Спектральные вопросы задачи Франкля для уравнения смешанного типа и разрешимость аналога этой задачи для уравнения Гельмгольца

Амбарцумян, Ваграм Эдвардович

Спектральные вопросы задачи Франкля для уравнения смешанного типа и разрешимость аналога этой задачи для уравнения Гельмгольца тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Амбарцумян, Ваграм Эдвардович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2010 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Спектральные вопросы задачи Франкля для уравнения смешанного типа и разрешимость аналога этой задачи для уравнения Гельмгольца»

Автореферат диссертации на тему "Спектральные вопросы задачи Франкля для уравнения смешанного типа и разрешимость аналога этой задачи для уравнения Гельмгольца"

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова

факультет вычислительной математики и кибернетики

Амбарцумян Ваграм Эдвардович

Спектральные вопросы задачи Франкля для уравнения смешанного типа и разрешимость аналога этой задачи для уравнения Гельмгольца

Специальность 01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

На правах рукописи. УДК 517.95

АВТОРЕФЕРАТ

диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

7 0 [" ^

Москва - 2010

004602382

Работа выполнена на кафедре функционального анализа и его применений факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, академик РАН Моисеев Евгений Иванович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Зарубин Александр Николаевич доктор физико-математических наук, профессор Макин Александр Сергеевич

Ведущая организация:

НИИ прикладной математики и автоматизации Кабардино-Балкарского научного центра РАН.

Защита диссертации состоится „26" мая 2010 года в 15 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 501.001.43 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119991, Москва, Ленинские горы, МГУ, 2-ой учебный корпус, факультет вычислительной математики и кибернетики, аудитория 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ имени М. В. Ломоносова.

Автореферат разослан „ " апреля 2010 года.

Ученый секретарь диссертационного совета Д501.001.43

доктор физико-математических наук,

профессор

ЕВ. Захаров

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Теория краевых задач для уравнений смешанного типа является одним из важных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными.

Впервые задача для уравнения смешанного типа была рассмотрена С.А.Чаплыгиным примшштелыго к проблеме течения потока газа. В ней были изучены частные решения следующего уравнения

где коэффициент К (а) монотонно возрастает, положителен при а > О (дозвуковая скорость) и отрицателен при а < 0 (сверхзвуковая скорость); таким образом, при переходе из дозвуковой области в сверхзвуковую уравнение изменяет тип с эллиптического на гиперболический.

Фундаментальное значение для последующего развития теории уравнений смешанного типа имела опубликованная в 1923г. работа Ф.Трикоми1. В этой работе была поставлена краевая задача для уравнения

уихх + иуу = 0 (2)

в области, ограниченной ири у > 0 простой дугой Жордана Г с концами в точках А(0,0) и В(1,0), а при у < 0 - характеристиками уравнения (2), выходящими из точек А vi В к пересекающимися в некоторой точке С, при этом граничные значения заданы на Г и на характеристике АС. Трикоми доказал существование и единственность решения этой задачи. Обобщение результатов Трикоми на случай уравнения

sign(y)\y\muxx + иш = 0, т > 0, (3)

было сделано Геллерстедтом; кроме того, им была построена функция Грина для решения задачи в эллиптической части области.

В 50-ых годах прошлого века A.B. Бицадзе и М.А. Лаврентьев предложили рассматривать модельное уравнение смешанного тина

sign(y)ихх + иуу - 0. (4)

1 Трикоми Ф. О линейных уравнениях в частных производных второго порядка смешанного типа. М., 1947.

Одним из преимуществ, которые возникают при рассмотрении модельного уравнения (4) вместо уравнения (3), является возможность применения теории функций комплексного переменного. Это позволяет рассматривать решения задач в терминах аналитических функций и использовать при построении решений хорошо разработанную теорию краевых задач для таких функций.

Ф. И. Франкль доказал единственнность решения краевой задачи для уравнения (1) при некоторых ограничениях на коэффициент К(а). Франклем была поставлена задача для уравнения (1) в области, граница которой в гиперболической части отходит от характеристики внутрь области, причем граничные значения заданы на этом участке граиицы и на дуге, ограничивающей эллиптическую часть области. Франкль доказал единственность решения данной задачи, а также существование в случае, когда нехарактеристический участок границы достаточно близок к характеристике.

В 1956 году Ф. И. Франкль предложил смешанную задачу для уравнения Чаплыгина (1) с нелокальным условием

u(0,y)-u(0,-j/) = /(y), -1<у<1.

Доказательство единственности и существования решения поставленной задачи можно найти в монографии А. В. Бицадзе2.

Новые краевые задачи для уравнений смешанного типа, в том числе задачи для неоднородного уравнения, задачи для уравнений смешанного типа второго рода, задачи со спектральным параметром, были поставлены и изучены в работах многих авторов К.И. Бабенко, В.Н. Врагова, И.М. Гсльфанда, Т.Д. Джураева, А.Н. Зарубина, В.А. Ильина, Н.И. Ионкина, Т.Ш. Кальменова, Н.Ю. Капустина, A.C. Макина, Е.И. Моисеева, A.M. Нахушева, A.A. Полосина, A.B. Псху, К.Б. Сабитова, М.С. Салахитдинова, А.П. Солдатова, C.S. Morawetz, М.Н. Protter.

Спектральный метод является одним из наиболее эффективных методов исследования задач математической физики. Изучение спектральным

2Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частых производных. Москва "Наука", 1981

методом нелокальных краевых задач математической физики позволяет исследовать корректность постановки задачи, выявить структурные свойства решений и дает возможность получения точных априорных оценок решений.

Спектральные свойства задач для уравнения смешанного типа активно изучались с 80-ых годов прошлого столетия. С.М. Пономарев выписал собственные функцни задачи Трикоми для уравнения Лавреньтева-Бицадзе (4) и доказал их полноту в эллиптической части области, являющейся круговым сектором. Е.И.Моисеев доказал базисность этой системы и, используя свойство базисности, построил спектральный метод решения краевых задач для уравнений смешанного типа. В частности, для уравнения (4) решения удалось получить в виде ряда в некоторых специальных областях, также были получены интегральные представления решений. Для уравнения (4) решения были получены в виде ряда.

Полнота собственных функций задачи Геллерстедта для уравнения Лавреньтева-Бицадзе была доказана К. Б. Сабитовым и А. Н. Кучкаровой. Полнота собственных функций задач Трикоми, 11 е й м ан а-Три ком и, Геллерстедта для уравнения

\у\т+1ихх + уиуу + диу + А|г/Г+1и = 0, д < 1, т > -2. (5)

была доказана Е. И. Моисеевым и Ф. Могими3 при условии т + 2д > 0.

Спектральные вопросы видоизмененной задачи Франкля для уравнений смешанного типа начали рассматриваться относительно недавно в работах Е. И. Моисеева и его учеников. В частности, вопросами полноты, базисности собственных функций в эллиптической части области видоизмененной задачи Франкля с условием сшивания первого рода занимался Н. Аббаси4.

3 Могими Ф. Мохйммад Вагер. Спектральные свойства задачи Геллерстсугга и связанных с ней двух задач для вырождающегося уравнения смешанного тина. Дисс. к. физ.-мат. наук. — М., 2005.

4Аббаси И. Спектральные вопросы задачи Франкля для уравнения смешанного хила. Дисс. к. физ.-мат. наук. — М., 2009.

параметра задачи. Также целью является изучение свойств полноты и базисности систем типа Самарского-Ионкина в различных пространствах и, далее, доказательство единственности и существования путем построения аналитического решения нелокальных краевых задач в полукруге для операторов Лапласа и Гельмгольца, являющимися аналогами задачи Фралкля.

Методы исследования. Собственные функции видоизмешгой задачи Франкля с нелокальным условием сшивания второго рода выписываются с помощью метода разделения переменных с использованием функций Бесселя. Базисность Рисса, полнота, минимальность собственных функций задачи исследуются с помощью теорем о базисности систем синусов и косинусов в пространстве Ьр, а также с использованием свойства ортонормированности системы функций Бесселя, являющейся решением соответствующей краевой задачи. Полнота и базисность в различных пространствах систем типа Самарского-Ионкина были изучены с привлечением свойств полноты и базисности синусов и косинусов в соответствующих пространствах. С помощью доказанных свойств систем типа Самарского-Ионкина было получено решение в явном аналитическом виде различных нелокальных краевых задач в полукруге для уравнений Лапласа и Гельмгольца. Единственность нелокальных краевых задач для уравнения Лапласа была доказана с помощью принципа максимума и принципа Зарембы-Жиро. Единственность нелокальных краевых задач для уравнения Гельмгольца в полукруге была доказана построением функции Грина, применением второй формулы Грина и теории Гильберта-Шмидта для самосопряженных положительно определенных операторов.

Научная новизна. В первой главе построено решение видоизменной задачи Франкля с нелокальным условием сшивания второго рода. Далее, ири четном и нечетном условии сшивания изучен вопрос базисности Рисса, полноты, минимальности соответствующей системы собственных функций в пространстве ¿2(0+) в эллиптической части области в зависимости от параметра (коэффициента зависимости) задачи. Показано

также, что при нулевом коэффициенте зависимости в гиперболической части области решение становится тривиальным, а в эллиптической части полученные собственные функции образуют базис Рисса, что согласуется с общим результатом. Ранее была изучена видоизменная задача Франкля с нелокальным условием сшивания первого рода.

Во второй главе изучены полнота и базисность систем типа Самарского-Ионкина в пространствах С[0,7г]; Ьр[0,7г] р > 1; тг], р > 1, I 6 N. Ранее аналогичные системы были изучены в £г[0,7г] и ЬР(К), р > 1, где К—любой компакт интервала (0, зг). На основе полученных результатов получено в аналитическом виде классическое решение некоторых нелокальных краевых задач для оператора Лапласа в полукруге. Кроме того, была доказана единственность этих задач.

В третьей главе изучены различные нелокальные краевые задачи для уравнений Гельмгольца в полукруге. Выли найдены условия единственности. На основе доказанных свойств систем типа Самарского-Ионкина и асимптотики производной по порядку функции Бесселя при больших значениях порядка построено в аналитическом виде классическое решение поставленных задач. Удалось доказать, что при четном нелокальном условии суммирование собственных и присоединенных функций можно произвести независимо друг от друга.

Практическая и теоретическая ценность работы. Полученные результаты и предложенные методы исследования представляют теоретический интерес и могут быть использованы в спектральной теории нелокальных краевых задач для уравнений математической физики.

Апробация результатов работы. Основные результаты, приведенные в диссертации, докладывались и обсуждались на научном семинаре кафедры функционального анализа и его применений факультета ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова, а также на конференции "Тихоновские чтсния"в октябре 2009 года.

Публикации. Основные результаты работы подготовлены и оформлены в трех статьях ([1]-[3]) в изданиях, рекомендованных ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, разбитых на разделы, и списка литературы. В работе использована сквозная тройная нумерация теорем, лемм, замечаний, следствий, в которой первая часть номера соответствует номеру главы, вторая часть указывает на номер раздела в главе, а третья - на номер в разделе. В формулах использована сквозная двойная нумерация: номер главы, номер формулы. Список литературы состоит из 44 наименований. Общий объем диссертации составляет 131 страниц.

После этого краткого обзора перейдем к изложению основных результатов настоящей работы.

Основное содержание работы

Работа состоит из введения и трех глав. Во введении содержится обзор работ и литературы по теме диссертации, обосновывается актуальность исследований и излагаются основные результаты.

В первой главе „О базисности собственных функций видоизмененной задачи Франкля" рассматривается видоизмененная задача Франкля с нелокальным условием сшивания второго рода. Глава состоит из трех разделов. В первом разделе поставлена задача в общем виде, то есть коэффициент зависимости к, связывающий значение производных по х на интервалах (0,1) и (—1,0) оси ОУ, и коэффициент сшивания производных по у на интервале (0,1) оси ОХ я являются не связанными между собой действительными числами. Методом разделения переменных найдены собственные значения и собственные функции поставленной задачи. Во втором разделе исследованы полнота и базисность собственных функций задачи в эллиптической части области при к = х, в третьем разделе - при к = — х. Найдены при каких я системы собственных функций в пространстве ¿г(£>+) в эллиптической части области образуют базис Рисса; при каких ус системы собственных функций не полны, но минимальны; при каких х системы собственных функций полны, но не минимальны. В третьем разделе показано также, что

при нулевом коэффициенте зависимости в гиперболической части области решение становится тривиальным, а в эллиптической части полученные собственные функции образуют базис Рисса, что согласуется с общим результатом.

Сформулируем теперь постановку задачи и основные полученные результаты первой главы.

Постановка видоизмененной задачи Франкля с нелокальным условием сшивания второго рода.

Найти функцию

и(х, у) 6 C0(/J+UD-iU£L2) П C2(D+) П C*(D-i) Л C2(D_2), удовлетворяющую в D+ U £L\ U £L2 уравнению

Uxx + sig7i{y)uyy + fi2sign{x + у)и = 0. (6)

и(1, в) = 0, 0 6 |о, - в полярной системе координат, (7) п(0,у)=0) у £[-1,1], (8)

к lim иу(х, у) = lim иу(х, у), а: € (0,1), к G R \ 0, (9)

у-»+0 У-»-0

.^(0,у) = ^(0,-у), у е (0,1), 0 < |к| < vl+я5, к £ R \ 0, (10) где

£>+={(r,0): 0<r< 1, О<0<|}, D-\ = {(1, у): -i < у < 0, -у < х < у + l};

2 = {(я, у): 0 < ж < з; - 1 < у <

Теорема 1.1.1. Собственные функции и собственные значения задачи (6)- (10) можно представить в виде двух серий. В первой серии собственые значения ßnk находятся из уравнений

21 к л

Л (ßnk) — 0, где Хп ~ - (arcsin -7гА)+4п, Л„ > 0, п £ Z, k € N,

ТТЛ vl + >i2 '

Д определяется равенством Д = ^ arcsin , Д € (—\ О, Ja(z) -функции Бесселя. Собственные функции определяются формулой

Ппк(г,в) = AnkJXn(finkr) sinAn(^-0) в D+, (11)

unk(p,^) = AnkJ\„(ixnkp)(sin^ch^ - Kms^shÁnip) в Д_ь U„k(R, <p) = AnkJK ((J.nkR) (sin ^y- + XCOS ^^y) sh -W в Z5-2, где Ank = (f Jljpnkr)rdr^j 2 и

x = rcosd, y = r sin0, O < г < 1, O < 0 < ^ в D+, (12) x = pchip, y = psh.í/j, O < p < 1, -oo < -0 < O e D_i, x = Rsh<p, y = -Rch(p, 0<R<1, 0<tp<oo в Во второй серии собственные значения jlnk удовлетворяют уравнениям h {¡ink) =0, An = - fw—arcsin K -тгД) +4n, A„ > O, n € Z, fc € N,

7Г \ V1 + X2 /

а соответствующие им собственные функции имеют вид

~ ~ 7Г

Йя*(г, (9) = AnkJ^{p,nkr) sin An(- - б) в D+, (13)

йпк{р, Ф) = ÁnkJ-Xn(¡lnkp) (sin ch А п-ф - я cos sh Xnx¡?j

в £)_i

«П*(Я, у?) = ArlkJ~K(iinkR) (sin + KC0S sh A„V> e £L2,

где Ank = (/ J?^({inkr)rdrj \

При K — X iik = —x теорема 1.1.1 упрощается. Теорема 1.2.1. Собственные функции и собственные значения задачи (6)- (10) при к = х можно представить в виде двух серий. В первой серии собственные значения ¡лпк находятся из уравнений

ЫРпк)= 0, п = 1,2,3 - • • , fc = 1,2,3---, (14)

Ja{z) - функции Бесселя, а собственные функции определяются формулой

7Г

unk(r,e)=AnkJin(nnkr)$m4n(--6) в D+, (15)

unk(p,^) --AnkxJ4n(txnkp)sh4ml; в unk(R,<р) = AnkxJin(finkR)sh4тир в £L2,

Апк = (f Jl(ßnkr)rdr j

где . ....

чо

Во второй серии собственные значения ¡1пк удовлетворяют уравнениям

Ли(п-д)(Дп*) = 0, п = 0,1,2 - • ■ , /с — 1,2,3 - ■ ■, (16)

где Д = | агсви у^з, Д 6 (—\ 0, а соответствующие им собственные функции имеют, вид

йпк(г,0) = АпкЪпО},пкг)5тап(-~0) в (17)

М2х х2 — 1 \

я2 + 1 сЬ ~ Х+ 1 811 в ^Ь

у) = Д) зЬ в -0-2,

26»С Апк = (/ 2, ап = 2+ 4(гг — Д).

Теорема 1.3.1. Собственные функции и собственные значения задачи (6)- (10) при к = —х можно представить в виде двух серий. В первой серии собственые значения /1пк находятся из уравнений

¿ь-гО^) = 0, п = 1,2,3-• • , к — 1,2,3-- -, (18)

Ja(z) - функции Бесселя, а собственные функции определяются формулой

7Г

ипк{г,в) = Апк^п-2{рпкг)вт{Ьп-2){- -в) в В+, (19)

ипк(р,-ф)=Апк^2{1лпкр)х5Ц4п-2)ф в £)_ь ипк{В, у) = ~Ап^цп^{цпк11)хъЩп - 2)<р в

Во второй серии собственные значения р,пк удовлетворяют уравнениям

т \ n fo, 1,2■• • , если Д € (4,0),

11,2,3---, если Д € (0,

(20)

где Д = ^ arcsiu Д 6 (—\ 0, а соответствующие им

собственные функции умеют вид

йпк(г,е) = Л^4(„_Д)(Д„^г)8т[4(п-Д)](|-0) в D+: (21)

йпк (Р, Ф) = ~Апк Л(п-Д) (/W) х

(2 и 1-х2 \

—z—-ch4(n- А)ф + я—7,—- sh 4(п — А)ф) в D-\, tí¿ -f 1 а" + 1 '

ñnk(R, íf) - ~ÁnkJ,l(n_A){finkR)>ísh4(n - A)v? в D_2,

Рассмотрим теперь вопрос полноты и базисности возникших в собственных функциях систем синусов. Справедливы следующие теоремы. Теорема 1.2.2. Система функций

{^41-0)}^ {sin[2 + 4(n-A)3(¡-0)£o

полна в пространстве Lp(0, f), р > 1 при А > — Д ф — | + к, к € N, то есть если /(0) € Lp(0, §), р > 1 и 2

J }{в) sin4п(| -в)М = 0, п = 1,2,3., • • •, (22)

1Т 2

J/(0)sin[2 + 4(ra-A)](|-0)d0 = O, »1 = 0,1,2,■••,

т0 fifi) = 0 в Lp(0, |), р>1.

Теорема 1.3.2. Система функций

{sin(4n - 2)(| - б)^ {sin[4(n - Д)] - в)

полна в пространстве Lp(0, |), р > 1 при Д > —Д ф + к, к € N, то есть если f(9) € Lp(0, |), р > 1 и I

J f(9) sin(4n-2) -в)М = 0, п = 1,2,3, ■••, (23)

о *

Jт sin[4(n - Д)] - = 0, п = 1,2,3, • ■ •,

то f(0) = О е Lp(О, f), р > 1.

Теорема 1.2.3. Система функций

{вш[2 + 4(т»-Д)](|-6>)}^ (24)

является базисом Рисса в пространстве Li{Q, |) при А € (— J, U |). При А> Аф \ + k, + система не минимальна, но полна.

При А < — A | — k, A — | — к, к & N система минимальна, но не полна.

При А = | + к, к G Z система полна, но не минимальна в пространстве ¿2(0, В пространстве ¿2(0, §) не полна. Теорема 1.3.3. Система функций

{sin(4n - 2)(| - б) {sin[4(» - А)] (| - 0)}^ (25)

является базисом Рисса в пространстве .¿^(О, |) при А € (—i) U (5, При А > A 14- At^I + í:, fcsN система не минимальна, но полна. При А < — J, — k, А ^ — j — fc, fc € N система минимальна, но не

полна.

При Д = | + /с 6 Z система полна, но не минимальна в пространстве ¿2(0,3)1 а б пространстве 1*2(0, \) не полна.

Замечание 1.2.1. При А = 0 система (24) превращается в систему {sin2n6| . которая образует базис в пространстве Lp(0, |) и

ч > П—I

ортогональный базис в пространстве £г(0, §). Замечание 1.2.2. Пусть система

образует базис Рисса в L¡(О, |) и удовлетворяет соотношению

vn(e) + vn{\-e)=Q, в€(о,|),

тогда система функций

МОСо, {3т[2 + 4(п-Д)](|-0)}~о

является базисом Рисса в пространстве Ьг(0, |) при Д € (—|) U При А> + A | + fceN система не минимальна, но полна.

При Д < -j, Д ф | — fc, Д ф — | — к, к € N система минимальна, но не полна.

При Д = | + А:, к € Ъ система полна, но не минимальна в пространстве ¿2(0, |). В пространстве ¿2(0, §) не полка.

Сформулируем, наконец, теоремы о базисности Рисса, полноте и минимальности собственных функций задачи (6)- (10) при к = х и при к = — х.

Теорема 1.2.4. Система собственных функций ипк (15), йпк (17) видоизмененной задачи Франкля (6)- (10) при к — х образует базис Рисса в Li(D+) при х € (—1,0) U (О, +оо). При х € (—00, —1) система собственных функций минимальна, но не полна.

Теорема 1.3.5. Система собственных функций ипк (19), ünk (21) видоизмененной задачи Франкля (6)- (10) при к = —х образует базис Рисса в L2(D+) при х € (—oo,—l) U (0, +оо). При х € (—1,0) система собственных функций полна, но не минимальна.

Замечание 1.3.3. При х € (—1,0) система собственных функций задачи (6)- (10) при к = —х образует базис Рисса в Ь2{В+), если из него убрать серию

йпо(г, 0) - ->W-4A(m-r) sin4A(— - в), k = 1,2,3, • - •.

Исследование задачи (6)- (10) при к = х = 0.

При к — х = 0 условия (9) и (10) принимают, соответственно, вид

lim Uy(x, у) = 0, х е (0,1).

g(0,-y)=0, у €(0,1),

В этом случае задача имеет только тривиальное решение в гиперболической части области, а в эллиптической части собственные функции

7Г

Unk(r, 0) = AnkJ2n{ßnkr) sin 2п(- - в), (26)

где п — 1,2,3-- , к = 1,2,3■ • ■, Jini^nk) = 0 образуют базис Рисса в 1-2(0+). Если в системе собственных функций ипк (11), йпк (13) устремить к и я к 0, то в гиперболической части области получим 0, а в эллиптической систему (26), что согласуется с полученными в этом пункте результатами.

Во второй главе „Разрешимость некоторых нелокальных краевых задач для гармонических функций в полукруге" рассматривается нелокальная краевая задача для оператора Лапласа в круговом секторе с равенством потоков на радиусах (в первом разделе) либо с противоположными потоками на радиусах (во втором разделе) и равенством нулю решения на одном из радиусов. Также рассматриваются сопряженные задачи. Доказана единственность решения этих задач, с помощью спектрального метода получен явный вид решения. При доказательстве разрешимости задач исследованы полнота и базисность в £»р(0,7г), р > 1; С[0,7г]; И^[0,тг],р > 1, 1 S N систем корневых функций задач типа задачи Самарского-Ионкина, что может представлять самостоятельный интерес.

Сформулируем постановки задач и основные полученные результаты второй главы.

Постановка задач.

Найти функцию и(г,9) £ C°(D) П C2(D), удовлетворяющую в D уравнению

Ди = О,

(27)

с граничными условиями

«(l,fl) = /(0), /(0)€С°[<Ы /(0) = 0, а G (0,11, (28)

и(г,0) = 0, г 6 [0,1],

(29)

где

1>={(г, в): 0 < г < 1, 0 <9 < тг}.

В задаче с противоположными потоками на радиусах вместо условия (30) рассматривается условие

= г €(0,1). (31)

Справедливы следующие теоремы единственности и существования решения сформулированных задач.

Теорема 2.1.1. Задача (27)- (30) имеет единственное решение. Теорема 2.2.1. Задача (27)- (29), (31) имеет единственное решение.

Теорема 2.1.2. Решением задачи (27)- (30) является ряд

оо оо

и(г, 0) = £ Апг2п вш 2пв + ]Г Впг2п (1пг вш 2пв + в соз 2пв), (32)

п=1 п=0

где

тт

А" = п- 1,2,3, (33)

Ж Т

Во = I ¡{т)йт, Вп = ~ I /(г) соз 2птйт, п = 1,2,3, • • •.

о о

Теорема 2.2.2. Решением задачи (27)- (29), (31) является ряд

и{г, 9) = А/"-1 зт(2п - 1)0+

П=1

+ ]Г ВпГ2"-1 (1п г вт(2п - 1)0 + 0 соз(2п - 1)0),

П=1

где

А„ = ^ у (тг - т)/(т) вш(2п - 1 )тйт, п = 1,2,3, • ■ •, о

1Г

= ! Дг) соз(2п - П = 1, 2, 3, • • ■ .

(34)

Отметим интегральные представления

выводятся суммированием соответствующих рядов.

решений, которые

Решение задачи (27)- (30) можно представить в интегральном виде

„И . - ^„яахео^ - +

2 , I I, [г- (¿г)2 ^

где г = гей, С = {«: |£| = 1, 0 < < тт}.

Решение задачи (27)- (29), (31) можно представить в интегральном виде

Лагег)(_1_ +

где 2 = ге'в, С = {t:\tl = 1, 0 < агй< < тг}.

Далее, доказываются свойства полноты, базисности систем типа Самарского-Ионкина в различных пространствах. Рассмотрим две системы функций

{зтгш?}^, {(9соз2п(9}~0 (35)

{¿Ог-^шпгп*}",, {¿}, {-008 2^}-,. (36)

Параллельно будем рассматривать еще две системы

{8т(2п-1)0}~=1, {»008(^-1)5}", (37)

{¿(тг-^т^-!)*}^, {1008(211- 1)0}^. (38)

Лемма 2.1.1. Системы функций (35) и (36) биортонормированы на отрезке [0, ж].

Лемма 2.2.1. Системы функций (37) и (38) биортонормированы на отрезке [0,7г].

Теорема 2.1.3. Система функций (35) полна в пространстве

Lp(0,7г), р > 1, то есть если f(6) € Lp(0,7r), р > 1 и *

J/(0)sin2n0d0 = O, n = 1,2,3, - ■ •,

■71

J f(e)6cos2nede = 0, n = 0,1,2, • • •,

mo /(б) = 0 в Lp(О, тт), р > 1.

Такая же теорема справедлива для системы (36).

Аналогично теореме 2.1.3 можно докозать более общую теорему Теорема 2.1.4. Пусть определенные на (0,7г) функции h(9)+h( д(в) имеют множество нулей меры 0 и, кроме того, определены входящие в (2.13) интегралы, тогда система функций

{g(e)sm2ne}^v {h(6) cos2n0}~ Q

полна в пространстве Lp(0,7r), р > 1, то есть если f(9) g Lv(0,тг), р > 1, и

J f(0)g(e) sin 2 nOdd = 0, n = 1,2,3, • • •, (39)

7Г

J f(0)h(O) eos 2nOde = 0, n = 0,1,2, • • •, o

mo f{0) = 0 в Lp(0, тт), p > 1.

Замечание 2.1.1. Достаточным условием существования интегралов в (39) является ограниченность на [0,7т] функций g(0), h(9), так как f(0) принадлежит Lp(0,w), р > 1. В частности, этому условию удовлетворяют непрерывные на [0,7г] функции.

Теорема 2.2.3. Система функций (37) полна в пространстве

р>1, то есть если /(в) € 1^(0,7г), р > 1 и

7Г 7Г

J /(0) sin(2n - 1)0<¿0 = 0 и J f{6)9 cos(2n ~ 1 )9d9 = 0, n = 1,2,3, • ■ •,

о 0

mo f(d) =0 slp(0,7r), p> 1.

Аналогичная теорема справедлива и для сопряженной системы (38) Теорема 2.1.6. Система функций

{sin2 {0cos2n0}~o

образует базис в пространстве Ьр(0,тг) прир > 1. Теорема 2.1.7. Система функций

{(7г-0)5т2п0}~=1, {cos2ní?}^0

образует базис в пространстве Lp(0,7г), р > 1. Теорема 2.2.6. Система функций

{sin(2n - 1)0}~ {0cos(2n - 1)0}™ ,

образует базис в пространстве Lp(0, тг) при р > 1. Теорема 2.2.7. Система функций

{(я- - 0)sin(2п - 1)0}",, {cos(2n - 1)0}^,

образует базис в пространстве Lp{0,7r), р > 1.

Теорема 2.1.8. Пусть функция /(в) € Са[0, тг] и /(0) = 0, тогда ряд

ОО 00

/(0) = Ап sin 2nd + вп° cos 2пв> (40)

п=1 п=0

где Ап, Вп определяются формулой (33), сходится равномерно на [0,7г].

Теорема 2.1.9. Пусть функция J(в) € С" [О, х] и /(0) = /(тг), тогда ряд

00 00 /(0) = ^(я- - 0)ап sin 2п0 + cos 2гг0, (41)

п=1 11=0

7Г

= ^ J/(Т)8Ш2пгйт, п = 1,2,3, ••■, (42)

7Г 7Г

Ь0 = ^ J т/(т)йт, ьп = ~2 J 1~1{т) сое2птйт, п = 1,2,3, • • ■, о о

сходится равномерно на [0,7г].

Теорема 2.2.8. Пусть функция ¡(в) € Са[0,7г] и }(О) = 0, тогда ряд

00 со

/(0) = ^ Ап Бт(2п - 1)61 + ]Г СО!3(2п - (43)

71=1 71=1

где Ап, Вп определяются формулой (34), сходится равномерно па [0,7г].

Теорема 2.2.9. Пусть функция /(в) 6 Св[0, тг] и /(0) = -/(тг), тогда ряд

00 00 /(0) = £> - 0)апвт(2гг - 1)0 4- ^6„сов(2п - 1)0, (44)

71=1 71—1

где

а„

7Г2

;! Дг) ят(2п - 1)г<2г, Ь„ - АI т/(т) соз(2п - 1)тйг, (45) о о

сходится равномерно на [0,7г].

Изучены базисные свойства систем (35), (37) и их сопряженных в соответствующих подпространствах пространства Соболева 7г], р > 1, I & N. Возникающие подпространства являются естественными в силу теорем вложения.

Теорема 2.1.11. Пусть Й^[0,7г], р > .1, I £ N подпространств состоящее из функций, принадлежащих пространству И^ДО, я-], р > 1, I € N и удовлетворяющих условию

/№(0) = 0, 2к <1, кеНиО, /(И-1)(0) = /^-^(тг), 2к — I < I, & € N.

Система (35) образует базис в пространстве Й^[0,7г], причем, если I = 2т

разложение имеет вид

- -

П=1 Q

п-1 о

если I — 2т — 1 разложение имеет вид 2 <» }

т /w=E[/(-1)m+1/(2m-1)w-

n=l J

/(7г - г)cos2пт ,,sin2nT\ , 1 . „ „

п-1 0

Теорема 2.1.12. Пусть Wj,[0,7г], р > 1. I 6 N подпространств состоящее из функций, принадлежащих пространству

Wj[0,ir], р > 1,

i € N и удовлетворяющих условию

= 0, 2/с - 1 < i, Л G N, /(2fc)(0) = /(2fcV), 2k <1, fc S NUO.

Система (36) образует базис в пространстве Wp[0, тг], причем, если I = 2т разложение имеет вид

2 00 /■ 'О

если I = 2т — 1 разложение имеет вид

Т'Ю - £[](-1Г+1/{2т-Чт) Л-](х - 0)вш2пв+

п-1 0 л-1 0

Теорема 2.2.11. Пусть И^[0,тг], р > 1. ! 6 N подпространств состоящее из функций, принадлежащих пространству 7г], р > 1, /бМ« удовлетворяющих условию

/<2Л)(0) = 0, 2к<1, йеЗЧиО, /(24-1)(0) + /(г*-1)^) = О, 2Л: - 1 < I, к € N.

Система (2-47) образует базис 6 пространстве тг], причем, если I = 2т разложение имеет вид

7Г2

00 Г

т=£[/(-1Г7(2т)м-

п=1 ^

/(я — т)зт(2п — 1)т „ соэ(2п — 1)г\ , 1 . ,„ „,п

' ( (¿.- V - (2п— !)*»'>] 8т<2"- 1»9+

П=1 о '

если I = 2т — 1 разложение имеет вид

2 ~ *

п—1 л

Теорема 2.2.12. Пусть Щ[0, п], р > 1, I е N подпространств состоящее из функций, принадлежащих пространству 14^(0,7г], р > 1,

I G N и удовлетворяющих условию

f(2k- = 0i 2k-l<l, fc е N,

7г) = 0, 2к < I, к £ N.

Система (2.48) образует базис в пространстве 1Ур[0,7г], причем, если I = 2т разложение имеет вид

jm = ± [/(-1Г/^) S^ßär] (* - 0) sin(2n - l)ö+

r.=l 0

n-l 0

если l — 2m — 1 разложение tu.iee.vn вид

jm=£[/ (-r/^'w (» - ^ sm(2n -1)9+

n-l 0 n-l Q

• cos(2n - 1)0.

Постановка сопряженных задач. Единственность и существование решений.

Сформулируем теперь сопряженные к задачам (27)- (30) и (27)-(29), (31) задачи. Снова в D найти функцию v{r,9) € C°(D) П C2(D), удовлетворяющую уравнению

Av = 0, (46)

с граничными условиями

v(L0)=/(0), f(Ö)eCa[0,тг], а 6(0,1], (47)

^(г, тг) = 0, г 6 (0,1), (48)

v(r, 0) = v(r, 7г), Г 6 [0,1]. (49)

В задаче, сопряженной к (27)- (29), (31) условие (49) заменяется на условие

v(r, 0) = -1>(г,7г), г 6 [0,1]. (50)

Следствием условия (47) является требование /(0) = f(n), а условия (50) -/(0) = -/(тг).

Сформулируем теоремы единственности и существования. Теорема 2.1.13. Задача (46)- (49) имеет единственное решение. Теорема 2.2.13. Задача (46)- (48), (50) имеет единственное решение. Теорема 2.1.14. Решением задачи (46)- (49) является ряд

ОО 00

v(r,e) = апГ2п({к - 0) sin 2пв + In г cos 2пв) + ^ bnr2n cos 2п0, (51)

п=1 п=0

где ап, Ъп определяются формулой (42).

Теорема 2.2.14. Решением задачи (46)- (48), (50) является ряд 00

v(r, в) = ~аУП~1 ((^ - 0) sin(2n - 1)0 + In г cos(2n - 1)0)+

n=l

+ ^6nr2n"1cos(2n- 1)0,

n=l

где än, bn определяются формулой (45).

Представим, наконец, решения сопряжегагах задач в интегральном виде. Решение задачи (46)- (49) представимо в виде

21п|г| Г . (tz)2 22 \dt

2 „ f ,, ./ (tz)2 t2 \ dt

где г = reiB, С - {t: |i| = 1. 0 < argi < 7r}.

Решение задачи (46)- (48), (50) представимо в виде

фт г J arg t /(arg t) + А,

где z = retS, С = (i: |i| = 1. 0 < argi < ж).

В третьей главе „Разрешимость некоторых нелокальных краевых задач для уравнения Гельмгольца в полукруге"

рассматривается нелокальная краевая задача для оператора Гельмгольца в круговом секторе с равенством потоков на радиусах (в первом разделе) либо с противоположными потоками на радиусах (во втором разделе) и равенством нулю решения на одном из радиусов. Также рассматриваются сопряженные задачи. С помощью функции Грина и теории Гильберта-Шмидта найдены условия единственности решения поставленных задач. Решения задач найдены в виде ряда с использованием свойств систем типа Самарского-Ионкина. Также удалось доказать, что при четном нелокальном условии суммирование собственных и присоединенных функций можно произвести независимо друг от друга.

Сформулируем постановки задач и основные полученные результаты третьей главы.

Постановка задач. Единственность, существование решений.

Найти функцию и(г,0) е C°(D) П C2(D)

такую, что

|gradu| < — в окрестностях угловых точек (0,0), (1,0). (—1,0), (0,1), гт

(54)

7 < 1, А- константа, удовлетворяющую в D уравнению

Au + fi2u — 0, ß € R \ 0, (55)

с граничными условиями

«(М) =/(*), /(0) = о, /(<?) еС"*[0,7г], а € (0,1]. (56) и(г,0) = 0, г б [0,1), (57)

Ои ди

—(г, 0) = — (г,7г), г е (0,1) — равенство потоков, (58)

<7(7 (ДО

где

= {(г, 0): 0 < г < 1, 0 < в < тг}.

В задаче с противоположными потоками на радиусах вместо условия (58) рассматривается условие

ёМ)=-ё(Г;7Г)' ге(од)' (59) Теорема 3.1.1 (единственность решения задачи (54)- (58)).

Пусть ¡1 не совпадает с являющимися корнями уравнения

¿2п(/1пк) = 0, п = 0,1,2 - • • , * = 1,2,3-••, (60)

где За{%) - функции Бесселя, и градиент решения удовлетворяет условию (54), тогда задача (54)- (58) имеет единственное решение.

Теорема 3.2.1 (единственность решения задачи (54)- (57), (59)).

Пусть р. не совпадает с цпк, являющимися корнями уравнения

Л»-!^) = 0> гс — 1,2,3-• • , * = 1,2,3---, (61)

где Зх{г) - функции Бесселя, и градиент решения, удовлетворяет условию (54), тогда задат (54)- (57), (59) имеет единственное решение.

Теорема 3.1.2 (существование решения задачи (54)- (58)).

Пусть /(в) € Са[0,7г], а б (0,1], /(0) = 0 и ¡л не является корнем уравнения (60), тогда решение задачи (54)- (58) существует и представимо в виде ряда

ч(г,е) = т{А*¥гт™12п9+ (62)

+вп

в сое 2пв + ёш 2п&] |,

7Г

О о

Лемма 3.1.1. Ряды

оо

У] Вп вт 2 пв, Вп 1п п бш 2 пв.

(64)

где Вп определяются по (63), сходятся равномерно. Лемма 3.1.2. Ряды

где Вп определяются по (63), сходятся равномерно.

Следствие 3.1.1. Лемма (3.1.1) и лемма (3.1.2) позволяют утверждать, что решение задачи (54)- (58) и(г,в) представимо в виде суммы рядов

где АГ1, Вп определяются по (63).

Теорема 3.2.2 (существование решения задачи (54)- (57), (59)).

Пусть /(в) 6 С"[0,7г], а 6 (0,1], /(0) — 0 и р. не является корнем уравнения (61), тогда решение задачи (54)- (57), (59) существует и представимо в виде ряда

(65)

Вп = ^2 11{т)соври-1)т<1т, п= 1,2,3,- ■•, (67)

А* = 4 I /(ГХ* - г) з5п(2п - г)тат - П = 1,2,3, • • -.

Постановка сопряженных задач. Единственность, существование решения.

Сформулируем теперь сопряженные к (54)- (58) и к (54)- (57), (59) задачи. Найти функцию и(г, 0) е С0(О) П С2(П) удовлетворяющую условию (54), уравнению

Аи + ц2и — 0, /х € К \ 0 (68)

в области О и фаничным условиям

и(1,0) = /(0); №еСа[0,тг]3 а € (0,1], (69)

^(г,тг) = 0, г €(0,1), (70)

и(г, 0) = и(г, тг), г 6 [0,1], (71)

где

£> = {(г, 0) : 0 < г < 1, 0 < в < 7г}.

В сопряженной к (54)- (57), (59) задаче условие (71) заменяется на условие

и(г,0) = -гг(г,7г), г € [0,1]. (72)

Следствием условия (71) является требование /(0) = /(ж), а условия (72) -/(0) = -/(тг).

Теорема 3.1.3 (единственность решения задачи (54), (68)- (71)).

Пусть /1 не совпадает с цпк, являющимися корнями уравнения (60), и градиент решения удовлетворяет условию (54), тогда задача (54), (68)-(71) имеет единственное решение.

Теорема 3.2.5 (единственность решения задачи (54), (68)-(70), (72)). Пусть ц не совпадает с являющимися корнями

уравнения (61), и градиент решения удовлетворяет условию (54), тогда задача (54), (68)- (70), (72) имеет единственное решение.

Теорема 3.1.4 (существование решения задачи (54), (68)- (71)). Пусть /(0) € С"[0,7г], а £ (0,1], /(0) — /(я) и р, не является корнем уравнения (60), тогда решение задачи (54), (68)- (71) существует и представимо в виде ряда

-----

+ЬпМ^1С052пв).

где

„(г, б) = у(а„[444~ ™2п0 + Оа^Пит. С052пв\ + (73)

7Г

ап = У /(г) БШ2ПТС/Т, п — 1,2,3. ■ • •, (74)

Ш1а

' = ^ / = Л / /(т)г С03 - а„

« = 1,2,-

Лемма 3.1.3. Ряды

00 ОС

У^а,, соз2п0, У^ап1г1псоз2п6|, (75)

П=1 П=1

где ап определяются по (74), сходятся равномерно. Лемма 3.1.4. Ряды

^ ^ -Ым)

где ап определяются по (74), сходятся равномерно.

Следствие 3.1.2. Лемма (3.1.3) и лемлш (3.1.4) позволяют утверждать, что решение задачи (54), (68)-(71) и(г, в) представимо в виде суммы рядов

и(г,в) = ¿ап~Т(7Г ~ в) 8Ш2П° + £ 2П°+ (?6)

^п(рг)

п=0

где а„, Ьп определяются по (74).

Теорема 3.2.6 (существование решения задачи (54), (68)-(70), (72)). Пусть /(0) € Са[0,тг], а 6 (0,1], /(0) = -/(тг) « р

не является корнем уравнения (61), тогда решение задачи (54), (68)-(70), (72) существует и представимо в виде ряда

и(М) = - 0) вт(2п - 1)0+ (77)

^ _ -1 соз(2п _ 1}Л

где

зг

а„ = ^ У /(г) бш(2п - \)гйт, п = 1,2,3, ■ ■ ■, (78)

Ь» = 4 / /(т)г соз(2п - 1)тл- - а„ п = 1,2,3, ■ • •.

Замечание. Все приведенные в третьей главе результаты сохраняются, если в уравнении Аи + и2и — 0 р, будет комплексным числом отличным от нуля.

Публикации автора по теме диссертации

[1] Моисеев Е. И., Амбарцумян В. Э. О базисности собственных функций задачи Франкля с нелокальным условием четности второго рода // Дифференциальные уравнения. 2009. Т.45, №12. С.1735-1740.

[2] Моисеев Е. И., Амбарцумян В. Э. О базисности собственных функций задачи Франкля с нелокальным условием четности и нечетности второго рода // Докл. РАН. 2010. Т.432 №4. С.1-5.

[3] Моисеев Е. И., Амбарцумян В. Э. О разрешимости нелокальной краевой задачи с равенством потоков на части границы и сопряженной к ней задачи // Дифференциальные уравнения. 2010. Т.46, №5. С.718-725.

Подписано в печать:

09.04.2010

Заказ № 3521 Тираж -100 экз. Печать трафаретная. Типография «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 115230, Москва, Варшавское ш., 36 (499) 788-78-56 www.autoreferat.ru

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Амбарцумян, Ваграм Эдвардович

ВВЕДЕНИЕ

1 О базисности собственных функций видоизмененной задачи Франкля.

1.1 Собственные значения и собственные функции видоизмененной задачи Франкля с нелокальным условием сшивания второго рода.

1.1.1 Постановка видоизмененной задачи Франкля.

1.1.2 Нахождение общего решения уравнения (1.1).

1.1.3 Нахождение собственных значений и собственных функций поставленной задачи

1.2 О базисности собственных функций задачи Франкля с нелокальным условием четности второго рода.

1.2.1 Постановка видоизмененной задачи Франкля.

1.2.2 Нахождение собственных значений и собственных функций задачи

1.2.3 Полнота возникшей в собственных функциях системы синусов в Ьр(0, |), р > 1.

1.2.4 Базисность Рисса системы собственных функций в L2(D+).

1.3 О базисности собственных функций задачи Франкля с нелокальным условием нечетности второго рода.

1.3.1 Постановка видоизмененной задачи Франкля с нелокальным условием нечетности второго рода

1.3.2 Нахождение собственных значений и собственных функций задачи

1.3.3 Полнота, базисность системы синусов, возникших в собственных функциях.

1.3.4 Базисность системы собственных функций в L,2(D+).

1.3.5 Исследование задачи при нулевых значениях параметров

2 Разрешимость некоторых нелокальных краевых задач для гармонических функций в полукруге.

2.1 О разрешимости нелокальной краевой задачи с равенством потоков на части границы и сопряженной к ней задачи.

2.1.1 Постановка задачи.

2.1.2 Единственность и существование решения.

2.1.3 Интегральное представление решения.

2.1.4 Полнота, базисность систем типа Самарского-Ионкина в различных пространствах.

2.1.5 Постановка сопряженной задачи. Единственность и существование решения, интегральное представление решения.

2.2 О разрешимости нелокальной краевой задачи с противоположными потоками на части границы и сопряженной к ней задачи.

2.2.1 Постановка задачи.

2.2.2 Единственность и существование решения.

2.2.3 Интегральное представление решения.

2.2.4 Полнота, базисность систем типа Самарского-Ионкина в различных пространствах.

2.2.5 Постановка сопряженной задачи. Единственность, существование, интегральное представление решения

3 Разрешимость некоторых нелокальных краевых задач для уравнения Гельмгольца в полукруге.

3.1 О разрешимости нелокальной краевой задачи для уравнения Гельмгольца с равенством потоков на части границы и сопряженной к ней задачи.

3.1.1 Постановка задачи.

3.1.2 Единственность решения задачи (3.1)- (3.5).

3.1.3 Существование решения задачи (3.1)- (3.5)

3.1.4 Постановка сопряженной задачи. Единственность, существование решения.

3.2 О разрешимости нелокальной краевой задачи для уравнения Гельмгольца с противоположными потоками на части границы и сопряженной к ней задачи.

3.2.1 Постановка задачи.

3.2.2 Единственность решения задачи (3.37)- (3.41)

3.2.3 Существование решения задачи (3.37)- (3.41).

3.2.4 Постановка сопряженной задачи. Единственность, существование решения.

Введение диссертация по математике, на тему "Спектральные вопросы задачи Франкля для уравнения смешанного типа и разрешимость аналога этой задачи для уравнения Гельмгольца"

Общая характеристика работы

Впервые задача для уравнения смешанного типа была рассмотрена С.А.Чаплыгиным в работе [35] приминительно к проблеме течения потока газа. В ней были изучены частные решения следующего уравнения дЧ „ ,дЧ w + к{а) w = (1) где коэффициент К{а) монотонно возрастает, положителен при а > О (дозвуковая скорость) и отрицателен при а < 0 (сверхзвуковая скорость); таким образом, при переходе из дозвуковой области в сверхзвуковую уравнение изменяет тип с эллиптического на гиперболический.

Фундаментальное значение для последующего развития теории уравнений смешанного типа имела опубликованная в 1923г. работа Ф.Трикоми (см. [32]). В этой работе была поставлена краевая задача для уравнения уихх + иуу = 0 (2) в области, ограниченной при у > 0 простой дугой Жордана Г с концами в точках .А(0,0) и £(1,0), а при у < 0 - характеристиками уравнения (2), выходящими из точек А я В и пересекающимися в некоторой точке С, при этом граничные значения заданы на Г и на характеристике АС. Трикоми доказал существование и единственность решения этой задачи.

Обобщение результатов Трикоми на случай уравнения sign(y)\y\muxx + uyy = 0, т > О, было сделано Геллерстедтом; кроме того, им была построена функция Грина для решения задачи в эллиптической части области.

В 50-ых годах прошлого века А.В. Бицадзе и М.А. Лаврентьев предложили рассматривать модельное уравнение [6] смешанного типа

Ф. И. Франкль [33] доказал единственнность решения краевой задачи для уравнения (1) при некоторых ограничениях на коэффициент К (а). Франклем [34] была поставлена задача для уравнения (1) в области, граница которой в гиперболической части отходит от характеристики внутрь области, причем граничные значения заданы на этом участке границы и на дуге, ограничивающей эллиптическую часть области. Франкль доказал единственность решения данной задачи, а также существование в случае, когда нехарактеристический участок границы достаточно близок к характеристике.

В 1956 году Ф. И. Франкль [34] предложил смешанную задачу для уравнения Чаплыгина (1) с нелокальным условием

Доказательство единственности и существования решения поставленной задачи можно найти в [6].

Новые краевые задачи для уравнений смешанного типа, в том числе задачи для неоднородного уравнения, задачи для уравнений sign(y)uxx + Uyy = 0.

4) к(0, у) - 7/(0, -у) = f(y), -1 < у < 1. смешанного типа второго рода, задачи со спектральным параметром, были поставлены и изучены в работах многих авторов К.И. Бабенко, В.Н. Врагова, И.М. Гельфанда, Т.Д. Джураева, А.Н. Зарубина, В.А. Ильина, Н.И. Ионкина, Т.Ш. Кальменова, Н.Ю. Капустина, А.С. Макина, Е.И. Моисеева, A.M. Нахушева, А.А. Полосина, А.В. Псху, К.Б. Сабитова, М.С. Салахитдинова, А.П. Солдатова, C.S. Morawetz, М.Н. Protter.

Спектральный метод является одним из наиболее эффективных методов исследования задач математической физики. Изучение спектральным методом нелокальных краевых задач математической физики позволяет исследовать корректность постановки задачи, выявить структурные свойства решений и дает возможность получения точных априорных оценок решений.

Спектральные свойства задач для уравнения смешанного типа активно изучались с 80-ых годов прошлого столетия. С.М. Пономарев выписал собственные функции задачи Трикоми для уравнения Лавреньтева-Бицадзе (4) и доказал их полноту в эллиптической части области, являющейся круговым сектором. Е. И. Моисеев доказал базисность этой системы и, используя свойство базисности, построил спектральный метод решения краевых задач для уравнений смешанного типа. В частности, для уравнения (4) решения удалось получить в виде ряда в некоторых специальных областях, также были получены интегральные представления решений. Для уравнения (4) решения были получены в виде ряда.

Полнота собственных функций задачи Геллерстедта для уравнения Лавреньтева-Бицадзе была доказана К.Б.Сабитовым и А. Н. Кучкаровой [29]. Полнота собственных функций задач Трикоми, Неймана-Трикоми, Геллерстедта для уравнения

IУ\т+1ихх + уиуу + quy + A\y\m+lu = 0, q < 1, m > -2. (5) была доказана E. И. Моисеевым и Ф. Могими [18] при условии т + 2q > 0.

Цель работы. Целью работы является исследование вопросов полноты, базисности и минимальности собственных функций видоизмененной задачи Франкля с условием сшивания второго рода в зависимости от параметра задачи. Также целыо является изучение свойств полноты и базисности систем типа Самарского-Ионкина в различных пространствах и, далее, доказательство единственности и существования путем построения аналитического решения нелокальных краевых задач в полукруге для операторов Лапласа и Гельмгольца, являющимися аналогами задачи Франкля.

Методы исследования. Собственные функции видоизменной задачи Франкля с нелокальным условием сшивания второго рода выписываются с помощью метода разделения переменных с использованием функций Бесселя. Базисность Рисса, полнота, минимальность собственных функций задачи исследуются с помощью теорем о базисности систем синусов и косинусов в пространстве Lp, а также с использованием свойства ортонормированности системы функций Бесселя, являющейся решением соответствующей краевой задачи. Полнота и базисность в различных пространствах систем типа Самарского-Ионкина были изучены с привлечением свойств полноты и базисности синусов и косинусов в соответствующих пространствах. С помощью доказанных свойств систем типа Самарского-Ионкина было получено решение в явном аналитическом виде различных нелокальных краевых задач в полукруге для уравнений Лапласа и Гельмгольца. Единственность нелокальных краевых задач для уравнения Лапласа была доказана с помощью принципа максимума и принципа Зарембы-Жиро. Единственность нелокальных краевых задач для уравнения Гельмгольца в полукруге была доказана построением функции Грина, применением второй формулы Грина и теории Гильберта-Шмидта для самосопряженных положительно определенных операторов.

Научная новизна. В первой главе построено решение видоизменной задачи Франкля с нелокальным условием сшивания второго рода. Далее, при четном и нечетном условии сшивания изучен вопрос базисности Рисса, полноты, минимальности соответствующей системы собственных функций в пространстве L,2(D+) в эллиптической части области в зависимости от параметра (коэффициента зависимости) задачи. Показано также, что при нулевом коэффициенте зависимости в гиперболической части области решение становится тривиальным, а в эллиптической части полученные собственные функции образуют базис Рисса, что согласуется с общим результатом. Ранее была изучена видоизменная задача Франкля с нелокальным условием сшивания первого рода.

Во второй главе изучены полнота и базисность систем типа Самарского-Ионкина в пространствах С[0,7г]; Lp[0, тг] р > 1; 7r], р > 1, I € N. Ранее аналогичные системы были изучены в L2[0, тг] и Lp{K) р > 1, где К—любой компакт интервала (0, тс). На основе полученных результатов получено в аналитическом виде классическое решение некоторых нелокальных краевых задач для оператора Лапласа в полукруге. Кроме того, была доказана единственность этих задач.

В третьей главе изучены различные нелокальные краевые задачи для уравнений Гельмгольца в полукруге. Были найдены условия единственности. На основе доказанных свойств систем типа Самарского-Ионкина и асимптотики производной по порядку функции Бесселя при больших значениях порядка построено в аналитическом виде классическое решение поставленных задач. Удалось доказать, что при четном нелокальном условии суммирование собственных и присоединенных функций можно произвести независимо друг от друга.

Публикации. Основные результаты работы подготовлены и оформлены в семи статьях [38]- [44]. Статьи [38]- [41] опубликованы, статьи [42]- [44] направлены в печать.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, разбитых на разделы, и списка литературы. В работе иснользована сквозная тройная нумерация теорем, лемм, замечаний, следствий, в которой первая часть номера соответствует номеру главы, вторая часть указывает на номер раздела в главе, а третья - на номер в разделе. В формулах использована сквозная двойная нумерация: номер главы, помер формулы. Список литературы состоит из 44 наименований. Общий объем диссертации составляет 131 страниц.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Амбарцумян, Ваграм Эдвардович, Москва

1. Аббаси Н. Базисность и полнота собственных функций задачи Франкля // Докл. РАН. 2009. Т.425 №3. С.295-298.

2. Аббаси Н. Спектральные вопросы задачи Франкля для уравнения смешанного типа. Дисс. кандидата физ.-мат. наук. — М., 2009.

3. БариН. К. Тригонометрические ряды. Гос. изд. физ.-мат. литературы. Москва. 1961.

4. Бейтман ГЭрдейи А. Высшие трансцендентные функции. М., 1973. Т.1.

5. Бейтман Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. М., 1973. Т.2.

6. Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных. Москва "Наука", 1981.

7. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М., 1977.

8. Гельфанд И.М. Шилов Г. Е. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений. Гос. изд. физ.-мат. лит. 1958.

9. Девенгталъ Ю. В. О существовании решения одной задачи Ф. И Франкля // Докл. АН СССР, 1958, т. 119, с. 15-18.

10. ЗарубинА.Е. Исследование начально-краевых задач для уравнения смешанного типа с запаздывающим аргументом. Дисс. доктора физ.-мат. наук. 1996.

11. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т. 1. Издательство "МИР". Москва. 1965.

12. Ильин В. А. Необходимые и достаточные условия базисности в 1Р и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений и разложений по системам экспонент // Докл. АН СССР. 1983. Т. 273, N 4. С. 789-793.

13. Ильин В. А. О безусловной базисности на замкнутом интервале систем собственных и присоединенных функций дифференциального оператора второго порядка // Докл. АН СССР. 1983. Т. 273, N 5. С. 1048-1053.

14. Капустин Н. Ю., Моисеев Е. И. О базисности в пространстве Lp систем собственных функций, отвечающих двум задачам со спектральным параметром в граничном условии // Дифференциальные уравнения. 2000. Т.36, то. С. 1357-1360.

15. Качмаж С., Штейнгауз Г. Теория ортогональных рядов. Государственное издательство физико-математической литературы. Москва. 1958.

16. Кузьмин А. Г. Неклассические уравнения смешаного типа и их приложения к газодинамике. ЛГУ, 1990.

17. МакинА. С. О свойствах корневых функций и спектральных разложений, отвечающих несамосопряженным дифференциальным операторам. Дисс. доктора физ.-мат. наук. — М., 2001.

18. Могими Ф. Мохаммад Багер. Спектральные свойства задачи Геллерстедта и связанных с ней двух задач для вырождающегося уравнения смешанного типа. Дисс. кандидата физ.-мат. наук. — М., 2005.

19. Моисеев Е. И. Дифференц. уравнения. 1992. Т 28. №4. С.721-723.

20. Моисеев Е. И. О базисности систем синусов и косинусов // Докл. АН СССР. 1984. Т.275 №4. С.794-798.

21. Моисеев Е. И. О базисности одной системы синусов // Дифференциальные уравнения. 1987. Т.23, Ш. С.177-179

22. Моисеев Е. И., Аббаси Н. Базисность собственных функций одной обобщенной газодинамической задачи Франкля с нелокальным условием четности и с разрывом градиента решения // Дифференциальные уравнения. 2009. Т.45, №10. С. 1452-1456

23. Моисеев Т. Е. О неединственности решения смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа // Дифференциальные уравнения. 2008. Т.44, №5. С.712-714

24. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. М., 1962.

25. Нахушев A.M., Бжихатлов Х.Г. Об одной краевой задаче для уравнения смешанного типа // ДАН СССР. 1968. Т. 183. №2. С. 261-264.

26. Полосин А. А. О регулярной разрешимости некоторых краевых задач для уравнений смешанного типа. Дисс. кандидата физ.-мат. наук. — М., 1996.

27. Пономарев С. М. Докл. АН СССР. 1979. Т.249 №5. С. 1068-1070.

28. ПсхуА.В. Краевые задачи для дифференциальных уравнений с частными производными дробного и континуального порядка. Дисс. доктора физ.-мат. наук. — М., 2007.

29. Сабитов К. Б., Кучкарова А. Н. Спектральные свойства решения задачи Геллерстедта для уравнения смешанного типа и их применения // Сиб. мат. ж. 2001. Т42. №5. С. 1147-1161.

30. Смирнов М. М. Уравнения смешаного типа. Москва. 1970.

31. ТеляковскийС. А. О работах по теории приближения функций, выполненных в МИАНе // Труды Математического института АН СССР. 1988, т. 182, С. 128-179.

32. Трикоми Ф. О линейных уравнениях в частных производных второго порядка смешанного типа. М., 1947.

33. Франклъ Ф. И. О задачах Чаплыгина для смешанных до- и сверхзвуковых течений // Изв. АН СССР, Сер. матем. 9, 2, 1945, 121142.

34. Франклъ Ф. И. Избранные труды по газовой динамике. М., 1973.

35. Чаплыгин С. А. Полное собрание сочинений, Т. 2. "О газовых струях". АН СССР, 1933.

36. Cathleen S. Morawetz Note on a Maximum Principle and a Uniqueness Theorem for an Elliptic-Hyperbolic Equation // Proc. R. Soc. Lond. A July 10, 1956, 236, pp. 141-144.

37. Protter M. H. An existence thorem for the generalized Tricomi problem // Duke Math. J., 1954, v 21, pp. 1-7

38. Моисеев E. И., Амбарцумян В. Э. О базисности собственных функций задачи Франкля с нелокальным условием четности второго рода // Дифференциальные уравнения. 2009. Т.45, №12. С. 1735-1740.

39. Моисеев Е. И., Амбарцумян В. Э. О базисности собственных функций задачи Франкля с нелокальным условием четности и нечетности второго рода // Докл. РАН. 2010. Т.432 №4. С.1-5.

40. MoiseevE. I., AmbarLsumyan V. Е. On the Basis Property of Eigenfunctions of the Frankl Problem with a Nonlocal Oddness Condition of the Second Kind // Integral Transforms and Special Functions. 2010. V. 21. No 5/6. P. 340-349.

41. Моисеев Е. И., Амбарцумян В. Э. О разрешимости нелокальной краевой задачи с равенством потоков на части границы и сопряженной к ней задачи // Дифференциальные уравнения. 2010. Т.46, №5. С.718-725.

42. Моисеев Е. И., Амбарцумян В. Э. О разрешимости нелокальной краевой задачи с противоположными потоками на части границы и сопряженной к ней задачи // Дифференциальные уравнения. 2010. Т.46,т.

43. MoiseevE. I., Ambartsumyan V. Е. On the solvability of nonlocal boundary value problem for the Helmholtz equation with the equality of flows at the part of the boundary and conjugated to its problem // Integral Transforms and Special Functions. 2010.

44. Моисеев E. И., Амбарцумян В. Э. Разрешимость некоторых нелокальных краевых задач для уравнения Гельмгольца в полукруге // Докл. РАН. 2010.Московский государственный университетимени М.В. Ломоносоваe-mail: vagraml983@yandex.ru