Базисы из экспонент в весовых пространствах на конечном интервале тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. Ломоносова

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи УДК 517.982.254

4845932

Пухов Станислав Сергеевич

БАЗИСЫ ИЗ ЭКСПОНЕНТ В ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ НА КОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ

01.01.01. — вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва, 2011

1 2 МАЙ 2011

4845932

Работа выполнена на кафедре математического анализа механико-математического факультета Московского Государственного Университета имени М. В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Седлецкий Анатолий Мечиславович.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Гольдман Михаил Львович;

кандидат физико-математических наук,

доцент

Садовничая Инна Викторовна-

Ведущая организация: Московский Энергетический Институт

(Технический Университет).

Защита диссертации состоится 20 мая 2011 г. в 16 час. 40 мин. на заседании диссертационного совета Д 501.001.85 при Московском Государственном Университете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, д.1, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 20 апреля 2011 г.

Учёный секретарь диссертационного совета Д501.001.85 при МГУ, доктор физико-математических наук, профессор

В.Н. Сорокин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы

Исследования отличных от тригонометрического базисов из экспонент

(еа»<)~0> еС, |А„+1| > |А„|,

в функциональных пространствах на конечном интервале берут своё начало в 1930-х гг. в работе Р.Пэли и Н.Винера1, где данная система рассматривалась как базис Рисса в L2(—ж,ж). В дальнейшем такие базисы, а также более общие

е(А) = (е'Ч ieÉ4..., о/ Л = (ЛП1 тп»)^,

m„GN, А„ € С, |An+il^|Xnj, U

рассматривались различными исследователями в пространствах 1/(—а, а) при произвольном р S (1, +00), в соболевских пространствах, в лебеговых пространствах, снабжённых: весом, и т.п. Вопрос базисности систем экспонент тесно связан с другими вопросами теории аппроксимации — проблемами полноты, минимальности, наличия базиса суммирования и т.д., и в целом эта посвященная системам экспонент теория была названа негармоническим анализом (в отличие от анализа гармонического, изучающего исключительно свойства тригонометрической системы (emi), п G Z). Существенный вклад в её развитие внесли Н. Левинсон, JI. Шварц, Ж.-П. Ка-хан, А. Бьёрлинг и П. Мальявен, П. Кусис, Б. Я. Левин, А. Ф. Леонтьев, Р. Редхёффер, Р. Янг, Б. С. Павлов, А. М. Седлецкий, Н. К. Никольский, C.B. Хрущёв, A.M. Минкин, В.А. Ильин, Е.И. Моисеев и многие другие математики.

Пэли и Винер рассматривали базисы Рисса в L2(—ж, ж) вида

(еи»<), л„ е С, nez, (2)

как возмущение тригонометрической системы, т. е. при определённой близости точек А„ к целым n, а именно, при условии sup |А„—п\ < 1/ж2,\п € Ж. В этом направлении окончательный результат получил М. И. Кадец2: если

sup|A„-n|<i, А„еК,

то система (2) образует базис Рисса в L2(—ж, ж), причём постоянная 1/4 точная.

*Paley R., Wiener N. Fourier transforms in the complex domain. — New York: Publ. Amer. Math. Soc., 1934.

2Кадец M. И. Точное значение постоянной Палея-Винера // Докл. АН СССР. — 1964. — Т. 155. — С. 1253-1254.

Вопрос о критерии базиса Рисса вида (2) в L2(—п,тг) требовал достаточно общего подхода к изучению систем экспонент. Важной вехой здесь явились работы Б. Я. Левина3, предложившего задавать условия на последовательность (А„) в терминах т. н. порождающей функции. Приведём определение этого понятия сразу для системы (1).

Целая функция экспоненциального типа называется порождающей функцией системы (1) на интервале (—а, а), если

1) множество её нулей совпадает с {А„},

2) каждый нуль Ап имеет кратность тп и

3) индикатор функции равен а| sinв\.

Напомним, что по определению целая функция L(z) имеет экспоненциальный тип, если

Ш > О : \L(z)\ < exp(M|z|), \z\ > const,

а индикатором такой функции называется величина

где р — порядок функции L(z).

В работах Левина и В. Д. Головина4 в качестве порождающей выступала функция, получившая название функции типа синуса. Это целая функция, удовлетворяющая условию

Cie°lIrazl < \L(z)\ < С2еа'1шг|, СиС2 >0, | lmz\ > canst.

Последовательность Л называется отделимой, если

inf |А„ - Ат| > 0.

nfm

Левиным доказано, что если порождающая функция системы е(Л) является функцией типа синуса и последовательность Л отделима, то система образует базис L2(-a, а). Головин же дополнил этот результат, доказав наличие базиса Рисса в этом случае.

Стоит отметить5, что отделимость последовательности Л, а также (для последовательности, лежащей в горизонтальной полосе | Im z\ ^ h) условие supm„ < +оо необходимы для базиса системы е(Л).

3Левин Б. Я. О базисах показательных функций в 1? // Записки матем. отд. физ.-мат. фак-та ХГУ и ХМО, сер. 4. — 1961. — Т.27. — С. 39-48; Левин Б. Я. Интерполяция целыми функциями экспоненциального типа // Матем. физика и функц. анализ, ФТИНТ АН УССР. — 1969. — Вып. 1 — С. 136-146.

4Головин В. Д. О биортогональных разложениях в I? по линейным комбинациям показательных функций // Записки мех.-мат. фак. ХГУ и ХМО, сер. 4. - 1964. — Т. 30. — С. 18-29.

5Седлещшй A. M. Классы аналитических преобразований Фурье и экспоненциальные аппроксимации. - Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2005. Гл.6.

Критерий базиса из экспонент для случая последовательности Л, лежащей в горизонтальной полосе, был найден Б. С. Павловым6 в 1979 г. Говорят, что неотрицательная функция д(х) удовлетворяет Ар- условию, 1 < р < оо, если

Будем в этом случае писать д(х) G Ар.

Теорема А (Павлов). Пусть последовательность (А„) отделима и для некоторого h G М+ и всех тг верно ( Im А„| Тогда система (2) образует базис Рисса в L2(—a, а) тогда и только тогда, когда

3H>h: \L(x + iH)\2 € Л2, где L(z) — порождающая функция системы (2).

Если отказаться от требования принадлежности точек \п горизонтальной полосе, то £2-нормы экспонент системы (2) станут неограниченными в совокупности, и понятие базиса Рисса в постановке задачи следует заменить на понятие безусловного базиса (система (еп) называется безусловным базисом гильбертова пространства, если система (еп/||е„||) образует в нём базис Рисса). Для случая, когда точки А„ лежат в полуплоскости Im z ^ h > —оо, необходимое и достаточное условие безусловного базиса вида (2) вскоре нашли Н. К. Никольский, С. В. Хрущёв и Б. С. Павлов7. Общий случай рассмотрел А. М. Минкин8 в 1991 г.: к условиям и отделимости (Ап) в теореме А добавляется т. н. условие Карлесона, накладываемое на последовательности Л± = (А„ е Л : Im An ^ 0).

Случай пространств LP(—a, а),рф 2, требовал новых подходов, и вплоть до 1970-х гг. соответствующих результатов не было. Продвижение в этом направлении достигнуто благодаря работам А. М. Седлецкого. Мы приведём те его результаты, которые наиболее тесно связаны с представленными в диссертации теоремами. Прежде, однако, заметим, что при переходе от

L2

к другим функциональным пространствам теряется понятие базиса Рисса. Некоторой его заменой для систем экспонент служит т. н. свойство Рисса, а именно ограниченность в норме рассматриваемого пространства оператора

(m„-l \ /т„-1 \

Е (Е^К"-

3=0 / ReA„>0 \ j—0 }

6Павлов Б. С. Базпсность системы экспонент и условие Макенхоупта // Докл. АН СССР. — 1979. — Т. 247. — С. 37-40.

'Hruïcev S.V., Nikolskii N.K. and Pavlov В. S. Unconditional bases of exponentiates and reproducing kernels // Lect. Notes Math. - 1981. - V.864. - P. 214-235.

8Мишащ A. M. Отражение показателей и безусловные базисы из экспонент // Алгебра и анализ. — 1991. - Т. 3, »5. - С. 109-134.

Это определение инициировано теоремой М. Рисса о сопряжённом ряде Фурье, согласно которой тригонометрический базис обладает этим свойством в 1?{-тг, 7г), 1 < р < оо.

Следующая теорема9 является расширением достаточной части теоремы Павлова.

Теорема В. Пусть 1 < р < 2, последовательность Л отделима и сосредоточена в горизонтальной полосе | Im z] ^ h, а также supтп < +оо. Тогда если порождающая функция системы (1) при некотором H > h удовлетворяет условию \L{x + iH)\p S Ар, то эта система образует базис L?(—a, а) со свойством Рисса.

Зачастую рассматривают порождающие функции, являющиеся преобразованием Фурье-Стилтьеса финитной меры:

а

L(z) = Jeiztda(t), vara < оо.

—a

В этом случае система (2) выступает как система собственных функций оператора дифференцирования D(y) = —iy' с "размазанным" краевым условием

а

Jy(t)d cr(t) — 0, vare <00

—о

(а система (1) может рассматриваться как система собственных и присоединённых функций). С этой точки зрения системы экспонент изучали С. Вер-блюнский, А. П. Хромов, В. А. Молоденков и др.

Теорема С. Пусть9 1 < р < оо и последовательность А нулей функции

а

L(z) = Jeiztda(t), vara < оо, ст(±а) ф ег(±а Т 0), (3)

—а

отделима. Тогда система (1) образует базис Lp(—а,а) со свойством Рисса.

Теорема D. Пусть101 < р < оо, оА — последовательность нулей функции вида

а

L(z) = [ еы dt, var k(t) < оо, к(±атО) ¿O, О < Re/? < 1. (4)

J \a~ 1чг

—о

9Седлецкий A. M. Бворгогональные разложения в ряды экспонент на интервалах вещественной оси // Успехи матем. наук. — 1982. — Т.57, №5. — С.51-95.

10Седлецкий A.M. Базисы из экспонент в пространствах £"(—тг,тг) // Матем. заметки. — 2002. —

Т. 72, №3. - С. 418-432.

Тогда при 1 — Re/3 < l/p система е(Л) образует базис со свойством Рисса в пространстве 1/(—а,а), а при 1 — Re/3 > 1/р для всякого н $ Л уже система е(Л) U {elxt} образует базис со свойством Рисса в L"(—a, а).

Случай порождающей функции вида (4) интересен в частности тем, что под него при некоторых Д подпадает система

(ei(n+Arignn)tj+«_ж t д ç а (5)

С системами (5) связаны системы синусов и косинусов

(sin (n + A)t)^, lu(cos( n + A)i)~!, (б)

первая из которых при А = —1/4 является системой собственных функций задачи Штурма-Лиувилля для уравнения Лаврентьева-Вицадзе со специальными краевыми условиями11.

Для систем (5) и (б) с вещественными Д Е. И. Моисеевым12 даны критерии базиса соответственно в пространствах LP(—7г,7г) и .У(0,7г), обобщённые Г. Г. Девдариани13 на комплексные Д. Результат Девдариани состоит в том, что критерием базиса экспонент, синусов или косинусов является условие

1 1 TÏ Л 1 1 _ -р. . 1 1 1 _ . 1 1

-— - < ReД < —- , —-l<ReA< — или -—- < ReД <—(--2р 2 2р 2р 2р 2р 2 2р 2

соответственно.

В последнее время проявляется интерес к базисам из экспонент в весовых пространствах. Это пространства 1/(1, u(t) dt) (где вес uj(t) — измеримая, почти всюду положительная функция на конечном интервале I С К), состоящих из определённых на интервале I измеримых функций с конечной нормой

ИЛ1 = (/|Я«)1М*)<й^ 1 ^р<оо.

Естественно, что первой была исследована тригонометрическая система: в 1973 г. Хант, Макенхаут и Виден14 установили, что она образует базис пространства Lp((—тг, 7г), w(i) dt), 1 < р < оо, в том и только в том случае,

"Пономарев С. М. К теории краевых задач для уравнений смешанного типа в трёхмерной области // Докл. АН СССР. — 1979. — Т. 246. — С. 1303-1305; Пономарев C.M. Об одной задаче на собственные значения // Докл. АН СССР. — 1979. - Т. 249. - С. 2068 - 2070.

"Моисеев Е. И. О базисности систем синусов и косинусов // Докл. АН СССР. — 1984. — Т. 275 — С. 794 - 798.

13Девдариани Г. Г. Базисность некоторых специальных систем собственных функций несамосопряжённых дифференциальных операторов. — Автореф. дисс. ... канд. физ-мат. наук. — Москва: МГУ, 1986.

"Hunt R. A., Muckenhoupt В. and Wheeden R. L. Weighted norm inequalities for the conjugate function and Hilbert transform // Trans, of Amer. Math. Soc. — 1973. — V. 176. — P. 227-251.

когда периодически продолженный вес ui(t) удовлетворяет Ар- условию. Что же до систем экспонент общего вида, то здесь рассматривались только веса, состоящие из произведения конечного числа степеней. А. Буавеном и А. М. Седлецким15 рассмотрены пространства

Цх = If((—a,a),wQ(t)dt)

с весом

S

wa(i)=JJ|i-bj\a, 2^s<oo, —a— bi <. ..<bs= a, 0^a<p~l (7) i=i

и доказаны две следующих теоремы, обобщающие теоремы С и В.

Теорема Е. Пусть 1 < р < оо и последовательность А нулей функции вида (3) отделима. Тогда система е(А) образует обладающий свойством Рисса базис пространства LPa.

Теорема F. Пусть 1 < р < со, а ^ р — 2, последовательность А отделима и сосредоточена в горизонтальной полосе |Ihiä| ^ h, а также sup тп < +оо. Тогда если порождающая функция системы е(А) при некотором Н > h удовлетворяет условию

|Цх + г'Я)|1+« €

то система е(А) образует обладающий свойством Рисса базис 1Ра.

Данная диссертационная работа посвящена базисам из экспонент в пространствах = JУ ((—а, a),ui(t) dt), 1 < р < оо, с более общим по сравнению с (7) весом

S

w(i) = JJ \t - bj\ai, 2 < s < оо, —a = b\<...<bs = a,

l (8) ai=a, = a, -1 < ai,... ,as < p - 1.

Так, ставится вопрос о расширении теорем Е и F на веса (8), разрешаемый соответственно в главах 3 и 4. Для веса вида

ii(t) = P\t - t0p(7T - t)Q, to e (0,7Г), -l<a,ß,i<p-l, 1<р<00

Моисеевым16 получен критерий базиса систем (6) в Lp((0,7r),u(i) di), заключающийся соответственно в условиях

—--1 < Re А < —-— и —--- < Re А < —---b-, (9)

2р 2р 2р 2 2р 2

15Boivin A., Sedletskii A.M. Bases of exponentiates in weighted V~spaces // Spectral and evolution problems, 14. - Proc. 14 Crimean Autumn Math. School -Symp., September 2003, Sevastopol, Laspi.-Simferopol, 2004. — P.41-43.

"Моисеев E. И. О базисноста систем синусов и косинусов // Докл. АН СССР. — 1984. — Т. 275 — С. 794 - 798.

Там же получен критерий

1 + а 1 2р 2

- < ИеД <

1 + а

2Р

(10)

базиса системы экспонент (5) в Ьр((—7Г, тт), и(|£|) йЬ).

А. М. Седлецким17 изучены системы (5) и (6) в пространствах с весом (7) при дополнительном условии а > р - 2 (по-прежнему 1 < р < со). Установлено, что система (5) при условии (10) образует базис пространства 1Р{{—тг,к),и!а^)<И), эквивалентный тригонометрическому базису при соответствии ешЬе1("+Дягпп)', пег. Система же синусов (косинусов) (6) при соответствующем условии (9) образует базис 1/'((0,тг),иза(1) <И), эквивалентный системе (вшпй)^ (1 и (соэ при соответствии

этпг <->бщ(п + Д)£, пе'М (1 ^ 1, совтгг ♦-> соэ(гг -Ь Д)^,

Напомним, что базисы называются эквивалентными при существовании ограниченного вместе с обратным оператора, переводящего эти базисы друг в друга. Утверждение об эквивалентности базисов также доказано для невесового случая. При Д £ 1 установлено, что достаточные условия (9) и (10) соответствующих базисов являются также необходимыми.

В данной работе в главе 2 получен критерий базиса систем (5) и (б) в пространствах с весом вида (8), а также доказана эквивалентность этих баг зисов соответствующим тригонометрическим. Полученные нами теоремы содержат все приведённые выше результаты.

В главе 1 исследован не поднимавшийся ранее вопрос о переносе теоремы С на весовой случай, причём опять же рассмотрен наиболее общий вес (8). Полученный результат является основой для исследования базисов (5) и (6) в главе 2.

Кроме того, в главе 4 приводится обобщение на случай веса (8) некоторых результатов о полноте систем экспонент, известных ранее для случая веса со всеми совпадающими показателями ах — ... = а3. Полученный результат также используется в главе 2.

Цель работы

Исследовать базисы из экспонент вида (1) при 1 < р < оо в пространствах (т. е. с весом вида (8)). А именно, найти достаточные условия базиса, если порождающая функция системы имеет вид (3) или (4) либо удовлетворяет Ар- условию. Установить критерии базиса систем (5) и (6) в весовых пространствах.

17Седлецкий А. М. Классы аналитических преобразований Фурье и экспоненциальные аппроксимаг ции. — Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2005. Гд.9.

Научная новизна

В диссертации получены следующие новые результаты:

• Найдено достаточное условие базиса системы экспонент, порождённой нулями функции (4), в пространстве 1 < р < оо.

• Получен критерий базиса системы (5) и систем в (6) соответственно в пространствах ¡/((-ir, тг), oj(t) dt) и V({0,7г), u(t) dt), 1 < р < ос.

• Найдено достаточное условие базиса системы экспонент, порождённой нулями функции (3), в пространстве ££, 1 < р < оо, и для определённого класса мер da получен критерий базиса.

• Найдено достаточное условие базиса в пространстве ££, 1 <р< оо, системы экспонент с порождающей функцией, удовлетворяющей Ар- условию.

• Получены достаточные условия полноты в весовых пространствах

1 < р < оо, системы (1) в терминах порождающей функции и системы (2) в терминах ограничения роста модулей Ап или их вещественных частей.

Методы исследования

В работе применяются методы функционального и комплексного анализа и теории аппроксимации.

Теоретическая и практическая ценность

Работа носит теоретический характер. Её результаты могут найти применение в дальнейших исследованиях по теории аппроксимации.

Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались

• на семинаре мех-мат. ф-та МГУ "Негармонический анализ" под руководством проф. A.M. Седлецкого (2008,2009,2010),

• на IX Казанской летней научной школе-конференции "Теория функций, её приложения и смежные вопросы" (Казань, 2009 г.),

• на XV Саратовской зимней школе "Современные проблемы теории функций и их приложения" (Саратов, 2010 г.),

• на конференции "Ломоносов-2010" (Москва, 2010 г.).

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в пяти работах автора. Из список приведён в конце автореферата. Работа [1] написана в соавторстве.

Структура и объём работы

Диссертация состоит из введения и четырёх глав, разбитых в общей сложности на 11 параграфов. Объём диссертации 68 страниц. Список литературы включает 26 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дан краткий обзор работ по теме диссертации, сформулированы рассматриваемые в диссертации задачи и изложены основные результаты.

В главе 1 речь идёт о случае, когда система экспонент порождается нулями функции вида (4). В параграфе 1 приведён ряд вспомогательных утверждений, используемых как в первой, так и в прочих главах. В параграфе 2 сформулирован и доказан основной результат главы 1. Здесь и далее под понимается вес вида (8).

Теорема 1.1. Пусть 1 < р < оо и порождающая функция системы е(Л) имеет вид (4)- Тогда:

1) при 1 — Ке/? < (1 + а)/р система е(Л) образует базис со свойством Рисса в пространстве 1Р{{—а, а), и)(4) в£),

2) при 1—Пе/3>(1+а)/р и при дополнительном условии к €1лр(1—11е /?) для всякого я ^ А система е(Л)и{е!^} образует базис со свойством Рисса в 1Р{{—а,

В главе 2 теорема 1.1 применяется для исследования систем (5) и (6). Параграф 1 посвящён первой из них и содержит следующую теорему.

Теорема 2.1. Пусть 1 < р < оо и в соотношениях (8) а = 7г. Тогда система (5) образует базис в пространстве 1/((—тг,тг),ш^)(И), 1 < р < оо, тогда и только тогда, когда верно (10). Базис (5) эквивалентен тригонометрическому при соответствии ет'<-> ^(»и-Д"*®»»)^ п£2.

В параграфе 2 исследуются системы (6), для которых наличие базиса описывает

Теорема 2.2. Пусть 1 < р < оо и в соотношениях (8) a = 7t. Тогда система синусов (косинусов) (6) образует базис пространства n),uj(t) dt) в том и только том случае, когда верно первое (второе) двойное неравенство (9). Этот базис эквивалентен базису (sinní)„eN пРи соответствии sinnt +-> sin(n+A)í, neN (базису lü(cosní)nEN при соответствии 1 *-> 1, cos ni <-» cos(n + A)t, n£N).

В главе 3 исследуется случай порождающей функции (3). В параграфе 1 приводятся формулировки результатов с кратким комментарием.

Теорема 3.1. Пусть 1 < р < оо и последовательность Л нулей функции (3) отделима. Если в весе (8) а ^ 0 и a¡ < a V? G 1, s, то система экспонент образует базис со свойством Рисса в LP{{—a,a),uj{t)dt).

В теоремах предыдущих глав на некрайние показатели веса не накладывалось дополнительных условий и наличие базиса зависело только от значения крайнего показателя а. В случае (3) имеет место другая ситуация: теорема Е не переносится автоматически на случай веса (8). Действительно, как показывает следующая теорема, отказаться от дополнительных ограничений на показатели веса в теореме 3.1 нельзя.

Скажем, что вес u>(t) имеет особенность порядка (3 в точке to, если

w(í) \t - tof, ¿Соотношение /(f) х g(t) означает, что

Зс, С > 0 : c\f(t)\^\g(t)\4C\f(t)\.

Таким образом, у веса w{t) вида (8) особенности порядка aj в точках bj и порядка 0 во всех остальных. В следующей теореме функция cr0(t) является "погрешностью", расширяющей класс рассматриваемых функций. Существо дела ярче выявляется при cr0(í) = 0.

Теорема 3.3. Пусть последовательность Л отделима и верно условие (3), причём cr(t) = do(t) + o"i(í), где o~o(t) принадлежит соболевскому пространству Wq{—a, а),

р р р _

9>ТТ-' «>-í- Vjel.e,

р—1 1+Q р—1—aj

acri(í) — кусочно-постоянная функция со скачками в точках а, —а = с\ < < ... < Cm = а. Тогда система е(Л) является базисом пространства Lp((—a,a),w(t)dt) (и тогда обладает свойством Рисса) в том и только том случае, когда

Vi G 2, m - 1 i/,• < а, где Vi — порядок особенности веса ui(t) в точке с,-.

Теорема 3.3 демонстрирует неулучшаемость теоремы 3.1. Действительно, при нарушении условий последней на показатели а^ положим с = если Бщ > а, и с £ если а < 0. По теореме 3.1 система экспонент, соответствующая функции с единственным (помимо скачков на концах интервала) скачком в точке с, не будет базисом в 1/((-а, а),ш(£)<й).

Отметим, что доказательство наличия базиса, хотя и может вызывать значительные технические трудности, основано на весьма естественных приёмах — оценке сверху неких интегралов, применении общих теорем функционального анализа и т.п. Для доказательства отсутствия базиса требуются более оригинальные, имеющие какую-то своеобразную идею рассуждения. В данном случае это доказательство основано на возможной расходимости частичного обратного преобразования Фурье в пространстве с более сильной (за счёт уменьшения показателя степени веса) нормой по сравнению с нормой пространства, содержащего преобразуемую функцию. Эта возможная расходимость показана в параграфе 2.

Параграф 3 содержит доказательство теоремы 3.1, параграф 4 — доказательство результата, связывающего наличие базиса с поведением частичного обратного преобразования Фурье, а параграф 5 посвящен доказательству теоремы 3.3.

В параграфе 1 главы 4 показано, что теорема Е остаётся справедливой для случая (8) (то есть при различных некрайних показателях веса), если а тах(0,р — 2) и а^ < а V; 6 1,в. В параграфе 2 приводятся результаты о полноте систем экспонент в весовом пространстве. Под обозначением Ь1Ш понимаем пространство £*((—а, а),с весом вида (8), в котором условие — 1 < с*1?..., а„ < р-1 заменено на — 1 < а.\,..., а3 < 0.

Теорема 4.2. Обозначим за тгд(£) число точек последовательности Л ^ 0 в круге {|г| < £} (с учётом кратностей) и положим

влечёт полноту системы е(Л) в пространстве Ьр((—а, а),ш(£)(й).

Теорема 4.3. Пусть ат,ат+1,... (га £ М] - ограниченная последовательность неотрицательных чисел. Тогда если при 1 < р < оо

г

о

Тогда для любого значения р £ [1, оо) условие

Итвир ( Лгл(г)

г-»+оо

или при р = 1

... , . 1 + а . . чг—к а„

|А„| < |п| + —---а|„|, \п\^т и = +00.

п=т

то система (е'А"г), пе2, полна в пространстве 7Г, 7г), ш(£) ей).

Также в параграфе 2 показано, что если последовательность (Ап) лежит в горизонтальной полосе 11ш г\ ^ Л, то в условиях теоремы 4.3 можно рассматривать 11еА„ вместо А„. При этом константы (1 + а)/2р и (1 + а)/2 как в этом результате, так и в самой теореме 4.3 не могут быть увеличены.

При а = О, 1<р<схзиа„ = 0 теоремы 4.2 и 4.3 представляют собой классические теоремы Н. Левинсона18. Для случая веса с одинаковыми показателями они получены Седлецким19, им же рассмотрен случай пространства С[—а, а].

Благодарности

Автор сердечно благодарит своего научного руководителя профессора Анатолия Мечиславовича Седлецкого за постановку задачи, постоянное внимание к работе и советы по оформлению научных трудов.

18Levinson N. Gap and density theorems. — New York: Publ. Amer. Math. Soc., 1940.

19Седлецкий A.M. Классы аналитических преобразований Фурье и экспоненциальные аппроксимации. — Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2005. Гл.4.

Список работ автора по теме диссертации

[1] Пухов С. С., Седлецкий А. М. Базисы из экспонент, синусов и косинусов в весовых пространствах на конечном интервале // Докл. Ак. Наук. - 2009. - Т.425, №4. - С. 452-455.

[2] Пухов С. С. Базисы из экспонент, синусов и косинусов в весовых пространствах на конечном интервале // Известия РАН. Серия матем. - 2011. - Т. 75, №2. - С. 167-196.

[3] Пухов С. С. Базисы из экспонент в весовых пространствах, порождённые нулями функции типа синуса специального вида // "Депонированные научные работы", ВИНИТИ. — №2, 2011. - 22.12.2010, №724-В2010.

[4] Пухов С. С. Базисы из экспонент в весовых пространствах // Тезисы докл. 9-й Казанской летн. научн. школы-конф. "Теория функций, её прилож. и смежи, вопросы". — Труды матем. центра им. Н. И. Лобачевского, т.38. — Казан, матем. общ-во. — Казань, 2009. — С.232-234.

[5] Пухов С. С. О базисах в весовых пространствах систем экспонент, порождённых функцией ограниченной вариации со скачками на концах отрезка // Тезисы докл. 15-й Саратовской зимн. школы "Современные проблемы теории функций и их приложения". — Изд-во Сарат. ун-та. - Саратов, 2010. - С. 147-148.

В работе [1] A.M. Седлецкому принадлежат предложение 1, теоремы 2

и 3 и следствие 1, С. С. Пухову — теоремы 1, 4 и 5.

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ Тираж ¡00 экз. Заказ №

Введение.

Глава 1. Системы экспонент, порождённые нулями преобразования Фурье.

1. Вспомогательные утверждения.

2. Теорема о базисе из экспонент.

Глава 2. Специальные системы экспонент, синусов и косинусов

1. Системы (е*(«+Двцр1п)*)1П е ъ

2. Системы (8т(те + А)*) и 1 и (соз(п + А)*), п е N.

Глава 3. Системы экспонент, порождённые нулями преобразования Фурье — Стилтьеса.

1. Формулировки результатов.

2. Лемма о расходимости обратного преобразования Фурье

3. Доказательство теоремы 3.1.

4. Доказательство теоремы 3.2.

5. Доказательство теоремы 3.3.

Глава 4. Обобщения некоторых известных результатов о системах экспонент на случай пространств Ь?.

1. Системы экспонент с порождающей функцией, удовлетворяющей Ар- условию.

2. Полнота систем экспонент.

Настоящая диссертация является исследованием в области негармонического анализа — направления, изучающего аппроксимационные свойства (базисность, полноту, минимальность и т. п.) систем экспонент общего вида е(Л) = {eiXn\ teiX»\ Г-VA»£)~ о, Л = (Хп, тп)~ 0, ^ тпе N, Л„ е С, |A„+i|^|An|, в функциональных пространствах на конечном интервале вещественной оси (в отличие от анализа гармонического, изучающего исключительно свойства тригонометрической системы (emí),n Е Z). Результаты диссертации посвящены, в основном, базисам из экспонент в лебеговых пространствах с весом в виде конечного произведения степенных функций.

Негармонический анализ начался с книги Р. Пэли и Н.Винера [26] (1934). В дальнейшем вклад в его развитие внесли Н. Левинсон, J1. Шварц, Ж.-П. Кахан, А. Бьёрлинг и П. Мальявен, П. Кусис, Б. Я. Левин, А. Ф. Леонтьев, Р. Редхёффер, Р. Янг, Б. С. Павлов, А. М. Седлецкий, Н. К. Никольский, С. В. Хрущёв, А. М. Минкин, В. А. Ильин, Е.И. Моисеев и многие другие математики.

Пэли и Винер рассматривали базисы Рисса в L2(—7Г, 7г) вида eiAní), An€C, пе Z, (0.2) как возмущение тригонометрической системы, т. е. при определённой близости точек Хп к целым п, а именно, при условии sup |АП — п\ < 1/7Г2, An G М. В этом направлении окончательный результат получил М. И. Кадец [3]: если supJAn-n|<i, Хп € М, то система (0.2) образует базис Рисса в L'2(—7Г, 7г), причём постоянная 1/4 точная.

Тем временем естественным образом возник вопрос о критерии базиса Рисса вида (0.2) в L2(—7Г, 7г), требовавший более общего подхода к изучению систем экспонент. Важной вехой здесь явились работы Б. Я. Левина [4] и [5], предложившего задавать условия на последовательность (ATt) через т. н. порождающую функцию. Приведём определение этого понятия сразу для системы (0.1).

Целая функция экспоненциального типа называется порождающей функцией системы (0.1) на интервале (—а, а), если

1) множество её нулей совпадает с {Ап},

2) каждый нуль Ап имеет кратность тп и

3) индикатор функции равен а| sin в\ .

Напомним, что по определению целая функция L(z) имеет экспоненциальный тип, если

ЗМ > 0: \L(z)\ < ехр(Лф|), \z\ > const, а индикатором такой функции называется величина

Mfl) = ümsupln|L(re,g)l, г—*+оо Т^ где р — порядок функции L(z).

В работах [4] и [1] в качестве порождающей выступала функция, получившая название функции типа синуса. Это целая функция, удовлетворяющая условию

Ciea\Imz\ ^ ^ C2ea\Imz\^ ^ С2 > 0, | lmz\ ^ COUSt.

Последовательность Л называется отделимой, если inf |Л„ — Лт| > 0. пфтп

В статье [4] доказано, что если порождающая функция системы е(Л) является функцией типа синуса и последовательность Л отделима, то система образует базис L2(—a,a). В. Д. Головин [1] дополнил этот результат, доказав наличие базиса Рисса в этом случае.

Отметим (см. [18], §6.1, т.1 и § 1.3), что отделимость последовательности Л, а также (для последовательности, лежащей в горизонтальной полосе | Im.z| ^ h) условие sup mn < +оо необходимы для базиса системы е(Л).

Критерий базиса из экспонент для случая последовательности Л, лежащей в горизонтальной полосе, был найден Б. С. Павловым [9] в 1979 г. Говорят, что неотрицательная функция д(х) удовлетворяет Ар— условию, 1 <р < оо, если а,Ь) СК

Будем в этом случае писать д{х) Е Ар.

Теорема А (Павлов). Пусть последовательность (Л„) отделима и для некоторого Н Е и всехп верно |1тЛп|^/1. Тогда система (0.2) образует базис Рисса в Ь2{—а, а) тогда и только тогда, когда

Ш>Н : |£(ж + г#)|2 € А2, где Ь{г) — порождающая функция системы (0.2).

Если отказаться от требования принадлежности точек Хп горизонтальной полосе, то L2—нормы экспонент системы (0.2) станут неограниченными в совокупности, и понятие базиса Рисса в постановке задачи следует заменить на понятие безусловного базиса (система (еп) называется безусловным базисом гильбертова пространства, если система (е п/1|С/г||) образует в нём базис Рисса). Для случая, когда точки Ап лежат в полуплоскости Im z ^ h > —оо, необходимое и достаточное условие безусловного базиса вида (0.2) вскоре нашли Н. К. Никольский, С. В. Хрущёв и Б. С. Павлов [23]. Общий случай рассмотрел А. М. Минкин [6] в 1991 г.: к условиям А2 и отделимости (Ап) в теореме А добавляется т. н. условие Карлесона, накладываемое на последовательности А± = (An G A: ImAn ^ 0).

Случай пространств LP{—а, а), р ф 21 требовал новых подходов, и вплоть до 1970-х гг. соответствующих результатов не было. Продвижение в этом направлении достигнуто благодаря работам А. М. Седлецкого. Мы приведём те его результаты, которые наиболее тесно связаны с представленными в данной диссертации теоремами. Прежде, однако, заметим, что при переходе от L2 к другим функциональным пространствам теряется понятие базиса Рисса. Некоторой его заменой для систем экспонент служит т. н. свойство Рисса, а именно ограниченность в норме рассматриваемого пространства оператора /тпп-1 \ /тп-1 \ = £(£<*» К"' ~ £ £ V

А„еЛ \ j-Q / ReA„>0 V j=0 /

Это определение инициировано теоремой М. Рисса о сопряжённом ряде Фурье, согласно которой тригонометрический базис обладает этим свойством в LP{—7Г, 7г), 1 < р < оо.

Следующая теорема является расширением достаточной части теоремы Павлова.

Теорема В ([19]). Пусть 1 < р ^ 2, последовательность Л отделима и сосредоточена в горизонтальной полосе |Im2:| ^ h, а такоюе supm„ < +00. Тогда если порождающая функция системы (0.1) при некотором Н > h удовлетворяет условию \L(x iH)\p € Ар, то эта система образует базис ^(—а^а) со свойством Рисса.

Зачастую рассматривают порождающие функции, являющиеся преобразованием Фурье-Стилтьеса финитной меры: а

L(z) = Jelztda(t), varo* < 00. а

В этом случае система (0.2) выступает как система собственных функций оператора дифференцирования D(y) = — гу' с "размазанным" храевым условием а

Jy(t) dcr(t) = 0, var а < оо а а система (0.1) может рассматриваться как система собственных и присоединённых функций). С этой точки зрения системы экспонент изучали С. Вер-блюнский, А. П. Хромов, В. А. Молоденков и др.

Теорема С ([19])- Пусть 1 < р < оо и последовательность А нулей функции а

L(z) = Jeiztdcr(t), varo- < оо, а{±а) ф а{±а =F 0), (0.3) а отделима. Тогда система (0.1) образует базис LP{—a,a) со свойством Рисса.

Теорема D ([20]). Пусть 1 < р < оо, а А — последовательность нулей функции вида а

L(z) = [eizt ^ dt, var k{t) < оо, k(±a q= 0) ф 0, 0 < Re/3 < 1. (0.4) J [а — \t\) а

Тогда при 1 — Ие/? < 1/р система е(Л) образует базис со свойством Рисса в пространстве 1/(—а, а), а при 1 — Re /3 > 1 /р для всякого >с ^ Л уже система е(Л) и {еш} образует базис со свойством Рисса в 1Р{—а, а).

Случай порождающей функции вида (0.4) интересен в частности тем, что под него при некоторых А подпадает система п+ДйВпп)^-^ ? д е ^

С системами (0.5) связаны системы синусов и косинусов вш(п + 1 и (со8(п + (0.6) первая из которых при Д = —1/4 является системой собственных функций задачи Штурма-Лиувилля для уравнения Лаврентьева-Бицадзе со специальными краевыми условиями (см. [10, 11]).

Для систем (0.5) и (0.6) с вещественным!! А Е. И. Моисеевым в [Т] даны критерии базиса соответственно в дространствах 1Р{—7Г, 7г) и 1^(0,7г), обобщённые Г. Г. Девдариани [2] на комплексные А. Результат [2] состоит в том, что критерием базиса экспонент, синусов или косинусов является условие

1 1 „ А 1 1 , „ А 1 1 1 „ А 1 1

---- < Ие А < — , ---1 < Яе А < — или ---- < Г? ,е А < —- +

2р 2 2р 2р 2р 2р 2 2р 2 соответственно.

Укажем имеющиеся результаты о базисах из экспонент в весовых пространствах. Это пространства 1^(1, и>(£) ¿Ь) (где вес — измеримая, почти всюду положительная функция на конечном интервале I С К), состоящих из определённых на интервале I измеримых функций с конечной нормой

11/11 = (^J\m\puj(t)dt), ю<оо.

Естественно, что первой была исследована тригонометрическая система: в 1973 г. Хант, Макенхаут и Виден [24] установили, что она образует базис пространства LP{{—7Г, ir),cu(t) dt), 1 < р < оо, в том и только в том случае, когда периодически продолженный вес oj(t) удовлетворяет Ар~ условию. Что же до систем экспонент общего вида, то здесь рассматривались только веса, состоящие из произведения конечного числа степеней. Для веса вида u(t)=fr\t-t0f(7r-t)a, ¿о G (0,тг), -1 < а,А7 <Р~ 1, 1<р<оо

Моисеевым [8] получен критерий базиса систем (0.6) в ¿/((0,7г), u(t) dt), заключающийся соответственно в условиях

1 + а „ ^ Л 1 + ск 1 + ск 1 ^ л 1 + а 1

--1 < Re А < —-— и —--- < Re А < —-— + -. (0.7)

2р 2р 2р 2 2р 2 v J

В [8] получен также критерий l + al-.l + a: . .

--- < Re А < —-— (0.8)

2р 2 2р у ) базиса системы экспонент (0.5) в LP{{—7Г, 7г), dt).

А. Буавеном и А. М. Седлецким [22] рассмотрены пространства

Lpa = LP((-a,a),coa(t)dt) с весом s

Ua{t) = Д |i - bj\a, 2 ^ 5 < оо, -а = &!<.< Ья = а, 0 < а < р - 1 (0.9) 1 и доказаны две следующих теоремы, обобщающие теоремы С и В.

Теорема Е. Пусть 1 < р < оо и последовательность А нулей функции вида (0.3) отделима. Тогда система е(А) образует обладающий свойством Рисса базис пространства Щ.

Теорема F. Пусть 1 < р < оо, а ^ р — 2, последовательность А отделима и сосредоточена в горизонтальной полосе |1т.г| ^ h, а также supmn < +оо. Тогда если порождающая функция системы е(А) при некотором Н > h удовлетворяет условию р ж-ИЯ)|1+а G Ае, то система е(Л) образует обладающий свойством Рисса базис Ц^.

В [18, гл. 9] A.M. Седледким изучены системы (0.5) и (0.6) в пространствах с весом (0.9) при дополнительном условии а ^ р — 2 (по-прежнему 1 < р < оо). Установлено, что система (0.5) при условии (0.8) образует базис пространства LP{[—7г,7г),й;а(£) dt), эквивалентный тригонометрическому базису при соответствии егпЬ el(n+bsi&m)t^n £ Система же синусов (косинусов) (0.6) при соответствующем условии (0.7) образует базис -£^((0,7r),ua(t) dt), эквивалентный системе (sin nt)™=l (l U (cos при соответствии sin ni sin(n + A)£, n G N (1 1, eos ni cos(n 4- A)í, n € N).

Напомним, что базисы называются эквивалентными при существовании ограниченного вместе с обратным оператора, переводящего эти базисы друг в друга. Утверждение об эквивалентности базисов также доказано для невесового случая. При A Gi установлено, что достаточные условия (0.7) и (0.8) соответствующих базисов являются также необходимыми.

Целью настоящей работы является исследование базисов из экспонент в пространствах = Lp((—a, a),üj(t) dt), 1 < р < оо, с весом с различными некрайними показателями, т.е. вида S u{t) = ТТ - fr7-¡aj, 2 ^ s < оо, -а = bi < . < bs = а, f}i (0.10) а.\ — as = а, —1 < a i,., as < р — 1. Изложим основные результаты диссертации. В первой главе речь идёт о случае (0.4).

Теорема 1.1. Пусть 1 < р < оо и порождаются функция системы е(А) имеет вид (0-4)- Тогда:

1) при 1 —Re/5 < (l+Q;)/p система е(Л) образует базис со свойством Рисса в пространстве L

2) при 1 — Heft >(1 +а)/р и при дополнительном условии к 6 Lip(l — Re/3) для всякого >с ^ Л система е(Л) U {el>d} образует базис со свойством Рисса в пространстве LPU.

Во второй главе теорема 1.1 применяется для исследования систем (0.5) и (0.6). Верны

Теорема 2.1. Система (0.5) образует базис в пространстве Щ, (при а = тг), 1 < р < оо, тогда и только тогда, когда верно (0.8). Базис (0.5) эквивалентен тригонометрическому при соответствии emt<r-> el(»+Asignn)t^n ^

Теорема 2.2. Пусть вес u(t) при 1 < р < оо задаётся соотношениями (0.10), где а — тт. Тогда система синусов (косинусов) (0.6) образует базис пространства Lp((0,7r),üj(t) dt) в том и только том случае, когда верно первое (второе) двойное неравенство (0.7). Этот базис эквивалентен базису (sin nt)new при соответствии sin nt sin(n + A)í, n € N (базису 1 U (cos nt)ne?q при соответствии 1 1, cos nt cos(n + A)i, n€N).

В третьей главе исследуется случай (0.3). В предыдущих теоремах на некрайние показатели веса не накладывалось дополнительных условий и наличие базиса зависело только от значения крайнего показателя а. В случае (0.3) имеет место другая ситуация. Так, теорема Б не переносится автоматически на случай веса (0.10). Возможно лишь следующее её обобщение.

Теорема 3.1. Пусть 1 < р < оо и последовательность Л нулей функции (0.3) отделима. Если в весе (0.10) а ^ 0 и aj ^ a Vj £ 1,s, то система экспонент образует базис со свойством Рисса в Lfc.

Как мы сейчас увидим, отказаться от дополнительных ограничений на показатели веса в теореме 3.1 нельзя.

Скажем, что вес co(t) имеет особенность порядка ß в точке to, если u(t)>;\t-to\ß, teÜ(to).

Отношение fit) >: g(t) означает, что

Зс,С > 0 : c\№\^\g(t)\^C\f(t)\.

Таким образом, у веса w(t) вида (0.10) особенности порядка aj в точках bj и порядка 0 во всех остальных. В следующей теореме функция cr0(i) является "погрешностью", расширяющей класс рассматриваемых функций. Существо дела ярче выявляется при сго(£) = 0.

Теорема 3.3. Пусть последовательность Л отделима и верно условие (0.3), причём a(t) = cro(t)-\-ai(t), sdeao(t) принадлежит соболевскому пространству

V Р Р

-—, Я>-:-г У?'€1,5, р — 1 1 + а: р — 1 — а2 а 01 (¿) — кусочно-постоянная функция со скачками в точках —а = с\ < < . < Сщ = а. Тогда система е(Л) является базисом пространства Ц^ (и тогда обладает свойством Рисса) в том и только том случае, когда'

Vz е 2, m — 1 щ ^ а, где Vi — порядок особенности веса u)(t) в точке q.

Теорема 3.3 демонстрирует неулучшаемость теоремы 3.1. Действительно, при нарушении условий последней на показатели aj положим с = bj, если 3a>j > а, и с ^ {bj}, если а < 0. По теореме 3.1 система экспонент, соответствующая функции a(t) с единственным (помимо скачков на концах интервала) скачком в точке с, не будет базисом в Lfc. В четвёртой главе показано, что теорема F остаётся справедливой для случая пространства (то есть при различных некрайних показателях веса) при условиях а ^ тах(0, р — 2) и щ ^ а \/j 6 1,5. Там же приводятся результаты о полноте систем экспонент в весовом пространстве. Под обозначением Ь^ понимаем пространство Ь1{{—а, а), а;(¿) (И) с весом вида (0.10), в котором условие —1 < «1,. ,а3 <р — 1 заменено на —1 < а^,., а8 ^ 0.

Теорема 4.2. Обозначим за пл(£) число точек последовательности Л ^ 0 в круге {г | |,г| < £} (с учётом кратностей) и положим о

Тогда для любого значения р £ [1, оо) условие , \ 2а 1-1-0!. \ [>—оо при 1 < р < оо, нтэир I .Л/л(г)--г -I--тг ) < г-»+сх) \ к Р ) I — +со при р — 1 влечёт полноту системы е(Л) в пространстве I

Теорема 4.3. Пусть ат,ат+1,. (т 6 К] - ограниченная последовательность неотрицательных чисел. Тогда если при 1 < р < оо

1 I 00

I л I II I + о: , , 'г—\ ап

Ап| ^ |п| -1- —--Ь а|„|, \п\ ^ т и — < или при р — 1

1 , оо

Ап| ^ \п\ н-----«|п|, \п\ > 771 и — =

ТЬ п—тп то система (егА"г), п полна в пространстве при а = -к.

При а = 0, 1 < р < оо и ап = 0 эти утверждения представляют собой классические теоремы Н. Левинсона [25]. Для случая веса с одинаковыми показателями теоремы 4.2 и 4.3 получены Седледким [18, §4.1], там же рассмотрен случай пространства С[—а,а].

Основные результаты диссертации опубликованы в [12]-[14]. Автор сердечно благодарит своего научного руководителя профессора Анатолия Мечиславовича Седлецкого за постановку задачи, постоянное внимание к работе и советы по оформлению научных трудов.

1. Головин В. Д. О биортогональных разложениях в 1. по линейным комбинациям показательных функций // Записки мех.-мат. фак. ХГУ и ХМО, сер. 4. - 1964. - Т. 30. - С. 18-29.

2. Девдариани Г. Г. Базисность некоторых специальных систем собственных функций несамосоиряжённых дифференциальных операторов. — Автореф. дисс. . канд. физ.-мат. наук. Москва: МГУ, 1986.

3. Кадец М. И. Точное значение постоянной Палея-Випера // Докл. АН СССР. 1964. - Т. 155. — С. 1253-1254.

4. Левин Б. Я. О базисах показательных функций в Ь2 // Записки матем. отд. физ.-мат. фак-та ХГУ и ХМО, сер. 4. — 1961. Т. 27. — С. 39-48.

5. Левин Б. Я. Интерполяция целыми функциями экспоненциального типа // Матем. физика и функц. анализ, ФТИНТ АН УССР. — 1969. — Вып. 1 — С.136-146.

6. Минкин А. М. Отражение показателей и безусловные базисы из экспонент // Алгебра и анализ. — 1991. — Т.З, №5. — С. 109-134.

7. Моисеев Е. И. О базисности систем синусов и косинусов // Докл. АН СССР.1984. — Т. 275 С. 794-798.

8. Моисеев Е. И. О базисности систем синусов и косинусов в весовом пространстве // Дифф. уравн. 1998. — Т. 34, №1. — С. 40-44.

9. Павлов Б. С. Базисность системы экспонент и условие Макенхоупта // Докл. АН СССР. 1979. - Т. 247. - С. 37-40.

10. Пономарев С. М. К теории краевых задач для уравнений смешанного типа в трёхмерной области // Докл. АН СССР. 1979. - Т. 246. — С. 1303-1305.

11. Пономарев С.М. Об одной задаче на собственные" значения // Докл. АН СССР. 1979. - Т. 249. - С. 2068-2070.

12. Пухов С. С., Седлецкий А. М. Базисы из экспонент, синусов и косинусов в весовых пространствах на конечном интервале // Докл. Ак. Наук. — 2009.- Т. 425, №4. С. 452-455.

13. Пухов С. С. Базисы из экспонент, синусов и косинусов в весовых пространствах на конечном интервале // Известия РАН. Серия матем. — 2011. — Т. 75, №2. С. 167-196.

14. Пухов С. С. Базисы из экспонент в весовых пространствах, порождённые нулями функции типа синуса специального вида // "Депонированные научные работы", ВИНИТИ. №2, 2011. - 22.12.2010, №724-В2010.

15. Самко С. Г, Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. — Минск: Наука и техника, 1987.

16. Седлецкий А. М. Классы аналитических преобразований Фурье и экспоненциальные аппроксимации. — Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2005.

17. Седлецкий А. М. Биортогональные разложения в ряды экспонент на интервалах вещественной оси // Успехи матем. наук. — 1982. — Т. 57, №5. —

18. Седлецкий А. М. Базисы из экспонент в пространствах Lp(—7г, 7г) // Матем. заметки. 2002. — Т. 72, №3. - С. 418-432.

19. Эдварде Р. Функциональный анализ. — Москва: Мир, 1969.

20. Boivin A., Sedletskii A.M. Bases of exponentiales in weighted LP-spaces // Spectral and evolution problems, 14. Proc. 14 Crimean Autumn Math. School -Symp., September 2003, Sevastopol, Laspi- Simferopol, 2004. — P.41-43.

21. Hruscev S.V., Nikolskii N. K. and Pavlov B. S. Unconditional bases of exponentiales and reproducing kernels // Lect. Notes Math. — 1981. — V. 864.- P. 214-235.

22. Hunt R.A., Muckenhoupt B. and Wheeden R. L. Weighted norm inequalities for the conjugate function and Hilbert transform // Trans, of Amer. Math. Soc.- 1973. — V. 176. P. 227-251.

23. Levinson N. Gap and density theorems. — New York: Publ. Amer. Math. Soc.,

24. Paley R., Wiener N. Fourier transforms in the complex domain. — New York: Publ. Amer. Math. Soc., 1934.C. 51-95.1940.