Замыкание, минимальность и базисность некоторых систем рациональных и трансцендентных функций в угловых областях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ТЕОРЕМЫ ВЛОЖЕНИЯ, МИНИМАЛЬНОСТИ И ЕАЗИСНОСТИ

В КЛАССАХ И р В ПОЛУПЛОСКОСТИ. II

§ I. Необходимые сведения и утверждения о пространствах Н Р в полуплоскости

Н Р в полуплоскости. II

§ 2. Теорема вложения для функций из п +

§ 3. О замыкании, минимальности и базисности некоторых общих систем функций из Н +

ГЛАВА П. БАЗИСНОСТЬ НЕПОЛНОЙ СИСТЕМ РАЦИОНАЛЬНЫХ

ФУНКЦИЙ В УГЛОВОЙ ОБЛАСТИ

§ I. Необходимые свойства функций из классов

HPCf 7 (d/z< j>< +<*>)

§ 2. Построение биортогональных систем функций {т tc U ;еО}~ и (fa (*> «0}^ и представление функций из Н Cj>]

§ 3. О замыкании и базисности системы функций m*f*joO£°.

ГЛАВА Ш. Ш0РТ0Г0НАЛИЗАЦИЯ И ЗАМЫКАНИЕ НЕПОЛНЫХ ^

ОБОБЩЕННЫХ СИСТЕМ МЮНЦА-САСА * U

В УГЛОВЫХ ОБЛАСТЯХ.

§ 1.Биортогонализация системы giK-il и вспомогательные леммы.

§ 2.Вопросы сходимости в пространствах Н и /7 Г^ 7 ряда по системе {-в * J^ . ^

а) Вопросам полноты - замкнутости различных систем аналитических и рациональных функций в разных метриках аппроксимации посвящено большое количество работ. Однако представляет особый интерес другой аспект задач аппроксимации, связанный с заведомо неполными в выбранной метрике системами функций. Этой тематике посвящен цикл исследований М.М.Джрбашяна fl-в] и в общих чертах может быть охарактеризован следующим образом: дать полную внутреннюю характеристику замыкания в данной метрике неполной системы функций и выявить условия, при которых функции из замыкания разлагаются в ряды по этим системам.

В исследованиях [7-Ю] была выявлена особая роль и важность построения биортогональных систем функций для решения задач такого рода.

В работе М.М.Джрбашяна Гэ1 был предложен метод построения системы функций т S с/ к (г) Г биортогональной на окружности

Г 7 00

12| = 1 с системой рациональных функций i^tc (Z) л^ , где

ОО V oU}^ С М/с I < 1 ) - последовательность комплексных чисел, удовлетворяющая условию Бляшке, а >/ 1 - кратность появления числа die на отрезке {clj, • . 5 .

Им же этот метод был применен [ю] для построения системы функций

Я к. Ml? , биортогональной на вещественной оси с системой рациональных функций /с , где , ^ (J* -D! , ,

ОО ч

-Г К 1 ( У ж- Н >о)~ последовательность комплексных чисел,

J ^ i J/C у удовлетворяющая условию Бляшке для полуплоскости Jm иг у 0 , а

1 - кратность появления числа Ji^ на отрезке tf/^ ; " '

Метод построения биортогональных систем восходит к одной давней работе М.М.Джрбашяна и А.Б.Нерсесяна [il], посвященной построению биортогональных на конечном отрезке систем целых функций - линейных комбинаций от функций типа Миттаг-Леффлера

00 /С

В связи с этим исследовались также вопросы разложений функций по указанным системам, порожденным, вообще говоря, кратными нулями определенных целых функций такого же рода [12].

В дальнейшем этот же метод построения биортогональных систем, порождаемых аналитическими функциями с кратными нулями нашел существенно новые применения в ряде различных по своей природе вопросов анализа: в теории краевых задач для дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом [13"], [14] и для уравнений дробного порядка типа Штурма-Лиувилля [15], в вопросах разложений функций по неполным обобщенным системам Мюнца-Саса [i] {t х х (Rz Xj У О) и т.д.

Далее, этот метод нашел новые приложения и интересные обобщения в серии работ Верблюнского [1б] - f18].

М.М.Джрбашян дал важные применения этого метода также и в вопросах изучения асимптотических рядов Дирихле-Тейлора, обладающих свойством примыкания на полуоси или в бесконечных областях типа криволинейных полос [19], [20]. оо б) Еиортогональные системы М.М.Джрбашяна и их различные модификации позволили установить критерий их базисности и получить полное решение кратной интерполяционной задачи в различных классах аналитических функций [6-8] , [21-23] . Эти системы послужили основой для построения и установления теорем о разложениях по определенным системам рациональных функций, порожденных ограниченными континуумами и являющихся существенными обобщениями полиномов Фабера [9].

Метод биортогонализации нашел существенное приложение в исследованиях М.М.Джрбашяна ["б], посвященных вопросам полной внутренней характеристики и разложений по неполным системам рациональных функций и по обобщенным системам Мюнца-Саса. в) По-видимому, первыми результатами в направлении решения такого рода задач для конкретных неполных систем, связанных с классической теоремой Мюнца, явились небольшая заметка Кларксо-на и Эрдеша [24] и почти одновременно с ней значительно более общее и глубокое исследование Л.Шварца [25].

Кларксон и Эрдеш первыми рассмотрели неполные системы , ги ?00

I* J 1 (1 п,, гj - последовательность целых чисел, v 4/ JK 1 г х •? 00

У Vk: )» доказав, что система 1-е s± будет минимальной и что любая функция $ (х) из ее замыкания в С СО, + со) аналитически продолжается во всю правую полуплоскость FU в ? о .

Л.Шварц в главе I своей монографии f25] проводит детальное исследование отмеченных в начале введения задач для замыканий в метриках Lр (0,+ <*>) (i < р <+Е С СО, -too) Непол

Г -J1* X 7 °° ных систем \ f ± при условиях h * ■■■ 00■

Однако по этому поводу следует отметить, что в обратных теоремах Л.Шварца [25] аппроксимируемость данной функции f(x)£ Lz(0,+ oo) посредством неполной системы достигается не только требованием ее аналитичности в полуплоскости fte. 2 > 0 , но и требованием ее равномерной аппроксимируемости той же системой в каждой области вида ft ,$* I2U+ оо}(0<9<l}t?0')i содержащей, в частности, любую полуось сю)

По этой причине проблему полной внутренней характеристики для замыкания системы например, в метрике Lz (0У + оо ), после отмеченных результатов Л.Шварца, очевидно, нельзя было считать исчерпаной.

В исследованиях М.М.Джрбашяна Гб] был предложен новый метод, позволивший дать полную внутреннюю характеристику замыканий не

- Н X £ —1 7 00

X л Г у .

Р 1 00 J 1 где гJf^ j± - произвольная последовательность комплексных чисел из полуплоскости > 0 , а ^кЪ d - кратность появления числа JJ на отрезке f Jfj }± . Этот метод позволил установить теоремы большей общности, часть которых в весьма специальном случае содержит основные теоремы монографии Л.Шварца [25] (см.теоремы 0.1 и 0.2 Гб]) в пространстве Lz (Of+ 00) .

В данной работе рассматриваются вопросы характеристики замыканий и вопросы разложений по определенным системам рациональных или трансцендентных функций и по системам функций вида

1-е ? /. Эти рассмотрения ведутся в различных пространст-а вах функций, голоморфных в угловых областях комплексной плоскости с вершиной в точке 2 = О .

В главе I рассмотрены вопросы замыкания, минимальности и ба-зисности различных систем функций, изоморфных системам простейших рациональных дробей. § I носит предварительный характер. Здесь приведены необходимые сведения и утверждения о функциях из классов Н в полуплоскости.

В § 2 устанавливается одна теорема вложения (теорема I.2.I) для функций из классов Н (0<Р< + °°)Ъ полуплоскости. Эта теорема применяется при решении интерполяционных задач в классах Н и при установлении критерия базисности различных систем рациональных функций.

В § 3 строится изоморфизм в пространстве Н в полуплоскости. Путем изоморфного отображения пространства Н на себя на основании соответствующих результатов fio] М.М.Джрбашяна о системах

Г — jO I рациональных дробей вида |Ч,^ (2) = J± ' устанавливаются критерии полноты, минимальности и базисности различных систем функций, порожденных специальными функциями. В случае неполноты таких систем дается полная внутренняя характеристика их замыканий, а в случае минимальности строится биортогональная с ними система функций (теоремы 1.3.I - 1.3.4). д) Глава П посвящена построению и исследованию вопросов замыкания, биортогонализации и базисности определенных систем рациональных функций { 171 к (£ ; d ) с фиксированными полюсами из угловой области А Ы) - (С где

Л9) = {В- 10^2 / < , jjz-JU-,*^.

При построении этих систем и их биортогональных дополнений используется отмеченный ранее метод М.М.Джрбашяна [ 9"] построения обобщений полиномов Фабера, порожденных ограниченными континуумами.

В § I доказаны необходимые свойства пространств Н Cf] функций £ (? ) аналитических в угловой области Л (j>) и удовлетворяющих условию

Г ь р

Отметим, что Н £j> J при /> 6 £/ , + «О ж j> G (d/z > + являются банаховыми пространствами. ^

В § 2 строится система рациональных функций { М* к (2 j d )]г± ^ с полюсами, расположенными в точках последовательности {-А/с },

ГО . •*•

С Д(о0 . Эти функции являются главными частями разложений в ряд Лорана в окрестности точки £ = - Я^ функций ± кмгде ; = -(-2; функция конформно отображающая Л (ы) = С \

ЛГу) на полуплоскость В этом же параграфе строится система функций (2 ; ol) , биортогональная с {. W-^CZ \ °0 в смысле

Lt где Lj> - общая граница 4(j>) и Л fo() .

Доказываются два утверждения (лемма 2.2.2 и теорема 2.2.1) о представлении ядра Коши и функций из классов Н Гу] посредством систем d)}± и {fj^'p

В § 3 дается полная внутренняя характеристика замыкания в метрике Н Lj>] системы I (теорема 2.3.1).

Отметим при этом, что функции этой системы лежат в //^Гр7 (i < f> < + °о) и эта система заведомо не полна в Н 'Vp 7 • В этом же параграфе устанавливается критерий базисности системы 7 <*)} в ее замыкании (теорема 2.3.2). Теорема. Пусть /* - кратность появг ? 00 ления числа Я ^ в последовательности { А & у ^ ). ^

Для того, чтобы система рациональных функций jd)}-^ являлась базисом в своей линейной оболочке необходимо и достаточно условие

А К, -A-j П

С >/4 i=1

Я* + J > 0 . е) В главе Ш рассматриваются вопросы аналитического продолжения функций, принадлежащих замыканиям в Н и Н С}] неполных систем вида l~£ z ( /0/t^ И к. I < jfa , i<o(< + cx?,o(i+(j-i=i ) и вопросы разложений в ряды по функциям этих систем.

Вопросы полноты этих систем и описания их замыкания в случае неполноты в пространствах Н [<tl впервые были рассмотрены в работе М.М.Джрбашяна и В.М.Мартиросяна [45]. Установленные здесь результаты являются дальнейшими обобщениями упомянутых выше результатов М.М.Джрбашяна Гб] относительно неполных в Lz(0^oo) систем Мюнца-Саса. Они получены методом, впервые развитым в упомянутой выше работе [5], применительно к рассматриваемым автором неполным в угловой области системам {-в ^ ' оо

В § I главы Ш строится система {(2) , биортогональная с системой Г? j Я/с г**'1}? в следующем смысле: где L^ - граница области Л Q-) = { 2 j №/t(j }, J- t-ol -i.

Далее, налагая определенные условия на последовательность

7 00 lAje/^ С A(d) , доказывается ряд вспомогательных лемм. В § 2 рассматриваются вопросы сходимости сгруппированных рядов вида

ОО

I] ( XI СйС^СО^СН^Л^) и-о ЧАйК^п. в пространствах Н и // £ ^ 1 (теоремы 3.2.1 и 3.2.2).

Через <7и обозначено множество всех отличных друг от друга тоf ? 00 /7Я чек последовательности I А^/^ , лежащих в области , 0 УЬ < -too . а 3

0 < Ко - h fe*®

H-++C4 см. лемму 3.1.3).

Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [47] - [50].

Автор считает своим приятным долгом выразить благодарность академику АН Арм.СОР М.М.Джрбашяну за постановку задач и руководство при выполнении данной работы и старшему научному сотруднику В.М.Мартиросяну за постоянное внимание к работе и ценные замечания.

1. М.М.Джрбашян, 0 пополнении и замыкании неполной системы функций {Jt'f* Х X , ДАН СССР, 141, № 3, 1961, 539-542.

2. М.М.Джрбашян, О пополнении неполной системы Мальмквиста на вещественной оси, ДАН Арм.ССР, 35, № 2 (1962), 55-60.

3. М.М.Джрбашян, 0 пополнении одной неполной системы, ДАН Арм. ССР, 35, № 3 (1962), 97-105.

4. М.М.Джрбашян, Представление и замкнутость некоторых ортогональных систем, Изв. АН Арм.ССР, сер. матем., Х1У, № 6, 1979, 446-493.

5. М.М.Джрбашян, Характеристика замкнутых линейных оболочек двух семейств неполных систем аналитических функций, Мат.сб.,114 (156), № I, 1981, 3-84.

6. М.М.Джрбашян, Биортогональные системы и решение интерполяционной задачи с узлами ограниченной кратности в классе Н2 » Изв. АН Арм.ССР, сер. матем., IX, № 5, 1974, 339-373.

7. М.М.Джрбашян, Базисность некоторых биортогональных систем и11 Ррешение кратной интерполяционной задачи в Н + , ДАН СССР, 234, № 3, 1977, 517-520.

8. М.М.Джрбашян, Базисность некоторых биортогональных систем и решение кратной интерполяционной задачи в классах Н ^ в полуплоскости. Изв. АН СССР, сер. матем., 43, № 6, 1978, 1322-1384.

9. М.М.Джрбашян. Биортогональные системы рациональных функций и представления ядра Коши, Изв. АН Арм.ССР, сер. матем., УШ,5, 1973, 384-409.

10. М.М.Джрбашян. Биортогональные системы рациональных функций и наилучшее приближение ядра Коши на вещественной оси, Матем.сб.,95 (137), № 3 (II), 1974, 418-444.

11. М.М.Джрбашян, А.Б.Нерсесян, 0 построении некоторых специальных биортогональных систем, Изв. АН Арм.ССР, серия физ.-мат. наук, ХП, № 5, 1959, 17-42.

12. М.М.Джрбашян, А.Б.Нерсесян, Разложения по некоторым биорто-гональным системам и краевые задачи для дифференциального уравнения дробного порядка, Труды ММО, X, 1961, 89-179.

13. А.Б.Нерсесян. Разложения по собственным функциям некоторых несамосопряженных краевых задач, Сиб.матем.ж., II, № 3,1961, 428-453.

14. А.Б.Нерсесян. Разложения по собственным функциям краевой задачи для одного интегро-дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом. Изв. АН Арм.ССР, серия физ.-мат.наук, ХП, № 6, 1959, 37-68.

15. М.М.Джрбашян. Краевая задача для дифференциального оператора дробного порядка типа Штурма-Лиувилля, Изв. АН Арм.ССР, сер. матем., У, № 2, 1970, 71-95.

16. S.Verblunski. On some biorthogonal systems, II, Quart* J. Math., 16, 1965, 1-8.

17. S.Verblunski. On a class of integral operators, II, Proc.London Math. Soc,, XVI, N.3, 1966, 456-472.

18. S.Verblunski. On a class of biorthogonal expansions, II, Proc. London Math. Soc., XXV, N.1, 1972, 1-26.

19. М.М.Джрбашян. Примыкание и единственность рядов типа Дирихле на вещественной оси. Изв. АН Арм.ССР, сер.матем., УП, № 4, 1972, 258-274.

20. М.М.Джрбашян. Теоремы единственности аналитических функций, асимптотически представимых рядами Дирихле-Тейлора, Матем. сб., 91 (133), № 4 (8), 1973, 580-626.

21. Г.М.Айрапетян. 0 базисе рациональных функций, в подпространствах классов Харди Н Р (1 ^ р <+ оо~) , Изв. АН Арм.ССР, сер.матем., УШ, № 6, 1973, 429-450.

22. Г.М.Айрапетян. О базисности некоторых биортогональных систем в комплексной области, Изв. АН Арм.ССР, сер. матем., X, № 2, 1975, 133-152.

23. Г.М.Айрапетян. Кратная интерполяция и базисность некоторых биортогональных систем рациональных функций в классах Н ^ Харди, Изв. АН Арм.ССР, сер.матем., ХП, № 4, 1977, 262-277.

24. J.A.Clarkson et P.Erdos, Approximation by polynomials, Duke Math. J., 10 (1943), 5-11. '

25. L.Schwartz, Etude des sommes d'exponentielles 1-ere ed, Paris, Herman, 1943» 2-eme ed, Strasburg, 1959.

26. P.Duren. Theory of H Spaces, Ac. Press New-York and London 1970.

27. Титчмарш. Введение в теорию интегралов Фурье, Гостехиздат, 1948.

28. М.М.Джрбашян, А.Е.Аветисян, Интегральное представление некоторых классов функций, аналитических в области угла, ДАН СССР, 120, № 3, 1958, Сиб.мат.ж., I, № 3, 1960.383-426.

29. М.М.Джрбашян, Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области, М., изд.Наука, 1966.

30. С.А.Акопян. Теорема о двух постоянных для функций класса Н{>, Изв.АН Арм.ССР, сер.матем., П, № 2, 1967, 96-114.

31. А.М.Седлецкий. Эквивалентное определение пространств Н^в полуплоскости, Матем.сб., 96 (138), I, 1975, 75-82.

32. Н.Винер, Р.Пэли. Преобразование Фурье в комплексной области, М., Наука, 1964.

33. L.Carleson. An Interpolation problem for bounded analytic functions, Amer. J. Math., 80, 1958, 921-930.

34. H.Shapiro, A.Shields. On some interpolation problems for analytic functions, Amer. J. Math., 83, 1961, 513-532.

35. Ф.А.Шамоян. Теоремы вложения, связанные с задачей кратного интерполирования в пространствах fl Р . Изв. АН Арм.ССР, сер. матем., XI, № 2, 1976, I24-I3I.

36. К.Гофман. Банаховы пространства аналитических функций. ИЛЛ, М., 1963.

37. А.М.Седлецкий. Интерполяция в пространствах ЦР в полуплоскости, ДАН СССР, 208, № 6, 1973, 1293-1295.

38. Ю.Ф.Коробейник. Критерий базисности одной системы функций, Матем. заметки, 25, № 5, 1979, 665-674.

39. В.Э.Кацнельсон. Об условиях базисности системы корневых векторов некоторых классов операторов, Функц. анализ и его при-лож., I, № 2, 1967, 39-51.

40. Н.К.Никольский, Б.С.Павлов. Базисы из собственных векторов вполне неунитарных сжатий и характеристическая функция, Изв. АН СССР, сер. матем., 34, № I, 1970, 90-133.

41. С.Качмаж, Г.Штейнгауз. Теория ортогональных рядов, Госиздат, физ.-мат.лит., М., 1958.

42. В.А.Диткин, А, П, Прудников. Интегральные преобразования и операционное исчисление, М., Наука, 1974.

43. В.М.Мартщюсян. Замыкание и базисность некоторых биортого-нальных систем и решение кратной интерполяционной задачи в угловых областях. Изв. АН Арм.ССР, сер.матем., ХШ, № 5-6, 1978, 490-531.

44. М.М.Джрбашян. О замкнутости системы типа Миттаг-Леффлера, ДАН СССР, 219, № 6, 1974, 1302-1305.

45. М.М.Джрбашян, В.М.Мартиросян. Теоремы типа Винера-Пэли и Мюнца-Саса, ДАН СССР, 225, № 5 (1975), I00I-I004; Известия АН СССР, сер. матем., 41, № 4, 1977, 868-894.

46. Л.А.Люстерник, В.И.Соболев. Элементы функционального анализа, М., 1965.

47. Ш.А.Григорян. О базисности неполных систем рациональных функций в угловой области, Изв. АН Арм.ССР, сер.матем., ХШ, № 5-6, 1978, 460-489.

48. Ш.А.Григорян. О замыкании неполных обобщенных систем типа Мюнца-Саса в угловш: областях, ДАН Арм.ССР, LXXIX, № 3, (1984), II0-II5.