Квантовые эффекты, связанные с нестационарностью граничных условий тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Введение

1. Взаимодействие квантового детектора с излучением движущегося зеркала

§1.1. Постановка задачи.

§1.2. Переходы с возбуждением детектора.

§1.3. Переходы с релаксацией детектора.

§1.4. Возбуждение детектора при полугиперболическом движении зеркала.

§1.5. Обсуждение результатов и условий применимости подхода 'Л. Г

2. Граничное условие в задаче Унру п

§2.1. Квантование нейтрального скалярного поля в 1+1-мерном пространстве Минковского (плосковолновой базис).

§2.2. Квантование нейтрального скалярного поля в 1+1-мерном пространстве Риндлера.

2.2.1. Квантование Фуллинга.

2.2.2. Граничные условия.

§2.3. Квантование нейтрального скалярного поля в 1+1-мерном прстранстве Минковского (базис бустовых мод).

§2.4. Конструкция Унру.

2.4.1. Квантование Унру.

2.4.2. Эффект Унру.

3. Алгебраический подход к задаче Унру

§3.1. Унитарная неэквивалентность квантований Минковского и Унру

§3.2. Одномодовая модель.

§3.3. Задача Унру в алгебраическом подходе.

4. Возбуждение атома в нестационарной полости

§4.1. Возбуждение атома: поглощение реальных назимировских фотонов

§4.2. Возбуждение атома: поглощение виртуальных назимировских фотонов

§4.3. Динамический эффект Лэмба.

§4.4. Многоуровневый атом в нестационарной полости.

При рассмотрении большей части квантовых эффектов обычно считают, что поле исчезает только на пространственной бесконечности. Однако существует ряд эффектов, в которых существенную роль играет наличие границ у области, занятой квантованным полем. В этом случае на поле накладываются граничные условия на границе этой области. В качестве примеров физических задач, в которых модификация граничных условий на бесконечности (вырожденность вакуума) или наличие границ играет определяющую роль, можно упомянуть инстантоны, магнитные монополи и топологические солитоны [1, 2, 3], эффект Казимира [4, 5, 6], в том числе и его нестационарный аналог (см. ниже), электродинамические процессы в полости [7, 8] и др. При этом, если в одних задачах наличие границ приводит к небольшой модификации известных физических процессов (как, например, в задаче о тормозном излучении мюонов, где учет непрозрачности ядра приводит к 10%-му различию сечений процесса для и частиц, см. [9, 10], или параметрическое изменение лэмбовского сдвига атома при помещении его в полость конечного размера благодаря изменению спектра вакуумных флуктуаций электромагнитного поля, см. [11, 12, 13]), то в других задачах само существование физического эффекта оказывается обязанным наличию границ в том смысле, что эффект не имеет аналога в неограниченной области.

Эффект Казимира, то есть изменение энергии нулевых колебаний вакуума квантованного поля при изменении граничных условий, является одним из наиболее известных эффектов такого рода, и, более того, был подтвержден экспериментально. Так, для электромагнитного поля, заключенного между двумя идеальными плоскими параллельными зеркалами площадью находящимися на расстоянии Ь друг от друга (£ <С л/5), вакуумная энергия ^пй^л^потличается от вакуумной энергии в отсутствии граничных условий на величину з^пкЛ1) - Е = пк±\ кХ что приводит к взаимному притяжению между зеркалами.

Если граничные условия являются нестационарными (зависящими от времени), то становится возможным рождение частиц из вакуума [6, 14, 15, 16]. В случае, когда поле заключено в полупространстве, на движущейся границе которого накладывается граничное условие, об этом процессе говорят как об излучении ускоренно движущегося зеркала [15,16], а если нестационарные граничные условия накладываются на границе полости конечного размера [14], то рождение частиц из вакуума называют нестационарным (или динамическим) эффектом Казимира [17]. Этот эффект является существенно квантово-реляти-вистским и очень мал, если скорость движения границ мала по сравнению со скоростью света. Качественное объяснение этого эффекта состоит в следующем (для определенности рассмотрим нестационарный эффект Казимира). Свободное квантованное поле в вакуумном состоянии при наличии стационарных граничных условий является совокупностью бесконечного числа невзаимодействующих друг с другом осцилляторов (мод), находящихся в основном состоянии [18]. Если граничные условия становятся нестационарными, то полевые осцилляторы (моды) начинают взаимодействовать, а их частоты становятся переменными. Последнее приводит, как известно, к параметрическому возбуждению полевых осцилляторов, причем необходимое для параметрического возбуждения малое начальное отклонение из положения равновесия обусловлено квантовыми вакуумными флуктуациями в основном состоянии (которые ответственны и за обычный стационарный эффект Казимира). Такое возбуждение полевых осцилляторов как раз и означает рождение частиц. Отметим, что наличие сильного взаимодействия между полевыми модами в нестационарной полости создает большие препятствия для строгого количественного теоретического исследования нестационарного эффекта Казимира. В частности, оценку числа рожденных фотонов в реалистическом случае трехмерной полости удается получить только в предположении адиабатически медленного движения границ полости [19]. Кроме того, в отличие от стационарного эффекта Казимира, нестационарный эффект Казимира до сих пор не наблюдался экспериментально. Это связано с тем, что заметное число даже безмассовых частиц рождается только при выполнении некоторых специальных условий, которые достаточно сложно создать в лаборатории [20]. Тем не менее, разными авторами предлагались различные схемы эксперимента, в которых можно ожидать заметную величину эффекта. При этом если в одних схемах для этого предлагаются способы создания очень быстро и сильно изменяющихся граничных условий [21, 22], то в других предлагается использовать слабо и периодически изменяющиеся граничные условия, частота изменения которых находится в резонансе с собственными частотами поля в полости [17], [23]-[25].

Важным является вопрос о методе детектирования фотонов, рождающихся в полости благодаря нестационарному эффекту Казимира. Представляется естественным использовать для этого холодный пучок атомов, молекул или ионов, пролетающих через нестационарную полость и способных возбуждаться благодаря взаимодействию с нестационарным электромагнитным полем в полости. В работе [25] было рассмотрено взаимодействие двухуровнего атома, резонансно взаимодействующего с одной модой электромагнитного поля в полости с периодически изменяющимися граничными условиями, причем предполагалась, что частота изменения граничных условий находится в резонансе с частотами моды и атомного перехода. В рамках такой модели атом возбуждается благодаря рождению казимировских фотонов и служит детектором излучения, возникающего благодаря нестационарному эффекту Казимира. Однако остался неизученным вопрос о поведении детектора (атома), не находящегося в резонансе с электромагнитным полем. Этот вопрос представляет большой интерес, поскольку в этих условиях детектор взаимодействует не только с реальными фотонами, рождающимися благодаря нестационарному эффекту Казимира, но также с нестационарными квантовыми флуктуациями электромагнитного поля в полости.

Еще одним важным эффектом, в котором граничные условия, по - видимому, играют большую (и, возможно, пока еще не до конца понятную) роль, является эффект Хокинга, то есть эффект квантового испарения черных дыр [26, 15, 6]. При этом следует различать случаи установившегося излучения кол-лапсирующего объекта и излучения вечной черной дыры (то есть черной дыры, существующей изначально, а не возникшей в результате коллапса). Считается, что в обоих случаях черная дыра является источником излучения, неотличимого от излучения абсолютно черного тела с температурой 0# = Ьк/2тгскв, где кд- постоянная Больцмана, к = с2/2тд = с4/4СМ- поверхностная гравитация черной дыры, М- ее масса и й- гравитационная постоянная. Отметим, что, хотя эффект Хокинга является важнейшим результатом квантовой теории поля в искривленном пространстве- времени и представляет несомненный интерес для астрофизики и космологии (см., например, [27]), до настоящего времени отсутствует логически полное и безупречное теоретическое доказательство существования этого эффекта (так, в работе [28] утверждается, что спектр излучения черной дыры должен быть отличным от спектра теплового излучения с температурой Хокинга). Поэтому для пояснения сущности этого эффекта в литературе зачастую рассматриваются упрощенные модельные задачи - излучение зеркала в Б = 1 + 1- мерном пространстве- времени, мировая линия которого в далеком будущем приближается к светоподобной мировой линии по асимптотическому закону

2 = R(t) = —ct - const • e~2*i/c,

1) моделирующему изменение красного смещения при прохождении лучей через центр коллапсирующего тела, возникающее при гравитационном коллапсе [26, 29, 47], либо, в случае вечной черной дыры, эффект Унру [5, 6], [30]-[39].

Задача об излучении скалярных безмассовых частиц зеркалом, движущимся в D = 1 + 1- мерном пространстве- времени по траектории (1), впервые была рассмотрена в работах [16, 29] в рамках двух подходов. В одном подходе вычислялось среднее значение перенормированного тензора энергии-импульса поля (0|T^eg*|0), а в другом выводилось преобразование Боголюбова, связывающее операторы уничтожения частиц в in- модах (фиксированных условием, что на зеркало падает монохроматическая волна) и out- модах (соответствующих отражению от зеркала монохроматической волны), а затем стандартным способом [40] вычислялось среднее число out- частиц в состоянии in- вакуума (см. также [41]). При этом в рамках обоих подходов был получен тепловой спектр излучения зеркала. , Однако эти подходы применимы и имеют ясный физический смысл только в том случае, когда предполагается, что ускорение зеркала "выключается" в достаточно удаленном будущем, так что в задаче присутствует out- область, в которой не рождаются частицы, излучение "отрывается" от зеркала и можно подсчитать число родившихся частиц. Однако, собственное ускорение зеркала на мировой линии (1) растет при t —► +оо пропорционально ехр(/с£/2с). Поэтому "выключение" ускорения зеркала на больших временах требует значительного воздействия на зеркало, которое, вообще говоря, могло бы сильно изменить характер его излучения. С точки зрения аналогии с эффектом Хокинга " выключение" ускорения зеркала в будущем отвечает предотвращению гравитационного коллапса в последний момент. Поэтому возникает потребность в возможном альтернативном подходе к исследованию излучения зеркала, не требующем "выключения" ускорения зеркала в будущем.

Как уже упоминалось, один из подходов к обоснованию эффекта Хокинга для вечной черной дыры опирается на аналогию с эффектом Унру. Эффект Унру состоит в том, что детектор, движущийся с постоянным собственным ускорением д в пустом пространстве-времени Минковского (ПМ), ведет себя так же, как если бы он был погружен в тепловую баню фуллинговских частиц с температурой Дэвиса- Унру [30, 31]

При этом подразумевается, что отклик детектора является универсальным, то есть не зависит от типа используемого детектора, см. также [5, 6], [32]-[39] и цитированную в этих работах и монографиях литературу. Более точно, эффект Унру означает, что с точки зрения равномерно ускоренного наблюдателя обычный вакуум в ПМ является смешанным состоянием и описывается тепловой (гиббсовской) матрицей плотности с эффективной температурой (2).

Анализ существующей литературы по эффекту Унру показал, что для обоснования существования эффекта используются два различных подхода. Первый подход основан на рассмотрении поведения конкретных (модельных) типов заряженных детекторов, помещенных в постоянное электрическое поле в пространстве Минковского (ПМ). Поведение таких детекторов и возможность экспериментального подтверждения существования эффекта Унру обсуждалось в большом числе работ, см. например обзоры [20, 38, 44, 45, 46]. Однако строгое рассмотрение поведения равномерно ускоренного физического детектора является очень трудной проблемой и ее трактовка в литературе очень противоречива. Основная трудность состоит в том, что объект, движущийся с постоянным собственным ускорением, должен рассматриваться как точечный и движущийся по определенной (гиперболической) траектории. Поэтому в качестве детектора следует использовать элементарную частицу или микроскопическую связанную систему. В обоих случаях детектор представляет собой квантовый объект, движущийся по определенной классической траектории. Такое предположение находится в противоречии с соотношением неопределенности, его область применимости ограничена, и поэтому оно должно использоваться с надлежащей осторожностью. Кроме того, при рассмотрении конкретного физического детектора всегда следует иметь в виду, что вечное равноускоренное движение является математической идеализацией, и что физически осмысленно рассматривать лишь такой детектор, который ускоряется в течении некоторого конечного промежутка времени. При этом всегда возникают разнообразные ограничения на параметры детектора, например, условие малости времени ускорения детектора по сравнению с характерным временем его разрушения и т.д. При формальном рассмотрении задачи об излучении вечно равноускоренного объекта, как отмечалось в литературе (например, в монографиях [42, 43]), даже в рамках классической электродинамики возникают разнообразные парадоксы. Иногда разные авторы, исследующие одну и ту же проблему, приходят к абсолютно противоположным заключениям. Например, как показали Никишов и Ритус [47], элементарные частицы, помещенные в область постоянного электрического поля, не проявляют универсального теплового отклика, в то время как авторы работы [48], рассматривая ту же самую задачу, пришли к выводу, что эффект Унру существует. Ясно, что тяжелый атом, для которого квазиклассический подход применим, удовлетворяет физическим требованиям, предъявляемым к детектору, намного лучше, чем элементарная частица. К сожалению, систематическая релятивистская теория связанных состояний в настоящее время все еще отсутствует. Использование нерелятивистских связанных систем в качестве детекторов обсуждалось в работе [49], в которой была вычислена скорость ионизации тяжелого иона, движущегося в постоянном электрическом поле. В этой работе было показано, что выражение для скорости ионизации иона отличается от полученного на основании принципа детального равновесия, примененного к атому, помещенного в тепловую баню с температурой Дэвиса-Унру, и что время "тепловой ионизации" атома (если бы последняя имела место) много больше чем время разрушения атома благодаря процессу туннельной ионизации в электрическом поле. Как утверждается в недавней работе [50], многоуровневый детектор в отсутствии ионизации также не проявляет универсального отклика Унру.

Другой (и исторически первый) подход к обоснованию существования эффекта Унру основан на рассмотрении общих свойств квантованных полей, при этом детектор как таковой вообще не рассматривается. Именно в рамках такого подхода был сделан вывод об универсальном поведении равноускоренного детектора [30]. В таком квантовополевом подходе эффект Унру качественно объясняют следующим образом. Рассматривается псевдоортогональная система отсчета (так называемая риндлеровская система отсчета [51]), относительно которой равноускоренно движущееся и твердое в смысле М. Борна тело является неподвижным1. Такая система отсчета не покрывает всего пространства Минковского, однако покрывает две его симметричные подобласти, так называемые левый и правый риндлеровские секторы Ь иЛ, см. Рис. 1. При этом границы Н± этих секторов являются горизонтами событий для риндлеровских наблюдателей (то есть наблюдателей, неподвижных относительно риндлеров-ской системы отсчета). Поскольку риндлеровский наблюдатель, из-за наличия горизонтов, имеет доступ только к части той информации, которой обладают инерциальные наблюдатели, считают, что он должен видеть обычное вакуумное состояние в ПМ как смешанное состояние. Поэтому пытаются разделить поле

1При этом различные точки такого тела движутся равноускоренно, однако с различным собственным ускорением, относительно инерциальной системы от счета. вые степени свободы на "левые" (невидимые для риндлеровского наблюдателя в правом риндлеровском секторе Л) и "правые" (видимые этим наблюдателем), и усредняя состояние вакуума в ПМ по невидимым "левым" степеням свободы, приходят к упоминавшейся выше матрице плотности гиббсовского вида с эффективной температурой (2). Именно такой, квантовополевой, аспект задачи Унру обычно связывают (см., например, [6, 5, 30], [32]-[39]) с эффектом Хокинга для вечной черной дыры. Так, считается, что оба эффекта возникают из-за наличия горизонтов событий, и что шварцшильдовский наблюдатель в пространстве-времени Крускала может рассматриваться по аналогии с ринд-леровским наблюдателем в ПМ. Недавно были также предложены определенные доводы в пользу того, что испарение вечной шварцшильдовской черной дыры может рассматриваться как эффект Унру в объемлющем шестимерном ПМ, в которое изометрично вкладывается крускаловское многообразие [52, 53]. Заметим, однако, в этой связи, что существование горизонтов событий для равномерно ускоренного наблюдателя является следствием рассмотрения математической идеализации, вечного равноускоренного движения, и что для любого физического детектора горизонты событий отсутствуют.

Для реализации идеи квантовополевого доказательства существования эффекта Унру была предложена новая схема квантования свободного поля в ПМ [30], альтернативная к стандартной. В этой схеме имеются два сорта частиц, а именно г- частицы, локализованные вне Ь- сектора и I- частицы, локализованные вне Л- сектора. При этом г- частицы для риндлеровского наблюдателя неотличимы от фуллинговских частиц, возникающих при квантовании поля в И- секторе, рассматриваемом как самостоятельное (неполное) пространство-время [54]. Соответствующие моды являются "положительно- частотными" по отношению к параметру лоренцевых бустов в плоскости (£,2). Этот параметр во внутренности Я- сектора может рассматриваться как времениподобная переменная и называется риндлеровским временем. С помощью некоторых формальных преобразований Унру нашел "наполнение" обычного вакуума Минков-ского в терминах г- и I- частиц [30] и после усреднения по невидимым для риндлеровского наблюдателя степеням свободы, соответствующим I- частицам, получил "тепловую" матрицу плотности с эффективной температурой (2), см. также работы [5, 34, 39].

Такое рассуждение, однако, не является математически последовательным, поскольку предложенное Унру квантование оказалось унитарно неэквивалентным стандартному, связанному с вакуумом Минковского. Как следствие, выражение для "наполнения" вакуума Минковского т- и I- частицами не имеет прямого математического смысла, а выражение для "тепловой" матрицы плотности, возникающее при усреднении по степеням свободы I- частиц, фактически обращается в ноль. Эта трудность указывалась в литературе многими авторами (см., например, [35, 79, 39]). Поэтому для анализа данной проблемы были привлечены математически более строгие методы, основанные на алгебраическом подходе к квантовой теории поля [55]. В рамках этого подхода вместо состояний теплового равновесия (которые не существуют в задаче Унру) используются более общие состояния, удовлетворяющие условию Кубо- Мартина- Швингера (КМШ) [56, 57]. Переформулировка рассуждений Унру в рамках алгебраического подхода была представлена в работе [58]. Отметим, что специалисты по математической физике зачастую отождествляют [35, 59, 57] эффект Унру с так называемой теоремой Визоньяно- Вичмана [60, 61], которая эквивалентна утверждению, что состояние вакуума Минковского (трактуемого в алгебраическом смысле), будучи ограниченным на правый риндлеровский сектор Я ПМ, удовлетворяет условию КМШ по отношению к риндлеровскому времени и что соответствующий "температурный" параметр после пересчета к собственному времени риндлеровского наблюдателя совпадает с температурой (2).

В последнее время некоторые авторы высказывают определенные сомнения в корректности квантовополевого подхода к задаче Унру [47, 62, 63, 64]. При этом аргументы, сформулированные в работах [62, 63], сводятся к тому, что возможность разделения полевых степеней свободы на "левые" и "правые" подразумевает наложение на поле в ПМ некоторого дополнительного граничного условия, которое отсутствует в стандартной схеме квантования поля в ПМ. Однако эти аргументы не были детально развиты в указанных работах, и в частности, не была продемонстрирована их связь с алгебраическим подходом, всвязи с чем вопрос о корректности квантовополевого подхода к эффекту Унру оставался открытым.

Данная диссертация посвящена теоретическому исследованию некоторых физических эффектов, в которых определяющую роль играют нестационарные граничные условия, наложенные на квантованное поле.

Основной целью диссертации является изучение задач квантовой теории поля с существенно нестационарными граничными условиями и выявление физических эффектов, в которых нестационарность граничных условий играет определяющую роль.

В связи с указанной целью в диссертации решаются следующие задачи:

1) Излучение ускоренно движущегося в D = 1 + 1- мерном пространстве -времени зеркала в случае, когда зеркало ускоряется вечно и отсутствует out- область,

2) Установление точного вида граничных условий, которым удовлетворяет квантованное поле в пространстве Риндлера, и изучение следствий различия граничных условий в пространствах Минковского и Риндлера на возможность связи между стандартным квантованием свободного скалярного поля в пространстве Минковского и квантованием Фуллинга в пространстве Риндлера (задача Унру),

3) Изучение процесса возбуждения атома и рождения фотонов в нестационарной полости при монотонном изменении параметров полости.

Диссертация состоит из четырех глав. Первая глава диссертации посвящена излучению ускоренно движущегося зеркала, вторая и третья главы - рассмотрению роли граничных условий в задаче Унру, соответственно, в рамках стандартного квантовополевого и алгебраического подходов, и четвертая глава -изучению квантовоэлектродинамических процессов в нестационарной полости.

Первая глава диссертации посвящена рассмотрению нового подхода к проблеме излучения зеркала, движущегося в D = 1+1- мерном пространстве- времени, не требующего выключения ускорения зеркала при t —> +оо.

Предлагаемый в данной главе новый подход к теоретическому изучению квантовых процессов, происходящих при движении зеркала, не аппелирует к понятию частиц и не требует выключения ускорения зеркала в будущем. По этой причине он дает более корректную и физически строгую картину явлений, происходящих, например, при движении зеркала по "хокинговской" траектории (1). Для того, чтобы дать интерпретацию нестационарному состоянию поля, рассматриваются квантовые переходы нерелятивистского детектора ("атома"), взаимодействующего с полем Ф, удовлетворяющим граничному условию на зеркале. Благодаря тому, что детектор локализован и находится на значительном удалении от зеркала, он не взаимодействует с зеркалом непосредственно. Для того, чтобы приготовить начальное состояние детектора, а также "снять с него показания", то есть спроектировать состояние детектора на базис его собственных стационарных состояний, нужно при t —> ±оо изолировать его от действия нестационарного поля Ф, взаимодействующего с зеркалом, например, поместив в ящик с непроницаемыми стенками. Если эту операцию производить адиабатически, чтобы не "сбить показаний", то она эквивалентна "выключению" взаимодействия детектора с полем Ф в далеком прошлом и далеком будущем. При этом out - область возникает автоматически, поскольку величины, которые вычисляются, описывают состояние детектора, а последний при t —> +00 оказывается свободным. В тех задачах, в которых зеркало при t —> +00 движется равномерно, такой подход оказывается эквивалентным стандартным.

В §1.1 вводятся необходимые обозначения, дается описание структуры детектора, приводится точное выражение для полевых мод, совпадающих с положительно - частотными стоячими волнами при t —> —со и удовлетворяющих граничному условию на поверхности зеркала, и выводится выражение для амплитуды квантового перехода детектора. В §1.2 вычисляются вероятности процессов с возбуждением детектора, а в §1.3 - вероятностей процессов с релаксацией детектора. В §1.4 рассматривается возбуждение детектора при движении зеркала по полугиперболической мировой линии, то есть в случае, когда при t > 0 собственное ускорение зеркала остается постоянным. Обсуждение полученных результатов, их условий применимости и сравнение с результатами, полученными ранее в рамках других подходов к задаче, дается в §1.5.

Вторая глава диссертации посвящена критическому анализу квантовополе-вого обоснования эффекта Унру с упором на выявление следствий различия граничных условий, накладываемых на поле в пространствах Минковского и Риндлера.

Известно, что прежде чем выполнить любое измерение, требуется приготовить начальное состояние рассматриваемой квантовой системы, в данном случае состояние вакуума Минковского. Однако, следуя логике подхода Унру, риндлеровский наблюдатель может работать только в части ПМ, а именно во внутренности R- сектора. Будем называть внутренность R- или L- сектора, рассматриваемую как отдельное многообразие, риндлеровским пространством-временем (ПР). Это пространство-время отделено от остальной части ПМ горизонтами событий. Как следствие, в любой корректной схеме квантования в ПР квантованное поле должно удовлетворять граничному условию в угловой точке ha ПР. Фактически, это условие является обычным требованием обращения поля в нуль на пространственной бесконечности.

Оказывается, что благодаря наличию такого дополнительного граничного условия, квантование Унру в действительности можно последовательно провести не во всем ПМ, а только в так называемом двойном риндлеровском клине, состоящим из непересекающихся открытых секторов R и L, разделенных причинно, а также своего рода "топологическим препятствием". Роль топологического препятствия играет граничное условие, необходимое для возможности рассмотрения фуллинговских частиц и отсутствующее в пространстве-времени Минковского. Из этого вытекает, что риндлеровский наблюдатель не имеет ничего общего с полем в ПМ, и что вакуум Минковского невозможно приготовить какими - либо манипуляциями в двойном ПР. Действительно, так как левое и правое ПР разделены, и поля в них не взаимодействуют друг с другом, векторы состояния поля в двойном риндлеровском клине могут представляться только тензорными произведениями векторов состояния, описывающих поля в левом и правом ПР, а состояния, содержащие корреляции между г и I частицами, являются физически нереализуемыми в квантовой теории поля в двойном риндлеровском клине. Поскольку состояние вакуума Минковского формально представлено в конструкции Унру [30] как "суперпозиция" состояний с одинаковым числом г - и /- частиц, это состояние не может быть приготовлено ринд-леровским наблюдателем, а значит, не имеет смысла обсуждать его "тепловые свойства" по отношению к такому наблюдателю.

В §2.1 кратко рассматриваются граничные условия на пространственной бесконечности для тривиального случая свободного массивного скалярного поля, проквантованного в базисе плоских волн в ПМ. В этом параграфе, во - первых, формулируются точное определение и смысл граничного условия на квантованное поле (как обращение слабого предела полевого оператора на бесконечности в ноль), и, во - вторых, показывается, что существование граничных условий на бесконечности связано с физическим свойством конечности средней энергии поля в физически реализуемых квантовых состояниях. Кроме того, демонстрируется связь между наличием граничных условий в ПМ и обращением в ноль двухточечных функций Вайтмана при бесконечном пространственноподобном разделении аргументов. В §2.2, после рассмотрения квантования Фуллинга с целью введения необходимых обозначений, рассматриваются граничные условия для квантованного поля в ПР. Показывается, что граничные условия в данном случае должны выполняться не только на пространственной бесконечности риндлеровского сектора, но также и в его угловой точке, также играющей роль пространственной бесконечности по отношению к риндлеровскому наблюдателю, что является следствием неполноты ПР и наличия для риндлеровского наблюдателя горизонтов событий. Основное отличие данного случая от случая квантования в ПМ сводится к тому, что теперь граничное условие оказывается формально непосредственно не связанным с конечностью (риндлеровской) энергии из- за отсутствия массовой щели у фуллинговских частиц. Тем не менее, оказывается, что те состояния поля, которые не удовлетворяют граничным условиям и в то же время отвечают конечной средней энергии, являются, во-первых, своего рода математической экзотикой, и, во- вторых, при их учете нельзя ввести понятие тепловой бани фуллинговских частиц. В §2.3 снова рассматривается квантование в пространстве Минковского, однако теперь в базисе бустовых мод, являющихся собственными функциями оператора лоренцевского поворота в плоскости Рассматриваются различные свойства и аналитические представления бустовых мод и показывается, что квантование на бустовых модах является унитарно- эквивалентным квантованию на плоских волнах и, более того, является лишь переходом к другому представлению в одночастич-ном пространстве состояний (то есть производится в том же фоковском пространстве, что и квантование на плоских волнах). В §2.4 рассматриваются моды Унру, конструкция Унру и эффект Унру. Показывается, что конструкция Унру не является корректным квантованием в пространстве Минковского. В частности, моды Унру не являются положительно - частотными в секторах будущего и прошлого и не образуют полной системы мод в пространстве Минковского, что тесно связано с выбрасыванием при построении набора мод Унру нулевой моды, локализованной в общем угле риндлеровских пространств Ли Ь, которая присутствует в стандартной схеме квантования поля в ПМ и отсутствует в фул-линговской схеме квантования в ПР. Отсюда вытекает, что квантование Унру не может быть проведено в пространстве Минковского, а значит, вычисление среднего числа фуллинговских частиц в состоянии вакуума Минковского является формальной процедурой, не имеющей физического смысла. Все это означает, что квантополевое обоснование эффекта Унру не является корректным и что в этом смысле эффект Унру не существует. В Приложении А приведен подробный вывод используемого в тексте выражения для бустового оператора уничтожения через значения полевого оператора на поверхности Коши. С помощью этой формулы в п.2.4.2 выводится связь между операторами уничтожения Унру и Фуллинга. В Приложении Б обсуждается аналогия между конструкцией Унру и понятием сжатых состояний двумерного гармонического осциллятора. Эта аналогия демонстрирует, что бозевский множитель не обязательно во всех случаях должен интерпретироваться как тепловое распределение.

Третья глава диссертации посвящена анализу применения алгебраического подхода к обоснованию эффекта Унру.

Поскольку трудности с применением конструкции Унру к обоснованию существования эффекта Унру имеют физическую природу, они, конечно, возникают и при попытке интерпретации результатов алгебраического подхода к данной задаче. В работе [58] было изучено двойное КМШ состояние, описывающее сжатое состояние г- и I- частиц Унру, либо состояние тепловой бани "правых" частиц Унру. При этом оказалось, что такое алгебраическое состояние можно математически корректно определить только для таких наблюдаемых, которые обращаются в нуль в некоторой окрестности общего края правого и левого ПР. Это обстоятельство, являющееся проявлением упомянутого выше граничного условия в схеме квантования Фуллинга, приводит к потере всякой связи между риндлеровским наблюдателем и ПМ.

В §3.1 дается доказательство унитарной неэквивалентности квантования Унру и квантования в ПМ на бустовых модах. Отметим, что сам по себе этот факт не является новым, и упоминался многими авторами [35, 39, 54]. В §3.2 на примере простейшей одномодовой модели разъясняется основное для алгебраического подхода к задаче Унру понятие КМШ состояния. По мнению автора, этот параграф может представлять определенный методический интерес для интересующихся алгебраическим подходом к квантовой статистической механике. Наконец, в §3.3 путем обобщения одномодовой модели получено явное выражение для среднего значения вейлевской образующей алгебры наблюдаемых для квантовой теории в двойном риндлеровском клине в двойном КМШ- состоянии с обратной температурой /3 по отношению к риндлеровскому времени и показано, что двойное КМШ состояние на этой алгебре при ¡3 — 2п (где Ь, — с — 1) совпадает с сужением алгебраического состояния вакуума Минковского на так называемую алгебру двойного клина [58], являющуюся максимальной алгеброй, на которой можно определить упомянутое КМШ- состояние. Показывается также, что этот результат (фактически, эквивалентный теореме Бизоньяно- Вич-мана, [60, 61]) является аналогом граничного условия на поле, возникающего в каноническом (квантовополевом) подходе к задаче Унру.

Четвертая глава диссертации посвящена рассмотрению процессов возбуждения атома и рождения фотонов в нестационарной полости.

Точнее, рассматривается поведение простой квантовой системы, такой как атом, ион или молекула, в первоначально пустой нестационарной полости при произвольном (не обязательно адиабатическом) изменении параметров полости. Под нестационарной полостью понимается полость, размеры и (или) форма которой меняются со временем, либо полость, заполненная средой с переменной диэлектрической проницаемостью. Изменение параметров полости может индуцироваться, например, действием сильного быстропеременного внешнего поля.

Атом (будем для краткости использовать этот термин для обозначения любой из вышеупомянутых систем) может удерживаться внутри полости внешними полями, или проходить через полость в холодном разреженном пучке. Присутствие атома в нестационарной полости приводит к двум физическим эффектам. Во- первых, ясно, что атом может возбуждаться благодаря взаимодействию с полем в полости, например, при поглощении фотонов, созданных в результате нестационарного эффекта Казимира. Во- вторых, квантовое состояние электромагнитного поля, благодаря присутствию атома, изменяется по сравнению со случаем пустой полости. Основные качественные особенности процесса возбуждения атома можно проследить на простой модели двухуровневого атома, взаимодействующего с одной нестационарной модой квантованного электромагнитного поля. Для случая малого периодического изменения параметров полости и в резонансном приближении эта модель была ранее изучена в работе [25].

Оказывается, что существуют три физически различных механизма возбуждения атома и рождения фотонов в первоначально пустой нестационарной полости. Вообще говоря, все они вносят вклад в амплитуду процесса существенно неаддитивным образом (если не считать адиабатический случай, когда все обсуждаемые эффекты экспоненциально малы). Первый механизм - это двухступенчатый процесс, состоящий из первоначального рождения реальных фотонов в полости благодаря нестационарному эффекту Казимира, и последующему поглощению некоторых из них атомом. Этот механизм рассматривается в §4.1 в рамках приближения мгновенного изменения параметров полости (то есть при условии, что время переходного процесса, в течении которого полость является нестационарной, г, меньше чем все остальные параметры задачи с размерностью времени). В этом случае данный механизм возбуждения атома оказывается доминирующим. На первый взгляд он может показаться тривиальным с физической точки зрения, поскольку атом здесь играет, в некотором смысле, тривиальную роль детектора нестационарного эффекта Казимира. Тем не менее, он может иметь интересные применения, поскольку конечное квантовое состояние системы, состоящей из атома и рожденных фотонов, является так называемым "запутанным" состоянием [65], то есть состоянием, содержащим корреляции типа ЭПР. Для двухуровневого атома оно имеет вид где состояния ¡четное .), |нечетное .) являются нормированными состояниями электромагнитного поля с неопределенным числом фотонов, которые яв

3) ляются собственными состояниями оператора (—1)^ и N - оператор полного числа фотонов в полости. Состояния такого вида предполагается использовать для физической реализации квантовых вычислений в квантовом компьютере [65]. С помощью атома в нестационарной полости можно создавать "запутанные" состояния, произвольно близкие к белловскому состоянию (¡С^ = 1/\/2), если полость имеет высокую добротность и в своей конечной конфигурации оказывается подстроенной в резонанс к частоте атомного перехода.

В §4.2 рассматривается второй механизм возбуждения атома, который возникает, если время переходного процесса т > Ь/Е0, где Е0 - частота атомного перехода. В этом случае атом может возбуждаться не только при поглощении реальных казимировских фотонов, но также и благодаря взаимодействию с нестационарным квантованным полем, возникающим при переходном процессе (иными словами, благодаря взаимодействию с виртуальными фотонами2). В §4.2 показывается, что квантовые флуктуации поля в течении переходного процесса могут быть настолько велики, что при известных условиях они могут возбуждать атом более эффективно, чем резонансное поглощение казимировских фотонов. При этих условиях атом также сильно влияет на процесс формирования конечного состояния электромагнитного поля в полости и по существу модифицирует статистику рождающихся фотонов, в том числе их среднее число.

В §4.3 рассматривается третий, и наверное, физически наиболее интересный механизм возбуждения атома, а именно "встряхивание" атома благодаря параметрической неадиабатической модуляции лэмбовского сдвига его основного состояния. Этот механизм возбуждения атома и рождения фотонов является совершенно новым и не имеет ничего общего с нестационарным эффектом Казимира. Данный механизм может рассматриваться как новый канал рождения фотонов в нестационарной полости. По аналогии с устоявшейся в литературе терминологией: эффект Казимира (стационарная полость) ь-> динамический эффект Казимира (рождение фотонов в нестационарной полости), будем называть этот последний механизм возбуждения атома и рождения фотонов динамическим эффектом Лэмба.

В §4.4 рассматривается обобщение на случай многоуровневого атома в полости. Показывается, что в этом случае не возникает никаких новых механиз

2Напомним, что, поскольку в течении переходного процесса оператор числа фотонов N не коммутирует с оператором мгновенной скорости рождения фотонов IV, понятие реальных фотонов не имеет физического смысла до тех пор, пока полость не становится стационарной. мов возбуждения атома, помимо обсуждающихся в §4.1-§4.3, однако благодаря многофотонным процессам появляются новые каналы возбуждения атома, и в частности, возбуждение атома без рождения фотонов в полости.

В приложение В включены иллюстрации.

На защиту автором выносятся следующие положения:

1) Новый подход к проблеме излучения ускоренно движущегося зеркала, основанный на анализе поведения взаимодействующей с ним простой квантовой системы и не требующий предположения о "выключении" ускорения зеркала в out- области.

2) Точная формулировка граничных условий, которым удовлетворяет поле при фуллинговском квантовании, их проявление в рамках алгебраического подхода, а также вывод о некорректности квантования Унру в пространстве Минковского.

3) Классификация механизмов возбуждения атома в нестационарной полости, обоснование возможности увеличения эффективности возбуждения атома и числа рождающихся фотонов в полости благодаря взаимодействию атома с нестационарными квантовыми флуктуациями электромагнитного поля в полости.

4) Предсказание нового механизма возбуждения атома и рождения фотонов в нестационарной полости (динамического эффекта Лэмба) за счет параметрического неадиабатического изменения лэмбовского сдвига его основного состояния.

Результаты, изложенные в диссертации, опубликованы в ведущих российских и международных изданиях [66]-[76], включая "Письма в ЖЭТФ", "Physics Letters А" и "Annalen der Physik (Leipzig)", докладывались на теоретических семинарах в МИФИ, ОИЯИ, ФИАН, University "la Sapienza" (Rome), а также на следующих, в том числе международных, конференциях:

• Научная Сессия МИФИ-99, Москва, Январь 18-22, 1999.

• Научная Сессия МИФИ-2000, Москва, Январь 17-21, 2000.

• Научная Сессия МИФИ-2001, Москва, Январь 22-26, 2001.

• 8th International Laser Physics Workshop Lphys'99, Budapest, 2-6 July, 1999.

• The Ninth Marcel Grossmann Meeting on recent developments in theoretical and experimental general relativity, gravitation and relativistic field theories (MG IX MM), Rome, University "la Sapienza", Italy, 2-8 July 2000.

В главах 1-3 рассматривается случай 1 + 1- мерного пространства - времени. Расчеты, выполненные в главе 1, можно выполнить аналитически только в случае безмассового поля в 1 + 1- мерном пространстве- времени, поскольку только в этом случае, благодаря возможности выпрямления мировой линии зеркала с помощью конформного преобразования, можно в явном виде получить точные полевые моды, удовлетворяющие граничным условиям на движущемся зеркале [16]. В главах 2-3 такое ограничение не является существенным и переносится на реалистический четырехмерный случай путем введения поперечного к направлению ускорения импульса q, эффективного переопределения массового параметра поля m у/т2 + q2 и добавления, где это необходимо, дополнительного интегрирования по q или модификации элемента площади на поверхности Коши (см., например, [5] для 1 + 3- мерного случая и [38] для общего случая пространства- времени 1 + п измерений). Наконец, все основные выводы главы 4 справедливы в реалистическом четырехмерном случае. Всюду ниже, если не оговорено противное, используются естественные единицы h — с = к в = 1.

Заключение

В диссертации получены следующие основные результаты:

• Предложен новый подход к изучению квантового эффекта излучения зеркала, движущегося ускоренно в одномерном пространстве, не требующий "выключения" ускорения зеркала. В рамках предложенного подхода в качестве спектральных характеристик излучения используются вероятности переходов нерелятивистской составной системы (детектора), взаимодействующей с рассматриваемым нестационарным квантованным полем. Показано, что в случае, когда зеркало удаляется от инерциального детектора со скоростью, асимптотически экспоненциально приближающейся к скорости света, рассматриваемый подход приводит к тем же результатам, что и подход, основанный на "выключении" ускорения зеркала и последующем подсчете числа родившихся квантов. Показано, однако, что предложенный подход имеет условия применимости принципиального характера, которые в рассмотренном случае накладывают ограничения на конструкцию детектора, необходимые для его "теплового" отклика.

• Рассмотрена задача Унру, то есть задача о связи квантований скалярного поля в пространстве Минковского и пространстве Риндлера, играющая основную роль в традиционном обосновании эффекта Унру. Показано, что непротиворечивая квантовая теория поля в пространстве Риндлера существует лишь при выполнении граничного условия в его угловой точке, и, как следствие, квантование Унру в пространстве Минковского не является физически допустимым. Отсюда вытекает, что из общих принципов квантовой теории поля не следует вывод о существовании эффекта Унру.

• Та же задача рассмотрела в рамках алгебраического подхода к квантовой теории поля. Показано, что КМШ-состояние на алгебре наблюдаемых, ассоциированной с фуллинговской схемой квантования в двойном пространстве Риндлера, определено на собственной подалгебре алгебры наблюдаемых скалярного поля в пространстве Минковского, и не может быть продолжено на полную алгебру наблюдаемых. Этот результат означает, что при использовании алгебраического подхода для построения состояния тепловой бани фуллинговских частиц также возникает аналог граничного условия, который препятствует возможности установления связи между стандартной и фуллинговской схемами квантования.

• Рассмотрен процесс возбуждения атома, взаимодействующего с модой квантованного поля в нестационарной полости. Показано, что в результате взаимодействия с нестационарным полем атом может возбуждаться. Выделено три механизма такого возбуждения - поглощение атомом квантов, рожденных в полости благодаря нестационарному эффекту Казимира, поглощение "вируальных" казимировских фотонов, и новый механизм, названный нестационарным (или динамическим) эффектом Лэмба, и заключающийся в возбуждении атома и рождении фотонов благодаря параметрической неадиабатической модуляции лэмбовского сдвига. В рамках од-номодовой модели изучены особенности каждого механизма. В частности, показано, что присутствие атома может в некоторых случаях приводить к увеличению производства фотонов в нестационарной полости.

Результаты, полученные в диссертации, проясняют ряд вопросов, касающихся эффектов, возникающих при наложении на квантованное поле граничных условий, и могут быть использованы для дальнейших теоретических исследований по квантовой теории поля.

В заключение мне приятно выразить свою искреннюю благодарность моему научному руководителю, Наложному Николаю Борисовичу, а также В.Д. Муру, Б.М. Карнакову, Ю.Е. Лозовику и В.А. Белинскому за плодотворное сотрудничество, постоянный интерес и поддержку в работе.

1.С. Шварц, Квантовая теория поля и топология, М.: Наука, 1989.

2. М.И. Монастырский, Торология калибровочных полей и конденсированных сред, М.: ПАИМС, 1995.

3. S.V. Ketov, Solitons, Monopoles, and Duality: from Sine-Gordon to SeibergWitten, hep-th/9611209.

4. B.M. Мостепаненко, H.H. Трунов, Эффект Казимира и его приложения, УФН, 1988, т.156, с. 385-426.

5. А.А. Гриб, С.Г. Мамаев, В.М. Мостепаненко, Квантовые эффекты в сильных полях, М.: Энергоатомиздат, 1988.

6. Н. Биррел, П. Дэвис, Квантованные поля в искривленном пространстве-времени, М.: Мир, 1984.7) L.Allen and J.H.Eberly, Optical Resonance and Two level Atoms, Wiley, New1. York, 1975.

7. N.B. Narozhny, J.J. Sanchez-Mondragon, and J.H. Eberly, Coherence Versus Incoherence: Collapse and Revival in a Simple Quantum Model, Phys. Rev. A, 1981, vol. 23, pp. 236-247.

8. C.P. Кельнер, A.M. Федотов, Диффракционные поправки к тормозному излучению мюонов, Ядерная Физика, 1999, т.62, с. 307-315.

9. С.Р. Кельнер, A.M. Федотов, Изменение зарядового соотношения при прохождении мюонов через* вещество, Известия РАН, серия физическая, 1999, т.63, с. 574-576.

10. А.А. Белов, Ю.Е. Лозовик, B.JI. Покровский, Лэмбовский сдвиг ридбергов-ских атомов в резонаторе, ЖЭТФ, 1989, т.96, с. 552-560.

11. I.-T. Cheon, Possible new frequency shifts for the 2Sx/2 —» 2Pyj2 transition in a hydrogen atom within a specific boundary, Phys. Rev. A, 1988, vol.37, pp. 2785-2796.

12. D.J. Heinzen and M.S. Feld, Vacuum Radiative Level Shift and Spontaneous Emission Linewidth of an Atom in an Optical Resonator, Phys. Rev. Lett., 1987, vol. 59, pp. 2623-2631.

13. G.T. Moore, Quantum Theory of the Electromagnetic Field in a Variable Length One Dimensial Cavity, Journ. Math. Phys., 1970, vol.11, pp. 26792691.

14. B.S. DeWitt, Quantum Field Theory in Curved Spacetime, Phys. Rep., 1975, vol. 19, pp. 295-357.

15. S.A. Fulling and P.C.W. Davies, Radiation from moving mirror in two dimensional space time: conformal anomaly, Proc. R. Soc. Lond. A, 1976, vol. 348, pp. 393-414.

16. V.V. Dodonov, A.B. Klimov, Generation and Detection of Photons in a Cavity with a Resonantly Oscillating boundary, Phys. Rev. A, 1996, vol. 53, pp. 2664-2681.

17. Л.Д. Ландау, E.M. Лифшиц, Теория Поля, M.: Наука, 1988.

18. D.F. Mundarain and РА.М. Neto, Quantum Radiation in a plane cavity with moving mirrors, Phys. Rev. A, 1998, vol. 57, pp. 1379-1390.

19. H.C. Rosu, On the Estimations to Measure Hawking Effect and Unruh Effect in the Laboratory, Int.J.Mod.Phys. D, 1994, vol. 3, pp. 545-548.

20. E. Yablonovitch, Accelerated Reference Frame for Electromagnetic Waves in a Rapidly Growing Plasma: Unruh- Davies- Fulling- DeWitt Radiation and the Nonadiabatic Casimir Effect, Phys. Rev. Lett., 1989, vol. 62, pp. 1742-1745.

21. Yu.E. Lozovik, V.G. Tsvetus, E.A. Vinogradov, Parametric Excitation of Vacuum by use of Femtosecund Laser Pulses, Phys. Scripta, 1995, vol. 52, pp. 181-190.

22. C.K. Law, Effective Hamiltonian for the Radiation in a Cavity with a Moving Mirror and a Time Varying Dielectric Medium, Phys. Rev. A, 1994, vol. 49, pp. 433-437.

23. V.V. Dodonov, A.B. Klimov, and V.l. Man'ko, Generation of squeezed states in a resonator with moving wall, Phys.Lett. A, 1990, vol. 149, pp. 225-230.

24. V.V. Dodonov, Photon Creation and Excitation of a Detector in a Cavity with a Resonantly Vibrating Wall, Phys. Lett. A, 1995, vol. 207, pp. 126-131.

25. S.W. Hawking, Particle creation by black holes, Commun. Math. Phys., 1975, vol. 43, pp. 199-220.

26. А.Д. Долгов, Я.Б. Зельдович, M.B. Сажин, Космология ранней вселенной, М.: МГУ, 1988.

27. K.M. Parikh, F. Wilczek, Hawking Radiation as Tunneling, Phys. Rev. Lett., 2000, vol. 85, pp. 5042-5045.

28. P.C.W. Davies and S.A. Fulling, Radiation from moving mirrors and from black holes, Proc. R. Soc. Lond. A, 1977, vol.356, pp. 237-257.

29. W.G. Unruh., Notes on black hole evaporation, Phys. Rev. D, 1976, vol. 14, pp. 870-892.

30. P.C.W. Davies, Scalar Particle Production in Schwarzschild and Rindler Metrics, Journ. Phys". A, 1975, vol.8, pp. 609-616.

31. W. Israel, Thermo Field Dynamics of Black Holes, Phys. Lett. A, 1976, vol. 57, pp. 107-110.

32. J.S. Dowker, Quantum Field Theory on a Cone, Journ. Phys. A, 1977, vol. 10, pp. 115-124.

33. D.W. Sciama, P. Candelas and D. Deutsch, Quantum Field Theory, Horizonts and Thermodynamics, Advances in Physics, 1981, vol. 30, pp. 327-366.

34. G.L. Sewell, Quantum fields on manifolds: PCT and gravitationally induced thermal states, Ann. Phys., 1982, vol. 141, pp. 201-224.

35. W.Greiner, B. Müller and Л. Rafelski, Quantum Electrodynamics of Strong Fields, Springer- Verlag, New York, 1985.

36. Я.Б. Зельдович, JI.В. Рожанский, A.A. Старобинский, Излучение ускоренного электрона, Письма.в ЖЭТФ, 1986, т. 43, с. 407-409.

37. Sh. Takagi, Vacuum noise and stress induced by uniform motion, Progress of Theor. Phys., Supplement, vol. 88, 1986.

38. R.M.Wald, Quantum Field Theory in Curved Space- Time and Black Hole Thermodynamics, Chicago Univ. Press, Chicago, 1994.

39. F.A. Berezin, The Method of Second Quantization, New York, Academic Press, 1966.

40. А.И. Никишов, В.И. Ритус, Излучение скалярных квантов ускоренным зеркалом в 1+1- пространстве и его связь с излучением электрического заряда в классической электродинамике, ЖЭТФ, 1995, т.108, с. 1121-1140.

41. R. Peierls, Surprises in Theoretical Physics, Princeton University Press, Princeton, 1979.

42. B.JI. Гинзбург, Теоретическая физика и астрофизика, М.:Наука, 1981.

43. В, Reznik, First Order Corrections to the Unruh Effect, preprint hep-th/9511033, 1995.

44. J.G. Demers, Fluctuations of the Unruh Temperature, preprint hep-th/9408016, 1994'.

45. L. Sriramkumar, T. Padmanabhan, Finite -time response of inertial and uniformly accelerated Unruh DeWitt detectors, 1996, Class. Quantum Grav., vol. 13, pp. 2061 - 2079.

46. А.И. Никишов, В.И. Ритус, Процессы, вызванные заряженной частицей в электрическом поле и концепция тепловой бани Унру, ЖЭТФ, 1988, т. 94, с. 31-47.

47. CI. Gabriel, Ph. Spindel, S. Massar and R. Parentani, Interacting Charged Particles in an Electric Field and the Unruh Effect, Phys. Rev. D, 1998, vol. 57, pp. 6496-6510.

48. В.Д. Мур, Б.М. Карнаков, B.C. Попов, Релятивистская версия метода мнимого времени, ЖЭТФ, 1988, т.114, с.798-810.

49. K.-P.Marzlin and J. Audretsch, States insensitive to the Unruh effect in multilevel detectors, Phys. Rev. D, 1988, vol. 57, pp. 1045-1051.

50. W. Rindler, Kruscal Space and the Unifomly Acclerated Frame, Amer. Journ. Phys., 1966, vol. 34, pp. 1174-1178.

51. M. Beciu and H. Culetu, Accelerated Detectors in the Embedding Space of Schwartzschild Black Hole, 1998, preprint 7525|NCBL19|3|98.

52. S. Deser and O. Levin, Mapping Hawking into Unruh thermal properties, Phys. Rev. D, 1999, vol. 59, 064004.

53. S.A. Fulling, Nommiqueness of Canonical Field Quantization in Riamannian Space Time, Phys. Rev. D, 1973, vol. 7, pp. 2850-2862.

54. Ж. Эмх, Алгебраические методы в статистической механике и квантовой теории поля, М.: Мир, 1976.

55. R. Haag, N.M. Hugenholtz and М. Winnink, On the equilibrium states in quantum statistical mechanics, Commun. Math. Phys., 1967, vol. 5, pp. 215-236.

56. R. Haag, Local Quantum Physics, Springer Verlag, New York, 1992.

57. B.S. Kay, The double wedge algebra for quantum scalar fields on Schwarzschild and Minkowski spacetimes, Com. Math. Phys., 1985, vol. 100, pp. 57-81.

58. S.A. Fulling and S.N.M. Ruijsenaars, Temperature, periodicity and horizons, Phys. Rep., 1987, vol. 152, pp. 137-176.

59. J.J.Bisognano and E.H.Wichmann, On the Duality Condition for a Hermitian Scalar Field, J. Math. Phys., 1975, vol. 16, pp. 985-1007.

60. J.J.Bisognano and E.H.Wichmann, On the Duality Condition for Quantum Fields, J. Math. Phys., 1976, vol. 17, pp. 303-321.

61. П.К. Силаев, O.A. Хрусталев, Связь полей, квантованных в пересекающихся областях, и эффект Унру, ТМФ, 1992, т. 91, с. 217-232.

62. В.А. Белинский, Б.М. Карнаков, В.Д. Мур, Н.Б. Нарожный, Существует ли эффект Унру?, ЖЭТФ, 1997, т. 65, с. 861-866; 1998, т. 67, с. 87-88.

63. Н. Nikolic, Can the Unruh- DeWitt detector extract energy from the vacuum?, hep-th/0005240, 25 May 2000.

64. A. Steane, Quantum computing, quant-ph/9708022v2, 24 Sep. 1997.

65. Н.Б. Нарожный, A.M. Федотов, Излучение зеркала, движущегося по хо-кинговской траектории, сборник научных трудов "Научная Сессия МИФИ-2001", 2001, т.5, с. 134-135.

66. A.M. Федотов, Задача Унру и Алгебраический Подход, сборник научных трудов "Научная Сессия МИФИ-99", 1999, т.1, с. 202-203.

67. A.M. Fedotov, V.D. Миг, N.B. Narozhny, V.A. Belinskii and B.M. Karnakov, Quantum Field Aspect of the Unruh Problem, Phys. Lett. A, 1999, т. 254, с. 126-132.

68. N. Narozhny, A. Fedotov, B. Karnakov, V. Mur, and V. Belinskii, Quantum Fields in Accelerated Frames, Ann. Phys. (Leipzig), 2000, т. 9, с. 199-206.

69. N.B. Narozhny, A.M. Fedotov, B.M. Karnakov, V.D. Mur, and V.A. Belinskii, Boundary conditions for a quantum scalar field in Rindler space and the Unruh effect, M.: Preprint / MSEPI, 003-2000, 1-56, 2000.

70. Ю.Е. Лозовик, Н.Б. Нарожный, A.M. Федотов, Возбуждение атома в нестационарной полости, Письма в ЖЭТФ, 2000, т.72, с. 344-349.

71. A.M. Fedotov, N.B. Narozhny, Yu.E. Lozovik, "Shaking" of an Atom in a Non Stationary Cavity, Phys. Lett. A, 2000, vol. 274, pp. 213-222.

72. N.B. Narozhny, A.M. Fedotov, Yu.E. Lozovik, Dynamical Lamb Effect versus Dynamical Casimir Effect, 2001, Phys. Rev. A (submitted).

73. Ю.Е. Лозовик, Н.Б. Нарожный, A.M. Федотов, Динамический эффект Лэм-ба, сборник научных трудов "Научная Сессия МИФИ-2001", 2001, т.5, с. 132-133.

74. W.G. Unruh, Experimental black hole evaporation? Phys. Rev. Lett., 1981, vol.46, pp.1351-1360.

75. Л.В. Келдыш, Диаграммная техника для неравновесных процессов, ЖЭТФ, 1964, т.47, с. 1515-1549.

76. R. Wald and В. Kay, Theorems on the uniqueness and thermal properties of stationary, nonsingular, quasifree states on spacetimes with a bifurcate Killing horizon, Phys. Rep., 1991, vol. 207, pp. 51-136.

77. A.S. Wightman, Introduction to Some Aspects of Relativistic Dynamics of Quantized Fields, Princeton Press, Princeton, 1964.

78. J.R. Jost, The General Theory of Quantized Fields, Providence, RI: Am. Math. Soc., 1965.

79. M. Рид, Б. Саймон, Методы современной математической физики, т.2, М.: Мир, 1978.

80. Р. Рихтмайер, Принципы современной математической физики, М.: Мир, 1982.

81. Г. Бейтман, А. Эрдейи, Высшие трансцендентные функции, т.2, М.: Наука, 1974.

82. С. Швебер, Введение в релятивистскую квантовую теорию поля, М.: Ин. Лит., 1963.

83. К. Ициксон, Ж.-Б. Зюбер, Квантовая теория поля, М.: Мир, 1984.

84. Г. Бейтман, А. Эрдейи, Высшие трансцендентные функции, т.1, М.: Наука, 1973.

85. Э.Т. Уитекер, Дж.Н. Ватсон, Курс современного анализа, ч.1, М.: ФМЛ, 1963.

86. U.Gerlach, Minkowski Bessel modes, Phys. Rev. D, 1988, vol. 38, pp. 514521; Dynamics and symmetries of a field partitioned by an accelerated frame, Phys. Rev. D, 1988, vol.~38, pp. 522-527.

87. D.G. Boulware, Quantum Fields in Schwartzschild and Rindler Spaces, Phys. Rev. D, 1975, vol. 11, pp. 1404-1423.

88. H. Reeh, S. Schlieder, Bemerkungen zur Unitaraquivalenz von Lorentzinvari-anten Feldern, Nuovo Cimento, 1961, vol. 22, pp. 1051-1055.

89. P. Стритер, A.C. Вайтман, PCT, спин и статистика и всё такое, М.: Мир, 1966.

90. М.Я. Виленкин, Специальные функции и теория представлений групп, М.: Наука, 1965.

91. И.М. Гельфанд, Г.Е. Шилов, Обобщенные функции и действия над ними, М.: Физматгиз, 1959.

92. Д.В. Львов, А.Л. Шелепин, Л.А. Шелепин, Расчетный аппарат группы движений псевдоевклидовой плоскости, Ядерная Физика, 1994, т. 57, с. 11471152.

93. S.M. Christensen 'and M.J. Duff, Flat Space as a Gravitational Instanton, Nucl. Phys. B, 1978, vol. 146, pp. 11-19.

94. W.Troost and H. Van Dam, Thermal Propogators and Accelerated Frames of Reference, Nucl. Phys. B, 1979, vol. 152, pp. 442-460; Thermal effects for an accelerated observer, Phys. Lett. B, 1977, vol. 71, pp. 149-152.

95. W.G. Unruh and R.M. Wald, What happens when an accelerating observer detects a Rindler particle, Phys. Rev. D, 1984, vol. 29, pp. 1047-1056.

96. T.D. Lee, Are Black Holes Black Bodies?, Nucl. Phys. B, 1986, vol. 264, pp. 437-486.

97. S.M. Barett and P.L. Knight, Comment on "Obtainment of thermal noise from a pure vacuum state", Phys. Rev. A, 1988, vol. 38, pp. 1657-1658.

98. J. Opt. Soc. Am. B, 1987, 4 No.10 (специальный выпуск).

99. D.N. Klyshko, Accelerated detectors: two-photon correlation, squeezed states, and communication by means of virtual fields, Phys. Lett. A, 1991, vol. 154, pp. 433-440.

100. P. Candelas and D.J. Raine, Quantum Field Theory on Incomplete Manifolds, J. Math. Phys., 1976, vol. 17, pp. 2101-2112.

101. R.J. Kubo, Stastical Mechanical Theory of Irreversible Processes I, J. Phys. Soc. Jap., 1957, vol. 12, pp. 570-586.

102. P. Martin and J. Schwinger, Theory of Many Particle Systems I, Phys. Rev., 1959, vol. 115, pp. 1342-1373.

103. H. Umezava, H. Matsumoto and M. Tachiki, Thermo Field Dynamics and Condensed States, North-Holland, New York, 1982.

104. E.T. Jaynes, Microwave Laboratory Report No.502, Standford University, 1958 (unpublished).

105. E.T. Jaynes and F.W. Cummings, Comparison of Quantum and Semiclassical Radiation Theories with Application to the Beam Maser, Proc. IEEE, 1963, vol. 51, pp. 89-109.

106. F.W. Cummings, Stimulated Emission of Radiation in a Single Mode, Phys. Rev., 1965, vol. 140, pp. 1051-1056.

107. J.R. Ackerholt, К. Rzazewski, Heisenberg Picture Operator Approach in Perturbation Theory, Phys. Rev. A, 1975, vol. 12, pp. 2549-2567.

108. Л.Д. Ландау, E.M. Лифшиц, Квантовая механика, M.: Наука, 1989.