Базисные свойства систем собственных функций некоторых дифференциальных операторов и их обобщения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

1 ^$>ск9в1;кий ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

1 м • <-= М.В.ЛОМОНОСОВА

| о ^

Факультет вычислительной математики и кибернетики

На правах рукописи

БИЛАЛОВ Билал Тельман оглы

БАЗИСНЫЕ СВОЙСТВА СИСТЕМ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИИ НЕКОТОРЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ И ИХ ОБОБЩЕНИЯ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученом степени доктора физико-математических наук

Москва - 1995

Работа выполнена на кафедре обшей математики факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова.

Научный консультант - профессор Е.И.Моисеев.

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

доктор физико-математических наук, профессор Л.А.Муравей; доктор физико-математических наук, профессор А.А.Дезнн; доктор физико-математических наук, профессор В.Д.Будаев;

Ведущая организация - Московский государственный институт радиотехники, электроники и автоматики (технический университет).

Защита состоится

в 16 час. 00 мин. на заседании Диссертационного совета Д.053.05.37 в Московском государственном университете им.

М.В.Ломоносова по- адресу: 119899, г. Москва, МГУ, факультет вычислительной математики и кибернетики, аудитория 685.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ.

Автореферат разослан "_"_ |99_г.

Учении сскрс! арь Сисцпали шрошишшо сонсш профессор

Общая характеристика работы

Актуальность темы: Для использования метода Фурье разделения переменных при решении некоторых задам математической физики и механики, приходится аппроксимировать граничное значение решения по некоторой части собственных функций соответствующего дифференциального оператора. При попытках приблизить или представить граничные значения с помощью линейных комбинаций этих функций, возникают вопросы о полноте, минимальности и базисности таких систем функций в некотором банаховом пространстве. Для того чтобы пояснить происхождение этих вопросов, рассмотрим следующую модельную задачу. Пусть в

наклонной полу полосе Пц = |(х, у):х + iy = х + t с'".х я), t > ()j .

Ge(O.Tt) - фиксированное число, задана следующая краевая задача для уравнения Лапласа: Ди(х,у) = 0,(х.у)бП0.

U(tcosO,t-sinO) = U(rc + tcos0,tsin0) = 0,t >0;

U(x, 0) = <po (x): ^^-cos 0 + ^ si M 0

= <p,(x). (л,»)

После замены переменных (х, у) (!;, т); 4=Х+УС'Ц0: t = —. 11

sin О

применяя метод Фурье U(¡;,т) = f(E,)-e^'T . получим полимоммналмю

зависящие от X семейство дифференциальных уравнений относительно функции f:

f" + 2A.cos0f' + A?f = 0, f(0)=f(n) = 0. Ненулевые решения этого уравнения существуют лишь при

7ТП

значениях А =- , п=+1, +2, ...; и система решении имеет вид:

sin 9

fn(£,) = e'1"' sin lit,, n = +1. + 2,.

(I)

0

Такая же система возникает и при рассмотрении уравнений более общего вида

Г" + 2аМ" + ЬХ2Г = 0; Г(о) = Г(я) = 0.

при этом а = -a^b-a2, b>a2; a,beR.

Поэтому интерес к изучению базисных свойств систем вида

a(t)cpn (t) + b{t)<p" (t), n>(). (2)

в последнее время возрос. С точки зрения приложения большой интерес представляет случай, когда коэффициенты a(t) и b(t) разрывные функции. Еще в 1937 г. в работе Shepherd W.M. [I], были найдены коэффициенты а„. п>1, из уравнения

£а„ cosnt = cosmt, 0 < t < —. I 2

^ к

Sa., sinnt = -sinmt, — < t < к 7 " 2

Очевидно, что a„. n>l, коэффициентами при функции к

являются бнортогональнымп

f(t).

cos ml, 0 < t < - .

2

71

-sinmt, — < t < тс, 2

но системе |sin(nt +<p(t))J ■

Ф(')

где

t „ я —, ()< t <—, 2 2

0. - < I < тс. 2

Такая же и подобная система применяются для построения явного решения нестационарной задачи распространения внутренних

волн в канале с барьером в работах С.А.Габова, П.А.Крутнпкого [2], П.А.Крутицкого [3].

Число таких примеров можно увеличить. Рассмотрим некоторые из них.

у"(х) + 2Ву'(х) + сХ2у(х) = 0, х е(0.тс), у'(0) + а1у(0) = у'(п) + аХу(к) = О

Соответствующие собственные функции будут: ук(х) = А еакх+е^ к = 0,±|,...;

где А

В-а + ¡%/с + В

В

— Ь + ¡л/с

а — Ь +1 л/с — В2 Ус-В' Следуя работе В.А.Ильина [4] рассмотрим следующий разрывной дифференциальный оператор II порядка:

у"(х) + Х.2у(х) = 0, Ух е(0,с)и(с, л) у(0) = у'(тС) = О,

Ху(с - 0) + у'(с + 0) = у'(с - 0) - Ху(с + 0) = О Собственные функции этой задачи есть: ("э!IIПХ, X б(0,с)

- + ¡, с - В > 0.

(3)

вообще говоря

У.. 00 = , , V

сохпх, х е(с.гс).

Базисным свойствам системы

еопх5т[(п+а)х + р], п>1,

посвящено много работ, когда а=Р=0, комплексный параметр.

Очевидно, что если параметр о в системе (3) является не вещественным, то эта система не представима п виде (2). Этот простой пример показывает целесообразность исследования базисных свойств систем вида

а(1)Ф"(1) + Ь(ф|,п(1), п > 0,

I лс а. Ь. (р. ч< - комнлексно-значные функции на некотором отрезке.

Когда а - чисто мнимая величина, система (3) имеет важное приложение при решении некоторых задач управления. Следуя книге А.Г.Вутковского [5], рассмотрим следующую задачу управления для распределенной колебательной системы

ТУ = ^7 +ФИ*" "(О) 0<х<я. 1>П.

'1 ||=п

0(»|) = 0(л.|) = о. I >н.

(5)

Требуется найти такой закон изменения сосредоточенной нагрузки Г(1) и скорости приложения этой нагрузки, чтобы решение <30. х) успокоилось в заданное время Т, то есть (2(Т, Применяя метод Фурье к решению задачи (5), получим следующую систему интегральных уравнений первого порядка относительно двух неизвестных функций Г(1) и 9(1): Т

[е|к| • 5ш[д(|)• к] ■ Г(|)сИ = Ок. к > I.

о

Задачи такого типа часто возникают в приложениях, при гашсннн колебаний больших механических систем Л.А.Муравей [6. 7]. При линейном 8(1)^М - случае, после замены т=а-1. мы приходим к поиросу об минимальности системы

е^'-мпк!. к>1, а = ~, (6)

а

в 1.2(0. л).

По-видимому базпсность системы (6) впервые рассмотрена в работе [8], и доказана, что она при НН^ образует базис Рисса в 1,.(0. я). Оказывается это неокончательным результат.

В серии работ Е.И.Моисеев (см., например, [9, 10]), используя

базнсность системы синусов |sin[(n i-a)x + в L3(0, 71), построил

явные решения некоторых краевых задач для уравнении смешанного типа в специальных областях в виде биортогонального ряда, где а. [5 е R - некоторые параметры.

Частные случаи системы (2), (4), в связи со спектральной теорией дифференциальных операторов, изучались в работах А.В.Бнцадзе [II], С.М.Понамарепа [12], А.А.Шпаликова [8] и др. Окончательные результаты в этом направлении относительно систем синусов

jsin[(n +a)t +ß]}0 получены в работах Е.Н.Моисеева [13].

Г.Г.Девдариани [14], А.М.Седлецкого [15].

При определенных условиях ма функции a(t). b(t). cp(t), i|/(t). полнота и минимальность систем (2). (4) в общем случае исследована в работах Ю.А.Казьмина [16], Ю.П.Любарского, В.А. Ткаченко [29], Ю.И. Любарского [20]. Во всех этих работах случай с разрывом (относительно коэффициентов) не рассматривается. Например, в работе А.Н.Барменкова [18]. найдено необходимое и достаточное условие полноты системы (2) в L,,(a. Ь) ре(1. +*>). когда а(1). li(t) и cp'(t) гельдеровы функции на [а. Ь].

В основном, проблемы полноты и минимальности систем вида (2), (4) редуцируются к краевым задачам Римана с карлемановским сдвигом на границе соответствующей области. Получающиеся при этом краевые задачи со сдвигом имеют ряд особенностей по сравнению с известными в литературе [21, 22], и не полностью изучены. Этим объясняется не рассмотрения случай с разрывом коэффициентов систем (2), (4). Поэтому каждый автор по своему подходил к решению этих задач и получили различные критерии полноты и минимальности. Отметим, что при этом в общем случае

базисность этих систем (исключая некоторые частные случаи) не рассмотрена.

Подводя итоги, заметим следующие вопросы относительно базисных свойств систем (2), (4), которые не были исследованы:

- рассмотреть случай, когда функции a(t) и b(t) в системах (2), (4), имеют разрывы 1 рода.

- критерии минимальности системы (2) в L,,, ре(1,+ =о).

- критерии полноты и минимальности системы (2) в пространствах суммируемых и непрерывных функций (Li и С).

- базисность систем (2) и (4) в Lp.

- снимать жесткие ограничения, налагаемые на функции а, Ь, <р и Ч'-

В связи с исследованием базисных свойств систем (2), (4), рассматриваются системы степеней вида (для определенности в дальнейшем назовем "двойными")

(а(0ф»(.): B(t)<p"(t)JJ. (?)

{A(ty-(t> воуч-с- <8)

Нетрудно заметить, что эти системы являются обобщениями следующей системы экспонент

jei(ii+a-signn)t '

которая достаточно хорошо изучена начиная с работ Levinson N. [23] и Винер П.. Пели Р. [24]. Впервые необходимые и достаточные условия базисности в л) системы (9) была найдена и

сформулирована в компактной форме в работе А.М.Седпецкого [25[, где aeR - действительный параметр.

Исследование базисных свойств системы (7) является не случайным, более того представляет теоретический интерес. Еще в 1926 г. Дж. Уолш [26] доказал следующую теорему:

Теорема У: Пусть С - произвольная кривая Жордана конечной плоскости z. Тогда любая функция f(z), непрерывная на С, может быть равномерно приближена на С суммой полинома от z и полинома от z.

Переформулируем эту теорему на языке полноты систем функций в пространстве С [-тг, я]. Пусть С - имеет следующее параметрическое представление:

C = {zeC/z = z(t), -7t<t<rt},

где С - комплексная плоскость. По определению [26], кривая Жордана есть замкнутая, непрерывная кривая без точек самопересечения.

Теорема У: Пусть С - кривая Жордана на конечной плоскости z : z(-7i)=z(7t), Cof-Jt, л]= Jf(t) еС[-тг.7t]/f(-7i)= Тогля система

|z"(t); z"(t)| полна в Cn[-7c, n], и значит полна в Lp(-7t, 7t), Vp>l.

Полнота и минимальность в пространствах Lp, р>1. системы вида

{Ке[А(()ф»(1)]:1ш[А(<)ф»(«)]}оОТ,

исследована в работах [17, 19].

Отметим, что системы вида (7), (8) рассматриваются впервые.

Цель работы. Основной целью работы является установление критериев полноты, минимальности и базпсности систем вида (2). (4). (7) и (8) в пространствах Lp, р>1, (L^=C). когда a(t), b(t) A(t) и B(t) кусочно-непрерывные функции на отрезках определения.

Научная новизна. Все доказанные в работе теоремы и леммы являются новыми.

В работе предложен новый подход к исследованию базисных свойств "одинарных" систем (2), (4). Для этого сначала вводится "двойные" системы (7) и (8). Устанавливается связь между базисными свойствами систем (2), (4), (7) и (8). Найдено необходимое и достаточное условие базисностн системы экспонент

|A(t)e""; B(t)e~""U в Lp. р>1, (L.„sC), в общем случае, когда a(t), b(t)

A(t) и B(t) кусочно-непрерывные функции. Найдено необходимое условие базисностн системы (7) в L;. Полученные результаты применяются к системам собственных функций некоторых конкретных разрывных дифференциальных операторов, которые рассматриваются впервые. Установлено необходимое и достаточное условие базисностн систем экспонент со сдвигом

|A(t)eiMl;B(t)e"lv(1'n| , в L,,(-jt. л). ре(1, +а>), (отдельно в L2) при

различных предположениях на сдвиг v(t), когда A(t) и B(t) кусочно-непрерывные функции. Получено необходимое и достаточное условие базисностн Рисса в Ьг(0, к) "одинарной" системы экспонент

a(t)e'a^n + b(t)e,S^n| . Полученные результаты применяются к

конкретным системам, в частности для системы |е'оп1 • sinntj получен окончательный результат, ac R.

Приложения. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в спектральной теории разрывных дифференциальных операторов; при обосновании метода Фурье решения задач математической физики: при исследовании некоторых задач теории управления; при построении явных решений некоторых задач механики; в теории аппроксимации функций.

к

Апробация работы. Основные результаты работы неоднократно докладывались на семинарах акад. В.Л.Ильина, чл. корр. РАН А.В.Бицадзе, проф. Е.И.Моисеева (ВМиК МГУ); проф. Е.И.Моисеева, доц. В.В.Тихомирова (ВМиК МГУ); проф. Е.И.Моисеева, доц. И.С.Ломова (ВМиК МГУ); проф. Ю.А.Казьмина (Мех. мат. фак. МГУ): проф. A.M. Селдецкого (МЭИ); проф. Л.А.Муравья (МАТИ).

Структура н объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав (разбитых на параграфы) и списка литературы. Объем 212 страницы, включая 9 страниц списка литературы, содержащего 102 наименований.

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы исследования, а также кратко излагаются основные результаты диссертации.

Введем определение базисности "двойной" системы

(,0)

в некотором Банаховом пространстве В, |]| - норма в В.

Определение: "Двойная" система (10) образует базис в В, если для VxeB, существует единственная последовательность комплексных

чисел {a*;atJ , такая, что

lim

N* ,N ->

IX Х +Zak-xk ~х =°-

к,о

Хорошо известно, что если классическую систему экспонент |е""| записывать в виде |е'"'; е" • е ,и| ^ (, то она образует базис в

Ьр(-л , л), р е(|, + оо), в смысле данного определения. Работа состоит из четырех глав.

В главе I исследуются базисные свойства системы экспонент, косинусов п синусов

{Л(.)е-П(0е (П)

{СОБ[т + 51п [т + 7(1)]} „•

пространствах Ьр , р > I, (Ь„. г С), где А(1) э ^(^е""1'1 ,

В(|) = ¡В(()[е,Н1> - комплексно - значные функции на [-л, я]. Для простоты и наглядности результатов, в §1.1 рассматривается система

в

р

> 11=0, к=0

экспонент <е1 ' ч:е 14 . 11 находится

необходимые и достаточные условия на комплексные параметры Р, = 1,2 : когда эта система образует (при р=2 базис Рисса) в

В §1.2 доказано, что в общем случае если система (II) образует базис в Ь (-л , л), р е(|,+ «>), то она изоморфна классической

системе экспонент, и вследствие чего в случае базисности в Ьг она и является базисом Рисса.

В §1.3 сформулированы основные результаты главы I: найдено необходимое и достаточное условие базисности (при р=2 базис Рисса) системы (II) в общем случае. Для иллюстрации полученных результатов, в качестве примера рассмотрим следующую систему экспонент

|[п1+тг(|)*1гпп]"1 ('2)

^ 11*0 где

Га.Ч + а,,-л<1<0.

п) [р.и-р, ,0<1< л, кусочно - линейная функция на (-л,л]. Она является системой собственных функций разрывного, обыкновенного

дифференциального оператора первого порядка

у'(0-Х-у(0 = О, VI е(-л,0)и(0,л).

Требуем выполнения следующих условий:

о я . (13)

а, - р, * — + як , ' р

л(а, + р,) + р, - а2 * - + лк , Ук е X р

где Ъ - множество целых чисел, ре(1, + <») - некоторое число.

Применяя теорему 1.3.1 к системе (12) имеем следующее

Утверждение: Пусть выполняются условия (13). Система (12) образует базис в Ц,(-л,л) (при р=2 базис Рисса) тогда и только

а2 - Р2 |1 2 1 I

тогда, когда---1 <а, +Р, - < ——-■ + -}•< -—, — + — = 1,

<1 i т ч] ч р п

где {х}- дробная часть числа х.

Аналогичное утверждение имеет место для системы косинусов и синусов, являющаяся системой собственных функций разрывного дифференциального оператора второго порядка

у"(0 + А.3 ■ у^) = 0, VI е(-я, 0) и (0, л).

В §§ 1.4 - 1.5 устанавливается необходимое и достаточное условие полноты и минимальности, а так же необходимое условие базисности системы экспонент (11) в Ьг, р е(1, + . Полученные результаты

применяются к конкретным примерам, которые рассматриваются впервые.

В § 1.6 получено необходимое и достаточное условие полноты и минимальности системы экспонент (II) в пространстве суммируемых функций Ь,(-л,л). Ранее были известны некоторые достаточные

условия полноты некоторых частных случаев системы (1 1) в Ь|

В § 1.7 доказывается равномерная сходимость биортогональных рядов для некоторых функций из класса Гельдера, а с ёе помощью в

§1.8 устанавливается необходимое и достаточное условие полноты и минимальности системы (II) в пространстве непрерывных функции. Такие критерии найдены впервые в работе Е.И. Моисеева [13] для

системы синусов jsin[(n +a)t +ß]J , где a,ßeR - действительные

параметры.

Глава II полностью посвящена исследованию базисных свойств системы степеней (7) в пространствах Lp, р > I ,(L,. s С).

В §§ 2.1-2.2 исследуется полнота и минимальность системы (7) в Lp, р e(l , + ai). Приведем здесь одну из теорем. Пусть

A(t) s |A(t)[e"M0 , B(t)s|B(t)|e't1''1 и <p(t) комплексно - значные функции.

заданные на некотором отрезке [а.Ь]. Требуем выполнения следующих условии.

II. I). |A(t)|,|B(t)J и |<p'(t)| - измеримые на (а.Ь). причем удовлетворяют условию:

suivrai ||A(t)|'' ;|B(t)| " ; |<p'(t)|''j <

II. 2). Г = ф{[а,Ь]}- замкнутая (ф(а)=ф(Ь)), спрямляемая, простая кривая Жордана. Г - либо кривая Радона (т.е. угол 0„(ф(О) между касательной в точке ф=ф(0 к кривой Г и действительной осью есть функция ограниченной вариации на [а, Ь] ), либо кусочно-Ляпуновская кривая. Обозначим через {фк} - точки разрыва функции arg((>'(t) на (а, Ь). Г- не имеет точек заострения.

Для определенности будем считать, что когда точка ф=ф(0 по возрастанию I пробегает по кривой Г , внутренняя область int Г остается слева.

II. 3). a(t) и ß(t) - кусочно-непрерывные функции на [а. Ь]. причем могут иметь бесконечное число точек разрыва первого рода. Обозначим через {at} и {ßk} - точки разрыва, соответственно, этих

функций на (а, Ь).

II. 4). Обозначим : {s,,} = {ak {3k}*-' {фк }■ Множество может иметь единственную предельную точку s„ б (а, Ь) . Функция

e(t)sp(t)-cc(t) + -argcp'(t) Р

в точке So имеет справа и слева конечные пределы, где ре(!, + х) -некоторое число.

Не ограничивая общности, будем считать, что функции a(t), P(t) и argcp'(t) непрерывны слева на (а, Ь).

Под функцией arg<p'(t) понимается следующее: будем определять в каждой начальной точке разрыва <рк ((Фк, Фк1,) - интервал непрерывности функции arg<p'(t)) ветвь arg<p'((pk+0); в конечной же точке <pk>1, значение arg<p'((pkll-0) будем получать из выбранной ветви arg<p'(<pk+0) путем непрерывного изменения: причем

0 < arg<p'(a + О) < 2л II. 5).

ф'(фк +0) arg—-i-í-í

f|h,|< +*>, где h, = 9(s| + 0) - 6( з - 0).

Прежде чем сформулировать теорему, определим некоторые величины.

Обозначим через г - номер, после которого выполняется условие 2к 2к 1,1..----(И)

--< ик < —, — + — =1, к = г, оо.

Ч Р Р 1

Перенумеруем элементы множества по возрастанию и

обозначим эти элементы через {в,Перенумеруем соответствующие им скачки (й,^ , и обозначим Отметим, что в зависимости от

того, число И0 =8($0 +О)-0(8о-О) принадлежит ли интервалу

(

точка s<> и число ho могут быть включены.

соответственно множествам

w; и (ч;.

Определим целые числа n„ i = 1,г, из следующих условий

I h, I

— < —+ п. , - п, <—,

q 2л

Ч 2л ' р

(15)

п0 = 0, i = 1, г; - + - = 1.

р q

Обозначим через ю следующую величину:

[ß(a + 0) - ß(b - 0) + а(Ь - 0) - а(а + 0) +

(16)

(0 =

2л

+ - (arg<p'(a + 0) - arg(p'(b - 0))] + - + пг -1.

Р

Р

Теорема: Пусть функции A(l), B(t) и (p(t) удовлетворяют всем условиям П.))-11.5). со - определяется по формуле (16), где целое число пг находится из условий (14), (15). Система (7) полна в ре(1, + *>),

тогда и только тогда, когда о> <—; минимальна в Lp (а, Ь) тогда и

При доказательстве этой теоремы существенно используется задача Римана в классах Харди II,, и Смпронова Е,>, и их конформная эквивалентность. При этом полученные задачи в явном виде не решаются. В отличие от предшествующих работ, минимальность доказывается с помощью некоторых лемм, одну из которых приведем здесь.

Лемма: Пусть в Банаховом пространстве В задана некоторая система {х„}, , где для каждого номера к, элемент Хк не принадлежит

замыканию линейной оболочки }х„) , , т.е. х, г/х„) , . Тогда система {хп}' минимальна в В.

Р

только тогда, когда ш > — и 0 е int Г.

Р

Далее сформулируются некоторые следствия, непосредственно вытекающие из этой теоремы, и полученные результаты применяются к конкретным примерам типа

|A(t)[t • е" + i • с]"; B(t)[t ■ е" - i • с]"}",

где с е R действительный параметр.

Введем следующие определения.

Определение 1: Дефект неполной в В системы (7), есть минимальное число функций, после присоединения которых к этой системе, она становится полной в В.

Определение 2: Будем называть дефектом неминимальной в В системы (7), минимальное число функций, после удаления которых из этой системы она становится минимальной.

Корректность этих определений следует из следующей леммы.

Лемма: Пусть система {х„}"(>| минимальна, но не полна в некотором Банаховом пространстве В, причем после присоединения к ней t функции °|,а становится полной и минимальной.

Тогда число ( не зависит от присоединенных функции.

Метод доказательства этой теоремы позволяет вычислить дефект системы (7) в L,,,'p>l, вслучаях неполноты и неминимальностп.

В §§ 2.3, 2.4, используя результаты предыдущих параграфов, установлены критерии полноты и минимальности системы (7) в L.i и С.

В §2.5 доказывается, что система (12) может образовывать базис в Lj только в том случае, если |<p(t)| = const. а именно справедлива следующая

Теорема: Пусть функции A(t), B(t) и cp(t) удовлетворяют условиям II. 1), II. 2). Если система (7) образует базис в L< (а, Ь). тогда |cp(t)| = const.

В § 3.1 устанавливается связь между базисными свойствами "двойных" (7) и "одинарных" (2) систем функций. Не ограничивая общности будем считать, что система

Э;(0^а(1)ф1"(1)±Ь(0ф'-(1), п> 1,

определена на некотором отрезке [0, а], где п>1, некоторая последовательность комплексных чисел. Введем новые функции:

W(t)

ч

í<p(»), t б [0, а],

\q>(-t). t е[а, 0). Рассмотрим "двойную" систему:

(л(()и"-(1); BOjWd))^. (1?)

Теорема: Система (17) полна (минимальна) в Lp(-a, а). р>1, тогда

и только тогда, когда системы {З,^ , {^„^ , одновременно, полны

(минимальны) в Lp(0, а).

С другой стороны, аналогичная связь имеет место для системы:

ю|Л(1)Ш1-(1); B(t)W""(t)|"'|. (|8)

Теорема: Система (18) полна (минимальна) в ЬД-а. а), р>1, тогда

и только тогда, когда системы , {Sn^ . одновременно.

полны (минимальны) в Lp(0, а).

В § 3.2, используя эти связи между "двойными" и "одинарными" системами, устанавливается критерий полноты и минимальности системы (2) в Lp, рб(1, + °о).

§3.3 посвящен применению полученных результатов к конкретным системам собственных функций некоторых дифференциальных операторов. Например, рассмотрим систему:

(19)

m = ísinnt- °-t<c-'-{cosnt, c<t<rc.

состоящаяся из собственнных функций разрывного дифференциального оператора

y"(t) + \2y(t) = О, V t е(0,с)^(с, it).

где с e(0,7t)-параметр. Непосредственное применение к системе (19) дает следущее

Утверждение: Система (19) в Ц,(0,л), при р е(2,+оо) не полна, но минимальна; а при р 6(1,2] полна и минимальна.

В качестве следующего примера рассмотрим систему: yk(t)з A•eat' +еж, к =0,-1,.... (20)

^ В-а 1 В

Обозначим: v = arcctg . + —arcctg .-, Е[х] - целая часть

V с-В2 Р Vc-B:

числа х.

-Р 71 _

Утверждение: Система (20) полна в L (0,л), ре(1,+ж), тогда и

2 1

av = —v + — 3-2Е л Р

только тогда, когда со„ < — -1; минимальна только тогда и только Р

1 ,

тогда, когда и, > — 3.

Р

В § 3.4 найден критерий полноты и минимальности системы (2) в пространстве суммируемых функций.

В § 3.5 рассматриваются случаи, когда система (2) не минимальна в Ц, р>1.

Глава IV посвящена изучению базисных свойств систем (4), (К). В § 4.1 полученные результаты относительно системы (7) переносится на систему экспонент со сдвигом

{А(()ет""; В(0е-(21)

В § 4.1 устанавливается связь между базисными свойствами систем (4) и (8).

Пусть задана система

3;(1) = а(1)ф1"(1) + Ь(0ч/>-(().. п>1.

Не ограничивая общности будем считать, что она определена на некотором отрезке [0,а]. Введем новые функции:

Am=ia(t), t е[0,а], wfnJ<p(D, t е[0,а],

Ли;~{Ь(-1), t е[-а,0), W(t) Ьч-t), t е[-а,0).

Рассмотрим систему: |A(t)VV'"(t); A(-t)W"(-t))^. (22)

Теорема: Система (22) полна, минимальна или образует безусловный базис в Lp(-a,a), р>1, тогда и только тогда, когда

одновременно системы ■ {®п}, • соответственно, полны,

минимальны или образуют безусловные базисы в Lr(0,a).

Аналогичная теорема имеет место и для системы

lu{A(t)Wl"(t); A(-t)W "(-t)J"

В § 4.3 доказывается теорема о необходимом и достаточном условии базисности системы (21) в L;, когда сдвиг v(t) кусочно-дифференцируемая функция.

С помощью этих теорем в § 4.4 устанавливается критерий базисности в L2 следующей "одинарной" системы со сдвигом 8l(t) = a(t)e,n"'"±b(t)e,s<"", n > 1. (23)

Основным результатом главы IV является теорема 4.4.1, которую приводим здесь.

Итак, пусть функции a(l), b(t). eft), и 5(t) удовлетворяют следующим условиям.

1). a(t), b(t) - кусочно-непрерывные, комплексно-значные

функции на [0,л]: {t,,}™, Oct, <...<trl <л; точки разрыва I рода этих функций на (О.л): a(t)b(t) 2 О, v t е[0, я].

2). o(t), и (-5(t)) - возрастающие, непрерывные, кусочно-дифференцируемые на [0,л]; o'(I), 8'(t)- кусочно-гельдеровы на [0,л], причем a'(t)5'(t)*0, vte[0,n] Более того

а(0) = 5(0); а(я)-5(л) = 2л. Пусть {тк}[: 0 < т, <... т, < л; точ разрыва функцииa'(t) и 5'(t) на (0,л).

Обозначим {st}; = {'к}'0<si <■■■<s, < к. Определим следующие величины:

X = х = a'(tQ) х _ b(sk + 0)a(sk -0) к= —

" Ь;(л- 0)' 0 Ь2(+0)' к a(st + 0) ■ b(sL - 0)'

v„ = 2 In

б'(л-О)

. v0 = 2ln

а'(л-О) g'(sk +0)-5'(sk -0)

o'(+0)

5'(sk + 0)a'(sk -0)

<po = ^r[v„ + 2ln|X0|]-v0

84+0)

, к = T7r.

л - arg Я.,,

2л л-argX,

3). <p„ gZ, ф„ gZ, фк <?Z, k = l,r; где Z - множество целых чисел.

Найдем целые числа ni, i = 0,г; из следующих условий: «

hk = argG(sk +0)-argG(sk -0)---y[vk + 2ln|Xk|]-vk, к = T7r;

»

G(t)3-^, ß(t) = argb(t), a(t) s arga(t). a(t)

Обозначим:

<о„=-[а(л-0)-Р(л-0)]--1т[уж+21п|Х,|].уд+2п,.

К OK

Теорема: Пусть функции a(t), b(t), o(t) и S(t) удовлетворяют условиям 1)-3). Система {З^j , определенная по формуле (23), образует базис Рисса в Ь2(0,л) тогда и только тогда, когда

3 1 „ 3

Причем, при о>„<- — , ома полна, по не минимальна:

при ('),>—, не полна, но минимальна. 2

В § 4.5 приведены примеры, иллюстрирующие результаты главьПУ. В случае системы

{e"""-sinnt}~, а б R, (24)

имеем следующее

Предложение: Пусть параметр о удовлетворяет условию

Система (24) образует базис Рисса в L.(0, к) тогда и только тогда, когда

I I

Ранее базисиость Рисса этой системы в L:(0, л) доказана A.A.

Шкаликовым [8], при |а|

Через R и С обозначим соответственно, поле вещественных и комплексных чисел, х - комплексное сопряжение от х.

L^(a,b) - пространство вещественных, Lp(a,b) комплексно-

значных функций, суммируемых в степени р на (а.Ь).

Нр и Ер означают соответственно, обычные классы Харди и Смирнова (см. напр. [58, 59]).

Основным инструментом исследования базисных свойств систем, рассматриваемых в этой работе, являются граничные задачи теории аналитических функций в классах Нр и Ер. Задача Римана в классах ч Нг порядка к на бесконечности формулируется следующим

образом: найти пару функций {ф'(г)бН^; Ф(г)еНг}, Ф (z) имеет на бесконечности порядок не выше к, для граничных значений

Ф*(е") и Ф (е") , которых почти всяду на окружности выполняется равенство

Ф ' (е" ) + G(e" ) • Ф^ (е" ) = g(t), te [0,2 тс], где G(e") и g(t) - заданные функции. Теория таких задач достаточно хорошо изучена [27].

Лнологичная задача формулируется и в классах Смирнова ЕР, И, наконец, задача Газемана: найти кусочно аналитическую функцию с линией скачков Г по краевому условию на Г:

Ф'[а(1)] = С(1)Ф(1)+8(0, где a(t) - сохраняющий ориентацию гомеоморфизм Г на себя. В классической постановке эта задача изучена в литературе [22].

В заключение автор выражает глубокую благодарность своему научному консультанту профессору Евгению Ивановичу Моисееву за постоянное внимание к работе.

Литература

1. Shepherd W.M. On trigonometric series with mixed condition. Proc. Lond. Math. Soc., 1937. 43,p.399.

2. Габов C.A. , Крутицкий П.А. О нестационарной задаче Ларсена. ХАВМ и МФ. 1987, т.27, № 8.

3. Крутицкий П.А. Малые нестационарные ■ колебания вертикальных пластин в канале со стратифицированной жидкостью. ЖВМ и МФ, 1988, т.28, № 12.

4. Ильин В.А. Необходимые и достаточные условия базисности Рисса корневых векторов разрывных операторов второго порядка. Дифференциальные уравнения. 1986, т.22, № 12. 20592071.

5. Бутковский А.Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. М., "Наука", 1975, с.568.

6. Muravey L.A. Proceedings of 1UIAM Symposium "Dynamical problem of Rigid-Elastic Systems and structures". Moscow, 1990.

7. Muravey L.A. Proceedings of IFIP Conferens "System Modelling and Optimization", Zuruch.1991.

8. Шкаликов A.A. О свойствах части собственных и присоединенных элементов самосопряженных квадратичных пучков операторов. ДАН СССР, 1985, т.283, № 5.

9. Моисеев Е.И. Решение задачи Трикоми в специальных областях. Дифференциальные уравнения. 1990, т.26. № I.

Ю.Моисеев Е.И. Применение метода разделения переменных для решения уравнений смешанного типа. Дифференциальные уравнения. 1990, т.26, № 7.

I КБицадзе А.В. Об одной системе функций. УМН, 1950. т. 5, № 4(38), с. 150-151.

12.Пономарев С.М. Об одной задаче на собственные значения. ДАН СССР. 1979, т. 249, № 5, с. 1068-1070.

I З.Моисеев Е.И. О базисности одной системы синусов. Дифференциальные уравнения. 1987, т.23. № 1, с. (77-179.

14.Девдарианн Г.Г. Базисность некоторых специальных систем собственных функций несамосопряженных дифференциальных операторов. Дис. канд. физ.-мат. наук. М.. МГУ, 1986.

15.Седлецкий A.M. О сходимости негармонических рядов Фурье по системам экспонент, косинусов и синусов. ДАН СССР. 1988, т.30|,№5.

16.Казьмин Ю.А. О замыканиях линейных оболочкек двух систем функций. ДАН СССР, 1977, т.236, № 3, с.535-537.

17.Шкалнков A.A. Об одной системе функций. Математические заметки. 1975. т.18, вып. 6, с.855-860.

18.Барменков А.Н. Об аппроксимативных свойствах некоторых систем функций. Дис. канд. физ.-мат. наук, М., МГУ, 1983.

19.Любарский Ю.И. , Ткаченко В.А. Полнота и минимальность специальных систем функций на множествах в комплексной плоскостн-Х. 1985, 29с.(Препринт Харьковского физико-технического института низких температур АН СССР. № 3385).

20.Любарский Ю.И. Свойства систем линейных комбинаций степеней. Алгебра и анализ, 1989, т. I, № 6, с. 1-69.

21.ГаховФ.Д. Краевые задачи. М., "Наука", 1977.

22.Литвинчу^ Г.С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом. М., "Наука", 1977.

23.Levinson N. Gap and density theorems. New York. Publ. Amer. Math. Soc., 1940.

24.Винер H. , Пэли P. Преобразование Фурье в комплексной области. М., "Наука", 1964.

25.Седлецкий A.M. Биортогональные разложения в ряды экспонент на интервалах вещественной оси. УМН. 1982, т.37, вып. 5(227), с.51-95.

26.Уолш Дж. Л. Интерполяция и аппроксимация рациональными функциями в комплексной области. М., "НЛ". 1961.

27.Данилюк И.И. Нерегулярные граничные задачи на плоскости. М., "Наука", 1975.

Работы автора по теме диссертации

1. Билалов Б.Т. О равномерной сходимости рядов по одно» смсгеме синусов. Диффереиц. уравнения. 1988. т. 24, № I. с. 175-177.

2. Билалов Б.Т. Базисность некоторых систем функции. Дифференциальные уравнения. 1989, т.25, с. 163-164.

3. Билалов Б.Т. Базисность некоторых систем экспонент в Ь,,. в сб. Применение методов функц. анализа к некласс, урав. мат. физикнх. Новосибирск. Мне. мат. СО АН СССР. 1989. с.21-26.

4. Билалоп Б.Т. Базисность некоторых систем экспонент, косинусов и синусов. Дифференциальные уравнения. 1990, т.26. № с. 10-16.

5. Билалов Б.Т. , Псманлов II.А. Необходимое и достаточное условие минимальности некоторой системы функции, в сб. Алгебра и математический анализ, МГУ, Новосибирск. 1990. с. (30-137.

6. Билалов Б.Т. Необходимое и достаточное условие полноты некоторой системы функций. Дифференциальные уравнения. 1991. т.27, № 1, с.158-161.

7. Билалов Б.Т. Полнота и минимальность некоторой тригонометрической системы функций. Дифференциальные уравнения. 1992. т.28. № 1. с. 170-1738. Билалов Б.Т. Необходимое и достаточное условие полноты н

минимальности системы вида |л<р":В<р"|. Докл. РАН. 1992,

т.322. № 6, с. 1019-1021.

9. Билалов Б.Т. Базисность некоторой системы экспонент со сдвигом. Дифференциальные уравнения. 1993. т. 29, № 1. с. 1519.

10. Билалов Б.Т. Необходимое и достаточное условие полноты и минимальности систем степеней в Ь|. Успехи мат. наук.. 1993. т.48. вып.5(293). с. 161-162.

II. Билалов Б.Т. Базисные свойства некоторых систем экспонент и степеней со сдвигом. Докл. РАН, 1994, т.334. №4. с.416-419.

|2.Билалов Б.Т. , Юсифалиев Ю.К. Базисные свойства собственных функций некоторых несамосопряженных дифференциальных операторов. Дифференциальные уравнения. 1994, т.ЗО, № |,с.20-25.

13. Билалов Б.Т. О базисностн системы |е'""4 sinnx} и экспонент со сдвигом. Докл. РАН, 1995, т. 345, № 2.

Зак. 69 Тир. 100 Отпечатано ПП "Патент" Бережкооская наб., 24, стр. 2