Спектральные вопросы задачи Франкеля для уравнения смешанного типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

003469128

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА

Факультет вычислительной математики и кибернетики

На правах рукописи

Аббаси Насер

Спектральные вопросы задачи Франкля для уравнения смешанного типа

Специальность 01.01.02-дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва—2009

003469128

Работа выполнена на научных семинарах кафедры функционального анализа и его применений факультета ВМиК МГУ.

Научный руководитель:

академик РАН Е.И.Моисеев

Официальные оппоненты.-доктор физико-математических наук,

Ведущая организация: Научно-исследовательскии институт

Защита диссертации состоится 3 июня 2009г.в 15 часов 30 минут.На заседании диссертационного совета Д 501.001.43 при Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова по адресу: 119991,ГСП-1,Москва,Ленинские горы,МГУ,Факультет вычислительной математики и кибернетики,аудитория 685. С диссертацей можно ознакомиться в библиотеке Факультета ВМиК МГУ.

Автореферат разослан.....апреля 2009г.

Ученый секретарыдиссертационного совета

профессор Зарубин Александр Николаевич;

доктор физико-математических наук,

профессор Макин Александр Сергеевич.

прикладной математики и автоматизации

Кабардино- Балкарского научного центра РАН.

профессор Е.В.Захаров

Общая характеристика работы

Актуальность темы.Тсория краевых задач для уравнений смешанного типа является одним из важных разделов .Первым исследователем в этой области был Ф.Трикоми [42].Началом нового этапа в развитии теории уравнений смешанного типа явилась работа Ф.И.Франкля[43]. Задача Франкля без спектрального параметра рассматривалась в работах А.В Бицадзе ,М.М Смирнова,К.И Бабенко [1],[39].Большой вклад в изучение разрешимости краевых задач для уравнений смешанного типа внесли работы И.М.Гельфанда,Геллерстедта (Се11ег8г^1-3).А.М.Нахушева,М.С.Салахитдинова,Т.Д.Джураева,А.П. Солдатова,В. Н.Врагова,Т.Ш.Кальменова,К.Б.Сабитова, А.Н.Зарубина, С.П.Пулькина, В. Ф.ВолкодавоваДП. Михайлова, А. А.Полосина, Н.Ю. Капустина,А.В.Псху. Спектральные свойства задач для уравнения смешанного типа активно изучались, начиная с 80-х годов. Т.Ш.Кальменов[14]первый доказал,что задача Трикоми имеет по крайней мере одно собственное значенние для уравнения Лаврентьева-Бицадзе. С.М.Пономарев выписал собственные функции задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе и доказал их полноту в эллиптической части области,являющейся круговым. Е.И.Моисеев[20-31]нашел сектора на комплексной плоскости,в которых отсутствует спектр задачи Трикоми для уравнения Геллерстедта с переменными коэффициентами (в частности,для уравнения Трикоми).Е.И.Моисеев доказал базисность этой системы в эллиптической части области и,используя свойство базисности, построил спектральный метод решения краевых задач для уравнений смешанного типа.

Я.Н.Мамедов [18] распространил результаты о полноте собственных функций для вырождающихся уравнений смешанного типа,в

частности,для уравнения Трикоми,но в случае,когда эллиптическая часть области-это половина круга в соответствующей геометрии. Задача Геллерстедта для уравнения Лаврентьева-Бицадзе и для уравнения Геллерстедта[6]исследовалась в работах К.Б.Сабитова и его учеников[38]. В этой работе изучены полнота и базисность собственных функций для задачи Франкля для уравнения смешанного типа в эллиптической части области.

Основные результаты.!} работе получены следующие результаты:

1. Нахождение в явном виде( через функции Бесселя) общих решений вырождающихся эллиптико-гиперболических уравнений со спектральным параметром;

2. Для задачи Франкля для уравнения Лаврентьева-Бицадзе нахождение собственных значений и собственных функций;

3.Доказана базисность собственных функций задачи Франкля с нелокальным условием четности;

4.Доказана базисность собственных функций задачи Франкля с нелокальным условием нечетности и с разрывом градиента решения;

5. Доказана полнота собственных функций задачи Франкля с условием четности;

6.Доказана полнота собственных функций задачи Франкля с нелокальным условием нечетности и с разрывом градиента решения. Цель работы.Целью работы являются доказательства базисности

или полноты собственных функций задачи Франкля с нелокальным условием четности или нечетности и с разрывом градиента решения или без разрыва градиента решения на линии изменения типа уравнения. Методы ИССЛвДОвания.Построение частного решения уравнения смешанного типа в эллиптической части области и в

гиперболической части области выписывается с помощью метода разделения переменных,используется функция Бесселя. Базисность собственных функций задачи Фрапкля и полнота собственных функций задачи Франкля исследуются с помощью теорем о полноте и базисности систем синусов и косинусов в пространстве Ьр. Кроме того,используется ортонормированная система функций Бесселя.

Научная новизна.В первой главе изучается построение частного решения уравнения смешанного типа в эллиптической части области и в гиперболической части области,ранее во второй главе доказана базисность собственных функций задачи Франкля с нелокальным условием четности,в третьей главе доказана базисность собственных функций задачи Франкля с нелокальным условием нечетности и с разрывом градиента решения,в четвёртой главе доказана полнота собственных функций задачи Франкля с нелокальным условием четности и с разрывом градиента решения. В пятой главе доказана полнота собственных функций задачи Франкля с условием нечетности.

Практическая и теоретическая ценность работы.

Полученные результаты и предложенные методы исследования представляют теоретический интерес и могут быть использованы в спектральной теории краевых задач для уравнения смешанного типа и в газовой динамике.

Апробация работы.Результаты, приведенные в диссертации,докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедр общей математики и функционального анализа и их применения факультета ВМК МГУ,имени.М.В.Ломоносова,а также докладывались на Тихоновских чтениях в октябре 2008г.

Публикации.Основные результаты работы подготовлены, оформлены в пяти статьях и опубликованы[44-48].

Структура и объём диссертации.Диссертация состоит из оглавления,введения,пяти глав и списка литературы.В введении указана актуальность задачи и краткая история основных результатов по уравнениям смешанного типа и основные результаты диссертации. Объём диссертации составляет 100 страниц.

Построение частного решения уравнения смешанного типа в эллиптической части области и в гиперболической части

области

Первая глава состоит из пяти пунктов.

В пункте 1.1 дана постановка задачи Франкля для уравнения Лаврентьева - Бицадзе в эллиптической части области и в гиперболической части области . Постановка задачи.В области

требуется определить решение следующей видоизмененной задачи Франкля

Основное содержание работы

Первая глава.

ихх + (здп(у))иуу + ц2здп{х + у)и = 0, в с краевыми условиями

(1)

«(1,0) =0,0 е [о, -]

7г

(2)

и(0,у) = -и(0,-у),уе[0,1], функция и(х,у)— регулярное решение из класса

и и(х, +0) = —и(х, —0)

ду ду

Я+ = {М)О<г<1,О<0<|},

область ограничена сегментом [-1,1]оси ОХ и кривой

7 = {(х,у) : х2 + у2 = 1,® > 0,у > 0} и сегментом [0,1]оси ОУ.

П_ = {(х,у) : -у <х <у + 1,-^ <у <0}

и{(®, у) ■■ х - 1 < у < -ж,0 < х < Найти общие решения следующей задачи Франкля в области

В пункте 1.2 изучается общее решение видоизмененной задачи Франкля для уравнения смешанного типа в эллиптической части области .

Общее решение видоизмененной задачи Франкля в эллиптической части области

7г 7г

и(г, в) = (AJ\(|lr))(cosX—cosXв + smX—smXв) (6)

= (ЛЛ(Н)(со8А(|-0))2/>О.

В пункте 1.3 изучается общее решение видоизмененной задачи Франкля для уравнения смешанного типа в гиперболической части области.

Общее решение видоизмененной задачи Франкля в гиперболической части области

и = A(Jx(fir)) cos в), D+, (7)

+(cosA| + sinA|)e-^,D_i, (8)

и = B{Jx(nR)){aeXv + £>_3. (9)

В пункте 1.4 изучается сшивание решения уравнения смешанного типа в эллиптической части области и в гиперболической части области. Сшивание решения и = AJxi/ir) cos A(f - в),вD+,

и = 4(Ja(w>))((cosA| - sinЛ|)еа^+ (cosAf + sin Af )e-A^),BD_i, u = j{Jx(fiR)){cosAf+sinAf) {e^+e-xf),BD-2- (10)

В пункте 1.5 изучается граничное условие задачи Франкля для

уравнения смешанного типа . Граничное условие задачи Франкля

А^п{1Лпкг) соа\„(^-в) в -АЗх^пкЩсс^Х^ в £>_2.

(П)

А также

А^К(р,пкг) соя Ап(§ - 0) в £>+, йпк = ■ -А^(р,пкр) созЬАп(^>) в £>_ь

(12)

Вторая глава. Базисность собственных функций задачи Франкля с

Во второй главе изучаются четыре пункта задачи Франкля для уравнения Лаврентьева - Бицадзе[3].

В пункте 2.1 дана постановка задачи Франкля с нелокальным условием четности для уравнения Лаврентьева - Бицадзе Постановка задачи.В области

требуется определить решение следующей видоизмененной задачи Франкля

нелокальным условием четности

£>=(£>+иД-1и£-2)

ихх + здпуиуу + (12здп(х + у)и = О,

(13)

в (0+ и II 0_2),с краевыми условиями

ЦМ)=о,0е[о,|], 1^(0,2/) = 0,2/6 (-1,1),

и(0,у) = и(0,-у),у£ [0,1],

ди, ди, . Л

-(х,+0) = -(х,-0),0<х<1,

Функция и(х,у)— регулярное решение из класса

и е С°(я+ия-111Я-2) П С2(я+) П

где

Д+ = {(г,(9)О<г<1,О<0<|}> £>_! = {(¡в, у) : -у < « < 2/ + 1, -у < У < 0},

= {(х,у) : х — 1 <у < —х, 0 < ж <

В пункте 2.2 нахождение собственных значений и собственных функций.

Теорема 2.2.1. Собственные значения и собственные функции задачи (13)-(17) можно представить в виде двух серий : в первой серии собственные значения Хпк = ¡х2п^ находятся из уравнения .

Jini/tnk) = О,

где п = 0,1,2,..., к = 1,2,..., Ja(z)- функции Бесееля [2],а собственные функции определяются формулой

(18)

A Jin(iinkr) cos -0) в D+, ипк - AJin(finkp) cosh Amp в D-i, AJininnkR) cosh 4п<р и D_2,

(19)

х — г cos 9, у — г sin в,

при 0 < в < §,г2 = х2 +- у2 в D+,

х = р cosh ф,у = р sinh ф, при 0 < р < 1, -сю < -ф < 0,р2 = х2 - у2 в Z)_b

х = R sinh у = —ftcosh<p, при 0 < (р < +оо, R2 = у2 — х2 в D-2,

во второй серии собственные значения Anjt = р.2/. находятся из уравнения

где п = 1,2,..., к = 1, 2,..., а собственные функции определяются формулой

Jin-\{jink) — О,

(20)

(21)

В пункте 2.3 доказана полнота собственных функций. Теорема 2.3.1. Система функций

{соз4

{с<и(4п-1)(|-0)}~1,

полна в пространстве Ьр(0, §), Р > 1,т.е.если

п = 0,1,2,...,

Jq fW cos(4n — — 6)dd = 0,

п = 1,2,...,

/ е LP(0, |), Р > 1, то /(в) = 0 в МО, |). Лемма 2.3.1. Если f{6) б Lp(0, |),р > 1,

/of/(0)cos4ri(|-0)d0 = O, гс = О,1,2,...,то/(0) = -/(|-0)

V/(0)eLp(O,|).

Теорема 2.3.2. Система собственных функций(19)-(21)задачи (13)-(17) полна в пространстве L2(D+) и образует в нём базис. В пункте 2.4 доказана базисность собственных функций в эллиптической части области в пространстве ¿2-

Теорема 2.4.1. Система функций

{со8(4П)(|-0)}~О, (22)

{соз(4п-1)(^-0)}-1, (23)

образует базис Рисса в ¿2(0, §).

Замечание 2.4.2. Отметим,что система косинусов (22 )и (23) является решением следующей задачи на собственные функции и собственные значения:

и" + (4п)2и = 0,0 е (0,|),

А о) = «'ф = о.

Система функций (23)ортогональна и является решением другой краевой задачи на собственные функции и собственные значения :

и" + (4п — 1)2и = 0,0 6 (0,

¿1

и'ф = и( 0)=0.

Третья глава.

Базисность собственных функций задачи Франкля с нелокальным условием нечетности и с разрывом градиента решения

В третьей главе рассматриваются собственные функции задачи Франкля с нелокальным условием нечетности и с разрывом нормального решения на линии изменения типа уравнения. Доказано,что эти собственные функции образуют базис Рисса в эллиптической части области, и доказана базисность Рисса системы косинусов на отрезке [0, |],которые входят в выражения для собственных функций.

Базисность Рисса была доказана для собственных функций задачи Франкля с нелокальным условием нечетности и непрерывным градиентом решения.

В пункте 3.1 дана постановка задачи Франкля с нелокальным условием нечетности и с разрывом нормального решения на линии изменения типа уравнения. Постановка задачи.В области

требуется найти собственные значения и собственные функции задачи Франкля

ихх + sgnyuyy + fi2sgn(x + у)и = 0, (24)

в (.D+U Z?_iU D-2), с краевыми условиями

u(l,fl)=O,0e [0,

öu

—(о,г/) = 0,2/ g (-1,1),

и(0,у) = -и(0,-у),уе[0,1],

В классе функций

ueC(D)f]C2(D^)f]C2(D^),

где

£>+ = {М)0<г<1,0<£><|},

D-1 = {{х,у) :-у<х<у+1,^-<у<0},

D-2 = {(х,у) - 1 <у< -2,0 < х < С условием сопряжения на линии изменения типа уравнения

В пункте 3.2 нахождение собственных значений и собственных функций.

Теорема 3.2.1. Собственные значения и собственные функции задачи (23)-(28) можно представить в виде двух серий: в первой серии собственные значения \пк = ¡гпк находятся из уравнения :

Jin+2{ßnk) = 0, где п = 0,1,2,..., ¿=1,2, ...,/i„fc—корень уравнения(29),

J<x{z)— функции Бесселя [2],а собственные функции определяются формулой :

AJin+2{ßnkr) cos(4n + 2)(| - в) вDf, Unk = -AJin+2{HnkP) cosh(4n + 2)ф вD_b -AJin+2{HnkR) cosh(4n + 2)ip bD_2, во второй серии собственные значения \пк = ß„k находятся из уравнения

(30)

Jin+l(ßnk) = 0,

где п = 0,1,2,..., к = 1,2,..., (ß„k)— корень уравнения(31),а собственные функции определяются формулой :

ипк =

AJin+i{ßnkr)cos{^ri + 1)(| - в) в D+, AJin+i{ßnkP) sinh(4n + 1)ф в D-i, -AJ4n+l(ßnkR) cosh(4п + 1 )<р в D_2.

х = г cos в, у = г sin в,

при 0 < в < f, г2 = х2 + у2 в D+,

х = pcoship,y — psinh-ф,

(31)

(32)

при 0 < р < 1, -сю < ф < 0, р2

У2 в D-i,

х = R sinh ip,y = —R cosh <p, при 0 < ip < +oo, R2 = у2 — x2 в £L2.

Доказательство теоремы(3.2.1)проводится проверкой выполнения условий(24)-(28).

В пункте 3.3 доказана полнота собственных функций.

Теорема 3.3.1. Система функций

{со5(4п + 2)(|-0)}~о,

{со8(4п + 1)(|-0)}~о,

полна в пространстве ¿р(0, |), Р > 1,т.е. если

£ /(0) соз(4п + 2)(| - 0)й0 = О,

гг - 0,1,2,..., 71=1,2,...,

/ е Ьр(О, §), Р > 1, то /(0) = 0вЬр(0, §). Лемма 3.3.1. Если

/(6>) соз(4п + 2)- 0)М = О, о 2/

п = О,1,2,...,то/(0) = /(§-0)

Теорема 3.3.2 Система собственных функций (30)-(32 )задачи (24)-(28) полна в пространстве Ь2(0+).

В пункте 3.4 доказана базисность собственных функций. Теорема 3.3.3. Система функций

{соз(4п + 2)(|-0)}~о, 17

{cos(4n + l)(|-0)}~o, образует базис Рисса в -¿2(0, §).

Теорема 3.3.4. Система собственных функций А~1ипк, А~1йпк задачи Франкля(24)-(28)образует базис Рисса в L2(D+),rде

Alk = (/о ¿1+2{ИпкГ)Ыг)-\ Л1к = Jln+l{ßnkr)rdr)-\

Четвёртая глава.

Полнота собственных функций задачи Франкля с нелокальным условием четности и с разрывом градиента решения

В четвёртой главе рассматриваются собственные функции задачи Франкля с нелокальным условием четности и с разрывом производной решения на линии изменения типа уравнения.

Доказано,что эти собственные функции образуют полную систему в ¿я(£)+),где Р > 2,а D+- эллиптической части области. В пункте 4.1 дана постановка задача Франкля с нелокальным условием четности и с разрывом производной решения на линии изменения типа уравнения. Постановка задачи.В области

d = (D+U£>-iUÖ-2)

требуется найти собственные значения и собственные функции задачи

Фрапкля

Щх + здпуиуу + ц2здп(х + у)и = О в (£>+ иII £?_2),с краевыми условиями

«(!,<?) =0,0 € [0,

с)и

^(о, у) = о, у е (-1,0) и(о, 1),

и(0,у) = и(0,-у))уе [0,1],

В классе функций

и 6 и и £>-2) П с2^-!) П с2(о_2) ,

где

Д+ = {(г,0)О<г<1,О<0<|},

£>_ 1 = {(г, у) : -у < I < у + 1, < у < 0},

2 = {(г, у) : х - 1 < у < -ж, 0 < х < С условием сопряжения на линии изменения типа уравнения ди, „, „

—(гг, +0) = -0), о < а; < 1,

В пункте 4.2 нахождение собственных значений и собственных функций.

Теорема 4.2.1. Собственные значения и собственные функции задачи (33)-(37) можно представить в виде двух серий : в первой серии собственные значения \пь = д^ находятся из

уравнения

ь п{цпк) = 0, (38)

где п = 0,1,2,..., к = 1,2,..., корень уравнения(38),

(функции Бесселя [2],а собственные функции определяются формулой :

1А^п(Цпкг) соз(4п)(| - 0) вД+,

АЛ^цпкр) собь(4п)-ф в£)_1, (39)

а^п{цпкщ созь(4п)^ в£>_2,

во второй серии собственные значения \пк = ¡л2к находятся из уравнения

■Ьп+\{рпк) = 0, (40)

где п = 0,1,2,..., к = 1,2,..., (¡хпк)—корень уравнения(40), а собственные функции определяются формулой :

и„к =

А3^1{11пкг) соз(4п + 1)(| - в) вО+, -Л^п+1(р,пкр)зтЪ(4п + 1 )ф в£>_ь (41)

А^п+^пкЩ собЬ(4?г + 1 )<р в1>_2.

х — г сов 0, у = гвтб, при 0 < 0 < §,г2 = х2 + у2 в £>+,

ж = рсо8Ътр,у = рвтЬ-ф, при 0 < р < 1, —оо < < 0, р2 = х2 — у2в

х = Я втЬ <р, у = —Я совЬ <р, 20

при 0 < <р < +оо, Я2 = у1 — агвО_2. В пункте 4.3 доказана полнота собственных функций. Теорема 4.3.1. Система функций

{с05(4п)(|-0)}~„,

{со3(4п + 1)(|-0)}~о, полна в пространстве Ьр{0, Р > 1,т.е. если

/о!/(0)со8(4п)(| -0)М = 0, п = 0,1,2,..., /о!/(0)соз(4п + 1)(|- 0)<Ю = О,

п= 1,2,...,

/ € ¿Р(0, Р > 1, то /(0) = 0 в МО, §). Лемма 4.3.1. Если /(в) 6 1-1 (0,

/о5/(0)соз(4п)(| -0)^ = 0, тг = О,1,2,...,то/(0) = -/(§-0)

Теорема 4.3.2. Система собственных функций (39)-(41)задачи(33-37) полна в пространстве 1^.(0+), т.е. если

/л /М)и„*М)г<Шг=0, п = 1,2 ,..к = 1,2,..

¡^¡{г,в)йпк{г,в)гйвйг = О,

п = 0,1,2, ...А; = 1,2,... а / £ Ьр(0+),р > 2, то / = 0 в

Пятая глава.

Полнота собственных функций задачи Франкля с условием нечетности

В пятой главе рассматриваются видоизмененные задачи Франкля с

условием нечетности для уравнения Лаврентьева-Бицадзе .

В этой главе найдены собственные значения и собственные функции

задачи Франкля с условием нечетности .

Доказана полнота собственных функций.

В пункте 5.1 дана постановка задачи Франкля с нелокальным

условием нечетности для уравнения Лаврентьева -Бицадзе .

Постановка задачи. В области

требуется определить решение следующей видоизмененной задачи Франкля

ихх + (здп(у))иуу + 1Гвдп(х + у) и = 0, (42)

в (£>+ и Р-1 и 2) с краевыми условиями

и(1,0)=О,0е[О,|] (43)

1^(0,2/) =0,1/ е (-1,1) (44)

и{0,у) = -и(0,-у),уе [0,1], (45)

функция и(х,у)— регулярное решение из класса

и е ПС2(£>+)ПС2(о_)

и +0) = — и(х, —0)

^(х, +0) = ~(х, -0), 0 < х < 1 (46)

ду ду

Д+ = {М)О<г<1,О<0<|}, = {(г, у) : -у < х < у + 1, < у < 0},

2 = {(ж,у) : х- 1 <у < -ж,0 < х <

В пункте 5.2 нахождение собственных значений и собственных функций.

Теорема 5.2.1. Собственные значения и собственные функции задачи (42-46) можно выписать в виде двух серий : в первой серии собственные значения определяются из уравнения

Л„(/Ы = 0, (47)

где An = —1 + 4п,п = 1,2,..., к = 1,2,.. где J\n{z) функции Бесееля [2j,a собственные функции опредляются по формуле

и„к ■

AJ\n(l*nkr) cosA„(| - в) в D+,

AJ\n(linkp)smh\nip в Z)_i, (48)

[ -AJ\n(nnkR) cosh Anip в D_2,

х = г cos в, у = г sin О, при 0 < в < \,г2 = х2 + у2 в £>+,а

ж = pcoshil>,y = psinh^, при 0 < р < 1, —оо < ф < 0, р2 = х2 — у2 в£>_1,а

х = R sinh (р, у = —R cosh ip, (49)

при 0 < < +оо, Я2 = у2 — х2 в D_2-

Во второй серии собственные значения fiflk находятся из

уравнения(БО).

= о, (50)

где Ап = 2 + An, п = 0,1,2, ...к = 1,2, ...,а собственные функции определяются по формуле

AJ-K{jinkr) cos An(§ - в) вD+, ипк = \ -AJ-K(jlnkp) cosh.\„{ф) bD_i, (51)

- A J-Xn(finkR) cosh A„(v?) bD—2.

В пункте 5.3 доказана полнота собственных функций. Теорема 5.3.1. Если /(<?) е ¿р(0, > 1,

^?Ж>со3(4я + 2)(| -0)М = 0, п = 0,1,2,..., то,/(0) = /(§-0),

Теорема 5.3.2. Если

^ /(0) соэ(4п + 2)(| - в)М = 0, п = 0,1,2,...

£ /(б) соз(4п - 1)(| - в)М = 0,п= 1,2,... то, /(0)=О,вЬР(О,§),

V/ е ¿Р(о,|),р > 2.

Теорема 5.3.3. Система собственных функций (48)-(51) задачи (4246) полна в Ьр(В+),т.е. ,если

/ /(г, 0Ыг,0)пЮ4г = О,

п = 1,2,...А; = 1,2,...

[ /(г,в)йпк{г,0)гс1вс1г = 0, п = 0,1,2, ...к = 1,2,... а/еЬр(£»+),р>2,то/ = 0вД+.

Благодарности

Автор рад представившейся возможности выразить благодарность своему научному руководителю академику РАН Е.И.Моисееву за постановку задач,постоянное внимание к работе и полезные советы.Также автор благодарен всем сотрудникам кафедр общей математики и функционального анализа и его применений факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета имени.М.В.Ломоносова. Моя огромная благодарность моей жене Фарахназ за любовь,поддержку,доброту, понимание и терпение,и своему доброму сыну Мохаммаду.

Публикации по теме диссертации. Основные научные результаты,подготовлены , оформлены в пяти статьях и опубликованы.

1. Моисеев Е.И.,Аббаси.Н. О базисности собственных функций задачи Франкля с нелокальным условием четности //Дифференц уравнения. 2008.Т.44.тС 831-836.

2.Моисеев Е.И.,Аббаси.Н. Базисность собственных функций задачи Франкля с нелокальным условием нечетности и с разрывом градиента решения //Дифференц уравнения.2008.Т.44.№10.С.1399-1404.

3.Моисеев Е.И.,Аббаси.Н. О полноте собственных функций задачи Франкля с нелокальным условием четности и с разрывом градиента решения//Integral transforms and special functions.2009. vol.20.Issue.2.С.155-160.

4.Моисеев Е.И.,Аббаси.Н. О полноте собственных функций задачи Франкля с условием нечетности //Дифференц уравнения.2008. Т.44.№З.С.408-412.

б.Аббаси.Н. Базисности и полноте собственных функций задачи Франкля //Докл.АН.2009.Т.79,Ж2,С.1-4.

Подписано в печать 17.04.09 Формат 60x88 1/16. Объем 1 п.л. Тираж 100 экз. Заказ № 842 Отпечатано в ООО «Соцветие красок» 119991 г.Москва, Ленинские горы, д.1 Главное здание МГУ, к. А-102

Введение.

1.Построение частного решения уравнения смешанного типа в эллиптической части области и в гиперболической части области.

1.1-Постановка задачи.

1.2-0бщее решение видоизмененной задачи Франкля в эллиптической части области.

1.3-0бщее решение видоизмененной задачи Франкля в гиперболической части области.

1.4-Сшивание решения.

1.5-Граничное условие задачи Франкля.

2.Базисность собственных функций задачи Франкля с нелокальным условием четности.

2.1-Постановка задачи.:.

2.2-Нахождение собственных значений и собственных функций.

2.3-Полнота собственных функций.

2.4-Базисность системы собственных функций.

3.Базисность собственных функций задачи Франкля с нелокальным условием четности и с разрывом градиента решения.

3.1-Постановка задачи.

3.2-Нахождение собственных значений и собственных функций.

3.3-Полнота собственных функций.

3.4-Базисность системы собственных функций.

4.Полнота собственных функций задачи Франкля с нелокальным условием четности и с разрывом градиента решения.

4.1-Постановка задачи.

4.2-Нахождение собственных значений и собственных функций.

4.3-Полнота собственных функций.

5.Полнота собственных функций задачи Франкля с условием нечетности.

5.1-Постановка задачи.

5.2-Нахождение собственных значений и собственных функций.

5.3-Полнота собственных функций.

Выводы.

Общая характеристика работы

Актуальность темы.Теория краевых задач для уравнений смешанного типа является одним из важных разделов . Первым исследователем в этой области был Ф.Трикоми [42]. Началом нового этапа в развитии теории уравнений смешанного типа явилась работа Ф. И. Франкля[43]. Задача Франкля без спектрального параметра рассматривалась в работах А.В Бицадзе,М.М Смирнова, К.И Бабенко [1], [39]. Большой вклад в изучение разрешимости краевых задач для уравнений смешанного типа внесли работы И.М. Гельфанда,Геллерстедта(Се11ег8^сН;8).А.М.Нахушева,М.С. Салахитдинова,Т.Д.Джураева,А.П.Солдатова,В.Н.Врагова, Т. Ш. Кальменова, К. Б. Сабитова, А. Н .Зарубина, С. П. Пулькина, В. Ф. Волкодавова, В. П. Михайлова, А А. Пол осина, Н. Ю. Капустина, A.B. Псху. Спектральные свойства задач для уравнения смешанного типа активно изучались,начиная с 80-х годов.Т.Ш.Кальменов[14]первый доказал,что задача Трикоми имеет по крайней мере одно собственное значение для уравнения Лаврентьева-Бицадзе.С.М.Пономарев выписал собственные функции задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе и доказал их полноту в эллиптической части области,являющейся круговым. Е.й. Моисеев [20-31] нашел сектора на комплексной плоскости,в которых отсутствует спектр задачи Трикоми для уравнения Геллерстедта с переменными коэффициентами^ частности,для уравнения Трикоми).Е.И.Моисеев доказал базисность этой системы в эллиптической части области и,используя свойство базисности, построил спектральный метод решения краевых задач для уравнений смешанного типа. Я.Н.Мамедов [18] распространил результаты о полноте собственных функций для вырождающихся уравнений смешанного типа,в частности,для уравнения Трикоми,но в случае,когда эллиптическая часть области-это половина круга в соответствующей геометрии. Задача Геллерстедта для уравнения Лаврентьева-Бицадзе и для уравнения Геллерстедта[6]исследовалась в работах К.Б.Сабитова и его учеников[38].В этой работе изучены полнота и базисность собственных функций для задачи Франкля для уравнения смешанного типа в эллиптической части области.

Цель работы.Целью работы являются доказательства базисности или полноты собственных функций задачи Франкля с нелокальным условием четности или нечетности и с разрывом градиента решения или без разрыва градиента решения на линии изменения типа уравнения.

Методы исследования.Построение частного решения уравнения смешанного типа в эллиптической части области и в гиперболической части области выписывается с помощью метода разделения переменных, используется функция Бесселя. Базисность собственных функций задачи Франкля и полнота собственных функций задачи Франкля исследуются с помощью теорем о полноте и базисности систем синусов и косинусов в пространстве Ьр. Кроме того,используется ортонормированная система функций Бесселя.

Научная новизна.В первой главе изучается построение частного решения уравнения смешанного типа в эллиптической части области и в гиперболической части области,ранее во второй главе доказана базисность собственных функций задачи Франкля с нелокальным условием четности,в третьей главе доказана базисность собственных функций задачи Франкля с нелокальным условием нечетности и с разрывом градиента решения,в четвёртой главе доказана полнота собственных функций задачи Франкля с нелокальным условием четности и с разрывом градиента решения.В пятой главе доказана полнота собственных функций задачи Франкля с условием нечетности.

Практическая и теоретическая ценность работы.

Полученные результаты и предложенные методы исследования представляют теоретический интерес и могут быть использованы в спектральной теории краевых задач для уравнения смешанного типа и в газовой динамике.

Апробация работы.Результаты, приведенные в диссертации,докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедр общей математики и функционального анализа и его применений факультета ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова, а также докладывались на Тихоновских чтениях в октябре 2008г.

Публикации.Основные результаты работы подготовлены, оформлены в пяти статьях и опубликованы[44-48].

Структура и объём диссертации .Диссертация состоит из оглавления,введения,пяти глав и списка литературы.В введении указана актуальность задачи и краткая история основных результатов по уравнениям смешанного типа и основные результаты диссертации. Объём диссертации составляет 100 страниц.

Выводы

В работе получены следующие результаты:

1.Нахождение в явном виде( через функции Бесселя) общих решений вырождающихся эллиптико-гиперболических уравнений со спектральным параметром.

2. Для задачи Франкля для уравнения Лаврентьева-Бицадзе нахождение собственных значений и собственных функций.

3.Доказана базисность собственных функций задачи Франкля с нелокальным условием четности.

4.Доказана базисность собственных функций задачи Франкля с нелокальным условием нечетности и с разрывом градиента решения.

5.Доказана полнота собственных функций задачи Франкля с нелокальным условием четности и с разрывом градиента решения.

6. До казана полнота собственных функций задачи

Франкля с условием нечетности.

1. Бабенко К.И.К теории уравнений смешанного типа.дис.д-ра физ.-мат.,1952.

2. Бейтмен Г.,Эрдейи А.Высшие трансцендентные функции Т.2.М.Д987.

3. Бицадзе А.В.Некоторые классы уравнений в частных производных. М., 1983.

4. Волкодавов В.Ф.,Быстрова О.К.//Неклассические уравнения и уравнения смешанного типа .Новосибирск, 1990. с. 47-52.

5. Врагов В.Н.//Дифференц уравнения. 1977.Т. 13.С. 1098-1105.

6. Геллерстедт^еИегвг^с^ 8).Агк1у Ма^Аз^-осИ Руз1к 29,1937,В.25А.

7. Гельфанд И.М.Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений.м.,Физ-Мат-Гиз,1958.

8. Джураев Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов.-Ташкент: ФАН, 1979.

9. Зарубина А.Е.Исследование начально-краевых задач для уравнения смешанного типа с запаздывающим аргументом.Докторская диссертация, 1996г.,234с.

10. Зигмунд А.Тригонометрические ряды. 1965.

11. Ильин В.А.,Позняк Э.Г.Основы математического анализа,-ч. 1-М. наука, 1982.

12. Ильин В.А.//Дифференц уравнения. 1980.Т.16.№5. С.6.

13. Ильин В.А.//Дифференц уравнения. 1980.Т.16.ДО5. С.771-794.

14. Кальменов Т.Ш.//Дифференц уравнения. 1977.Т. 13. №8.0.1418-1426.

15. Капустин Н.Ю.//Дифференц уравнения.2003.Т.5.Ж С.-.

16. Каратопраклиев Г.Д.//Докл.АН.1970.Т.193.№6. С.1226-1229.

17. Лаврентьев М.А.,Шабат М.В.,Методы теории функции комплексного переменного М., 19858.

18. Мамедов Я.Н.//Дифференц.уравнения.1982.Т.25.№1. С.167-169.

19. Михайлова В.П.Об обобщенной задаче Трикоми, //Докл.АН.1967.Т. 175.С. 1012-1014.

20. Моисеев Е.И.//Дифференц.уравнения.1992.Т.28.№ 4. С 721 -723.

21. Моисеев Е. И.//Докл.АН СССР. 1984.Т.275.№ 4. С 795-798.

22. Моисеев Е.И.//Дифференц.уравнения.1987.Т.23.№ 1. С.177-179.

23. Моисеев Е.И.,Ильин В.А.//Тр.Мат.ин-та им.В.А. Стеклова.1992. Т.201. С.219-230.

24. Моисеев Е.И.//Дифференц.уравнения.1990.Т.26.№26. С.93-103.

25. Моисеев Е.И.//Дифференц.уравнения.1990.Т.26.№7. С.1160-1172.

26. Моисеев Е.И.//Дифференц.уравнения.1992.Т.27.№4. С.721-723.

27. Моисеев Е.И.//Дифференц.уравнения.1991.Т.27.№7. С.1229-1237.

28. Моисеев Е.И.//Частичная финансовая поддержка научной школы № 2726-2008-1.

29. Моисеев Е.И.// Гранты РФФИ №2008-01-00313.

30. Моисеев Е.И.уравнения смешанного типа со спектральным параметром .-М. Изд-во. МГУ, 1988г.

31. Моисеев Т.Е.//Дифференц.Уравнения.2003.Т.39.Ж11. с.1568-1570.

32. Мусхелищвили Н.И.Сингулярные интегральные уравнения.М., 1968.

33. Нахушев А.М.Об одной задаче смешанного типа для уравнения у (у — 1 )ихх + иуу = 0,ДАН СССР 166,3,1966.

34. Полосин A.A.О регулярной разрешимости некоторых краевых задач для уравнений смешанного типа. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук-Москва-1996г.

35. Пономарев С.М.Докл.АН.1979.Т.249.№5.С.Ю68-1070.

36. Псху A.B.,Краевые задачи для дифференциальных уравнений с частными производными дробного и континуального порядка диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук-Москва-2007.

37. Пулькин С.П.//Докл.АН.1958.Т.118.№1.С.38-41.

38. Сабитов К.Б.,Кучкарова А.Н.Спектральные свойства решения задачи Геллерстедта для уравнения смешанного типа и их применения//Сиб.мат.ж.2001.Т.42.№5.С.1147-1161.

39. Салахитдинов М.С.Уравнения смешанного типа.-Ташкент:ФАН,1974.

40. Смирнов М.М .Уравнения смешанного типа.М.,1985.

41. Солдатов А.П.//Дифференц уравнения. 1972.Т.8.С. 143-146.

42. Трикоми Ф.О линейных уравнениях смешанного типа, Гостехиздат, 1948.

43. Франкль Ф.И.Избранные труды по газовой динамике. М., 1973.

44. Моисеев Е.И.Аббаси.Н.//Дифференцуравнения.2008. Т.44.№З.С.408-412.

45. Моисеев Е. И. Аббаси.Н.//Дифференц уравнения.2008. Т.44.№6.С 831-836.46. .Моисеев Е. И .Аббаси. Н. //Дифференц уравнения .2008. Т. 44.М0.С. 1399-1404.

46. Моисеев.Е.И.Аббаси.Н.//Integral transforms and special functions.2009.vol.20.Issue.2.С. 155-160.

47. Аббаси. H. / / Док л.АН.2009. Т. 79 Д9.2,С.1-4.