Аппроксимация линейными комбинациями экспонент с ограничениями на коэффициенты тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

с 'г4 ~

' ■ Р0ССШ1СКЛЯ АКАДЕМИЯ НАУК УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ С ВЦ

Па правах рукоппеп

ШИЛОВА Галина Николаевна

АППРОКСИМАЦИЯ ЛИНЕЙНЫМИ КОМБИНАЦИЯМИ ЭКСПОНЕНТ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ НА КОЭФФИЦИЕНТЫ

(01.01.01 — математический анализ)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации па соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Уфа 1992

Работа выполнена в Московском государственном педагогическом институте им. В. И. Ленина.

II а у ч н ы и р у к о в о д и т с л ь:

доктор физико-математических наук, профессор И. Ф. КРАСИЧКОВ-ТЕРИОВСКИЙ

О фн ц н альпыс оппонент ы:

доктор физико-математических наук, профессор А. М. СЕДЛЕЦКИЙ

кандидат физико-математических наук Б. II. ХАБИБУЛЛИН

Ведущая организация — Фпзнко-технцческнй институт низких температур УАН.

Защита состоится «..^..9..»............1992 г. в ча-

сов па заседании Специализированного совета К 003.59.01 но присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Институте математики с ВЦ Уральского отделения РАИ (450000, Уфа, ул. Чернышевского, 112).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики с ВЦ.

Автореферат разослан г.

Ученый секретарь Специализированного совета кандидат физико-математических наук А. Б. СЕКЕРИН

ОЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТУ

Актуальность теш. В диссертации рассмотрены некоторые вопросы теории аппроксимация, учитывающей коэффициенты аппроксимирующих агрегатов. Начало этому новому направлению положили работы Дейвиса и Ки-Фана и С.Я.Хавинсона в 1957-1961 гг. В них был изложен общий подход к решению задач аппроксимации с учётом коэффициентов. Дальнейшее развитие этого направления было дано в^ работах С.Я.Хавинсона, В.И.Гурария и М.А.Мелетщш, О.А.Мурадян, В.В.Напалкова, И.Ф.Красичкова - Терновского. Перечисленные авторы рассматривали вопросы полноты с учётом коэффициентов конкретных систем в конкретных пространствах. При этом случай, когда аппроксимация ведётся линейными комбинациями экспонент на компактах с непустой внутренностью, фактически остался мало исследованным.

Целью работы является исследование полноты система экспонент, учитывающей коэффициенты аппроксимирующих агрегатов, на выпуклых компактах с непустой внутренностью.

Методы исследования. Основным методом диссертационной работы является исследование абсолютной полноты системы на выпуклых компактах с помощью критерия абсолютной полноты в банаховом пространствах. Используются также классические методы функционального анализа и теории целых функций.

Научная новизна. В работе получены следующие новые результаты:

1. Доказана теорема о делителях целых функций целого порядка.

2. Получено достаточное условие абсолютной полноты системы экспонент на выпуклых компактах с непустой внутренностью.

Все основные результаты диссертации являются новыми и получены автором самостоятельно.

Практическая и теоретическая ценность. Диссертационная работа ноевд теоретический характер. Её результаты и методы могут быть использованы в дальнейших работах по вопросам аппроксимации, учитывающей коэффициенты аппроксимирующих агрегатов. Результаты диссертации могут также составить содержа- 3 -

ние специального курса для студентов-математиков в университетах и педагогических институтах.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинаре в МОГИ ( г.Москва, 1989г.) , на семинаре под руководством С.Я.Хавинсона в МИСИ ( г.Москва,

1990 г.) , на Герценовских чтениях (г.Ленинград, 1990 г.,

1991 г.) , на семинаре в Институте математики с ВЦ Башкирского НЦ Уральского отделения АН СССР (г.Уфа, 1991 г. ) .

Публикации. Содержание диссертационной работы полностью опубликовано в трёх статьях, список которых приводится в конце автореферата.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения и двух глав. Объём диссертация 79 страниц, список ' литературы содержит 22 наименования.

КРАТКОЕ СОДЕШНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении даётся краткий обзор предшествующих результатов, относящихся к теме исследования, обосновываётся актуальность исследования и приводятся основные результаты, полученные в диссертации.

Диссертация посвящена исследованию полноты системы экспонент t х«г I

{ е )

на компактах комплексной плоскости с учётом коэффициентов аппроксимирующих линейных агрегатов.

Пусть К - компакт в С , А(К) - нормированное пространство функций, аналитических внутри компакта К и непрерывных вплоть до его границы, А = {. Хк } - произвольная последовательность точек в комплексной плоскости, { Мк } последовательность положительных чисел. Норма в пространстве определяется обычным образом 1411= sap i^teM .

Система

i е /Мк} (I)

называется абсолютно полной в А (К) , если любую функцию

^ б. А (К) можно аппроксимировать по норме А (К} конечными линейными комбинациями вида

L

«К е

Мк

где

I к 1 ^ С- -)- > зависит только от

В работе И.Ф.Красичкова - Терновского* получено геометрическое условие абсолютной полноты системы (I) в случае, когда К = 1 а, 6 3 .

Следует отметить, что абсолютная полнота системы С I } равносильна У^н - полноте, т.е. возможности аппроксимировать любую функцию ^ А (К) конечными линейными комбинациями вида

L

ХкН

ск е.

с оценками коэффициентов I С^ , где Мк= -^г- • ^

зависит только от -т к

?

В работе Хавинсона - Мурадян было сформулировано точное условие полноты система ^ "1* } , Уь = 0,1,... в

пространстве С Ч0,43 . Критерий абсолютной полноты системы ( I) в пространстве С , полученный И.Ф.Красичко-вым - Терновским, можно рассматривать как развитие результата Хавинсона - Мурадян^.

В диссертации исследуется абсолютная полнота системы ( I ) в пространстве А (К) для компакта К с непустой внутренностью.

В I главе диссертационной работы рассматриваются целые функции целого порядка § , множество нулей которых имеет угловута плотность.

^Красичков - Терновский И.Ф. Об абсолютной полноте системы экспонент на интервале // Мат. сб.- 1986, т. 131, .'s 3, с.ЗСЭ-322.

о

"Мурадян O.A., Хавинсон С.Я. О величинах коэффициентов многочленов в аппроксимационной теореме Вейерштрасса // Матем. заметки,- 1977, т.22, !Ь 2, с.269-276.

{

Пусть $ - одна из таких функций. Вообще говоря, f не является целой функцией вполне регулярного роста. Теорема I.I первой главы утверждает, что существует целая функция fr с нулевой плотностью нулей такая, что отношение J- / fy имеет вполне регулярный рост при порядке

Во 2 главе рассматривается абсолютная полнота системы (I) в пространстве А (К) .

Отметим вначале, что последовательность {Мк^ можно представить как множество значений положительной функции М(Х) , заданной на A=tXKi . Таким образом, Мкс MfAn) » и система ( I) принимает вдц

еЛк* 1 MCxö)

В § Г второй главы вводятся определения и обозначения, необходимые для того, чтобы сформулировать основной результат.

Будем говорить, что последовательность Г= { ¿'к] вполне сгущается в направлении Q , если выполняются следующие два условия:

i) fr к* 0 при к-» »о ,

г) ,

где С" - длина проекции компакта К на прямую, перпендикулярную лучу алф г.* - 9 ; Ol С Г) - минимальная плотность (_ по Пойа ) последовательности

Далее, 0 - направление полного сгущения последовательности А , если существует подпоследовательность А' с. А , вполне сгущающаяся в направлении 9 ; S ® - множество всех подпоследовательностей А С- А , вполне сгущающихся в направлении 6 . Для А' Sq обозначим

U (6).' = W '

НЛ' ^ |Хк1

ХкСЛ'

Н (9) * inj { ил. (в): л'е 5в) •

Если о © пусто, полагаем Н (6)= .

Функцию Н(9) , 0 6 ЛЗь , будем называть индикатором существенного роста, а замкнутое выпуклое множество

э = п ^ I 2.: Ре*^'10 бН(в)1г

диаграммой существенного роста функции М (X) .

Пусть - число точек последовательности А з

круге . Полагаем Й^СЬ)51 М^М . если И.2(-Ь)>0 и

К-а. (Ь-) =0 , если ^¡»О^О.

Величину £12-1

г ~ .

I (А) = -еТ^ 4 0 . : ■.

будем называть индексом концентрация последовательности А Последовательность А имеет нулевую концентрацию, если . X (А.-) = О .

Теперь мы можем сформулировать основной результат второй главы.

Теорема. Пусть К - выпуклый компакт в 'С- , не вырождающийся в отрезок. А=4\к} - произвольная последовательность точек, в комплексной плоскости с нулевой концентрацией, ^Мк1; = ^МСАк'Л - последовательность положительных чисел. _ ,

Если Т) П 7) К® Ф , где _Х) - диаграмма существенного роста функции

ММ ,

к а { г: а ек ^ - компакт, сопряжённый с К , то система ( 2 ) абсолютно полна в АСЮ .

Во втором параграфе второй главы предлагаются вспомогательные утверждения, которые необходимы для доказательства основного результата. Сформулируем эти утверждения.

Лемма I. Пусть ¿(ал - целая функция вполне регулярного роста с простыми нулями. А= - последовательность нулей функции $ и I (А") = О . .

Тогда

Ц9к)1Хк1- оОХкО,

где б к - , К (9) - индикатор функции

При доказательстве этого факта используется "скользящая" формула Иенсена и субгармоничность функций I С.2--) \ и а (2.)= КСО) (е=<л}г).

Лемма 2. Пусть ф - целая функция экспоненциального типа, у которой сопряжённая индикаторная диаграмма лежит внутри полосы

А - 1 - последовательность точек, удовлетворяющая

следующим трём условиям:

1) олу Хк -» в при К & ) у< о^ ЭС

з) I С А.) = О

Тогда

1Хк|

«

Доказательство этого факта основано на построении для функции Ф (X4) интерполяционного ряда Лагранжа^.

§ 3 второй главы содержит доказательство основной теоремы. Оно'основано на критерии абсолютной полноты в банаховом пространстве, полученном И.Ф. Красичковым - Терновским^. . Применительно к нашему случаю критерий имеет следующий

вид:

^Левин Б.Я. Распределение корней целых функций.- М.: Гостех-издат, 1956.

Для того чтобы система (.2) была абсолютно полна в пространстве ДСК) . необходимо и достаточно, чтобы ,

5ар{№ К

<«о

Здесь $ обозначает линейный непрерывный функционал на А С К) .

При доказательстве основной теоремы используется также теорема 1.1 первой главы.

В конце третьего параграфа приводится контрпример, показывающий, что условие Т) Л Ъ К - ф является существенным, т.е. при нарушении этого условия утверждение, теоремы, вообще говоря, неверно.

В § 4 второй главы рассматривается применение основной теоремы к ряду конкретных случаев. Рассмотрим первый случай.

Пусть Лг 1-^к} - последовательность положительных чисел такая, что

т\ -ее = е- .

2) I (Л>0 .

Пусть далее, (Мк^^М)1- последовательность положительных чисел, для которой

„. -г^м(Хк) . -г- = А

^ оо А к

Условие абсолютной полноты в этом случав будет выглядеть следующим образом:

Если компакт К летит одновременно внутри горизонтальной полосы шириной А б" ив полуплоскости йе 2: > Л , то система

I ^ I '

I Мк )

абсолютно полна в пространстве А (К) ,

В случав, когда Д = - 00 , имеем результат, полученный В.В.Напалковым^.

В диссертационной работе рассматриваются также случай, когда последовательность -Л- сгущается в двух направле ниях: О и Эй , и случай, когда последовательность Л. сгущается в трёх направлениях, не лежащих в одной полуплоскости.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Шилова Г.Н. Теорема о делителях целых функций конечного порядка // Матем. заметки,- 1990, т.48, № , с.128-136.

2. Шилова Г.Н. Об 'абсолютной полноте системы экспонент на выпуклых компактах // В сб. научных трудов " Многомерный комплексный анализ", с.127-146. Рукопись деп. в ВИНИТИ 28.12.1989, № 7714-В89. '

3. Шилова Г. II.. Абсолютная полнота системы экспонент на выпуклых компактах //Научно - методическая конференция препо-дователей математических кафедр, посвященная 75-летию КГОИ. Тезисы докладов и сообщений,- Киров, 1990.

4Напалков В.В. Аппроксимация функций многих переменных с учётом роста коэффициентов аппроксимирующих агрегатов // Матем. .сб.- 1980, т.Ш, № I, с.144-156.

-Ю -