Аппроксимационные свойства систем экспонент на конечном и бесконечном интервалах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

Юхименко Александр Анатольевич

АППРОКСИМАЦИОННЫЕ СВОЙСТВА СИСТЕМ ЭКСПОНЕНТ НА КОНЕЧНОМ И БЕСКОНЕЧНОМ

ИНТЕРВАЛАХ

01.01.01 — вещественный, комплексный и ""' ' функциональный анализ

1 1 НОЯ 2010

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва, 2010

004612549

Работа выполнена на кафедре математического анализа механико-математического факультета Московского Государственного Университета имени М. В. Ломоносова.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор

Седлецкий Анатолий Мечиславович. доктор физико-математических наук, профессор

Шкаликов Андрей Андреевич, кандидат физико-математических наук, доцент

Брайчев Георгий Генрихович. Саратовский Государственный Университет имени Н. Г. Чернышевского.

Защита диссертации состоится 26 ноября 2010 г. в 16 часов 40 минут на заседании диссертационного совета Д 501.001.85 при Московском Государственном Университете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские Горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 26 октября 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001.85 при МГУ, доктор физико-математических наук, профессор

В. Н. Сорокин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

В диссертации исследуются аппроксимационные свойства систем экспонент

е(Л) = {е^'}пб2 , А„ € Л С С

в функциональных пространствах на конечном и бесконечном интервалах. Сюда входит изучение таких свойств систем, как полнота, минимальность и базис. Систему е(Л) мы будем рассматривать в пространствах LP на интервале, а также в весовых ¿/-пространствах на интервале, полупрямой и прямой.

• Впервые вопросы разложения функций в биортогональные на конечном интервале (—а, а) ряды

№ ~

nez

были рассмотрены в работе Р. Пэли и Н. Винера1. Они дали таким рядам название негармонических рядов Фурье. С тех пор раздел анализа, посвященный исследованию аппроксимационных свойств систем экспонент на конечном интервале, нередко называют негармоническим анализом Фурье или просто негармоническим анализом. Он получил свое развитие в работах Н. Jle-винсона, JI. Шварца, Р. Редхеффера, А. Бьерлинга и П. Мальявена, Б. Я. Левина, П. Кусиса, А.Ф. Леонтьева, Р. Янга, A.M. Седлецкого и других.

Теория аппроксимации посредством экспонент е1Л"г в пространствах LP с весом (1 ^ р < оо) на полупрямой и прямой возникла из задачи об аппроксимации сдвигами функций, а также в процессе естественного распространения негармонического анализа с конечного интервала на бесконечный. Этой тематике посвящены работы Р. Залика, Б. Факсена, A.M. Седлецкого, Б. В. Винницкого, Г. Денга и других.

Как хорошо известно, важную роль в решении упомянутых задач играют оценки целых функций определённого роста, нули которых совпадают с точками А„. В свою очередь задача нахождения оценок таких функций по теореме Адамара сводится к поиску асимптотики канонических произведений с нулями А, т.е. функций вида

1 Palsy R., Wiener N. Fourier transforms in the complex domain. Publ. Amer. Math. Soc., New York, 1934.

f

где т — это кратность нуля в последовательности А, ар — род канонического произведения, т. е. такое целое число, что

Именно асимптотические оценки канонических произведений составляют центральную часть диссертации. Результаты об аппроксимационных свойствах систем экспонент являются следствиями этих оценок.

Оценки для канонических произведений можно найти в классических работах Г. Валирона и Е. Титчмарша, а также у А. Пфлюгера, Б. Я. Левина, Н. Бовена, М. А. Евграфова, А. М. Седлецкого и многих других авторов.

Приведем краткий обзор некоторых результатов тесно связанных с тематикой диссертации.

• Полнота систем экспонент на конечном интервале. Хорошо известна следующая теорема Левинсона2: если Ап € С и |АП| ^ |п| +1 /(2р), то система е(Л) полна в 1/(—тт,тт) (1 < р < сю), причем константа 1/(2р) — точная (т. е. при ее увеличении полнота нарушается). То, что полнота сохраняется в случае

обнаружил A.M. Седлецкий3, а также Р. Редхеффер и Р. Янг4. Но условие Yf° £п/п < оо не является необходимым. Это следует, например, из следующей теоремы А. И. Хейфица5: пусть Л имеет следующий вид:

где действительное число с выбрано таким образом, чтобы в последовательности Л не было кратных членов; тогда для полноты в Ь2{—тг,7г) системы е(Л) необходимо и достаточно, чтобы Д ^ 1/4.

А. Буавеном и А. М. Седлецким в негармонический анализ были введены весовые ¿^-пространства следующего вида:

2Levinson N. Gap and density theorems. New York: Publ. Amer. Math. Soc., 1940.

^Седлецкий A.M. Полные и равномерно минимальные системы показательных функций в LF{—7г,7г). // Труды МЭИ. - 1972. - вып. 146. - С. 167-174.

iReiheffer Я., Young R. М. Completeness and basis properties of complex exponentials. // Trans. Amer. Math. Soc. - 1983. - V.277. - P.93-111.

5Хейфиц А. И. Характеристики нулей некоторых специальных классов целых функций конечной степени. // Теор. функций, функ. анал. и их прил., Харьков. — 1968. — Т.9. — С. 3-13.

п^О,±1, Дек, А0 = О, Ai =-А-1 = с,

= L"((-TT, О. wa(i)dt),

wa(í) = И ~ S ^ 2> -K = h < . . . < bs = K.

j=l

В 'случае а = О пространство — это в точности Lp(—7Г, 7г).

А. М. Седлецким было дано обобщение приведенной выше теоремы Левин-сона на случай пространства : если А„ € С и |An| ^ |n| + (1 + а)/(2р), то система е(Л) полна в Uaj! (1 < р < оо, — 1 < а < р — 1), причем константа (1 + а)/(2р) точная.

A.M. Седлецким6 был рассмотрен вопрос о полноте в LJ, системы е(Л), когда

(\ +а А ^ . , л , ,

А„ = п++ j-j^|Jsignn, п ?0,±1,

ДеК, А0 = 0, Ai = —А_1 = с.

Была доказана следующая теорема: если

1 < р < ос, шах(0, р - 2) < а < р - 1, (2)

то для полноты е(Л) в LPa ж необходимо и достаточно, чтобы Д < 1/(2q), 1 /р+ 1/9=1.

• Избытки систем экспонент в Ь2(—тт,тг). Для удобства будем обозначать избыток е(Л) в пространстве L2(—tt, тг) за Е2(А-)- А. М. Седлецким7 была доказана следующая теорема: если

А„ = п + Asignn + ¿aln|n|, п € Z\{0}, А0 = О, Д € R, a G R+,

то

In [jFX(a:) I = 0(1) + (na — 2Д) In |arj, |а:|>2 + |Д|. (3)

Пусть последовательность Л имеет вид

\n = n + ih(\n\X neZ\{0}, Aq = 0, (4)

где h(t) : К+ —> R + . Оценка (3) позволила A.M. Седлецкому найти оценки снизу и сверху для избытков систем экспонент е(А) в пространстве Ь2(—тт, тт):

1. Если для некоторого а ^ О

h(n) ^ alnn (п ^ по),

то Е2(А) < [сет] + 1. Если к тому же {сиг} < 1/2, то £г(Л) < [огтг]-

6Седлсцкий А. М. Классы аналитических преобразований Фурье и экспоненциальные аппроксимации. М.: Физматлит, 2005.

7Sedletskii А. М. On completeness of the system {exp(tz(n + i M)}. // Anal. Math., 1978, V.4, P.125-143.

2. Если

> —^ < оо ' гг

и

/i(n) ^ alnп (п ^ no, а ^ 0), то Е2{А) > [а7г]. Если к тому же {ест} ^ 1/2, то ^(Л) ^ [ест] + 1.

• Базисы из экспонент в пространствах ЦХорошо известна следующая теорема Кадеца8:

если Е 1 и

sup \Хп — п\< 1/4,

п

то система е(Л) образует базис Рисса в Ь2{—тг, тг). Константа 1/4 в этой теореме является точной.

Результаты о базисах е(Л) в Lp(—тг, тг) при р -ф 2, а также в пространствах Ц^ъ принадлежат A.M. Седлецкому. Им же было введено понятие базиса, обладающего свойством Рисса (оно инициировано теоремой М. Рисса о сопряженном ряде Фурье функции из LP{—тг, п), 1 < р < оо). Будем говорить, что базис е(А) банахова пространства В(а, Ь) обладает свойством Рисса, если оператор

£ cfi^

А„еЛ ReA„>0

ограничен в В (a, b). Это понятие является некоторой заменой понятия базиса Рисса для пространств 7г, ж) при р отличном от 2.

А. М. Седлецким9 был получен аналог теоремы Кадеца об 1/4 для случая регулярных возмущений целочисленной последовательности. А именно было показано, что если выполнено

1<р<оо, тах(0,р- 2) ^ а < р- 1, Ü^ + - = 1, (5)

V Ч

то система {ехр(г(п+Д sigrm)i)}nez образует в LPa{n базис, обладающий свойством Рисса тогда и только тогда, когда

1 о л 1+а

-— < Re А < ——.

2 q 2 р

• Функции типа синуса. В связи с задачей о базисах Рисса из экспонент в

вКадец М. И. Точное значение постоянной Палея-Винера. // Докл. АН СССР, 1964, т. 155, с. 1253-1254.

fСедлецкий A.M. Эквивалентные последовательности в некоторых пространствах функций. // Изв. ВУЗов, матем., 1973 г., No 7, с. 85-91.

L2(—7Г, 7г) Б. Я. Левиным в конце 1960-ых годов10 были введены так называемые функции типа синуса (ф.т.с), т.е. целые функции экспоненциального типа, для которых выполняется оценка

In |G(z)| = 0(1) + 7г|1тг|, |Imz\ ^ h = h(G) > 0. (6)

Функции типа синуса нашли применение не только в негармоническом анализе, но и в спектральной теории и дифференциальных уравнениях. Большой интерес представляет вопрос о распределении нулей функций типа синуса. Важный подкласс в классе ф. т. с. образуют функции вида

7Г

F(z) = J eiztda(t), vara(i) < +oo, (7)

— 7Г

где a(t) имеет скачки в обеих точках ±тг; в этом случае нули Ап функции F(z) удовлетворяют условию

Хп = п + 0{1), п-*± оо. (8)

Но функции вида (7) с условием сг(±тт) ф а(±тт =f 0) не исчерпывают весь класс ф.т. с. В ряде работ строились ф. т. е., не являющиеся преобразованием Фурье-Стилтьеса, т.е. не представимые в виде (7); во всех случаях нули построенных функций также удовлетворяли условию (8).

Обозначим через iFi(a, с; z) вырожденную гипергеометрическую функцию. A.M. Седлецким11 было показано, что при определенных условиях на а и с функция

F{z) = e-"Z jFi(a, с; 2mz) является ф.т.е., но вместе с тем имеет следующую асимптотику нулей:

An = п + А + В ■ In Н + О (^^) , п ±оо, АбС, BeR, В^О.

V N J

Это, по видимому, первый пример функции типа синуса с асимптотикой нулей не укладывающейся в рамки формулы (8).

• Полнота систем экспонент в весовых пространствах на полупрямой и прямой. К вопросам аппроксимационных свойств систем е(А) в весовых пространствах 17 на полупрямой и прямой можно придти двумя путями.

10Левин Б. Я. Интерполяция целыми фунхцяями экспоненциального типа. // Матем. физика и функц. анал., ФТИНТ АН УССР. 1969. Вьш.1. С.136-146.

11 Седлецкий А. М. Асимптотика нулей вырожденной гипергеометрической функции. // Математические заметки, 2007 г. том 82, выпуск 2, стр. 262-271.

Первый из них - следующая теорема Н. Винера: если / 6 L:(R) (/ е ¿2(R)), тогда для плотности в L'(R) (L2(R)) линейных комбинаций сдвигов

f(t + А), А € R (9)

необходимо и достаточно, чтобы / ф 0 (/ Ф 0 почти всюду).

Так как (f(t + Х)Т= e,Mf(t), а преобразование Фурье задает изоморфизм пространства L2(R) на себя, то плотность линейных комбинаций сдвигов (9) эквивалентна полноте в L2(R) семейства экспонент

eiMg(t), А € Л С R, (10)

где g{t) — f(t). Таким образом, теорема Н. Винера допускает следующую формулировку: пусть д £ L2(R); для того, чтобы семейство (10) с Л = R было плотно в L2(R), необходимо и достаточно, чтобы д ф 0 почти всюду.

В связи с этим результатом возникает вопрос: существует ли неплотное в К,множество Л такое, что система (10) полна в L2(K). Частично ответ на этот вопрос дает следующая теорема А. М. Седлецкого12: если

М ^ exp(-w(|f|)), f6R,

где w(i) — положительная возрастающая функция на луче (0, оо) и

то система (10) неполна в L2(M) пока Л неплотно в R.

Эта теорема означает, что система (10) с неплотным в R множеством Л может быть полной в L2(R) только при достаточно быстром убывании функции 9(t).

К аналогичным задачам приводят и попытки распространить негармонический анализ с конечного интервала на бесконечный. О полноте систем е(Л) в LP{R) говорить не приходится, поскольку функции е,А"' не лежат в /^(R), р ^ 1. Чтобы разрешить проблему, можно домножить эти функции на подходящий вес (или, что то же самое, рассмотреть их в весовых пространствах V на прямой). В результате, мы снова приходим к системам (10). На сегодняшний день наиболее изученным является случай

g(t) = e-^l", а > 0, а > 1.

В работах Б. Факсена, Р. Залика и Т. Абуабары Саад, A.M. Седлецкого, Т. А. Сальниковой и Г. Денга в основном исследуется полнота систем

е(Л;а)а)=(е-<А»4е"вИ .

I J neN

12Седлецкий А. М. Классы аналитических преобразований Фурье и экспоненциальные аппроксимации. М.: Физматлит, 2005.

Вопросы минимальности и равномерной минимальности таких систем исследованы в меньшей степени.

Далее нам понадобятся следующие обозначения: ß — это число, сопряженное с а (т. е. ß~l + аГ1 = 1),

Для единообразия формулировок будем обозначать L°°(R) = Co(R).

А. М. Седлецким была доказана следующая теорема: если последовательность А положительна и обладает плотностью Д/з(А) при порядке ß, то для полноты системы е(А; а, а) в .//(Ж), 1 ^ р < оо необходимо, чтобы

7Г ¿р

и достаточно, чтобы

Aß(A)>-K(ß,a) sin'¿г. (12)

7Г ¿р

• Полные и одновременно минимальные системы весовых экспонент на полупрямой и прямой. Полные системы е(А; а, а), удовлетворяющие условию (12), не могут быть минимальными в //(К). Действительно, при удалении элемента А^ из Л, последовательность продолжает удовлетворять условию (12), и значит система e(A\{Afc}; а, а) остается полной. А это и означает, что система е(Л; а, а) неминимальна.

Первый пример системы весовых экспонент е(Л; а, а) полной и одновременно минимальной в L2(R) принадлежит Р. Залику и Т. Абуабара Саад13. Они доказали, что при

А = (J {2v^exp (»(£ + £ ^))}ngN U М U {!> (13)

k=l

система е(Л; 1/2,2) является полной и минимальной в Х2(R). Т. А. Сальникова 14 и А. М. Седлецкий15 рассмотрели последовательность А более общего

^äZalik R.A., АЬиаЬата Saad Т. Some theorems concerning holomorphic Fourier transforms. // J. Math. Anal. Appl. - 1987. - V. 126. - P. 483-493.

14 Сальникова Т. А. Полные и минимальные системы экспонент в пространствах LP(R). // Мат. заметки.

- 1994 - Т. 55, №3 - С. 118-129.

Сальникова Т. А. Полные и минимальные системы экспонент в лебеговых пространствах на вещественной оси. // Автореф. дисс. канд. физ.-мат. наук. — М.: РУДН, 1995.

15 Седлецкий А. М. Преобразования Фурье быстро убывающих функций. // Изв. РАН. Сер. мат. — 1997.

— Т. 61, №3. -С. 187-202.

по сравнению с (13) вида:

4 _

Л = (J {2Утг(п + Л)ехр (i (7 + | *=)) }ngN и ÍM и Ш, к=\

h>-1, 7 € [0, 7г/2), (14)

где Ai ф Аг выбраны таким образом, что в последовательности Л нет кратных членов. Было доказано, что для полноты и минимальности системы е(Л, 1/2,2) с Л вида (14) в L^R), 2 < р < оо необходимо и достаточно, чтобы -1 /{Ар) < h <1/(4q).

Условие а = 2 являлось существенным для доказательства этих результатов. Это связано с тем, что для определения аппроксимационных свойств си'стемы е(А;а,а) требуются точные асимптотические оценки канонических произведений с нулями Л. А такие оценки при а ф 2 известны не были.

Первые примеры полных и минимальных в //(R) и в 1/(Ш+), 1 < р < оо систем е(А;а,а) с а ф 2 принадлежат A.M. Седлецкому16. В качестве А им было взято множество нулей некоторой целой функции, являющейся линейной комбинацией функций Митта^Леффлера. В силу построения, выписать А в явном виде нельзя.

Цель работы

Изучение аппроксимационных свойств систем экспонент на конечном и бесконечном интервалах. Получение точных асимптотических оценок для канонических произведений с нулями определенного вида.

Научная новизна

В диссертации получены следующие новые результаты

• Найден критерий полноты систем экспонент е(А) специального вида в весовых пространствах , а также точная формула для определения избытка системы экспонент е(А) в пространстве L2(—w,ir).

• Найдено достаточное условие базисности системы экспонент е(А) специального вида в весовых пространствах If на интервале (—7г, тг).

16Седлецкий А. М. Аппроксимативные свойства систем экспонент на прямой и полупрямой. // Мат. сб. - 1998. - Т. 189, №3. - С. 125-140.

Седлецки-й A.M. Аппроксимация посредством экспонент на прямой и на полупрямой. // Anal. Math. — 20Q2. - Т. 28. - Р. 43-60.

• Для широкого класса последовательностей Л найден критерий принадлежности канонического произведения с нулями Л классу функций типа синуса.

• В терминах усредненной плотности последовательности Л найдено достаточное условие полноты системы е(Л,а,а) в пространствах LP(W) и LP(R+), а также доказана точность этого условия при а = 2. Для специального класса последовательностей Л найдено необходимое и достаточное условие полноты и минимальности системы е(Л, а, а) в пространствах LP{R) и L?{R+).

Методы исследования

В работе применяются методы комплексного анализа, анализа Фурье, теории аппроксимации, а также аппарат медленно меняющихся функций.

Теоретическая и практическая ценность

Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут найти применение в дальнейших исследованиях по аппроксимации системами экспонент на конечном и бесконечном интервалах, а также при изучении асимптотического поведения целых функций с заданным множеством нулей.

Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались

• на семинаре механико-математического факультета МГУ "Негармонический анализ" под руководством проф. А. М. Седлецкого (2004-2010 гг., неоднократно).

•• на семинаре мех.-мат. ф-та МГУ "Операторные модели в математической физике" под руководством проф. A.A. Шкаликова (2010 г.).

• на Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Воронеж, 2007 г.).

• на Уфимской международной математической конференции, посвященной памяти академика А. Ф. Леонтьева (Уфа, 2007 г.).

• на Саратовской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Саратов, 2008 г.).

• на международной конференции "Analytic methods of mechanics and complex analysis" (Киев, 2009 г.).

• на международной конференции по комплексному анализу, посвященной памяти A.A. Гольдберга (Львов, 2010).

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в 12 работах автора. Их список приведен в конце автореферата. Работ, написанных в соавторстве, нет.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения и двух глав, разбитых в общей сложности на 9 параграфов. Объем диссертации 87 страниц. Список литературы включает 47 наименований.

Во введении дан краткий обзор работ по теме диссертации, сформулированы рассматриваемые в диссертации задачи и изложены основные результаты.

Первая глава диссертации посвящена вопросам негармонического анализа. В параграфе 1 приведены вспомогательные предложения, определения и обозначения.

Во втором параграфе рассматриваются вопросы полноты систем экспонент е(А) в пространствах

.Пусть ¿(¿) — медленно меняющаяся функция, т.е. положительна, измерима на полуоси [А, оо], А > 0 и при всех А > 0 удовлетворяет условию

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

t—»oo -

Пусть, кроме того, l(t) о, l(t) — дифференцируема и l'{t) Обозначим

(15)

В диссертации доказана следующая оценка. Теорема (1.1). Пусть А имеет вид (15). Тогда

ln |FA(*)| = 0(1) + 7r|Imz| - +1пЯ(|г|), г € Пв(Л).

где

R(t)^exp(^2Jl^duSj, = : ¡г - Ап\ ^ Я > 0

На основе этой оценки доказан следующий критерий полноты.

Теорема (1.2). Если выполнено условие (2), то для полноты системы е(Л) с Л вида (15) в Цщ необходимо и достаточно, чтобы

Л Т \ Г1 \ 1 1 ,

—^ ¿1(1,00), - + - = 1-

х Р Я

Кроме того, найдено условие базиса в системы е(Л) с Л вида

Ап = п + (а + ^(n))signn, аеК. (16)

Теорема (1.3). Пусть Л имеет вид (16). Пусть выполнены условия (2) и

1+а 1 1+а

---< а <-.

2р 2 2р

Тогда система е(Л) образует в №а п базис, обладающий свойством Рисса, а при р = 2, а = 0 — базис Рисса.

В параграфе 3 главы 1 при некоторых ограничениях на функцию /г(£), найдена точная оценка для канонического произведения с нулями (4).

Теорема (1.4). Пусть : М+ —» К + — дифференцируемая вогнутая функция и к{€) = ОЦ0), (3 < 1/2. Тогда

1п|^л(х)| = 0(1)+тгЛ(|а;|),

Эта оценка позволила автору получить точную формулу для избытка ^(Л) системы е(Л) с Л вида (4) в Ь2{—п, 7г).

Теорема (1.5). Пусть — функция из предыдущей теоремы. Тогда

1гЛ(г) \ 2

£?г(Л) = тах <пб2+: I (-) дх = оо

В параграфе 4 главы 1 найден некоторый аналог теоремы Кадеца для весовых пространств ££

Теорема (1.6). Если выполнены условия (5) и

- ± < Аг < |Re А„| - |n| ^ Д2 <

|Im А„| < Я < оо, n 6 Z, sign Re An = sign n,

причем Д2 — Д1 < l/?, то система е(Л) образует в LPaj базис, обладающий свойством Рисса.

Полученный результат является новым и для невесового случая, т. е. для пространства V(—ir, 7г), 1 < р < 2.

■ В параграфе 5 решается вопрос об описании функций l(t) ' >0°> -foo, таких, что последовательность

An = n + /(|n|), п € Z, I(n) = o(n). (17)

является множеством нулей ф. т. с.

Теорема (1.7). Пусть l(t) — вогнутая дифференцируемая функция, такая, что l(t) = 0(ta), 0 < а < 1. Тогда для того, чтобы последовательность (17) была множеством нулей некоторой ф. т. е., необходимо и достаточно выполнение условия

t-l'{t) = 0{ 1), f-»+oo.

Вторая глава диссертации посвящена вопросам аппроксимации посредством систем е(Л, а, а) в пространствах LP на полупрямой и прямой. Параграф 1 представляет собой набор вспомогательных утверждений и определений. В параграфе 2 получены точные оценки для канонических произведений с нулями специального вида. Эти оценки используются в следующих параграфах главы 2.

В параграфе 3 найдено достаточное условие полноты системы е(Л, а, а) в пространствах LP. Пусть n^(t) — считающая функция последовательности Л. Обозначим

г

'пл(г)

ВД = J

■dt.

г 1

Верхней усредненной плотностью последовательности Л при порядке /3 назовем

Аналогично определяется нижняя усредненная плотность Д^(Л) и усредненная плотность Имеет место следующая

Теорема (2.2). Пусть ß — число сопряженное с а, а функция К(0, а) определена равенством (11). Тогда для полноты системы е(Л; а, а) в -У(К), 1 < р < оо достаточно выполнения условия

2тг

Dß{A) > J | cos tfdt. (18)

о

Возникает вопрос о точности этой оценки. Ответ на него в случае ß = 2 (при этом правая часть неравенства (18) равна 1/(8а)) дан в диссертации.

Теорема (2.3). Для любого О < D < 1 /(8а) существует неполная в пространстве LP(R), 1 < р < оо система экспонент е(А;а, 2), такая, что D2{ А) =

Заметим, что теорема 2.2 для случая р = 2, 1 < а < 2 доказана в совместной работе В. В. Напалкова, A.A. Румянцевой и Р. С. Юлмухаметова17. Там же без доказательства приведено утверждение о точности оценки (18). Теорема 2.2 для всех а>1и1<р<оо доказана в диссертации.

В диссертации показано, что если усредненная плотность последовательности А находится справа от интервала

1 1^ (В)

^бтга' 8а,

то система е(А; а, 2) полна в 1/(К), 1 < р < оо, а если внутри, то система е(А; а, 2) может быть как полной, так и неполной.

Для пространств 1/(Ш+) верны аналогичные результаты. В этом случае в роли (19) выступает интервал (1/(327го), 1/(16а)).

В параграфе 4 главы 2 строятся полные и одновременно минимальные системы экспонент е(А,а,а) в пространствах ^(К) и ЬР(К+). Аналитическая в области

Г2 = > а, | BLTgz\ < у < 7т}

функция 1(г) называется аналитической медленно меняющейся в этой области, если

1'{г)

—7—г- —»• 0, 2 —» ОО, 2 € Г2. 1{г)

Пусть 1(г) — аналитическая медленно меняющаяся функция в области П, причем /(К+) С Ж + и Щ) —» 0 (< —» оо). Обозначим

/>0 f дО , Т k 2ß.

17 Напалков В. В., Румянцева A.A., Юлмухаметов Р. С. Полнота систем экспонент в весовых пространствах на вещественной оси. // Уфимск. матем. журн., 2010, т. 2, вып. 1, С. 97-109.

к = 1,..., К ~ шах{п е N : п < /3),

X

7(х)=11ШЛг ^) = ехр 1

Рассмотрим последовательность Л следующего вида

Л )'П . (20)

л—1 ^ )

Здесь А* е С выбраны так, чтобы в последовательности Л не было кратных членов.

Всюду далее д — число, сопряженное с р, т. е. такое, что р~1 + д-1 = 1. Теорема (2.4). 1. Условие

1 (д-2)(/?-2) 2 ЧК АдК

или

1 (д — 2)(/3 — 2) ~ 2дК ' ¿ТГ *Ь (

ч-Л

при 1 < р < оо является достаточным для полноты системы е(Л; а, а) с Л вида (20) в пространстве А при 2 ^ р < оо это условие

является и необходимым.

2. Условие

л>__1 (д — 2)(/3 — 2)

или

Ъ- 1 ^р^/ТК 1 ~ ~~2рК---'

при 1 < р < оо является необходимым для минимальности системы

е(Л; а, а) с Л вида (20) в пространстве Л при 2 < р < оо это

условие является и достаточным.

Благодарности

Автор глубоко благодарен своему научному руководителю, профессору А. М. Седлецкому за постановку задач, ценные советы и постоянное внимание к работе.

Список работ автора по теме диссертации

[1] Юхименко A.A. Канонические произведения, порожденные возмущениями целочисленной последовательности, и их асимптотические оценки. // Известия РАН, серия математическая, том 74, № 5, 2010, С. 205-224.

[2] Юхименко А. А. Полнота и базисные свойства систем экспонент в весовых пространстах Lp(—тг, ir). // Математические заметки, 2007, том 81, вып. 5, стр. 776-788.

[3] Юхименко А. А. Об одном классе функций типа синуса. // Математические заметки, 2008, том 83, вып. 6, стр. 941-954.

[4] Юхименко А. А. Асимптотические оценки канонических произведений с нулями специального вида. // Сиб. Мат. Журнал, Том 51, №4, 2010. С. 944-954.

[5] Юхименко A.A. Базисы из экспонент в весовых пространствах 1/(-7г,тг). Ц Вест. Моск. Ун-та, матем. механ. 2010, №2, С. 36-38.

[6] Юхименко A.A. Критерий принадлежности бесконечного произведения классу функций типа синуса. // Тезисы докл. Воронежской зимней математической школы "Современные методы теории функций и смежные проблемы". Воронеж: ВГУ, 2007. С. 249.

[7] Юхименко А. А. Точные оценки для порождающих функций возмущений целочисленной последовательности. // Тезисы докл. Уфимской Международной Математической Конференции. Уфа: УНЦ РАН, 2007. С. 44.

[8] Юхименко A.A. Избытки систем {ехр(гх(п + ihn))} в Ь2(—п,п). // Тезисы докл. Восьмой Международной Летней Научной Школы-конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы". Казанское Математическое Общество, 2007. С. 286.

[9] Юхименко A.A. Точные оценки для порождающих функций комплексных возмущений целочисленно последовательности. // Тезисы докл. Саратовской зимней математической школы "Современные методы теории функций и смежные проблемы". Саратов: СГУ, 2008. С. 207.

[10] IOxuAieHKO A.A. Базисы из экспонент в весовых пространствах L?(—тг, 7г). // Тезисы докл. на V Международном Симпозиуме "Ряды Фурье и их приложения". Изд-во "ЦВВР", Ростов н/Д, 2008. С. 65.

[11] Юхименко A. A. Asymptotic estimates of canonical products whith special kind of zeroes. / / Тезисы докл. Intern. Conf. "Analytic methods of mechanics and complex analysis". Kiev, Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009. C. 60.

[12] Юхименко А. А. Полные и минимальные системы весовых экспонент на полупрямой и прямой. // Тезисы докл. Intern. Conf. on Complex Analysis in Memory of A. A. Goldberg. Lviv, Ivan Franco National University, 2010. C. 139.

Подписано в печать £<?, 1й. {О Формат 60x90 1/16. Усл. печ. л. 125 Тираж {ОО экз. Заказ 35

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета МГУ имениМ. В. Ломоносова

Введение

Глава 1. Аппроксимация на конечном интервале

1. Вспомогательные предложения

1.1. Обозначения

1.2. Правильно меняющиеся функции

1.3. Оценки канонических произведений

1.4. Полнота систем экспонент

2. Полнота систем экспонент в пространствах

3. Избытки систем экспонент в пространстве Ь2(—тг, тт)

4. Базисы из экспонент в пространствах 1Ра п

5. Один класс функций типа синуса

Глава 2. Аппроксимация на бесконечном интервале

1. Вспомогательные предложения

2. Асимптотические оценки канонических произведений с нулями специального вида

3. Достаточное условие полноты системы экспонент в весовых пространствах на полупрямой и прямой

4. Полные и минимальные системы экспонент в весовых пространствах на полупрямой и прямой

В диссертации исследуются аппроксимационные свойства систем экспонент в функциональных пространствах на конечном и бесконечном интервалах. Сюда входит изучение таких свойств систем, как полнота, минимальность 1 и базис. Систему е(Л) мы будем рассматривать в пространствах Ьр на интервале, а также в весовых .//-пространствах на интервале, полупрямой и прямой.

Впервые вопросы разложения функций в биортогональные на конечном интервале (—а, а) ряды были рассмотрены в работе Р. Пэли и Н. Винера [40]. Они дали таким рядам название негармонических рядов Фурье. С тех пор раздел анализа, посвященный исследованию аппроксимационных свойств систем экспонент на конечном интервале, нередко называют негармоническим анализом Фурье или просто негармоническим анализом. Он получил свое развитие в работах ' Н. Левинсона; Л. Шварца, Р. Редхеффера, А. Бьерлинга и П. Мальявена, Б.Я. Левина, П. Кусиса, А.Ф. Леонтьева, Р. Янга, A.M. Седлецкого и других.

Теория аппроксимации посредством экспонент elXnt в пространствах LP с весом (1 ^ р < со) на полупрямой и прямой возникла из задачи об аппроксимации сдвигами функций, а также в процессе естественного распро-, странения негармонического анализа с конечного интервала на бесконечный. Этой тематике посвящены работы Р. Залика, Б. Факсена, A.M. Седлецкого, Б. В. Винницкого, Г. Денга и других.

Как хорошо известно, важную роль в решении упомянутых задач играют оценки целых функций определённого роста, нули которых совпадают с точками Ап. В свою очередь задача нахождения оценок таких функций по теореме Адамара сводится к поиску асимптотики канонических произведений с нулями Л, т. е. функций вида е(Л) = {eiA"'}nsz , А„ е Л С С

0.1) ~ Е с»е'А"' пе ъ

0.2) где т — это кратность нуля в последовательности Л, а р — род канонического произведения, т.е. такое целое число, что

ОО , СО

Etxj? = o°' £ ОО.

Именно асимптотические оценки канонических произведений составляют центральную часть диссертации. Результаты об аппроксимационных свойствах систем экспонент являются следствиями этих оценок.

Случай конечного интервала всегда можно линейной заменой переменной свести к интервалу (—тг, 7г) и рассматривать пространства а) только при а — п. Помимо классических пространств LP{—7Г, тг) в диссертации речь будет идти и о весовых пространствах определяемых следующим образом где uj{t) — вес на (—7Г, 7г). Первым исследовать аппроксимационные свойства систем е(Л) в таких пространствах стали А. Буавен и А. М. Седлецкий. У них , в качестве веса u)(t) выступала функция S uja(t) = Y[\t - bj\a у s ^ 2, -тг = bi < . < bs = тг. (0.3)

3=1

Пространства ЬРш обозначаются L^ ^. В случае а = 0 пространство ЭТО В ТОЧНОСТИ LP(—7Г,7Г). t

Первая глава диссертации относится к негармоническому анализу. В параграфе 2 рассматриваются вопросы полноты систем (0.1) в пространствах LP . а, 7Г

§2. Хорошо известна следующая теорема Левинсона [39]: если \п G С и 1-М ^ М + 1/(2р), то система е(А) полна в 17(—7Г, тг) (1 < р < оо), причем константа 1/(2р) — точная (т. е. при ее увеличении полнота нарушается). То, что полнота сохраняется в случае

ОО

J- V—% £

М < М + — + е-|„|, еп > О, у — < оо,

2р 11 ' п обнаружил A.M. Седлецкий [11], а также Р. Редхеффер и Р. Янг [42]. Но условие еп/п < оо не является необходимым. Это следует, например, из • следующей теоремы А. И. Хейфица [22]: пусть Л имеет следующий вид:

Aft = n+(i + r-^-г jsignn, Дб1, A0 = 0, Ai = -Ai = с,

4 m\n\J где действительное число с выбрано таким образом, чтобы в последовательности Л не было кратных членов; тогда для полноты в £2(—тг,тг) системы е(Л) необходимо и достаточно, чтобы Д ^ 1/4.

В статье [42] для канонического произведения -Рл(^) с нулями

К = п + (+ ГТ~Г) ^ё11 п' " т^ 0, ±1, \2р т\п\/

А 6 К, Л0 = 0, Ах = -А1 = с (0.4) получена оценка:

Р(х + г)| = 0 (|ж|-"(1п |®|)-2А) , \х\ > 2. (0.5)

С помощью этой оценки в [42] было установлено, что система е(Л) с Л вида (0.4) полна в Ьр(—7Г, 7г), если Д ^ тш(1/4,1/(2р)) и неполна, если Д > тах(1/4,1/(2р)). Позже, в [44] было показано, что полнота этой системы в ЬР{—7Г, 7г) (1 < р ^ 2) равносильна условию

1 11 д^, - + - = 1. (0.6)

2д р д

В [18] есть обобщение приведенной выше теоремы Левинсона на случай пространства Ь^у. если Ап € С и |АП| ^ |п| -Ь (1 + а)/(2р), то система е(А) полна в Ь^ (1 < р < оо, — 1 < а < р — 1), причем константа (1 + а)/(2р) точная. ,

В [18] рассмотрен вопрос о полноте в системы е(А), когда

Д е М, А0 = 0, Ах = —А1 = с. (0.7) Была доказана следующая теорема: если

1<р<ос, тах(0, р - 2) ^ а < р - 1, (0.8) то для полноты е(А) в Ь^ необходимо и достаточно, чтобы выполнялось (0.6). Заметим, что в этой теореме доказательство необходимости опирается на оценку (0.5).

Пусть /(¿) — медленно меняющаяся функция, т. е. положительна, измерима на полуоси [А, оо], А > 0 и при всех А > 0 удовлетворяет условию

1( М) £—>оо т 1.

Пусть, кроме того, /(£) о, /(£) — дифференцируема и ¿'(¿) монотонна. В диссертации рассмотрен более общий по сравнению с (0.7) случай:

Ап = п + + пеЪ (0.9)

Получена следующая оценка:

Теорема (1.1). Пусть Л имеет вид (0.9). Тогда

FA(z)\ х е7^ \z\-^R(\z\), z в П5(А). где

R{t) = exp |-2 J ^ du j , Q5(A) = {z 6 С : - An| ^ <5 > 0 Vn€ Z}.

На основе этой оценки доказан следующий критерий полноты. теорема (1.2). Если выполнено условие (0.8), то для полноты системы е(Л) с Л вида (0.9) в Lva<K необходимо и достаточно, чтобы

R4x) . rl/1 . 11, х р q

Кроме того, с помощью теоремы 1.1 доказано достаточное условие базиса в системы е(Л) с Л вида

Ап - п+ (а-И (n)) sign n, аеМ. (0.10) теорема (1.3). Пусть л имеет вид (0.10). Пусть выполнены условия (0.8) и

1 4- а 1 1 + а

2<а< 2 р

Тогда система е(Л) образует в LP^ базис, обладающий свойством Рисса, а при р = 2, а — 0 — базис Рисса.

В параграфе 3 речь идет о избытках систем е(Л) в пространстве L2(—7г, 7г). Напомним, что избытком полной системы Е называется наибольшее количество элементов Е, которое можно удалить с сохранением полноты. (Под удалением элемента е из Е подразумевается переход от системы Е к системе Е\{е}).

Будем обозначать избыток е(Л) в пространстве L2{—7г,7г) за #2(Л). §3. А. М. Седлецким была доказана следующая теорема [43]: если

Хп = п-\- Д sign те + г a; In |га|, п <Е Z\{0}? А0 = О, А е М, а G 3R + , (0.11) то

FA(x)\ х \хГ~2А, |я|>2+|Д|. (0.12)

Пусть последовательность Л имеет вид

Лп = п + г h(|n|), п е Z \{0}, До = 0, (0.13) где h{t) : К + —> М+. Оценка (0.12) позволила A.M. Седлецкому найти оценки снизу и сверху для избытков систем экспонент е(А) в пространстве

L2(—7г, 7г):

1) Если для некоторого а ^ О h{n) < о;Inn (п ^ п0), то J52(A) ^ [ал*] + 1. Если к тому же {шг} < 1/2, то Е2(Л) < [сет].

2) Если h2(n) и п2 h{n) ^ о;Inn (n ^ по, а > 0), то -E2(A) ^ [осж\. Если к тому же {атг} ^ 1/2, то Ео(А) ^ [атт] 1. Эта теорема дает некую логарифмическую шкалу для нахождения избытка системы экспонент. Но эта шкала несовершенна, так как не всегда позволяет вычислить точное значение избытка.

В диссертации при некоторых ограничениях на функцию h(t), найдена точная оценка для канонического произведения с нулями (0.13) теорема (1.4). Пусть h(t) : —> м+ — дифференцируемая вогнутая функция и h(L) — 0(tP), (3 < 1/2. Тогда xe^N), х el. Эта оценка позволила автору получить явную формулу для ^(Л). теорема (1.5). Пусть h(t) — функция из предыдущей теоремы. Тогда r /e7th(x)\2

Л) = max ^ п 6 : / f——J dx = оо

Мы переходим к параграфу 4, посвященному базисам из экспонент в пространствах Lva)7Г.

§4. Хорошо известна следующая теорема Кадеца [2]: если Хп G К. и sup |А„ - п\ < 1/4, п то система е(Л) образует базис Рисса в L2{—тг,7г). Константа 1/4 в этой теореме является точной.

Результаты о базисах е(Л) в LP (—7Г, 7г) при р ^ 2, а также в пространствах принадлежат А. М. Седлецкому. Им же было введено понятие базиса, обладающего свойством Рисса (оно инициировано теоремой М. Рисса о сопряженном ряде Фурье функции из Lp(—7г,7г), 1 < р < оо). Будем говорить, что базис е(А) банахова пространства В (a, b) обладает свойством Рисса, если оператор cneiXnt ]Г cneiA"£

АпеЛ Re Ап>0 7 ограничен в В (а, Ь). Это понятие является некоторой заменой понятия базиса Рисса для пространств 7Г, 7г) при р отличном от 2.

В [18] был получен аналог теоремы Кадеца об 1/4 для случая регулярных возмущений целочисленной последовательности. А именно было показано, что если

X I

1<р<оо, тах(0,р- 2) ^ а <р- 1, -- 4- - = 1, (0.14) pq то система {ехр(г(п+Д signri)t)}n£% образует в Lбазис, обладающий свойством Рисса тогда и только тогда, когда

1 ид 1 + а' Re Д < ——. 2 q 2р

В связи с этим результатом естественным образом возникает вопрос, образует ли в базис, обладающий свойством Рисса, система е(Л), удовлетворяющая условиям

1 X J Q/

- — < Ai ^ |ReAn| - |д| ^ Д2 < -77А

2 q 2р

Im Л п\ < H < со, n€Z, sign Re An = sign п. (0.15)

Частично ответ на этот вопрос дает теорема, доказанная в диссертации.

Теорема (1.6). Если выполнены условия (0.14) и (0.15), причем Д2 — Д1 < 1 /q, то система е(Л) образует в L£)7r базис, обладающий свойством Рисса.

Полученный результат является новым и для невесового случая, т. е. для пространства Lp(—7г,7г), 1 < р < 2.

В связи с задачей о базисах Рисса из экспонент в L2(—7г,7г) Б. Я. Левиным в конце 1960-ых годов [4] были введены так называемые функции типа синуса (ф.т.с), т.е. целые функции экспоненциального типа, для которых выполняется оценка

F(z)\ х е7^!, |Imz\ = h{G) > 0, (0.16)

Им и посвящен параграф 5 главы I.

§5. Функции типа синуса нашли применение не только в негармоническом анализе, по и в спектральной теории и дифференциальных уравнениях. Большой интерес представляет вопрос о распределении нулей функций типа синуса.

Будем обозначать класс ф. т. с. за S. Важный подкласс в S образуют функции вида

7Г

F(z) = J elztdcr(t), varo-(£) <+00, (0.17)

-TT где <т(;£) имеет скачки в обеих точках ±7г [18]; в этом случае нули Хп функции , удовлетворяют условию

Ап = п + 0(1), п —> ±оо. (0.18)

Но функции вида (0.17) с условием <т(±7г) ^ сг(±7Г 0) не исчерпывают весь класс Б. В ряде работ строились ф.т. е., не являющиеся преобразованием Фурье-Стилтьеса, т. е. не представимые в виде (0.17) (об этом см. [18]); во всех случаях нули построенных функций также удовлетворяли условию (0.18).

Обозначим через 1 ^(а,с;г) вырожденную гипергеометрическую функцию (см., например, [7]). В [19] показано, что при определенных условиях на а и с функция

Р(г) = е~{1гг! ^ (а, с; 2тг) принадлежит классу 5, но вместе с тем имеет следующую асимптотику нулей: 1 д 77, \ \п = п + А + В-\п\п\ + 0 (^-Щ-1) > п ±00> Л <Е С, В € Е, В^ 0.

Это, по видимому, первый пример функции типа синуса с асимптотикой нулей не укладывающейся в рамки формулы (0.18). В связи с этим результатом естественно возникает вопрос об описании функций /(¿) +оо, таких, что последовательность

А„ = п + г(|п|), пей, 1(п) = о(п). (0.19) является множеством нулей ф. т. с. Этот вопрос рассматривается в диссертации. Доказана следующая теорема (1.7). Пусть /(£) — вогнутая дифференцируемая функция, такая, что /(¿) = 0(£а), 0 < а < 1. Тогда для того, чтобы последовательность (0.19) была множеством нулей некоторой ф. т. е., необходимо и достаточно выполнение условия • /'(£) = 0(1), г -> +оо.

Вторая глава диссертации посвящена аппроксимационным свойствам систем экспонент на полупрямой и прямой. Параграф 2 содержит в себе точные , оценки канонических произведений с нулями специального вида. Эти оценки носят не только прикладной характер (они используются в параграфах 3 и 4), но и являются самостоятельными результатам в задаче, идущей еще от Г. Валирона.

§2. За А(£) будем обозначать считающую функцию последовательности А, т. е. функцию, значение которой в точке £ равно количеству (с учетом крат-ностей) элементов последовательности А, попавших в круг \г\ ^ Ь. Рассмотрим канонические произведения с нулями вида

А„ = -Л(п), р> 0, 9 где L(t) — некоторая медленно меняющаяся функция. Род р таких канонических произведений удовлетворяет неравенствам р ^ р ^ р + 1. Последовательность Л удобнее задавать через считающую функцию

Л {t)~tpl{t), An£l, (0.20) где l(t) — уже какая-то другая медленно меняющаяся функция (зависящая от Lit)). Первые оценки для канонических произведений с нулями такого вида были получены Г. Валироном [46] и Б. Титчмаршем [45]. Они показали, что если A(t) имеет вид (0.20), где р нецелое, то при любом (р ^ 7Г ln FA(re^)--— zpl(r), г +оо, z = rei(p. (0.21) sm 7Г р Понятно, почему оценка производится только на лучах, не совпадающих с отрицательной полуосью — на ней расположены нули канонического произведения. Но если исключить из окрестности точек Ап, то имеет место оценка, аналогичная (0.21): киРд(—т) ~ 7гctgirp • rpl(r), г —» +оо, \г + Ап| > 6 > 0.

Эта оценка для 0 < р < 1 принадлежит Е. Титчмаршу [45]. Распространить ' ее на случай произвольного нецелого р удалось Б. Я. Левину [3] и независимо от него А. Пфлюгеру [41]. Они получили равномерную оценку, аналогичную (0.21), во всей комплексной плоскости за исключением некоторого множества, содержащего точки Ап.

Множитель sin 7гр в знаменателе (0.21) указывает на то, что оценка в случае целого р должна быть другой. Н. Бовен [36] доказал следующую теорему: ■ если р G N, то при любом ip тг lnFk{rei{f) ~ (-z)pT(r), г +оо, г = reitp, (0.22) где dt, р = р,

Кг) =

J t 1

00 г

0.23) dt, Р = Р +1. г г

В отличие от случая нецелого порядка, автору неизвестны асимптотические оценки на отрицательной полуоси при р целом (за исключением частного случая ^д(г) = 1/Г(^), соответствующего последовательности Ап = —п).

Условие (0.20) слишком широкое, чтобы получить более точные асимптотические оценки для канонического произведения. К тому же вызывает интерес вопрос о поведении ^л(^) вблизи точек последовательности Л. Решение обеих этих задач можно найти, наложив дополнительные условия на распределение нулей функции Для широкого класса последовательностей Л в диссертации найдены несколько первых членов асимптотики -Рд(г) во всей комплексной.плоскости. Важно, что примененный автором подход является единообразным для всех р > 0 — как целых, так и нецелых.

§3. К вопросам аппроксимационных свойств систем е(Л) в весовых пространствах LP на полупрямой и прямой можно придти двумя путями. Первый из них - следующая теорема Н. Винера: если / G L^R) (/ G L2(E)), тогда для плотности в L^R) (L2(M)) линейных комбинаций сдвигов + Л), AGI (0.24) необходимо и достаточно, чтобы / ф 0 (/ ф 0 почти всюду).

Так как (f(t + А)У*= elXif(t), а преобразование Фурье задает изоморфизм пространства Ь2(Ш) на себя, то плотность линейных комбинаций сдвигов (0.24) эквивалентна полноте в Ь2(Ш) семейства экспонент eiXtg(t), A G Л С 1, (0.25) где g(t) = f(t). Таким образом, теорема Н. Винера допускает следующую формулировку: пусть g G L2(M); для того, чтобы семейство (0.25) с Л = IR было плотно в L2(]R), необходимо и достаточно, чтобы g ф 0 почти всюду.

В связи с этим результатом возникает вопрос: существует ли неплотное в M множество Л такое, что система (0.25) полна в L2(M). Частично ответ на этот вопрос дает следующая теорема А. М. Седлецкого [13,18]: если g(t)\ ^ exp(-a;(|i|)), ieR, где сu(t) — положительная возрастающая функция на луче (0, оо) и йте il(K+)' то система (0.25) неполна в Ь2(Ш) пока А неплотно в M.

Эта теорема означает, что система (0.25) с неплотным в M множеством А может быть полной в Ь2(Ш) только при достаточно быстром убывании функции g(t).

К аналогичным задачам приводят и попытки распространить негармонический анализ с конечного интервала на бесконечный. О полноте систем • е(А) в 1/(1R) говорить не приходится, поскольку функции elXnt не лежат в р ^ 1. Чтобы разрешить проблему, можно домножить эти функции па подходящий вес (или, что то же самое, рассмотреть их в весовых пространствах LP на прямой). В результате, мы снова приходим к системам (0.25). На сегодняшний день наиболее изученным является случай g(t) = е"*, а > 0, Q' > 1. il

В работах Б. Факсена, Р. Залика и Т. Абуабары Саад, A.M. Седлецкого, Т. А. Сальниковой и Г. Денга в основном исследуется полнота систем е(А; а, а) = ie'lXnte~a^a\

I ) nGN

Вопросы минимальности и равномерной минимальности таких систем исследованы в меньшей степени.

Заметим, что задача аппроксимации системами е(А; а, а) в пространствах L^R) и LP(R+) эквивалентна задаче аппроксимации системами е(А) в весовых пространствах

LP (R, exp (~ap\t\a) dt) и Lp (R+, exp (~ap\t\a) dt).

Далее нам понадобятся следующие обозначения: /3 — это число, сопряженное с а (т. е. f3~l + а~г = 1),

Ш а) =

Р(аа)Р/а'

В параграфе 3 речь пойдет о достаточных условиях полноты систем весо-' вых экспонент е(Л; а, а) в пространствах и 1 ^ р ^ оо (для единообразия формулировок будем обозначать Ь°°(Ш) = Со(М)). Важные результаты в этом направлении были получены А. М. Седлецким. Он доказал, что если последовательность А положительна и обладает плотностью А/з(Л) при порядке /3, то для полноты системы е(Л; а,а) в 17(1), 1 < р ^ со необходимо, чтобы

71" 2р и достаточно, чтобы

А0(А)>^К(/3,а)з1п^. (0.26)

Для произвольных, не обязательно положительных, последовательностей Л А. М. Седлецким было дано следующее достаточное условие полноты: если

Ар(А) + А/?(Л) > ерК(0, а), (0.27) то система е(Л; а, а) полна в 1 ^ р ^ оо.

Обозначим 1

Верхней усредненной плотностью последовательности Л при порядке (3 назовем

Аналогично определяется нижняя усредненная плотность Дз(А) и усредненная плотность Цэ(Л). Имеет место следующая

12 теорема (2.2). Для полноты системы е(Л;а,а) в LP(R), 1 ^ р ^ оо 1 достаточно выполнения условия

2тг

Dp{A) > К^ а) J | cos tfdt. (0.28) о

Достаточное условие (0.27) полноты системы е(Л; а, а) следует из теоремы = 2.2.

Возникает вопрос о точности оценки (0.28). Ответ на него в случае (3 = 2 (при этом правая часть неравенства (0.28) равна 1/(8а)) дан в диссертации.

Теорема (2.3). Для любого 0 ^ D < 1/(8а) существует неполная в пространстве LP (Ж), 1 ^ р ^ оо система экспонент е(Л;а, 2), такая, что D2(A) = D. i

Заметим, что теорема 2.2 для случая р — 2, 1 < су ^ 2 доказана в работе [6]. Там же без каких-бы то ни было обоснований приведено утверждение о точности оценки (0.28). Теорема 2.2 для всех доказана в диссертации.

Возьмем положительную последовательность Л с плотностью Д2(Л). Усредненная плотность такой последовательности равна Д2(Л)/2. Пользу' ясь достаточным условием (0.26) полноты системы е(А;а, си), а также тем, что К(2, а) = 1/(4а), получаем следующий результат: для любого D > 1/(1б7га) существуют полные в £Р(М), 1 р со системы весовых экспонент е(Л; а, 2), такие, что усредненная плотность Л равна D.

Таким образом, в случае (3 = 2 возникает интервал db ¿) ■ (а29) такой, что если усредненная плотность последовательности Л находится справа от него, то система е(Л; а, 2) полна в &*(№.), 1 ^ р ^ оо, а если внутри, то система е(Л; а., 2) может быть как полной, так и неполной.

Для пространств ЬР(Ш+) верны аналогичные результаты. В этом случае f в роли (0.29) выступает интервал (1/(327га), 1/(16а)).

В параграфе 4 речь пойдет о полных и одновременно минимальных системах весовых экспонент в пространствах ЬР(Ш) и LP(M+). §4. Первый пример системы весовых экспонент е(Л;а, а) полной и одновременно минимальной в L2(R) принадлежит Р. Залику и Т. Абуабара Саад [47]. Они доказали, что при 4

А = IJ {2^/Шсхр (г (j + | k)) U {0} U {1} (0.30) fc=i система е(Л; 1/2,2) является полной и минимальной в Ь2(Ш). Т. А. Сальникова [9,10] и А. М. Седлецкий [14] рассмотрели последовательность А более общего по сравнению с (0.30) вида: где Ai А2 выбраны таким образом, что в последовательности А нет кратных членов. Было доказано, что для полноты и минимальности системы е(А, 1/2,2) с А вида (0.31) в ЬР(Ш), 2 ^ р < оо необходимо и достаточно, чтобы —1/(4р) 1/(4q).

Условие а = 2 являлось существенным для доказательства этих резуль-' татов. Это связано с тем, что для определения аппроксимационных свойств системы е(А; а, а) требуются точные асимптотические оценки канонических произведений с нулями А. А такие оценки при аф-2 известны не были.

Первые примеры полных и минимальных в LP(R) и в LP(R+), 1 ^ р ^ оо систем е(А; а, а) принадлежат A.M. Седлецкому [15,17]. В качестве

А им было взято множество нулей некоторой целой функции, являющейся . линейной комбинацией функций Миттаг-Леффлера. В силу построения, выписать А в явном виде нельзя.

В диссертации рассматриваются системы e(A; a, cv) с множеством А вида

2 к 4 к где аи — определенные комплексные числа, а 1{р) — некоторая медленно меняющаяся функция, стремящаяся к нулю на бесконечности. Оценки, полученные в параграфе 2, позволили найти необходимые и достаточные условия полноты и минимальности таких систем в ЬР{Ш.) и

Материал диссертации можно отнести к двум разделам анализа: теории целых функций и теории аппроксимации. Первому принадлежат оценки канонических произведений, а второму их приложения.

Основное содержание диссертации опубликовано в работах автора [25-35].

Автор глубоко благодарен своему научному руководителю, профессору А. М. Седлецкому за постановку задач, ценные советы и постоянное внимание ' к работе.

A= (J {2л/тг(п + Ц ехр (г (7 + | /с)) } U {Хг} U {А2}, h>-1, 7 е [0, тг/2), (0.31) а (5

1. Юхименко А. А. Об одном классе функций типа синуса. // Математические заметки, 2008, том 83, вып. 6, стр. 941-954.

2. Юхименко А. А. Базисы из экспонент в весовых пространствах Ь''(—тг, тг). // Вест. Моск. Ун-та, матем. механ. 2010, №2, С. 36-38.

3. Юхименко А. А. Полные и минимальные системы весовых экспонент на полупрямой и прямой. // Тезисы докл. Intern. Conf. on Complex Analysis in Memory of A. A. Goldberg. Lviv, Ivan Franco National University, 2010. C. 139.

4. Юхименко А. А. Канонические произведения, порожденные возмущениями целочисленной последовательности, и их асимптотические оценки. // Известия РАН, серия математическая, том 74, № 5, 2010, С. 205-224.

5. Levinson N. Gap and density theorems. New York: Publ. Amer. Math. Soc., 1940.

6. Paley R., Wiener N. Fourier transforms in the complex domain. Publ. Amer. Math. Soc., New York, 1934.

7. Pfluger A. Die Wertverteilung und das Verhalten von Betrag und Argument einer speziellen Klasse analytischer Functionen I, II. // Comm. Math. Helv., 11 (1938), 180-213; 12 (1939), 25-69.

8. Redheffer R., Young R.M. Completeness and basis properties of complex exponentials. // Trans. Amer. Math. Soc. 1983. - V.277. - P.93-111.

9. Sedletshi A. M. On completeness of the system {ехр(га;(м + г hn))}. // Anal. Math., 1978, V.4, P.125-143. 1 44] Sedletskii A. M. Nonharmonic analysis. // J.Math. Sciences. 2003. - V.116, №5. - P.3551-3619.

10. Titchmarsh E. C. On integral functions with real negative zeroes. // Proceeding of the London Mathematical Society, 1927, 26, 185-200.

11. Valiron G. Sur les functions entieres d'order fini, et d'orde nul, etparticuliere les functions a correspondence reguliere. // Ann. Fac. Sci. Univ. Touluse, 1913, 5, 117-257.

12. Zalik R.A., Abuabara Saad T. Some theorems concerning holomorphic Fourier transforms. // J. Math. Anal. Appl. 1987. - V. 126. - P. 483-493.