Исследование особенностей спектра и электронного транспорта в апериодических цепочках квантовых точек тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

На правах рукописи

005059683

Коротаев Павел Юрьевич

Исследование особенностей спектра и электронного транспорта в апериодических цепочках квантовых

точек

Специальность: 01.04.07 - Физика конденсированного состояния

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 о МАЙ 2013

Москва - 2013

005059683

Работа выполнена на кафедре теоретической физики и квантовых технологий Федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования "Национальный исследовательский технологический

университет "МИСиС".

Научный руководитель: Научный консультант :

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

Защита состоится «_

д.ф.-м.н., профессор, Векилов Юрий Хоренович д.ф.-м.н., профессор, Капуткина Наталия Ефимовна (кафедра физической химии, НИТУ "МИСиС") д.ф.-м.н., главный научный сотрудник, Успенский Юрий Алексеевич (ФИАН им. П.Н. Лебедева) к.ф.-м.н., старший преподаватель, Бажанов Дмитрий Игоревич (физический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова)

Институт спектроскопии Российской академии наук, г. Троицк

и*Р*сХ_2013 г. в часов на заседании диссерта-

ционного совета Д 12.132.08 при Национальном исследовательском технологическом университете "МИСиС", расположенном по адресу: 119049, Москва, Ленинский проспект, д.4

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Национального исследовательского технологического университета "МИСиС".

Автореферат разослан * ^^ ■» сиущлл 2013 г. Учёный секретарь

диссертационного совета, д.ф.-м.н., профессор

СлХа^^

Мухин С.И.

Общая характеристика работы

Актуальность работы.

В настоящей диссертационной работе изучаются системы одномерных апериодических последовательностей квантовых точек. Параметры таких систем изменяются вдоль них по определённому закону, не периодически, но и не произвольно. И апериодические системы и квантовые точки сами по себе являются отдельными объектами исследований. Интерес к апериодическим системам возрос после открытия квазикристаллов [8]. Квазикристаллы обладают апериодическим дальним порядком, и вначале изучение апериодических систем рассматривалось как способ их описания. Поэтому были изучены атомные апериодические последовательности (например, [9-12]). В настоящее время апериодические структуры из полупроводниковых квантовых ям и металлических нанокластеров изучаются и применяются в оптике и электронике [13, 14]. Такие системы замечательны тем, что имеют нетривиальные спектральные свойства, в отличие от периодической системы, и в них существуют критические состояния, которые не являются ни протяжёнными, ни экспоненциально локализованными. Эти свойства используются, например, для организации оптических фильтров и волноводов. В настоящей работе объектами, которые располагаются в апериодическом порядке, являются квантовые точки.

Квантовые точки активно исследуются и применяются в лазерной технике, оптике, электронике [15-25]. Особенностью квантовых точек является то, что квантовая точка представляет собой искуственный атом с полностью дискретным спектром. Другой особенностью является сильная зависимость состояний носителя заряда в квантовой точке от размеров и формы структуры, и от внешних воздействий. Это позволяет создавать системы квантовых точек, свойствами которых можно управлять.

Цели диссертационной работы:

1. Исследование электронных энергетических спектров апериодических цепочек квантовых точек в приближении сильной связи в смешанной модели, то есть когда в апериодическом порядке изменяются и узельная энергия и интегра-

\

лы перекрытия между соседними узлами. Рассмотреть следующие системы: цепочка Тыо-Морзе, двупериодическая цепочка, цепочка Рудина-Шапиро.

2. Изучение степени локализации электронных состояний в апериодических цепочках квантовых точек в смешанной модели и влияния на неё параметров модели.

3. Изучение влияния магнитного поля на спектр апериодических цепочек квантовых точек в смешанной модели и на степень локализации электронных состояний.

Научная новизна.

В работе рассчитаны спектры и спектральные свойства (плотность состояний, степень локализации, проводимость) апериодических цепочек Тыо-Морзе, Рудина-Шапиро и двупериодической цепочки в приближении сильной связи в смешанной модели и показано, как эти свойства меняются при варьировании параметров модели: энергии электрона на узле, интегралов перекрытия, длины системы. До настоящего времени в основном рассматривались упрощённые узельная и смешанная модели апериодических последовательностей, в которых пренебрегается соответственно изменением интегралов перекрытия и узельной энергии.

Ранее проводился численный анализ проводимости цепочки квантовых точек Тью-Морзе, двупериодической цепочки и цепочки Рудина-Шапиро [26]. В теоретической работе [27] рассматривалась цепочка Фибоначчи квантовых точек и изучалась спектральная плотность состояний. При этом не проводился анализ в смешанной модели и не проводился учёт магнитного поля. В настоящей диссертационной работе исследовано влияние магнитного поля на спектр и степень локализации в апериодических цепочках квантовых точек Тью-Морзе, двупериодической и Рудина-Шапиро в смешанной модели с учётом влияния магнитного поля на крутизну удерживающего потенциала электрона в квантовой точке для жёстких и циклических граничных условий.

Практическая значимость.

В работе исследовано, как при изменении параметров системы (энергии электрона в квантовой точке и интегралов перекрытия) изменяется электронный спектр и

степень локализации электронов в апериодических цепочках квантовых точек. Показано, что данные параметры можно изменять при помощи внешнего магнитного поля, сохраняя геометрические параметры системы неизменными. Поэтому исследуемые в работе системы и полученные для них результаты могут быть применены для создания фильтров и волноводов с управляемыми свойствами.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

1. Исследованы численно в приближении сильной связи электронные спектры одномерных апериодических цепочек квантовых точек. Рассмотрены цепочки типа Тью-Морзе, Рудина-Шапиро и двупериодическая в смешанной модели, то есть с учетом изменения по апериодическому закону и узельной энергии и интегралов перекрытия. Показано, что спектр имеет структуру, содержащую множество щелей и подзон, и проанализировано, как изменение параметров модели (энергии электрона в квантовой точке и интеграла перекрытия между соседними точками) влияет на спектр. Показано, что при варьировании этих параметров возможно открытие щелей или перекрытие подзон.

2. Рассчитаны спектральные свойства одномерных апериодических цепочек квантовых точек в смешанной модели: степень локализации, плотность состояний, проводимость. Показано, что степень локализации, определяемая обратной степенью участия состояний на узлах, распределена неоднородно как по ширине полной зоны, так и по подзонам спектра. Проанализирована зависимость степени локализации в системе при изменении параметров системы (интегралов перекрытия и узельной энергии). Обнаружено, что при определённых параметрах возможно наступление резонанса в системе, который сопровождается уменьшением степени локализации состояний. Этому резонансу соответствуют такие изменения в спектре системы как перекрытие подзон.

3. Исследовано влияние магнитного поля на спектр одномерных апериодических цепочек квантовых точек в смешанной модели для циклических и жестких граничных условий. Учтено влияние магнитного поля на удерживающий потенциал для электрона в квантовой точке. Показано, как магнитное поле меняет

положение подзон и степень локализации электронных состояний.

4. В случае циклических граничных условий в магнитном поле изучены осцилляции электронной энергии и степени локализации в системе, как функции величины магнитного поля. Проанализирована зависимость периода и амплитуды этих осцилляций от параметров системы (расстояния между квантовыми точками, числа квантовых точек, энергии электрона в квантовой точке, интегралов перекрытия).

Апробация работы.

Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:

1. 14 Национальная конференция по росту кристаллов, Декабрь 2010, Москва.

2. 26th European Crystallographic Meeting, August 2010, Darmstadt, Germany

3. Rusnanoforum 2010, November 2010, Moscow.

4. International Conference on Quasicrystals, June 2011, Sapporo, Japan.

5. XXII Congress and General Assembly of the International Union of Crystallography, August 2011, Madrid, Spain.

6. ISMANAM 2012, June 2012, Moscow.

А также на научных семинарах кафедры теоретической физики и квантовых технологий МИСиС.

Публикации.

Материалы диссертационной работы работы опубликованы в 2 статьях в рецензируемых журналах [1, 2] и 5 тезисах докладов в сборниках трудов международных конференций [3-7].

Личный вклад автора.

Все представленные в диссертации результаты получены лично автором или в соавторстве с руководителем. Программное обеспечение для проведения расчётов разработано лично автором. Материалы публикаций и докладов подготовлены совместно с соавторами, причём вклад автора был определяющим.

Структура и объём диссертации.

Диссертация состоит из введения, 3 глав, выводов и библиографии. Общий объем

диссертации 110 страниц, включая 51 рисунок и 3 таблицы. Библиография включает 86 наименований на 10 страницах.

Содержание работы

Во Введении изложена актуальность диссертационной работы, приведён краткий обзор современной ситуации в исследовании рассматриваемых систем и аргументирована научная новизна работы, показана практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения.

Первая глава представляет собой литературный обзор и изложение методики расчётов. Приведено описание рассматриваемых апериодических последовательностей и используемой в работе модели системы квантовых точек. Изложены основные методы расчёта спектров и спектральных свойств, метода трансфер-матриц, метода точной диагонализации матрицы гамильтониана, метода анализа степени локализации, определяемой обратной степенью участия и способа оценки проводимости системы. Дан краткий обзор того, как в работе смоделирована квантовая точка. Рассмотрены методы учёта магнитного поля в рассматриваемых системах. Кратко описана ситуация с локализацией и делокализацией электронных состояний в одномерных неупорядоченных и апериодических системах, а так же изложена специфика электронных состояний в апериодических системах.

В работе рассматривалось три типа апериодических последовательностей: Тью-Морзе, Рудина-Шапиро и двупериодическая. Они являются последовательностями замещения с двухбуквенным алфавитом {Л, В}, то есть каждое следующее образование последовательности можно получить из предыдущего с помошью некоторого правила замещения. Для последовательности Тью-Морзе правило замещения таково: Л —>• АВ,

В —>• В А, а образования имеют вид: А, АВ, АВВА, АВВАВААВ____В двупериоди-

ческой последовательности правило замещения имеет вид: А —»• АВ, В —> АА, и образования есть: А, АВ, АВАА, АВАААВАВ____Наконец, образования АА, АААВ,

АААВААВА ... последовательности Рудина-Шапиро могут быть получены с помо-

Рис. 1. Пример апериодической цепочки АВВАА квантовых точек в смешанной модели. Имеется два типа квантовых точек Л и В с интегралами перекрытия между ними 1дд, Ьдв и 1вв

щью правил: АА АААВ, АВ -» ААВА, В А -»• ВВАВ, ВВ ->■ ВВВА.

Вторая глава "Спектры и транспортные свойства апериодических цепочек" состоит из шести частей. Первая часть представляет собой введение, а в следующих четырёх изложены результаты расчётов электронных спектров апериодических цепочек и их спектральных свойств: плотности состояний, проводимости и степени локализации. В шестой части рассматривается туннелирование в апериодической гранулированной системе.

В узельной модели гамильтониан задачи имеет следующий вид:

n n

н = X] \п)еп{п\ + \п)1п,п+1(п + 1| + |п)<„,п_1(п - 1|. (1)

п=1 п=1

Он описывает цепочку квантовых точек двух типов: А и В (рисунок 1). Её параметрами являются еп - энергия электрона на п-м узле, ¿П)П±1 - интеграл перекрытия между узлами п и и ± 1 и ^ - число узлов в системе, а так же тип апериодической последовательности, согласно коду которого распределены эти параметры. В работе рассматривалась так называемая смешанная модель апериодической системы, когда согласно апериодическому закону меняются и узельная энергия и интегралы перекры- , тия. В этой главе при расчётах использовалось шесть наборов параметров, которые отличаются соотношениями между величинами интегралов перекрытия, эти параметры указаны в таблице 1, а также изучалась зависимость исследуемых величин (спектра и степени локализации) при изменении каждого из этих параметров. Нулевой уровень энергии расположен посередине между уровнями 5а и ед, таким образом что \£а ~£В | = 2е.

е, эВ 1аа, эВ 1лв, эВ 1вв, эВ N

1 0.5 1.4 0.6 0.9 256

2 0.5 0.6 1.4 0.9 256

3 0.5 0.9 0.6 1.4 256

4 0.5 0.9 1.4 0.6 256

5 0.5 1.4 0.9 0.6 256

6 0.5 0.6 0.9 1.4 256

I

Таблица 1. Параметры расчётов для смешанной модели.

Вторая часть содержит результаты расчетов зависимости спектра для всех рассматриваемых цепочек от каждого типа параметров. Спектры получены диагонализа-цией матрицы гамильтониана. На рисунке 2 в качестве примера приведен спектр апериодических цепочек Тью-Морзе и двупериодической в зависимости от параметров е и Ьаа соответсвенно. Электронные уровни уширяются в минизоны, которые, пере-крываясь образуют сложную структуру из подзон и щелей, их положение и ширина определяются параметрами системы. Спектр не является симметричным относительно центра зоны, и при изменении параметров возможно перекрытие подзон и открытие щелей.

Также в этой части содержится анализ структуры спектра в зависимости от типа последовательности, то есть от числа элементов каждого типа и числа их пар. Зависимость структуры спектра от размера системы сводится к уменьшению расстояния между уровнями в подзонах. Аналогичные зависимости приведены для сравнения для периодической системы.

В третьей части этой главы представлены результаты расчётов плотности состояний. Локальная и интегральная плотности состояний для двупериодической цепочки приведены на рисунке 3. Плотность состояний неоднородно распределена по зоне для всех цепочек и наборов параметров, в отличие от периодической системы.

Степень локализации электронных состояний рассматривается в четвёртой части.

Рис. 2. Электронный спектр апериодической цепочки в зависимости от параметра системы: (а) дву-периодическая цепочка, изменяется интеграл перекрытия типа 1аа] (Ь): цепочка Тью-Морзе, изменяется узельная энергия £. Остальные параметры при этом соответствуют набору 1 (таблица 1)

Степень локализации в работе получена методом анализа обратной степени участия [28]:

£м4

Ь = ~-гт, (2)

СН

где ф1 - амплитуда волновой функции на узле г. Эти узельные волновые функции на узле г представляются в виде степенной зависимости: ф^ ~ г~а и, используя в качестве критерия величину нормировочного интеграла, по величине степени локализации а определяется тип состояния: протяжённые (а = 0), локализованные (а >= 1/2) и критические (0 < а < 1/2). а определяется из зависимости /г(г). Критические состояния не могут быть нормированы, но и не являются протяжёнными.

У У

Рис. 3. (а) Локальная плотность состояний в двупериодической цепочке для набора параметров 1; (Ь) интегральная плотность состояний в двупериодической цепочке для трёх наборов параметров (таблица 1)

Распределение степени локализации для двупериодической цепочки и цепочки Рудина-Шапиро представлено на рисунке 4. Степень локализации неоднородно распределена по зоне и в системе существуют критические состояния. Этот результат характерен для всех рассматриваемых последовательностей.

Такие спектральные свойства как плотность состояний и степень локализации важны для определения транспортных свойств системы, поскольку последние определяются свойствами электронов вблизи уровня Ферми. Меняя положение уровня Ферми, таким образом, можно получить состояния изолятора или проводника в системе. Чтобы оценить общие тенденции в изменении степени локализации в системе при варьировании параметров, в этой части содержится анализ средней по зоне степени локализации. Во-первых, рассмотрена её зависимость от размера системы. На рисунке 5 такая зависимость приведена для цепочки Тыо-Морзе.

Как видно из рисунка, средняя степень локализации в цепочке Тью-Морзе уменьшается с ростом размера системы. Такая зависимость характерна для периодической системы, в которой степень локализации стремится к нулю для бесконечно большого размера системы. Подобным образом ведёт себя зависимость атеап^) для двупериодической цепочки. Напротив, в цепочке Рудина-Шапиро средняя степень локализации увеличивается с размером системы, что характерно для системы с произвольным беспорядком. Таким образом, характер зависимости атеап(М) определяется типом апери-

256 1024 4096

n

Рис. 5. Средняя степени локализации ате(т в цепочке Тью-Морзе в зависимости от длины системы для шести наборов параметров (таблица 1)

Рис. 6. Средняя степень локализации в: (а) цепочке Тью-Морзе в зависимости от величины узельной энергии е, номер набора параметров указан в легенде; (Ь) двупериодической цепочке в зависимости от интеграла перекрытия каждого типа (остальные параметры соответствуют набору 1). Набору параметров 1 соответвует изменение спектра на рисунке 2. Так как в двупериодической цепочке нет пар типа ВВ, изменение (вв не влияет свойства системы

Рис. 7. Критическая (а) и локализованная (6) волновые функции в цепочке Тью-Морзе

личении е с образованием локального минимума. Причиной этого является резонансное состояние узлов при данных параметрах. То есть волновая функция электрона становится более "размазанной" по узлам системы, что соотвествует его делокализа-ции (рисунок 7). Эта делокализация связана с изменениями в спектре. Рассмотрим это на примере набора параметров 1. Спектр системы при этом приведен на рисунке 2Ь. На зависимости атеап(е) есть минимум при е ~ 0.3 эВ и излом при е ~ 0.8 эВ (они показаны стрелками). В спектре при этих значенияхе происходит перекрытие подзон.

Аналогичная ситуация имеет место, если изменять величину интеграла перекрытия в системе (рисунок 66). При увеличении перекрытия между волновыми функциями степень локализации атгап(£дл) уменьшается. Но при значениях Ьаа ~ 0.4 эВ и Ьаа ~ 0.9 эВ есть минимумы степени локализации. Им соответсвует перекрытие подзон в спектре, показанное стрелками на рисунке 2а. Объяснить это соответствие можно следующим образом. Пусть система находится в нерезонансном состоянии, и рассмотрим состояния, разделённые щелью. В каждом из этих состояний электрон локализован на какой-либо группе узлов, и переходы между этими узлами маловероятны по причине наличия щели. Теперь, меняя параметры системы, мы приближаем энергии этих состояний друг к другу. Когда они сравняются, эти группы узлов перейдут в резонансное состояние, и это будет соответствовать уменьшению степени локализации этих состояний. В этом эффекте уменьшение степени локализации при рассматривае-

е, е\/ е. еу

Рис. 8. Спектральная проводимость в цепочке (а) двупериодической; (6) Рудина-Шапиро. Набор параметров 6 (таблица 1)

мых параметрах составляет ~ 10%.

В пятой части первой главы обсуждаются результаты расчёта спектральной проводимости в апериодических цепочках. Для расчёта проводимости методом трансфер-матриц определялся коэффициент прохождения через систему, а затем, используя формулу Ландауэра, рассчитана проводимость. На примере цепочки Рудина-Шапиро и двупериодической она изображена на рисунке 8. Проводимость распределена неоднородно по ширине зоны, изменяясь на несколько порядков. Участки, где проводимость имеет наибольшую конечную величину (порядка 10~е -г-Ю-11/П для различного типа цепочек и параметров), соответствуют наименее локализованным состояниям (рисунок 4). В этой области энергий возможно резонансное прохождение волны, при котором интерференция отражённых воли приводит к их ослаблению, а не к усилению, как в случае андерсоновской локализации.

В шестой части "Туннелирование в апериодических гранулированных системах" мы в парном квазиклассическом приближении оценили вероятность туннелирования через апериодически расположенные гранулы (квантовые точки) и оценили влияние кулоновской блокады на эту вероятность.

Результаты второй главы показывают, как изменение параметров системы позволяет менять спектр и транспортные свойства системы, оставляя при этом неизменными её геометрические параметры. Такие изменения можно осуществить, например, с

помошыо внешнего магнитного поля, его влияние на апериодическую цепочку квантовых точек рассматривается в следующей главе. Результаты второй главы опубликованы в работах [1, 2].

В третьей главе "Апериодические цепочки квантовых точек в магнитном поле" излагаются результаты исследования влияния магнитного поля на апериодическую цепочку квантовых точек. Она состоит из введения (первая часть) и двух частей, в которых рассматриваются соотвественно жёсткие и циклические граничные условия.

Влияние магнитного поля на систему учитывалось в работе следующим образом. По аналогии с [2], квантовая точка моделировалась параболическим удерживающим потенциалом для электрона с крутизной а (не путать со степенью локализации). Поле увеличивает крутизну этого потенциала, что приводит к смещению энергетических уровней:

где т. - эффективная масса электрона, рассматриваются квантовые точки, содержащие только один электронный уровень.

Увеличение крутизны удерживающего потенциала также приводит к уменьшению перекрытия волновых функций на соседних узлах. В работе это учитывалось как уменьшение перекрытия волновых функций соседних осцилляторов: Ї у -4 и^(В). Наконец, калибровка векторного потенциала для узельной системы приводит к появлению добавочной фазы в интеграле перекрытия:

где А - векторный потенциал поля, выбранный в калибровке А = —Вуех. Вторая часть главы содержит результаты расчётов спектров и степени локализации в апериодической цепочке квантовых точек при жестких граничных условиях.

(3)

сд, эВ Ев, эВ 'д.1, эВ 1АВ, эВ 1вв, эВ йАА, нм ¿ДВ, НМ <1Вв, нм N

1 0.01 0.06 0.14 0.06 0.09 20 29 24 256

2 0.01 0.06 0.06 0.14 0.09 29 20 24 256

3 0.01 0.06 0.09 0.06 0.14 24 29 20 256

4 0.01 0.06 0.09 0.14 0.06 24 20 29 256

5 0.01 0.06 0.14 0.09 0.06 20 24 29 256

6 0.01 0.06 0.06 0.09 0.14 20 29 20 256

Таблица 2. Параметры расчётов для апериодических цепочек квантовых точек в магнитном поле

В этом случае в системе отсутствуют перескоки с первого на последний узел и поле оказывает влияние на энергию электрона в квантовой точке и на величину интеграла перекрытия без учёта фазового множителя в (4). По аналогии со второй главой, в расчетах использовалось шесть наборов параметров (таблица 2).

Спектры двупериодической и Тью-Морзе цепочек квантовых точек в магнитном поле изображёны на рисунке 9. При изменении параметров е и ( с полем подзоны спектра смещаются и общая ширина зоны уменьшается. Для рассматриваемых порядков параметров поле порядка 5 Тл смещает электронные уровни на 0.01 -^0.1 эВ, в зависимости от набора параметров и положения в спектре.

Степень локализации на примере цепочки Тью-Морзе представлена на рисунке 10а. Из рисунка видно, что средняя степень локализации может увеличиваться, почти не изменяться или даже уменьшаться с увеличением магнитного поля. Последние два эффекта связаны с описанным во второй главе эффектом, когда при изменении параметров е и I потенциальные ямы в системе переходят в резонансное состояние.

Циклические граничные условия рассмотрены в третьей части главы. В этом случае в системе возможен перескок электрона с первого на последний узел (и наоборот) и система становится эффективно двумерной. При движении электрона по образовавшемуся кольцу его волновая функция приобретает дополнительную фазу, связанную с векторным потенциалом магнитного поля (эффект Ааронова-Бома). При этом возни-

В- 0.0

в. т1

Рис. 9. Электронные спектры апериодических цепочек квантовых точек в магнитном поле: ( а) Тью-Морзе; (6) двупериодическая. Набор параметров 6 (таблица 2)

Рис. 10. Средняя степень локализации в цепочке Тью-Морзе квантовых точек в магнитном поле с (а) жёсткими граничными условиями; (Ь) циклическими граничными условиями для шести наборов параметров, указанных стрелками (таблица 2)

> ш

ьз о.о-

>

ш

К?

Б, Т1

Рис. 11. Осцилляции электронной энергии в цепочках квантовых точек в магнитном поле: (а) периодическая цепочка; (6) двупериодическая цепочка

кают осцилляции электронной энергии и других физических характеристик (степени локализации, сопротивления цепочки и т.п.) как функции от величины поля. Их период определяется размерами системы, то есть числом квантов потока, пронизывающих её в данном поле. Подобные осцилляции для периодической и двупериодической цепочки приведены на рисунке 11. Учёт апериодичности приводит к тому, что амплитуда осцилляций электронных уровней у каждого уровня "своя", в то время как в периодической системе она монотонно увеличивалась от краёв зоны к её центру. Это связано с несимметричностью спектра, поскольку амплитуда осцилляций определяется соотношениями £{ И ¿у. Изменение амплитуды этих осцилляций вызвано изменением величины интегралов перекрытия и электронной энергии в квантовой точке. В периодической системе амплитуда уменьшается с увеличением поля, в то время как в апериодической системе это может быть не так. Это связано со сложной зависимостью спектра от параметров системы.

Величина степени локализации также начинает осциллировать. Средняя степень локализации для цепочки Тыо-Морзе приведена на рисунке 106. На зависимость остеап(В) накладываются осцилляции, период и амплитуда которых зависят от пара-

метров системы. Амплитуда осцилляции меняется в интервале 0.001 0.02 для различных типов цепочек и наборов параметров. Величина этой амплитуды тем больше, чем менее локализованы состояния в системе (рисунок 106), поэтому наибольшую величину она имеет в двупериодической цепочке.

Выводы и основные результаты работы

1. Исследованы электронные спектры одномерных апериодических цепочек квантовых точек типа Тью-Морзе, Рудина-Шапиро и двупериодической. Изучено изменение спектров при варьировании параметров системы: энергии электронов в квантовых точках и интегралов перекрытия и показано, что при изменении этих параметров происходит перекрытие подзон и открытие щелей в спектре.

2. Рассчитаны спектральное распределение плотности электронных состояний, степень их локализации и спектральная проводимость в рассматриваемых апериодических цепочках. В спектре существуют области критических состояний, им соответствует конечная проводимость системы (порядка Ю-6 Ч- КГ11/П) в зависимости от типа цепочки для величин энергии электрона в квантовой точке и интегралов перекрытия порядка 0.1 эВ.

3. Исследована зависимость средней степени локализации в рассматриваемых системах от размера системы. Показано, что в цепочках Тью-Морзе и в двупериодической при увеличении длины цепочки с 256 до 4096 узлов средняя степень локализации уменьшается на 1 -г-10% в зависимости от параметров систем. В цепочке Рудина-Шапиро, напротив, она увеличивается с увеличением длины цепочки на 7 -г-10%.

4. Исследована зависимость средней степени локализации в рассматриваемых системах от энергии электронов в квантовой точке и интегралов перекрытия для их величин порядка 0.1 эВ. Показано, что при варьировании этих параметров возможно наступление резонанса в системе, который сопровождается уменьшением степени локализации состояний на ~ 10%. Этому резонансу соответствует перекрытие подзон в спектре.

5. Изучено влияние магнитного поля на спектр и степень локализации электронов в апериодических цепочек квантовых точек для циклических и жестких граничных условий. В зависимости от соотношения между параметрами, средняя степень локализации может увеличиваться, почти не изменяться и уменьшаться с увеличением величины поля, и это связано с эффектом наступления резонансного состояния потенциальных ям в системе при изменении её параметров. Изменение степени локализации в поле порядка 5 Тл, для величин энергии электрона в квантовой точке и интеграло перекрытия порядка 0.1 эВ, составляет 5 -г- 20% в зависимости от типа цепочки и параметров.

6. В случае циклических граничных условий в магнитном поле изучены осцилляции электронной энергии как функции величины магнитного поля и зависимость периода и амплитуды этих осцилляций от параметров системы. Амплитуда осцилляций электронных энергетических уровней немонотонно изменяется по ширине зоны, в отличие от периодической цепочки, и изменяется с увеличением величины поля.

7. Изучена зависимость периода и амплитуды осцилляции степени локализации в магнитном поле. Амплитуда осцилляций показателя степени локализации тем выше, чем менее локализованы состояния в системе. Для величин энергии электрона в квантовой точке и интегралов перекрытия порядка 0.01 эВ в системе из 256 квантовых точек амплитуда составляет 0.001-^0.02 в зависимости от типа цепочки и параметров.

8. В парном квазиклассическом приближении оценена вероятность туннелирова-ния через апериодическую цепочку квантовых точек. Исследовано, как на эту вероятность влияет эффект кулоновской блокады.

Список публикаций по теме диссертации

1. Korotaev Р., Kaputkina N., Vekilov Y. Electronic properties of aperiodic quantum dots chains // Physica E. 2012. Vol. 44. P. 1580.

2. Korotaev P., Kaputkina N., Lozovik Y., Vekilov Y. The electronic excitations and transport in aperiodic sequences of quantum dots in external electric and magnetic fields // ЖЭТФ. T. 140 C. 794. 2011.

3. Korotaev P., Kaputkina N., Vekilov Y. Localization of current states in one-dimensional aperiodic structures // Acta. Cryst.: Proceedengs of XXII Congress and General Assembly of the International Union of Crystallography. Vol. A67. 2011. P. C626.

4. Korotaev P., Kaputkina N., Vekilov Y. Electronic transport through aperiodic sequences of quantum dots // Acta. Cryst.: Proceedengs of 26th European Crystallographic Meeting. Vol. A66. 2010. P. s212.

5. Kaputkina N., Korotaev P., Lozovik Y., Vekilov Y. The energy spectra and transport in aperiodic sequences of quantum dots in external electric and magnetic fields // Abstract book of The 11th International Conference on Quasicrystals (ICQ11), Sapporo, Japan, 2010. P. 78.

6. Kaputkina N., Korotaev P., Vekilov Y. The energy spectra and transport in one-dimen-tional aperiodic sequences of quantum dots in external magnetic and electric field // Тезисы докладов XIV Национальной конференции по росту кристаллов, Москва, Россия. Vol. 2. 2011. Р. 115.

7. Kaputkina N., Korotaev P., Vekilov Y. Spectral properties of aperiodoc quantum dots chains // Abstract book of ISMANAM 2012, June, Moscow. 2011. P. P0214.

Цитированная литература

8. Shechtman D., Blech I., Gratias D., Cahn J. // Physical Review Letters. 1984. Vol. 53. P. 1951.

9. Albuquerque E., Cottam M. Theory of elementary excitations in quasiperiodic structures // Physics Reports. 2003. Vol. 376. P. 225.

10. Kohmoto M., Sutherland В., Tang С. Critical wave functions and a Cantor-set spectrum of a one-dimensional quasicrystal model // Physical Review B. 1987. Vol. 35. P. 1020.

11. Luck J. M. Cantor spectra and scaling of gap widths in deterministic aperiodic systems // Physical Review B. 1989. Vol. 39. P. 5834.

12. Vekilov Y., Isaev E., Godoniuk A. Electronic spectrum of the Three-Dimensional Penrose Lattice // JEPT. 2003. Vol. 97. P. 1005.

13. Macia E. Exploring aperiodic designs in nanophotonic devices // Rep. Prog. Phys. 2012. Vol. 75. P. 036502.

14. Macia E. The role of aperiodic order in science and technology // Rep. Prog. Phys. 2006. Vol. 75. P. 397.

15. Алфёров Ж. Двойные гетероструктуры: концепция и применения в физике, электронике и технологии // Успехи Физических Наук. 2000. Vol. 172. Р. 1068.

16. Maximov М., et al. Hight-power continuous-wave operation of a InGaAs/AlGaAs quantum dot laser // J. Appl. Phys. 1998. Vol. 83. P. 5561.

17. Леденцов H., Устинов В., Иванов С. et al. Упорядоченные массивы квантовых точек в полупроводниковых матрицах // Успехи Физических Наук. 1996. Vol. 166. Р. 423.

18. Днепровский В. Нелинейные оптические совйства полупроводниковых квантовых проводов и точек // Успехи Физических Наук. 1996. Vol. 166. Р. 432.

19. Кулаковский В., Бутов Л. Магнитооптика квантовых проволок и квантовых точек в полупроводниковых гетероструктурах // Успехи Физических Наук. 1995. Vol. 165. Р. 229.

20. Меркулов И. Спиновые системы квантовых точек // Успехи Физических Наук. 2002. Vol. 172. Р. 1455.

21. Lee J., Oszwaldowski R., Cothgen C., Zutic I. Mapping between quantum dot and quantum well lasers: From conventional to spin lasers // Physical Review B. 2012. Vol. 85. P. 045314.

22. Gold P., Gschrey M., Schneider C. S. F. A., Höfling et al. Single quantum dot photocur-rent spectroscopy in the cavity quantum electrodynamics regime // Physical Review B. 2012. Vol. 86. P. 161301.

23. Frey T., Leek P., Beck M. et al. Dipole Coupling of a Double Quantum Dot to a Microwave Resonator // Physical Review Letters. 2012. Vol. 108. P. 046807.

24. Bera E., Qian L., Tseng T., Holloway P. Quantum Dots and Their Multimodal Applications: A Review // Materials. 2010. Vol. 3. P. 2260.

25. Miroshnichenko A., Flach S., Kivshar Y. Fano resonances in nanoscale structures // Reviews of modern physics. 2010. Vol. 82. P. 2257.

26. Hornquist M., Ouchterlony T. Quantum dots in aperiodic order // Physica E. 1998. Vol. 3. P. 213.

27. Bakhtiari M., Vignolo P., Tosi M. Coherent transport in linear arrays of quantum dots: The effects of period doubling and of quasi-periodicity // Physica E. 2005. Vol. 28. P. 385.

28. Tsunetsugu H., Fujiwara T., Ueda K., Tokihiro T. Electronic properties of the Penrose lattice. I. Energy spectrum and wave functions // Physical Review B. 1991. Vol. 43. P. 8879.

Подписано в печать:

26.04.2013

Заказ № 8428 Тираж -100 экз. Печать трафаретная. Типография «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 115230, Москва, Варшавское ш., 36 (499) 788-78-56 www.autoreferat.ru

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования Национальный исследовательский технологический университет "МИСиС"

На правах рукописи

04201356627

Коротаев Павел Юрьевич

Исследование особенностей спектра и электронного транспорта в апериодических цепочках квантовых точек

Специальность: 01.04.07 - Физика конденсированного состояния

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель д. ф.-м. н.. проф. Векилов Юрий Хоренович

Научный консультант д. ф.-м. н., доц.

Капуткина Наталия Ефимовна

Москва - 2013

Содержание

Введение ....................................................................4

Глава 1. Обзор литературы и методика расчётов................9

1.1. Введение............................................................9

1.2. Апериодические системы и методы их теоретического исследования ..............................................................11

1.2.1. Типы апериодических последовательностей............11

1.2.2. Модель сильной связи и метод трансфер-матриц ... 13

1.2.3. Электронные состояния в апериодических системах . 21

1.2.4. Метод диагонализации матрицы гамильтониана ... 24

1.3. Квантовые точки ..................................................28

1.3.1. Кваптово-размерпые структуры..........................28

1.3.2. Моделирование квантовых точек........................29

1.4. Описание влияния магнитного поля..............................31

1.4.1. Калибровочное преобразование..........................31

1.4.2. Узельная система в магнитном поле....................32

1.4.3. Влияние магнитного поля на. состояние электрона квантовой точке................................................34

1.4.4. Выбор граничных условий. Осцилляции электронной энергии......................................................35

1.5. Локализация и делокализация в одномерных системах .... 40

1.5.1. Андерсоиовская локализация............................40

1.5.2. Локализация в одномерных системах....................41

1.5.3. Делокализация и роль корреляций......................42

Глава 2. Спектры и транспортные свойства апериодических

цепочек ..................................................................45

2.1. Введение............................................................45

2.2. Спектры ............................................................46

2.3. Плотность состояний..............................................57

2.4. Степень локализации..............................................62

2.5. Проводимость......................................................74

2.6. Туннелирование в апериодических гранулированных системах 78

Глава 3. Апериодические цепочки квантовых точек в магнитном поле..................................................................81

3.1. Введение............................................................81

3.2. Влияние магнитного поля в случае жёстких граничных условий 83

3.3. Циклические граничные условия..................................89

Выводы и основные результаты работы............................99

Литература.................................101

Введение

Актуальность работы.

В настоящей диссертационной работе изучаются системы одномерных апериодических последовательностей квантовых точек. Параметры таких систем изменяются вдоль них по определённому закону, не периодически, но и не произвольно. И апериодические системы и квантовые точки сами по себе являются отдельными объектами исследований. Интерес к апериодическим системам возрос после открытия квазикристаллов [1]. Квазикристаллы обладают апериодическим дальним порядком, и вначале изучение апериодических систем рассматривалось как способ их описания. Поэтому были изучены атомные апериодические последовательности (например, [2-5]). В настоящее время апериодические структуры из полупроводниковых квантовых ям и металлических нанокластеров изучаются и применяются в оптике и электронике [6, 7]. Такие системы замечательны тем, что имеют нетривиальные спектральные свойства, в отличие от периодической системы, и в них существуют критические состояния, которые не являются ни протяжёнными, ни экспоненциально локализованными. Эти свойства используются, например, для организации оптических фильтров и волноводов. В настоящей работе объектами, которые располагаются в апериодическом порядке, являются квантовые точки.

Квантовые точки активно исследуются и применяются в лазерной технике, оптике, электронике [8-18]. Особенностью квантовых точек является то, что квантовая точка представляет собой искуственный атом с полностью дискретным спектром. Другой особенностью является сильная зависимость состояний носителя заряда в квантовой точке от размеров и формы структуры, и от внешних воздействий. Это позволяет создавать системы квантовых точек, свойствами которых можно управлять.

Цели диссертационной работы:

1. Исследование электронных энергетических спектров апериодических цепочек квантовых точек в приближении сильной связи в смешанной модели, то есть когда в апериодическом порядке изменяются и узельная энергия и интегралы перекрытия между соседними узлами. Рассмотреть следующие системы: цепочка Тью-Морзе, двупериоди-ческая цепочка, цепочка Рудина-Шапиро.

2. Изучение степени локализации электронных состояний в апериодических цепочках квантовых точек в смешанной модели и влияния на неё параметров модели.

3. Изучение влияния магнитного поля на спектр апериодических цепочек квантовых точек в смешанной модели и на степень локализации электронных состояний.

Научная новизна.

В работе рассчитаны спектры и спектральные свойства (плотность состояний, степень локализации, проводимость) апериодических цепочек Тью-Морзе, Рудина-Шапиро и двупериодической цепочки в приближении сильной связи в смешанной модели и показано, как эти свойства меняются при варьировании параметров модели: энергии электрона на узле, интегралов перекрытия, длины системы. До настоящего времени в основном рассматривались упрощённые узельная и смешанная модели апериодических последовательностей, в которых пренебрегается соответственно изменением интегралов перекрытия и узельной энергии.

Ранее проводился численный анализ проводимости цепочки квантовых точек Тью-Морзе, двупериодической цепочки и цепочки Рудина-Шапиро [19]. В теоретической работе [20] рассматривалась цепочка Фибоначчи квантовых точек и изучалась спектральная плотность состояний. При этом не

проводился анализ в смешанной модели и не проводился учёт магнитного поля. В настоящей диссертационной работе исследовано влияние магнитного поля на спектр и степень локализации в апериодических цепочках квантовых точек Тью-Морзе, двупериодической и Рудина-Шапиро в смешанной модели с учётом влияния магнитного поля на крутизну удерживающего потенциала электрона в квантовой точке для жёстких и циклических граничных условий.

Практическая значимость.

В работе исследовано, как при изменении параметров системы (энергии электрона в квантовой точке и интегралов перекрытия) изменяется электронный спектр и степень локализации электронов в апериодических цепочках квантовых точек. Показано, что данные параметры можно изменять при помощи внешнего магнитного поля, сохраняя геометрические параметры системы неизменными. Поэтому исследуемые в работе системы и полученные для них результаты могут быть применены для создания фильтров и волноводов с управляемыми свойствами.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

1. Исследованы численно в приближении сильной связи электронные спектры одномерных апериодических цепочек квантовых точек. Рассмотрены цепочки типа Тью-Морзе, Рудина-Шапиро и двупериоди-ческая в смешанной модели, то есть с учетом изменения по апериодическому закону и узельной энергии и интегралов перекрытия. Показано, что спектр имеет структуру, содержащую множество щелей и подзон, и проанализировано, как изменение параметров модели (энергии электрона в квантовой точке и интеграла перекрытия между соседними точками) влияет на спектр. Показано, что при варьиро-

вании этих параметров возможно открытие щелей или перекрытие подзон.

2. Рассчитаны спектральные свойства одномерных апериодических цепочек квантовых точек в смешанной модели: степень локализации, плотность состояний, проводимость. Показано, что степень локализации, определяемая обратной степенью участия состояний на узлах, распределена неоднородно как по ширине полной зоны, так и по подзонам спектра. Проанализирована зависимость степени локализации в системе при изменении параметров системы (интегралов перекрытия и узельной энергии). Обнаружено, что при определённых параметрах возможно наступление резонанса в системе, который сопровождается уменьшением степени локализации состояний. Этому резонансу соответствуют такие изменения в спектре системы как перекрытие подзон.

3. Исследовано влияние магнитного поля на спектр одномерных апериодических цепочек квантовых точек в смешанной модели для циклических и жестких граничных условий. Учтено влияние магнитного поля на удерживающий потенциал для электрона в квантовой точке. Показано, как магнитное поле меняет положение подзон и степень локализации электронных состояний.

4. В случае циклических граничных условий в магнитном поле изучены осцилляции электронной энергии и степени локализации в системе, как функции величины магнитного поля. Проанализирована зависимость периода и амплитуды этих осцилляций от параметров системы (расстояния между квантовыми точками, числа квантовых точек, энергии электрона в квантовой точке, интегралов перекрытия).

Апробация работы.

Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:

1. 14 Национальная конференция по росту кристаллов, Декабрь 2010, Москва.

2. 26th European Crystallographic Meeting, August 2010, Darmstadt, Germany

3. Rusnanoforum 2010, November 2010, Moscow.

4. International Conference on Quasicrystals, June 2011, Sapporo, Japan.

5. XXII Congress and General Assembly of the International Union of Crystallography, August 2011, Madrid, Spain.

6. ISMANAM 2012, June 2012, Moscow.

А также на научных семинарах кафедры теоретической физики и квантовых технологий МИСиС.

Публикации.

Материалы диссертационной работы работы опубликованы в 2 статьях в рецензируемых журналах [21, 22] и 5 тезисах докладов в сборниках трудов международных конференций [23-27].

Личный вклад автора.

Все представленные в диссертации результаты получены лично автором или в соавторстве с руководителем. Программное обеспечение для проведения расчётов разработано лично автором. Материалы публикаций и докладов подготовлены совместно с соавторами, причём вклад автора был определяющим.

Структура и объём диссертации.

Диссертация состоит из введения, 3 глав, выводов и библиографии. Общий объем диссертации 109 страниц, включая 51 рисунок и 3 таблицы. Библиография включает 86 наименований на 10 страницах.

Глава 1

Обзор литературы и методика расчётов 1.1. Введение

В настоящей диссертации численно исследовались одномерные апериодические системы квантовых точек. Апериодичность означает, что свойства системы распределены вдоль неё по определенному закону, не периодически, но и не произвольно. Настоящая глава посвящена обзору литературы и методике расчётов.

Для описания исследуемого типа систем обычно используется приближение сильной связи. В этом приближении хорошим квантовым числом является номер узла, который может быть занят электроном, и учитывается возможность перескока электрона только на ближайшие соседние узлы. Поэтому под апериодической системой будем понимать цепочку узлов, параметры которых распределены вдоль цепочки по определенному апериодическому закону. В части 1.2 приведен обзор этих законов для исследуемых в работе цепочек и основных методов, использованных при расчётах: метода трансфер матриц, метода точной диагонализации гамильтониана, способов учёта влияния магнитного поля.

В качестве объектов, которые располагаются в апериодическом порядке выбраны квантовые точки. Идея состоит в том, что состоянием носителей заряда в квантовой точке по сравнению с атомами легко управлять внешними воздействиями. Это вызвано тем, что расстояние между уровнями в квантовой точке составляет несколько мэВ, в то время как в атомах эта величина порядка ридберга. Часть 1.3 содержит краткий обзор того, как в работе была смоделирована квантовая точка.

Для управления спектром и транспортными свойствами системы в можно использовать магнитное поле, и соответствующие расчёты были проведены в работе. Магнитное поле можно учесть несколькими методами. Во-первых, применить калибровочное преобразование [28], [29]. Во-вторых, нужно учесть, что каждый узел представляет собой потенциальную яму с определенной крутизной удерживающего потенциала, и поле увеличивает эту крутизну. Это, в свою очередь, приводит к двум эффектам: изменяется энергетический спектр электрона в квантовой точке и уменьшается перекрытие волновых функций электронов на соседних узлах. Также следует учесть что на результат сильно влияет тип накладываемых граничных условий: жесткие или периодические. В части 1.4 описываются использованные для этого методы.

Наконец, в части 1.5 обсуждаются вопросы связанные с локализацией и делокализацией в одномерных системах. Интерес к апериодическим одномерным цепочкам в этой связи вызван тем, что при определенных корреляциях потенциала в них присутствуют критические состояния (это состояния, которые не являются ни экспоненциально локализованными ни протяжёнными), в то время как при случайном беспорядке все состояния являются локализованным и система является изолятором. Под корреляциями потенциала понимается определенная их упорядоченность, то есть существование закона, по которому потенциал распределён в системе. Меняя этот апериодический закон и параметры системы, можно получать окна пропускания в определенном участке спектра.

1.2. Апериодические системы и методы их теоретического исследования

1.2.1. Типы апериодических последовательностей

Апериодические последовательности можно задавать по разнообразным законам. В этой части будут рассмотрены способы задания изучаемых последовательностей. Все они относятся к так называемым последовательностям замещения, что означает что каждое образование последовательности может быть получено из предыдущего путём замены составляющих его элементов на другие по определенному правилу. Это правило называют правилом замещения. Рассматриваемые последовательности имеют двухбуквенный алфавит, то есть все образования состоят из элементов двух типов, которые обычно обозначают А и В. Стоит отметить, что даже одну и ту же последовательность можно задавать разными способами. Они представлены здесь в том виде, для которого производились расчёты.

Последовательность Фибоначчи

Пожалуй, самым известным примером апериодической последовательности является последовательность Фибоначчи. Если говорить о численном ряде Фибоначчи, то каждое число в этом ряду является суммой двух предыдущих. В терминах двухбуквенного алфавита она выглядит, например, так:

В, А, АВ, ABA, АВААВ, АВААВАВА, .... (1.1)

Это соответствует правилу замещения:

А ->• АВ, В ->• А 11

(1.2)

Отношение числа элементов А к В при большом числе образований N стремится к золотому сечению т = (1 + л/5)/2.

Последовательность Тыо-Морзе

Другим хорошо изученным примером апериодических последовательностей является последовательность Тью-Морзе. Её образования имеют вид:

А, АВ, АВВА, АВВАВААВ, ..., (1.3)

а правило замещения таково:

А —>• АВ, В —> В А . (1.4)

Двупериодическая последовательность

Двупериодическая последовательность может быть задана с помошью следующего правила замещения:

А->АВ, В АА , (1.5)

и её образования:

А, АВ, АВАА, АВАААВАВ, .... (1.6)

Последовательность Рудина-Шапиро

Последовательность Рудина-Шапиро в случае двухбуквенного алфавита можно задать, например, так [30]:

АА, АААВ, АААВААВА

(1.7)

Правила замещения имеют вид:

АА ->■ АААВ, АВ ААВА В А ВВАВ, ВВ -> ВВВА . (1.8)

1.2.2. Модель сильной связи и метод трансфер-матриц

Уравнение Шрёдингера в приближении сильной связи

Как уже говорилось выше, приближение сильной связи является хорошим для описания таких систем как массивы квантовых точек [28]. В этом приближении гамильтониан одномерной цепочки имеет вид:

n n

Н = IП)£п(п\ + \П)1п,п+1{п + 1| + |п)^П)П_1(п - 1| , (1.9)

п=1 п=1

где:

N - число узлов в системе;

еп - энергия электрона на п-м узле;

Ъп,п± 1 - матричный элемент перескока (интеграл перекрытия) между узлами пип±1.

Волновая функция системы является суперпозицией волновых функций на всех узлах [31]:

n n

п= 1 п= 1

где сп - амплитуда волновой функции на узле п.

Подставляя (1.10) и (1.9) в уравнение Шрёдингера //Ф = ЕЧ! и до-множая на бра-вектор (га|, получим уравнение Шрёдингера в приближении сильной связи [2, 3]:

Сп— 1 сп£п = спЕ (1.11)

Это уравнение связывает амплитуды волновых функций на соседних узлах и может служить отправным пунктом для метода трансфер-матриц. Но перед обзором этого метода необходимо указать, как можно задать апериодичность в гамильтониане (1.9).

Модели апериодических цепочек

Рис. 1.1. Смешанная модель цепочки квантовых точек "АВВАА": квантовые точки двух типов с электронными энергиями сд и £в и интегралы перекрытия м�