Экспоненциальные ряды в весовых пространствах последовательностей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Коган Галина Анатольевна

ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЕ РЯДЫ В ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

01.01.01 — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени ' > кандидата физико-математических наук

Уфа 2003

Работа выполнена в Уфимском Государственном Авиационном Техническом Университете

Научные руководители: доктор физико-математических наук,

член корреспондент РАН, Напалков В. В. кандидат физико-математических наук, Водопьянов В.В. Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

А.С. Кривошеее,

кандидат физико-математических наук И. С. Галимов

Ведущая организация: Нижегородский государственный университет

имени Н.И. Лобачевского

Защита состоится 17 октября 2003 года в 15 часов на заседании специализированного совета Д 002.057.01 при Институте математики с ВЦ Уфимского научного центра РАН по адресу 450000 г. Уфа, ул. Чернышевского, 112 С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Института математики сВЦУНЦРАН. Авторефрат разослан «1Ь> сентября 2003 года.

Ученый секретарь специализированного совета к. ф.-м. н.

Общая характеристика диссертапии

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. В1965 году А.Ф. Леонтьев положил начало ново-

му направлению — представление произвольных аналитических функций радами экспонент. Основной публикацией в этом направлении является монография А.Ф. Леонтьева [4], где изложена также история вопроса и приведена обширная библиография. Другой подход к задаче разложения произвольных аналитических функций в ряды предложен в статьях А.П. Хромова [15,16].

Случай нормированного пространства аналитических функций д ля многоугольной области £> исследован впервые А.Ф. Леонтьевым в работе [6], а затем В.К. Дзадыком [1], Б.Я. Левиным, Ю.И. Любарским [3, 2, 7, 8], А.М. Седлецким [14], М.Л. Содиным [9]. Интерес к задачам подобного рода обусловлен тем, что имеется тесная связь с задачей спектрального синтеза для однородного уравнения свертки, с задачами о базисе, интерполяции, представляющих системах и другими.

В диссертации рассматривается дискретный аналог рядов экспонент. Исследуется задача о представлении элементов весовых пространств последовательностей экспоненциальными рядами (дискретный аналог рядов экспонент). Также доказана теорема единственности и рассмотрена возможность применение построенной теории для решении классических задач о представлении аналитических функций обобщенными рядами экспонент (см. [5]).

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Изучить возможность представления элементов весовых пространств последовательностей экспоненциальными рядами и

рос. НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА

С. Петербург Л-в ОЭ ЗОО'З акт

использовать полученные результаты для работы с'обобщенными рядами экспонент в пространствах аналитических функций.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Все результаты являются новыми. Получены следующие основные результаты:

- найдены условия, при которых любой элемент индуктивного предела весовых пространств последовательностей есть предел частичных сумм экспоненциального рода (единый для всего пространства) в топологии более широкого проективного предела;

- доказана теорема единственности для экспоненциального ряда;

- найдены условия, при которых любой элемент проективного предела весовых пространств последовательностей можно представить пределом частичных сумм экспоненциального ряда;

- на основании полученных результатов построены новые доказательства классических результатов относительно радов экспонент в пространствах аналитических в открытом (замкнутом) круге функций и пространстве целою функций. ■

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ. Использованы методы теории целых функций, функционального и комплексного анализов.

АПРОБАЦИЯ ДИССЕРТАЦИИ. Основные результаты диссертации до-каладывались автором на семинарах по теории функций в Институте математики с ВЦ УНЦ РАН, на семинарах по теории функции комплексного переменного в Уфимском Государственном Авиационном Техническом Университете, на международной конференции «Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы», Уфа, 2000 г.

ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертации опубликованы четыре статьи. Список публикаций приведен в конце автореферата.

СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ. Диссертации состоит из введения и четырех глав. Объём 110 страниц. Библиография 41 название.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

В главе 1 собраны предварительные сведения и введены весовые пространства последовательностей, рассмотрены свойства этих пространств.

В параграфе 1.1 содержатся сведения о пространствах типа и (М*), а в параграфе 1.2 — об уточненном порядке.

Параграф 1.3 посвящен весовым пространствам последовательностей. Часть материалов данного параграфа содержится в работе [В].

Пусть последовательность и = (ир^)) неотрицательных выпуклых функций, заданных на вещественной оси обладает следующими свойствами: для любого натурального р

Е1) 0 < ир(п) - (я) « при | я( — целое);

Е2) «Р(/)/|/| = I — вещественное;

ЕЗ) для любого М > 0 существуют натуральное р] и константа А (М,р) > 0, такие, что ир (*) - и*р(г) > М|*| -А(М,р) для любого вещественного /, гае р* — сопряженная по Юнгу функция.

Рассмотрим также последовательность V — неотрицательна выпуклых функций, заданных на вещественной оси, наделенную следующими свойствами: для любого натурального р

Р1)0< ур+1 (л) - \р(п) °° при п — целое);

Б2) Нт^«^/)/|/| = оо, г — вещественное;

з

Е?) для любого М > 0 существует натуральное рх и константа В(М,р) > О, такие, что - > М|г| - В(М, р), для любого вещественного г.

Для неотрицательной на вещественной оси функций р{{) определим банахово пространство комплексных последовательностей

А.(«р(*)) = {х= : ЦхИр = 8ирехр^|п)) < -}■

Через Е(и) (Р(у)) обозначим проективный (индуктивный) предел пространств /„(ехр(мр)) (/„(ехр^р))) при Далее в этом параграфе указан ряд свойств введенных пространств.

Здесь же для последовательности функций V* = (ур вводится в рассмотрение пространство Р(У*) целых, 2ж/-периодических функций С, таких, что для любого натурального р, существует константа Ар> О такая, что

|<?(А)| <^рехр(Ур(КеЯ),

для любого комплексного А.

Введены в рассмотрение аналогичные пространствам £({/), Р(У) пространства Е+(Ц), односторонних последовательностей (х,,)^. Вместо пространства Р(У*) для.случая односторонних последовательностей будем рассматривать пространство Ры( V*) целых функций Н(г), таких, для любого натуральногор существует^ > 0 такое, что

\Н{(?)\ <

В главе 2 решена задача представления любого элемента индуктивного предела весовых пространств последовательностей (пространства ^(К)) в виде предела некоторой подпоследовательности частичных сумм экспоненциального ряда с фиксированной последовательностью показателей в

топологии проективного предела весовых пространств последовательностей (пространства £((/))• Доказана теорема единственности для коэффициентов экспоненциального ряда.

Пусть последовательности неотрицательных выпуклых функций на ве-щесгенной оси функций и — (ир) иУ= (ур) удовлетворяют свойствам Е1)-ЕЗ) и )-РЗ) соответсвенно (см. параграф 1.3). Предположим, что для пары (I/, V) выполняется условие

ЕГ) существует фукнция у(/) такая, что для любого натурального р выполняются соотношения 0 < v(t) - Vp(t) » при * «, и у(г) < ир{г) для любого вещественного г. Далее везде в данной главе (если не указано другого) предполагаем, что для пары (и,У) выполнены указанные выше условия. < .

Положим ехрЬ — Параграф 2.1 посвящен нахождению до-

статочных условий для того, любой элемент х из пространства был представим в виде ряда

(1)

У=1

сходящегося в топологии пространства Е(и).

Основные результаты данного параграфа изложены в работах [10,12].

Пусть б принадлежит пространству Р(У*) и имеет нули (А^) с П = {0 < Яег < 2ж}, упорядоченные по возрастанию модулей вещественных частей.

Будем считать, что С имеет регулярный Сг-рост, т.е. существуют последовательности гл ,5« —► такие, что, для любого натурального р существует Ср> 0 такое, что

|<?(А)| > Срехр^^еА)) где ЯеА = <„ или ЯеА = -5Л.

Предположим дополнительно,

1) для любого натурального р существует натуральное рх такое, что

£ сяр^СКеЛу) - ^♦(ИеЛу)) <

У=1

2) для любого натурального р и некоторой константы Ср > О

1^(^)1 > Срехр(ир*(11еЯу)).

Пусть

ДЬ-1

с 1 Л=—ее

Последнее представление имеет место в силу предложения 1.4. Верна ключевая для данного параграфа

ТЕОРЕМА 2.1 В указанных выше условиях любой * = (*«)£=-«. из F(F) представим в виде абсолютно сходящегося в топологии Е(и) ряда (1), где 0у находится из формулы

гаеу = 1'2.....

Пусть функция Н е РЬ(У*) имеет нули простые (ау), упорядоченные по возрастанию модулей. Предположим также, что функция <7(А) = #(е*) имеет регулярный и-рост и удовлетворяет условиям 1) и 2). ПустьЯ(г)/(г~ау) - Х^оФ"- Верна

ТЕОРЕМА 2.2 В указанных выше условиях любой * = (лтл))£=_«, из Р+(¥) представим в виде абсолютно сходящегося в топологии Е+(Ц) рада

ее У=1

где Ау — коэффициент находится из формулы

"* сГ

в=0 "УМ

В параграфе 2.2 изучаются экспоненциальные ряды в случае, когда функция <7(А) имеет кратные нули. Пусть функция (?(А) из пространства Р(У*) имеет нули Ау кратности ту в полосе П, упорядоченные по возрастанию модулей вещественных частей. Для любой целой функции .Г(до) определим оператор ^¡¡^^(ц)] - Р,(ц0)/^я<>. Рассмотрим систему {Е^), V = 1,2,..., * = 1,... ту -1, где Е^ = (Е^)^, а

В пункте 2.2.1 строится система Ч'у * е /^(К), биортогональная к системе (¿■V), 1,2,...,а,к= 1,...,«1у-1.

Длях = е F(F) можно определить последовательность

= х). (2)

Следующие пункты данного параграфа посвящены изучению ряда

во Шу— 1

I 1 о)

у=1 *=0

В пункте 2.2.2 введена интерполирующей функция ю0(д,х), дг € Здесь же приведен ряд свойств этой функции, необходимый для дальнейшего использования.

Основным результатом пункта 2.2.3 является теорема единственности. Эта теорема в несколько упрощенной форме доказана в работе [11].

Пусть функция б(А) из Р{У*) представит в виде произведения

— целые функции конечных порядков. Пусть* е ^(Р).

ТЕОРЕМА 2.3 Пусть чисел (Ау) бесконечно много как в правой, так и левой полуплоскости.

Если/3У£ = 0,дляу = 1,2,...,*= 1,...,ту-1,тох = 0.

В этом же пункте указан способ восстановления последовательности х е ^(Г) по её коэффициентам V =1 > 2, 1,..., -1.

Пункт 2.2.4 целиком посвящен выводу формул для частичной суммы и остаточного члена экспоненциального ряда (3).

В пункте 2.2.5 доказана теорема 2.5, показывающая, что если функция С е Р(У*) имеет регулярный 17-рост, то существует возрастающая последовательность А^, такая, что любой хеР(У) имеет в топологии пространства Е(и) представление вида

Для пространств односторонних последовательностей будет справедлива соответствующая теореме 2.5 теорема 2.6, из которой следует, что если функция Н(г) е />1п(^*) имеет упорядоченные по возрастанию модулей нули оу кратности ту, и функция = Н(е^) имеет регулярный I}-рост, то существует возрастающая последовательность такая, что любой х 6 имеет в топологии пространства Е+(Ц) представление вида

' I

1/1=0

В главе 3 найдены достаточные условия для представления элемента пространства Е(и) пределом некоторой подпоследовательности частичных сумм экспоненциального ряда. Пусть последовательность и = (ир) неотрицательных выпуклых функций удовлетворяет условиям Е1 )-Е2), у(?) — неотрицательная выпуклая функция.

Предположим, что пара (1/,г) удовлетворяет следующим условиям:

Al) 0 < up{t) - v(f) °° при |i| -> A2) v(r)/|i| = a(t) /* «о при |f| «»; A3) существуют C,t0>0 такие, что v(r+1) < Cv(r) при / > î0; A4) дня любого p существует p, такое, что Up(rm) - У*(?У») + «p, (m) - v(w)

FW

при }xn|

где г„ такое, что тгт = у(т) +у*(гж); предположим допсшнителшо, что гт<гт+1; А5) существует а > 0 такое, что

£ еЧ',К1+«)<оо;

Предположим также, что = — целая 2т'-периодическая

фукнция их €£(£/). В параграфе 3.1 доказана следующая ТЕОРЕМА 3.1 Пусть выполняется условие:

где 0 < ф(г) | (|), при г > 0 (г < 0) и для любых р выполняется условие 4(Г)-У'(г)-Ь<Р(Г)

Г

->■ -W при |г| оо.

Если верно

(4)

топ» можно определить интерполирующую функцию тв({1,х) также, как в пункте 2.2.2, и формула остаточного члена из пункта 2.2.4 останется справедлива.

В параграфе 3.2 доказана теорема 3.2, из которой следует, что если функция б удовлетворяет условию и) (см. параграф 2.1) и выполняются условия теоремы 3.1, то существует возрастающая последовательность А^, такая, что в топологии пространства Е(11)

^ у=1*=0

Коэффициенты V = 1,2,...,к=0,... ,ту -1 находятся по формуле (2).

Показано, что для любого х=(ху)е£(У), найдется положительная функция <р(г), убывающая при возрастании |г|, и для любых натуральных р удовлетворяющая условию (4).

В главе 4 показано, что из предыдущих результатов можно вывести известные теоремы о представлении аналитических в круге и целых функций обобщенными радами экспонент.

Пусть целая функция /(г) = Ъп^ имеет порядок р > 1 и тип а > 0. Рассмотрим ряды по системе /(ауг), V = 1,2,.... Числа (ау) (если не указано другого) — нули целой функции Н{г) = упорядоченные по возрастанию модулей. Предполагается также, что существует В > О такое, что

(аер/п)я'Р <В"\и

Параграф 4.1, базируется на материале главы 2, точнее на теореме (2.6).

Пусть Н — функция порядка р, типа Я{рае)'11Р/е и вполне регулярного роста. Приведенная ниже теорема суть теорема 2.3.7, доказанная А.Ф. Леонтьевым в [5].

ТЕОРЕМА 4.2 Пусть нули av простые, и для любого натурального р существует Ср такое, что,

|/ГК)| > СрЩ>(о{Я- 1/РУ\аУП

Тогда любую функцию F(z), аналитичную в замкнутом круге радиуса R можно представить в виде ряда, равномерно сходящегося на любом компакте из открытого круга радиуса R с центром в начале координат

= ZßvfM, (5)

v=l

где ßv находится из формулы

0v=XСп/Ь I fjOVdn-j-l)**). (6)

Л=0 j-n+1

Верна также

ТЕОРЕМА 4.1 Пусть нули ау имеют кратности mv. Тогда существует последовательность г} -+ «> такая, что любую функцию F(z), аналитичную в замкнутом круге радиуса R можно представить в виде

F(z) = lim £ "ftßv/^M (?)

M<ri

равномерно на любом компакте из открытого круга радиуса R с центром в начале координат. Коэффициент ßv k находится из формулы

В параграфе 4.2 используются результаты главы 3. На основе теоремы было получено новое доказательство теоремы 2.3.9 (в данной работе теорема имеет номер 4.3) из книги Леонтьева 15].

п

ТЕОРЕМА 4.3 Пусть функция F(z) регулярна в открытом круге |z| < R. , Существует последовательность av, limv_>«,(v/|ev|p) < 00 («v лежат вне заданного множества Е0 нулевой относительной меры), такая, что F(z) представляется равномерно сходящимся внутри круга |z| < R рядом (5).

Тот же материал что и в пункте 4.2 используется в пункте 4.3, для вывода двух теорем о разложении целой функции. Теорема 4.4 имеет в книге Леонтьева [5] номер 2.4.1, Теорема 4.5 — номер 2.4.2.

Пусть целая функция Я(Я) имеет уточненный порядок р(г) такой, что 1 < р(г) р и гРМ-1 оо, при г «> и существует последовательность О < гк «> такая, что

> Сиехр(М^), если |г| = гр

для некоторой константы См > 0.

Пусть F(z) = a"2* такая, что

ТЕОРЕМА 4.4 Пусть нули av имеют кратность mv. Тогда F(z) представима в виде предела (7) равномерно на любом компакте. Коэффициент ßvk находится из формулы (8)

ТЕОРЕМА 4.5 Пусть нули av — простые, и д ля любого М > 0 существует константа Вм такая, что

Тогда F(z) можно представить в виде ряда (5), равномерно сходящегося на любом компакте, тде ßv находится из формулы (6).

Выражаю самую искреннюю благодарность моим научным руководителям: Напалкову Валентину Васильевичу за постановку задач, внимание

и помощь на протяжении всей работы над диссертацией и Водопьянову Владимиру Васильевичу за помощь при работе над диссертацией.

Список литературы

[1] Дзядык В.К. Ряды Дирихле в нормировнных пространствах аналитических функций в случае многоугольной области // Матем. сб. - Москва, 1974. - Т.95, №4, с.475-493.

[2] Левин Б.Я. О базисах показательных функций в 1?(—я,л) // Уч. зап. матем. отд. физ.-матем. фак-та Харьк. ун-та и Харьк. матем. общ-ва. — Харьков, изд. Харьковского гос. ун-та, 1961. — Серия 4, № 27, с. 39-48.

{3] Левин Б.Я., Любарский ЮЖ Интерполяция целыми функциями специальных классов и связанные с нею разложения в ряды экспонент //Изв. АН СССР. - Москва, 1975. - Серия матем, т.39, №3, с.657-702.

[4] Леонтьев АФ. Ряды экспонент // Москва, 1976.

{5} Леонтьев А.Ф. Обобщения радов экспонент//Москва, 1981.

[6] Леонтьев А. Ф. О представлении аналитических функций в многоугольной выпуклой замкнутой области рядами Дирихле // Изв. АН СССР. — Москва, 1974. — Серия матем., 38, №1, с.127-137.

[7] Любарский Ю.И. Ряды Дирихле в пространствах Смирнова //Докл. АН УССР. - Киев, 1986. - Серия А, №3, с. 75-78.

[8] Любарский Ю.И. Ряды Дирихле в пространствах Смирнова и интерполяция целыми функцими специального типа // ДАН СССР. - Москва, 1987. - Т.294, с.278-280.

[9] Любарский ЮМ, Содин МЛ. Ряды экспонент в пространствах Смирнова // Препринт Физико-техн. ин-та низких температур АН УССР. - Харьков, 1986. - №17-86.

[10] Напалков В.В., Сапронова ГА Рады экспонент в пространствах последовательностей конечного порядка и типа // Сб. статей, посвящ. 70-летию Ю.Ф. Коробейника. — Ростов, изд. Ростов. Ун-та, 2000. — С. 122-134.

[11] Напалков В.В., Сапронова ГА Ряды экспонент в пространствах последовательностей конечного порядка и типа. Теорема единственности // Комплексный анализ, дифференциальные и смежные вопросы: Труды международной конф. — Уфа, 2000. — С. 140-142.

[12] Напалков В.В., Сапронова ГА Рады экспонент в пространствах последовательностей конечного порядка и типа // Доклады РАН. — Москва, 2000. - Т. 272, с. 112-114.

[13] Сапронова ГА Эквивалентные топологии и операторы свертки на весовых пространствах последовательностей // Актуальные проблемы матем-ки. Матем. методы в естестовозн. : Меж вуз. науч сб. — Уфа, изд. УГАТУ, 1999. — С. 111-116.

I

I

(14) Седлещий А.М Об одном классе биортогональных разложений по показательным функциям // Сиб. мат. журнал. — Новосибирск, 1978. - Т.19, №4, с.878-887.

[15] Хромов А.П. Оператор дифференцирования и рады типа Дирихле // Матем. заметки. — Москва, 1969. — Т. 6, №6, с.759-766.

* [16] Хромов А.П. О представлении произвовльных фукнций некоторыми

специальными рядами // Матем. сб. — Москва, 1970 — Т. 83 (125), №2

V (10), с.165-180.

Публикации автора по теме диссертации

1. Сапронова ТА. Эквивалентные топологии и операторы свертки на весовых пространствах последовательностей // Актуальные проблемы матем-ки. Матем. методы в естестовозн.: Меж вуз. науч сб. — Уфа, изд. УГАТУ, 1999. - С.111-116.

2. Напалков В.В., Сапронова ТА. Рады экспонент в пространствах последовательностей конечного порядка и типа // Сб. статей, посвящ. 70-летию Ю.Ф. Коробейника. — Ростов, изд. Ростов. Ун-та, 2000. — С. 122-134.

3. Напалков В.В., Сапронова ТА. Ряды экспонент в пространствах последовательностей конечного порядка и типа. Теорема единственности // Комплексный анализ, дифференциальные и смежные вопросы: Труды международной конф. — Уфа, 2000. — С.140-142.

4. Напалков В.В., Сапронова ГЛ. Ряды экспонент в пространствах последовательностей конечного порядка и типа // Доклады РАН. — Москва, 2000.-Т. 272, с. 112-114.

Коган Галина Анатольевна ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЕ РЯДЫ В ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

АВТОРЕФЕРАТ диссертация на соисквнве ученой степени какдлата фтшсо-матешггических наук

Лицензия на полиграфическую деятельность Б 848280 от 17.11.1999.

Подписано в печать 23.05.2003 с Бумага офсетная. Формат 60x84/16. Компьютерные набор. Отпечатано на ризографе. Усл. печ. л. 0,98. Уч.-щдл. 1,00. Тираж 100 экз. Заказ

Редахционно-изднтельский отдел Башкирского государственного педагогического университета 45000, РБ, г.У^аул. Октябрьской революции, ЗА

Отпечатано на множительном участке Башкирского Государственного Педогогаческого Университета 45000, РБ, г.М£аул. Октябрьской революции, ЗА

»•13 82 3

-А

ч

л

Введение

Глава 1. Предварительные сведения

1.1 Пространства (М*) и (LN*)

1.2 Уточненные порядки

1.3 Весовые пространства последовательностей

Глава 2. Представление элементов пространства F{V) экспоненциальными рядами в топологии пространства E(U)

2.1 Ряды геометрических прогрессий в случае простых корней

2.2 Экспоненциальные ряды в случае кратных корней

2.2.1 Биортогональная система

2.2.2 Коэффициенты ряда и интерполирующая функция

2.2.3 Теорема единственности и восстановление последовательности по ее коэффициентам степенного ряда

2.2.4 Формулы для частичной суммы и остаточного члена ряда

2.2.5 Разложение в ряд

Глава 3. Представление элементов пространства E(U) экспоненциальными рядами, сходящимися в топологии E(U)

3.1 Формула остаточного члена

3.2 Разложение в ряд

Глава 4. Представление аналитических функций обобщенными рядами экспонент

4.1 Представление функций, аналитических в замкнутом круге

4.2 Представление функций, аналитических в открытом круге

4.3 Представление целых функций 97 Список литературы

В данной работе изучаются экспоненциальные ряды в весовых пространствах последовательностей.

В 1965 году А.Ф. Леонтьев обнаружил, что при некоторых (комплексных) показателях (AJ, 0 < \Хк\ t 00 можно указать область D, в которой произвольная аналитическая в D (замыкание D) функция f(z) допускает разложение оо z)=J>„e4 (0.1) о

Поскольку область сходимости ряда экспонент (0.1) выпукла, область D всегда предполагается выпуклой. С этого времени стало развиваться но- ■ вое направление — представление произвольных аналитических функций рядами экспонент.

Основной публикацией в этом направлении является монография [10], где изложена также история вопроса и приведена обширная библиография. При изучении рядов экспонент А.Ф. Леонтьев придерживался следующей схемы. Для ограниченной выпуклой области D выбирается целая функция экспоненциального типа 1(A), для которой D — сопряженная диаграмма, А,, ?i2,. — простые нули L{ А). Пусть С—замкнутый контур, охватывающий

D, 8km — символ Кронеккера. Строится система {^(0}» биортогональная к системе экспонент {е^}, в том смысле, что

1 г

2 ni e^m(t)dt = 8k^

Аналитической на D функции /(z), ставятся в соответствии коэффициенты с и ряд экспонент (0.1), построенный по этим коэффициентам оо о

Затем находятся условия, при которых ряд (0.1) сходится в D и сходится именно к своей функции f(z).

Далее рассматривается общий случай, ;когда f(z) аналитическая функция лишь в D. Отдельно исследуется ситуации, когда D — вся плоскость, полуплоскость и область, границу которой составляют два луча и выпуклая дуга, соединяющая начала этих лучей. Основным результатом является то, что во всех рассматренных случаях функцию, аналитическую в D можно представить в D рядом (0.1).

Другой подход к задаче разложения произвольных аналитических функций в ряды предложен в статьях А.П. Хромова [36,37]. В этих работах задача о разложении в ряды вида (0.1) интерпретируется как задача о разложении в ряды по собственным функциям некоторого оператора.

Случай нормированного пространства аналитических функций для многоугольной области D исследован впервые А.Ф. Леонтьевым в работе [14], а затем В.К. Дзядыком [1], Б.Я. Левиным, Ю.И. Любарским [9], A.M. Сед-лецким [33], М.Л. Содиным [18]. В частности, в [9] показано, что если последовательность показателей (ЯА) есть множество корней целой функции экспоненциального типа, принадлежащих специальному классу функций, построенному по выпуклому многоугольнику/), то система экспонент {Л2} является безусловным базисом в пространстве Смирнова E2(D). Используя методы, развитые в [8, 9, 15], Ю.И. Любарский [16] исследовал свойства систем экспонент в пространствах Смирнова E2(D) для более широкого класса выпуклых областей D.

Близкими кзадаче о представлении аналитических функций рядами экспонент является задача спектрального синтеза для однородного уравнения свертки. Уравнения такого типа для аналитических фукнций подробно изучались в работах Л. Эренпрайса [39], Б. Мальгранжа [41], Ю.Ф. Коробейника [4], И.Ф. Красичкова-Терновского [5], А.Ф. Леонтьева [12], В.В. Напалкова [21], Р.С. Юлмухаметова [38] и т.д. Существует тесная связь также с задачами о базисе, интерполяции, представляющих системах и т. д.

Среди пространств аналитических функций наиболее поддающимися конструктивному изучению являются пространства H{DR) функций, аналитических в открытом круге радиуса R с топологией равномерной сходимости на внутренних компактах и пространство H(Dr) функций, аналитических в замкнутом круге радиуса R — индуктивный предел при р пространств H(DR+l/p). Это связано с наличием в них естественного базиса Шаудера {zn}.

Любая задача для пространства H(DR) может быть поставлена в терминах коэффициентов Тейлора — будь то представление рядами экспонент [13] или задача эквивалентности дифференциальных операторов [351.

Наличие базиса Шаудера в локально выпуклом пространстве функций, каким является, например, пространство H(DR), гарантирует существование изоморфного ему пространства последовательностей, в следствие чего некоторые локально выпуклые пространства имеют естественное изоморфное представление в виде пространства функций и пространства последовательностей. Наиболее известным примером является гильбертово пространство, которое может быть представлено как пространство последовательностей t2 и функциональное пространство Ь2(0,1). Менее тривиальным примером является пространство 1Р, где 1 < р которое изоморфно пространству НР(В) аналитических в круге В = {z: |z| < 1} функций с нормой II/H = (JJ | f{z)\pdxdy)x/p (см. [40]). Пространство H(DR) изоморфно проективному пределу P(DR) весовых пространств последовательностей оо(е-«(1п(Л-1/р)))>где

Ц<р{п)) = {с= {с„)о :\\с\\р = sup|c„|/<p(«)}, п а пространство H(Dr) изоморфно индуктивному пределу I(DR) пространств данной работы).

Два последних из указанных изоморфизмов "обосновывают'переход от задачи представления рядами экспонент аналитических функций к задаче о представлении подобными рядами в весовых пространствах последовательностей, которые рассмотриваются в данной работе.

В данной диссертации решается следующая задача: изучить возможность представления элементов проективного и индуктивного пределов пространств последовательностей в топологии проективного предела пространств последовательностей в виде экспоненциального ряда со скобками.

Топологическая структура для частного случая проективного и индуктивного пределов пространств последовательностей, рассматриваемых в диссертации, и операторы свертки изучались в работах [32]. Уравнения свертки в частном случае таких пространств под руководством Напалкова В.В. рассматривал Карпов А.В. [2]. Инвариантные подпространства относительно сдвигов также для частного случая таких пространств были предметом изучения в совместных работах В.В. Напалкова и И.А. Шагалова [27,28].

В главе 1 собраны предварительные сведения и введены весовые пространства последовательностей, рассмотрены свойства этих пространств.

В параграфе 1.1 содержатся сведения о пространствах типа (LN*) и (Л/*), а в параграфе 1.2 — об уточненном порядке.

Параграф 1.3 посвящен весовым пространствам последовательностей. Часть материалов данного параграфа содержится в работе [32].

Пусть последовательность U= (up(t)) неотрицательных выпуклых функций, заданных на вещественной оси обладает следующими свойствами: для любого натурального р

Е1) 0 < ир(п) - ир+1(п) ©о при |л| -> оо (и — целое);

Е2) lim/+оо«/?(0/И = t — вещественное;

ЕЗ) для любого М > 0 существуют натуральное р1 и константа А(М,р) > О, такие, что u*Pi (t) - u*p(t) > M\t\ —A(M,p) для любого вещественного t, где (р* — сопряженная по Юнгу функция [31].

Рассмотрим также последовательность V = (vp(t)) неотрицательных, выпуклых функций, заданных на вещественной оси, наделенную следующими свойствами: для любого натурального р

F1) 0 < v +1 (я) — vp(n) -» оо при п -> °° (п — целое); F2) lim/>«>Vp(/)/kl = i — вещественное;

F3) для любого М > 0 существует натуральное р1 и константа В(М, р) > О, такие, что v* (/) - v* (t) > M\t\ — B{M,p), для любого вещественного t.

Для неотрицательной на вещественной оси функции (p(t) определим банахово пространство комплексных последовательностей оо(ехр(<р)) = {х= :\\х\\р = sup<

Через E(U) (F(V)) обозначим проективный (индуктивный) предел про-# странств /«(exp(ир)) (/oo(exp(v/;))) при р °о. Далее в этом параграфе указан ряд свойств введенных пространств.

Здесь же для последовательности функций V* = (v*) вводится в рассмотрение пространство P(V*) целых, 2л:/-периодических функций G, таких, что для любого натурального р, существует константа Ар> 0 такая, что

G(A)|<^exp(v;(ReA), для любого комплексного Я.

Введены в рассмотрение аналогичные пространствам E(U), F(V) пространства E+(U), F+{V) односторонних последовательностей (х„)~0. Вместо пространства P(V*) для случая односторонних последовательностей будем рассматривать пространство P\n{V*) целых функций H(z), таких, для любого натурального р существует Ар > 0 такое, что

Н{<?)\ <Apev?№\

В главе 2 решена задача представления любого элемента индуктивного предела весовых пространств последовательностей (пространства F(V)) в виде предела некоторой подпоследовательности частичных сумм экспоненциального ряда с фиксированной последовательностью показателей в топологии проективного предела весовых пространств последовательностей (пространства E(U)). Доказана теорема единственности для коэффициентов экспоненциального ряда.

Пусть последовательности неотрицательных выпуклых функций на ве-шестенной оси функций U = (ир) и V = (vp) удовлетворяют свойствам Е1)-ЕЗ) и Fl)-F3) соответсвенно (см. параграф 1.3). Предположим, что для пары (U, V) выполняется условие

EF) существует фукнция v(/) такая, что для любого натурального р выполняются соотношения 0 < v(/) — vp(t) при t —°о, и v(/) < up(t) для любого вещественного Далее везде в данной главе (если не указано другого) предполагаем, что для пары (U, V) выполнены указанные выше условия.

Положим ехр= (е"*")™-^. Параграф 2.1 посвящен нахождению достаточных условий для того, любой элемент л" из пространства F(V) был представим в виде ряда оо

I jW\ (2.2) v=l сходящегося в топологии пространства E(U).

Основные результаты данного параграфа изложены в работах [24, 26]. Пусть G принадлежит пространству P{V*) и имеет нули (Av) С П = {0 < Rez < 2л-}, упорядоченные по возрастанию модулей вещественных частей.

Будем считать, что G имеет регулярный £/-рост, т.е. существуют последовательности tn,sn —> такие, что, для любого натурального р существует Ср > 0 такое, что

7(А)| > Cpexp^^ReA)) где ReA = t„ или ReA = -sn.

Предположим дополнительно,

1) для любого натурального р существует натуральное р{ такое, что оо exp(w^(ReAv) -^>*(ReAv)) < оо.

V=1

2) для любого натурального р и некоторой константы Ср > О

J'(Av)| > Ср exp{ир* (ReAv)).

Пусть

- у dvenl

Последнее представление имеет место в силу предложения 1.4. Верна ключевая для данного параграфа

ТЕОРЕМА 2.1 В указанных выше условиях любой х = (х„)%'«> из F(F) представим в виде абсолютно сходящегося в топологии E{U) ряда (2.2), где I% находится из формулы

00 dv Pv= X Х"7^7ГТ> где v=l,2,.

-оо О^Лу)

Пусть функция Я 6 Р1п(К+) имеет нули простые (av), упорядоченные по возрастанию модулей. Предположим также, что функция G(А) = Н(ех) имеет регулярный £/-рост и удовлетворяет условиям 1) и 2). Пусть H{z)/{z-av) = ф". Верна

ТЕОРЕМА 2.2 В указанных вьппе условиях любой jc = из F+(V) представим в виде абсолютно сходящегося в топологии E+(U) ряда Pv^vi

V=1 гдeAv = коэффициент /3V находится из формулы оо cv

ЦхПттиП х. где V= 1,2,.

В параграфе 2.2 изучаются экспоненциальные ряды в случае, когда функция (7(A) имеет кратные нули. Пусть функция (7(A) из пространства Р(Г*) имеет нули Av кратности mv в полосе П, упорядоченные по возрастанию модулей вещественных частей. Для любой целой функции F(ц) определим оператор DJ^JF^)] = /г/(д0)/е7"о. Рассмотрим систему (£Яу'5), v = 1,2,. = 1,. mv - 1, где E^s = a E^s = Щ=к [епХ*].

В пункте 2.2.1 строится система eF*(V), биортогональная к системе (EV), v,p = l,2,.,s,k= 1,.,mv — 1.

Для a- = в F(V) можно определить последовательность f5vk:

Pv,k = (X¥V*,x). (2.10)

Следующие пункты данного параграфа посвящены изучению ряда оо mv—1 v=l 0

В пункте 2.2.2 введена интерполирующей функция со0(ц,х), д: € F{V). Здесь же приведен ряд свойств этой функции, необходимый для дальнейшего использования.

Основным результатом пункта 2.2.3 является теорема единственности. Эта теорема в несколько упрощенной форме доказана в работе [25]. Пусть функция G(A) из Р( V*) представима в виде произведения

G{n)=Fl{e»)Fx{e~»), (2.23) где Fj, Fl — целые функции конечных порядков. Пустьх е F(V).

ТЕОРЕМА 2.3 Пусть чисел (Av) бесконечно много как в правой, так и левой полуплоскости.

Если j5v k = 0, для v = 1,2,., k= 1,. .,mv— 1, тох = 0. В этом же пункте указан способ восстановления последовательности л: G F(V) по её коэффициентам j3v k, v = 1,2,.,к = l,.,wzv — 1.

Пункт 2.2.4 целиком посвящен выводу формул для частичной суммы и остаточного члена экспоненциального ряда (2.11).

В пункте 2.2.5 доказана теорема 2.5, показывающая, что если функция G е P(V*) имеет регулярный U-рост, то существует возрастающая последовательность Nj, такая, что любой х е F{V) имеет в топологии пространства E(U) представление вида

Nj m

Й» 1 v=\k= 0

Для пространств односторонних последовательностей будет справедлива соответствующая теореме 2.5 теорема 2.6, из которой следует, что если функция H(z) е P\n{V*) имеет упорядоченные по возрастанию модулей нули av кратности mv, и функция G(Я) = Н(ех) имеет регулярный tZ-рост, то существует возрастающая последовательность Nj, такая, что любой xeF+(V) имеет в топологии пространства E+(U) представление вида

NJ т

ЫХАИЧ

J V—1к~О meAVtJk=(a"vnl/(n-k)l)Z=0

В главе 3 найдены достаточные условия для представления элемента пространства E(U) пределом некоторой подпоследовательности частичных сумм экспоненциального ряда. Пусть последовательность U = (ир) неотрицательных выпуклых функций удовлетворяет условиям El)-E2), v(/) — неотрицательная выпуклая функция.

Предположим, что пара (U,v) удовлетворяет следующим условиям:

А1) 0 < up{t) - v(/) -> °° при |г|

А2) v{t)/\t\ = a(t) оо при \t\ -> оо;

A3) существуютC,t0 > 0 такие, что v(f +1) < Cv(t) при t>t0;

А4) для любого р существует рх такое, что u*p(rm) ~ V*(rm) + иРх (т) - v(m) —оо} при \т\ где гт такое, что mrm = v{m) + v*{rm)\ предположим дополнительно, что гт < гт+\;

А5) существует а > 0 такое, что e~\rj\(l+a) < оо; ; = - оо

Предположим также, что G(X) = Sy^-oo/}^ — целая 2я7-периодическая фукнция их е E{JJ).

В параграфе 3.1 доказана следующая ТЕОРЕМА 3.1 Пусть выполняется условие (3.2): ф(г)еу*(г) где 0 < ф(г) 4- (t)» ПРИ г > 0 (г < 0) и для любых р выполняется условие (3.1) оо ПРИ |г| оо.

Up (г) — V* (г) — In ф (г)

Если верно (3.3) x\<Cxev^-±-v J <р{гЛ Р тогда сходятся ряды (3.4) и (2.30) и имеет место формула остаточного члена (2.30), то есть можно определить интерполирующую функцию <x>G(ii,x) так же, как в пункте 2.2.2, и формула остаточного члена из пункта 2.2.4 останется справедлива.

В параграфе 3.2 доказана теорема 3.2, из которой следует, что если функция G удовлетворяет условию U) (см. параграф 2.1) и выполняются условия теоремы 3.1, то существует возрастающая последовательность Nj, такая, что в топологии пространства E{U)

Nj т

Ay.fc v=\k=Q

Коэффициенты j5vk, v=l,2,.,& = 0,.,mv — 1 находятся по формуле (2.10).

Показано, что для любого х= (xj) eE(V), найдется положительная функция q>(r), убывающая при возрастании |г|, и для любых натуральных р удовлетворяющая условию (3.1).

В данной главе 4 показано, что из предыдущих результатов можно вывести известные теоремы о представлении аналитических в круге и целых функций обобщенными рядами экспонент.

Пусть целая функция f{z) = имеет порядок р > 1 и тип сг > 0. Рассмотрим ряды по системе f(avz), v = 1,2,. Числа (av) (если не указано другого) — нули целой функции H(z) = Y,jf/J\ упорядоченные по возрастанию модулей. Предполагается также, что существует В > 0 такое, что оер/пУ'Р <Вп\$п\. (4.1)

Параграф 4.1, базируется на материале главы 2, точнее на теореме (2.6).

Пусть Я — функция порядка р, типа R(poe)l/p/е и вполне регулярного роста. Приведенная ниже теорема суть теорема2.3.7, доказанная А.Ф. Леон-тьевымв [11].

ТЕОРЕМА 4.2 Пусть нули av простые, и для любого натурального р существует Ср такое, что,

H'{av)\>CpQxV{a{R-\/p)P\av\P).

Тогда любую функцию F (z), аналитичную в замкнутом круге радиуса R можно представить в виде ряда, равномерно сходящегося на любом компакте из открытого круга радиуса R с центром в начале координат оо

F{z) = X ДуДМ. (4.9) v=l где (3V находится из формулы оо оо

X fjexp((n-j-l)lv). (4.10) и=0 j=n+1

Верна также

ТЕОРЕМА 4.1 Пусть нули av имеют кратности mv. »

Тогда существует последовательность гу —)• с» такая, что любую функцию F(z), аналитичную в замкнутом круге радиуса R можно представить в виде mv—1 )im X X (5vl/j<kHavz) (4.7) j \av\<rj k= 1 19 равномерно на любом компакте из открытого круга радиуса R с центром в начале координат. Коэффициент (3V к находится из формулы - щ^у. и {^л/^'ТГ- (4-8>

В параграфе 4.2 используются результаты главы 3. На основе теоремы было получено новое доказательство теоремы 2.3.9 (в данной работе теорема имеет номер 4.3 ) из книги Леонтьева [11].

ТЕОРЕМА 4.3 Пусть функция F(z) регулярна в открытом круге |z| < R. Существует последовательность av, limv>00(v/|av|p) < (av лежат вне заданного множества Е0 нулевой относительной меры), такая, что F(z) представляется равномерно сходящимся внутри круга \z\ < R рядом (4.9).

Тот же материал что и в пункте 4.2 используется в пункте 4.3, для вывода двух теорем о разложении целой функции. Теорема 4.4 имеет в книге Леонтьева [11] номер 2.4.1, Теорема 4.5 — номер 2.4.2.

Пусть целая функция Я(А) имеет уточненный порядок р(г) такой, что 1 < р(г) —> р и i-P(r)~l —> оо, при г —у °<> и существует последовательность О < гк -> ©о такая, что

H{z)\> Смехр(Мг£'), если |z| = гр для некоторой константы См > 0.

Пусть F(z) = anz" такая, что

-> оо ^(/IJ

ТЕОРЕМА 4.4 Пусть нули д v имеют кратность mv. Тогда F(z) представи-ма в виде предела (4.7) равномерно на любом компакте. Коэффициент (5у k находится из формулы (4.8)

ТЕОРЕМА 4.5 Пусть нули av — простые, и для любого М> 0 существует константа Вм такая, что

H'(av)\>BMexV(M\av\Pr).

Тогда F(z) можно представить в виде ряда (4.9), равномерно сходящегося на любом компакте, где j5v находится из формулы (4.10).

1. Дзядык В.К Ряды Дирихле в нормировиных пространствах аналитических функций в случае многоугольной области // Матем. сб. — Москва, 1974. - Т.95, №4, с.475-493.

2. Карпов А.В. Разрешимость неодного уравнения свертки в пространстве числовых семейств экспоненциального ростаю// Проблемы математики и теории управления. — Уфа, 1998. — С.66-70.

3. Коробейник Ю.Ф. Операторы сдвига на числовых семействах // Ростов, изд-во Рост. гос. ун-та, 1983.

4. Коробейник Ю.Ф. О решениях некоторых фукнциональных уравнений в классах функций, аналитических в выпуклых областях // Матем. сб. Москва, 1968 - Т. 75(117), №2, с. 225-234.

5. Красичков-Терновский И.Ф. Однородное уравнение типа свертки на выпуклых областях//ДАН СССР. — Москва, 1971 — Т. 197, №1, с.29-31.

6. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного//Москва, изд. «Наука», 1987.

7. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций // Москва, Госте-хиздат, 1956.

8. Левин Б.Я. О базисах показательных функций в 1?{—к,п) // Уч. зап. матем. отд. физ.-матем. фак-та Харьк. ун-та и Харьк. матем. общ-ва. — Харьков, изд. Харьковского гос. ун-та, 1961. — Серия 4, № 27, с. 39-48.

9. Левин Б.Я., Любарский Ю.И. Интерполяция целыми функциями специальных классов и связанные с нею разложения в ряды экспонент // Изв. АН СССР. — Москва, 1975. — Серия матем, т.39, №3, с.657-702.

10. Леонтьев А.Ф. Ряды экспонент//Москва, 1976.

11. Леонтьев А. Ф. Обобщения рядов экспонент //Москва, 1981.

12. Леонтьев А.Ф. О свойствах последовательностей полиномов Дирихле, сходящихся на интервале мнимой оси // Изв. АН СССР. — Москва, 1965. — Сер. матем., т.29, с.269-328.

13. Леонтьев А.Ф. О представлении аналитических в открытом круге функций рядами Дирихле // Матем. заметки. — Москва, 1968. — т.З, №2, с.113-124.

14. Леонтьев А.Ф. О представлении аналитических функций в многоугольной выпуклой замкнутой области рядами Дирихле // Изв. АН СССР. — Москва, 1974. — Серия матем., 38, №1, с. 127-137.

15. Любарский Ю.И. Ряды Дирихле в пространствах Смирнова //Докл. АН УССР. — Киев, 1986. Серия А, №3, с. 75-78.

16. Любарский Ю.И. Ряды Дирихле в пространствах Смирнова и интерполяция целыми функцими специального типа //ДАН СССР. — Москва, 1987. Т.294, с.278-280.

17. Любарский Ю.И. Ряды экспонент в пространствах Смирнова и интерполяция целыми функцими экспоненциального типа // Изв. АН СССР. — Москва, 1988. — Сер. матем., т.52, №3, с.559-580.

18. Любарский Ю.И., Содин М.Л. Ряды экспонент в пространствах Смирнова // Препринт Физико-техн. ин-та низких температур АН УССР. — Харьков, 1986.-№17-86.

19. Люстерник JI.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа // Москва, изд. «Наука», 1965.

20. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций., Т.2 // Моксва,изд. «Наука», 1968.

21. Напалков В.В. Уравнения свертки в многомерных пространствах // Москва, изд. «Наука», 1982.

22. Напалков В.В. Об одном методе восстановления функции по ее коэффициентам Дирихле // Матем. заметки. — Москва, 1975. — 17, №4, с. 545-553.

23. Напалков В.В. О базисе в пространств решений уравнения свертки // Матем. заметки. — Москва, 1988. — Т. 43, №1, с.44-55.

24. Напалков В.В., Сапронова Г.А. Ряды экспонент в пространствах последовательностей конечного порядка и типа // Сб. статей, посвящ. 70-летию Ю.Ф. Коробейника. — Ростов, изд. Ростов. Ун-та, 2000. — С.122-134.

25. Напалков В.В., Сапронова Г.А. Ряды экспонент в пространствах последовательностей конечного порядка и типа. Теорема единственности //Комплексный анализ, дифференциальные и смежные вопросы: Труды международной конф. — Уфа, 2000. — С. 140-142.

26. Напалков В.В., Сапронова Г.А. Ряды экспонент в пространствах последовательностей конечного порядка и типа //Доклады РАН. — Москва, 2000.-Т. 272, с. 112-114.

27. Напалков В.В, Шагапов И. А. //Труды международной конф. по компл. анализу. — Нижний Новгород, изд. ННГУ, 1997. — С.46-50.

28. Напалков В.В, Шагапов И.А. // Доклады РАН. — Москва, 1997. — Т.354, С.739-741.

29. Пугачев B.C. Лекции по фукнциональному анализу // Москва, изд-во МАИ, 1996.

30. Робертсон А.,Робертсон В. Топологические векторные пространства // Москва, изд. «Мир», 1967.

31. Рокафеллар. Выпуклый анализ //Москва, изд. «Мир», 1973.

32. Сапронова Г.А. Эквивалентные топологии и операторы свертки на весовых пространствах последовательностей // Актуальные проблемыматем-ки. Матем. методы в естестовозн.: Меж вуз. науч сб. — Уфа, изд. УГАТУ, 1999. — С.111-116.

33. Седлецкий А.МОб одном классе биортогональных разложений по показательным функциям // Сиб. мат. журнал. — Новосибирск, 1978. — Т. 19, №4, с.878-887.

34. Себаштъян-и-Силъва Ж. О некоторых классах локально выпуклых пространств, важных в приложениях // Математика. Сб.пер. — Москва, 1957.- 1:1, с.60-77.

35. Фиишан К.МК вопросу об эквивалентности дифференциальных операторов в пространстве аналитических функций в круге // Успехи матем. наук. — Москва, 1964. — T.XIX, вып. 5(119), с. 143-147.

36. Хромов А.П. Оператор дифференцирования и ряды типа Дирихле // Матем. заметки. — Москва, 1969. — Т. 6, №6, с.759-766.

37. Хромов А.П. О представлении произвовльных фукнций некоторыми специальными рядами // Матем. сб. — Москва, 1970 — Т. 83 (125), №2 (10), с.165-180.

38. Юлмухаметов Р.С. Однородные уравнения свертки // ДАН СССР. — Москва, 1991. -Т.316, с.257-282.

39. Ehrenpreis L. Mean periodic function // Amer. J. Math. — 1955. — V. 77, №2, p.293-326.

40. Lindenstrauss /., Tzafriri L. Classical Banach Spaces I. Sequence Spaces // Springer-Verlag. Berlin, Heidelberg, New York, 1977.

41. Malgrange B. Existence et approximation des solutions aux des equations derivees partielles et des equations de convolution // Arm. Inst. Fourier. — 1955-56.-V.6,p.271-355.