Точки поворота и условия квантования для общих адиабатических систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

1 Введение

1.2 . . .Ю

2 Спектральные модели и модельные уравнения.

2.1 Параболическая точка поворота

2.2 Гиперболическая пара точек поворота

2.3 Эллиптическая пара точек поворота

3 Параболическая точка поворота и гиперболическая пара

3.1 Общий вид оператора Т.

3.2 Параболическая точка поворота.

3.3 Гиперболическая пара точек поворота

4 Эллиптическая пара и условия квантования

4.1 Мультипликативная итерационная процедура для построения оператора Т

4.2 Построение старших порядков оператора Т.

4.3 Обоснование мультипликативной рекуррентной процедуры

4.4 Сравнение результатов.

4.5 Условия квантования.

Глава

Адиабатические системы, описываемаемые уравнениями ге^ = А(г)у, е —>• О, в > 0, (1.1) в банаховом пространстве Х,у е 4 6 А = (а,|б) - интервал оси К, давно стали объектом интереса специалистов в области математической физики, достаточно упомянуть работы [1-4], [9-12]. Уравнения такого типа рассматривались как в рамках асимптотической теории дифференциальных уравнений, так и с точки зрения квантовой адиабатической теоремы. Однако наиболее продуктивным оказывается метод, комбинирующий приемы, характерные для обоих указанных подходов. Изучение таких уравнений представляется целесообразным, так как позволяет получить универсальные результаты для широкого класса задач, допускающих представление (1.1).

1.1

Хорошо известно, что асимптотическое поведение решений уравнения (1.1) определяется структурой спектра оператора A(t). Ситуация, когда спектр оператора A(t) состоит из изолированных собственных значений и они сохраняют кратность на всем промежутке А хорошо известна и исчерпывающе изучена, этот результат приведен, например, в работе [9].

Ю.Далецкий и М.Крейн [9], [25], С. Крейн [11], рассматривали уравнение (1.1) предполагая, что спектр оператора A(t) распадается на непересекающиеся при всех t спектральные множества. Целью указанных работ было исследование задачи Коши для уравнения (1.1). Искомый результат достигался реализацией процедуры асимптотического расщепления уравнения в соответствии с расщеплением спектра на непересекающиеся спектральные множества. При этом решался вопрос о построении гладких операторов, осуществляющих эволюцию прямого разложения пространства. Теорема существования такого оператора при условии диф-ференцируемости спектрального проектора P(t) была строго доказана в работе [25]. Уравнения типа (1.1) исследовались и в других работах, выполненных в рамках квантовой адиабатической теоремы, например, в работе Мартинеса и Ненчу [10], Аврона, Зейлера и Яффе [15], в частности, в связи с исследованием квантового эффекта Холла. Приемы, используемые в указанных работах, не предусматривают выявления зависимости асимптотики решений от внутренней структуры выделенных спектральных множеств.

В работах B.C. Буслаева, Л.А.Дмитриевой [5], [6], В.С.Буслаева, А.Гриджиса [1], [2], системы типа (1.1) возникают в связи с изучением адиабатически возмущенных периодических уравнений и рассматриваются с точки зрения асимптотической теории дифференциальных уравнений. При этом естественным образом возникает понятие точки поворота [3], как точки, в которой совпадают два собственных значения оператора A(t). Определяя таким образом точку поворота, мы обобщаем соответствующее понятие асимптотической теории дифференциальных уравнений, см. например

7], [12]. Вопросы, связанные с построением асимптотики решений ди-ференциальных уравнений на интервалах, содержащих точки поворота, были предметом многочисленных исследований. Достаточно упомянуть фундаментальные работы М.Федорюка [12], Олвера [18], Вазова [7]. Равномерные асимптотики для случая простой точки поворота описаны в работе М.Федорюка [12]. Исчерпывающее описание случая двойной точки поворота можно найти в работе B.C. Булдырева и С.Ю. Славянова

8].

Если точка поворота на интервале А разделяет интервалы вещественных и комплексных собственных значений, причем локальное поведение собственных значений кг = к0 + к, к2 = к0 — к в окрестности точки t\ можно описать уравнением к2 = cki (t — ti), oil ф 0, cki € R, то, следуя работе В.С.Буслаева и А.Гриджиса [1], такую точку можно назвать параболической точкой поворота. Две параболические точки поворота, между которыми находится интервал комплексных собственных значений, образуют двойную точку поворота, которую, также следуя вышеупомянутой работе, будем называть гиперболической парой. Если две параболические точки поворота близки, локальное поведение собственных значений может быть описано уравнением к2 = а\ [(t - to)2 - ¿и2] , ац ф 0, оц g R, ¡л > 0.

Если две параболические точки поворота ограничивают интервал вещественных собственных значений, то будем говорить, что они составляют эллиптическую пару. Локальное поведение собственных значений в этом случае допускает описание к2 = а2 [¡х2 - (£ - ¿о)2] , ai ф 0, ai G R, ц > 0.

Асимптотическое поведение решений уравнения (1.1) определяется не только поведением собственных значений оператора A(t), образующих выделенное спектральное множество cr0(t), но и его спектральной моделью на выделенном инвариантном подпространстве отвечающем сг0(i). Спектральной моделью оператора A(t) будем называть оператор M(t) : С2 —У С2, если существует обратимый гладкий оператор W, такой что A(t)W(t) = W(t) [±trA0(t)I + M(t)]. Классификация таких моделей изучалась в работах [19] - [21], но в действительности является частью классификации матриц-функций в духе В.И. Арнольда, см [22].

В работах [3], [4] получены локальные асимптотики для случая параболической точки поворота для адиабитически возмущенного уравнения Шредингера с периодическим потенциалом, асимптотические решения имеющие равномерный характер, построены для указанного случая в работах [1], [2]. Локальный подход для случая гиперболической пары точек поворота предложен в работах [4], [5], и наконец, приемы, позволяющие получить равномерные асимптотические разложения для указанного случая описаны в работе [1]. Наиболее интересной для нас из указанных работ является работа [1], так как предложенные в ней результаты по теории адиабатически возмущенных периодических задач получены с помощью непосредственного использования понятия спектральной модели. Решение исходной задачи находится путем сравнения с решением модельной "эталонной"задачи с помощью некоторого гладкого оператора.

В упомянутой работе также доказано, что адиабатически возмущенное линейным потенциалом периодическое уравнение Шредингера в случае параболической точки поворота допускает спектральную модель u(t) = С о П

1.2)

V-C 0 у t) - гладкая монотонная функция, являющаяся решением дифференциального уравнения

I2 = -С'2С, ((h) = О, функция l(t) определена следующим образом: ki(t) = ~ trA0(t) + l(t), k2(t) = ^tr A0(t) - l{t).

А в случае гиперболической пары точек поворота

H(t) = С

4 I, (1.3) и С здесь £(£) - гладкая монотонная функция, определяемая дифференциальным уравнением г2 = с'2(с2-/), № = С(ь) = ». (1.4) 8

Параметр // зависит от расстояния между точками и и дается формулой

Если на интервале, ограниченном эллиптической парой точек поворота, собственные значения оператора A(t) вещественны и комплексны вне этого интервала, то возможно существование решений, локализованных (в известном смысле) в фазовом пространстве. Такие решения описываются условиями квантования типа условий Бора-Зоммерфельда. Обсуждение и вывод условий такого рода были предметом большого количества работ как по теоретической, так и математической физике. Для случая уравнения Шредингера, квазиклассические условия квантования приведены, например, в [23]. Для случая адиабатически возмущенной периодической задачи, старший порядок таких условий получен в работе B.C. Буслаева [4]. Конкретный пример такой задачи -уравнение Шредингера, описывающее движение электрона в кристалле, помещенном во внешнее однородное электрическое поле, рассмотрен в работе В.С.Буслаева и Л.А.Дмитриевой [6], где условия квантования (описывающие в данном случая резонансные состояния) выписаны во всех порядках по малому параметру. Полученные условия квантования отличались от классических условий Бора-Зоммерфельда заменой "половинки"на поправку, зависящую от периодического потенциала. В работе В.С.Буслаева [4] дана геометрическая трактовка этой поправки, представляющей из себя параллельный перенос вдоль фазовой траектории некоторой канонической связности, впервые рассмотренной в работе [26] в связи с анализом квантовой адиабатической теоремы. Стандартная

1.5) ti трудность при построении старших порядков условий квантования возникает в связи с необходимостью регуляризации расходящихся фазовых интегралов. Приемы, позволяющие эту проблему решить, рассмотрены в работах [8], [23], [27].

В диссертационной работе уравнение (1.1) рассматривается при следующих предположениях: А(£) - замкнутый линейный оператор в X, определенный на плотном множестве при 4 6 А, спектр ст(£) оператор А({) состоит из двух компонент: таких что

1. длзЬ (о-о^),^)) > 8 > 0, te А,

2. инвариантное подпространство Х0, отвечающее компоненте спектра <70(£)> двумерно, сИтХо = 2,

3. компонента <т0(£) образована двумя простыми собственными значениями к 1^) и /с2(£), которые совпадают либо в одной точке интервала А ^ , либо в двух точках ^ и интервала Д,

4.резольвента ИА^,Х) является гладкой функцией t.

При указанных предположениях определен гладкий по I спектральный проектор на Х0 по формуле

Со

С0 -замкнутый контур, окружающий компоненту спектра его(¿).

1.2

1.6)

Важным понятием, используемым в данной работе, является понятие спектральной модели. Мы определим его следуя работе [1]. Операторная функция M(t) : С2 —» С2 является спектральной моделью для AQ (t) = A(t)\Xo, если существует обратимый оператор W(t) : С2 —У X, такой что:

1. W(t), W~l (t) -гладкие функции переменной t,

2. W~lW = I&, WW-1 = PQ(t),

3. A(t)W(t) = W(t) [| trA0(t)I + M{t)].

Предполагается, что в случае параболической точки поворота оператор Aq(î) допускает спектральную модель (1.2), а в случае гиперболической пары точек поворота одну из двух следующих спектральных моделей:

- \ т) = с

-С -м * с у

Функция £(£) и параметр ц определяются формулами (1.4). и (1.5), а в случае эллиптической пары предполагается одна из следующих двух спектральных моделей

Ei(t) = -<C| "с " -м С здесь ((I) - снова гладкая монотонная функция, определяемая дифференциальным уравнением

12 = е(»2-С2), С(*1) = -/х,

2 ?

7Г J Н

Цель работы заключалась, во-первых в построении полных равномерных асимптотических разложений для решений уравнения (1.1), отвечающих инвариантному подпространству для случая параболической точки поворота, гиперболической и эллиптической пар точек поворота, и во-вторых, в построении условий квантования. При этом не предполагается, что две параболические точки поворота образующие гиперболическую или эллиптическую пару близки. Независимо от расстояния между ними, асимптотическое поведение решений описывается одними и теми же аналитическими конструкциями.

Основная идея используемого в работе подхода состоит в том, чтобы сравнить решение у{Ь) уравнения (1.1) с решением подходящего модельного уравнения ¿(¿): у(*,е) = Т(*,ф (1.9) ге^ = М{г)г. (1.10)

Сы>

Если модельное уравнение допускает явное решение, то вопрос о построении решений уравнения (1.1) сводится к вопросу о построении "сравнивающего" оператора Т{р). Заметим, что уравнение с "параболической" моделью разрешимо в терминах функций Эйри, с "гиперболическими" и "эллиптическими" моделями - в терминах функций параболического цилиндра. Этот прием, является обобщением приема "эталонного" уравнения, исследованного в работах [7], [23].

Оператор Т = Т(е, ¿) должен удовлетворять уравнению йТ ге— = АТ-ТМ. (1.11) л/Ъ

Таким образом, вопрос о построении решений уравнения (1.11) является центральным для проводимого в диссертации исследования. Для построения решений этого уравнения в виде формальных асимптотических разложений по степеням малого параметра е реализуются адцитивная (глава 3) и мультипликативная (глава4) итерационные процедуры. Аддитивная процедура рассмотрена на примере ситуаций параболической точки поворота и гиперболической пары, мультипликативная - на примере ситуации эллиптической пары.

С точки зрения аддитивной техники построения оператора Т, параболическая точка поворота оказывается похожей на сингулярную точку дифференциального уравнения, когда только одно решение оказывается гладким, а все остальные линейно независимые решения сингулярны. Таким образом в случае, когда интервал Д содержит одну параболическую точку поворота, мы получаем однопараметрическое семейство решений уравнения (1.11) в виде формальных асимптотических рядов. Предъявляются формулы для членов этого ряда во всех порядках и доказывается гладкость полученного решения. В работе сформулирована и доказана соответствующая теорема.

Старший порядок построенного оператора Т имеет вид

В случае гиперболической пары точек поворота, мы приходим к граничной задаче, поэтому "гиперболические" модельные операторы следует снабдить формальным спектральным параметром, см. [8]:

Т0 = \У(а01 + Ь0и)

Я1;2 + геЛ<Т1,2, А = ^ ФГ V п> О

Это следует сделать так, чтобы модедьные уравнения с модифицированными модельными операторами оставались явно разрешимыми, хотя бы их решения и стали формальными объектами. Значения параметра Л находятся из условия гладкости оператора Т в обеих точках поворота, составляющих гиперболическую пару, одновременно. При таком выборе параметра также возникает однопараметрическое семейство решений уравнения (1.11) в виде формальных асимптотических рядов. Предъявляются формулы для членов этого ряда во всех порядках и доказывается гладкость полученного решения. В работе сформулирована и доказана соответствующая теорема.

Старший порядок построенного оператора Т имеет вид

Ситуация эллиптической пары точек поворота допускает обработку теми же приемами, что и гиперболическая пара. Вводимый при этом в рассмотрение формальный спектральный параметр, вообще говоря, приведет нас к условиям квантования, но сопутствующие вычисления оказываются технически громоздкими, а конечный результат не имеет ясного геометрического смысла. Поэтому, для построения асимптотики решений уравнения (1.1) в этой ситуации, предлагается иная итерационная

То = УГ(ао1 + ЪоН1г),

Ао =

1 ¿г (УУ^Ш'Н^) ¿с I процедура построения оператора Т. Как и раньше, решение исходного уравнения ищется в виде е) - решение некоторого модельного уравнения а у'

Препишем уравнение (1.11) с оператором Е в виде

ТЕ = [А - геТ'Т'1) Т. (1.12)

В процессе решения уравнения (1.12) мы ищем не только оператор Т, но и оператор Е. Уравнению (1.12) отвечает рекуррентная процедура

ТпЕп = (А- ¿еГ'^ТЛ-х) Тп. (1.13)

Оператор Т строится как возмущение оператора \¥ из определения спектральной модели согласно мультипликативной схеме

Тп = (I + №пСп) Тп1, То = IV. (1.14)

На каждом шаге рекуррентной процедуры выделяется двумерное инвариантное подпространство оператора, фигурирующего в правой части (1.13) и строится его спектральная модель Еп = Еп((п, ¡лп) на выделенном подпространстве , Еп имеет такую же структуру как Е (1.8), меняются только значения параметров. Построенный согласно (1.13) оператор Тп обладает свойствами

Тп Тп — 1с2 ■> ТпТп = Рп, 15

Рп - проектор на двумерное инвариантноеное подпространство оператора (А - геТ'п1Т1п1). В работе исследуется корректность предложенной рекуррентной схемы, предъявляются формулы для вычисления всех членов мультипликативного ряда (1.14) и обсуждается гладкость полученного решения.

Модельное уравнение с оператором Еп разрешимо явно в терминах функций параболического цилиндра и имеет решения, локализованные в фазовом пространстве, при выполнении условия которое и является, фактически, искомым условием квантования, ¿ш и ¿2дг -корни функции сШ Еп. В работе выписаны явно выражения в первом и втором порядке по е. При осуществлении предложенной процедуры не возникает вопросов связанных с регуляризацией фазовых интегралов, необходимость в которой составляет основную сложность в аналогичных квазиклассических задачах.

Цель работы Целью диссертации является:

1) принципиальное решение вопросов, связанных с построением равномерных асимптотических разложений для решений уравнения, описывающего общую адиабатическую систему, на интервалах, содержащих точки поворота;

2) предложение новой, мультипликативной процедуры, для построения

1.3 указанных асимптотических разложений и вывода условий квантования. Научная новизна В работе получены следующие новые результаты:

1) построены и детально изучены высшие приближения асимптотических формальных разложений для решений уравнения, описывающего общую адиабатическую систему, для случая параболической точки поворота, а также гиперболической и эллиптической пар точек поворота;

2) предложена новая мультипликативная процедура построения асимптотических формальных разложений решений этого уравнения;

3) построены и детально изучены формальные разложения для указанных решений в случае эллиптической пары с применением мультипликативной процедуры;

4) построены условия квантования для указанного уравнения во всех порядках.

Теоретическая и практическая ценность Работа носит теоретический характер. Ее результаты приложимы к широкому классу задач, возникающих как в математической, так и теоретической физике. Например, к задачам, возникающим в квантовой механике при изучении кристаллов, помещенных во внешнее поле.

Глава 2

Спектральные модели и модельные уравнения.

В этой главе даны точные определения исследуемых точек поворота, подробное описание соответствующих спектральных моделей и показано, что модельные уравнения являются явно решаемыми.

1. V.Buslaev, A. Grigis, "Turning points",Prepublications Mathemetiques de l'Universite Paris-Nord, 1988, 98-21, P.l-53.

2. V.Buslaev, A. Grigis, "Imaginary parts of Stark-Wannier resonances", J.of Math.Phys., 39, N5, 1998.

3. B.C. Буслаев, "Адиабатическое возмущение периодического потенциала", Теор. и Матем. Физика, Т.58, N2, 1984, стр.223-243.

4. B.C. Буслаев, "Квазиклассическое приближение для уравнений с периодическим потенциалом", Успехи Мат.Наук, вып.42, N6, 1987.

5. B.C. Буслаев, JI.A. Дмитриева, "Адиабатическое возмущение периодического потенциала II", Теор. и Матем. Физика, Т.73, N3, 1987, стр.430-442.

6. B.C. Буслаев, JI.A. Дмитриева, "Блоховский электрон во внешнем поле", Алгебра и анализ, Т.1, N2, 1989, стр.1-29.

7. W. Wasov, "Linear turning point theory ", Springer-Verlag, BerlinHeidelberg- New-York, 1985.

8. B.C. Булдырев, С.Ю. Славянов, "Регуляризация фазовых интегралов возле вершины барьера", Проблемы математической физики, Ленинградский Унив., N10, (под ред. М.Ш. Бирмана), 1982, стр.5070.

9. Ю.Далецкий, М.Г. Крейн, "Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховых пространствах", М: Наука, 1970.

10. A. Martinez, G.Nenciu, "On Adiabatic reduction Theory", Adv. and Appl., 78, 1995, P.243-252.

11. С.Г. Крейн, "Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве", М: Наука, 1967.

12. М.В. Федорюк, "Асимптотические методы для линейных обыкновенных диффененциальных уравнений", М: Наука, 1983.

13. J.K. Guillot, J. Ralston, Е. Trubovitz, "Semiclassical asymptotics in solid state physics, Commun. Math. PhyS., 80, 1988, P.401-415.

14. Т. Като, 'Теория возмущений линейных операторов", М: Мир, 1972.

15. J.E. Avron, R. Seiler, L.G. Jaffe, "Adiabatic theorems and Applications to quantum Hall effect, Commun. Math. Phys., 136, 1987, P.33-49.

16. V.Buslaev, A. Grigis, "Turning points for adiabatically perturbed periodic equations", Preprint Univerrite Paris 13, 11, 1999

17. T.M. Cherry, "Uniform asymptotic formulae for functions with transition points", Trans. Amer. Math. Soc., 68, 1950, P.224-257.

18. F. Olver, "Asymptotics and special functions", New York, Academic Press, 1974.

19. A. Nenciu, G. Nenciu, "Dynamics of Bloch electrons in external electric field", J.Phys., A, 1981, V.14, N10, P.2817-2827.

20. G. A. Hagedorn, "Proof of the Landau-Zener formula in an adiabatic limit with small eigenvalue gaps, Commun. Math. Phys., 136, 1991, P.433-449.

21. B. Helffer, J. Sjostrand, "Semiclassical analysis for Harper's equation III. Cantor structure of the spectrum", Mem. de la Soc. Math, de France, N39, Suppl. au Bull, de la SMF, 117, N4, 1989, P.l-124.

22. V.l. Arnold, "Geometrical methods in the theory of ordinary differential equations", Springer-Verlag, New-York, Berlin, 1988.

23. С.Ю. Славянов "Асимптотика решений для однородного уравнения Шредингера",Изд-во ЛГУ, 1990.

24. V.S. Buslaev "On spectral properties oof adiabatically perturbed Schredinger operators with periodic potential", Seminare EDP, Ecole Polytechnique, 1990-91, 23

25. Ю.Далецкий, M.Г. Крейн," Некоторые результаты и проблемы теории устойчивости и асимптотического поведения решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве". Труды V меж-дунородной конференции по нелинейным колебаниям, Киев, 1969.

26. M.V. Berry, "Quantum phase factors accompanied adiabatic transformations", Phys. Roy. Soc. London, V.A392, 1984, P.24-5T.

27. F. Fefferman, A. Seco, "Eigenvalues and eigenfunctions of Ordinary Differential equations", Adv. in Math., V.95, N2, 1992.

28. Справочник по специальным функциям (под ред. М. Абрамович и И. Стиган), М: Наука, 1979.

29. В. Helffer, R. Robert, "Asymptotique des niveaux d'energre pour des hamiltoniens a un degre de liberte", Duke Math. J., V.49, N4, 1982.

30. E.A. Гринина, "Решение операторного уравнения iedy/dt = A(t)y на интервалах содержащих точки поворота", Теор. и матем. физика, 2000г., т. 122, N3, стр. 357-351.

31. Е.А. Гринина, "Условия квантования для уравнения iedy/dt = A(t)y", Вестник СПбГУ, Сер.4, 2000г., вып.З, N20, стр. 153-155.