтернативой квантовым методам могут служить квазиклассические, точность которых, напротив, возрастает с высотой барьера. Однако метод ВКБ, универсальный в одном измерении, до сих пор не удалось обобщить для многомерных задач из-за факториального роста числа границ между областями с различными комбинациями действительных и мнимых импульсов, сопряженных нормальным координатам. По этой причине для решения многомерных задач квантовой динамики необходимы методы построения глобально-однородных (несингулярных) квазиклассических волновых функций. Одним из таких методов является метод инстантонов, выдвинутый Поляковым и Колманом (1977г) в общей теории поля. Настоящая работа посвящена развитию и обобщению этого метода для модельных задач на собственные значения для основных типов 1D потенциалов, применяемых в химической динамике.

Цель и задачи работы.

• Используя основную идею метода инстантона, разработать квазиклассически точный метод, позволяющий решить задачу о туннельных расщеплениях для симметричных двухъямных потенциалов в широкой области энергий от основного состояния до состояний, расположенных вблизи вершины барьера.

• Применить метод инстантонов для квантования связанных состояний многоямных 1D потенциалов.

• Оценить точность метода инстантонов и сравнить ее с точностью метода ВКБ.

• Применить метод инстантонов к расчету вероятностей распада квазистационарных состояний.

• Решить модельную задачу о разрушении когерентности состояний в двухъямном 1D потенциале.

• Решить задачу Ландау-Зинера методом инстантонов.

• Применить метод инстантонов к квантованию и расчету вероятностей переходов между пересекающимися диабатическими потенциалами при произвольной величине адиабатической связи.

Научная новизна работы.

1. Помимо инстантона с нулевой энергией, как траектории минимального действия в перевернутом барьере и мнимом времени, характеризующей динамику локализованных состояний, введен инстантон с энергией, равной высоте барьера, характеризующий делокализованные состояния.

2. Найдены матрицы связи для различных комбинаций точек поворота первого и второго порядка, характеризующих модельные 1D потенциалы.

3. Предложено обобщение формулы Лифшица-Херринга, учитывающее недиагональные матричные элементы возмущения, обусловленного второй производной префактора.

4. Предложен метод построения базиса одномерных квазиклассических глобально-однородных волновых функций, описывающего как низкоэнергетические, так и высокоэнергетические состояния.

5. Получены уравнения квантования для симметричных и асимметричных многоямных 1D потенциалов в широкой области энергий, позволяющие найти туннельные матричные элементы с точностью, не уступающей точности метода ВКБ.

6. Показано существование перехода от когерентной туннельной динамики к некогерентной в сильно асимметричном двухъямном 1D потенциале.

7. Найдены вероятности распада квазистационарных состояний в широкой области энергий вплоть до вершины барьера.

8. Изучена область резонансного туннелирования и надбарьерного отражения для двухбарьерных структур.

9. Найдены матрицы связи для точки пересечения диабатических потенциалов в туннельной, промежуточной и надбарьерной областях.

10. Найдены туннельные расщепления и вероятности распада в зависимости от адиабатического расщепления.

Все результаты опубликованы в ведущих российских и зарубежных журналах. Апробация работы.

Семинар Химического факультета Калифорнийского Университета в Беркли, -1995 (США), Международная конференция "Матричная изоляция -1998" (Австрия, Спитал), Международные конференции "Квантовая атомная и молекулярная туннельная динамика"- QUAMT -1997 (Германия, Юлих), 1999 (Польша, Краков), 2001 (Англия, Ноттигем), Теоретичский семинар Института Лауэ-Ланжевена 2001, 2002 (Франция, Гренобль), Международная конференция "Современные направления физико-химических исследований -1998, 1999" (РФ,Новосибирск), Школа по химической динамике -2000 (РФ, Москва), Международная конференция "Магнитный резонанс в химии и биологии -2001 (РФ,Звенигород), Семинар по квантовой химии 1998, 1999, 2000 (РФ, Москва), Теоретический семинар Федерального Технологического Института (Швейцария, Цюрих) -2002. Публикации.

По материалам диссертации опубликованы 6 печатных работ.

Форма изложения диссертации нетрадиционна. Вследствие многообразия рассмотренных задач, отсутствует вступительная глава с литературным обзором. Краткие обзоры работ, непосредственно связанных с отдельными задачами, представлены в соответствующих разделах диссертации. Чтобы компенсировать отсутствие обзора, ниже во Введении обоснован выбор направления работы и объектов исследования.

Основная идея квазиклассических методов решения уравнения Шредингера с потенциалами сложной формы состоит в том, чтобы найти асимптотические решения в различных областях фазового пространства и затем сшить эти решения в окрестности разделяющих эти области точек поворота, где исходный потенциал можно заменить более простым, для которого собственные функции известны. В формализме ВКБ, описанном в учебниках квантовой механики (в дальнейшем мы будем преимущественно ссылыться на [1]), эта идея реализуется при рассмотрении линейных точек поворота (т.е. точек поворота первого порядка), которые ограничивают классически разрешенные области E>U(x). Решения уравнения Шредингера методом ВКБ находятся в виде кусочно-непрерывных функций, сингулярных в линейных точках поворота. Сингулярность решений является принципиальным недостатком метода ВКБ, затрудняющим его применение к многомерным задачам. Трудности метода ВКБ стимулировали поиск новых квазиклассических методов, свободных от этого недостатка. Возможность постороения непрерывных квазиклассических решений обусловлена тем, что выбор линейных точек поворота для сшивки асимптотических решений не является единственно возможным, поскольку эти точки перестают быть особыми в квантовой механике. Построение глобально-однородных квазиклассических решений в областях энергий, малых по сравнению с высотой барьера (т.е. глубоко в классически запрещенной области) обеспечивает формализм инстантонов. Сшивка производится в стационарных точках потенциала dU/dx=0, т.е. в точках поворота второго порядка при значениях энергии, равных экстремальным значениям потенциала. Переход от формализма ВКБ к формализму инстантонов означает замену двух близко расположенных линейных точек поворота одной точкой поворота второго порядка. Естественно, такая замена возможна только в случае потенциалов, обладающих экстремумами. В отличие от формализма ВКБ, применимого к потенциалам произвольной формы, формализм инстантонов предназначен цдл рассмотрения состояний с энергиями, близкими к экстремумам потенциала. Замену линейных точек поворота точками второго порядка трудно осуществить при значениях энергии, далеких от экстремумов потенциала. В этом случае можно рассмотреть комбинации точек поворота первого и второго порядка. Такие комбинации для одномерных потенциалов, наиболее часто используемых в химической динамике и молекулярной спектроскопии, показаны на рис. 1.

Рис. 1

1D потенцалы, часто используемые в задачах химической динамики и молекулярной спектроскопии, а- распад метастабильных состояний, б -изомеризация экзоэргических соединений, в - одноканальная бимолекулярная реакция, г - бимолекулярная реакция с образованием реактивного комплекса, д - ангармонические колебания относительно единственной устойчивой конфигурации, е - туннельные переходы в молекулах с двумя эквивалентными устойчивыми конфигурациями. Точки поворота первого (I) и второго (II) порядка показаны для значений энергии Е=0, E=U# и 0<E<U#.

Реакции мономолекулярного распада соответствуют распаду метастабильных состояний, расположенных в минимуме потенциала, отделенном от области инфинитного движения достаточно высоким барьером (рис. 1а). Этот потенциал при Е=0 и E=U# характеризуют одна точка поворота второго (II) и одна точка поворота первого порядка (I). При 0<E<U# имеются три точки поворота первого порядка. Динамика метастабильных состояний, расположенных вблизи вершины барьера, представляет особый интерес в теории переходного состояния, в которой постулируется, что эти состояния вносят основной вклад в константу скорости термически активированных химических реакций. Изомеризация энергоемких соединений описывается сильно асимметричным двухъямным потенциалом (рис. 16), который при Е=0 и E=U# характеризуют комбинации точек поворота 11+1+1 и I+II+I. При 0<E<U# существуют четыре точки поворота первого порядка. Простейшая модельная задача об одноканальных бимолекулярных реакциях рассматривает рассеяние на потенциальном барьере (рис. 1в), который при E=U# характеризует II. При E<U# две линейные точки поворота расположены при действительных значениях коодинаты, а при E>U#, т.е. в области надбарьерного отражения координаты линейных точек поворота становятся комплексными. Бимолекулярным реакциям с промежуточным образованием реактивного комплекса (связанного состояния) отвечает резонансное рассеяние на двойном барьере (рис. 1г). Тот же модельный потенциал описывает двухканальный распад метастабильных состояний. Колебательные спектры молекул с одной устойчивой конфигурацией определяются собственными значениями энергии в одноямном ангармоническом потенциале (рис. 1д), обладающем одной точкой поворота второго порядка при Е=0 и двумя линейными точками поворота при Е>0. Симметричные двухъямные и периодические потенциалы (рис. 1е) описывают расщепления колебательных полос, обусловленные туннельными междуямными переходами в нежестких молекулах с более чем одной устойчивой конфигурацией. Туннельные расщепления, обусловленные различного рода переходами между устойчивыми конфигурациями (переносом протонов, заторможенным вращением, инверсией и т.д.), изучаются различными методами молекулярной спектроскопии высокого разрешения. При Е=0 симметричный двухъямный потенциал имеет две точки поворота второго порядка, при 0<E<U# существуют четыре линейных точки поворота, при E=U# - 1+11+1, а при E>U# две внутренних точки поворота становятся комплексными.

Пересечения диабатических термов различных электронных состояний: а -область пересечения, б - связанное начальное и распадное конечное состояния, в - связанные начальное и конечное состояния. Пунктиром показаны адиабатические термы, адиабатическое расщепление - V12.

Потенциалы, изображенные на рис. 1, образуются в результате неадиабатического взаимодействия двух различных электронных состояний, колебательная энергия которых определяется одноямными диабатическими потенциалами (рис. 2). Адиабатическое расщепление устраняет пересечение 2 а)

Рис. 2 диабатических термов, заменяя их адиабатическими. Нижний адиабатический терм имеет одну из форм, приведенных на рис. 1. Рассмотрение только нижнего терма допустимо при достаточно больших адиабатических расщеплениях, когда влиянием верхнего адиабатического терма можно пренебречь. В общем случае произвольного адиабатического расщепления, динамика междуямных переходов зависит, как от туннельного, так и от адиабатического расщеплений. Неадиабатическое туннелирование вызывает взаимодействие между различными электронными состояниями в реакциях электронного переноса, изомеризации и при электронно-колебательной релаксации возбужденных электронных состояний. Как и в задаче о надбарьерном отражении, при неадиабатическом туннелировании необходимо учитывать комплекные точки поворота. Пересечение связанного и распадного диабатических термов (рис. 26) описывает неадиабатические реакции распада, а пересечение двух термов связанных состояний с минимумами, смещенными по энергии и координате (рис. 2в) - конверсию электронных состояний и реакции изомеризации.

Переходы в потенциалах, изображенных на рис. 1 и 2, и их комбинациях исчерпывают совокупность 1D динамических задач для связанного начального состояния.

В диссертации рассмотрено квазиклассическое решение одномерного не зависящего от времени уравнения Шредингера (УШ) для связанных состояний в котором U(x) - один из рассмотренных выше потенциалов. Потенциал произвольной формы масштабируют расстояние между стационарными точками ао (длина туннелирования), частота колебаний в минимуме и мнимая частота колебаний вблизи вершины барьера .

При введении квазиклассического параметра, как квадрата отношения ао к амплитуде нулевых колебаний в минимуме h2 d2

-гт+и(х) ад = над

1) maxx

2)

У=^-а0 (3) уравнение (1) переписывается в безразмерных единицах длины, энергии и потенциала:

• "щ ■ у(х)^иЫ <4> и имеет вид 2 ^

Ч^г|ад=теад (5) 2 dX ^

Квазиклассический параметр предполагается большим у »1 (6) так как длина туннелирования велика по сравнению с амплитудой нулевых колебаний. Условие (6) означает, что высота барьера, разделяющего минимумы потенциала, =^2 цЦ^ао (q ос 1 - фактор формы барьера) больше собственных значений энергии связанных состояний. Когда условие (6) выполнено, в распадных потенциалах 1а и 26 начальные состояния квазистационарны, т.е. время жизни в яме намного больше периода колебаний в ней, а для симметричных потенциалов туннельные расщепления малы по сравнению с Qq . Эти условия практически всегда выполняются в перечисленных выше задачах. Неравенство (6) эквивалентно обычному условию квазиклассичности и означает, что длина волны де-Бройля (близкая к амплитуде нулевых колебаний в минимуме потенциала) мала по сравнению с длиной туннелирования. Выполнение условия (6) позволяет применять квазиклассические методы в химической динамике и молекулярной спектроскопии.

Заключение.

Выполненный в диссертации последовательный анализ модельных задач дает основание для следующих выводов.

1. Разработан универсальный квазиклассический метод инстантонов для 1D потенциалов, рассматриваемых в квантовой химической динамике и молекулярной спектроскопии.

2. Показано, что найденные методом инстантонов собственные значения и глобально-однородные волновые функции воспроизводят квантовые в широкой области энергий от низкоэнергетических локализованных состояний до расположенных выше вершины барьера делокализованных состояний.

3. Показано, что применение инстантонных функций позволяет на порядок уменьшить размеры базиса, требуемого для диагонализации гамильтониана.

4. Получены уравнения квантования для симметричных и асимметричных многоямных 1D потенциалов в широкой области энергий, которые определяют туннельные матричные элементы с точностью, не уступающей точности метода ВКБ.

5. Показано, что переход от когерентной туннельной динамики к некогерентной в асимметричном двухъямном потенциале происходит, когда матричный элемент перехода сравним с расстоянием между уровнями в конечном состоянии.

6. Дано решение задачи Ландау-Зинера в координатном представлении, включающее промежуточную область энергий вблизи вершины барьера.

7. Найдены туннельные расщепления и вероятности распада состояний пересекающихся диабатических потенциалов в зависимости от адиабатического расщепления.

В отличие от метода ВКБ, в методе инстантонов находятся глобально-однородные (несингулярные) квазиклассические функции. Отсутствие линейных точек поворота и связанных с ними сингулярностей позволяет обойти основную трудность в разработке многомерного квазиклассического приближения. Это преимущество метода инстантонов открывает возможность решения широкого круга задач квантовой химической динамики и молекулярной спектроскопии.

Возможность многомерного обобщения связана с тем, что потенциалы с двумя устойчивыми конфигурациями, как правило, можно построить в виде комбинации одного из 1D потенциалов, рассмотренных в диссертации (рис. 1), и совокупности связанных с ним слабо ангармонических поперечных колебаний. Классическое движение по многомерной поверхности потенциальной энергии такого типа с дополнительным учетом кинематических взаимодействий описывается уравнениями движения, решение которых определяет траекторию минимального действия, являющуюся многомерным обобщением инстантона. При слабом ангармонизме поперечных колебаний, совокупность уравнений движения заменяется интегральным уравнением с помощью известной процедуры Фейнмана-Вернона [13]. Решение интегрального уравнения определяет инстантон и зависящие от туннельной координаты поперечные смещения, что позволяет построить решения многомерных квазиклассических уравнений. Найденные этим методом глобально-однородные квазиклассические функции образуют ограниченный базис, используемый для диагонализации гамильтониана и для построения пробных функций в квантовых методах Монте-Карло. Эта программа решения задач многомерной квантовой динамики была реализована в серии работ с участием автора [128130], посвященных расчету туннельных расщеплений в основном и низших возбужденных колебательных состояниях многоатомных молекул с более чем одной устойчивой конфигурацией. Результаты этих работ, в основе которых лежит метод инстантонов, разработанный в диссертации, доказывают универсальность метода и его применимость в широкой области констант связи между туннельной и поперечными координатами.

1. Л.Д.Дандау, Е.МЛифшиц. Квантовая механика. Изд. 4-ое. Наука. М. 1989.

2. M.S.Child. Semiclassical Mechanics with Molecular Applications. Oxford University Press. N.Y. 1991.

3. Н.Фреман, П.У.Фреман. ВКБ-приближение. Мир. М. 1967.

4. Д.Хединт. Введение в метод фазовых интегралов (метод ВКБ). Мир. М.1965.

5. V.A.Benderskii, E.V.Vetoshkin. Chem.Phys. 257(2000)203.

6. З.Флюге. Задачи по квантовой механике. Т.1. Мир. М. 1974.

7. J.B.Krieger, M.L.Lewis, C.Rosenzweig. J.Chem.Phys. 47(1967)2942.

8. M.Vranicar, M.Robnik. Progress Theor.Phys. Suppl. 139(2000)214.

9. M.Robnik, L.Salasnich, M.Vranicar. Progress Theor.Phys. Suppl. 139(2000)550.

10. Г.Бейтмен, А.Эрдейи. Высшие трансцендентные функции. Т.2. Наука.М.1966.

11. Н.Decker. Physica. А146( 1987)375.

12. Y.Waissman. J.Chem.Phys. 76(1982)4067, Am.J.Phys. 52(1983)448, 53(1985)17.

13. Р.Фейнман, А.Хибс. Квантовая механика и интегралы по траекториям. Мир. М. 1968.

14. R.Ballian, C.Bloch. Ann.Phys. 85(1974)514.

15. M.C.Gutzwiller. J.Math.Phys. 8(1967)1979; 10(1969)1004; 11(1971)343.

16. W.H.Miller. J.Chem.Phys. 63(1975)996.

17. L.S.Schulman. Techniques and Applications of path integration. Wiley. N.Y. 1981.

18. H.Kleinert. Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistic and Polymer Physics. World Scien. Singapoore. 1990.

19. M.C.Gutzwiller. Chaos in Classical and Quantum Mechanics. Springer. Berlin. 1990.

20. V.A.Benderskii, D.E.Makarov, C.A.Wight. Chemical Dynamics at Low Temperatures. Wiley Intersci. N.Y. 1994.

21. H.Goldstein. Classsical Mechanics. Second Ed. Addison-Wesley. Reading. MA. 1980.

22. D.W.McLaughlin. J.Math.Phys. 13(1972)1099.

23. S.Levit, J.W.Negele, Z.Patiel. Phys.Rev. C.22(1980)1979.

24. J.D.DoE, T.F.George, W.H.Miller. J.Chem.Phys. 58(1972)1972.

25. M.Wilkinson. Physica. 21D(1987)201.

26. S.Takada, H.Nakamura. J.Chem.Phys. 100(1994)98.

27. Ф.М.Морс, Г.Фешбах. Методы теоретической физики. М. Изд. иностр. лит. 1958-1960.

28. A.M.Polyakov. NucLPhys. В121(1977)429.

29. G.C.Calan, S.Coleman. Phys.Rev. D.16(1977)1823.

30. S.Coleman. Aspects of Symmetry. Cambridge Univ. Press. Cambridge. 1986.

31. A.Lapides, E.Motolla. Nucl.Phys. B203(1982)58.

32. Р.Ранджараман. Солитоны и инстантоны в квантовой теории поля. М. Мир. 1985.

33. A.Schmid. Ann.Phys. 170(1986)333.

34. В.В.Авилов, С.В.Иорданский. ЖЭТФ. 69(1975)1338.

35. V.A.Benderskii, E.V.Vetoslikin, L.von Laue, H.P.TrommsdorfF. Chem.Phys. 219(1997)143.

36. Р.Ньютон. Теория рассеяния волн и частиц. М. Мир. 1969.

37. А.И.Базь, Я.Б.Зельдович, А.М.Переломов. Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике. М.Наука. 1971.

38. В.А.Бендерский, Е.В.Ветошкин, У.И.Кац. ЖЭТФ (2002).

39. В.Л.Покровский, И. М.Халатников. ЖЭТФ. 40(1961)1713.

40. V.A.Benderskii, E.V.Vetoslikin, S.Yu.Grebenshchikov, L.vonLaue, H.P.Trommsdorff. Chem.Phys. 219(1997)119.

41. C.M.Bender, T.T.Wu. Phys.Rev. 184(1969)1231.

42. V.A.Benderskii, E.V.VetoshMn, H.P.Trommsdorff. Chem.Phys. 234(1998)153.

43. V.A.Benderskii, E.V.Vetoslikin. Chem.Phys. 234(1998)173.

44. ВЛ.Данилов, А.Н.Иванов, Е.К.Исакова, Л.АЛюстерник, Г.С.Салехов, А.Н.Хованский. Математический анализ. Справочная Математическая Библиотека. М. ГИФМЛ. 1961.

45. J.Bardeen. Phys.Rev.Lett. 6(1961)57.

46. С.Herring. Rev.Mod.Phys. 34(1962)341.

47. W.H.Miller. J.Chem.Phys. 53(1970)1949.

48. W.H.Miller. J.Chem.Phys. 53(1970)3578.

49. W.H.Miller. Semiclassical Description of Atomic and Nuclear Collisions. Eds. J.Bang, J.de Boer. Elsevier. Amsterdam. 1985.

50. R.G.Littlejohn. J.Stat.Phys. 68(1992)7.

51. S.Keshvamurthy, W.H.Miller. Chem.Phys.Lett. 218(1996)486.

52. B.W.Spath, W.H.miller. Chem.phys.Letts. 262(1996)486.

53. G.Campolieti, P.Brumer. J.Chem.Phys. 109(1998)2999.

54. M.F.Herman, E.Kluck. Chem.phys. 91(1984)27.

55. E.Kluck, M.F.Hermann, H.L.Davis. J.Chem.Phys. 84(1986)326.

56. M.F.Herman. J.Chem.Phys. 110(1999)4141.

57. K.G.Kay. J.Chem.Phys. 107(1997)2313.

58. H.Wang, M.Thoss, K.L.Sorge, R.Gelabert, W.H.Miller. J.Chem.phys. 114(2001)2562.

59. R.Gelabert, X.Gimenez, M.Thoss, H.Wang, W.H.miller. J.Chem.Phys. 114(2001)2572.

60. W.H.Miller. J.Phys.Chem.A 105(2001)2942.

61. H.Friedrich, J.Trost. Phys.Rev. A54(1996)1136.

62. C.S.Park, M.G.Jeong, S-K.Yoo, D.K.Park. Phys.Rev. A58( 1998)3443.

63. A. Erdelyi, W.Magnus, F.Oberhettinger, F.G.tricomi. Higher Transcendental Functions. У.Ш. McGraw Hill. N.Y. 1953.

64. A.Radosz. J.Phys. C18(1985)L189.

65. JI.E.Генденштейн, И.В.Крив.УФН. 28(1985)356.

66. R.Dutt, A.Khare, U.P.Sunhatme. Phys.Let. B181(1986)295.

67. A. Caticha. Phys.Rev. A51(1995)4264.

68. F.Cesi, G.C.Rossi, M.Testa. Ann.Phys.(NY) 206(1991)318.

69. D.Mugnai, ARanfagni. Phys.Lett. 109A(1985)219.

70. AJ.Leggett, S.Chakravarty, A.T.Dorsey, M.P.A.Fisher, A.Garg, M.Zwerger. Rev.Mod.Phys. 59(1987)1.

71. A.O.Caldeira, AJ.Leggett. Ann.Phys. 149(1983)374.

72. V.A.Benderskii, E.V.Vetoshkin, H.P.Trommsdorff. Chem.Phys. 244(1999)299.

73. Я.Б.Зельдович. ЖЭТФ 39(1960)545. (JETP 12(1961)542).

74. А.И.Базь, Я.Б.Зельдович, A. M. Перед омов. Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике. М.Наука. 1971.

75. В.де Альфаро, Т.Редже. Потенциальное рассеяние. М. Мир, 1966.

76. M.S.Wartak, S.Krzeminski. J.Phys.A22(1989)L1105.

77. Y.K.Ho. Phys.Reps. 99(1983)1.

78. W.P.Reinhardt, Annu.Rev.Phys.Chem. 33(1983)223.

79. E.Baslev, J.C.Combes. Commun.Math.Phys. 22(1971)280.

80. L.Esaki, R.Tsu. IBM J.Res. 14(1970)61.

81. R.Tsu, L.Esaki. Appl.Phys.Lett. 22(1973)562.

82. L.Chang,,L.Esaki,,R.Tsu. Appl.Phys.Lett. 24(1974)593.

83. H.Eyring, S.H.Lin, S.M.Lin. Basic Chemical Kinetics. Wiley Intersc. N.Y.1983.

84. B.Ricco, M.Ya.Azbel. Phys.Rev. В 29(1984)1970.

85. S.Collins, D.Lowe, J.R.Barker. J.Phys. С 20(1987)6233.

86. Y.Glazer, M.Gitterman. Phys.Rev. В 43(1991)1855.

87. V.A.Benderskii, E.I.Kats. Phys.Rev.E 65(2001)0362.

88. P.Brumer Adv. Chem.Phys. 47(1981)201.

89. E.J.Heller Phys.Rev. A. 35(1987)1360.

90. M.Bixon, J.Jortner. J.Chem.Phys. 48(1968)715; 50(1969)2916;52(1970)6272.

91. M.A.Monison, T.L.Estle, N.F.Lane. Quantum States of Atoms, Molecules and solids. Prentice-Hall. N.Jersey. 1976.

92. С .A. Mead, D.G.Truhlar. J.Chem.Phys. 70(1979)90.

93. C.A.Mead. Rev.Mod.Phys. 64(1992)51.

94. Y.Aharonov, D.Bohm. Phys.Rev. 115(1959)104.

95. M.Y.Berry. Proc.Roy.Soc. Lond. A392(1984)45.

96. J.Moody, A.Shapere, F.Wilczek. In : Geometric Phases in Physics. A.Shapere, F.Wilszek (Eds). World Scientific. Singapore. 1989.

97. H.Kuratsuji, S.Iida. Progr.Theoret.Phys. 74(1985)439.

98. G.Herzberg, H.C.Longuet-Higgins. Disc.Farad.Soc. 35(1963)77.

99. E.E.Nikitin, S.Ya.Umanskii. Theory of Slow Atomic Collisions. Springer-Verlag. Berlin. 1984.

100. M.S.Child. Molecular Collision Theory. Academic. N.Y.1974.

101. M.S.Child. Adv.Atom. Molec. Phys. 14(1978)225.

102. K. Fujikawa, H.Suzuki. Phys.Rev.A. 56(1997)3436.

103. M.Baer. Chem.Phys. 259(2000)123.

104. M.Baer, S.H.Lin, AAlijah, S.Adhikari, G.D.Billing. Phys.Rev. A. 62(2000)032506.

105. А.М.Дыхне. ЖЭТФ. 41(1961)1324.

106. A.M.Дыхне, А.В.Ча1шик. ЖЭТФ. 43(1962)889.

107. J.P.Davis, P.Pechukas. J.Chem.Phys. 64(1976)3129.

108. J-T.Hwang, P.Pechukas. J.Chem.Phys. 67(1977)4640.

109. N.V.Vitanov, B.M. Garraway. Phys. Rev. A53(1996)4288.

110. K.Kumar. J.Math. Phys. 6(1965)1923.

111. M.V.Fedoriuk Proc Russian Acad Sci 158(1964)540.

112. M.V.Fedoriuk Proc Russian Acad Sci 162(1965)287.

113. M.V.Fedoriuk Russian Mathem.Survey 21(1966)1 (68(1965)81 in Russian).

114. Е.Е.Никитин. Ортика и спектр 9(1961)452.

115. В.К.Быховский, Е.Е.Никитин, М.Я.Овчинникова. ЖЭТФ 47(1964)750 (JETP 20(1965)500).

116. М.Я.Овчинникова. ДАН СССР. 161(1965)641.

117. T.Holstein. Phil.Mag. В37(1978)49.

118. J.B.Delos,W.R.Thorson Phys.Rev.A6(1972)721, 728.

119. P.V.Coveney, M.S.Child, A.Barany. J.Phys. B.18(1985)4557.

120. C.Zhu, H.Nakamura. J.Chem.Phys. 97(1992)1892.

121. C.Zhu, H.Nakamura. J.Chem.Phys. 97(1992)8497.

122. C.Zhu, H.Nakamura. J.Chem.Phys. 98(1993)6208.

123. C.Zhu, H.Nakamura. J.Chem.Phys. 101(1994)4855.

124. C.Zhu, H.Nakamura. J.Chem.Phys. 101(1994)10630.

125. F.W.J.Olver. J.Res.Nat.Bur.Stand. 63B91959)131.

126. F.W.J.Olver. Asymptotics and Special Functions. Acad.Press. N.Y. 1974.

127. L.D.Landau. Phys. Z.Sovjetunion. 2(1932)46.

128. V.A.Benderskii, E.V.Vetoshkin, I.S.Irgibaeva, H.P.Trommsdorff. Chem.Phys. 262(2000)369.

129. V.A.Benderskii, E.V.Vetoshkin, I.S.Irgibaeva, H.P.Trommsdorff. Chem.Phys. 262(2000)392.

130. V.A.Benderskii, E.V.Vetoshkin, H.P.TrommsdorfF. Chem.Phys. 271(2001)165.